15.1.2 线段的垂直平分线的性质（第1课时） （分层同步练习·反思性作业单） 2026-2027学年人教版数学八年级上册

**基本信息** 初中数学新授课同步练，聚焦“线段的垂直平分线的性质”，通过三层递进设计实现从概念理解到综合应用，培养几何直观与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|性质概念、简单计算与选择|折叠操作题强化几何直观，直接应用性质解决线段相等问题| |能力提升|性质证明、中等难度综合题|规范证明过程培养推理能力，结合等腰三角形等知识综合应用| |拓展探究|外心性质、跨知识点综合证明|联系角平分线等知识，通过实际情境问题（如购物中心选址）发展应用意识|

15.1.2 线段的垂直平分线的性质（第1课时） 分层同步练习·反思性作业单 （自习课｜家庭作业 专用） 完成场景 □自习课独立完成 □家庭自主完成 预估用时：________分钟 完成状态 □完全独立 □少量翻书 □略有卡点 教学环节 内容要点与习题 一、自习前置速忆（30秒唤醒） 1. 本节课核心知识点： ①线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等； ②符号语言：∵MN⊥AB，AC=CB，P在MN上，∴PA=PB； ③应用：证明线段相等； ④三角形三边垂直平分线交于一点（外心），到三顶点距离相等。 2. 与本节课相关的旧知识：线段中点、垂线的概念、全等三角形。 3. 预习时遇到的疑问：线段垂直平分线上的点为什么到两端点距离相等？。 4. 本节课最大陷阱（必考易错）： ①必须同时满足"垂直"和"平分"两个条件； ②性质定理用于证明线段相等； ③三角形三边垂直平分线交于外心。 二、基础随堂自检（当堂清零） 【自我卡点标记】不确定题号：________ 1. 线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离____。 2. 如图，MN是线段AB的垂直平分线，P在MN上，若PA=5cm，则PB=____cm。 3. 线段的垂直平分线可以看作到线段两端点距离相等的所有____的集合。 4. 三角形三边垂直平分线交于____点，这个点到三个顶点的距离____。 5. 线段垂直平分线的性质定理是证明____相等的重要依据。 6. 如图，DE是AB的垂直平分线，D在AB上，E在AC上，若AE=3，BC=5，则△BCE的周长为____。 三、分层自主作业（分层落实） ━━━━━ ★ 基础巩固（全员必做） ━━━━━ 1. 线段是轴对称图形吗？通过折叠的方法作出线段AB的对称轴l，交AB于O。 （1）点A的对称点是____； （2）量出AO与BO的长度，它们有什么关系？ （3）AB与直线l在位置上有什么关系？ 2. 经过线段____并且____于这条线段的____，叫做这条线段的垂直平分线。 3. 已知直线l垂直平分线段AB，交AB于O。点C是l上任意一点，连接AC、BC；另在l上任找一点D，连接AD、DB。 （1）量出AC、BC的长度，它们有什么关系？ （2）量出AD、DB的长度，它们有什么关系？ （3）由（1）、（2），你得到什么结论？ 4. 如图所示，直线CD是线段AB的垂直平分线，点P为直线CD上的一点，且PA=5，则线段PB的长为（　　） A．6　　B．5　　C．4　　D．3 5. 如图，△ABC中，AC的垂直平分线交AB于点D，∠A=50°，则∠BDC=（　　） 6. 如图，△ABC中，AB=AC=18cm，BC=10cm，AB的垂直平分线ED交AC于D点，则△BCD的周长为______。 7. 如图所示，AC=AD，BC=BD，则下列说法正确的是（　　） A．AB垂直平分CD　　B．CD垂直平分AB　　C．AB与CD互相垂直平分　　D．CD平分∠ACB 8. 已知线段AB，在平面上找到三个点D、E、F，使DA=DB，EA=EB，FA=FB，这样的点的组合共有______种。 ━━━━━ ★★ 能力提升（自主选做） ━━━━━ 1. 证一证：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等。 已知：如图，直线MN⊥AB，垂足为C，AC=CB，点P在MN上。求证：PA=PB。 证明： 2. 如图，在△ABC中，AB=AC=20cm，DE垂直平分AB，垂足为E，交AC于D，若△DBC的周长为35cm，则BC的长为（　　） A．5cm　　B．10cm　　C．15cm　　D．17.5cm 3. 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BE平分∠ABC，交AC于E，DE垂直平分AB，交AB于D。求证：BE+DE=AC。 证明： 4. 如图，△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交AC于E，连接BE，AB+BC=16cm，则△BCE的周长是______cm。 5. 小明做了一个如图所示的风筝，其中EH=FH，ED=FD，小明说不用测量就知道DH是EF的垂直平分线。其中蕴含的道理是____________。 ━━━━━ ★★★ 拓展探究（学优挑战） ━━━━━ 1. 已知：如图，在△ABC中，边AB、BC的垂直平分线交于P。求证：PA=PB=PC。由此你得到什么结论？ 证明： 2. 如图所示，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，试说明AD与EF的位置关系。 3. 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连接AE、BE，BE⊥AE，延长AE交BC的延长线于点F。 求证：（1）FC=AD；（2）AB=BC+AD。 证明： 四、自习后置复盘（2-3分钟） 复盘项目 我的记录 改进措施 本节课最大收获 做错/不会的题 需要请教的问题 五、学以致用（可选·素养） 1. 某区政府为了方便居民的生活，计划在三个住宅小区A、B、C之间修建一个购物中心，试问，该购物中心应建于何处，才能使得它到三个小区的距离相等？ 2. 已知：如图，点E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA，ED⊥OB，垂足分别为C、D，连接CD。求证：OE是CD的垂直平分线。 证明： 六、自主学习评价 学生自评：□基础扎实 □做题稳定 □规避陷阱 □思维有提升 教师等级：□A □B □C □D 教师评语： ________________________________ ________________________________ 15.1.2 线段的垂直平分线的性质（第1课时）参考答案 一、自习前置速忆 性质：垂直平分线上的点到两端点距离相等；用于证明线段相等；三边垂直平分线交于外心。 二、基础随堂自检 1. 相等 2. 5 3. 点 4. 一，相等 5. 线段 6. 8 三、分层自主作业 ★ 基础巩固 1. （1）点B；（2）AO=BO；（3）AB与l互相垂直，l经过AB的中点（即l垂直平分AB）　2. 中点；垂直；直线　3. （1）AC=BC；（2）AD=BD；（3）线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等　4. B（P在AB的垂直平分线CD上，PB=PA=5）　5. 100°（D在AC的垂直平分线上，DA=DC，∠DCA=∠A=50°，∠BDC=∠A+∠DCA=100°）　6. 28cm（AD=BD，C△BCD=BD+DC+BC=AD+DC+BC=AC+BC=18+10=28cm）　7. A（AC=AD，BC=BD，即C、D都在AB的垂直平分线上，两点确定一条直线，故AB垂直平分CD）　8. 无数种（到线段两端距离相等的点在该线段的垂直平分线上，这样的点有无数个，任取三个即可） ★★ 能力提升 1. 证明：∵MN⊥AB，垂足为C（已知），∴∠PCA=∠PCB=90°。在△PCA和△PCB中，AC=BC，∠PCA=∠PCB，PC=PC（公共边），∴△PCA≌△PCB（SAS），∴PA=PB（全等三角形对应边相等）　2. C（DE垂直平分AB，AD=BD，C△DBC=BD+DC+BC=AD+DC+BC=AC+BC=20+BC=35，BC=15cm）　3. 证明：∵DE垂直平分AB（已知），∴AE=BE。∵BE平分∠ABC，且DE⊥AB、EC⊥BC（∠ACB=90°），∴DE=EC（角平分线上的点到角两边的距离相等）。∴AC=AE+EC=BE+DE　4. 16（AE=BE，C△BCE=BE+EC+BC=AE+EC+BC=AC+BC=AB+BC=16cm）　5. 与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上（∵EH=FH、ED=FD，即E、D都在EF的垂直平分线上，两点确定一条直线，故DH是EF的垂直平分线） ★★★ 拓展探究 1. 证明：∵P在AB的垂直平分线上（已知），∴PA=PB。∵P在BC的垂直平分线上（已知），∴PB=PC。∴PA=PB=PC。结论：三角形三边的垂直平分线交于一点，这一点到三角形三个顶点的距离相等　2. AD垂直平分EF。理由：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC（已知），∴DE=DF（角平分线性质）。在Rt△ADE和Rt△ADF中，DE=DF，AD=AD（公共边），∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL），∴AE=AF。∵AE=AF，DE=DF，即A、D都在EF的垂直平分线上，两点确定一条直线，∴AD垂直平分EF　3. 证明：（1）∵AD∥BC（已知），∴∠D=∠ECF（两直线平行，内错角相等）。∵E为CD的中点，∴DE=CE。在△ADE和△FCE中，∠D=∠ECF，DE=CE，∠AED=∠FEC（对顶角相等），∴△ADE≌△FCE（ASA），∴FC=AD，AE=FE。（2）∵BE⊥AE（已知），且AE=FE（已证），∴BE垂直平分AF。∴BA=BF（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等）。∴AB=BF=BC+CF=BC+AD 五、学以致用 1. 建在△ABC三边垂直平分线的交点处（即三角形的外心）。理由：三角形三边垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等，故购物中心建在该交点处到三个小区的距离相等　2. 证明：∵E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA，ED⊥OB（已知），∴EC=ED（角平分线上的点到角两边的距离相等）。在Rt△OEC和Rt△OED中，EC=ED，OE=OE（公共边），∴Rt△OEC≌Rt△OED（HL），∴OC=OD。∵EC=ED，OC=OD，即E、O都在CD的垂直平分线上，两点确定一条直线，∴OE是CD的垂直平分线 学科网（北京）股份有限公司 $