1.4 线段的垂直平分线(第2课时)-【新课程能力培养】2025-2026学年新教材八年级下册数学同步练习（北师大版2024）

数学 八年级下册（北师大版） 线段的垂直平分线（第2课时） 自主导学Q典例精析 例题如图，△ABC是以BC为底边的等腰三角 形，请仅用无刻度的直尺，根据下列条件分别在图1和 图2中作图。（保留作图痕迹，不写作法） (I)如图1，已知点D为△ABC内一点，BD=CD, 画出BC的垂直平分线。 (2)如图2，已知AE=AF,画出BC的垂直平分线。 图1 图2 例题图 【分析】(1)根据“到一条线段两个端点距离相等 的点，在这条线段的垂直平分线上”得到点A和点D在 线段BC的垂直平分线上，得到AD所在直线即为BC的 垂直平分线。(2)连接CE,BF交于点H,则直线AH 即为所求。 【解答】(1)如图1所示，直线AE即为所求。 (2)如图2所示，直线AG(或AH)即为所求。 图1 图2 【点拨】本题主要考查了线段垂直平分线的判定、等 例题答图 腰三角形的判定和性质、三角形全等的判定和性质，解题的关键是熟练掌握线段垂直平分线 的判定方法。 基础巩固达标闯关 卡多多 1.在△ABC中，∠A=50°，∠B=60°，则△ABC三边的垂直平分线的交点在() A.△ABC的内部 B.△ABC的边上 C.△ABC的外部 D.无法确定 2.下列命题错误的是() A.若直线PE是线段AB的垂直平分线，则PA=PB,EA=EB B.若PA=PB,EA=EB,则直线PE是线段AB的垂直平分线 C.若PA=PB,则点P是线段AB垂直平分线上的点 D.若EA=EB,则过点E的直线垂直平分线段AB 3.如图，分别作点P关于OA,OB的对称点P,P,连接PP,PP2, 分别交OA,OB于点D,E。若PP=2DE,△PDE的周长为14，则△PPP2 的周长为() A.14 B.28 C.42 D.56 第3题图 30 三角形的证明及其应用 第一章 4.如图，在△ABC中，∠A=58°，P为△ABC内一点，过点P的直线EF 分别交AB,AC于点E,F。若点E,F分别在PB,PC的垂直平分线上，则 ∠BPC的度数为() A.122 B.120° C.119° D.116° 第4题图 能力提升睡综合拓展 一5多多每 5.如图，已知△ABC,求作：BC,AB,AC三边上的高AD,CF,BE。 B 第5题图 6.如图，在平面直角坐标系中，已知点B的坐标为(6,4)。 (1)请用直尺（不带刻度）和圆规作一条直线AC,它与x轴和y轴的正半轴分别交于 点A和点C,且使∠ABC=90°，△ABC与△AOC的面积相等。（作图不必写作法，但要保留 作图痕迹) (2)(1)中这样的直线AC是否唯一？若唯一，请说明理由；若不唯一，请在图中画 出所有这样的直线AC,并写出与之对应的函数表达式。 B 0 第6题图 中考链接©真题演练 7.(2025·辽宁)如图，在△ABC中，AB=16,BC=12,CA=10, ∠ABC的平分线BP与AC相交于点D。在线段AD上取一点K,以点 C为圆心，CK长为半径作弧，与射线BP相交于点M和点N,再分别 以点M和点N为圆心，大于2MN的长为半径作弧，两弧相交于点Q, 第7题图 作射线CQ,与AB相交于点E,连接DE,则△DAE的周长为() A.12 B.14 C.16 D.18 ● 8.(2024.陕西)如图，已知直线1和1外一点A,请用尺规作 图法，求作一个等腰直角三角形ABC,使得顶点B和顶点C都在直 线1上。（作出一个等腰直角三角形即可，保留作图痕迹，不写作法） 第8题图 31数学 八年级下册（北师大版） ∠A=∠PDA。EF是BD的垂直平分线，.EB=ED。∠BCN的平分线，EP⊥AM于点P,ED⊥BC于点D, .∠B=∠EDB。.∠C=90°，..∠A+∠B=90°。.∠PDA+ EQ⊥AN于点Q,∴EP=ED,EQ=ED。EP=EQ。又 ∠EDB=90°。∴.∠PDE=180°-∠PDA-∠EDB=180°-90°= EP⊥AM,EQ⊥AN,.点E在∠NAM的平分线上。 90°。DE⊥DP。(2)如图，连接PE,设DE=x, 7.(1)证明：在△ADF和△AEF中，AD=AE(或 则EB=ED=x,CE=8-x。PA=2,AC=6,∴PC=4。在 OD=OE),FD=FE,AF=AF,∴.△ADF≌△MEF(SSS)。 Rt△PCE和Rt△PDE中，PE=PC+CE,PE=PD+ ∠DAFLEAF。AP平分∠BAC。(2)解：如图，过 DE2,∴42+(8-x)2=22+x2。解得x=4.75,则DE=4.75。 点P作PG⊥AC于点G,:AP平分∠BAC,PQ⊥AB, 11.解：（1)AB=AC,∠A=50°，.∠B= ∠ACB=65°。DM是AB的垂直平分线，∴.∠BDM= .PG-PQ-3.S0w-ScwtSor..AB+P0+]AC+PG= 90°。∴∠DMB=25°。(2)图形略。此时点M在BC 18。(AB+AC)PQ=36。AB=7,PQ=3,AC=5。 边上。同(1)方法可得∠DMB=40°。(3)∠DMB A (0) 的度数等于顶角度数的一半，即∠DWB=a。证明： 4B=AC,L1=0,∠B3180r-LA)-90-2a。又 ∠DMB+∠B=90r,∠DMB=e (4)成立。等 P 腰三角形一腰的垂直平分线与底边所在直线相交所夹 第7题答图 的角（锐角）等于顶角度数的一半。 8.(1)证明：AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB, 12.313.C ∠C=90°，即CD⊥AC,DC=DE。在Rt△FCD和 4线段的垂直平分线（第2课时）】 Rt△BED中，DC=DE,DF=DB,Rt△FCD≌Rt△BED 1.A2.D3.B4.C (HL)。.CF=EB。(2)解：AB=AF+2BE。理由：由 5.提示：分别过点A,B,C作BC,AC,AB的垂(I)得，DC=DE,又AD=AD,Rt△ACD≌Rt△AED 线，垂足分别为D,E,F,则AD,BE,CF即为所求，；(HL)。AC=AE。AB=AE+BE=AF+FC+BE=AF42BE。 作图略。 *9.（1)证明：AC平分∠MAN,∠MAN=120°， 6.解：(1)如图，△ABC即为所求。(2)这 ∴.∠CAB=∠CAD=60°。：∠ABC=∠ADC=90°，∴.∠ACB= 样的直线不唯一。①作线段OB的垂直平分线AC。②作 ∠ACD=30。AB=4DAC。AB+AD=4C。 (2) 长方形OA'BC、直线A'C,则直线AC和直线A'C即 为所求的直线。设A(m,0),C(0,n),由勾股定理， 成立。证明：如图，过点C分别 M 得AB=AA'2+A'B,BC=BC2+CC2,即m2=(6-m)P+42, 作AM,AN的垂线，垂足分别 a46,解得m号是4号0，c0,是》 为E,F。AC平分∠MAN, n .CE=CF。.·∠ABC+∠ADC=180°， A FB N 易得直线AC的函数表达式为y=-号+号，则点 ∠ADC+∠CDE=180°，.∠CDE= 第9题答图 ∠ABC。.'∠CED=∠CFB=90°. A'(6,0),C'(0,4),易得直线A'C的函数表达式为 .∴.△CED≌△CFB(AAS)。.ED=FB。.AB+AD=AF+ BF+AE-ED=AF+AE。由(1)AF+AE=AC,AB+AD= AC。(3)V3 10.C11.B12.A 5角平分线（第2课时）】 1.25°2.83.C4.C5.B 6.证明：CD⊥AB,.∠DAE+∠DFA=90°。 ∠CEF-∠CFE,∠DFA=∠CFE,∴∠DAE+∠CEF=90°。 又.·∠ACB=90°，.∠CAE+∠CEF=90°。∴.∠CAE= 第6题答图 第8题答图 ∠DAE。AE是∠CAD的平分线。又GE⊥AB, 7.B8.如图，△ABC即为所求。 ∠ACB=90°，·.CE=EG。 5角平分线（第1课时） 7.解：O为△ABC的三条角平分线的交点， 1.32.123.B4.D OD⊥BC,OE⊥AC,OF⊥AB,∴.OD=OE=OF。 5.证明：AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB,DF⊥ ∠ACB=90°，BG-=8cm,AC-6cm,Sa=2BCAC= AC,DE=DF。又AD=AD,.Rt△ADE≌Rt△ADF。 AE=AF。AD垂直平分EF。 ×8x6=24(cm)。由勾股定理，得AB=VBC+HC 6.证明：BE,CE分别为△ABC的外角∠CBM, 10cm设0D=OE-OF=xCm,":S△i-S△Bx+S△0A+S△A=