15.1.2线段的垂直平分线（分层作业，15大题型）数学新教材人教版八年级上册

分层作业 15.1.2 线段的垂直平分线 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶；C组|运用层级|思维拔高 目 录 A组 巩固过关 题型01 线段垂直平分线的性质 题型02 线段垂直平分线的判定 题型03 判断逆命题及其真假 题型04 互逆命题和互逆定理 题型05 作已知线段的垂直平分线 题型06 作垂线(尺规作图) 题型07 画对称轴 B组 能力进阶 题型01 根据垂直平分线的性质求长度 题型02 根据垂直平分线的性质求角度 题型03 根据垂直平分线的性质求面积 题型04 根据垂直平分线的性质求证明 题型05 线段垂直平分线的性质与判定的综合应用 题型06 判断是垂直平分线 题型07 求对称轴条数 C组 思维拔高 题型 线段的垂直平分线·创新性问题 线段垂直平分线的性质题型01 1．（24-25八年级上·北京·期中）如图，在中，是边上的高，，点N在上，可以进一步推出．依据是_________． 【答案】线段垂直平分线的性质 【分析】本题考查了线段垂直平分线的判定和性质．先判断是的垂直平分线，再根据线段垂直平分线的性质得到． 【详解】解：∵是边上的高，， ∴是的垂直平分线， ∵点N在上， ∴（线段垂直平分线的性质）， 故答案为：线段垂直平分线的性质． 2．已知：如图，∠BAC的平分线与BC的垂直平分线相交于点P，PE⊥AB，PF⊥AC，垂足分别为E、F，若AB＝8，AC＝4，则AE＝_____________． 【答案】6． 【详解】试题分析：连接PB、PC，点P在BC的垂直平分线上，平分 在和中， 考点：1、线段垂直平分线的性质；2、全等三角形的判定与性质；3、角平分线的性质． 3．（2025·吉林长春·三模）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点、、均是格点．在内部找一点，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留适当的作图痕迹． (1)在图①中，连接、、，使； (2)在图②中，连接、、，使； (3)在图③中，连接、、，使，且． 【答案】(1) 如图，点即为所作， (2) 如图，点即为所作， (3)如图，点即为所作， 【分析】本题考查了作图—应用与设计作图，线段垂直平分线的性质、三角形中线的性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）满足条件的点在的垂直平分线上，且，由此作图即可； （2）满足条件的点在的垂直平分线上，且在的垂直平分线上，由此作图即可； （3）满足条件的点在的垂直平分线上，作边的中线，交的垂直平分线于，点即为所求． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：作边的中线，交的垂直平分线于，点即为所作， ∵为边边的中线， ∴，， ∴，即． 4．如图，在等腰中，，请用尺规作图法在边上求作一点D，连接，使．（保留作图痕迹，不写作法）． 【答案】如图，点D即为所求． 【分析】本题考查了作图—线段的垂直平分线，解题的关键是理解题意，熟练掌握知识点． 作线段的垂直平分线交于点D，连接，即可求解． 【详解】略 线段垂直平分线的判定题型02 1．如图，直线与线段交于点，点在直线上，且，则下列结论正确的有（    ） ①；②；③；④点在线段的垂直平分线上． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】根据线段垂直平分线的判定定理，可判断④正确，且①②③无法证明，即可得到答案． 【详解】 点在线段的垂直平分线上 根据现有条件无法判断①；②；③ 故选：A． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的判定定理，即在同一平面内，到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上，熟练掌握知识点是解题的关键． 2．下列条件中，不能判定直线是线段C，D不在线段上）的垂直平分线的是（    ） A．， B．， C．， D．，平分 【答案】C 【分析】本题主要考查垂直平分线，根据垂直平分线的概念与判定逐个判断即可． 【详解】解：A、，，可以判定直线是线段（C，D不在线段上）的垂直平分线，不符合题意； B、，，可以判定直线是线段（C，D不在线段上）的垂直平分线，不符合题意； C、如图， ，，不能判定直线是线段（C，D不在线段上）的垂直平分线，符合题意； D、，平分，可以判定直线是线段（C，D不在线段上）的垂直平分线，不符合题意． 故选：C． 3．（26-27八年级上·江苏镇江·月考）到三角形三个顶点距离相等的点是（     ）． A．三条边中线的交点 B．三条边的高的交点 C．三个角的角平分线的交点 D．三条边的垂直平分线的交点 【答案】D 【详解】解：∵到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上， ∴到三角形任意一边的两个端点距离相等的点，在该边的垂直平分线上， ∴到三角形三个顶点距离都相等的点，是三角形三条边的垂直平分线的交点． 4．小军做了一个如图所示的风筝，其中EH=FH，ED=FD，小军说不用测量就知道DH是EF的垂直平分线．其中蕴含的道理是 _____ ． 【答案】与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线线上 【详解】解：其中蕴含的道理是：与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上. 故答案为：与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上. 5．线段垂直平分线的性质定理的逆定理：到线段两端________相等的点在线段的垂直平分线上．角平分线性质定理的逆定理：角的内部，到角两边________相等的点，在这个角的平分线上． 【答案】 距离 距离 【分析】根据到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上，以及角的内部，到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上，进行作答即可． 【详解】解：到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上；到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上； 故答案为：距离，距离． 【点睛】本题考查线段垂直平分线的性质定理的逆定理以及角平分线性质定理的逆定理．熟练掌握到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上；到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上，是解题的关键． 判断逆命题及其真假题型03 1．命题“如果，那么”的逆命题是假命题，可取下面哪组值反例说明（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查逆命题，假命题，反例等，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 先写出逆命题，再举反例说明即可. 【详解】解：命题“如果，那么”的逆命题为“如果，那么”是假命题， 可以取，说明． 故选：B． 2．（24-25八年级上·河北石家庄·期中）下列命题：①若，则；②若，则或；③若，则；④若，则．其逆命题是真命题的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】此题考查了真假命题、逆命题、不等式的性质等知识． 写出每个命题的逆命题，再判断其真假即可． 【详解】解：若，则的逆命题是若，则，逆命题是假命题； 若，则或的逆命题是若或，则，逆命题是真命题； 若，则的逆命题是若，则，逆命题是假命题； 若，则的逆命题是若，则，逆命题是假命题； ∴逆命题是真命题的有②，共1个； 故选：A． 3．（24-25八年级上·河北邢台·月考）命题“两直线平行，内错角相等”的逆命题为（   ） A．两直线相交，内错角相等 B．内错角相等，两直线相交 C．内错角相等，两直线平行 D．以上都不对 【答案】C 【分析】本题考查逆命题，将原命题的条件和结论互换，写出逆命题即可． 【详解】解：“两直线平行，内错角相等”的逆命题为内错角相等，两直线平行； 故选C 4．（25-26八年级·陕西宝鸡·月考）命题“线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”的逆命题是___________． 【答案】到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 【分析】交换原命题的题设与结论，即可得到原命题的逆命题． 【详解】解：原命题“线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”中， 题设为“点在线段的垂直平分线上”，结论为“该点到线段两端的距离相等”， 交换题设与结论后，得到逆命题为：到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上． 5．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）写出“全等三角形三边相等”的逆命题_______． 【答案】两个三角形三边相等，则这两个三角形全等 【分析】本题考查逆命题．原命题的条件是“两个三角形全等”，结论是“它们的三边相等”，逆命题是通过交换条件和结论得到的． 【详解】解：原命题“全等三角形三边相等”中，条件为“两个三角形全等”，结论为“它们的三边相等”． 根据逆命题的定义，交换条件与结论，得逆命题为“两个三角形三边相等，则这两个三角形全等”． 故答案为：两个三角形三边相等，则这两个三角形全等． 互逆命题和互逆定理题型04 1．“直角都相等”与“相等的角是直角”是（    ） A．互为逆命题 B．互逆定理 C．公理 D．假命题 【答案】A 【分析】根据逆命题，逆定理，公理，假命题的定义，分别对每一项进行分析即可． 【详解】“直角都相等”的条件是“两个角是直角”，结论是“这两个角相等” “相等的角是直角” 的条件是“两个角相等”，结论是“这两个角是直角” 条件和结论互换，所以是互为逆命题． 定理：“直角都相等”的逆命题是“相等的角是直角”明显这个定理的逆命题是假命题， 所以“直角都相等”与“相等的角是直角”不是互逆定理． 故选：A． 【点睛】本题考查了互为逆命题的知识，熟记互为逆命题的定义是解题关键． 2．下列定理中，没有逆定理的是（　　）. A．直角三角形的两锐角互余 B．同位角相等，两直线平行 C．对顶角相等 D．直角三角形两直角边平方和等于斜边的平方 【答案】C 【分析】分别写出四个命题的逆命题，逆命题是真命题的就是逆定理，不成立的就是假命题，就不是逆定理． 【详解】解：A、直角三角形两锐角互余逆定理是两锐角互余的三角形是直角三角形； B、同位角相等，两直线平行逆定理是两直线平行，同位角相等； C、对顶角相等的逆命题是：如果两个角相等，那么这两个角是对顶角，逆命题是假命题； D、直角三角形两直角边平方和等于斜边的平方逆定理是两边的平方和等于第三边的平方的三角形是直角三角形． 故选：C． 【点睛】本题考查命题与定理，关键是写出四个选项的逆命题，然后再判断真假． 3．定理“等腰三角形的两个底角相等”的逆定理是（    ） A．有两个角不相等的三角形不是等腰三角形 B．不是等腰三角形的两个角不相等． C．有两个底角相等的三角形是等腰三角形 D．有两个角相等的三角形是等腰三角形． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一个定理的逆定理，交换定理的题设和结论得到的命题如果正确就是原定理的逆定理，据此求解即可． 【详解】解：定理“等腰三角形的两个底角相等”的逆定理是“有两个角相等的三角形是等腰三角形”， 故选D． 4．（25-26八年级上·贵州·期末）下列说法正确的是（    ） A．任何定理都有逆定理 B．只有定理的逆命题是真命题时，它才有逆定理 C．只有原命题是真命题时，它的逆命题才是真命题 D．定理的逆命题都是真命题 【答案】B 【分析】本题考查定理与逆定理的概念．定理的逆命题不一定是真命题，只有当逆命题为真时，才能称为逆定理．选项A错误，因为并非所有定理都有逆定理；选项C错误，因为原命题与逆命题的真假无必然联系；选项D错误，因为定理的逆命题不一定为真． 【详解】解：∵定理的逆命题不一定是真命题， ∴只有当逆命题为真时，才有逆定理， ∴选项B正确． ∵选项A任何定理都有逆定理，但如定理“对顶角相等”的逆命题“相等的角是对顶角”为假命题，故无逆定理， ∴A错误． ∵选项C原命题是真命题时，它的逆命题才是真命题，但原命题是真命题时逆命题可能是假命题（如“对顶角相等”）， ∴C错误． ∵选项D定理的逆命题都是真命题，但如上例逆命题为假命题， ∴D错误． 故选B． 5．下列定理中，哪些有逆定理？如果有逆定理，请写出逆定理． (1)同旁内角互补，两直线平行． (2)三边对应相等的两个三角形全等． 【答案】(1)定理“同旁内角互补，两直线平行”有逆定理，逆定理是“两直线平行，同旁内角互补”． (2)定理“三边对应相等的两个三角形全等”有逆定理，逆定理是“如果两个三角形全等，那么这两个三角形的三边对应相等．” 【分析】（1）先写出各命题的逆命题，在判断真假即可解答； （2）先写出各命题的逆命题，在判断真假即可解答． 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】本题考查平行线的性质与判定两直线平行的方法，熟记平行线的性质与判定方法是关键． 作已知线段的垂直平分线题型05 1．如图，政府计划在三个村庄附近建立一所小学，且小学到三个村庄的距离相等，则小学应建在（    ） A．三边垂直平分线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三条高所在直线的交点 D．三条中线的交点 【答案】A 【分析】本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，熟记性质是解题的关键． 【详解】∵小学到三个村庄的距离相等， ∴小学应该修建在的三边的垂直平分线的交点， 故选：A． 2．（25-26八年级上·内蒙古鄂尔多斯·期中）如图，在中，，分别以A，B为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于E，F两点，直线交于点，则的周长为（   ） A．14 B．16 C．18 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，由作图可知，垂直平分，得到，即可求出答案，掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． 【详解】解：如图： 由作图可知，垂直平分， ∴， ∵，， ∴的周长， 故选：B． 3．已知，下列尺规作图的方法中，能确定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查作图-基本作图，解题的关键是掌握垂直平分线，角平分线，垂线的尺规作图方法．观察各选项作图痕迹，根据垂直平分线、角平分线、垂线的性质，逐项判断即可． 【详解】解：A、图中是垂直平分线的作图，不能确定； B、图中是角平分线的作图，不能确定； C、图中是垂线或高线的作图，不能确定； D、图中是垂直平分线的作图，能确定． 故选：D． 4．画一条线段，用尺规作线段的中点． 【答案】如图，点即为所求： 【分析】作线段的垂直平分线即可． 【详解】解：分别以点P和点Q为圆心，取大于的相同长度为半径画弧，两弧交于点A和点B；作直线，直线与交于点M，点M即为线段的中点． 5．作图题：（不写画法，保留作图痕迹） 如图，在小河的同旁有甲、乙两个村庄，现计划在河岸上建一个水泵站，向甲、乙两村供水，用以解决村民用水问题．    (1)如果要求水泵站到甲、乙两个村庄的距离相等，请你在图①中，确定水泵站M在河岸上建造的位置． (2)如果要求水泵站到甲、乙两个村庄的供水管道使用的建材最省，请你在图②中，确定水泵站M在河岸上建造的位置． 【答案】(1) 如图①，点M即为所求；    (2) 如图②，点M即为所求．    【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，轴对称的性质，熟练掌握性质是解答本题的关键． （1）连接甲、乙两点，作线段的垂直平分线，与的交点即为点M． （2）作甲关于的对称点，连接对称点和另一点，与的交点即为点M． 【详解】（1）略 （2）略 作垂线(尺规作图)题型06 1．（24-25七年级下·福建泉州·期末）如图，在中，，以点为圆心，适当的长度为半径作弧，交于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线交于点．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了做垂线，直角三角形的两个锐角互余，先由作图过程得出，则，根据，解得，又因为，则，即可作答． 【详解】解：依题意，由作图过程得出， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， 故， ∵在中，， ∴， 故选：C． 2．在如图所示的尺规作图中，与相等的线段是（    ） A．线段 B．线段 C．线段 D．线段 【答案】B 【分析】利用线段垂直平分线的性质判断即可． 【详解】解：由作图可知，垂直平分线段， ， 故选：B． 【点睛】本题考查尺规作线段垂直平分线，线段垂直平分线的性质，解题的关键是掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质． 3．如图，在中，请用尺规作图法，作边上的高．（保留痕迹，不写作法） 【答案】 如图，即为所求． 【分析】根据三角形的高的定义以及垂线的作图方法画图即可． 【详解】略 4．（24-25八年级上·陕西西安·期末）如图，已知在中，，利用尺规作图法，在上求作一点D，使． 【答案】 如图，点即为所求， ， 【分析】本题考查了作图—复杂作图，过点作于，则，从而可得，由此计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：由作图可得，， ∴， ∴， ∵， ∴． 5．（24-25七年级下·江苏淮安·期中）如图，在中，． (1)利用直尺和圆规作直线l，使点B、C关于直线l对称；（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，设直线l交于点D，连接，则的周长是 ． 【答案】(1) 如图所示，直线即为直线l； (2) 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的尺规作图，轴对称的性质，正确作出直线l是解题的关键． （1）作线段的垂直平分线即可； （2）根据轴对称图形的性质可得，再根据三角形轴对称计算公式求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵点B、C关于直线l对称， ∴， ∴的周长； 画对称轴题型07 1．矩形是轴对称图形，对称轴可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据轴对称图形的概念求解．矩形是轴对称图形，可以左右重合和上下重合． 【详解】解：矩形是轴对称图形，可以左右重合和上下重合， 故可以是矩形的对称轴， 故选D. 【点睛】此题主要考查了轴对称的概念，轴对称的关键是寻找对称轴，两边图象折叠后可重合． 2．作轴对称图形或者成轴对称的两个图形的对称轴的方法：首先连接两个①______，然后作所连线段的②______． 【答案】 对应点 垂直平分线 【分析】本题考查了作轴对称图形或者成轴对称的两个图形的对称轴的方法，根据相关性质内容进行补充，即可作答． 【详解】解：作轴对称图形或者成轴对称的两个图形的对称轴的方法：首先连接两个对应点，然后作所连线段的垂直平分线， 故答案为：对应点，垂直平分线． 3．下图中的图形都是轴对称图形，请画出它们的对称轴． 【答案】 画图如下： 【分析】该题考查了画轴对称图形的对称轴，根据轴对称图形的性质，找到图形中的一组对应点，连接对称图形的两个对应点，作这个线段的垂直平分线就是这个图形的对称轴． 【详解】解：略． 4．如图，已知两点A，B．求作：直线l，使点A，B关于l对称．（保留作图痕迹，不要求写出作法） 【答案】 解：如图，直线l即为所求作． 【分析】本题考查了画对称轴，作已知线段的垂直平分线，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 利用尺规作出的垂直平分线即可． 【详解】略 5．如图，网格中的与为轴对称图形. (1)利用网格线作出与的对称轴l； (2)如果每一个小正方形的边长为1，请直接写出的面积=___________. (3)顶点在格点，找出以BC为一边且与全等（不与重合）的三角形，这样的三角形在网格内共能画出___________个. 【答案】(1)如图， (2)3； (3)3个 【分析】（1）连接AD，作出AD的垂直平分线即可； （2）根据解答； （3）分别作出与以BC为公共边，其它两边与AC、BC对应相等的三角形即可． 【详解】（1）解：连接AD，作出AD的垂直平分线l， 根据轴对称图形的性质可知，l即是与的对称轴； （2）如图，由题意可得： = =3； （3）如图， △A’BC、△A’’CB、△A’’’CB为满足条件的三角形，共3个． 【点睛】本题考查三角形的综合应用，熟练掌握轴对称图形的意义与性质、拆分法求面积的方法、利用SSS判定三角形全等的方法是解题关键． 根据垂直平分线的性质求长度题型01 1．如图，在中，按以下步骤作图：①分别以A、B为圆心，大于的长为半径画弧，相交于两点M，N：②作直线交于点D，连接．若，边，则的周长为（   ）    A．7 B．4 C．11 D．9 【答案】C 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质．由题意可知垂直平分，依据“垂直平分线上的点到角两边的距离相等”得，再由即可求解． 【详解】解：由题意可知， 垂直平分， ， ，， ， 故选：C． 2．（24-25七年级下·辽宁锦州·期末）如图，在中，边的垂直平分线交于点，边的垂直平分线交于点．若的周长为，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了垂直平分线的性质，解题的关键是掌握垂直平分线上的点到两边距离相等．根据是的垂直平分线，是的垂直平分线，可得，，根据的周长，即可求解． 【详解】解：边的垂直平分线交于点，边的垂直平分线交于点， ，， 的周长为12cm， ， ， 故选：B． 3．（24-25八年级上·广东江门·月考）如图，中，是的垂直平分线，，的周长为，则的长为________． 【答案】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，利用线段垂直平分线的性质可得，然后根据的周长为，可得． 【详解】解：∵是的垂直平分线，， ∴， ∵的周长为， ∴ ∴． 故选：． 4．如图，在中，，，，的垂直平分线分别交、于点、，求的长．    【答案】 【分析】连接DB，根据勾股定理的逆定理得到∠A＝90°，根据线段垂直平分线的想知道的DC＝DB，设DC＝DB＝x，则AD＝8−x．根据勾股定理即可得到结论． 【详解】连接DB，在△ACB中， ∵AB2＋AC2＝62＋82＝100， 又∵BC2＝102＝100， ∴AB2＋AC2＝BC2． ∴△ACB是直角三角形，∠A＝90°， ∵DE垂直平分BC， ∴DC＝DB， 设DC＝DB＝x，则AD＝8−x． 在Rt△ABD中，∠A＝90，AB2＋AD2＝BD2， 即62＋（8−x）2＝x2， 解得x＝， 即CD＝．    【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，线段的垂直平分线的性质，正确的作出辅助线是解题的关键． 5．（24-25八年级下·陕西·期中）如图所示，某地有一个形状为四边形的景区和是两条相交的道路，点C、B分别是公共卫生间和便利店的位置，景区管理员计划在四边形景区的内部修建一个游客休息中心，使点到的距离和点到的距离相等，且，请你帮景区管理员找出游客休息中心的位置．（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） 【答案】 解：如图，点Q即为所求： 【分析】本题考查了尺规作图，作角平分线和线段的垂直平分线，涉及角平分线的判定和线段的垂直平分线的判定，正确理解题意是解题的关键． 作出线段的垂直平分线和的平分线，交点即为点��． 【详解】略 根据垂直平分线的性质求角度题型02 1．（24-25八年级上·云南曲靖·期末）如图，在中，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于、两点，作直线，交于点，连接，若，，则的度数为（   ） A．45° B．55° C．60° D．65° 【答案】D 【分析】本题主要考查作图——中垂线的基本作图，熟练掌握中垂线的作图和性质是解题的关键．根据中垂线性质知，即，由内角和定理求得，从而得出答案． 【详解】解：由作图可知为的中垂线， ， ， 在中，，， ， ， 故选：D． 2．（25-26九年级上·重庆·学情诊断）如图，在中，边，的垂直平分线交于点P，连结，，若，则 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质以及三角形内角和定理，熟练掌握线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等是解题的关键．利用垂直平分线的性质得到线段相等，进而得到角相等，再通过三角形内角和与外角的关系求解． 【详解】解：连接 ∵ 边，的垂直平分线交于点 ∴ ， ∴ ， ∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ 故选：B． 3．如图，中，，分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点，作直线，交于点D，连接，则的度数是_______． 【答案】##30度 【分析】本题考查了作图一基本作图：熟练掌握5种基本作图（作已知线段的垂直平分线），也考查了线段垂直平分线的性质，先利用基本作图得到垂直平分，则根据线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质得到，再根据三角形内角和计算出，然后计算即可． 【详解】解：由作法得垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 4．（24-25八年级上·江苏南京·月考）如图，四边形是矩形，根据尺规作图痕迹，计算的大小为____． 【答案】58 【分析】本题考查矩形的性质，尺规作角平分线，作垂线，利用矩形的性质，中垂线和角平分线和三角形的内角和定理，进行求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， 由作图可知：，， ∴， ∴； 故答案为：58． 5．如图，在中，、的垂直平分线分别交于E、F两点，． （1）求的度数； （2）若，求的周长． 【答案】（1）；（2）13． 【分析】（1）由、的垂直平分线分别交于E、F两点，可得，，又由，则可得，继而求得的度数，则可求得答案； （2）由，，，即可得的周长等于的长． 【详解】解：（1）∵是的垂直平分线， ∴， ∴． ∵是的垂直平分线， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴； （2）由（1）知，． ∴． 根据垂直平分线的性质求面积题型03 1．如图，点C、D是线段外的两点，且，，若，，则的面积为______． 【答案】5 【分析】此题考查垂直平分线的判定及四边形的面积，关键是熟练掌握垂直平分线的判定．根据线段垂直平分线的判定得出是线段的垂直平分线，再求解即可． 【详解】解：，， ∴点C，点D在线段的垂直平分线上， 是线段的垂直平分线， ， 故答案为：5 2．（24-25八年级上·福建·期末）如图，四边形中，，请用含的式子表示四边形的面积． 【答案】 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的判定，掌握线段垂直平分线的判定是解题的关键． 由题意得到垂直平分，进而得到． 【详解】解： ， 垂直平分， ， ． 3．（25-26八年级上·内蒙古巴彦淖尔·期中）如图，在中，是钝角． (1)画出边上的中线； (2)画出边上的高； (3)若，求的面积． 【答案】(1) 解：如图，为边上的中线． (2) 解：如图，为边上的高． ； (3)5 【分析】本题考查了作图—基本作图，利用中线的性质求三角形面积． （1）作的垂直平分线交于点，连接即可； （2）利用垂线的作法作图即可； （3）先求出，再由三角形中线的性质求解即可． 【详解】（1）解：作的垂直平分线交于点，连接，则为边上的中线． （2）解：过点向的延长线作垂线段，垂足为，则为边上的高． （3）解：，高， ． 是的中线， ． 4．（24-25八年级上·湖南·月考）如图，是的角平分线，，分别是和的高． (1)求证：垂直平分； (2)若，，的面积是，求． 【答案】(1) 证明：∵是的角平分线，，分别是和的高， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴垂直平分； (2)． 【分析】（）由角平分线的性质得，再由，得，从而证明结论； （）根据三角形的面积，代入计算即可； 本题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定等知识，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴由， 则， ∵，， ∴， ∴， 根据垂直平分线的性质求证明题型04 1．如图，在中，，． (1)在边上求作一点D，使得（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，连接，求证：平分． 【答案】(1) 如图： (2) 证明：∵在中，，， ∴， 由（1）知， ， ∴， ∴，即， ∴平分． 【分析】（1）作线段的垂直平分线，由此可得； （2）先求解的度数，再根据等边对等角可得，再求解出的度数，由此可证明． 【详解】（1）解：分别以点A，点B为圆心，大于线段的长度的一半为半径画弧， 两弧相交于点E，点F，连接， 直线与的交点即为点D，点D即为所求； （2）略． 2．（24-25八年级上·江苏泰州·期中）如图，在中，． (1)用直尺和圆规作点，使得点到的两边的距离相等，且；（不写作法，保留作图痕迹） (2)过点作，垂足分别为，连接．判断与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) 点就是求作的点，如图所示； (2)， 理由如下： ∵， ∴， ∵点到的两边的距离相等， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，角平分线的判定和作图，垂直平分线的判定和作图，综合运用这些知识是解题的关键． （1）作的平分线，作线段的垂直平分线，交于点，据此求作； （2）用证得，根据邻补角的性质，即可得出结果． 【详解】（1）略 （2）略 3．（24-25八年级上·江苏常州·期中）已知：如图，在中，的平分线与的垂直平分线相交于点D． (1)用直尺和圆规在图中作出点D（不写作法，保留作图痕迹）； (2)若，，垂足分别是E、F．求证：． 【答案】(1) 解∶如图，点D即为所求， (2) 证明：连接，， 由作图知：平分，点D在的垂直平分线上， ∵，， ∴， ∵点D在的垂直平分线上， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【分析】本题考查了尺规作图，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是： （1）根据题意，作出的平分线和线段的垂直平分线，即可求解； （2）根据角平分线的性质可得出，根据线段垂直平分线的性质可得出，根据证明，即可得出结论． 【详解】（1）略 （2）略 4．如图，已知． (1)用直尺和圆规作的垂直平分线m、n，m、n相交于点O； (2)图中点O在的垂直平分线上吗？证明你的结论． 【答案】(1) 如图所示：点O即为所求； (2) 点O在的垂直平分线上， 理由：如图，连接， ∵直线m，n垂直分别平分， ∴， ∴， ∴点O在的垂直平分线上 【分析】此题主要考查了基本作图以及线段垂直平分线的性质，正确掌握线段垂直平分线的作法是解题关键． （1）直接利用线段垂直平分线的作法得出答案； （2）直接利用线段垂直平分线的性质得出点O在的垂直平分线上． 【详解】（1）略 （2）略 5．如图25，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交AB于点N，交BC的延长线于点M，若∠A=40º.    （1）求∠NMB的度数； （2）如果将（1）中∠A的度数改为70º，其余条件不变，再求∠NMB的度数； （3）你发现有什么样的规律性，试证明之； （4）若将（1）中的∠A改为钝角，你对这个规律性的认识是否需要加以修改？ 【答案】（1）∠NMB=20°；（2）∠NMB=35°；（3）AB的垂直平分线与底边BC的延长线所夹的锐角等于∠A的一半；（4）见解析. 【详解】（1）∵AB=AC， ∴∠B=∠ACB， ∴∠B＝（180°-∠A）=70°， ∴∠NMB=90°-∠B=90°-70°=20°. （2）∵AB=AC， ∴∠B=∠ACB， ∴∠B＝（180°-∠A）=55°, ∴∠NMB=90°-∠B=90°-55°=35°. （3）规律：∠NMB的度数等于顶角∠A度数的一半， 证明：∵AB=AC， ∴∠B=∠ACB， ∴∠B=（180°-∠A）， ∵∠BNM=90°， ∴∠NMB=90°-∠B=90°-（180°-∠A）=∠A， 即∠NMB的度数等于顶角∠A度数的一半. （4）将（1）中的∠A改为钝角，这个规律不需要修改，仍有等腰三角形一腰的垂直平分线与底边或底边的延长线相交所成的锐角等于顶角的一半． 线段垂直平分线的性质与判定的综合应用题型05 1．如图，在△ABC中，AD是△ABC的角平分线，点E、F分别是AD、AB上的动点，若∠BAC＝50°，当BE+EF的值最小时，∠AEB的度数为（　　） A．105° B．115° C．120° D．130° 【答案】B 【分析】过点B作BB′⊥AD于点G，交AC于点B′，过点B′作B′F′⊥AB于点F′，与AD交于点E′，连接BE′，证明AD垂直平分BB′，推出BE＝BE′，由三角形三边关系可知，，即BE+EF的值最小为，通过证明△ABE′≌△AB′E′，推出∠AE′B＝AE′B′，因此利用三角形外角的性质求出AE′B′即可． 【详解】解：过点B作BB′⊥AD于点G，交AC于点B′，过点B′作B′F′⊥AB于点F′，与AD交于点E′，连接BE′，如图： 此时BE+EF最小． ∵AD是△ABC的角平分线，∠BAC＝50°， ∴∠BAD＝∠B′AD＝25°， ∵BB′⊥AD， ∴∠AGB＝∠AGB′＝90°， 在△ABG和△AB′G中， ， ∴△ABG≌△AB′G（ASA）， ∴BG＝B′G， AB＝AB′， ∴AD垂直平分BB′， ∴BE＝BE′， 在△ABE′和△AB′E′中， ， ∴△ABE′≌△AB′E′（SSS）， ∴∠AE′B＝AE′B′， ∵AE′B′＝∠BAD+ AF′E′＝25°+90°=115°， ∴∠AE′B＝115°． 即当BE+EF的值最小时，∠AEB的度数为115°． 故选B． 【点睛】本题考查垂直平分线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，三角形外角的性质，三角形三边关系等知识点，解题的关键是找出BE+EF取最小值时点E的位置． 2．（25-26八年级上·江苏·月考）如图，的外角的平分线交边的垂直平分线于P点，于D，于E． (1)求证：； (2)若，求的长 【答案】(1) 证明：连接，   ∵点P在的垂直平分线上， ∴， ∵是的角平分线，， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴； (2) 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，中垂线的性质，角平分线的性质，熟练掌握相关性质，证明三角形全等是解题的关键； （1）由垂直平分线的性质，得到，由角平分线的性质得到，证明，即可得证； （2）证明，得到，进而得到，进行求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 3．（25-26八年级下·山东青岛·学情自测）如图，平分，于点E，于点F，求证：垂直平分． 【答案】 证明：∵平分，于点E，于点F， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴垂直平分． 【分析】利用角平分线的性质求得，再利用证明，可得，进而可得垂直平分． 【详解】略 4．（25-26八年级上·云南昆明·期中）如图，在中，的垂直平分线分别交于点E，F，的垂直平分线分别交，于点M，N，直线交于点P．求证：点P在线段的垂直平分线上． 【答案】 证明：如图所示：连接，，， ∵垂直平分，垂直平分， ∴，， ∴， ∴点P在线段的垂直平分线上． 【分析】本题考查了线段垂直平分线的判定与性质，熟练掌握相关知识是解题的关键；连接，，，根据线段垂直平分线的性质证明，从而证明结论即可． 【详解】略 5．如图，在△ABC中，AC＝6，BC＝8，∠BCA的平分线与AB边的垂直平分线相交于点D，DE⊥AC，DF⊥BC，垂足分别是E、F. (1)求证：AE＝BF； (2)求AE的长． 【答案】 (1)证明：如图，连接AD、BD． ∵∠DCE=∠DCB，DE⊥CA，DF⊥CB， ∴DE=DF，∠AED=∠DFB=90°． ∵DG垂直平分AB， ∴DA=DB． 在Rt△DEA和Rt△DFB中，， ∴△DEA≌△DFB， ∴AE=BF． （2）AE＝1. 【详解】分析：（1）欲证明AE=BF，只要证明△DEA≌△DFB即可． （2）根据CE=CF，设AE=BF=x，列出方程即可． 详解：（1）略 （2）设AE=BF=x．在Rt△CDE和Rt△CDF中，， ∴△CDE≌△CDF，∴CE=CF，∴6+x=8﹣x，∴x=1，∴AE=1． 点睛：本题考查了全等三角形的性质、角平分线的性质、垂直平分线的性质、勾股定理的逆定理等知识，解题的关键是添加辅助线构造全等三角形，学会用方程的思想思考问题，属于中考常考题型． 判断是垂直平分线题型06 1．如图，，，下列结论正确的是（    ）    A．垂直平分 B．垂直平分 C．与互相垂直平分 D．平分 【答案】B 【分析】根据题意可得垂直平分，由此即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴垂直平分，故B结论正确，符合题意； 根据现有条件无法证明垂直平分，则无法证明平分，故A、C、D结论错误，不符合题意； 故选B． 【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的判定，熟知到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上是解题的关键． 2．如图，平分，于点E，于点F，连接交于点G，则下列结论错误的是（   ） A． B． C．垂直平分 D． 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线的定义和性质，全等三角形的判定和性质，垂直平分线的判定，三角形三边关系，三角形面积，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据题意得到，，得出，得到，得出，根据三角形三边关系得到，由，即可得到答案． 【详解】解： 平分，于点，于点， ，，，故B正确； ， ， ∴垂直平分，无法证明垂直平分，故C错误； ， ，故A正确； ∵， ∴，故D正确； 故选：C． 3．如图，在四边形中，，，则下列说法正确的是（    ） A．垂直平分 B．垂直平分 C．与互相垂直平分 D．以上说法均不正确 【答案】A 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的判定，熟知到线段两端的距离相等的点在线段的垂直平分线上是解题的关键．根据线段垂直平分线的判定即可解答． 【详解】解：∵，， ∴垂直平分， 根据现有条件，无法证明垂直平分， 故选A． 4．（24-25八年级上·浙江绍兴·月考）两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．如图，四边形ABCD是一个筝形，其中，，小明在探究筝形的性质时，连结了AC，BD，并设交点为O，得到了如下结论，其中错误的是（        ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质和判定，全等三角形的判定，先根据线段垂直平分线的性质得出是的垂直平分线，可判断A，B；再根据“边边边”证明C；能否确定三者之间的关系判断D． 【详解】∵， ∴是的垂直平分线， ∴， 所以A，B正确； ∵， ∴， 所以C正确； 不能确定之间的关系，所以D不正确． 故选：D． 求对称轴条数题型07 1．下面各图形中，对称轴最多的是（   ） A．正方形 B．圆 C．半圆形 D．长方形 【答案】B 【分析】本题考查了轴对称图形和对称轴的定义，在平面内，如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形；判断是不是轴对称图形的关键是找出对称轴．据此解答即可． 【详解】解：A、正方形有条对称轴， B、圆有无数条对称轴； C、半圆形有条对称轴； D、长方形有条对称轴； 故对称轴最多的是圆． 故选：B． 2．正方形的对称轴有（   ） A．2条 B．3条 C．4条 D．8条 【答案】C 【分析】本题主要考查了轴对称图形的概念，解题的关键是熟练掌握概念并找全对称轴． 根据轴对称图形的概念找全对称轴即可． 【详解】解：根据轴对称图形的概念可知， 正方形的对称轴一共有4条． 故选：C． 3．（25-26七年级下·陕西咸阳·月考）国旗上的一个五角星有_____条对称轴． 【答案】5 【分析】根据轴对称图形对称轴的定义，找出能使五角星沿直线对折后完全重合的直线数量即可． 【详解】解：如图所示，五角星每个尖角顶点与对边凹点的连线都是它的对称轴，这样的直线共有5条，因此五角星有5条对称轴． 4．正方形有_____条对称轴，长方形有_____条对称轴，圆有_____条对称轴． 【答案】 4 2 无数 【分析】本题考查的是求解轴对称图形的对称轴，根据图形特点解答即可. 【详解】解：正方形有条对称轴，长方形有条对称轴，圆有无数条对称轴． 故答案为：，，无数 5．试找出如图所示的每个正多边形的对称轴的条数，并填入表格中． 正多边形的边数 3 4 5 6 7 8 对称轴的条数 根据上表，请就一个正n边形对称轴的条数作一猜想． 【答案】3，4，5，6，7，8  n 【分析】正多变形都是轴对称图形，其对称轴为任意边上的垂直平分线. 【详解】正三角形每条边上的垂直平分线都是对称轴，有3条边，故有3条对称轴； 正四边形每条边上的垂直平分线都是对称轴，有4条边，故有4条对称轴； 正五边形每条边上的垂直平分线都是对称轴，有5条边，故有5条对称轴； 正六边形每条边上的垂直平分线都是对称轴，有6条边，故有6条对称轴； 正七边形每条边上的垂直平分线都是对称轴，有7条边，故有7条对称轴； 正八边形每条边上的垂直平分线都是对称轴，有8条边，故有8条对称轴； 由以上规律可得：正n边形，就有n条对称轴. 【点睛】理解轴对称图形的含义，通过轴对称图形的含义寻找对称轴. 线段的垂直平分线·创新性问题题型 1．（25-26八年级上·广西崇左·月考）如图，和关于直线对称，和关于直线对称． (1)画出直线； (2)直线与相交于点O，试探究与直线所夹锐角的数量关系． 【答案】(1) 如图，直线即为所求； (2) 【分析】本题考查轴对称图形，熟练掌握轴对称图形的性质，是解题的关键： （1）连接，画出线段的垂直平分线即可； （2）根据角的和差关系和轴对称图形的性质，进行推导即可． 【详解】（1）略 （2）解：连接， 则， ∵和关于直线对称，和关于直线对称， ∴， ∴， ∴． 2．（24-25八年级上·陕西渭南·期末）【问题探究】 （1）如图1，在中，点是上一点，点是的中点，连接并延长到点，过点作交于点，连接，求证：； 【问题解决】 （2）如图2，四边形是一个工业区，点是一个入口，是两个仓库，点分别是粗加工厂和精密加工厂，点分别在上，是两条小路，是两条运输公路，为方便从粗加工厂运输到精密加工厂，现要沿修建一个运输轨道，为了估计成本，现管理人员需要知道运输轨道与运输公路之间的数量关系．已知，．请你帮助管理人员探索线段之间的数量关系，并加以证明． 【答案】（1）点是的中点， ， ， ， ． ， 垂直平分 ， ， 在 中， ， ． （2）， 证明如下： 如图，延长至点，使 ，连接 ， ， ， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定以及性质，线段垂直平分线的判定以及性质以及三角形三边关系的应用．构造全等三角形是解题的关键． （1）先证明，由全等三角形的性质得出，再根据线段垂直平分线的判定以及性质得出，根据三角形三边关系可得出 ，等量代换可得出． （2）延长至点，使，连接，先证明，再证明，由全等三角形的性质以及线段的和差等量代换可证明． 【详解】略 3．（24-25八年级上·江苏镇江·期中）如图，网格中的与为轴对称图形， (1)如果每一个小正方形的边长为，请直接写出的面积 ； (2)利用网格线作出与的对称轴； (3)结合所画图形，在直线上画出点，使最小．（所有作图保留必要的画图痕迹） 【答案】(1) (2) 解：直线即为所求，如图： (3) 解：点即为所求，如图： 【分析】本题考查了轴对称图形与轴对称的性质、两点之间线段最短，熟练掌握轴对称图形与轴对称的性质是解题关键． （1）结合网格，利用正方形的面积减去三个直角三角形的面积即可得； （2）连接对应点，，利用网格作出，的垂直平分线即可得； （3）连接，与直线的交点即为点． 【详解】（1）解：的面积为 ． 故答案为：． （2）略 （3）略 4．（24-25八年级上·北京·期中）小明同学在画对称轴的过程中，忘记带圆规，只带了一把无刻度的直尺，他选择仅使用直尺工具完成以下问题探究 (1)问题1：轴对称图形对应点连线互相______．（填“平行”或“垂直”） (2)问题2：如图1，画出线段AB与的对称轴．小明采用以下画法：连接与，两条线段交于点，延长BA与交于点，连接，，． ①根据小明的画法完成作图； ②证明：； ③证明：由②结论证明：是与的垂直平分线，也就是对称轴； (3)问题3：如图2，设计一种方法，只用直尺作出与的对称轴，用文字描述你的画法并证明这样画出的直线即为对称轴． 【答案】(1)平行 (2) 图形如图所示： ②证明：∵线段，线段关于某条直线对称， ∴两条线段交点在对称轴上，且，， ； ③证明：在和中， ， ， ， ， ∴点在线段的垂直平分线上， ∵点也在的垂直平分线上， ∴直线垂直平分线段， 同法可证直线垂直平分线段， ∴直线是线段，的对称轴； (3) 如图，直线即为所求． 方法：连接，交于点，作直线即可． 理由：连接． 同法可证， ， ， 点在线段的垂直平分线上， ∵， 点也在线段的垂直平分线上， 直线垂直平分线段， ∴直线是与的对称轴． 【分析】（1）利用轴对称图形的性质判断即可； （2）①根据要求画出图形； ②证明1可得结论； ③证明，推出1，推出1，可得结论； （3）连接交于点，作直线即可．证明点，点在线段的垂直平分线上即可． 【详解】（1）解：轴对称图形对应点连线互相平行． 故答案为：平行； （2）略 （3）略 【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了轴对称图形的性质，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定和性质，解题的关键是掌握相关知识解决问题． 5．（25-26七年级下·湖南邵阳·期末）中国古算诗词歌赋较多．古算诗词题是反映数学数量关系的内在联系及其规律的一种文学浪漫形式．下列4个选项中分别是古算诗词题“圆中方形”“方形圆径”“圆材埋壁”“勾股容圆”所描绘的图形，其中是轴对称图形，有且只有一条对称轴的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据轴对称图形和对称轴的定义，逐一分析选项． 【详解】解：选项A（圆中方形）：该图形是轴对称图形，共有4条对称轴，不符合题意； 选项B（方形圆径）：该图形是轴对称图形，共有4条对称轴，不符合题意； 选项C（圆材埋壁）：该图形是轴对称图形，只有过图形中点的水平1条对称轴，符合题意； 选项D（勾股容圆）：该图形的直角三角形两条直角边长度不相等，不是轴对称图象，不符合题意． 6．下列一组图形依次是：正三角形、正方形、正五边形、正六边形…观察每个图形的对称轴条数的变化规律，你猜正十边形的对称轴有_________条，圆的对称轴有_________条． 【答案】 10 无数 【分析】通过观察图形，可以发现正三角形有条对称轴，正方形有条对称轴，正五边形有条对称轴，正六边形有条对称轴，即可得到正十边形、圆的对称轴条数． 【详解】解：正十边形的对称轴有条，圆的对称轴有无数条． 7．如图，在平面直角坐标系中，直线是第一、三象限的角平分线． (1)仔细观察图形，容易发现点关于直线的对称点的坐标为，请在图中分别作出点，关于直线的对称点、的位置，并写出它们的坐标：______，______． (2)结合图形及以上三组点的坐标，我们发现：坐标平面内任一点关于第一、三象限的角平分线的对称点的坐标为______．（不必证明） (3)已知两点，，试在直线上确定一点，使点到、两点的距离之和最小，画出图形并标出点的位置． 【答案】(1) 解：如下图，    由图可知，； (2) (3)点P的位置如（1）图，点的坐标为 【分析】（1）根据轴对称图形的性质作图即可得答案； （2）根据（1）的结论即可得答案； （3）根据轴对称的性质以及两点之间，线段最短，作出E点关于直线l对称点F，连接与直线l的相交，交点即为P． 【详解】（1）略 （2）由（1）可知：一个点关于第一、三象限的角平分线对称，那么这个点的横、纵坐标交换位置，所以关于第一、三象限的角平分线l的对称点的坐标为； （3）如（1）图，作出E点关于直线l对称点F，连接与直线l的相交，交点即为P， ， ， 点P到D，E两点的距离之和最小，点P的坐标为． 【点睛】本题考查了轴对称和最短路线的问题，解题的关键是掌握利用轴对称得性质求出最短路线． 8．如图，四边形中，，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”． (1)求证：； (2)测量与、与，你有何猜想？证明你的猜想． 【答案】(1) 证明：在和中， ， ∴， (2) 猜想：、，证明如下： ∵， ∴在的垂直平分线上， ∴，平分， ∴，， ∴，． 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质，垂直平分的判定，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． （1）根据全等三角形的判定和性质进行证明即可； （2）测量得出、，故猜想：、，根据垂直平分线的判定和性质即可得出证明． 【详解】（1）略 （2）略 试卷第1页（共3页） 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 15.1.2 线段的垂直平分线 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶；C组|运用层级|思维拔高 目 录 A组 巩固过关 题型01 线段垂直平分线的性质 题型02 线段垂直平分线的判定 题型03 判断逆命题及其真假 题型04 互逆命题和互逆定理 题型05 作已知线段的垂直平分线 题型06 作垂线(尺规作图) 题型07 画对称轴 B组 能力进阶 题型01 根据垂直平分线的性质求长度 题型02 根据垂直平分线的性质求角度 题型03 根据垂直平分线的性质求面积 题型04 根据垂直平分线的性质求证明 题型05 线段垂直平分线的性质与判定的综合应用 题型06 判断是垂直平分线 题型07 求对称轴条数 C组 思维拔高 题型 线段的垂直平分线·创新性问题 线段垂直平分线的性质题型01 1．（24-25八年级上·北京·期中）如图，在中，是边上的高，，点N在上，可以进一步推出．依据是_________． 2．已知：如图，∠BAC的平分线与BC的垂直平分线相交于点P，PE⊥AB，PF⊥AC，垂足分别为E、F，若AB＝8，AC＝4，则AE＝_____________． 3．（2025·吉林长春·三模）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点、、均是格点．在内部找一点，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留适当的作图痕迹． (1)在图①中，连接、、，使； (2)在图②中，连接、、，使； (3)在图③中，连接、、，使，且． 4．如图，在等腰中，，请用尺规作图法在边上求作一点D，连接，使．（保留作图痕迹，不写作法）． 线段垂直平分线的判定题型02 1．如图，直线与线段交于点，点在直线上，且，则下列结论正确的有（    ） ①；②；③；④点在线段的垂直平分线上． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．下列条件中，不能判定直线是线段C，D不在线段上）的垂直平分线的是（    ） A．， B．， C．， D．，平分 3．（26-27八年级上·江苏镇江·月考）到三角形三个顶点距离相等的点是（     ）． A．三条边中线的交点 B．三条边的高的交点 C．三个角的角平分线的交点 D．三条边的垂直平分线的交点 4．小军做了一个如图所示的风筝，其中EH=FH，ED=FD，小军说不用测量就知道DH是EF的垂直平分线．其中蕴含的道理是 _____ ． 5．线段垂直平分线的性质定理的逆定理：到线段两端________相等的点在线段的垂直平分线上．角平分线性质定理的逆定理：角的内部，到角两边________相等的点，在这个角的平分线上． 判断逆命题及其真假题型03 1．命题“如果，那么”的逆命题是假命题，可取下面哪组值反例说明（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·河北石家庄·期中）下列命题：①若，则；②若，则或；③若，则；④若，则．其逆命题是真命题的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（24-25八年级上·河北邢台·月考）命题“两直线平行，内错角相等”的逆命题为（   ） A．两直线相交，内错角相等 B．内错角相等，两直线相交 C．内错角相等，两直线平行 D．以上都不对 4．（25-26八年级·陕西宝鸡·月考）命题“线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”的逆命题是___________． 5．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）写出“全等三角形三边相等”的逆命题_______． 互逆命题和互逆定理题型04 1．“直角都相等”与“相等的角是直角”是（    ） A．互为逆命题 B．互逆定理 C．公理 D．假命题 2．下列定理中，没有逆定理的是（　　）. A．直角三角形的两锐角互余 B．同位角相等，两直线平行 C．对顶角相等 D．直角三角形两直角边平方和等于斜边的平方 3．定理“等腰三角形的两个底角相等”的逆定理是（    ） A．有两个角不相等的三角形不是等腰三角形 B．不是等腰三角形的两个角不相等． C．有两个底角相等的三角形是等腰三角形 D．有两个角相等的三角形是等腰三角形． 4．（25-26八年级上·贵州·期末）下列说法正确的是（    ） A．任何定理都有逆定理 B．只有定理的逆命题是真命题时，它才有逆定理 C．只有原命题是真命题时，它的逆命题才是真命题 D．定理的逆命题都是真命题 5．下列定理中，哪些有逆定理？如果有逆定理，请写出逆定理． (1)同旁内角互补，两直线平行． (2)三边对应相等的两个三角形全等． 作已知线段的垂直平分线题型05 1．如图，政府计划在三个村庄附近建立一所小学，且小学到三个村庄的距离相等，则小学应建在（    ） A．三边垂直平分线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三条高所在直线的交点 D．三条中线的交点 2．（25-26八年级上·内蒙古鄂尔多斯·期中）如图，在中，，分别以A，B为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于E，F两点，直线交于点，则的周长为（   ） A．14 B．16 C．18 D．4 3．已知，下列尺规作图的方法中，能确定的是（    ） A． B． C． D． 4．画一条线段，用尺规作线段的中点． 5．作图题：（不写画法，保留作图痕迹） 如图，在小河的同旁有甲、乙两个村庄，现计划在河岸上建一个水泵站，向甲、乙两村供水，用以解决村民用水问题．    (1)如果要求水泵站到甲、乙两个村庄的距离相等，请你在图①中，确定水泵站M在河岸上建造的位置． (2)如果要求水泵站到甲、乙两个村庄的供水管道使用的建材最省，请你在图②中，确定水泵站M在河岸上建造的位置． 作垂线(尺规作图)题型06 1．（24-25七年级下·福建泉州·期末）如图，在中，，以点为圆心，适当的长度为半径作弧，交于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线交于点．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 2．在如图所示的尺规作图中，与相等的线段是（    ） A．线段 B．线段 C．线段 D．线段 3．如图，在中，请用尺规作图法，作边上的高．（保留痕迹，不写作法） 4．（24-25八年级上·陕西西安·期末）如图，已知在中，，利用尺规作图法，在上求作一点D，使． 5．（24-25七年级下·江苏淮安·期中）如图，在中，． (1)利用直尺和圆规作直线l，使点B、C关于直线l对称；（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，设直线l交于点D，连接，则的周长是 ． 画对称轴题型07 1．矩形是轴对称图形，对称轴可以是（    ） A． B． C． D． 2．作轴对称图形或者成轴对称的两个图形的对称轴的方法：首先连接两个①______，然后作所连线段的②______． 3．下图中的图形都是轴对称图形，请画出它们的对称轴． 4．如图，已知两点A，B．求作：直线l，使点A，B关于l对称．（保留作图痕迹，不要求写出作法） 5．如图，网格中的与为轴对称图形. (1)利用网格线作出与的对称轴l； (2)如果每一个小正方形的边长为1，请直接写出的面积=___________. (3)顶点在格点，找出以BC为一边且与全等（不与重合）的三角形，这样的三角形在网格内共能画出___________个. 根据垂直平分线的性质求长度题型01 1．如图，在中，按以下步骤作图：①分别以A、B为圆心，大于的长为半径画弧，相交于两点M，N：②作直线交于点D，连接．若，边，则的周长为（   ）    A．7 B．4 C．11 D．9 2．（24-25七年级下·辽宁锦州·期末）如图，在中，边的垂直平分线交于点，边的垂直平分线交于点．若的周长为，则的长为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·广东江门·月考）如图，中，是的垂直平分线，，的周长为，则的长为________． 4．如图，在中，，，，的垂直平分线分别交、于点、，求的长．    5．（24-25八年级下·陕西·期中）如图所示，某地有一个形状为四边形的景区和是两条相交的道路，点C、B分别是公共卫生间和便利店的位置，景区管理员计划在四边形景区的内部修建一个游客休息中心，使点到的距离和点到的距离相等，且，请你帮景区管理员找出游客休息中心的位置．（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） 根据垂直平分线的性质求角度题型02 1．（24-25八年级上·云南曲靖·期末）如图，在中，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于、两点，作直线，交于点，连接，若，，则的度数为（   ） A．45° B．55° C．60° D．65° 2．（25-26九年级上·重庆·学情诊断）如图，在中，边，的垂直平分线交于点P，连结，，若，则 A． B． C． D． 3．如图，中，，分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点，作直线，交于点D，连接，则的度数是_______． 4．（24-25八年级上·江苏南京·月考）如图，四边形是矩形，根据尺规作图痕迹，计算的大小为____． 5．如图，在中，、的垂直平分线分别交于E、F两点，． （1）求的度数； （2）若，求的周长． 根据垂直平分线的性质求面积题型03 1．如图，点C、D是线段外的两点，且，，若，，则的面积为______． 2．（24-25八年级上·福建·期末）如图，四边形中，，请用含的式子表示四边形的面积． 3．（25-26八年级上·内蒙古巴彦淖尔·期中）如图，在中，是钝角． (1)画出边上的中线； (2)画出边上的高； (3)若，求的面积． 4．（24-25八年级上·湖南·月考）如图，是的角平分线，，分别是和的高． (1)求证：垂直平分； (2)若，，的面积是，求． 根据垂直平分线的性质求证明题型04 1．如图，在中，，． (1)在边上求作一点D，使得（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，连接，求证：平分． 2．（24-25八年级上·江苏泰州·期中）如图，在中，． (1)用直尺和圆规作点，使得点到的两边的距离相等，且；（不写作法，保留作图痕迹） (2)过点作，垂足分别为，连接．判断与的数量关系，并说明理由． 3．（24-25八年级上·江苏常州·期中）已知：如图，在中，的平分线与的垂直平分线相交于点D． (1)用直尺和圆规在图中作出点D（不写作法，保留作图痕迹）； (2)若，，垂足分别是E、F．求证：． 4．如图，已知． (1)用直尺和圆规作的垂直平分线m、n，m、n相交于点O； (2)图中点O在的垂直平分线上吗？证明你的结论． 5．如图25，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交AB于点N，交BC的延长线于点M，若∠A=40º.    （1）求∠NMB的度数； （2）如果将（1）中∠A的度数改为70º，其余条件不变，再求∠NMB的度数； （3）你发现有什么样的规律性，试证明之； （4）若将（1）中的∠A改为钝角，你对这个规律性的认识是否需要加以修改？ 线段垂直平分线的性质与判定的综合应用题型05 1．如图，在△ABC中，AD是△ABC的角平分线，点E、F分别是AD、AB上的动点，若∠BAC＝50°，当BE+EF的值最小时，∠AEB的度数为（　　） A．105° B．115° C．120° D．130° 2．（25-26八年级上·江苏·月考）如图，的外角的平分线交边的垂直平分线于P点，于D，于E． (1)求证：； (2)若，求的长 3．（25-26八年级下·山东青岛·学情自测）如图，平分，于点E，于点F，求证：垂直平分． 4．（25-26八年级上·云南昆明·期中）如图，在中，的垂直平分线分别交于点E，F，的垂直平分线分别交，于点M，N，直线交于点P．求证：点P在线段的垂直平分线上． 5．如图，在△ABC中，AC＝6，BC＝8，∠BCA的平分线与AB边的垂直平分线相交于点D，DE⊥AC，DF⊥BC，垂足分别是E、F. (1)求证：AE＝BF； (2)求AE的长． 判断是垂直平分线题型06 1．如图，，，下列结论正确的是（    ）    A．垂直平分 B．垂直平分 C．与互相垂直平分 D．平分 2．如图，平分，于点E，于点F，连接交于点G，则下列结论错误的是（   ） A． B． C．垂直平分 D． 3．如图，在四边形中，，，则下列说法正确的是（    ） A．垂直平分 B．垂直平分 C．与互相垂直平分 D．以上说法均不正确 4．（24-25八年级上·浙江绍兴·月考）两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．如图，四边形ABCD是一个筝形，其中，，小明在探究筝形的性质时，连结了AC，BD，并设交点为O，得到了如下结论，其中错误的是（        ） A． B． C． D． 求对称轴条数题型07 1．下面各图形中，对称轴最多的是（   ） A．正方形 B．圆 C．半圆形 D．长方形 2．正方形的对称轴有（   ） A．2条 B．3条 C．4条 D．8条 3．（25-26七年级下·陕西咸阳·月考）国旗上的一个五角星有_____条对称轴． 4．正方形有_____条对称轴，长方形有_____条对称轴，圆有_____条对称轴． 5．试找出如图所示的每个正多边形的对称轴的条数，并填入表格中． 正多边形的边数 3 4 5 6 7 8 对称轴的条数 根据上表，请就一个正n边形对称轴的条数作一猜想． 线段的垂直平分线·创新性问题题型 1．（25-26八年级上·广西崇左·月考）如图，和关于直线对称，和关于直线对称． (1)画出直线； (2)直线与相交于点O，试探究与直线所夹锐角的数量关系． 2．（24-25八年级上·陕西渭南·期末）【问题探究】 （1）如图1，在中，点是上一点，点是的中点，连接并延长到点，过点作交于点，连接，求证：； 【问题解决】 （2）如图2，四边形是一个工业区，点是一个入口，是两个仓库，点分别是粗加工厂和精密加工厂，点分别在上，是两条小路，是两条运输公路，为方便从粗加工厂运输到精密加工厂，现要沿修建一个运输轨道，为了估计成本，现管理人员需要知道运输轨道与运输公路之间的数量关系．已知，．请你帮助管理人员探索线段之间的数量关系，并加以证明． 3．（24-25八年级上·江苏镇江·期中）如图，网格中的与为轴对称图形， (1)如果每一个小正方形的边长为，请直接写出的面积 ； (2)利用网格线作出与的对称轴； (3)结合所画图形，在直线上画出点，使最小．（所有作图保留必要的画图痕迹） 4．（24-25八年级上·北京·期中）小明同学在画对称轴的过程中，忘记带圆规，只带了一把无刻度的直尺，他选择仅使用直尺工具完成以下问题探究 (1)问题1：轴对称图形对应点连线互相______．（填“平行”或“垂直”） (2)问题2：如图1，画出线段AB与的对称轴．小明采用以下画法：连接与，两条线段交于点，延长BA与交于点，连接，，． ①根据小明的画法完成作图； ②证明：； ③证明：由②结论证明：是与的垂直平分线，也就是对称轴； (3)问题3：如图2，设计一种方法，只用直尺作出与的对称轴，用文字描述你的画法并证明这样画出的直线即为对称轴． 5．（25-26七年级下·湖南邵阳·期末）中国古算诗词歌赋较多．古算诗词题是反映数学数量关系的内在联系及其规律的一种文学浪漫形式．下列4个选项中分别是古算诗词题“圆中方形”“方形圆径”“圆材埋壁”“勾股容圆”所描绘的图形，其中是轴对称图形，有且只有一条对称轴的是（     ） A． B． C． D． 6．下列一组图形依次是：正三角形、正方形、正五边形、正六边形…观察每个图形的对称轴条数的变化规律，你猜正十边形的对称轴有_________条，圆的对称轴有_________条． 7．如图，在平面直角坐标系中，直线是第一、三象限的角平分线． (1)仔细观察图形，容易发现点关于直线的对称点的坐标为，请在图中分别作出点，关于直线的对称点、的位置，并写出它们的坐标：______，______． (2)结合图形及以上三组点的坐标，我们发现：坐标平面内任一点关于第一、三象限的角平分线的对称点的坐标为______．（不必证明） (3)已知两点，，试在直线上确定一点，使点到、两点的距离之和最小，画出图形并标出点的位置． 8．如图，四边形中，，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”． (1)求证：； (2)测量与、与，你有何猜想？证明你的猜想． 试卷第1页（共3页） 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $