精品解析：重庆市南开中学校2026届高三第五次质量检测数学试题

重庆市高 2026 届高三第五次质量检测 数学试题 命审单位：重庆南开中学 注意事项： 1.本试卷满分 150 分，考试时间 120 分钟. 2. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 3. 回答选择题时， 选出每小题答案后， 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 4. 考试结束后， 将本试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题：本题共 8 小题， 每小题 5 分， 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中， 只有一项符合题目要求. 1. 已知集合，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 2. 已知公差不为 的等差数列 的前 项和为 ， ，且 ，则（ ） A. B. C. D. 3. 调查敏感问题时，一般难以获得被调查者的合作，所得结果可能不真实，此时通常采用“瓦纳随机问答法”进行调查. 为调查中学生心理压力的情况，提出如下问题，问题 1 ：你现在心理压力很大吗？ 问题 2： 你学籍号尾号是偶数吗? 然后要求被调查的中学生抛掷硬币回答， 如果出现正面朝上， 就回答第一个问题； 否则回答第二个问题. 整个调查过程全程保密， 由于回答哪一个问题只有测试者自己知道，所以测试者一般乐意如实回答问题. 现在对学籍号为的1000名中学生进行调查， 其中有260名学生回答 “是”，则估计心理压力很大的中学生百分比大约为（ ） A. B. C. D. 4. 已知向量 满足： ，则 （ ） A. B. C. D. 5. 函数是定义在 上的偶函数，则在的最大值为（） A. B. 1 C. D. 6. 已知四个正整数满足，且 的平均数和中位数都为5，则可能的取值情况总数是（ ） A. 7 B. 9 C. 10 D. 12 7. 若函数 既存在极大值点，又存在极小值点，则实数 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知椭圆的左，右焦点分别为 ，过的直线交椭圆 于点 (点 在轴的上方)，过作直线的垂线，垂足为 ， 为等腰直角三角形，且 ， 则椭圆的离心率为（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，部分选对得部分分，有选错得 0 分. 9. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 是函数的一个周期 B. 是函数的一条对称轴 C. 函数在有三个零点 D. 函数为偶函数 10. 如图，抛物线 的焦点为 ，过 的直线 交抛物线 于 两点，交 轴于 点，其中点 在直线 上， 面积为 5，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知数列 的前 项和为 ，且 ，且存在 ， 使 成等差数列，则下列说法正确的是（ ） A. 数列 为等差数列 B. 不是整数 C. 的值可以是 2025 D. 的最小值为 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 12. 小南同学想在新年来临之际用自己的零花钱给自己的爷爷、爸爸妈妈和三个表哥每人分别买一件礼物，小南看中三样礼物：甲礼物(10 元/件)、乙礼物(20 元/件)、丙礼物(30 元/件)，在同学的建议下，小南最终决定采用如下方案选购礼物：①不同辈分的礼物不同；②相同辈分的礼物相同， 则小南要备齐所需礼物所花销费用的最小值为_____. 13. 已知关于 的方程 的根为复数 ，其中 为虚数单位，则 _____. 14. 如图，正方体 棱长为2， 为 的中点， 为空间中的点，且满足 ，则多面体 体积的最大值为_____. 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知曲线在处的切线方程为. （1）求实数的值； （2）求函数在区间上的值域. 16. 如图，平行四边形 中， 中点为 ，现以 为折痕把 折起，使点 到达点 的位置. （1）若 中点为 ，证明： 平面 ； （2）若 ，求 与平面 所成角的正弦值. 17. 已知在 中， 分别是角所对的边，且 ,,为 外接圆劣弧 上一动点. （1）求A； （2）在四边形 中，若 为 的内角平分线，记 的面积分别为， ，若 ， 求 的取值范围. 18. 已知袋中有 个白球， 个红球， 个黑球，其中 ，这些球除颜色外没有其他差异. 现每次从袋中不放回的随机取一个球， 直到所有小球全部取完. （1）若 ， ， ，求在最后一次取出黑球的条件下，白球最先被全部取出的概率； （2）记白球最先被全部取出的概率为 . （i）求 (结果用 表示)； （ii）已知 ，证明： .(参考数据：  ) 19. 在平面直角坐标系 中，已知动点 到点 的距离与到直线 的距离之比为 2， 记动点 的轨迹为 . （1）求轨迹 的标准方程； （2）已知圆： ，圆的切线交曲线于 、两点. （i）当 时，若 ，且切点在第二象限，求切线的斜率； （ii）当 时，已知是关于轴对称的两点，是否存在 ，使得 的外接圆过定点； 若过定点，求出定点坐标； 若不存在 ，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆市高 2026 届高三第五次质量检测 数学试题 命审单位：重庆南开中学 注意事项： 1.本试卷满分 150 分，考试时间 120 分钟. 2. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 3. 回答选择题时， 选出每小题答案后， 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 4. 考试结束后， 将本试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题：本题共 8 小题， 每小题 5 分， 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中， 只有一项符合题目要求. 1. 已知集合，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次根式的性质，结合分式的性质、一元二次不等式的解法、集合交集的性质进行求解即可. 【详解】由函数的解析式可得， 由， 因此， 又因为， 所以 ，于是有 ， 故选：B 2. 已知公差不为 的等差数列 的前 项和为 ， ，且 ，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由已知条件得到和的关系，再将用表示，则可得结果. 【详解】由可得，即. 则, 所以，则C正确. 故选：C. 3. 调查敏感问题时，一般难以获得被调查者的合作，所得结果可能不真实，此时通常采用“瓦纳随机问答法”进行调查. 为调查中学生心理压力的情况，提出如下问题，问题 1 ：你现在心理压力很大吗？ 问题 2： 你学籍号尾号是偶数吗? 然后要求被调查的中学生抛掷硬币回答， 如果出现正面朝上， 就回答第一个问题； 否则回答第二个问题. 整个调查过程全程保密， 由于回答哪一个问题只有测试者自己知道，所以测试者一般乐意如实回答问题. 现在对学籍号为的1000名中学生进行调查， 其中有260名学生回答 “是”，则估计心理压力很大的中学生百分比大约为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意回答问题2的学生有500人，其中有250人回答是，由此得到回答问题1的学生有500人，其中10人回答是，从而能估计心理压力很大的中学生的百分比． 【详解】由题意，回答问题2的学生有：人， 则回答问题2的学生回答是的有人， 而回答问题1的学生有500人，其中有人回答是， 因此估计心理压力很大的中学生百分比大约为. 故选：A 4. 已知向量 满足： ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量垂直的数量积表示求出，再由平面向量的夹角公式求解即可. 【详解】， 则， 即，解得 ， 所以， 又，所以. 故选：B 5. 函数是定义在 上的偶函数，则在的最大值为（） A. B. 1 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用偶函数性质求出，分析函数在区间内的单调性，结合偶函数对称性求最大值. 【详解】由是偶函数，得对成立. ， 所以，， 整理得恒成立，故. 此时，区间为. 因是偶函数，仅需分析的情况， 当时，，非负且单调递增， 非负且单调递增，故在时单调递增， 最大值为. 故选：D 6. 已知四个正整数满足，且 的平均数和中位数都为5，则可能的取值情况总数是（ ） A. 7 B. 9 C. 10 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】由平均数和中位数的定义可得，再列举情况即可求解. 【详解】由题意，， 则，且， 则可能的取值情况为：；；；；； ；；；；，共10种情况. 故选：C 7. 若函数 既存在极大值点，又存在极小值点，则实数 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意可得有2个正根，所以有2个正根，通过换元可得有两个正根，即有两个正根，令，求导可得的单调性，结合图象即可求得实数 的取值范围. 【详解】由题意得，因为存在极大值点，又存在极小值点， 所以有2个正根，即有2个正根. 当时，在上单调递增， 此时至多1个零点，不符合题意，故 ； 令，由，得，即， 即有两个正根， 令，则与有两个不同的交点， 求导得， 所以当 时， ，函数在上单调递增， 当 时， ，函数在上单调递减， 所以， 画出函数的图像如图所示： 由在上有两个正根，则， 所以，所以实数 的取值范围是. 故选：A 8. 已知椭圆的左，右焦点分别为 ，过的直线交椭圆 于点 (点 在轴的上方)，过作直线的垂线，垂足为 ， 为等腰直角三角形，且 ， 则椭圆的离心率为（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】设，由题意可得，由已知可得或，利用余弦定理即可求解. 【详解】设，因为 为等腰直角三角形，所以， 所以，，则， 解得，所以，. 因为为等腰直角三角形，所以或， 当时，由余弦定理可得， ，即， 即，所以， 所以，所以， 解得或. 当，此时，与矛盾，故不符合题意. 综上所述：椭圆 的离心率为或. 故选：B. 二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，部分选对得部分分，有选错得 0 分. 9. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 是函数的一个周期 B. 是函数的一条对称轴 C. 函数在有三个零点 D. 函数为偶函数 【答案】ACD 【解析】 【分析】由诱导公式及辅助角公式化简函数，由解析式求得函数最小正周期、对称轴函数零点，判断ABC选项，写出函数解析式，由解析式得函数奇偶性，判断D选项. 【详解】， ∴函数的最小正周期，A选项正确； 令，则，当时，，B选项错误； 令，则，∵， ∴，，，∴函数在有三个零点，C选项正确； 是偶函数，D选项正确. 故选：ACD. 10. 如图，抛物线 的焦点为 ，过 的直线 交抛物线 于 两点，交 轴于 点，其中点 在直线 上， 面积为 5，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】求出，设直线 的方程为 ，联立抛物线，由韦达定理求点坐标，再由三角形面积得出，据此求出坐标及的值，逐项判断即可. 【详解】设直线 的方程为 ， 因为 在直线 上， 联立，解得或，所以， 联立，得， 所以，解得， 由，解得，故A正确； 所以，，故B错误； 由, 则，故C正确； 由A在直线上，可得，解得， 所以直线 的方程为，令，可得，即， 所以， ，故，故D错误. 故选：AC 11. 已知数列 的前 项和为 ，且 ，且存在 ， 使 成等差数列，则下列说法正确的是（ ） A. 数列 为等差数列 B. 不是整数 C. 的值可以是 2025 D. 的最小值为 【答案】BC 【解析】 【分析】对A，由已知递推式变形可知数列是等比数列；对B，计算，通过二项式定理进行判断；对C，由成等差数列，判断的可能性；对D，由知当为奇数时，是有效解，化简分析最值. 【详解】对于A：由可得，即， 又，所以数列是以2为公比和首项的等比数列，A错误； 对于B：因为数列是等比数列，且首项为，公比 ， 所以，所以， 所以， ， 因为， 所以， 显然不是整数，B正确； 对于C：因为成等差数列，所以，即， 当时，，则，即， 取，则，满足，C正确； 对于D：由，得①， 当为奇数，时，①式即恒成立. 此时， 因为是奇数，最接近 的奇数为，对应值为，并非，D错误； 故选：BC. 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 12. 小南同学想在新年来临之际用自己的零花钱给自己的爷爷、爸爸妈妈和三个表哥每人分别买一件礼物，小南看中三样礼物：甲礼物(10 元/件)、乙礼物(20 元/件)、丙礼物(30 元/件)，在同学的建议下，小南最终决定采用如下方案选购礼物：①不同辈分的礼物不同；②相同辈分的礼物相同， 则小南要备齐所需礼物所花销费用的最小值为_____. 【答案】元 【解析】 【分析】运用分类讨论思想进行求解即可. 【详解】若爷爷、爸爸妈妈和三个表哥的礼物分别是甲礼物、乙礼物、丙礼物， 则需要花销费用； 若爷爷、爸爸妈妈和三个表哥的礼物分别是甲礼物、丙礼物、乙礼物， 则需要花销费用； 若爷爷、爸爸妈妈和三个表哥的礼物分别是乙礼物、甲礼物、丙礼物， 则需要花销费用； 若爷爷、爸爸妈妈和三个表哥的礼物分别是乙礼物、丙礼物、甲礼物， 则需要花销费用； 若爷爷、爸爸妈妈和三个表哥的礼物分别是丙礼物、甲礼物、乙礼物， 则需要花销费用； 若爷爷、爸爸妈妈和三个表哥的礼物分别是丙礼物、乙礼物、甲礼物， 则需要花销费用， 所以小南要备齐所需礼物所花销费用的最小值为元， 故答案为：元 13. 已知关于 的方程 的根为复数 ，其中 为虚数单位，则 _____. 【答案】 【解析】 【分析】令，代入方程，利用复数相等，求出，即可求得. 【详解】由题意，令， 则， 展开并整理得， 所以，解得或， 则或， 当时，；当时，, 所以. 故答案为： 14. 如图，正方体 棱长为2， 为 的中点， 为空间中的点，且满足 ，则多面体 体积的最大值为_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意建立合适的空间直角坐标系，得到 点坐标，然后求出点到平面的距离的最大值，再根据三棱锥的体积公式得到的体积，即可求解． 【详解】由已知，以A为原点，建立如图所示空间直角坐标系， 则， 因为 ， 则 ，则  ， 不妨取平面的法向量为， 则点到平面的距离为 ， 当且仅当时取“=”， 又， 所以，即三棱锥的体积的最大值为，  又因为 为  的中点，则， 所以多面体  的体积的最大值为. 故答案为：. 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知曲线在处的切线方程为. （1）求实数的值； （2）求函数在区间上的值域. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）结合切线的点与斜率，联立函数值与导数值的方程求解； （2）求导分析函数单调性，计算区间内关键点的函数值，确定值域. 【小问1详解】 由切线方程，得. ，故. 求导得，切线斜率为3，故. 联立，解得，. 【小问2详解】 由（1）得，求导得. 在上，，， 故：时，，单调递减；时，，单调递增. ，，. 故在上的值域为. 16. 如图，平行四边形 中， 中点为 ，现以 为折痕把 折起，使点 到达点 的位置. （1）若 中点为 ，证明： 平面 ； （2）若 ，求 与平面 所成角的正弦值. 【答案】（1）取 中点 ，连接 ，因为 分别为 中点，所以 ，且 ， 又四边形 是平行四边形，且为中点，所以 ，且 ， 所以 ，且 ，所以四边形 是平行四边形， 所以 ，又 平面 ， 平面 ， 所以 平面 . （2）. 【解析】 【分析】（1）取 中点 ，证明四边形 是平行四边形，则由线面平行的判定定理可证； （2）根据给定条件，建立空间直角坐标系，再由线面角的向量求法求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 在 中，， 所以 ，所以 ， 因为，所以 . 在 中，， 所以，即，解得. 因为，所以 ，又 ， 平面 ， 所以 平面ABCD. 以为原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系， 则 ，所以 ， 设平面 的法向量为 ，则，即，令，则 ， 所以 是平面 的一个法向量， 设直线与平面 所成角为 ，则， 即直线与平面 所成角的正弦值是. 17. 已知在 中， 分别是角所对的边，且 ,,为 外接圆劣弧 上一动点. （1）求A； （2）在四边形 中，若 为 的内角平分线，记 的面积分别为， ，若 ， 求 的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由两角和正弦公式及正弦定理边化角得到，再由展开化简即可求解； （2）令的中点为，在中，由余弦定理得：，再结合三角形面积公式即可求解. 【小问1详解】 由， 可得：，又， 即， 由正弦定理可得：， 又，得到， 即， 即, 即， 因为，所以， 所以， 即， 即，又 ， 所以， 所以，即； 【小问2详解】 由题意， 又，所以， 即， 所以， 令的中点为，由条件可知为的直径，为外接圆的圆心， 由圆的性质可得：，可得， 在中，由余弦定理得：， 所以， 所以由，得：， 又为三角形内角， ， 化简可得：，又， 所以. 18. 已知袋中有 个白球， 个红球， 个黑球，其中 ，这些球除颜色外没有其他差异. 现每次从袋中不放回的随机取一个球， 直到所有小球全部取完. （1）若 ， ， ，求在最后一次取出黑球的条件下，白球最先被全部取出的概率； （2）记白球最先被全部取出的概率为 . （i）求 (结果用 表示)； （ii）已知 ，证明： .(参考数据：  ) 【答案】（1）； （2）（i）；（ii）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）设事件，再根据条件概率公式即可得到答案； （2）（i）根据全概率公式即可得到答案. （ii）变形得，再裂项求和得，等价转化为证明，再构造函数，求导得其最值即可证明； 【小问1详解】 记白球最先被全部取出的事件为，最后取出红球的事件为，最后取出黑球的事件为， . 则概率为. 【小问2详解】 （i）显然事件与事件互斥，则， ， ， 所以， 整理得：. （ii）由（i）得：， 所以． 所以：． 裂项求和得：. 下证：，即证：※ 令， 求导得：， 由， 令， 解得，两根均小于0， 因为，所以当， 即， 所以：成立． 19. 在平面直角坐标系 中，已知动点 到点 的距离与到直线 的距离之比为 2， 记动点 的轨迹为 . （1）求轨迹 的标准方程； （2）已知圆： ，圆的切线交曲线于 、两点. （i）当 时，若 ，且切点在第二象限，求切线的斜率； （ii）当 时，已知是关于轴对称的两点，是否存在 ，使得 的外接圆过定点； 若过定点，求出定点坐标； 若不存在 ，请说明理由. 【答案】（1） （2）（i）或；（ii）存在 ，定点 【解析】 【分析】设，由题意可得，化简即可； （2）（i）由直线与双曲线相交弦长公式即可求解；（ii）由对称性确定 的外接圆圆心在轴上，结合直线与双曲线相交弦长公式，及圆的弦长几何计算法列出等式，进而可求解. 【小问1详解】 设，由题意可得， 即， 平方化简可得： 【小问2详解】 （i）当 时，圆方程为：， 设切线方程为：，， 所以，平方可得：， 联立，得， ， 所以， 所以 即， 化简可得：， 解得：或，又， 所以或； （ii）当切线斜率存在时，设切线方程为：， 所以，平方可得， 联立，得， ，， 所以， 所以中点， 所以的中垂线方程为：， 所以， 因为关于轴对称，则 的外接圆圆心在轴上，设圆心坐标为，半径为， 则外接圆方程为 ， 若将切点上下对称，则由对称性，若外接圆过定点，则定点在轴上， 所以的中垂线交轴于，即为圆心， 所以， 所以， 所以圆的方程为， 令，得：， 将代入化简可得：， 若要和斜率无关，则，即，此时定点为原点， 若斜率不存在时，此时切线方程为或，（）与双曲线无交点，故舍去， 所以定点为原点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $