专题3.1 确定位置及平面直角坐标系（高效培优讲义）数学新教材北师大版八年级上册

本讲义聚焦确定位置及平面直角坐标系核心知识点，从生活中的行列、经纬定位模型引入有序实数对，逐步过渡到平面直角坐标系的构成，系统梳理点的坐标表示、象限及坐标轴上点的特征、特殊直线上点的规律及距离计算，搭建从具体到抽象的学习支架。 资料特色在于融入电子表格、象棋棋盘等生活情境，培养用数学眼光观察现实世界的意识，通过基础题型到规律探究的分层设计发展运算能力与推理思维，即学即练与变式训练强化数学语言表达，课中辅助教师分层教学，课后助力学生查漏补缺。

专题3.1 确定位置及平面直角坐标系 教学目标 1.了解有序实数对的含义，知道平面确定位置需要两个数据，会用数对描述实际位置。 2.认识平面直角坐标系，理解横轴、纵轴、原点概念，能够写出平面内点的坐标。 3.掌握各象限、坐标轴上点的坐标特征，熟悉特殊直线上点的坐标规律。 4.会求点到坐标轴、特殊直线的距离，初步建立数形结合的思维分析问题。 教学重难点 重点： 1.理解有序实数对的有序性，会利用两组数据确定平面内点的位置。 2.掌握平面直角坐标系构成，熟记象限与坐标轴上点的坐标符号特征。 3.掌握平行坐标轴、象限角平分线上点的特点，会求点到坐标轴的距离。 难点： 1.区分点的坐标与点到坐标轴的距离，正确使用绝对值处理距离计算问题。 2.灵活运用特殊直线上点的坐标特征，结合条件求解点的未知坐标。 知识点01确定位置 1.有序实数对定义：有先后顺序的两个数组成的数对，记作，叫做有序实数对。 2.核心性质：数对是有序的，顺序不能互换，与表示平面内两个不同的点。 3.书写规范：用括号把两个数括起来，中间用逗号隔开，格式：。 4.生活中的两类定位模型 定位类型 书写示例 解读规则 行列定位（教室、影院 （4排，6号） 前面数字代表行/排，后面代表列/座位号 经纬定位（地理） （东经，北纬） 先经度，后纬度，依靠两组数据确定地点 关键结论：在平面内确定一个点的位置，必须要有两个数据，仅靠一个数据不能确定唯一位置。 【即学即练】 1．张华在李峰的北偏西方向处，那么李峰在张华的（     ） A．南偏东方向处 B．南偏东方向处 C．北偏东方向处 D．南偏西方向处 2．下列选项中不能确定物体位置的是（     ） A．电影院5排8号 B．南偏西 C．无终东街1586号 D．东经，北纬 知识点02平面直角坐标系 1.平面直角坐标系的定义 在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴组成平面直角坐标系。 水平的数轴叫做横轴（轴），向右为正方向；竖直的数轴叫做纵轴（轴），向上为正方向；两条数轴的公共原点叫作坐标原点。 注意：同一数轴单位长度一致，一般情况下轴、轴的单位长度保持相同。 2.点的坐标 过平面内一点，分别向轴、轴作垂线。垂足落在轴上对应的数是点的横坐标，垂足落在轴上对应的数是点的纵坐标，点坐标记作。 3.象限与坐标轴上点的特征 （1）第一象限：；（2）第二象限： （3）第三象限：；（4）第四象限： （5）轴上的点：，横坐标为任意实数 （6）轴上的点：，纵坐标为任意实数 注意：轴、轴上的点不属于任何象限。 4.坐标系中的特殊直线 （1）平行于轴的直线：直线上所有点纵坐标相等，形式：； （2）平行于轴的直线：直线上所有点横坐标相等，形式：； （3）一、三象限角平分线：点的横坐标与纵坐标相等，直线：； （4）二、四象限角平分线：点的横坐标与纵坐标互为相反数，直线：。 5.点到坐标轴、特殊直线的距离 设点， （1）点到轴的距离：；到直线的距离： （2）点到轴的距离：；到直线的距离： 【即学即练】 3．晓晓坐在教室的第列第行，用表示；点点坐在晓晓正后方且与晓晓相邻的位置，则点点的位置可表示为（     ） A． B． C． D． 4．若点在第二象限，且它到轴的距离是5，到轴的距离是2，则点的坐标是________． 题型01 用有序数对表示位置或路线 例1．看图操作并填空． (1)图中点可用数对（_______，_______）表示，若点可用数对表示，请在图中标出点，并画出线段，分别在图中画出一条平行于线段的线段和一条垂直于线段的线段． (2)若点向右平移2格，数对变成（_______，_______）；若点向右平移4格，数对变成（_______，_______）；若点向右平移100格，数对变成（_______，_______）． 变式1-1．在办公软件电子表格的界面上，每个单元格的位置都可以用字母和数字确定．如图，单元格中的内容分别为“姓名”“演讲”“绘画”“书法”． A B C D 1 姓名 演讲 绘画 书法 2 李明 88 92 90 3 张磊 86 94 82 4 王涛 78 90 86 5 刘强 90 87 91 (1)请分别指出单元格中的内容． (2)请分别指出王涛的演讲成绩和张磊的书法成绩所在的单元格． 变式1-2．如图，在的正方形网格（每小格边长为1）内有一只甲壳虫，它爬行的规律总是沿网格线先左右，再上下．规定：向右与向上为正，向左与向下为负．甲壳虫从A到B的爬行路线记为：，从B到A的爬行路线记为：，其中第一个数表示左右爬行，第二个数表示上下爬行． (1)图中（_______，_______），（_______，_______）． (2)若甲壳虫的爬行路线为，计算甲壳虫爬行的路程． (3)若甲壳虫从点A出发，爬行路线依次为，，，，最终到达点P处，请在图中标出点P的位置． 变式1-3．如图是中国象棋棋盘示意图，部分黑棋的棋子摆在这些交叉点上，每个交叉点的位置按照先列后行的顺序都可以用一对数来表示如：． (1)分别用两对数表示“马”“炮”所在的位置． (2)两对数和分别表示哪两枚棋子的位置． (3)象棋规则规定：“车”只能沿直线行走，一次可以走任意格．请你用三对数来描述“车”的行走路线：． 题型02 直接写出坐标系中的点坐标 例2．若点A在第二象限，且到x轴的距离为2，到y轴的距离为3，则点A的坐标为______________． 变式2-1．到x轴和y轴的距离都等于2的点有______________个，坐标分别为__________________________． 变式2-2．在平面直角坐标系中，点的坐标为，若轴，且，则点坐标为___________． 变式2-3．在长方形中，点A的坐标为，点B的坐标为，．求点C的坐标． 题型03 建立坐标系写出点坐标 例3．如图，在象棋盘上建立平面直角坐标系，若“将”位于点，“象”位于点， （I）则“炮”位于点的坐标是_________； （II）如果“象”再走一步，那么“象”的新位置位于点的坐标是_________． 变式3-1．孔明灯（又称天灯）是一种利用热空气上升原理制成的传统飞行器．在如图所示的网格中建立平面直角坐标系，使得孔明灯，的坐标分别为、，则孔明灯的坐标为（     ） A． B． C． D． 变式3-2．[活动]用坐标描述公园景点位置：春天到了，七年级（2）班组织同学到人民公园春游，李明、张华对着景区示意图，描述牡丹园的位置（图中小正方形的边长代表长）如下． 李明：“牡丹园的坐标是．” 张华：“牡丹园在中心广场东北方向约处．” 实际上，他们所说的位置都是正确的． (1)请你根据李明同学所说的位置，帮他在示意图中建立平面直角坐标系，写出湖心亭、望春亭的坐标． (2)请你根据张华对牡丹园位置的描述，描述一下音乐台、游乐园的位置． 变式3-3．如图是一所学校的平面示意图，若用表示教学楼，表示旗杆． (1)在网格中画出平面直角坐标系，并写出实验楼和校门的坐标； (2)在平面直角坐标系中，校门与图书馆相距________个单位长度． 题型04 判断点所在象限 例4．若点M的坐标为，则点M在（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 变式4-1．若点在第二象限，则点在第______________象限． 变式4-2．若点 在轴上，则点在第________象限． 变式4-3．在平面直角坐标系中，点位于（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 题型05 点到坐标轴的距离 例5．点在第二象限，距离轴6个单位长度，距离轴2个单位长度，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 变式5-1．若点，是与x轴平行的直线上不同的两点，且到y轴的距离相等，则点的坐标是（     ） A． B． C． D． 变式5-2．点在平面直角坐标系的y轴上，轴，且，点Q坐标为________． 变式5-3．如图，在平面直角坐标系中，四边形的面积是（    ） A．4 B． C． D．5 题型06 坐标轴上点的坐标特征 例6．在平面直角坐标系中，点在轴上，则点在（     ）． A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 变式6-1．如果点在轴上，那么点所在的象限是（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 变式6-2．在平面直角坐标系中，若点在轴上，则的值为_________． 变式6-3．点在轴上，则_____． 题型07 与坐标轴平行的直线上点的坐标特征 例7．在平面直角坐标系中，已知正方形的边长为，两个顶点的坐标为，，平行于轴，则顶点的坐标是（    ） A． B．或 C． D．或 变式7-1．已知点，且与坐标轴平行．若点在轴的上方，则点的坐标为_______． 变式7-2．在平面直角坐标系中，点，，若直线与轴平行，则m的值为______． 变式7-3．在平面直角坐标系中，点的坐标是，在第一象限，且与轴平行，且，则点的坐标为______． 题型08 坐标系中被遮挡的点 例8．如图，在平面直角坐标系中，被手挡住的点的坐标可能是（    ） A． B． C． D． 变式8-1．老师写出第三象限的一点的坐标，小明不小心，把纵坐标给弄脏看不清了，则☆挡住的纵坐标可能是 (   ) A． B．0 C．1 D．2 变式8-2．老师在黑板上画出平面直角坐标系，并将数学课本放在如图所示的位置，则下列各点一定没有被书本遮住的点是（     ） A． B． C． D． 变式8-3．在黑板上画出一个平面直角坐标系，并将数学书放在如图所示的位置，则下列点中一定没有被书本遮住的是（     ） A． B． C． D． 题型09 坐标系中的规律问题 例9．如图，在平面直角坐标系中，已知点，按照此规律，点的坐标为（     ） A． B． C． D． 变式9-1．如图所示，点，，，，…，根据这个规律，可得点的坐标是（     ） A． B． C． D． 变式9-2．如图，台球从点出发，沿图示方向运动，每当台球碰到长方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角（），当台球第1次碰到长方形的边时，记为点，第2次碰到长方形的边时，记为点，…，第次碰到长方形的边时，记为点，假设台球一直运动下去，则点的坐标是________． 变式9-3．如图，在平面直角坐标系中，点，，，，，…，的坐标依次为，，，，，，…按此规律排列．设点(为正整数），则 ． 一、单选题 1．如图，小明家相对于学校的位置，下列描述最准确的是（     ） A．北偏东，处 B．南偏西，处 C．北偏东，处 D．距离学校处 2．点在平面直角坐标系的（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．若是y轴上一点，则的值为（     ） A．2 B． C． D． 4．大火是一颗红超巨星，是天蝎座中最亮的星，通常被称为“蝎子的心脏”，如图是天蝎座的星宿图，其中点，，分别代表房宿三，尾宿六与大火，建立平面直角坐标系，若点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标是（     ） A． B． C． D． 5．在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点P是x轴上任意一点，则线段的最小值为（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 6．已知实数，满足，则点位于（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 7．我们规定向东和向北方向为正，如向东走4米，再向北走6米，记作，则向西走5米，再向北走3米记作_________；有序数对表示___________． 8．如图，动点在平面直角坐标系中按图中所示方向运动，第一次从原点运动到点，第二次运动到点，第三次运动到点，第四次运动到点，第五次运动到点，第六次运动到点，按这样的运动规律，点的坐标是________． 9．截至2026年4月9日晚，嫦娥七号探测器已安全运抵中国文昌航天发射场，计划今年下半年择机发射，其将进行月球南极环境与资源勘查．在发射场地面坐标系中，某关键设备位于点，已知点，且直线轴，则的值为__________． 10．在平面直角坐标系中，描出，，三点，依次连接各点得到．分别作出与关于轴和轴对称的图形和，并写出它们各顶点的坐标． 11．如图，以学校为参照点，请用方位角和实际距离分别表示新华书店、少年宫和超市的位置． 12．已知平面直角坐标系内有一点． (1)若点的横、纵坐标之和为，请通过计算确定点所在的象限． (2)点的坐标为，若轴，求的长． 1．将一组数，，，，，，按图中的方法进行排列：                                  …… 若在第2行第3列的位置记为，在第3行第2列的位置记为，则这组数中最大的有理数的位置记为__________． 2．如图，三角形，三角形，三角形…，都是斜边在轴上，斜边长分别为，，，…的等腰直角三角形，且三角形的部分顶点坐标为，，则依图中所示规律，的坐标为______________． 3．如图，在平面直角坐标系中，、两点均在第四象限，其中点，点，若，，则的值为________． 4．在如图所示的平面直角坐标系中，点，，，，在轴上找一点，使三角形的面积等于四边形面积的一半，则点的坐标为____________． 5．如图，长方形中，A点坐标，C点坐标，若过点C的直线交长方形的边于点D，且把长方形的周长分为的两部分，则D点坐标为________． 6．对于平面直角坐标系中的点，若点的坐标为（其中为常数，且），则称点为点的“属派生点”，例如：的“属派生点”为，即．若点在轴的正半轴上，点的“属派生点”为点．且线段的长度为线段长度的倍，求的值． 7．广州市人民公园内一圆形人行步道大致呈长方形ABCD，已知AB边长度约为150米，BC边长度约为210米．某公司通过审批后，在现公园内进行两台马拉松人形机器人的性能测试，机器人甲从A点出发，沿着的顺时针方向跑，机器人乙从B点出发，沿着的逆时针方向跑步．若以点A为原点，AB、AD为x轴和y轴建立平面直角坐标系（如图），当机器人乙的速度是机器人甲的速度2倍时，测得两台机器人同时出发后第一次相遇的地点的坐标为，则机器人乙从出发到跑完半马距离（取21000米）时，两台机器人共相遇了______次，最后一次相遇的地点的坐标为______． 8．在平面直角坐标系中，已知两点，，且，满足，若点在坐标轴上，且满足，则点的坐标为_________． 9．在平面直角坐标系中，已知点，，，在y轴上是否存在点D，使？若存在，请求出符合条件的点D的坐标；若不存在，请说明理由． 10．在平面直角坐标系中，对于、两点给出如下定义：若点到轴、轴的距离中的最大值等于点到轴、轴的距离中的最大值，则称、两点为“等距点”．下图中的、两点即为“等距点”． (1)已知点的坐标为． ①在点，，中，为点的“等距点”的是点 ； ②若点的坐标为，且、两点为“等距点”，则点的坐标为 ； (2)若，两点为“等距点”，求的值． 2 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题3.1 确定位置及平面直角坐标系 教学目标 1.了解有序实数对的含义，知道平面确定位置需要两个数据，会用数对描述实际位置。 2.认识平面直角坐标系，理解横轴、纵轴、原点概念，能够写出平面内点的坐标。 3.掌握各象限、坐标轴上点的坐标特征，熟悉特殊直线上点的坐标规律。 4.会求点到坐标轴、特殊直线的距离，初步建立数形结合的思维分析问题。 教学重难点 重点： 1.理解有序实数对的有序性，会利用两组数据确定平面内点的位置。 2.掌握平面直角坐标系构成，熟记象限与坐标轴上点的坐标符号特征。 3.掌握平行坐标轴、象限角平分线上点的特点，会求点到坐标轴的距离。 难点： 1.区分点的坐标与点到坐标轴的距离，正确使用绝对值处理距离计算问题。 2.灵活运用特殊直线上点的坐标特征，结合条件求解点的未知坐标。 知识点01确定位置 1.有序实数对定义：有先后顺序的两个数组成的数对，记作，叫做有序实数对。 2.核心性质：数对是有序的，顺序不能互换，与表示平面内两个不同的点。 3.书写规范：用括号把两个数括起来，中间用逗号隔开，格式：。 4.生活中的两类定位模型 定位类型 书写示例 解读规则 行列定位（教室、影院 （4排，6号） 前面数字代表行/排，后面代表列/座位号 经纬定位（地理） （东经，北纬） 先经度，后纬度，依靠两组数据确定地点 关键结论：在平面内确定一个点的位置，必须要有两个数据，仅靠一个数据不能确定唯一位置。 【即学即练】 1．张华在李峰的北偏西方向处，那么李峰在张华的（     ） A．南偏东方向处 B．南偏东方向处 C．北偏东方向处 D．南偏西方向处 【答案】A 【详解】解：∵ 张华在李峰的北偏西方向处， ∴ 李峰在张华的南偏东方向处． 2．下列选项中不能确定物体位置的是（     ） A．电影院5排8号 B．南偏西 C．无终东街1586号 D．东经，北纬 【答案】B 【详解】解：选项A、电影院5排8号，有排数和号数两个信息，可以确定位置； 选项B、只有方向“南偏西”，没有距离信息，缺少确定位置的必要条件，不能确定物体位置； 选项C、无终东街1586号，有街道名称和门牌号两个信息，可以确定位置； 选项D、东经，北纬，有经度和纬度两个信息，可以确定位置． 知识点02平面直角坐标系 1.平面直角坐标系的定义 在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴组成平面直角坐标系。 水平的数轴叫做横轴（轴），向右为正方向；竖直的数轴叫做纵轴（轴），向上为正方向；两条数轴的公共原点叫作坐标原点。 注意：同一数轴单位长度一致，一般情况下轴、轴的单位长度保持相同。 2.点的坐标 过平面内一点，分别向轴、轴作垂线。垂足落在轴上对应的数是点的横坐标，垂足落在轴上对应的数是点的纵坐标，点坐标记作。 3.象限与坐标轴上点的特征 （1）第一象限：；（2）第二象限： （3）第三象限：；（4）第四象限： （5）轴上的点：，横坐标为任意实数 （6）轴上的点：，纵坐标为任意实数 注意：轴、轴上的点不属于任何象限。 4.坐标系中的特殊直线 （1）平行于轴的直线：直线上所有点纵坐标相等，形式：； （2）平行于轴的直线：直线上所有点横坐标相等，形式：； （3）一、三象限角平分线：点的横坐标与纵坐标相等，直线：； （4）二、四象限角平分线：点的横坐标与纵坐标互为相反数，直线：。 5.点到坐标轴、特殊直线的距离 设点， （1）点到轴的距离：；到直线的距离： （2）点到轴的距离：；到直线的距离： 【即学即练】 3．晓晓坐在教室的第列第行，用表示；点点坐在晓晓正后方且与晓晓相邻的位置，则点点的位置可表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：晓晓在第列第行，位置记为， 又点点在晓晓正后方相邻位置，列数不变，行数加， 点点的位置为． 4．若点在第二象限，且它到轴的距离是5，到轴的距离是2，则点的坐标是________． 【答案】 【详解】解：∵点在第二象限， ∴，， ∵点到轴的距离是，到轴的距离是， ∴，， ∵，， ∴，， ∴点的坐标是． 题型01 用有序数对表示位置或路线 例1．看图操作并填空． (1)图中点可用数对（_______，_______）表示，若点可用数对表示，请在图中标出点，并画出线段，分别在图中画出一条平行于线段的线段和一条垂直于线段的线段． (2)若点向右平移2格，数对变成（_______，_______）；若点向右平移4格，数对变成（_______，_______）；若点向右平移100格，数对变成（_______，_______）． 【答案】(1)1，2，作图如下： (2)3，2，5，2，105，2 【分析】 【详解】（1）解：点A在第1列第2行，所以用数对表示； 图略； （2）解：点左右平移时，列数变化，行数不变． 点A原数对为，向右平移2格，列数增加2，变成3，行数仍为2，数对变成； 向右平移4格，列数增加4，变成5，行数仍为2，数对变成； 点B原数对为，向右平移100格，列数增加100，变成105，行数仍为2，数对变成． 变式1-1．在办公软件电子表格的界面上，每个单元格的位置都可以用字母和数字确定．如图，单元格中的内容分别为“姓名”“演讲”“绘画”“书法”． A B C D 1 姓名 演讲 绘画 书法 2 李明 88 92 90 3 张磊 86 94 82 4 王涛 78 90 86 5 刘强 90 87 91 (1)请分别指出单元格中的内容． (2)请分别指出王涛的演讲成绩和张磊的书法成绩所在的单元格． 【答案】(1)“李明”；“86”；“90”；“91” (2)； 【分析】 【详解】（1）解：由题意得，单元格中的内容为“李明”， 单元格中的内容为“86”， 单元格中的内容为“90”， 单元格中的内容为“91”； （2）解：由题意得，王涛的演讲成绩所在的单元格为， 张磊的书法成绩所在的单元格为． 变式1-2．如图，在的正方形网格（每小格边长为1）内有一只甲壳虫，它爬行的规律总是沿网格线先左右，再上下．规定：向右与向上为正，向左与向下为负．甲壳虫从A到B的爬行路线记为：，从B到A的爬行路线记为：，其中第一个数表示左右爬行，第二个数表示上下爬行． (1)图中（_______，_______），（_______，_______）． (2)若甲壳虫的爬行路线为，计算甲壳虫爬行的路程． (3)若甲壳虫从点A出发，爬行路线依次为，，，，最终到达点P处，请在图中标出点P的位置． 【答案】(1)，，， (2)10 (3)点的位置如图所示： 【分析】 【详解】（1）解：由题意得：图中，． （2）解：，，， 甲壳虫爬行的路程为； （3）略 变式1-3．如图是中国象棋棋盘示意图，部分黑棋的棋子摆在这些交叉点上，每个交叉点的位置按照先列后行的顺序都可以用一对数来表示如：． (1)分别用两对数表示“马”“炮”所在的位置． (2)两对数和分别表示哪两枚棋子的位置． (3)象棋规则规定：“车”只能沿直线行走，一次可以走任意格．请你用三对数来描述“车”的行走路线：． 【答案】(1)马，炮 (2)表示象，表示卒 (3) 【分析】 【详解】（1）解：根据题意，得马所在的位置用表示，炮所在的位置用表示； （2）解：根据题意，得表示象的位置，表示卒的位置； （3）解：根据题意，得可以用表示． 题型02 直接写出坐标系中的点坐标 例2．若点A在第二象限，且到x轴的距离为2，到y轴的距离为3，则点A的坐标为______________． 【答案】 【详解】解：点到轴的距离为，到轴的距离为， 点的纵坐标为，横坐标为， 点在第二象限，第二象限内点的横坐标为负，纵坐标为正， 点的坐标为． 变式2-1．到x轴和y轴的距离都等于2的点有______________个，坐标分别为__________________________． 【答案】 ，，， 【详解】解：设所求点的坐标为， ∵点到轴的距离等于，到轴的距离等于， ∴，， 解得或；解得或， ∴得到符合条件的点为：，，，． 变式2-2．在平面直角坐标系中，点的坐标为，若轴，且，则点坐标为___________． 【答案】或 【详解】解：∵轴，点的坐标为， ∴B的横坐标为． ， 当点在点上方时，点的纵坐标为， 此时点坐标为； 当点在点下方时，点的纵坐标为，此时点坐标为， ∴点B的坐标为或． 变式2-3．在长方形中，点A的坐标为，点B的坐标为，．求点C的坐标． 【答案】或 【详解】解：如图，设直线与x轴交于点E， ∵点A的坐标为，点B的坐标为， ∴轴， 在长方形中，， ∴轴， ∴， ∵， 当点C在x轴上方时，， 此时点C的坐标为； 当点C在x轴下方时，， 此时点C的坐标为； 综上所述，点C的坐标为或． 题型03 建立坐标系写出点坐标 例3．如图，在象棋盘上建立平面直角坐标系，若“将”位于点，“象”位于点， （I）则“炮”位于点的坐标是_________； （II）如果“象”再走一步，那么“象”的新位置位于点的坐标是_________． 【答案】 或 【详解】解：由“将”和“象”可建立如图所示平面直角坐标系： ①“炮”位于点的坐标是； ②根据中国象棋规则，如果“象”再走一步，那么“象”的新位置位于点的坐标是或． 变式3-1．孔明灯（又称天灯）是一种利用热空气上升原理制成的传统飞行器．在如图所示的网格中建立平面直角坐标系，使得孔明灯，的坐标分别为、，则孔明灯的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：建立平面直角坐标系如图所示： 由图可知，孔明灯的坐标为． 变式3-2．[活动]用坐标描述公园景点位置：春天到了，七年级（2）班组织同学到人民公园春游，李明、张华对着景区示意图，描述牡丹园的位置（图中小正方形的边长代表长）如下． 李明：“牡丹园的坐标是．” 张华：“牡丹园在中心广场东北方向约处．” 实际上，他们所说的位置都是正确的． (1)请你根据李明同学所说的位置，帮他在示意图中建立平面直角坐标系，写出湖心亭、望春亭的坐标． (2)请你根据张华对牡丹园位置的描述，描述一下音乐台、游乐园的位置． 【答案】(1) 湖心亭、望春亭 (2)音乐台在中心广场正北方向处；游乐园在中心广场东南方向约处 【分析】 【详解】（1）解：∵牡丹园的坐标是， ∴以牡丹园向左3个单位长度，再向下3个单位长度的中心广场为原点，建立平面直角坐标系略， 根据直角坐标系可知：湖心亭、望春亭． （2）解：∵牡丹园在中心广场东北方向约处， ∴一个小正方形对角线约长， ∴音乐台在中心广场正北方向处；游乐园在中心广场东南方向约处． 变式3-3．如图是一所学校的平面示意图，若用表示教学楼，表示旗杆． (1)在网格中画出平面直角坐标系，并写出实验楼和校门的坐标； (2)在平面直角坐标系中，校门与图书馆相距________个单位长度． 【答案】(1)解：如图所示即为所示， 实验楼，校门 (2) 【详解】（1）略； 【点睛】解：校门坐标，图书馆坐标，相距3个单位长度． 题型04 判断点所在象限 例4．若点M的坐标为，则点M在（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【详解】解：∵点M的坐标为， ∴点M的横坐标为负，纵坐标为正， ∴点M在第二象限． 变式4-1．若点在第二象限，则点在第______________象限． 【答案】一 【详解】解：点在第二象限， ，， ， 点的横坐标为正，纵坐标为正， 点在第一象限． 变式4-2．若点 在轴上，则点在第________象限． 【答案】二 【详解】解：∵点在轴上，轴上点的纵坐标为， ∴， 将代入点的坐标，得， ∵点的横坐标小于，纵坐标大于， ∴点在第二象限. 变式4-3．在平面直角坐标系中，点位于（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【详解】解：∵， ∴. ∵点的纵坐标， ∴点位于第四象限. 题型05 点到坐标轴的距离 例5．点在第二象限，距离轴6个单位长度，距离轴2个单位长度，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵点M在第二象限， ∴点M的横坐标为负，纵坐标为正， ∵点M距离x轴6个单位长度， ∴点M的纵坐标为6， ∵点M距离y轴2个单位长度， ∴点M的横坐标为， ∴点M的坐标为． 变式5-1．若点，是与x轴平行的直线上不同的两点，且到y轴的距离相等，则点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵点，在与轴平行的直线上， ∴， ∵两点到轴的距离相等， ∴，即， ∵两点是不同的点，当时，、坐标均为，两点重合，不符合题意， ∴， ∴点的坐标为． 变式5-2．点在平面直角坐标系的y轴上，轴，且，点Q坐标为________． 【答案】或 【详解】解：点在轴上， ，解得， 把代入纵坐标得：， ， 轴，且， 设，则，解得或， 点坐标为或． 变式5-3．如图，在平面直角坐标系中，四边形的面积是（    ） A．4 B． C． D．5 【答案】C 【详解】解：过点作轴于点． ， ， ， ． 题型06 坐标轴上点的坐标特征 例6．在平面直角坐标系中，点在轴上，则点在（     ）． A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【详解】解：∵点在轴上， ∴， ∴点的坐标为，即， ∵，， ∴点在第二象限． 变式6-1．如果点在轴上，那么点所在的象限是（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【详解】解：点在轴上， ， 解得， ，， 点的坐标为， 点在第二象限． 变式6-2．在平面直角坐标系中，若点在轴上，则的值为_________． 【答案】 【详解】解：∵点在轴上， ∴， 解得． 变式6-3．点在轴上，则_____． 【答案】 【详解】解：因为y轴上的点的横坐标为，点在轴上， 所以， 解得． 题型07 与坐标轴平行的直线上点的坐标特征 例7．在平面直角坐标系中，已知正方形的边长为，两个顶点的坐标为，，平行于轴，则顶点的坐标是（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【详解】解：∵平行于y轴，， ∴点C的横坐标为3． ∵正方形边长为4， ∴． 当点C在点B上方时，点C的纵坐标为，即； 当点C在点B下方时，点C的纵坐标为，即． 变式7-1．已知点，且与坐标轴平行．若点在轴的上方，则点的坐标为_______． 【答案】或或 【详解】解：由题意得， 当轴时， ∵点坐标为， ∴点的纵坐标为，满足点在轴上方， 又∵， ∴，， ∴点的坐标为或， 当轴时， ∵点坐标为， ∴点的横坐标为， 又∵，点在轴上方， 当点在点上方时，纵坐标为，符合条件，此时点坐标为， 当点在点下方时，纵坐标为，不符合条件，舍去， 综上所述，点的坐标为或或． 变式7-2．在平面直角坐标系中，点，，若直线与轴平行，则m的值为______． 【答案】3 【详解】解：∵直线与轴平行，且，， ∴， 解得． 变式7-3．在平面直角坐标系中，点的坐标是，在第一象限，且与轴平行，且，则点的坐标为______． 【答案】 【详解】解：∵点的坐标是，与轴平行， ∴点的纵坐标是 ∵， ∴或， ∵在第一象限， ∴点的坐标为． 题型08 坐标系中被遮挡的点 例8．如图，在平面直角坐标系中，被手挡住的点的坐标可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：根据被手挡住的点在第三象限，则横坐标为负数，纵坐标为负数 ∴选项的点符合题意， 故选：． 变式8-1．老师写出第三象限的一点的坐标，小明不小心，把纵坐标给弄脏看不清了，则☆挡住的纵坐标可能是 (   ) A． B．0 C．1 D．2 【答案】A 【详解】解：第三象限的一点的坐标， 只有选项A符合题意． 故选：A 变式8-2．老师在黑板上画出平面直角坐标系，并将数学课本放在如图所示的位置，则下列各点一定没有被书本遮住的点是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由图可知，第四象限内的点一定不被书本遮盖， ∵在第四象限， ∴此点一定不被书本遮住，故选项B符合题意； 而在第三象限，在第一象限，在第二象限，都有可能被书本遮住． 变式8-3．在黑板上画出一个平面直角坐标系，并将数学书放在如图所示的位置，则下列点中一定没有被书本遮住的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A选项，点在第一象限，有可能被书本遮住； B选项，在第二象限，一定没有被书本遮住； C选项，在第三象限，有可能被书本遮住； D选项，在第四象限，有可能被书本遮住 ． 题型09 坐标系中的规律问题 例9．如图，在平面直角坐标系中，已知点，按照此规律，点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：观察已知点坐标， ，，， ， 偶数项点 的坐标规律为 ． ， 令 ， 点 的横坐标为 ． 纵坐标为 ． ． 变式9-1．如图所示，点，，，，…，根据这个规律，可得点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：结合图象，观察点，，，等各点的坐标规律可知：各点的横坐标依次为连续自然数，纵坐标以2、0、、0为周期循环，周期为， ∵， ∴点的纵坐标与的纵坐标相同，也为2， ∴的坐标为． 变式9-2．如图，台球从点出发，沿图示方向运动，每当台球碰到长方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角（），当台球第1次碰到长方形的边时，记为点，第2次碰到长方形的边时，记为点，…，第次碰到长方形的边时，记为点，假设台球一直运动下去，则点的坐标是________． 【答案】 【详解】解：如图，根据反射角与入射角的定义作出图形，    根据图形可以得到：每次反弹为一个循环组依次循环，经过次反弹后动点回到出发点， ， ∴点的坐标与点坐标相同，即为． 变式9-3．如图，在平面直角坐标系中，点，，，，，…，的坐标依次为，，，，，，…按此规律排列．设点(为正整数），则 ． 【答案】 【详解】解：由题意得，点，，，的坐标和为：， ，与，纵坐标相同，横坐标分别加，，与，纵坐标相同，横坐标分别加， ，，，的坐标和为：， 同理可得，，，的坐标和为：，… 一、单选题 1．如图，小明家相对于学校的位置，下列描述最准确的是（     ） A．北偏东，处 B．南偏西，处 C．北偏东，处 D．距离学校处 【答案】B 【详解】解：由图可知，小明家在学校的南偏西方向，小明家所在方向与正南方向向西的夹角为， 因此，小明家在学校南偏西，处． 2．点在平面直角坐标系的（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【详解】解：，， 点在第二象限． 3．若是y轴上一点，则的值为（     ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵点在轴上， ∴， 解得． 4．大火是一颗红超巨星，是天蝎座中最亮的星，通常被称为“蝎子的心脏”，如图是天蝎座的星宿图，其中点，，分别代表房宿三，尾宿六与大火，建立平面直角坐标系，若点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：点的坐标为，点 的坐标为， 结合图形可知，网格中小正方形的边长为个单位长度，且原点位于点左侧个单位、下方个单位处， 观察图形可知，点位于原点右侧 个单位、上方个单位处， 点的坐标为． 5．在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点P是x轴上任意一点，则线段的最小值为（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【详解】解：当轴时，取得最小值， ∵点A的坐标为， ∴点A到x轴的距离为， ∴线段的最小值为5． 6．已知实数，满足，则点位于（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴，． 解得，． ∴，． ∴点的横坐标为负，纵坐标为正，位于第二象限． 十二、填空题 7．我们规定向东和向北方向为正，如向东走4米，再向北走6米，记作，则向西走5米，再向北走3米记作_________；有序数对表示___________． 【答案】 ； 向西走2米，再向南走6米 【详解】解：由题意得：向西走5米，再向北走3米记作： 数对表示向西走2米，再向南走6米， 故答案为：；向西走2米，再向南走6米. 【点睛】本题考查的是利用有序数对表示行进路线，正确的理解题意是解题的关键. 8．如图，动点在平面直角坐标系中按图中所示方向运动，第一次从原点运动到点，第二次运动到点，第三次运动到点，第四次运动到点，第五次运动到点，第六次运动到点，按这样的运动规律，点的坐标是________． 【答案】 【详解】解：由图可知，，，，，，，，，， 可以发现规律：横坐标与运动次数相等， 纵坐标每次运动组成一个循环：； ， 点的纵坐标是， ∴点的坐标是． 9．截至2026年4月9日晚，嫦娥七号探测器已安全运抵中国文昌航天发射场，计划今年下半年择机发射，其将进行月球南极环境与资源勘查．在发射场地面坐标系中，某关键设备位于点，已知点，且直线轴，则的值为__________． 【答案】 【详解】解：轴，点，点， ， 解得，． 十三、解答题 10．在平面直角坐标系中，描出，，三点，依次连接各点得到．分别作出与关于轴和轴对称的图形和，并写出它们各顶点的坐标． 【答案】 的顶点坐标为，，；的顶点坐标为，， 【详解】略 11．如图，以学校为参照点，请用方位角和实际距离分别表示新华书店、少年宫和超市的位置． 【答案】 新华书店在学校北偏西方向，实际距离学校处； 少年宫在学校南偏西方向，实际距离学校处； 超市在学校北偏东方向，实际距离学校处． 【详解】解：新华书店在学校北偏西方向，实际距离学校处； 少年宫在学校南偏西方向，实际距离学校处； 超市在学校北偏东方向，实际距离学校处． 12．已知平面直角坐标系内有一点． (1)若点的横、纵坐标之和为，请通过计算确定点所在的象限． (2)点的坐标为，若轴，求的长． 【答案】(1)第四象限 (2) 【分析】 【详解】（1）解：由题意，得，解得， 点的坐标为， 点在第四象限． （2）解：轴， 点与点的横坐标相同， ，解得， ， 点的坐标为， ． 1．将一组数，，，，，，按图中的方法进行排列：                                  …… 若在第2行第3列的位置记为，在第3行第2列的位置记为，则这组数中最大的有理数的位置记为__________． 【答案】 【详解】解：将这组数统一改写为根号形式，可得规律：第个数为， ∵， ∴这组数中所有数的被开方数最大为， ∵要得到有理数，被开方数需为完全平方数，且，， ∴这组数中最大的有理数， 令， 解得， ∴是第个数， ∵排列中每行有个数， ∴， 即第个数在第行第列，位置记为． 2．如图，三角形，三角形，三角形…，都是斜边在轴上，斜边长分别为，，，…的等腰直角三角形，且三角形的部分顶点坐标为，，则依图中所示规律，的坐标为______________． 【答案】 【详解】解：观察图形可知，，，，……，分别为第，，，……，个等腰直角三角形的直角顶点， 第个等腰直角三角形的斜边长为， 该三角形斜边上的高为，即点的横坐标的绝对值为； 观察图形可知，当为奇数时，点在轴左边，横坐标为负；当为偶数时，点在轴右边，横坐标为正， ， 点是第个等腰直角三角形的直角顶点； 是奇数， 点的横坐标为； 点的纵坐标规律：第个三角形斜边为，，，中点纵坐标为，即纵坐标为； 第个三角形斜边为，，，中点纵坐标为，即纵坐标为； 第个三角形斜边为，，，中点纵坐标为，即纵坐标为； 第个三角形斜边为，，，中点纵坐标为，即纵坐标为； …… 由此可知，当为奇数时，点的纵坐标为；当为偶数时，点的纵坐标为； 是奇数， 点的纵坐标为； 综上所述，点的坐标为． 3．如图，在平面直角坐标系中，、两点均在第四象限，其中点，点，若，，则的值为________． 【答案】 【详解】解：过点作轴于，过点作，交的延长线于，如图， 则有， ∵， ∴， ∴， ∵， 在与中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴，即的值为2． 4．在如图所示的平面直角坐标系中，点，，，，在轴上找一点，使三角形的面积等于四边形面积的一半，则点的坐标为____________． 【答案】或 【详解】解：如图，作轴于点，作轴于点，则四边形被分成了直角三角形，直角三角形，直角梯形， ， ， ， ， 或， 点的坐标为或． 5．如图，长方形中，A点坐标，C点坐标，若过点C的直线交长方形的边于点D，且把长方形的周长分为的两部分，则D点坐标为________． 【答案】或 【详解】解：由题可知，则长方形的周长为， 又直线把长方形的周长分为的两部分， 所以一部分为，另一部分为， 如图，若直线与边相交于点， ，解得，则； 如图，若直线与边相交于点， ，解得，则； 综上，D点坐标为或． 6．对于平面直角坐标系中的点，若点的坐标为（其中为常数，且），则称点为点的“属派生点”，例如：的“属派生点”为，即．若点在轴的正半轴上，点的“属派生点”为点．且线段的长度为线段长度的倍，求的值． 【答案】 【详解】解：∵点在轴的正半轴上， ∴点的纵坐标为， 设， ∴点的“属派生点”点为， ∴，， ∵线段的长度为线段长度的倍， ∴， ∴， ∴． 7．广州市人民公园内一圆形人行步道大致呈长方形ABCD，已知AB边长度约为150米，BC边长度约为210米．某公司通过审批后，在现公园内进行两台马拉松人形机器人的性能测试，机器人甲从A点出发，沿着的顺时针方向跑，机器人乙从B点出发，沿着的逆时针方向跑步．若以点A为原点，AB、AD为x轴和y轴建立平面直角坐标系（如图），当机器人乙的速度是机器人甲的速度2倍时，测得两台机器人同时出发后第一次相遇的地点的坐标为，则机器人乙从出发到跑完半马距离（取21000米）时，两台机器人共相遇了______次，最后一次相遇的地点的坐标为______． 【答案】 43 【详解】解：∵乙的速度是机器人甲的速度2倍， ∴设甲的速度为，则乙的速度为， 乙从出发到跑完半马用时， 此时甲跑了米， 则甲乙共跑了（米）， 第一次相遇时，两人共走了（米）， 则剩余路程为（米）， 从第一次相遇后每合跑米，两人相遇一次， 则相遇（次）， 取整数则相遇42次，加上第一次相遇，共相遇（次）； ∵设甲的速度为，则乙的速度为， ∴第一次相遇时，乙跑了（米） 第一次相遇后每合跑一圈，乙跑（米）， 则最后一次相遇时乙跑的总路程为（米）， ， 即乙跑了28圈加380米，即又回到． 8．在平面直角坐标系中，已知两点，，且，满足，若点在坐标轴上，且满足，则点的坐标为_________． 【答案】或 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∴，， 当点在轴上时，设点的坐标为， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴； 当点在轴上时，设点的坐标为， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴； 综上，点的坐标为或． 9．在平面直角坐标系中，已知点，，，在y轴上是否存在点D，使？若存在，请求出符合条件的点D的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】或 【详解】解：∵，， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点D的纵坐标为或， ∴点D的坐标为或． 10．在平面直角坐标系中，对于、两点给出如下定义：若点到轴、轴的距离中的最大值等于点到轴、轴的距离中的最大值，则称、两点为“等距点”．下图中的、两点即为“等距点”． (1)已知点的坐标为． ①在点，，中，为点的“等距点”的是点 ； ②若点的坐标为，且、两点为“等距点”，则点的坐标为 ； (2)若，两点为“等距点”，求的值． 【答案】(1)①、；② (2)的值是1或2 【分析】 【详解】（1）解：①∵点到x、y轴的距离中最大值为3，点到x、y轴的距离中最大值为3，点到x、y轴的距离中最大值为3，点到x、y轴的距离中最大值为5， ∴与A点是“等距点”的点是，； 综上，为点的“等距点”的是点E，F； ②∵点到x、y轴的距离中最大值为3，且， ∵点的坐标为，且、两点为“等距点”， ∴， 解得或， ∴或， ∴点的坐标为或， ∵，、两点为“等距点”， ∴点的坐标为； （2）解：∵， ∴当，两点为“等距点”时，则有： ①，且， 解得或1，且， ∴； ②，且， 解得或，且或， ∴； 综上，的值为1或2． 2 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $