第1章 特殊平行四边形 证明四边形是菱形、添一个条件使四边形是菱形讲义-2026-2027学年北师大版九年级数学上册

本初中数学讲义聚焦菱形判定核心知识点，系统梳理“先证平行四边形再补充邻边相等或对角线垂直”“直接用四边相等或对角线垂直平分判定任意四边形”两条路径，构建从基础判定到条件补充的完整学习支架。 资料通过“挑错改错”（如小海证法分析）培养推理能力，结合多地阶段检测例题与变式训练，强化几何直观与应用意识。课中助力教师分层教学，课后帮助学生梳理思路、查漏补缺，提升菱形判定的综合运用能力。

证明四边形是菱形、添一个条件使四边形是菱形讲义 证明四边形是菱形、添一个条件使四边形是菱形讲义 考点目录 证明四边形是菱形 添一个条件使四边形是菱形 考点一 证明四边形是菱形 【知识点解析】 一、核心知识点 菱形的判定遵循“分层判定”逻辑：可以先证明四边形是平行四边形，再补充菱形专属条件；也可以直接通过边、对角线的完整条件，直接判定任意四边形为菱形。 1. 平行四边形基础上的判定（需先证平行四边形） · 定义判定：有一组邻边相等的平行四边形是菱形。 · 对角线判定：对角线互相垂直的平行四边形是菱形。 1. 直接判定任意四边形为菱形（无需先证平行四边形） · 边判定：四条边都相等的四边形是菱形。 · 对角线判定：对角线互相垂直且平分的四边形是菱形（本质：对角线互相平分→平行四边形，+对角线垂直→菱形）。 1. 判定核心逻辑：菱形必须同时满足“平行四边形的共性”和“邻边相等/对角线垂直”的特性；四边相等、对角线垂直平分本身已经包含了平行四边形的构成条件，可直接判定。 二、解题思路 根据已知条件的类型，选择最短的判定路径： 1. 已知边相关条件 · 若条件覆盖四条边：优先证明四条边长度全部相等，直接用“四边相等的四边形是菱形”判定，无需额外证平行四边形。 · 若条件仅涉及两组对边关系：先通过“两组对边分别平行/相等/一组对边平行且相等”证明四边形是平行四边形；再证明一组邻边相等，用定义判定菱形。 1. 已知对角线相关条件 · 若仅已知对角线垂直：先证明对角线互相平分（即先证平行四边形），再结合垂直关系，用“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”判定。 · 若已知对角线同时具备平分和垂直特征：直接用“对角线互相垂直且平分的四边形是菱形”一步判定。 1. 已知角/角平分线相关条件 · 利用“角平分线 + 平行线 → 等腰三角形”的经典模型，推导得到一组邻边相等； · 先结合角的等量关系证明四边形是平行四边形，再搭配邻边相等的结论，用定义判定菱形。 1. 通用证明步骤 ① 分析已知条件，确定判定路径：直接判定四边形，还是先证平行四边形再升级为菱形； ② 逐步推导判定定理所需的全部条件，每一步都要有几何依据； ③ 结合对应判定定理，写出最终结论。 【例题分析】 例1．（25-26九年级上·广东佛山·期中）已知：如图，四边形是菱形，两条对角线相交于点O，为的平分线，交于点E，为的平分线，交于点F，连接，．求证：四边形是菱形． 例2．（25-26九年级上·四川成都·阶段检测）如图，在四边形中，平分． (1)求证：四边形是菱形； (2)若的周长为18，求菱形的面积． 例3．（25-26九年级上·河南驻马店·阶段检测）【问题原型】如图，在中，对角线的垂直平分线交于点F，交于点E，交于点O．求证：四边形是菱形． 【小海的证法】证明：∵是的垂直平分线， ∴．（第一步） ，（第二步） ．（第三步） 四边形是平行四边形．（第四步） ∴四边形是菱形（第五步） 【老师评析】小海利用对角线互相平分证明了四边形是平行四边形，再利用对角线互相垂直证明它是菱形，可惜有一步错了 【挑错改错】 (1)小海的证明过程在第__________步上开始出现了错误． (2)请你根据小海的证题思路写出此题的正确解答过程． 【变式训练】 变式1．（2026·山东泰安·模拟预测）如图，为的对角线． (1)作对角线的垂直平分线，分别交，，于点E，F，O（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)连接，，求证：四边形为菱形． 变式2．（25-26九年级上·陕西西安·阶段检测）如图，在四边形中，为上一点且，连接交于点O，平分． (1)求证：四边形为菱形； (2)若，求四边形的面积． 变式3．（25-26九年级上·湖北十堰·阶段检测）如图，为平行四边形的对角线，点为的中点． (1)尺规作图：过点作的垂线，分别交，于点，，连接，（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，证明四边形为菱形． 证明：为中点，， ①________，． ． 四边形为平行四边形， ． ②________． ． ， ． 在与中， ． ④________． ． 四边形为菱形． 考点二 添一个条件使四边形是菱形 【知识点解析】 一、核心知识点 这类题型的核心原则：前提不同，所需添加的条件不同。必须先看清题干给出的四边形基础条件，再对应菱形判定定理，补充恰好缺失的核心条件，条件需充分且不冗余。 按常见题干前提分类： 1. 最高频前提：已知四边形是平行四边形 只需补充菱形特有的一个条件即可，常见答案： · 边类：一组邻边相等（或某条边等于其邻边，如 ）； · 对角线类：对角线互相垂直（如 ）； · 衍生类：一条对角线平分一组对角。 1. 前提：已知是任意四边形 需要添加包含完整判定要素的一个条件，常见答案： · 边类：四条边都相等； · 对角线类：对角线互相垂直且平分。 1. 常见中间前提（部分条件已满足） · 前提：对角线互相平分的四边形 → 添：对角线互相垂直； · 前提：有一组邻边相等的四边形 → 添：四边形是平行四边形（或两组对边分别平行等）； · 前提：对角线垂直的四边形 → 添：对角线互相平分。 注：此类题目答案不唯一，只要符合判定定理、能充分推出菱形即可，优先写教材判定定理对应的标准条件。 二、解题思路 1. 定基础：先梳理题干已经给出的条件，判断当前四边形满足了什么层级的性质：是已经是平行四边形，还是仅满足部分边/对角线条件。 1. 找缺失：对照菱形判定定理，定位还缺少的核心要素： · 已经是平行四边形：缺“邻边相等”或“对角线垂直”，二选一即可； · 是任意四边形：缺“四边相等”或“对角线垂直平分”完整条件。 1. 写条件：写出最直接、最标准的条件，优先使用教材原文的判定表述。 1. 验充分性：将添加的条件代回题干，结合已知条件推导，验证能否完整推出菱形，确保条件不多余、不欠缺。 【例题分析】 例1．（25-26九年级上·陕西榆林·阶段检测）已知四边形是平行四边形，添加下列一个条件，可以使平行四边形为菱形的是（     ） A． B． C． D． 例2．（25-26九年级上·浙江台州·阶段检测）如图，已知，对角线，相交于点，则添加下列条件不能判定是菱形的是（     ） A． B． C． D． 例3．（25-26九年级上·河南三门峡·期中）如图，在四边形中，，于点O．请添加一个条件：_______，使四边形为菱形． 【变式训练】 变式1．（25-26八年级下·广东珠海·期末）在平行四边形中，下列条件能判定这个平行四边形为菱形的是（     ） A． B． C． D． 变式2．（25-26九年级上·卡·阶段检测）要使如图所示的成为菱形，需增加的一个条件是（     ） A． B． C．平分 D． 变式3．（25-26九年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，在四边形ABCD中，AB与CD不平行，E、F分别是AD、BC的中点，G、H分别是BD、AC的中点，当AB、CD满足条件 _______时，有EF⊥GH ． 2 学科网（北京）股份有限公司 $证明四边形是菱形、添一个条件使四边形是菱形讲义 证明四边形是菱形、添一个条件使四边形是菱形讲义 考点目录 证明四边形是菱形 添一个条件使四边形是菱形 考点一 证明四边形是菱形 【知识点解析】 一、核心知识点 菱形的判定遵循“分层判定”逻辑：可以先证明四边形是平行四边形，再补充菱形专属条件；也可以直接通过边、对角线的完整条件，直接判定任意四边形为菱形。 1. 平行四边形基础上的判定（需先证平行四边形） · 定义判定：有一组邻边相等的平行四边形是菱形。 · 对角线判定：对角线互相垂直的平行四边形是菱形。 1. 直接判定任意四边形为菱形（无需先证平行四边形） · 边判定：四条边都相等的四边形是菱形。 · 对角线判定：对角线互相垂直且平分的四边形是菱形（本质：对角线互相平分→平行四边形，+对角线垂直→菱形）。 1. 判定核心逻辑：菱形必须同时满足“平行四边形的共性”和“邻边相等/对角线垂直”的特性；四边相等、对角线垂直平分本身已经包含了平行四边形的构成条件，可直接判定。 二、解题思路 根据已知条件的类型，选择最短的判定路径： 1. 已知边相关条件 · 若条件覆盖四条边：优先证明四条边长度全部相等，直接用“四边相等的四边形是菱形”判定，无需额外证平行四边形。 · 若条件仅涉及两组对边关系：先通过“两组对边分别平行/相等/一组对边平行且相等”证明四边形是平行四边形；再证明一组邻边相等，用定义判定菱形。 1. 已知对角线相关条件 · 若仅已知对角线垂直：先证明对角线互相平分（即先证平行四边形），再结合垂直关系，用“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”判定。 · 若已知对角线同时具备平分和垂直特征：直接用“对角线互相垂直且平分的四边形是菱形”一步判定。 1. 已知角/角平分线相关条件 · 利用“角平分线 + 平行线 → 等腰三角形”的经典模型，推导得到一组邻边相等； · 先结合角的等量关系证明四边形是平行四边形，再搭配邻边相等的结论，用定义判定菱形。 1. 通用证明步骤 ① 分析已知条件，确定判定路径：直接判定四边形，还是先证平行四边形再升级为菱形； ② 逐步推导判定定理所需的全部条件，每一步都要有几何依据； ③ 结合对应判定定理，写出最终结论。 【例题分析】 例1．（25-26九年级上·广东佛山·期中）已知：如图，四边形是菱形，两条对角线相交于点O，为的平分线，交于点E，为的平分线，交于点F，连接，．求证：四边形是菱形． 【答案】证明：∵四边形是菱形， ∴，，， ∴， ∵为的平分线，为的平分线， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵，即， ∴四边形是菱形． 【分析】先证明，得出，再证明四边形是平行四边形，最后结合，即，即可得证． 【详解】略． 例2．（25-26九年级上·四川成都·阶段检测）如图，在四边形中，平分． (1)求证：四边形是菱形； (2)若的周长为18，求菱形的面积． 【答案】(1)证明：设与交于点O，如图所示： ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为菱形； (2)24 【分析】（1）由角平分线的定义得，由平行线的性质得，，根据等腰三角形的判定得出，证明，得出，先证明四边形为平行四边形，再证明四边形为菱形； （2）先根据菱形的性质得出，，，，再根据的周长为18，得出，根据勾股定理求出，最后根据菱形的面积公式求出结果即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵四边形是菱形， ∴，，，， ∵的周长为18， ∴， ∴， 在中，根据勾股定理得：， ∴， ∴菱形的面积为． 例3．（25-26九年级上·河南驻马店·阶段检测）【问题原型】如图，在中，对角线的垂直平分线交于点F，交于点E，交于点O．求证：四边形是菱形． 【小海的证法】证明：∵是的垂直平分线， ∴．（第一步） ，（第二步） ．（第三步） 四边形是平行四边形．（第四步） ∴四边形是菱形（第五步） 【老师评析】小海利用对角线互相平分证明了四边形是平行四边形，再利用对角线互相垂直证明它是菱形，可惜有一步错了 【挑错改错】 (1)小海的证明过程在第__________步上开始出现了错误． (2)请你根据小海的证题思路写出此题的正确解答过程． 【答案】(1)二 (2)证明：∵四边形是平行四边形， ∴． ∴， ∵是的垂直平分线， ∴，，且，， ∴， ∴，且， ∴四边形是平行四边形， ∵． ∴四边形是菱形． 【分析】（1）由垂直平分线的性质可求解； （2）由可证，可得，且，，由菱形的判定可证四边形是菱形． 【详解】（1）解：∵是的垂直平分线， ∴，，， ∴第二步出现错误； （2）略 【变式训练】 变式1．（2026·山东泰安·模拟预测）如图，为的对角线． (1)作对角线的垂直平分线，分别交，，于点E，F，O（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)连接，，求证：四边形为菱形． 【答案】(1)解：如图，直线即为所求； (2)证明：∵垂直平分， ∴，，， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴． ∴四边形是菱形． 【分析】（1）按照垂直平分线的作法作图即可； （2）证，得到，根据垂直平分线的性质证四边相等即可． 【详解】（1）略 （2）略 变式2．（25-26九年级上·陕西西安·阶段检测）如图，在四边形中，为上一点且，连接交于点O，平分． (1)求证：四边形为菱形； (2)若，求四边形的面积． 【答案】(1)证明：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； (2) 【分析】（1）由平行加平分角可得，可得四边形是平行四边形，由已知条件即可证明； （2）设菱形的边长为，在中，利用勾股定理建立方程求出菱形的边长即可求解． 【详解】（1）证明：略； （2）解：由于四边形为菱形，故设菱形的边长为， 则，， ∵，， ∴由勾股定理得，， 即， 解得， 即， ∴四边形的面积为． 变式3．（25-26九年级上·湖北十堰·阶段检测）如图，为平行四边形的对角线，点为的中点． (1)尺规作图：过点作的垂线，分别交，于点，，连接，（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，证明四边形为菱形． 证明：为中点，， ①________，． ． 四边形为平行四边形， ． ②________． ． ， ． 在与中， ． ④________． ． 四边形为菱形． 【答案】(1) (2)①；②；③；④ 【详解】（1）解：以点为圆心，以任意长为半径作弧，交于两点，以该两点分别为圆心，以大于该两点之间的距离为半径作弧，两弧交于一点，过该点与点作直线，分别交，于点，，连接，． （2）解：为中点，， ，． ． 四边形为平行四边形， ． ． ． ， ． 在与中 ． ． ． 四边形为菱形． 考点二 添一个条件使四边形是菱形 【知识点解析】 一、核心知识点 这类题型的核心原则：前提不同，所需添加的条件不同。必须先看清题干给出的四边形基础条件，再对应菱形判定定理，补充恰好缺失的核心条件，条件需充分且不冗余。 按常见题干前提分类： 1. 最高频前提：已知四边形是平行四边形 只需补充菱形特有的一个条件即可，常见答案： · 边类：一组邻边相等（或某条边等于其邻边，如 ）； · 对角线类：对角线互相垂直（如 ）； · 衍生类：一条对角线平分一组对角。 1. 前提：已知是任意四边形 需要添加包含完整判定要素的一个条件，常见答案： · 边类：四条边都相等； · 对角线类：对角线互相垂直且平分。 1. 常见中间前提（部分条件已满足） · 前提：对角线互相平分的四边形 → 添：对角线互相垂直； · 前提：有一组邻边相等的四边形 → 添：四边形是平行四边形（或两组对边分别平行等）； · 前提：对角线垂直的四边形 → 添：对角线互相平分。 注：此类题目答案不唯一，只要符合判定定理、能充分推出菱形即可，优先写教材判定定理对应的标准条件。 二、解题思路 1. 定基础：先梳理题干已经给出的条件，判断当前四边形满足了什么层级的性质：是已经是平行四边形，还是仅满足部分边/对角线条件。 1. 找缺失：对照菱形判定定理，定位还缺少的核心要素： · 已经是平行四边形：缺“邻边相等”或“对角线垂直”，二选一即可； · 是任意四边形：缺“四边相等”或“对角线垂直平分”完整条件。 1. 写条件：写出最直接、最标准的条件，优先使用教材原文的判定表述。 1. 验充分性：将添加的条件代回题干，结合已知条件推导，验证能否完整推出菱形，确保条件不多余、不欠缺。 【例题分析】 例1．（25-26九年级上·陕西榆林·阶段检测）已知四边形是平行四边形，添加下列一个条件，可以使平行四边形为菱形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行四边形的性质和菱形的判定定理逐一判断即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，故B、D不符合题意； 当时，不能判定四边形是菱形，故A不符合题意； 当时，可以根据对角线垂直的平行四边形是菱形证明四边形是菱形，故C符合题意． 例2．（25-26九年级上·浙江台州·阶段检测）如图，已知，对角线，相交于点，则添加下列条件不能判定是菱形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据菱形的判定定理逐项判断，即可求解． 【详解】解：A、添加，能判定是菱形，故本选项不符合题意； B、添加， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是菱形，故本选项不符合题意； C、添加，能判定是菱形，故本选项不符合题意； D、添加，不能判定是菱形，故本选项符合题意； 例3．（25-26九年级上·河南三门峡·期中）如图，在四边形中，，于点O．请添加一个条件：_______，使四边形为菱形． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了菱形的判定定理，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，因此只需要添加条件使得四边形是平行四边形即可． 【详解】解：添加条件，证明如下： ∵，， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴平行四边形是菱形， 故答案为：（答案不唯一）． 【变式训练】 变式1．（25-26八年级下·广东珠海·期末）在平行四边形中，下列条件能判定这个平行四边形为菱形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据菱形的判定定理，即可进行解答． 【详解】解：A、平行四边形中，本来就有，故选项不符合题意； B、平行四边形中，，即对角线相等，则四边形是矩形，故选项不符合题意； C、平行四边形中，，即，则四边形是矩形，故选项不符合题意； D、平行四边形中，，即对角线垂直，则四边形是菱形，故选项符合题意； 变式2．（25-26九年级上·卡·阶段检测）要使如图所示的成为菱形，需增加的一个条件是（     ） A． B． C．平分 D． 【答案】C 【详解】解：、由，则是矩形，故不符合题意； 、由，不能判定是菱形，故不符合题意； 、由平分，则，因为，所以，所以，所以，则是菱形，故符合题意； 、由，不能判定是菱形，故不符合题意； 变式3．（25-26九年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，在四边形ABCD中，AB与CD不平行，E、F分别是AD、BC的中点，G、H分别是BD、AC的中点，当AB、CD满足条件 _______时，有EF⊥GH ． 【答案】AB=CD 【分析】当AB=CD时，有EF⊥GH，连接GE、GF、HF、EH，根据三角形的中位线定理可得EG=GF=FH=EH，则四边形EFGH是菱形，最后利用菱形的性质即可． 【详解】解：当AB=CD时，有EF⊥GH，理由如下： 如图所示，连接GE、GF、HF、EH． ∵E、G分别是AD、BD的中点， ∴EG是△ABD是中位线 ∴EG=AB， 同理HF=AB，FG=CD，BH=CD． 又∵AB=CD ∴EG=GF=FH=EH． ∴四边形EFGH是菱形 ∴EF⊥GH． 故答案为：AB=CD． 2 学科网（北京）股份有限公司 $