第一章问题解决活动：作内嵌于正方形的正八边形教学设计2026-2027学年北师大九年级数学上册

该初中数学教学设计聚焦“作内嵌于正方形的正八边形”，从建筑嵌套图案（如古建筑藻井）引入，抽象为几何模型。学生基于已学正多边形、正方形性质及尺规作图，通过操作梳理图形关系，构建知识支架。 亮点在于以问题解决为主线，通过尺规作图、分组证明培养模型观念与推理意识，如两种作图方法的对比论证。分层作业兼顾差异，提升学生几何直观与空间感，为教师提供探究式教学范例，助力核心素养落地。

第一章 特殊平行四边形 问题解决活动：作内嵌于正方形的正八边形 一、学习任务分析 在前面的学习中，学生已经学习了正多边形的定义和性质，认识了正八边形，并学习了正方形的性质与判定。教科书在此基础上设计了一个问题解决活动，进一步研究图形之间的关系。本课时内容从“建筑上的多边形相互嵌套的图案”这个实际情境引入，将实际问题抽象为正八边形“内嵌”于正方形的问题，让学生通过操作、想象，梳理不同图形之间的关系，在这个过程中培养学生的空间观念，发展几何直观，提高分析问题和解决问题的能力。 二、学生起点分析 学生知识技能基础：学生已经学过正方形和正八边形的定义，掌握了正方形的性质定理和判定定理，能够使用尺规规范作图，理解尺规作图的基本原理与方法，同时了解了图形的变换（平移、旋转、对称）。学生有了一定的知识基础，具备了一定的分析问题和解决问题的能力。 学生活动经验基础：在前面的学习中，学生已经具备了规范作图的能力，能通过类比迁移的方法，分析图形的特征、共性与差异，并且利用折纸和旋转的方法验证图形的对称性。学生已经经历了很多合作学习的过程，具备了一定的合作学习的经验。 三、教学目标 1.经历图形的抽象、数学模型的建立、问题解决的全过程，形成模型观念，发展几何直观。 2.应用线段垂直平分线或者角平分线的性质解决到定点距离相等的问题，发展应用意识。 3.通过对内嵌于正方形的正八边形的分析，提升空间感和设计能力，为解决现实生活中的各种问题提供有益的启示。 四、教学重点 1.探究内嵌于正方形的正八边形的图形特征，找到正方形与正八边形边长之间的数量关系。 2.掌握作正方形内正八边形的尺规作图方法，能规范画出内嵌的正八边形。 3.经历把实际图案抽象成几何问题、建立几何模型解决问题的过程。 五、教学难点 1.推理证明裁剪后得到的八边形是正八边形，理解 “四条角上剪下的三角形为全等的等腰直角三角形” 这一核心条件。 2.灵活利用线段垂直平分线、正方形、正多边形的性质，分析图形内在关系，突破作图原理的理解障碍。 3.将建筑嵌套图案这类现实情境转化为几何问题，建立模型观念。 六、教学过程设计 【第一环节】课前准备 1.活动内容 活动1 教具准备:铅笔、橡皮、圆规、直尺、彩笔(五色)。 活动2 （1）复习用尺规作角平分线和线段垂直平分线的步骤。 （2）复习正八边形的定义和性质。 活动3 预习准备：让学生先画出正八边形内嵌于正方形的草图。 2.活动目的 活动1和活动2为下面的尺规作图和分析图形特征作铺垫，活动3让学生动脑思考、观察猜想、交流讨论，抽象出图形的内嵌，尝试思考内嵌的画法是否唯一。 3.注意事项 在学生尺规作图时，教师要适当提醒学生熟悉尺规作图的步骤。 【第二环节】情境引入 1.活动内容图1 活动1 问题：在一些建筑上可以看到多边形相互嵌套的图案。 图1所示的古建筑藻井图案就是一个正方形里面嵌套了多个正八边形。 如果一个正方形里面嵌套了一个正八边形，且正八边形至少有四个顶点分别在正方形的四条边上，那么我们称这个正八边形内嵌于这个正方形。 活动2 你能用尺规作内嵌于正方形的正八边形吗? 2.活动目的 活动1从“建筑上的多边形相互嵌套的图案”这个实际情境引入，抽象出正八边形“内嵌”于正方形的模型，让学生学会用数学眼光观察现实世界，发展学生的逻辑思维能力。活动2在活动1的基础上结合学生已有的作图能力，引出本节课的重点内容“作内嵌于正方形的正八边形”。 3.注意事项 本环节要重点强调正八边形“内嵌”于正方形，即正八边形至少有四个顶点分别在正方形的四条边上。 【第三环节】理解问题 1.活动内容 活动1 正八边形内嵌于正方形，可能有哪些情形？请你画出相应的草图。 根据前面的预习展示部分学生画出的草图： 图4 图3 图2 活动2 正八边形有哪些具体特征？ 边：有8条边，每条边都相等 角：有8个角，每个角都是135° 正八边形 对角线：有20条对角线 轴对称性：正八边形是轴对称图形，共有8条对称轴 中心对称性：正八边形是中心对称图形，对称中心为对称轴的交点 2.活动目的 活动1可以提前布置给学生，通过预习提高学生参与活动的主动性和积极性，学生在动手画草图的过程中，对“内嵌”概念的理解会更深刻，同时为下一环节用尺规作图作铺垫。活动2类比正方形性质的探索方法，分别从边、角、对角线、对称性四个方面探索图形的特征，延续了一类图形的探索方法。 3.注意事项 有的学生对“内嵌”的概念不太理解，画不出草图或者画错，教师可以适当进行点拨，在教学过程中，可以用类比法探索正八边形的性质。 【第四环节】拟订计划 1.活动内容 活动1 观察你画的草图，分析其中的正八边形满足哪些特定条件。 活动2 根据你的分析，说说用尺规作这个正八边形的大致思路。整理自己的思路，并与同伴进行交流。 正八边形内嵌于正方形的情形不同，画法也会有所差异，下面整理了两类特殊的内嵌情形。 草图 尺规作图 作图思路 连接正方形的两条对角线，交于点O。分别以P，Q，R，S为圆心，以线段OP的长为半径作弧，可在正方形的四条边上得到 8 个交点，用线段依次连接点A，B，C，D，E，F，G，H，A，即得正八边形。 首先，用尺规依次作出正方形四条边的中点A，C，E，G，再用线段依次连接点A，C，E，G，A。然后，用尺规作出∠PAC及∠PCA的角平分线并交于点B；类似地，可作出点D，F，H。用线段依次连接点A，B，C，D，E，F，G，H，A，即得正八边形。 2.活动目的 活动1中，学生经历分组探索、动手测量、对比迁移、动脑思考、观察猜想、交流讨论、推理证明等活动，得到正八边形的一些特点。教师引导学生多角度尝试，观察正八边形和正方形的特殊点，这些点所在的对称轴都经过正方形的中心。活动2是用尺规作内嵌于正方形的正八边形，将陌生的问题转化为熟悉的知识，培养学生分析问题的能力。学生投影展示，师生共同评议。 3.注意事项 教师要充分发挥引导者、合作者的角色作用，给予学生充分的观察思考、讨论交流的时间。教师可进行适当提示，同时引导学生规范口语表达。 【第五环节】实施计划 1.活动内容 活动1 你的作图思路正确吗？说明其中的道理。 对以上两种画法进行证明，如下表。 草图 尺规作图 证明 为了便于计算，设OP＝1。 ∵OP＝1， ∴。 ∵OP＝OQ＝OR＝OS＝1， ∴PH＝SA＝1，PS＝PQ＝。 ∵PB＝PA＝－1，∠PAB＝∠PBA＝45°， ∴AB＝(－1)＝2－。 ∵BC＝PQ－PB－QC＝－2(－1)＝2－， ∴AB＝BC，∠BAH＝∠ABC＝135°。 同理可证其他各边也相等，其余内角也是135°，由此可得该八边形是正八边形，因此上述尺规作图的思路是正确的。 由作图步骤可知，PA = PC，且∠PAC=∠PCA。 ∵ ∠BAC =∠BCA， ∴ BA = BC。 同理，DC= DE , FE = FG , HG= HA。 ∵△ABC ≌ △CDE (ASA)， ∴ BA = DC ，BC = DE。 即得 BA = BC =DC = DE = FE = FG = HG = HA。 由此可得该八边形是正八边形。 这种作图思路也是正确的。 活动2 请你用尺规作一个内嵌于正方形的正八边形，并与同伴进行分享。 2.活动目的 要求学生利用尺规动手解决作图问题，先运用合情推理发现过程与结论，再运用逻辑推理进行证明，构成一个完整的思维过程，促进学生逻辑推理能力的发展。 3.注意事项 活动1是对两种特殊位置内嵌的论证，可以让学生分组讨论交流之后进行演示，然后由其他小组进行纠错，提高学生的参与度。活动2是内嵌的一般作法，教师可以在课堂中进行示范，学生也可能会有不同的作法。教学过程中，教师对学生的参与和表现要多给予正面的肯定，提升学生学习数学的信心。本环节教学容量较大，需要注意把握教学时间。 【第六环节（一）】总结提升 1.活动内容 回顾反思 （1）通过探究，你得到了哪些作图方法？这些方法各有什么特点？ （2）在探索作图方法的过程中，你积累了哪些经验？与同伴进行交流。 2.活动目的 问题（1），根据课堂展示的三种内嵌图形的作图方法，能够比较直观地发现它们的特点（边、角、对角线、对称性、经过的特殊点），教师可以让学生再次回顾本节课中涉及的用尺规作内嵌于正方形的正八边形的作图方法，比较各种作法，尝试优化自己的作图步骤，并在班级内进行推广。问题（2）的设定体现了学生认识图形的认知特点，从“特殊”到“一般”，符合学生认识图形的一般规律。 【第六环节（二）】总结提升 1.活动内容 课后作业 （1）基础性作业：教科书习题 第 1，2题 （2）发展性作业：教科书习题 第3题 2.活动目的 培养学生的归纳总结能力，形成完整的知识认知结构，同时延续了分析特殊平行四边形的方法：由“概念—性质—判定”的顺序展开。本节课通过运用转化思想，把复杂的“嵌套”问题转化成熟悉正方形和正八边形的问题，同时渗透研究一类图形从“特殊”到“一般”的认知特点。 3.注意事项 回顾反思活动中，要注意学生的真实感受和课堂反馈。作业具有较强的开放性，教师可以适当提醒学生，让学生根据自己的兴趣，选择一个问题进行研究即可。 学科网（北京）股份有限公司 $