专题4.4 一次函数的图象（高效培优讲义）数学新教材北师大版八年级上册
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精品
内容正文：
专题4.4 一次函数的应用
教学目标
1.理解一元一次方程与一次函数的联系，知道直线与 x 轴交点横坐标对应方程的解。
2.掌握一次函数实际问题建模步骤，会建立函数解析式，确定自变量的取值范围。
3.能够读懂实际情境函数图象，理解起点、拐点、终点的现实含义，解决行程问题。
4.会利用一次函数增减性求解利润、方案选择类问题，选出符合题意的最优方案。
教学重难点
重点：
1.掌握一次函数与一元一次方程的关系，会求直线与 x 轴交点，求解对应方程。
2.建立一次函数模型解决实际问题，能结合题意正确写出解析式与自变量范围。
3.运用增减性分析利润、方案选择，读懂行程图象关键点，完成相关计算。
难点：
1.理解函数与方程的转化关系，区分方程的解和直线与坐标轴的交点坐标。
2.结合实际条件确定自变量取值范围，做题容易忽略现实限制造成结果出错。
3.综合运用增减性、图象、方程，处理方案选择和利润最值类综合应用题。
知识点01一元一次方程与一次函数的关系
直线与轴交点的横坐标，就是一元一次方程的解。
1.求直线与轴交点：令，得到方程；
2.解方程，得；
3.直线与轴交点坐标为。
【即学即练】
1．若是关于x的方程的解，则一次函数的图象与轴的交点坐标是( )
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
【详解】解：∵是方程的解，
∴，即．
令，即，
代入，得，
∴，
∵，
∴，解得．
∴交点坐标为．
故选：D．
2．若关于的方程的解是，则直线一定经过点（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：方程的解是，
当时，，
直线一定经过点．
知识点02一次函数的实际应用
1.解题建模基本思路
解决实际问题，先分析题意，找出题目中的常量、自变量、因变量，建立一次函数模型。
建立解析式之后，结合方程、不等式、函数图象以及函数增减性完成求解。
注意：实际问题必须确定自变量的取值范围，取值要符合现实情境。
2.常见实际问题类型
（1）方案选择问题
写出不同方案对应的函数解析式，结合自变量取值范围，比较函数值大小，选出最优方案。
（2）行程类问题
一次函数图象中，对应运动速度；读懂图象的起点、拐点、终点，理解每个关键点代表的实际意义。
（3）利润最值问题
常用公式：。
利用一次函数的增减性，在自变量允许的取值范围内，求利润的最大值或最小值。
【即学即练】
3．汽车离开A站后，又以的速度匀速行驶了．此时，汽车离开A站的路程为．s与t之间的函数关系式为______________．
【答案】
【详解】解：∵汽车离开A站的初始路程为，匀速行驶的速度为，行驶时间为，
∴匀速行驶的路程为，
∴总路程等于初始路程加行驶路程，可得，
整理得.
4．为筹备校园科技节，某学校计划采购机器人模型和电子元件套装用于学生实践活动，需购买两种物品共60件，其中：机器人模型单价120元/件，电子元件套装单价40元/件．为保障活动质量，要求机器人模型数量不少于电子元件套装的1.5倍，且电子元件套装至少购买10件．设购买机器人模型的数量为x件，总费用为y元．请回答以下问题：
(1)写出总费用y与x的函数关系式；
(2)在满足题中条件的情况下，如何购买能使总费用最低？最低费用是多少？
【答案】(1)
(2)购买机器人模型的数量为36件，电子元件套装24件，总费用最低，最低费用5280元
【分析】
【详解】（1）解：∵购买机器人模型的数量为件，购买两种物品共60件，
∴购买电子元件套装的数量为件，
∵机器人模型单价120元/件，电子元件套装单价40元/件，
∴；
（2）解：∵机器人模型数量不少于电子元件套装的倍，且电子元件套装至少购买10件，
∴，解得
，，
总费用随的增大而增大，
当时，（件），
此时（元）．
购买机器人模型的数量为36件，电子元件套装24件，总费用最低，最低费用5280元．
题型01利用直线与坐标轴交点求一元一次方程的解
【例1】直线经过点和点，则方程的解是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：直线经过点，
当时，，
方程的解是．
【例2】如图，正比例函数的图象向上平移4个单位，恰好与一次函数的图象重合，则关于的方程的解是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：∵正比例函数的图象向上平移4个单位，恰好与一次函数的图象重合，
∴一次函数的解析式为，
令，则，
解得，
∴关于的方程的解是．
【变式1-1】已知函数（）的图象经过点，则关于x的方程的解为______．
【答案】
【详解】解：函数（）的图象经过点，
当时，，
关于的方程的解为.
【变式1-2】如图是一次函数的图象，则关于的方程的解为__________．
【答案】
【详解】解：∵一次函数的图象与x轴相交于点，
∴关于x的方程的解是．
【变式1-3】如图，已知一次函数的图象是一条直线，则关于x的方程的解为________．
【答案】2
【详解】解：∵一次函数的图象与x轴的交点坐标为，
∴关于x的方程的解为．
题型02根据一元一次方程的解确定直线与x轴交点坐标
【例3】已知关于的方程的解为，则一次函数的图象与轴交点的坐标为___________．
【答案】（-5，0）
【详解】解：∵关于的方程的解为，
∴一次函数的图象与轴交点的坐标为（-5，0），
故答案为：（-5，0）．
【点睛】本题考查了一次函数与一元一次方程的关系，熟练掌握两者之间的关系是解题的关键．
【例4】已知关于x的方程的解为，则一次函数的图象与x轴的交点坐标为______．
【答案】
【分析】
【详解】解：∵关关于x的方程的解为，
∴，
解得：．
∴一次函数为，
令，得．
解得：，
∴一次函数与x轴交点的坐标为．
故答案为．
【变式2-1】已知方程的解是，则函数的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：因为方程的解是，
所以函数的图象与x轴的交点坐标为，
所以C选项符合题意．
故选：C．
【变式2-2】直线上有一点的坐标是，则关于的方程的解是_______．
【答案】
【详解】解：∵直线上有一点的坐标是，
∴当时，，
∴方程的解是，
故答案为：．
【变式2-3】将直线沿y轴向上平移4个单位后，与x轴的交点坐标是__________．
【答案】
【详解】解：由“上加下减”的原则可知，将函数的图象向上平移4个单位长度所得函数的解析式为，
∵此时与x轴相交，则，
∴，即，
∴与x轴的交点坐标是．
故答案为：
题型03借助一次函数图象求解一元一次方程
【例5】在平面直角坐标系中，一次函数（，为常数，且）与正比例函数（为常数，且）的图象如图所示，则关于的方程的解为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
【详解】解：由图象可知，当时，，
即，
关于的方程的解为．
故选：A．
【例6】如图，一次函数的图象分别与轴交于两点．若，，则关于的方程的解为_________．
【答案】
【详解】解：∵一次函数的图象与轴交于，，
∴关于的方程的解为．
【变式3-1】在平面直角坐标系中，一次函数，均为常数）与正比例函数（为常数）的图象如图所示，则关于的方程的解为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：对方程移项变形：
，
方程的几何意义：正比例函数与一次函数的函数值相等．
由图象可知，直线和的交点坐标为，交点横坐标为．
因此方程的解为．
【变式3-2】如图，一次函数（a，b为常数且）与正比例函数（k为常数且）的图象交于点，则关于的方程的解是_____．
【答案】
【详解】解：方程等价于求时的取值，对应两个函数图像的交点横坐标．
由图可知，直线与的交点坐标为，该点横坐标为．
因此当时，成立，方程的解是．
【变式3-3】如图，一次函数（k为常数且）和的图象相交于点A，根据图象可知关于x的方程的解是______．
【答案】
【详解】解：由图象可知，关于x的方程的解是.
题型04一次函数实际应用——分配方案优选问题
【例7】A城有肥料，B城有肥料．现要把这些肥料全部运往C、D两乡．从A城往C、D两乡运肥料的费用分别为20元/和25元/；从B城往C、D两乡运肥料的费用分别为15元/和24元/．现C乡需要肥料，D乡需要肥料．若从A城运往C乡的肥料为，总运费为元．
(1)用含的代数式表示从A城运往D乡的肥料；
(2)写出总运费与之间的函数关系式；并写出的取值范围．
(3)怎样调运可使总运费最少？
【答案】(1)
(2)
(3)从A城运往C乡，运往D乡，从B城运往C乡，运往D乡时，总运费最少，最少为10040元
【分析】
【详解】（1）解：从A城运往D乡的肥料为；
（2）解：从B城运往C乡的肥料为，
从B城运往D乡的肥料为，
∴
（3）解：的一次项系数为，
随的增大而增大，
又
当取最小值0时，取得最小值，最小值为（元），
此时，
答：从A城运往C乡，运往D乡，从B城运往C乡，运往D乡时，总运费最少，最少为10040元．
【例8】某蛋糕店为储存蜂蜜选购玻璃罐，现有如下信息：
信息1 蛋糕店有36kg蜂蜜需储存，要求买来的玻璃罐刚好全部装满；
信息2 超市有甲，乙两种型号的玻璃罐，其容量和单价如下表：
型号
甲
乙
单个容量（千克）
2
3
单价（元）
13
18
超市促销方案：购买甲型号玻璃罐超过10个时，超过10个的部分打八折（注意：乙型号玻璃罐不打折）．设购买甲型号玻璃罐个，购买乙型号玻璃罐个，所需总费用为元．
(1)当时，的值为________；
(2)求关于的函数关系式；
(3)求购买玻璃罐所需的最少费用，并写出购买方案．
【答案】(1)
(2)
(3)购买甲种玻璃罐18个，乙种玻璃罐0个时所需费用少，为213.2元
【分析】
【详解】（1）解：由题意可知，，当时，；
（2）解：由（1）可知，，为3的倍数，
当时，
，
当时，
综上， ；
（3）解：当时，，随的增大而增大，
∴当时，；
当时，，随的增大而减小，
∴当时，．
综上，购买甲种玻璃罐18个，乙种玻璃罐0个时所需费用少，为213.2元．
【变式4-1】暑假期间，两位家长计划带领若干名学生到白银旅游，探访黄河石林和火焰山矿山公园，并体验当地非遗文化．他们咨询了两家旅行社，报价均为每人500元（含景区门票及特色活动）．
甲旅行社：两位家长全额收费，学生享受七折优惠．
乙旅行社：全体成员（含家长）均享八折优惠．
请解答以下问题：
(1)设学生数为人，甲旅行社收费为元，则函数关系式______；
设学生数为人，乙旅行社收费为元，则函数关系式______．
(2)若家长希望学生深入了解白银的生态保护与非遗传承，应如何根据学生人数选择旅行社？通过计算说明理由．
【答案】(1)；
(2)学生数人时，两家旅行社均可；学生数人时，选甲旅行社；学生数人时，选乙旅行社，理由如下：
分三种情况比较费用：
当时，，解得；
当时，，解得；
当时，，解得．
综上所述，学生数人时，两家旅行社均可；学生数人时，选甲旅行社；学生数人时，选乙旅行社．
【分析】
【详解】（1）解：学生数为人，甲旅行社收费为元，则，
即；
学生数为人，乙旅行社收费为元，则，即．
故答案为：；；
（2）略
【变式4-2】某校一课外小组准备进行“绿色环保”的宣传活动，需要制作宣传单，校园附近有甲、乙两家印刷社，制作此种宣传单的收费标准如下表所示：
甲印刷社收费y（元）与印制数x（张）的函数关系如下表：
甲 印 刷 社
0.15元/张
乙印刷社
500张以内（含500张）
0.20元/张
超过500张部分
0.10元/张
(1)若该小组在甲、乙两家印刷社共印制400张宣传单，用去65元，问甲、乙两家印刷社各印多少张？
(2)若印刷费用为y元，请直接写甲、乙两家印刷社费用与宣传单张数x之间的函数关系式，并说明选择哪家印刷社比较划算．
【答案】(1)在甲印刷社印刷300张，在乙印刷社印刷100张
(2)甲印刷社：，乙印刷社：，时选择甲印刷社划算；，选择两家印刷社一样划算；，选择乙印刷社划算．
【分析】
【详解】（1）解：设甲、乙两家印刷各印了、张宣传单，
，解得，
答：在甲印刷社印刷300张，在乙印刷社印刷100张；
（2）甲印刷社：，
乙印刷社：，
当时，，选择甲印刷社；
当时，若，得，即，选择甲印刷社划算；
若，得，即，选择两家印刷社一样划算；
若得，即，选择乙印刷社划算．
综上所述，时选择甲印刷社划算；
，选择两家印刷社一样划算；
，选择乙印刷社划算．
【变式4-3】某外卖平台招聘外卖骑手，并提供了如下两种月工资方案：
方案一：每月底薪1500元，每完成一单外卖业务再提成3元．
方案二：每月无底薪，每完成一单外卖业务提成6元．
设骑手每月完成的外卖业务量为单（为正整数），方案一，方案二中骑手的月工资分别为元，元．
(1)分别写出，关于的函数解析式；
(2)若李明是此外卖平台的一名骑手，从月工资收入的角度考虑，他应该选择哪种月工资方案？说明理由．
【答案】(1)（x为正整数），（x为正整数）
(2)每月完成订单不足单选方案一；每月恰好完成单，两种方案均可；每月完成订单超过单选方案二．理由如下:
①当时，，解得，
∴当月完成订单数量小于单时，方案一月工资更高．
②当时，，解得，
∴当月完成单时，两种方案月工资相等．
③当时，，解得，
∴当月完成订单数量大于单时，方案二月工资更高．
【分析】
【详解】（1）解：根据题意，得关于的函数解析式为（为正整数），
关于的函数解析式为（为正整数）；
（2）略
题型05一次函数实际应用——最大利润求解问题
【例9】某文具店计划购进甲、乙两种笔记本共100本，这两种笔记本的进价、售价如表：
类型
进价/（元/本）
售价/（元/本）
甲种
3
4.5
乙种
5
7
受市场需求限制，乙种笔记本的进货数量不超过甲种笔记本进货数量的2倍，设文具店购进甲种笔记本x本，销售完这批笔记本的总利润为y元．
(1)求y与x之间的函数关系式．
(2)应如何安排进货，才能使销售完这批笔记本的利润最大，最大利润为多少元？
【答案】(1)
(2)购进甲种笔记本34本，乙种笔记本66本时利润最大，最大利润为183元
【分析】
【详解】（1）解：由题意可知，购进甲种笔记本本，则购进乙种笔记本本，
甲每本利润为元，乙每本利润为元，
总利润，
因此与的函数关系式为，
（2）解：由函数可知，系数，
∴随的增大而减小，
∴当取最小值时，可取得最大值，
根据题意列不等式组：，
解得，且为正整数，
，为正整数，
的最小取值为，此时，
将代入函数得最大利润：（元）
答：购进甲种笔记本34本，乙种笔记本66本时，销售完这批笔记本的利润最大，最大利润为183元．
【例10】某校八年级举行数学知识应用竞赛，购买A，B两种笔记本作为奖品，这两种笔记本的单价分别为20元和18元．根据竞赛设奖情况，需购买两种笔记本共30本，设买A种笔记本（且为正整数）本，买两种笔记本的总费用为元．
(1)写出（元）关于（本）的函数关系式；
(2)若商场正在进行促销活动，A种笔记本每本降价元（），B种笔记本价格不变，请你帮学校设计购买方案，使所花费用最省？并求出最少费用．
【答案】(1)（且为正整数）
(2)当时，购买A种笔记本8本，B种笔记本22本费用最省，最少费用为元；当时，任意购买本A种笔记本总费用都为540元；当时，购买A种笔记本11本，B种笔记本19本费用最省，最少费用为元
【分析】
【详解】（1）解：根据题意得：，
即（元）关于（本）的函数关系式为且x为正整数；
（2）解：∵且为正整数，
∴x取8，9，10，11，
，根据题意得：，
当，即时，W随x的增大而增大，
此时当时，W取得最小值，为，
即购买A种笔记本8本，B种笔记本22本费用最省，最少费用为元；
当，即时，任意购买本A种笔记本总费用都为540元；
当，即时，W随x的增大而减小，
此时当时，W取得最小值，为，
即购买A种笔记本11本，B种笔记本19本费用最省，最少费用为元；
综上所述，当时，购买A种笔记本8本，B种笔记本22本费用最省，最少费用为元；当时，任意购买本A种笔记本总费用都为540元；当时，购买A种笔记本11本，B种笔记本19本费用最省，最少费用为元．
【变式5-1】呼和浩特被誉为“中国乳都”，以乳业为发展引擎，凭借优质乳业书写城市传奇、铸就辉煌．其中牛奶贝因其味道醇美且容易携带而深受外地游客欢迎．某特产店销售、两款牛奶贝，结合材料解决问题
内容
材料一
某特产店购进，两款牛奶贝进行销售，、两款牛奶贝的售价分别为32元/袋和25元/袋，款牛奶贝的进价为22元/袋，款牛奶贝的进货总金额y（单位：元）与款牛奶贝的进货量x（单位：袋）之间的关系如图所示．
材料二
为了满足市场需求，七月份该特产店计划采购这两款牛奶贝共1000袋，其中款牛奶贝的进货量不低于300袋，且不高于600袋．
任务：
(1)求y关于x的函数解析式．
(2)若采购的所有牛奶贝能全部售出，设销售完、两款牛奶贝获总利润为（单位：元），请求出关于x的函数解析式，并为该特产店设计出获得最大总利润的进货方案．
【答案】(1)
(2)，进款牛奶贝300袋，款牛奶贝700袋，该特产店能获得最大利润
【分析】
【详解】（1）解：设函数解析式为，
由图可知直线穿过原点，当时，，
可得，
解得，
所以y关于x的函数解析式为；
（2）解：由材料2可得，
，
化简得，
∵，
∴随增大而减小，
∴当时，有最大值为8500，
答：进款牛奶贝300袋，款牛奶贝700袋，该特产店能获得最大利润．
【变式5-2】哈国客商准备在乌鲁木齐采购一批特色商品，经调查，A型商品的进价是160元/件，B型商品的进价是150元/件．
(1)若该哈国客商购进A，B型商品共250件进行试销，其中A型商品的件数不大于B型的件数，且不小于80件，已知A型商品的售价为240元/件，B型商品的售价为220元/件，且全部售出．设购进A型商品m件，求该客商销售这批商品的利润与之间的函数解析式，并写出的取值范围；
(2)在（1）的条件下，哈国客商决定在试销活动中每售出一件A型商品，就从一件A型商品的利润中捐献慈善资金元．求该客商售完所有商品并捐献慈善资金后获得的最大收益．
【答案】(1)，，m为正整数
(2)当时，最大收益为元；当时，最大收益为元；当时，最大收益为元
【分析】
【详解】（1）解：因为客商购进A型商品m件，所以客商购进B型商品件，
A型商品每件利润为（元），B型商品每件利润为（元）．
由题意：，
∴，
∵，
∴；
∴该客商销售这批商品的利润与m之间的函数解析式是：
，m为正整数．
（2）解：由（1）得：
①当时，即时，随m的增大而增大，所以时，最大利润为元；
②当时，即时最大利润为17500元；
③当时，即时，随m的增大而减小，
∵，
所以时，最大利润为元．
【变式5-3】洛阳依托文旅特色打造夜间文旅消费市场，鼓励商户拓展线下外摆经营．商户小王借此售卖牡丹手工皂与牡丹瓷书签两款特色文创产品，两款文创的进价、售价如下表：
类型
牡丹手工皂
牡丹瓷书签
进价/（元/件）
售价/（元/件）
小王计划购进牡丹手工皂与牡丹瓷书签两种商品共件进行销售，设小王购进牡丹手工皂件，两种商品全部销售完后获得的总利润为元．
(1)求与之间的函数关系式；
(2)若牡丹瓷书签的进货数量不少于牡丹手工皂的倍，当购进两种商品各多少件时，可使得两种商品全部销售完后获得的总利润最大？并求出最大的总利润．
【答案】(1)（，且为整数）
(2)当购进牡丹手工皂件，牡丹瓷书签件时，总利润最大，最大总利润为元．
【分析】
【详解】（1）∵小王购进牡丹手工皂与牡丹瓷书签两种商品共件，购进牡丹手工皂件，
∴小王购进牡丹瓷书签件，
∴由题意可得，
整理得：（，且为整数）；
（2）∵牡丹瓷书签的进货数量不少于牡丹手工皂的倍，
∴，解得，
∴
∵，，
∴当时，有最大值，即的最大值为，
∴，
∴当购进牡丹手工皂件，牡丹瓷书签件时，总利润最大，最大总利润为元．
题型06一次函数实际应用——行程图象分析问题
【例11】图中的折线表示刘伟骑车离家的距离y与时间x的关系．他离开家，回到家．请你根据这个折线图回答下列问题：
(1)何时刘伟离家最远？这时刘伟离家多远？
(2)何时刘伟开始第一次休息？休息多长时间？这时刘伟离家多远？
(3)刘伟骑了多少千米？
(4)刘伟在和的平均速度各是多少？
(5)刘伟返家时的平均速度是多少？
(6)时刘伟离家多远？回家路上，何时刘伟距家？
【答案】(1)刘伟在期间离家最远，此时离家；
(2)开始第一次休息，休息时长为30分钟，此时离家；
(3)；
(4)平均速度为，平均速度为；
(5)；
(6)时刘伟离家，回家路上，时刘伟距家．
【详解】（1）略；
（2）解：时刘伟离家距离不再增加，开始第一次休息；到时继续骑行，休息时长为30分钟，此时离家；
（3）解：时刘伟离家，时离家，这段时间骑行的距离为；
（4）解：共1.5小时，骑行了，平均速度为；
共2小时，骑行的总距离是，平均速度为；
（5）解：返家从开始，到家，总时长2小时，返程总路程，平均速度为；
（6）解：时刘伟离家；
返程速度为，距家时，已经骑行的路程为，
对应的返程用时为小时小时44分钟，
因此时间为加1小时44分钟，即．
【例12】一森林警察驾驶警车沿森林公路巡逻，在公路旁的某加油站加满油后，以的速度匀速行驶．已知警车加满油后，油箱中的余油量与行驶时间之间的函数关系图象是如图所示的直线l的一部分．
(1)求直线l的函数表达式．
(2)警车加满油时，油箱中的油量是多少升？
(3)已知警车往返的耗油量相同．若要求警车按原路返回加油站时油箱中的余油量不少于，则其巡逻的最远路程是多少千米？
【答案】(1)（）；
(2)警车加满油时油箱中的油量是升；
(3)巡逻的最远路程是千米．
【分析】
【详解】（1）解：设直线l的解析式为（），
由图可知直线过点和，
将两点代入解析式得：
解得，
因此直线l的函数表达式为（）；
（2）解：警车加满油对应行驶时间的时刻，
将代入函数表达式得：，
即加满油时油箱有60升油；
（3）解：∵要求返回后余油量不少于，
∴往返总耗油量不大于，
即单程耗油量不大于，
，
当时，
解得，
即警车最远开出的单程时间为，
∵警车速度为，
∴最远单程路程为．
【变式6-1】甲、乙两同学从地出发，骑自行车在同一条路上行驶到地，他们离出发地的距离和行驶时间之间的函数关系的图象如图所示．根据图中提供的信息，有下列说法：①他们都行驶了；②甲车停留了；③乙比甲晚出发了；④相遇后甲的速度小于乙的速度；⑤甲、乙两人同时到达目的地．其中符合图象描述的说法有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】B
【详解】解：说法①，纵坐标轴表示甲、乙行驶的路程，可以看出两人都行驶了，符合题意；
说法②，在横坐标轴上可以看到，甲在至之间为水平线，纵坐标无变化，即停留了，符合题意；
说法③，在横坐标轴上可以看到乙比甲晚出发了，不符合题意；
说法④，甲、乙在时相遇，相遇后甲直线的倾斜程度小于乙直线的倾斜程度，即甲的速度小于乙的速度，符合题意；
说法⑤，乙比甲早到达目的地，不符合题意；
由此可见，①、②、④符合图象描述，故选B．
【变式6-2】某海岸线上有A，B两个港口，一艘轮船从A港口出发，沿海岸线匀速前往B港口．设该轮船行驶的时间为，距B港口的路程为．y与x之间的函数关系如图所示．
(1)求y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围．
(2)求轮船行驶时与B港口之间的路程．
【答案】(1)，
(2)
【分析】
【详解】（1）解：设y与x之间的函数关系式为，把和代入，得
，
解得，
∴．
由图象可知，；
（2）解：把代入，得
，
∴轮船行驶时与B港口之间的路程为．
【变式6-3】甲、乙两车从A地驶向B地，并以各自的速度匀速行驶，甲车比乙车早行驶2h，并且甲车途中休息了0.5h，如图是甲乙两车行驶的距离y（km）与时间x（h）的函数图像．
(1)，；
(2)求甲车休息后行驶路程y（km）与时间x（h）的函数解析式；
(3)在乙车行驶过程中，当两车之间的距离为50km时，直接写出x的值．
【答案】(1)1，40
(2)
(3)，
【分析】
【详解】（1）解：∵甲车途中休息了0.5h，
∴，
观察图象可知，甲车的行驶速度为：，
当时间时，行驶的路程为：；
（2）解：观察图象可知，甲车休息后行驶路程y（km）与时间x（h）满足一次函数关系，
设，
将、代入得，
解得，
∴；
（3）解：设，
将、代入得，
解得，
∴；
，
化简得，
解得，．
题型07一次函数与几何相结合的综合计算问题
【例13】如图，一次函数的图象经过点，，则的面积为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【详解】解：当时，，
∴，
当时，，解得：，
∴，
当时，，解得：，
∴一次函数与轴交点，如图所示：
过点作轴，过点作轴，
∴，，，
∴．
【例14】如图，直线与x轴交于点A、与y轴交于点B，与经过原点的直线相交于点；
(1)直接写出点B的坐标为________；
(2)求出的面积；
(3)在直线上是否存在点M，使？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】(1)
(2)5
(3)或
【分析】
【详解】（1）解：在中，当时，，
∴点B的坐标为；
（2）解：∵点B的坐标为，
∴，
∵，
∴；
（3）解：由（2）得，，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，当时，，
在中，当时，，
∴点M的坐标为或．
【变式7-1】如图①，在四边形中，，，点从点出发，以每秒个单位长度的速度按的顺序在边上匀速运动，设点的运动时间为秒，的面积为，关于的函数图象如图②所示，（1）的长为_______．（2）当点运动到中点时，的面积为_______．
【答案】 8 20
【详解】解：（1）由图象可知，，，
；
（2）当时，点运动到点时，此时，
，
，
，，
，
由图象可知，当点运动到点时，；
，
，此时，
，
点运动到中点，
，此时，
当时，设，
将点和代入得，
解得：，
，
当时，，
即当点运动到中点时，的面积为20．
【变式7-2】如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，B、C两点分别在x轴、直线上运动．若以为直角边的为等腰直角三角形，求点C的坐标．
【答案】或或．
【详解】解：当时，，
点A的坐标为，
点的横坐标为，
将代入，得，
；
当时，，
设，则，
，，
，
解得：或，
或，
综上可知，点C的坐标为或或．
．
【变式7-3】一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点．
(1)求出，两点的坐标．
(2)坐标轴上有一点，，求出一个点的坐标，其余的点直接写出答案．
【答案】(1)，
(2)点坐标为，，，
【分析】
【详解】（1）解：将代入，得
，
点坐标为．
将代入，得
，
解得，
点坐标为；
（2）解：①当点在轴上时，设，
的长度为， 上的高为点到轴的距离，即高为，
，
，
，
解得或，
点坐标为或；
②当点在轴上时，设，
的长度为， 上的高为点到轴的距离，即高为，
，
，
，
解得或，
点坐标为或．
综上，符合条件的点坐标为，，，．
一、单选题
1．学校组织寄递爱心包裹，两家快递公司给出了不同的计费方案．甲公司的方案是：按包裹重量计费，每千克 元，无起步价；乙公司的方案是：收取 元基础服务费，之后每千克元．若设包裹重量为千克，总费用为 元，两家公司的费用分别用一次函数 和 表示．当包裹重量为多少千克时，选择这两家公司的费用恰好相同？（ ）
A． 千克 B． 千克 C． 千克 D． 千克
【答案】C
【详解】解：当两家费用相等时，，
移项得，
解得，
即包裹重量为千克时费用相同．
2．某登山队大本营所在位置的气温为，海拔每升高气温下降．登山队员由大本营向上登高时，他们所在位置的气温是，则下列关于y与x的关系式正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：海拔每升高气温下降，登山队员登高，
气温一共下降，
又大本营初始气温为，当前气温等于初始气温减去下降的气温，
，整理得．
3．一枝蜡烛长厘米，点燃后每小时燃烧掉厘米，则下列图象中能大致刻画出这枝蜡烛点燃后剩下的长度（厘米）与点燃时间（）之间的函数关系的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】由题意得，，
与符合一次函数关系，图象为直线，且随的增大而减小，
四个选项中，只有C选项中的函数图象符合题意．
二、填空题
4．语文老师要求同学们在暑假阅读一本名著，共计260页．凡凡同学计划每天读10页，则剩余未读页数y（页）与所读天数x（天）之间的函数关系式为________．
【答案】
【详解】解：∵每天读10页，所读天数为天，
∴已读的页数为页，
∵总页数为260页，剩余未读页数为页，
∴剩余页数满足关系式．
5．为了研究气温对冷饮销售的影响，一家饮品店经过一段时间的统计，得到卖出的冷饮杯数y杯与当天最高气温的数据趋势图，如图所示，经研究发现：冷饮杯数y杯与当天最高气温的关系为，可以预测当一天的最高气温为时，饮品店卖出的冷饮为______杯．
【答案】160
【详解】解：，
．
当时，．
6．如图是某电信公司提供的，两种方案的通讯费用（元）与通话时间之间关系的图象．有下列结论：①若通话时间少于，则方案比方案便宜元；②若通话时间超过，则方案比方案便宜元；③若两种方案通讯费用相差元，则通话时间是或．其中正确的是______．（填序号）
【答案】
①②
【详解】解：由图象可知： 当 时，；
当时，设，图象过点，，
，解得，
；
当 时，；
当时，设，图象过点，，
，解得，
；
对于①，当时，，即方案比方案便宜元；故①正确；
对于②，当时，，即方案比方案便宜元；故②正确；
对于③，若两种方案通讯费用相差元，即；
当时，，则，解得；
当时，，则，解得；
当时，，无解；
综上所述，若两种方案通讯费用相差元，通话时间是或；故③错误；
故正确的结论是①②．
三、解答题
7．为节约能源，促进居民养成低碳生活的习惯，我市采取阶梯计费的方式收取燃气费，收费标准如表：
阶梯
年用气量
价格
第一阶梯
（含）的部分
2.94元/
第二阶梯
（含）的部分
3.23元/
第三阶梯
以上的部分
3.82元/
(1)设燃气的年用气量为，燃气费为元，求关于的函数解析式；
(2)某居民家今年使用燃气，该居民今年的燃气费是多少元？
【答案】(1)
(2)该居民今年的燃气费是1897.2元
【分析】
【详解】（1）解：当时，；
当时，；
综上所述，；
（2）解：
当时，，
答：该居民今年的燃气费是1897.2元．
8．某商店以每件13元的价格购进某商品100件，售出部分商品后进行了降价销售，销售金额y（元）与销售量x（件）的函数关系如图所示，求当销售量为66件时，销售金额为多少？
【答案】1125元
【详解】解：由图象，当时，设函数解析式为，
把点和点代入可得：，解得，
，
∴当时，．
答：当销售量为66件时，销售金额为1125元.
9．人形机器人马拉松，以创新实践诠释人机共生理念，彰显大国科技创新开放共享的责任担当．在某次机器人训练中，某台机器人以一固定速度匀速奔跑，电量随时间均匀消耗，剩余电量（单位：）是奔跑时间（单位：分钟）的一次函数，其函数图象如图所示．
(1)求与之间的函数关系式；（无需写出自变量的取值范围）
(2)本次训练中，当该台机器人剩余电量为时，它此时奔跑了多少分钟？
【答案】(1)
(2)当该台机器人剩余电量为时，它此时奔跑了32分钟．
【分析】
【详解】（1）解：设y与x之间的函数关系式为，
∵点，在该函数图象上，
∴，
解得，
∴y与x之间的函数关系式为；
（2）解：当时，，
解得．
答：当该台机器人剩余电量为时，它此时奔跑了32分钟．
10．小明家购买了一辆新能源纯电动汽车，正面临家用充电桩与公共充电桩两种充电方式的选择，经过调研，他收集到以下信息：
方案
一次性安装费用/元
电费/（元/千瓦时）
家用充电2800
（综合平均价）
公共充电0
（含服务费均价）
（注：家用充电桩需一次性安装费，公共充电站无需安装费，但电价含服务费）
(1)请分别求出方案和方案的总费用（单位：元）关于充电量（单位：千瓦时）的函数关系式与．
(2)已知该款车百公里耗电15千瓦时，预计小明家的车每年行驶15000公里，计划车辆使用时间为6年，通过计算说明哪种充电方案更合算．
【答案】(1)
，
(2)
方案更合算
【分析】
【详解】（1）解：根据题意得：
方案的充电费用与充电量的函数关系式为：，
方案的充电费用与充电量的函数关系式为：．
（2）解：6年的总行驶里程为：（公里），
6年的总充电量为：（千瓦时），
当时，
方案的总费用为：（元），
方案的总费用为：（元），
，
方案更合算．
11．对于密闭容器内的气体，温度在一定范围内，其压强（单位：）是温度（单位：）的某种函数关系．现测得某密闭容器内气体的压强与温度之间的部分数据如表所示：
温度
0
压强
(1)求关于的函数表达式．
(2)通常情况下，当压强不超过时，该容器是安全的（否则会有破裂甚至爆炸的风险），求该容器安全时的温度范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】
【详解】（1）解：如图，可设，代入点，可得，
，解得，，
；
（2）解：由（1）得，当时，，解得，，
该容器安全时的温度范围为．
12．刹车距离是指车辆在行驶过程中从开始刹车到车辆完全停止所行驶的距离，主要取决于车速、摩擦系数、车重、路面状况等因素．为了测定某种型号新能源汽车的刹车性能（车速不超过），对这种型号的新能源汽车进行了测试，测得的数据如下表：
刹车时车速
0
10
20
30
40
50
刹车距离
0
16
(1)观察表格，根据数据规律可得：_______．
(2)直接写出与之间的函数关系式：_______．
(3)在不超速的情况下，该汽车的最大刹车距离是多少？
(4)若该型号新能源汽车以的速度行驶，且与前车保持直线距离，若遭遇紧急情况，司机紧急制动后是否会发生追尾事故？
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)若遭遇紧急情况，司机紧急制动后会发生追尾事故
【分析】
【详解】（1）解：由表格可知，刹车时的速度的数值每增加，刹车距离的数值就增加，
∴；
（2）解：由（1）得；
（3）解：∵，，
∴s随v的增大而增大，
又∵，
∴当时，最大，最大值为，
答：在不超速的情况下，该汽车的最大刹车距离是；
（4）解：在中，当时，，
∵，
∴若遭遇紧急情况，司机紧急制动后会发生追尾事故．
1．在测浮力的实验中，某实验小组将一长方体石块从玻璃器皿的上方，向下缓慢移动浸入水里，如图①．在此过程中弹簧测力计的示数与石块下降的高度之间的关系如图②所示．已知石块入水后，，则以下说法一定正确的是（ ）
A．长方体石块的高度为
B．当时，与的函数表达式为
C．石块下降时，石块所受的浮力是
D．当弹簧测力计的示数为时，石块距离器皿底部
【答案】C
【详解】解：由图②可知，当时，保持不变，说明此时石块未接触水面，则，
当时，石块开始进入水中，当时，保持不变，说明此时石块全部浸入水中，
由图①可知，石块初始位置底部距离容器底，则石块距离水底的高度，
A．，故石块的高度为，故A选项错误；
B．当时，
设， 将点，代入得， 解得，
，故B选项错误；
C．当时，， 此时，故C选项正确；
D．当时，由图②可知， 此时石块距离水底的距离无法确定，故D选项错误 ．
2．在人工智能产业持续发展的今天，智能警用机器人已逐步投入使用．图是警用机器人小安与小满，他们从甲地出发，前往同一直线上相距米的乙地开展巡逻工作．小安先行且速度恒定，小满出发一段时间后提速至原速的倍．小安警官和小满警官行走路程（米）与行走时间（秒）之间的关系如图所示，下列说法正确的有（ ）个．
①线段表示小安警官行走路程与时间之间的关系；
②小满警官提速前的速度是米/秒；
③线段所在直线的函数关系式是；
④当时，小安警官和小满警官之间的距离不超过米的总时长是秒．
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：由题意知小安先行，则线段表示小安警官行走路程与时间之间的关系，故说法①正确；
，小满警官提速前的速度是1米/秒，不是米/秒，故说法②错误；
由题意知，小满警官提速后的速度是2米/秒，
，，
∴，
设直线所在直线的函数关系式是，
将，代入得，，解得，
∴线段所在直线的函数关系式是，故说法③正确；
第一阶段：小满警官出发前，时长为60秒；
第二阶段：(小满警官出发但未提速，此时二者速度一致，始终有90米的距离，不符合题意)；
第三阶段：小满警官出发提速后相遇前，，
小安所在直线解析式为，，则，∴；
第四阶段：小满警官出发提速后相遇后，，
∴，则，∴；
第五阶段：小满警官到达终点，小安继续前进，小满与终点相距小于等于60米，则，∴；
总时长(秒) ，故说法④正确．
3．随着人工智能的发展，智能机器人送餐成为时尚．如图1是某餐厅的机器人聪聪和慧慧，他们从厨房门口出发，准备给客人送餐，聪聪比慧慧先出发，且速度保持不变；慧慧出发一段时间后将速度提高到原来的2倍．设聪聪行走的时间为，聪聪和慧慧行走的路程分别为，，，与x的函数图象如图2所示，则下列说法正确的是__________________．（填序号）
①客人距离厨房门口；②慧慧比聪聪晚出发；③，；④聪聪的速度为；⑤从聪聪出发直至送餐结束，聪聪和慧慧最远相距．
【答案】①②③⑤
【详解】解：由图像可知，两人最终行走的路程都是，
因此，客人距离厨房门口就是，
故①正确；
由图象可知，是聪聪出发后的行走时间，慧慧的路程在时才开始从0增加，说明慧慧在聪聪出发后才出发，
故②正确；
慧慧从出发，到时走了，
因此原速度为，
提速后速度为：，
慧慧剩余路程为，需要的时间为：，
；
由图象可知，在时，聪聪走了，
聪聪速度为，
聪聪从厨房门口到客人面前需要的时间为，
故③正确、④错误；
设聪聪和慧慧之间的距离为，
（）由图象可知，当时，慧慧未出发，聪聪行走的距离为，
聪聪和慧慧之间的距离为，
，
随的增大而增大，
当时，有最大值，即最大值为，
当时，聪聪和慧慧最远相距；
（）当时，聪聪行走的距离为，慧慧行走的距离为，
聪聪和慧慧之间的距离为，
，
随的增大而减小，
当时，有最大值，即最大值为，
当时，聪聪和慧慧最远相距；
（）慧慧提速后行走的距离为，
若聪聪和慧慧相遇时：，
解得：，
当时，聪聪和慧慧之间的距离为，
，
随的增大而减小，
当时，有最大值，
由图象可知，当时，慧慧行走的距离为，聪聪行走的距离为，
此时聪聪和慧慧之间的距离为，
当时，聪聪和慧慧最远相距；
（）当时，聪聪和慧慧之间的距离为，
，
随的增大而增大，
当时，有最大值，
由图象可知，当时，慧慧行走的距离为，聪聪行走的距离为，
此时聪聪和慧慧之间的距离为，
当时，聪聪和慧慧最远相距；
（）当时，此时慧慧距离厨房的距离为，聪聪距离厨房的距离为，
聪聪和慧慧之间的距离为，
，
随的增大而减小，
当时，有最大值，即聪聪和慧慧最远相距，
综上所述，从聪聪出发直至送餐结束，聪聪和慧慧最远相距，
故⑤正确，
综上，正确的说法有①②③⑤．
4．阅读下列材料，并回答相关问题：
体脂率是指人体内脂肪量在体重中所占的比例，又称体脂百分数．普通人的理想体脂率，男性为，女性为．测定体脂率的方法有多种，下面的计算方法便于自我检测．
在不同时间，人的腰围（记为，单位：）和体重（记为，单位：）会有变化，由这些变量，可以计算出不同时间的体脂率．具体计算过程如下：①计算，是腰围的函数，；
②计算，是体重的函数，对于男性，对女性；
③计算脂肪总量，；
④计算体脂率，．
(1)已知某男性腰围，体重，求他的脂肪总量；
(2)若某女性的体重，腰围在之间，设她的体脂率为，请求出关于的函数关系式，并求体脂率的最小值；
(3)若某男性想保持体脂率为，求此时他的腰围（单位：）关于体重（单位：）的函数关系式，并结合该函数关系式分析：若他的体重增加，同时腰围增加了，他的体脂率是否还维持在？
【答案】(1)
(2)函数关系式为，体脂率的最小值为
(3)函数关系式为，不能维持在
【分析】
【详解】（1）解：；
（2）解：
，
∵，
∴当时，体脂率的最小值为；
（3）解：男性：，，，，
即，，
整理得：；
设原体重，腰围；
体重增加、腰围增加后：，，
按函数关系，体重对应的标准腰围应为：，
实际腰围，
代入体脂率公式：，
增量偏大，分子d变大，，不能维持．
5．暑假期间，小刚一家准备前往青岛旅游，为方便出行，计划第二天到甲，乙两个租车公司租用新能源汽车．甲公司：按日收取固定租金105元，另外再按租车时间计费；乙公司：无固定租金，直接以租车时间计费，每小时的租金是40元．设租车时间为x小时，租用甲公司的车所需费用为元，租用乙公司的车所需费用为元，，分别与x之间的函数关系图象（两条射线）如图所示．根据以上信息，解决下列问题：
(1)请直接写出关于x的表达式__________；
(2)当租车时间为多少小时时，选择两个公司租车所需费用相同？
(3)当租车时间为5小时时，请直接写出选择哪个公司租车更合算？
【答案】(1)
(2)当租车时间为小时，两个公司所需费用相同
(3)选择乙公司比较划算．
【分析】
【详解】（1）解：设，
∴把，代入，
∴，
解得：，
∴；
（2）解：设，
把代入，
∴，
∴，
由函数图象可知，当时，两个公司所需费用相同，
∴，
解得：；
当租车时间为小时，两个公司所需费用相同；
（3）解：当时，
，
，
∵，
∴，
∴选择乙公司比较划算．
6．在平面直角坐标系中，已知直线与轴交于点，点是该直线上一点，点的横坐标为，直线与轴交于点，点是该直线上一点，点的横坐标为3m，作和．
(1)点的坐标是 ，点的坐标是 ；
(2)当点落在直线上时，求的面积；
(3)当是直角三角形时，求的值；
(4)当的面积是面积的一半时，直接写出的值．
【答案】(1)，
(2)2
(3)，
(4)或
【分析】
【详解】（1）解：∵直线与轴交于点，
∴，则，得，
∴；
∵直线与轴交于点，
∴
（2）解：∵点落在直线上
∴，将代入直线得 ，解得
∴
如图；作
∴
∴
（3）解：∵是直角三角形时，则 ，，
①当时，
∵ ， ，
∴ ，解得
②当时，
∴
∴,则
∴，；
（4）解：由题意得 ，
设直线的解析式为，将，代入得：
，解得
∴直线的解析式为 ，
设直线与直线交于点，则
∵
∴
∴；
∵
∴，
∴，
即 或，
解得或.
【点睛】本题考查了一次函数的交点问题，直角三角形存在问题，面积问题，难点较大，需要具备对综合知识的理解运用能力.
7．根据以下素材，探索完成任务．如何选择合适的种植方案？
如何选择合适的种植方案？
素材1
某学校在校园内建成了一处劳动实践基地，2026年计划将其中的土地全部种植甲、乙两种蔬菜．
素材2
甲种蔬菜种植总成本y（单位：元）与其种植面积（单位：）的函数关系如图所示，其中；乙种蔬菜的每平方米种植成本为36元．
问题解决：
(1)任务1：求甲种蔬菜种植总成本y与其种植面积x的函数关系式．
(2)任务2：设计种植方案，设2026年甲、乙两种蔬菜总种植成本为W元，如何分配两种蔬菜的种植面积，使W最小？并求出W的最小值．
【答案】(1)
(2)种植甲种蔬菜，乙种蔬菜，W最小，W的最小值为3820元
【分析】
【详解】（1）解：设甲种蔬菜种植总成本y与其种植面积x的函数关系式为，
把点，
∴，
解得：，
∴甲种蔬菜种植总成本y与其种植面积x的函数关系式为；
（2）解：根据题意得：，
∵，
∴W随x的增大而减小，
∵，
∴当时，W取得最小值，最小值，
即种植甲种蔬菜，乙种蔬菜，W最小，W的最小值为3820元．
8．在一条笔直的公路上依次有A、C、B三地，已知A、B两地相距，一辆货车从A地出发经C地匀速驶往B地，途中在C地装载货物停留一段时间．一辆轿车沿同一条公路从B地出发经C地前往A地，到达A地后（在A地停留时间不计）立即原路原速返回．如图是两车距B地的距离与货车行驶时间之间的函数图象，结合图象回答下列问题：
(1)求图中m的值及轿车的速度；
(2)求货车从A地前往B地的过程中，货车距B地的距离与行驶时间之间的函数关系式；
(3)求出轿车行驶过程中，能否与货车同时到达B地？
【答案】(1)；
(2)
(3)能
【分析】
【详解】（1）解：由图象可得，轿车的速度为，
∴；
（2）解：①设，
∵图象经过点和点，
∴，
解得，
∴，
由图象可得；
设，
∵图象经过点和点，
∴，
解得，
∴，
∴综上所述，；
（3）解：在中，当时，，
解得，
∴轿车在行驶过程中能与货车同时到达B地．
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专题4.4 一次函数的应用
教学目标
1.理解一元一次方程与一次函数的联系，知道直线与 x 轴交点横坐标对应方程的解。
2.掌握一次函数实际问题建模步骤，会建立函数解析式，确定自变量的取值范围。
3.能够读懂实际情境函数图象，理解起点、拐点、终点的现实含义，解决行程问题。
4.会利用一次函数增减性求解利润、方案选择类问题，选出符合题意的最优方案。
教学重难点
重点：
1.掌握一次函数与一元一次方程的关系，会求直线与 x 轴交点，求解对应方程。
2.建立一次函数模型解决实际问题，能结合题意正确写出解析式与自变量范围。
3.运用增减性分析利润、方案选择，读懂行程图象关键点，完成相关计算。
难点：
1.理解函数与方程的转化关系，区分方程的解和直线与坐标轴的交点坐标。
2.结合实际条件确定自变量取值范围，做题容易忽略现实限制造成结果出错。
3.综合运用增减性、图象、方程，处理方案选择和利润最值类综合应用题。
知识点01一元一次方程与一次函数的关系
直线与轴交点的横坐标，就是一元一次方程的解。
1.求直线与轴交点：令，得到方程；
2.解方程，得；
3.直线与轴交点坐标为。
【即学即练】
1．若是关于x的方程的解，则一次函数的图象与轴的交点坐标是( )
A． B． C． D．
2．若关于的方程的解是，则直线一定经过点（ ）
A． B． C． D．
知识点02一次函数的实际应用
1.解题建模基本思路
解决实际问题，先分析题意，找出题目中的常量、自变量、因变量，建立一次函数模型。
建立解析式之后，结合方程、不等式、函数图象以及函数增减性完成求解。
注意：实际问题必须确定自变量的取值范围，取值要符合现实情境。
2.常见实际问题类型
（1）方案选择问题
写出不同方案对应的函数解析式，结合自变量取值范围，比较函数值大小，选出最优方案。
（2）行程类问题
一次函数图象中，对应运动速度；读懂图象的起点、拐点、终点，理解每个关键点代表的实际意义。
（3）利润最值问题
常用公式：。
利用一次函数的增减性，在自变量允许的取值范围内，求利润的最大值或最小值。
【即学即练】
3．汽车离开A站后，又以的速度匀速行驶了．此时，汽车离开A站的路程为．s与t之间的函数关系式为______________．
4．为筹备校园科技节，某学校计划采购机器人模型和电子元件套装用于学生实践活动，需购买两种物品共60件，其中：机器人模型单价120元/件，电子元件套装单价40元/件．为保障活动质量，要求机器人模型数量不少于电子元件套装的1.5倍，且电子元件套装至少购买10件．设购买机器人模型的数量为x件，总费用为y元．请回答以下问题：
(1)写出总费用y与x的函数关系式；
(2)在满足题中条件的情况下，如何购买能使总费用最低？最低费用是多少？
题型01利用直线与坐标轴交点求一元一次方程的解
【例1】直线经过点和点，则方程的解是（ ）
A． B． C． D．
【例2】如图，正比例函数的图象向上平移4个单位，恰好与一次函数的图象重合，则关于的方程的解是（ ）
A． B． C． D．
【变式1-1】已知函数（）的图象经过点，则关于x的方程的解为______．
【变式1-2】如图是一次函数的图象，则关于的方程的解为__________．
【变式1-3】如图，已知一次函数的图象是一条直线，则关于x的方程的解为________．
题型02根据一元一次方程的解确定直线与x轴交点坐标
【例3】已知关于的方程的解为，则一次函数的图象与轴交点的坐标为___________．
【例4】已知关于x的方程的解为，则一次函数的图象与x轴的交点坐标为______．
【变式2-1】已知方程的解是，则函数的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【变式2-2】直线上有一点的坐标是，则关于的方程的解是_______．
【变式2-3】将直线沿y轴向上平移4个单位后，与x轴的交点坐标是__________．
题型03借助一次函数图象求解一元一次方程
【例5】在平面直角坐标系中，一次函数（，为常数，且）与正比例函数（为常数，且）的图象如图所示，则关于的方程的解为（ ）
A． B． C． D．
【例6】如图，一次函数的图象分别与轴交于两点．若，，则关于的方程的解为_________．
【变式3-1】在平面直角坐标系中，一次函数，均为常数）与正比例函数（为常数）的图象如图所示，则关于的方程的解为（ ）．
A． B． C． D．
【变式3-2】如图，一次函数（a，b为常数且）与正比例函数（k为常数且）的图象交于点，则关于的方程的解是_____．
【变式3-3】如图，一次函数（k为常数且）和的图象相交于点A，根据图象可知关于x的方程的解是______．
题型04一次函数实际应用——分配方案优选问题
【例7】A城有肥料，B城有肥料．现要把这些肥料全部运往C、D两乡．从A城往C、D两乡运肥料的费用分别为20元/和25元/；从B城往C、D两乡运肥料的费用分别为15元/和24元/．现C乡需要肥料，D乡需要肥料．若从A城运往C乡的肥料为，总运费为元．
(1)用含的代数式表示从A城运往D乡的肥料；
(2)写出总运费与之间的函数关系式；并写出的取值范围．
(3)怎样调运可使总运费最少？
【例8】某蛋糕店为储存蜂蜜选购玻璃罐，现有如下信息：
信息1 蛋糕店有36kg蜂蜜需储存，要求买来的玻璃罐刚好全部装满；
信息2 超市有甲，乙两种型号的玻璃罐，其容量和单价如下表：
型号
甲
乙
单个容量（千克）
2
3
单价（元）
13
18
超市促销方案：购买甲型号玻璃罐超过10个时，超过10个的部分打八折（注意：乙型号玻璃罐不打折）．设购买甲型号玻璃罐个，购买乙型号玻璃罐个，所需总费用为元．
(1)当时，的值为________；
(2)求关于的函数关系式；
(3)求购买玻璃罐所需的最少费用，并写出购买方案．
【变式4-1】暑假期间，两位家长计划带领若干名学生到白银旅游，探访黄河石林和火焰山矿山公园，并体验当地非遗文化．他们咨询了两家旅行社，报价均为每人500元（含景区门票及特色活动）．
甲旅行社：两位家长全额收费，学生享受七折优惠．
乙旅行社：全体成员（含家长）均享八折优惠．
请解答以下问题：
(1)设学生数为人，甲旅行社收费为元，则函数关系式______；
设学生数为人，乙旅行社收费为元，则函数关系式______．
(2)若家长希望学生深入了解白银的生态保护与非遗传承，应如何根据学生人数选择旅行社？通过计算说明理由．
【变式4-2】某校一课外小组准备进行“绿色环保”的宣传活动，需要制作宣传单，校园附近有甲、乙两家印刷社，制作此种宣传单的收费标准如下表所示：
甲印刷社收费y（元）与印制数x（张）的函数关系如下表：
甲 印 刷 社
0.15元/张
乙印刷社
500张以内（含500张）
0.20元/张
超过500张部分
0.10元/张
(1)若该小组在甲、乙两家印刷社共印制400张宣传单，用去65元，问甲、乙两家印刷社各印多少张？
(2)若印刷费用为y元，请直接写甲、乙两家印刷社费用与宣传单张数x之间的函数关系式，并说明选择哪家印刷社比较划算．
【变式4-3】某外卖平台招聘外卖骑手，并提供了如下两种月工资方案：
方案一：每月底薪1500元，每完成一单外卖业务再提成3元．
方案二：每月无底薪，每完成一单外卖业务提成6元．
设骑手每月完成的外卖业务量为单（为正整数），方案一，方案二中骑手的月工资分别为元，元．
(1)分别写出，关于的函数解析式；
(2)若李明是此外卖平台的一名骑手，从月工资收入的角度考虑，他应该选择哪种月工资方案？说明理由．
题型05一次函数实际应用——最大利润求解问题
【例9】某文具店计划购进甲、乙两种笔记本共100本，这两种笔记本的进价、售价如表：
类型
进价/（元/本）
售价/（元/本）
甲种
3
4.5
乙种
5
7
受市场需求限制，乙种笔记本的进货数量不超过甲种笔记本进货数量的2倍，设文具店购进甲种笔记本x本，销售完这批笔记本的总利润为y元．
(1)求y与x之间的函数关系式．
(2)应如何安排进货，才能使销售完这批笔记本的利润最大，最大利润为多少元？
【例10】某校八年级举行数学知识应用竞赛，购买A，B两种笔记本作为奖品，这两种笔记本的单价分别为20元和18元．根据竞赛设奖情况，需购买两种笔记本共30本，设买A种笔记本（且为正整数）本，买两种笔记本的总费用为元．
(1)写出（元）关于（本）的函数关系式；
(2)若商场正在进行促销活动，A种笔记本每本降价元（），B种笔记本价格不变，请你帮学校设计购买方案，使所花费用最省？并求出最少费用．
【变式5-1】呼和浩特被誉为“中国乳都”，以乳业为发展引擎，凭借优质乳业书写城市传奇、铸就辉煌．其中牛奶贝因其味道醇美且容易携带而深受外地游客欢迎．某特产店销售、两款牛奶贝，结合材料解决问题
内容
材料一
某特产店购进，两款牛奶贝进行销售，、两款牛奶贝的售价分别为32元/袋和25元/袋，款牛奶贝的进价为22元/袋，款牛奶贝的进货总金额y（单位：元）与款牛奶贝的进货量x（单位：袋）之间的关系如图所示．
材料二
为了满足市场需求，七月份该特产店计划采购这两款牛奶贝共1000袋，其中款牛奶贝的进货量不低于300袋，且不高于600袋．
任务：
(1)求y关于x的函数解析式．
(2)若采购的所有牛奶贝能全部售出，设销售完、两款牛奶贝获总利润为（单位：元），请求出关于x的函数解析式，并为该特产店设计出获得最大总利润的进货方案．
【变式5-2】哈国客商准备在乌鲁木齐采购一批特色商品，经调查，A型商品的进价是160元/件，B型商品的进价是150元/件．
(1)若该哈国客商购进A，B型商品共250件进行试销，其中A型商品的件数不大于B型的件数，且不小于80件，已知A型商品的售价为240元/件，B型商品的售价为220元/件，且全部售出．设购进A型商品m件，求该客商销售这批商品的利润与之间的函数解析式，并写出的取值范围；
(2)在（1）的条件下，哈国客商决定在试销活动中每售出一件A型商品，就从一件A型商品的利润中捐献慈善资金元．求该客商售完所有商品并捐献慈善资金后获得的最大收益．
【变式5-3】洛阳依托文旅特色打造夜间文旅消费市场，鼓励商户拓展线下外摆经营．商户小王借此售卖牡丹手工皂与牡丹瓷书签两款特色文创产品，两款文创的进价、售价如下表：
类型
牡丹手工皂
牡丹瓷书签
进价/（元/件）
售价/（元/件）
小王计划购进牡丹手工皂与牡丹瓷书签两种商品共件进行销售，设小王购进牡丹手工皂件，两种商品全部销售完后获得的总利润为元．
(1)求与之间的函数关系式；
(2)若牡丹瓷书签的进货数量不少于牡丹手工皂的倍，当购进两种商品各多少件时，可使得两种商品全部销售完后获得的总利润最大？并求出最大的总利润．
题型06一次函数实际应用——行程图象分析问题
【例11】图中的折线表示刘伟骑车离家的距离y与时间x的关系．他离开家，回到家．请你根据这个折线图回答下列问题：
(1)何时刘伟离家最远？这时刘伟离家多远？
(2)何时刘伟开始第一次休息？休息多长时间？这时刘伟离家多远？
(3)刘伟骑了多少千米？
(4)刘伟在和的平均速度各是多少？
(5)刘伟返家时的平均速度是多少？
(6)时刘伟离家多远？回家路上，何时刘伟距家？
【例12】一森林警察驾驶警车沿森林公路巡逻，在公路旁的某加油站加满油后，以的速度匀速行驶．已知警车加满油后，油箱中的余油量与行驶时间之间的函数关系图象是如图所示的直线l的一部分．
(1)求直线l的函数表达式．
(2)警车加满油时，油箱中的油量是多少升？
(3)已知警车往返的耗油量相同．若要求警车按原路返回加油站时油箱中的余油量不少于，则其巡逻的最远路程是多少千米？
【变式6-1】甲、乙两同学从地出发，骑自行车在同一条路上行驶到地，他们离出发地的距离和行驶时间之间的函数关系的图象如图所示．根据图中提供的信息，有下列说法：①他们都行驶了；②甲车停留了；③乙比甲晚出发了；④相遇后甲的速度小于乙的速度；⑤甲、乙两人同时到达目的地．其中符合图象描述的说法有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【变式6-2】某海岸线上有A，B两个港口，一艘轮船从A港口出发，沿海岸线匀速前往B港口．设该轮船行驶的时间为，距B港口的路程为．y与x之间的函数关系如图所示．
(1)求y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围．
(2)求轮船行驶时与B港口之间的路程．
【变式6-3】甲、乙两车从A地驶向B地，并以各自的速度匀速行驶，甲车比乙车早行驶2h，并且甲车途中休息了0.5h，如图是甲乙两车行驶的距离y（km）与时间x（h）的函数图像．
(1)，；
(2)求甲车休息后行驶路程y（km）与时间x（h）的函数解析式；
(3)在乙车行驶过程中，当两车之间的距离为50km时，直接写出x的值．
题型07一次函数与几何相结合的综合计算问题
【例13】如图，一次函数的图象经过点，，则的面积为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【例14】如图，直线与x轴交于点A、与y轴交于点B，与经过原点的直线相交于点；
(1)直接写出点B的坐标为________；
(2)求出的面积；
(3)在直线上是否存在点M，使？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．
【变式7-1】如图①，在四边形中，，，点从点出发，以每秒个单位长度的速度按的顺序在边上匀速运动，设点的运动时间为秒，的面积为，关于的函数图象如图②所示，（1）的长为_______．（2）当点运动到中点时，的面积为_______．
【变式7-2】如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，B、C两点分别在x轴、直线上运动．若以为直角边的为等腰直角三角形，求点C的坐标．
【变式7-3】一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点．
(1)求出，两点的坐标．
(2)坐标轴上有一点，，求出一个点的坐标，其余的点直接写出答案．
一、单选题
1．学校组织寄递爱心包裹，两家快递公司给出了不同的计费方案．甲公司的方案是：按包裹重量计费，每千克 元，无起步价；乙公司的方案是：收取 元基础服务费，之后每千克元．若设包裹重量为千克，总费用为 元，两家公司的费用分别用一次函数 和 表示．当包裹重量为多少千克时，选择这两家公司的费用恰好相同？（ ）
A． 千克 B． 千克 C． 千克 D． 千克
2．某登山队大本营所在位置的气温为，海拔每升高气温下降．登山队员由大本营向上登高时，他们所在位置的气温是，则下列关于y与x的关系式正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．一枝蜡烛长厘米，点燃后每小时燃烧掉厘米，则下列图象中能大致刻画出这枝蜡烛点燃后剩下的长度（厘米）与点燃时间（）之间的函数关系的是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
4．语文老师要求同学们在暑假阅读一本名著，共计260页．凡凡同学计划每天读10页，则剩余未读页数y（页）与所读天数x（天）之间的函数关系式为________．
5．为了研究气温对冷饮销售的影响，一家饮品店经过一段时间的统计，得到卖出的冷饮杯数y杯与当天最高气温的数据趋势图，如图所示，经研究发现：冷饮杯数y杯与当天最高气温的关系为，可以预测当一天的最高气温为时，饮品店卖出的冷饮为______杯．
6．如图是某电信公司提供的，两种方案的通讯费用（元）与通话时间之间关系的图象．有下列结论：①若通话时间少于，则方案比方案便宜元；②若通话时间超过，则方案比方案便宜元；③若两种方案通讯费用相差元，则通话时间是或．其中正确的是______．（填序号）
三、解答题
7．为节约能源，促进居民养成低碳生活的习惯，我市采取阶梯计费的方式收取燃气费，收费标准如表：
阶梯
年用气量
价格
第一阶梯
（含）的部分
2.94元/
第二阶梯
（含）的部分
3.23元/
第三阶梯
以上的部分
3.82元/
(1)设燃气的年用气量为，燃气费为元，求关于的函数解析式；
(2)某居民家今年使用燃气，该居民今年的燃气费是多少元？
8．某商店以每件13元的价格购进某商品100件，售出部分商品后进行了降价销售，销售金额y（元）与销售量x（件）的函数关系如图所示，求当销售量为66件时，销售金额为多少？
9．人形机器人马拉松，以创新实践诠释人机共生理念，彰显大国科技创新开放共享的责任担当．在某次机器人训练中，某台机器人以一固定速度匀速奔跑，电量随时间均匀消耗，剩余电量（单位：）是奔跑时间（单位：分钟）的一次函数，其函数图象如图所示．
(1)求与之间的函数关系式；（无需写出自变量的取值范围）
(2)本次训练中，当该台机器人剩余电量为时，它此时奔跑了多少分钟？
10．小明家购买了一辆新能源纯电动汽车，正面临家用充电桩与公共充电桩两种充电方式的选择，经过调研，他收集到以下信息：
方案
一次性安装费用/元
电费/（元/千瓦时）
家用充电2800
（综合平均价）
公共充电0
（含服务费均价）
（注：家用充电桩需一次性安装费，公共充电站无需安装费，但电价含服务费）
(1)请分别求出方案和方案的总费用（单位：元）关于充电量（单位：千瓦时）的函数关系式与．
(2)已知该款车百公里耗电15千瓦时，预计小明家的车每年行驶15000公里，计划车辆使用时间为6年，通过计算说明哪种充电方案更合算．
11．对于密闭容器内的气体，温度在一定范围内，其压强（单位：）是温度（单位：）的某种函数关系．现测得某密闭容器内气体的压强与温度之间的部分数据如表所示：
温度
0
压强
(1)求关于的函数表达式．
(2)通常情况下，当压强不超过时，该容器是安全的（否则会有破裂甚至爆炸的风险），求该容器安全时的温度范围．
12．刹车距离是指车辆在行驶过程中从开始刹车到车辆完全停止所行驶的距离，主要取决于车速、摩擦系数、车重、路面状况等因素．为了测定某种型号新能源汽车的刹车性能（车速不超过），对这种型号的新能源汽车进行了测试，测得的数据如下表：
刹车时车速
0
10
20
30
40
50
刹车距离
0
16
(1)观察表格，根据数据规律可得：_______．
(2)直接写出与之间的函数关系式：_______．
(3)在不超速的情况下，该汽车的最大刹车距离是多少？
(4)若该型号新能源汽车以的速度行驶，且与前车保持直线距离，若遭遇紧急情况，司机紧急制动后是否会发生追尾事故？
1．在测浮力的实验中，某实验小组将一长方体石块从玻璃器皿的上方，向下缓慢移动浸入水里，如图①．在此过程中弹簧测力计的示数与石块下降的高度之间的关系如图②所示．已知石块入水后，，则以下说法一定正确的是（ ）
A．长方体石块的高度为
B．当时，与的函数表达式为
C．石块下降时，石块所受的浮力是
D．当弹簧测力计的示数为时，石块距离器皿底部
2．在人工智能产业持续发展的今天，智能警用机器人已逐步投入使用．图是警用机器人小安与小满，他们从甲地出发，前往同一直线上相距米的乙地开展巡逻工作．小安先行且速度恒定，小满出发一段时间后提速至原速的倍．小安警官和小满警官行走路程（米）与行走时间（秒）之间的关系如图所示，下列说法正确的有（ ）个．
①线段表示小安警官行走路程与时间之间的关系；
②小满警官提速前的速度是米/秒；
③线段所在直线的函数关系式是；
④当时，小安警官和小满警官之间的距离不超过米的总时长是秒．
A． B． C． D．
3．随着人工智能的发展，智能机器人送餐成为时尚．如图1是某餐厅的机器人聪聪和慧慧，他们从厨房门口出发，准备给客人送餐，聪聪比慧慧先出发，且速度保持不变；慧慧出发一段时间后将速度提高到原来的2倍．设聪聪行走的时间为，聪聪和慧慧行走的路程分别为，，，与x的函数图象如图2所示，则下列说法正确的是__________________．（填序号）
①客人距离厨房门口；②慧慧比聪聪晚出发；③，；④聪聪的速度为；⑤从聪聪出发直至送餐结束，聪聪和慧慧最远相距．
4．阅读下列材料，并回答相关问题：
体脂率是指人体内脂肪量在体重中所占的比例，又称体脂百分数．普通人的理想体脂率，男性为，女性为．测定体脂率的方法有多种，下面的计算方法便于自我检测．
在不同时间，人的腰围（记为，单位：）和体重（记为，单位：）会有变化，由这些变量，可以计算出不同时间的体脂率．具体计算过程如下：①计算，是腰围的函数，；
②计算，是体重的函数，对于男性，对女性；
③计算脂肪总量，；
④计算体脂率，．
(1)已知某男性腰围，体重，求他的脂肪总量；
(2)若某女性的体重，腰围在之间，设她的体脂率为，请求出关于的函数关系式，并求体脂率的最小值；
(3)若某男性想保持体脂率为，求此时他的腰围（单位：）关于体重（单位：）的函数关系式，并结合该函数关系式分析：若他的体重增加，同时腰围增加了，他的体脂率是否还维持在？
5．暑假期间，小刚一家准备前往青岛旅游，为方便出行，计划第二天到甲，乙两个租车公司租用新能源汽车．甲公司：按日收取固定租金105元，另外再按租车时间计费；乙公司：无固定租金，直接以租车时间计费，每小时的租金是40元．设租车时间为x小时，租用甲公司的车所需费用为元，租用乙公司的车所需费用为元，，分别与x之间的函数关系图象（两条射线）如图所示．根据以上信息，解决下列问题：
(1)请直接写出关于x的表达式__________；
(2)当租车时间为多少小时时，选择两个公司租车所需费用相同？
(3)当租车时间为5小时时，请直接写出选择哪个公司租车更合算？
6．在平面直角坐标系中，已知直线与轴交于点，点是该直线上一点，点的横坐标为，直线与轴交于点，点是该直线上一点，点的横坐标为3m，作和．
(1)点的坐标是 ，点的坐标是 ；
(2)当点落在直线上时，求的面积；
(3)当是直角三角形时，求的值；
(4)当的面积是面积的一半时，直接写出的值．
7．根据以下素材，探索完成任务．如何选择合适的种植方案？
如何选择合适的种植方案？
素材1
某学校在校园内建成了一处劳动实践基地，2026年计划将其中的土地全部种植甲、乙两种蔬菜．
素材2
甲种蔬菜种植总成本y（单位：元）与其种植面积（单位：）的函数关系如图所示，其中；乙种蔬菜的每平方米种植成本为36元．
问题解决：
(1)任务1：求甲种蔬菜种植总成本y与其种植面积x的函数关系式．
(2)任务2：设计种植方案，设2026年甲、乙两种蔬菜总种植成本为W元，如何分配两种蔬菜的种植面积，使W最小？并求出W的最小值．
8．在一条笔直的公路上依次有A、C、B三地，已知A、B两地相距，一辆货车从A地出发经C地匀速驶往B地，途中在C地装载货物停留一段时间．一辆轿车沿同一条公路从B地出发经C地前往A地，到达A地后（在A地停留时间不计）立即原路原速返回．如图是两车距B地的距离与货车行驶时间之间的函数图象，结合图象回答下列问题：
(1)求图中m的值及轿车的速度；
(2)求货车从A地前往B地的过程中，货车距B地的距离与行驶时间之间的函数关系式；
(3)求出轿车行驶过程中，能否与货车同时到达B地？
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