15.1.1轴对称及其性质（分层作业，7大题型）数学新教材人教版八年级上册

分层作业 15.1.1 轴对称及其性质 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶；C组|运用层级|思维拔高 目 录 A组 巩固过关 题型01 轴对称图形的识别 题型02 成轴对称的两个图形的识别 题型03 根据成轴对称图形的特征进行判断 B组 能力进阶 题型01 根据轴对称图形的特征求解 题型02 折叠问题 C组 思维拔高 题型01 台球桌面上的轴对称问题 题型02 轴对称中的光线反射问题 轴对称图形的识别题型01 1．下面汽车标志图形中，不是轴对称图形是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】A. 是轴对称图形，故本选项错误； B. 不是轴对称图形，故本选项正确； C. 轴对称图形，故本选项错误； D. 轴对称图形，故本选项错误； 故选B. 2．（2025·甘肃平凉·一模）现实世界中，对称现象无处不在，中国的方块字中有些也具有对称性．下列汉字是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称图形的识别，找出对称轴是解题的关键． 轴对称图形，是指在平面内沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形，这条直线就叫做对称轴，由此结合图形分析，找出对称轴即可求解． 【详解】解：A、没有对称轴，不是轴对称图形，不符合题意； B、没有对称轴，不是轴对称图形，不符合题意； C、有对称轴，是轴对称图形，符合题意； D、没有对称轴，不是轴对称图形，不符合题意； 故选：C ． 3．下列图形中，是轴对称图形的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查轴对称图形，掌握轴对称图形的概念是解题的关键． 根据“根据沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的平面图形叫做轴对称图形，”进行判断即可． 【详解】解：A、是轴对称图形，故符合题意； B、不是轴对称图形，故不符合题意； C、不是轴对称图形，故不符合题意； D、不是轴对称图形，故不符合题意； 故选：A． 4．下列是北京大学、中国科学院大学、中国药科大学和中南大学的标志性图案，其中是轴对称图形的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：左起第二、四两个图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形， 第一、三两个图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形， 故选：B． 【点睛】此题主要考查了轴对称图形，关键是正确确定对称轴位置． 5．（25-26八年级上·北京·期中）在平面直角坐标系中，若点与点，，形成的图形恰为轴对称图形，则点坐标可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了轴对称图形的定义，能熟记轴对称图形的定义是解此题的关键． 通过分析选项A、B、C、D的坐标，画出图形即可解答． 【详解】解：A、画出图形如下：不是轴对称图形，不符合题意； ， B、画出图形如下：不是轴对称图形，不符合题意； ， C、画出图形如下：不是轴对称图形，不符合题意； ， D、画出图形如下：是轴对称图形，符合题意； ， 故选：D． 6．如图的四个图形中，由基础图形通过平移、旋转或轴对称这三种变换都能得到的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据几何变换的几个类型的特征分别对各选项进行判断． 【详解】解：A、图形只能通过旋转变换得到，所以A选项错误； B、图形通过平移、旋转或轴对称变换都能得到，所以B选项正确； C、图形不能通过平移、旋转或轴对称变换得到，所以C选项错误； D、图形只能通过平移变换得到，所以D选项错误． 故选B． 【点睛】本题考查了几何变换的类型：平移变换；轴对称变换；旋转变换． 7．如图，点，，和点，，，，都在正方形网格的格点上，则能与点，，连线组成轴对称图形的点有________个． 【答案】4 【分析】利用轴对称的作图方法来作图，即可得到答案． 【详解】解：如图，，，，四点满足题意． 则点的个数是． 8．如图，已知正五边形是轴对称图形，请按要求作图．（画图仅限使用无刻度的直尺，保留作图痕迹，不要求写作法）    (1)作正五边形的对称轴； (2)连接，作直线，交于点，使． 【答案】(1) 如图，即为所求，    (2) 如图，点即为所求，    【分析】（1）连接、相交于点，连接并延长交于，即为所求； （2）连接交于点，连接并延长交于点，点即为所求． 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】本题考查了作图—复杂作图、无刻度直尺作图、轴对称图形的定义、三角形中线的性质，熟练掌握以上知识点是解此题的关键． 成轴对称的两个图形的识别题型02 1．（24-25八年级上·湖北宜昌·期末）下列各图形中，从图形Ⅰ到图形Ⅱ一定不能通过轴对称得到的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查成轴对称的定义，解决本题的关键是要熟练掌握成轴对称的定义．把一个图形沿着某一条直线翻折，如果它能够与另一个图形重合，那么 就称这两个图形关于这条直线成轴对称，这条直线叫作对称轴，翻折后能够重合的点叫作对称点．据此即可求解． 【详解】解：A、图形Ⅰ和图形Ⅱ成轴对称，不符合题意； B、图形Ⅰ和图形Ⅱ成轴对称，不符合题意； C、图形Ⅰ和图形Ⅱ不成轴对称，符合题意； D、图形Ⅰ和图形Ⅱ成轴对称，不符合题意； 故选：C． 2．下列各组图形中，两个图案是轴对称的有（    ） A．①③④ B．①③ C．①②③ D．①②③④ 【答案】B 【分析】此题考查轴对称的定义：两个图形，沿着一条直线翻折后，去其中的一个图形与另一个图形完全重合，则这两个图形关于这条直线成轴对称，根据定义依次判断即可． 【详解】解：①③是轴对称，②④不是轴对称， 故选：B． 3．下列三角形中，不是轴对称图形的是(    ) A．有两个角相等的三角形 B．有两个角分别是120°和30°的三角形 C．有一个角是45°的直角三角形 D．有一个角是60°的直角三角形 【答案】D 【分析】根据轴对称图形的概念求解．直角三角形中只有等腰直角三角形是轴对称图形． 如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴． 【详解】解：根据轴对称图形的定义： A、有两个内角相等的三角形，是轴对称图形，不符合题意； B、有两个角分别是120°和30°的三角形，另一个内角也是30°，故是轴对称图形，不符合题意； C、有一个内角为45°的直角三角形，是轴对称图形，不符合题意 D、有一个角是60°的直角三角形，找不到对称轴，则不是轴对称图形，符合题意． 故选D． 【点睛】本题考查轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 4．（24-25八年级上·河南周口·期末）下面是四位同学分别以直线l为对称轴作出的轴对称图形，其中错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了轴对称图形的作图，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形．根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可． 【详解】解：A．图中作出的图形是关于直线l的轴对称图形，故A不符合题意； B．图中作出的图形是关于直线l的轴对称图形，故B不符合题意； C．图中作出的图形不是关于直线l的轴对称图形，故C符合题意； D．图中作出的图形是关于直线l的轴对称图形，故D不符合题意． 故选：C． 5．如图所示：其中，轴对称图形有________，与甲成轴对称的图形有________． 【答案】 甲、乙、丙、丁 丁 【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 【详解】解：其中，轴对称图形有甲、乙、丙、丁，与甲成轴对称的图形有丁． 6．国际奥委会会旗上的图案由5个圆环组成．每两个圆环相交的部分叫做曲边四边形，如图所示，从左至右共有8个曲边四边形，分别给它们标上序号．观察图形，我们发现标号为2的曲边四边形（下简称“2”）经过平移能与“6”重合，2还与_______成轴对称．（请把能成轴对称的曲边四边形标号都填上） 【答案】1，3，7 【分析】此题考查了成轴对称图形的识别，沿着一条直线折叠，如果两个图形能够完全重合，就说这两个图形关于这条直线成轴对称，据此进行解答即可． 【详解】解：观察图形，我们发现标号为2的曲边四边形（下简称“2”）经过平移能与“6”重合，2还与1，3，7成轴对称． 故答案为：1，3，7 7．如图，在△ABC中，AB=AC，D、E是BC边上的点，连接AD，AE，以△ADE的边AE所在直线为对称轴作△ADE的轴对称图形△AD′E，连接D′C，若BD=CD′； （1）求证：△ABD≌△ACD′； （2）若∠BAC=120°，求∠DAE的度数． 【答案】 （1）证明：∵以△ADE的边AE所在直线为对称轴作△ADE的轴对称图形△AD′E， ∴， 在△ABD和△ACD′中， ∵ ， ∴ △ABD≌△ACD′（SSS）. （2） 【详解】（1）根据对称得出AD=AD′，根据SSS证△ABD≌△ACD′即可； （2）根据全等得出∠BAD=∠CAD′，求出∠BAC=∠DAD′，根据对称得出∠DAE=∠DAD′，代入求出即可． （）略； （）解：∵≌， ∴， ∴， ∵以△ADE的边AE所在直线为对称轴作△ADE的轴对称图形△AD′E， ∴， 即． 点睛：本题考查了轴对称的性质及全等三角形的性质.熟练应用轴对称的性质是解题的关键. 8．（25-26七年级下·重庆·期末）如图，点B在线段上，点E在线段上，，，． (1)线段与有怎样的位置关系和数量关系，说明理由； (2)过点B作的平分线，交于点M；过点B作的平分线交于点N．请补全图形，并说明线段与有怎样的位置关系和数量关系，并说明理由； (3)在（2）的图形中，连接并延长交于点K，写出图中成轴对称图形的所有三角形． 【答案】(1)且， 理由：∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 如图，延长交于点F， ∵， ∴， ∴． (2)且， 理由：如图， 由（1）知，， ∵，分别平分，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． (3)和，和，和，和，和，和 【分析】（1）根据已知条件证明，得出，再利用三角形内角和定理即可证得结论； （2）根据已知条件和（1）的结论，利用角平分线的性质证明，从而证得结论； （3）利用轴对称的性质找出图中成轴对称图形的所有三角形即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：如图， 在和中， ， ∴，即和关于对称， ∴，，， ∵， ∴，即和关于对称， 在和中， ， ∴，即和关于对称， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴，即和关于对称， ∴， 在和中， ， ∴，即和关于对称， 在和中， ， ∴，即和关于对称， 综上所述，图中成轴对称图形的所有三角形有和，和，和，和，和，和． 根据成轴对称图形的特征进行判断题型03 1．如图，与关于直线对称，交于点O，下列结论：①；②；③；④中，错误的有（   ） A．4个 B．1个 C．0个 D．2个 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称的性质，全等三角形的判定，熟练掌握轴对称图形的性质是解题关键．根据轴对称图形的性质可得，，垂直平分和，则结论①和④正确；再根据线段垂直平分线的性质、平行线的判定可得结论②和③正确． 【详解】解：∵与关于直线对称，交于点O， ∴根据轴对称图形的性质可得，，，垂直平分和，所以结论①和④正确； ∴，，所以结论②和③正确； 综上所述，错误的结论有0个，所以选项C正确，符合题意， 故选：C． 2．如图是一个风筝的图案，它是以直线AF为对称轴的轴对称图形，下列结论中不一定成立的是　　    A．≌ B．AF垂直平分EG C．直线BG，CE的交点在AF上 D．是等边三角形 【答案】D 【分析】认真观察图形，根据轴对称图形的性质得选项A、B、C都是正确的，没有理由能够证明△DEG是等边三角形． 【详解】A．因为此图形是轴对称图形，正确； B．对称轴垂直平分对应点连线，正确； C．由三角形全等可知，BG＝CE，且直线BG，CE的交点在AF上，正确； D．题目中没有60°条件，不能判断是等边三角形，错误． 故选D． 【点睛】本题考查了轴对称的性质；解答此题要注意，不要受图形误导，要找准各选项正误的具体原因是正确解答本题的关键． 3．下列命题中是假命题的是（   ） A．全等三角形对应边上的高相等 B．全等三角形的面积相等 C．能够完全重合的两个三角形全等 D．两个全等的三角形一定关于某条直线成轴对称 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的性质以及成轴对称图形的判断，以及命题的真假．熟记全等三角形的性质是解答本题的关键．根据全等三角形的性质逐项判断即可解答． 【详解】解：A.全等三角形对应边上的高相等,是真命题，不符合题意； B. 全等三角形的面积相等，是真命题，不符合题意； C. 能够完全重合的两个三角形全等，是真命题，不符合题意； D. 两个全等的三角形不一定关于某条直线成轴对称，故原命题是假命题，符合题意； 故选：D． 4．（25-26八年级上·期末）下列说法正确的是（    ）． A．如果两个三角形全等，那么它们必是关于某条直线成轴对称的图形 B．如果两个三角形关于某条直线成轴对称，那么它们是全等三角形 C．等腰三角形是以一条边上的中线为对称轴的轴对称图形 D．一条线段是以经过该线段中点的直线为对称轴的轴对称图形 【答案】B 【分析】本题考查轴对称的性质、全等三角形与轴对称图形的关系及等腰三角形、线段的对称轴定义，需逐项分析各选项的正误． 【详解】解：∵全等的两个三角形仅形状大小完全相同，不一定关于某条直线成轴对称，例如随意摆放的两个全等三角形， ∴A选项错误． ∵成轴对称的两个图形能够完全重合， ∴关于某条直线成轴对称的两个三角形是全等三角形， ∴B选项正确． ∵等腰三角形的对称轴是底边上的中线所在的直线，并非任意一条边上的中线，且对称轴是直线而中线是线段， ∴C选项错误． ∵一条线段的对称轴是经过线段中点且垂直于该线段的直线以及线段本身所在的直线，并非所有经过线段中点的直线， ∴D选项错误． 故选：B． 5．如图，直线MN是四边形AMBN的对称轴，点P是直线MN上的点，有以下的几种说法：①AM＝BM；②∠MAP＝∠MBP；③∠ANM＝∠BNM；④AP＝BN；⑤△AMP≌△BMP．其中正确的说法是________．（填序号） 【答案】①②③⑤ 【分析】根据直线MN是四边形AMBN的对称轴，得到点A与点B对应，根据轴对称的性质即可得到结论． 【详解】解：∵直线MN是四边形AMBN的对称轴， ∴点A与点B对应， ∴AM＝BM，∠MAP＝∠MBP，∠ANM＝∠BNM，AP＝BP，△AMP≌△BMP， ∴①②③⑤正确，而④错误． 故答案为：①②③⑤． 【点睛】本题考查了轴对称的性质，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键． 6．下列说法正确的有___________个 （1）线段的对称轴有两条， （2）角是轴对称图形，它的角平分线就是它的对称轴， （3）到直线的距离相等的两个点关于直线对称， （4）若两个图形关于某直线对称，则它们的对应点一定位于对称轴的两侧． 【答案】1 【分析】本题考查轴对称的性质：关于某条直线对称的两个图形是全等形；如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或对应线段的延长线相交，那么交点在对称轴上．据此对各说法依次分析即可． 【详解】解：（1）线段的对称轴有两条，故原说法正确； （2）角是轴对称图形，它的角平分线所在的直线就是它的对称轴，故原说法错误； （3）对应点的连线与直线的位置关系是互相垂直，且到直线距离相等的两个点关于直线对称，故原说法错误； （4）若两个图形关于某直线对称，则它们的对应点不一定位于对称轴的两侧，故原说法错误； ∴说法正确的只有1个． 故答案为：1． 7．如图，分别以的边所在直线为对称轴作的对称图形和．若，线段与相交于点O，连接．有如下结论：①；②；③．其中正确的是______ 【答案】①②##②① 【分析】本题主要考查了轴对称的性质的综合运用等知识点，熟记相关性质并准确识图理清图中各角度之间的关系是解题的关键．根据轴对称的性质可得，再根据周角等于列式计算即可求出，判断出①正确；再求出，根据对称可得，利用三角形的内角和定理可得，判断出②正确；说明即可判定③错误． 【详解】解：∵和是的轴对称图形， ∴， ∴，故①正确． ∴， 由对称的性质得，， 又∵， ∴，故②正确． 在和中，， ∵ ∴，故③错误； 综上所述，结论正确的是①②． 故答案为：①②． 8．如图，是由经过轴对称变换得到的，直线是对称轴．    (1)与全等吗？ (2)分别找出点关于直线的对称点，如果点在内，那么点关于直线的对称点一定在内吗？ (3)连接，线段与直线有什么关系？ 【答案】(1)与全等 (2)点关于直线的对称点分别是点；点关于直线的对称点一定在内 (3)线段被直线垂直平分 【分析】（1）根据对称轴图形的性质即可求解； （2）根据对称轴图形的性质即可求解； （3）根据对称轴图形的性质即可求解； 【详解】（1）解：与关于直线对称， ∴， ∴， ∴与全等． （2）解：∵与关于直线对称， ∴点关于直线的对称点分别是点，点关于直线的对称点一定在内． （3）解：∵与关于直线对称，且点的对称点是点， ∴点到直线的距离等于点到直线的距离， ∴线段被直线垂直平分． 【点睛】本题主要考查轴对称图形的定义，性质，掌握成轴对称的两个图形中任何一个图形都可以看成是由另一个图形经过轴对称变换得到；一个轴对称图形也可以看成是以它的一部分为基础经过轴对称变换而得到的；成轴对称图形的对应点的连线被对称轴垂直平分等知识是解题的关键． 根据轴对称图形的特征求解题型01 1．如图，，点M在内，点M关于射线OA，OB的对称点分别是，，连接，，则（　　）    A．80° B．70° C．60° D．无法确定 【答案】A 【分析】本题主要考查了轴对称的性质，解题的关键是熟练掌握轴对称的性质，得出，． 【详解】解：连接，如图所示：    ∵点M关于射线的对称点分别是，， ∴，， ∴， ∴， 故选：A． 2．（24-25七年级下·山东青岛·期末）如图，在中，，垂足为D，，．E，F为边，上两点，点，关于直线对称，点为线段上一动点，则的最小值是（   ） A．4 B．6 C．8 D．12 【答案】B 【分析】本题主要考查了轴对称−最短路线问题、三角形面积的计算等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． 连接，根据轴对称的性质可得，由垂线段最短可知，即的最小值为，结合三角形面积公式求出即可． 【详解】解：如图：连接， ∵点，关于直线对称， ∴， ∴， ∵，． ∴, ∴的最小值为6， 故选B． 3．如图，六边形是关于所在直线对称的轴对称图形，P，Q为线段上任意两点，若六边形的面积为，则图中阴影部分的面积为___________． 【答案】6 【分析】本题主要考查了轴对称图形的性质，根据轴对称图形的性质推出阴影部分面积是六边形的面积的一半是解题的关键． 【详解】解：∵六边形是关于所在直线对称的轴对称图形，P，Q为线段上任意两点， ∴，， ∴ ． 故答案为：． 4．（25-26七年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）如图，内有一点P，P点关于的对称点是G，P点关于的轴对称点是H，分别交、于点A、B．若的长为14，则的周长为______ ． 【答案】14 【分析】本题主要考查了轴对称的性质．根据两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，可得，，然后可得答案． 【详解】解：∵P点关于的轴对称点是G，P点关于的轴对称点是H， ∴，， ∵的长为14， ∴的周长为：， 故答案为：14． 5．（24-25八年级上·广东云浮·期末）若点和点关于y轴对称，则______． 【答案】16 【分析】平面直角坐标系中任意一点，关于y轴的对称点的坐标是，即关于纵轴的对称点，纵坐标不变，横坐标变成相反数；据此可得a、b的值． 本题考查平面直角坐标系中关于坐标轴成轴对称的两点的坐标之间的关系，学生可以由此发散思维，辨析一下有关坐标轴对称的相应关系． 【详解】解：∵点和点关于y轴对称， ∴，． 解得． ∴． 故答案为：16． 6．（24-25八年级上·安徽 阜阳·期中）如图，，点、分别在射线、，，的面积为3，则三角形的边上的高是______；是直线上的动点，点关于对称的点为，点关于对称的点为，当点在直线上运动时，三角形的面积最小值为______． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称、垂线段最短等知识点，掌握轴对称的性质是关键．连接，过点作交的延长线于，先利用三角形的面积公式求出，再根据轴对称的性质可得，，，从而可得，然后利用三角形的面积公式可得的面积为，可得当点与点重合时，取得最小值，的面积最小，由此即可得． 【详解】解：如图，连接，过点作交的延长线于， ，且， ， 点关于对称的点为，点关于对称的点为， ，，， ， ， 的面积为， 由垂线段最短可知，当点与点重合时，取得最小值，最小值为， 的面积的最小值为， 故答案为：，． 7．（24-25七年级下·吉林·月考）如图，点在的内部，点和点关于直线对称，点关于直线的对称点是点，连接交于点，交于点． (1)若，求的度数； (2)若，的周长为_________． 【答案】(1) (2)4 【分析】本题考查轴对称的性质与运用，熟知轴对称的性质是解题关键． （1）根据轴对称的性质，可知，，可以求出； （2）根据轴对称的性质，可知，，根据周长定义可以求出的周长． 【详解】（1）解：点和点关于对称， ， 点关于对称点是， ， ∵， ； （2）解：点和点关于对称， ， 点关于对称点是， ， ， ， ， 即的周长为4． 故答案为：4 8．如图，已知，．点是射线上一动点（与点不重合），射线和射线分别平分和，分别交射线于点，． (1)求的度数． (2)当点运动到使时，求的度数． (3)作射线关于对称的射线，射线关于对称的射线，如果和始终在的内部，请直接写出的范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了轴对称的性质、平行线的性质，分类讨论是解答本题的关键． （1）利用平行线性质得到，利用角平分线得到； （2）根据，，得出，进而得到，根据，，可求得的度数； （3）分两种情况讨论①当位于上时，②如图2，当位于射线上时，分别画出图形进行计算推导即可． 【详解】（1），， ， 平分，平分， ； （2）， ， 又， ， ， 由（1）可得，，， ; （3）根据题意，分两种情况讨论： 当位于上时，如图1， 为的角平分线， ， 又与关于对称， ， ，， ， ， ， ， 又， ； ②如图2，当位于射线上时， 同①可得：， ， ， 又， ， 综上分析，． 折叠问题题型02 1．如图，为一长条形纸带，，将沿折叠，A、D两点分别与、对应，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行线的性质，翻折变换等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．由题意，设，易证，构建方程即可解决问题． 【详解】解：由翻折的性质可知：， ∵， ， ，设，则， ， ， ， 故选C 2．（24-25八年级上·宁夏银川·期末）如图，在中，，点在边上，将沿折叠，使点恰好落在边上的点处，若，则度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理，轴对称的性质等知识点，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键． 由三角形的内角和定理可得，由轴对称的性质可得，，再根据三角形的内角和定理即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴， 由轴对称的性质可得： ，， ∴， 故选：． 3．（25-26八年级上·云南昆明·期末）如图，在中，，沿过点的直线折叠这个三角形，使点落在边上的点处，折痕为，已知，则的面积为（   ） A．6 B．8 C．12 D．16 【答案】B 【分析】本题考查了图形的折叠问题，熟练掌握折叠的性质是解决问题的关键．根据折叠的性质求出，，即可求解． 【详解】解：由折叠的性质求出，， 则． 故选：B． 4．（24-25八年级上·甘肃平凉·期末）如图，将沿翻折，使点落在点处，过点作交于点，若，，则的度数为________． 【答案】##度 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，平行线的性质，折叠的性质，三角形外角的性质，正确的识别图形是解题的关键．根据折叠的性质和平行线的性质得到，根据三角形的内角和定理即可得到结论． 【详解】解：∵将沿翻折，使点A落在点处， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 5．如图，在三角形纸片中，，沿过点的直线折叠这个三角形，使点落在边上的点处，折痕为，则的周长等于_________________.    【答案】9 【分析】根据翻折变换的性质可得DE＝CD，BE＝BC，然后求出AE，再根据三角形的周长列式求解即可． 【详解】∵BC沿BD折叠点C落在AB边上的点E处， ∴DE＝CD，BE＝BC， ∵AB＝8cm，BC＝6cm， ∴AE＝AB−BE＝AB−BC＝8−5＝3cm， ∴△ADE的周长＝AD＋DE＋AE， ＝AD＋CD＋AE， ＝AC＋AE， ＝6＋3， ＝9cm． 故答案为9． 【点睛】本题考查了翻折变换的性质，熟记翻折前后两个图形能够完全重合得到相等的线段是解题的关键． 6．图1是一张足够长的纸条，其中，点A、B分别在、上，记．如图2，将纸条折叠，使与重合，得折痕，如图3，将纸条展开后再折叠，使与重合，得折痕，将纸条展开后继续折叠，使与重合，得折痕依此类推，第次折叠后，____a和n的代数式表示）    【答案】 【分析】由折叠的性质折叠次可得，然后根据四边形内角和及补角性质可得答案． 【详解】解：折叠2次可得：， 折叠3次可得：， 折叠4次可得：， … 由折叠的性质折叠次可得， 在四边形内有四边形的内角和为知： ． 故答案为：． 【点睛】此题考查的是折叠，掌握其性质是解决此题关键． 7．将一张长方形纸片按如图所示方式进行折叠，使点落至点处，点落至点处，且与在同一直线上，折痕分别为，则与有怎样的位置关系？并说明理由． 【答案】 ，理由如下： 由折叠得：，， ∵， ∴， ∴， ∵与在同一直线上， ∴， ∴． 【分析】此题考查折叠的性质：折叠前后的对应角相等，以及垂直的定义，正确理解折叠的性质是解答此题的关键．由折叠得：，，利用，得到，说明，即可得到结论． 【详解】略 8．我们定义：如图1，直线a，b被直线c所战（a，b，c不交于同一点），若直线a，c所成的四个角中有一个角与直线b，c所成的四个角中的一个角相等，如，则称直线c是直线a，b的等角线． 【初步感知】 （1）如图2，在图①，②，③中，直线c是直线a，b的等角线的是___________（填序号）； 【探究应用】 （2）如图3，点E，F分别为长方形ABCD的边AD，BC的点，且点E不与点A，D重合，点F不与点B，C重合，将长方形ABCD沿EF折叠后，点D，C分别落在点的位置，的延长线交直线BC于点G． 图3               备用图 ①直线AB，EF，中，直线___________是直线与直线BC的等角线，并请说明理由； ②直线与直线BC交于点G，随着折痕EF的变动，当直线EG是直线AB，BC的等角线时，求的度数（提示：三角形的内角和为）． 【答案】（1）①③； （2）①EF， 理由：由折叠性质可：， 四边形是长方形． ， 直线是直线与的等角线． ②， 【分析】此题考查了平行线和折叠的性质，解题的关键是熟练掌握平行线和折叠的性质及其应用． （1）根据题中a与c的夹角b与c的夹角度数，结合所给的定义逐一判断即可； （2）①由折叠性质可知，再根据平行线的性质求出角度相等，判断即可； ②当直线是直线、的等角线分情况画出图形即可求解． 【详解】解：（1）图中，与所成的角为：，，，，与所成的角为，，，，则或， ∴直线是直线、的等角线， 图中，与所成的角为：，，，，与所成的角为，，，，没有角相等， ∴直线不是直线、的等角线， 图中，与所成的角为：，，，，与所成的角为，，，，，则或， ∴直线是直线、的等角线， 故答案为：； （2）①略 ②如图， 设直线与的延长线得交点为H， 当直线是直线、的等角线时， 山折叠性质可知：， 四边形是长方形， ． ， 直线是直线、的等角线， ． ． 如图， 设直线与的延长线得交点为H． 当直线是直线、的等角线时． 由折叠性质可知：， 四边形是长方形． ， ， 直线是直线、的等角线， ， ． 的度数为：，． 台球桌面上的轴对称问题题型01 1．平面直角坐标系中，一张长方形台球桌的顶点分别为，，，，台球从球桌上的某一点出发，沿平行于或的直线方向运动，碰到边缘会发生镜面反射，台球从以下哪个点出发，在反弹不超过3次的情况下无法到达原点？（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用台球反射的性质画图，逐一验证各选项，判断反弹不超过3次时能否到达原点． 【详解】解：A．如图，点反弹不超过3次的情况下无法到达原点； B．如图，点反弹不超过3次的情况下能到达原点； C．如图，点反弹不超过3次的情况下能到达原点； D．如图，点反弹不超过3次的情况下能到达原点； 2．如图是台球桌面示意图，阴影部分表示四个入球孔，小明按图中方向击球，每当球碰到长方形桌的边时会反弹，反弹的方向与原来的方向关于垂直于长方形桌边的直线对称，则球最后落入的球袋是（    ） A．1号袋 B．2号袋 C．3号袋 D．4号袋 【答案】B 【分析】本题考查了生活中的轴对称现象，根据网格结构利用轴对称的性质作出球的运动路线，即可进行判断． 【详解】解：根据轴对称的性质可知，台球走过的路径为： 则球最后落入的球袋是2号袋． 故选：B． 3．数学在我们的生活中无处不在，就连小小的台球桌上都有数学问题，如图所示，，若，为了使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中，那么击打白球时，必须保证为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据图形得出的度数，即可求出的度数． 【详解】解：，， ， ， ， 故选：C． 【点睛】本题考查了台球桌上的轴对称问题，利用数形结合的思想解决问题是解题关键． 4．下面四个图形是标出了长宽之比的台球桌的俯视图，一个球从一个角落以角击出，在桌子边沿回弹若干次后，最终必将落入角落的一个球囊．图1中回弹次数为1次，图2中回弹次数为2次，图3中回弹次数为3次，图4中回弹次数为5次．若某台球桌长宽之比为，按同样的方式击球，球在边沿回弹的次数为（    ）次． A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】B 【详解】本题考查轴对称的知识，根据题意画出图形，然后即可作出判断．难度不大，注意画出图形会使问题比较简单直观． 【分析】解：根据图形可得总共反射了7次． 故选：B． 5．（25-26七年级·河南驻马店·期中）小静同学观察台球比赛，从中受到启发，抽象成数学问题如下：如图，已知长方形，小球从出发，沿如图所示的方向运动，每当碰到长方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，小球第1次碰到长方形的边时的位置为，第2次碰到长方形的边时的位置为，第3次碰到长方形的边时的位置为若不考虑阻力，则小球第2026次碰到长方形的边时的位置的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】按照反弹时反射角等于入射角，画出图形，可以发现每六次反射一个循环，最后回到起始点，然后计算2026有几个6即可求出对应点的坐标． 【详解】解：按照反弹时反射角等于入射角，画出图形，如下图： ，，，，，，，…， 通过以上变化规律，可以发现每六次反射一个循环， ∵， ∴的坐标与的坐标相同， ∴点的坐标是． 6．（25-26七年级·内蒙古通辽·期中）一张台球桌的桌面如图所示，一个球从桌面的点滚向桌边，碰到上的点后便反弹而滚向桌边，碰到上的点便反弹而滚入点，一共反弹两次．已知都是直线，，且的平分线垂直于，的平分线垂直于，若，则的度数为______． 【答案】##度 【分析】根据角平分线的定义可得，，根据平行线的性质可得，最后由垂直的概念可得答案． 【详解】解：， ， 平分，平分， ，， 由题意可知：， ， ， ， ， ． 7．操作题：台球桌的形状是一个长方形，当母球被击打后可能在不同的边上反弹，为了使母球最终击中目标球，击球者需作出不同的设计，确定击球方向．如图，目标球从A点出发经B点到C点，相当于从点出发直接击打目标球C，其实质上是图形的轴对称变换，关键是找母球关于桌边的对称点的位置． (1)如下图，小球起始时位于点处，沿所示的方向击球，小球运动的轨迹如图所示．如果小球起始时位于点处，仍按原来方向击球，那么在点A，B，C，D，E，F，G，H中，小球会击中的点是___________； (2)在下图中，请你设计一条路径，使得球P依次撞击台球桌边AB，BC反射后，撞到球Q．（不写作法，保留作图痕迹．） 【答案】(1) (2) 如图所示，找到关于的对称点，连接分别交于点，连接，则路径为 【分析】（1）根据轴对称的性质画出小球从起始点处出发的路径，即可求解； （2）根据轴对称的性质，找到关于的对称点，连接分别交于点，连接，则路径为 【详解】（1）解：如图，所以小球会击中的点是， 故答案为： （2）略 【点睛】本题考查了轴对称的性质，掌握轴对称的性质是解题的关键． 8．【问题初探】数学课上，老师和学生做数学书39页的做一做的内容 如图，打台球时，选择适当的方向击打白球，白球反弹后击打红球，红球会直接入袋，此时，． （1）若，则； （2）的余角是_________； 【学科融合】 物理学中把经过入射点并垂直于反射面的直线叫做法线，入射光线与法线的夹角叫做入射角，反射光线与法线的夹角叫做反射角（如图①）．由此可以归纳出如下的规律：在反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一平面内；反射光线、入射光线分别位于法线两侧：反射角等于入射角．这就是光的反射定律（rfectionlaw）． 【数学推理】 （3）如图1，有两块平面镜，且，入射光线经过两次反射，得到反射光线．由以上光的反射定律，可知入射角与反射角相等，进而可以推得他们的余角也相等，即：．在这样的条件下，求证：． 【尝试探究】 （4）两块平面镜，且，入射光线经过两次反射，得到反射光线．如图2，光线与相交于点，则_________；（用含有字母的式子表示） 【答案】（1）30； （2）的余角是：； （3）， ∴， ∴， 由反射定律得：，， ∴， ∵， ∴， ∴； （4）； 【分析】（1）根据轴对称性质求解即可； （2）根据余角的定义求解即可； （3）根据反射定律得，，又，得出，由平行线的判定即可得出结论； （4）根据，，，得出，根据，证得，根据三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：（1）由题意得：，， ∴， ∴． （2）证明：∵ ∴，， ∵ ∴ ∴的余角是，． （3） 略 （4），，， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了余角的定义，平行线的判定，轴对称的性质，反射定律，三角形内角和定理，熟练掌握余角的定义：两角的和等于90度，这两角互为余角，平行线的判定定理是解题的关键． 轴对称中的光线反射问题题型02 1．（25-26八年级上·山西朔州·月考）如图，一束光贴着正方形网格背景布射向平面镜，由物理学知识可知，入射光线与平面镜的夹角等于反射光线与平面镜的夹角，则其反射光线为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了判断反射光线． 根据入射光线与平面镜的夹角等于反射光线与平面镜的夹角判断即可． 【详解】∵入射光线与平面镜的夹角等于反射光线与平面镜的夹角， ∴其反射光线为， 故选：C． 2．（2025·河南周口·二模）如图，水平地面上放置一平面镜，从激光笔的点发出的光线照射到平面镜的处，反射光线为，且点恰好落在与地面垂直的墙面上．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形内角和性质，反射角等于入射角，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 先得出，，根据反射角等于入射角，即得． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵从激光笔的点发出的光线照射到平面镜的处，反射光线为， ∴， 故选：C． 3．如图，设和是镜面平行相对且间距为的两面镜子，把一个小球A放在和之间，小球在镜中的像为，在镜是中的像为，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是镜面反射的性质即轴对称的性质；解决本题的关键，是理解实物与像关于镜面对称．那么到镜面的距离就相等．如图所示，经过反射后，，，则，即可求解． 【详解】解：如图所示， 经过反射后，，， ∴． 故选：D． 4．（24-25七年级下·山西晋中·期末）在制作万花筒活动中，小刚发现：如图，把一个正方形图片P放在张角为的（用两面平面镜制作而成）中间，可以看到完整的正方形（含原来的正方形P）的个数是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】本题主要考查了轴对称的性质．根据轴对称的性质，解答即可． 【详解】解：根据题意得：一次反射成像有2个，即， 两次反射成像有2个，即， 三次反射成像有1个，即， 如图， 即可以看到完整的正方形（含原来的正方形P）的个数是6个． 故选：C 5．（25-26七年级下·山东临沂·质检）如图1，已知是一块平面镜，光线在平面镜上经点反射后，形成反射光线，我们称为入射光线，为反射光线．镜面反射有如下性质：入射光线与平面镜的夹角等于反射光线与平面镜的夹角，即．如图2，和是两块平面镜，入射光线经过两次反射后，得到反射光线．则下列结论错误的个数是（    ） ①若，则；②若，则；③若，则；④若，则． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】根据反射的性质和平行线的性质和判定逐项判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，故①正确，不符合题意； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，故②正确，不符合题意； C、∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，不能得出，故③错误，符合题意； D、∵， ∴， ∵，， ， ∴，故④正确，不符合题意； 综上，错误的个数为1个． 6．根据光学中平面镜光线反射原理，入射光线、反射光线与平面镜所夹的角相等．如图，是两面互相平行的平面镜，一束光线m通过镜面反射后的光线为n，再通过镜面β反射后的光线为k．光线m与镜面的夹角的度数为，光线n与光线k的夹角的度数为．则x与y之间的数量关系是______． 【答案】 【分析】根据平面镜光线反射原理和平行线性质即可求得． 【详解】解：∵入射光线、反射光线与平面镜所夹的角相等， ∴反射后的光线n 与镜面夹角度数为， ∵是两面互相平行的平面镜， ∴反射后的光线n 与镜面夹角度数也为， 又由入射光线、反射光线与平面镜所夹的角相等， ∴反射后的光线k与镜面的夹角度数也为， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了平面镜光线反射原理和平行线性质，掌握反射光线与平面镜所夹的角相等以及两直线平行内错角相等是解题的关键． 7．综合与实践：科学研究发现，射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等（如图1中，）．七年级某学习小组围绕该结论开展主题学习活动． 【生活案例】 （1）如图2是潜望镜工作原理示意图，潜望镜中的两面镜子，是平行放置的，光线经过镜子，两次反射后得到光线．则与的位置关系是______． 【变式思考】 （2）如图3，调整镜子，光线经过镜子，两次反射后得到光线．若，求两面镜子夹角的度数． 【拓展运用】 （3）调整图3中的镜子使，重合，并改变它们的角度，光线经过镜子，两次反射后得到光线．若，求两面镜子夹角的度数． 备注：（根据物理学中的反射定律，光线射到平面镜上时，入射角（入射光线与镜面法线的夹角）等于反射角（反射光线与镜面法线的夹角）．在本题中，你可以利用这一性质来求解角度关系．） 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查了平行线的判定和性质的综合应用，平角的意义，三角形内角和定理，熟练掌握这些知识点是解题的关键． （1）先根据两直线平行，内错角相等得出，再根据已知条件得出，根据内错角相等，两直线平行即可判断； （2）先根据两直线平行，同旁内角互补得出，再根据平角的意义及角的和差得出，最后根据三角形内角和定理求解即可； （3）先求出，再根据平角的意义及三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：（1），理由如下：如图 ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴； 故答案为：． （2）如图 ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴，即． （3）如图， ∵， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴． 当时，， ∴， 解得：． 8．（25-26七年级下·江苏连云港·期末）科学实验证实光的反射规律：光线入射至平面镜发生反射时，入射光线与镜面的夹角等于反射光线与镜面的夹角．即下图中； (1)窗外一束光从C处斜射到平面镜上的点E处，小明转动手中的平面镜，使反射光线恰好照到黑板上的点D处．请在图①中使用无刻度的直尺和圆规画出平面镜所在位置（平面镜用线段表示，铅笔加黑加粗，保留作图痕迹）； (2)在图②中，有，．设镜子与的夹角．若，入射光线与反射光线的夹角．求的度数； (3)如图③，若，设镜子与的夹角，入射光线与镜面的夹角，已知入射光线从镜面反射到镜面，再反射到镜面，最后经镜面反射后，当反射光线与入射光线平行时，探索m与γ的数量关系，并说明理由； (4)如图④，若，已知入射光线与镜面平行，经过次反射后，反射光线按原路返回，请直接写出α满足的条件． 【答案】(1)如图所示，线段即为所求； (2) (3)，理由如下： 延长和，交点为，如图所示： 由（2）的思路可得，， ， ∵， ∴，即， 整理得，， ， 即． (4)（为正整数，） 【分析】（1）延长，作出邻补角的平分线即可，根据角平分线以及对顶角相等即可得到； （2）根据三角形内角和，利用对顶角相等得，，再利用三角形内角和结合等量代换即可求解； （3）延长和，交点为，由（2）得，根据平行线的性质即可求解； （4）分别求出时的度数，然后总结出一般规律即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． （3）略 （4）解：当时，如图，时，反射光线按原路返回， ∵ ∴，即； 当时，如图，时，反射光线按原路返回， ∵ ∴ ∴ ∵ ∴，解得，即 当时，如图，当时，反射光线按原路返回， ∵ ∴ ∴ ∴， ∴在中，，解得，即； 当时，如图，当时，反射光线按原路返回， ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 在中，，解得，即， 依次类推，经过次反射后，反射光线按原路返回，α满足的条件为（为正整数，）． 试卷第1页（共3页） 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 15.1.1 轴对称及其性质 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶；C组|运用层级|思维拔高 目 录 A组 巩固过关 题型01 轴对称图形的识别 题型02 成轴对称的两个图形的识别 题型03 根据成轴对称图形的特征进行判断 B组 能力进阶 题型01 根据轴对称图形的特征求解 题型02 折叠问题 C组 思维拔高 题型01 台球桌面上的轴对称问题 题型02 轴对称中的光线反射问题 轴对称图形的识别题型01 1．下面汽车标志图形中，不是轴对称图形是（　　） A． B． C． D． 2．（2025·甘肃平凉·一模）现实世界中，对称现象无处不在，中国的方块字中有些也具有对称性．下列汉字是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 3．下列图形中，是轴对称图形的是（ ） A． B． C． D． 4．下列是北京大学、中国科学院大学、中国药科大学和中南大学的标志性图案，其中是轴对称图形的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．（25-26八年级上·北京·期中）在平面直角坐标系中，若点与点，，形成的图形恰为轴对称图形，则点坐标可以是（   ） A． B． C． D． 6．如图的四个图形中，由基础图形通过平移、旋转或轴对称这三种变换都能得到的是（　　） A． B． C． D． 7．如图，点，，和点，，，，都在正方形网格的格点上，则能与点，，连线组成轴对称图形的点有________个． 8．如图，已知正五边形是轴对称图形，请按要求作图．（画图仅限使用无刻度的直尺，保留作图痕迹，不要求写作法）    (1)作正五边形的对称轴； (2)连接，作直线，交于点，使． 成轴对称的两个图形的识别题型02 1．（24-25八年级上·湖北宜昌·期末）下列各图形中，从图形Ⅰ到图形Ⅱ一定不能通过轴对称得到的是（    ） A． B． C． D． 2．下列各组图形中，两个图案是轴对称的有（    ） A．①③④ B．①③ C．①②③ D．①②③④ 3．下列三角形中，不是轴对称图形的是(    ) A．有两个角相等的三角形 B．有两个角分别是120°和30°的三角形 C．有一个角是45°的直角三角形 D．有一个角是60°的直角三角形 4．（24-25八年级上·河南周口·期末）下面是四位同学分别以直线l为对称轴作出的轴对称图形，其中错误的是（    ） A． B． C． D． 5．如图所示：其中，轴对称图形有________，与甲成轴对称的图形有________． 6．国际奥委会会旗上的图案由5个圆环组成．每两个圆环相交的部分叫做曲边四边形，如图所示，从左至右共有8个曲边四边形，分别给它们标上序号．观察图形，我们发现标号为2的曲边四边形（下简称“2”）经过平移能与“6”重合，2还与_______成轴对称．（请把能成轴对称的曲边四边形标号都填上） 7．如图，在△ABC中，AB=AC，D、E是BC边上的点，连接AD，AE，以△ADE的边AE所在直线为对称轴作△ADE的轴对称图形△AD′E，连接D′C，若BD=CD′； （1）求证：△ABD≌△ACD′； （2）若∠BAC=120°，求∠DAE的度数． 8．（25-26七年级下·重庆·期末）如图，点B在线段上，点E在线段上，，，． (1)线段与有怎样的位置关系和数量关系，说明理由； (2)过点B作的平分线，交于点M；过点B作的平分线交于点N．请补全图形，并说明线段与有怎样的位置关系和数量关系，并说明理由； (3)在（2）的图形中，连接并延长交于点K，写出图中成轴对称图形的所有三角形． 根据成轴对称图形的特征进行判断题型03 1．如图，与关于直线对称，交于点O，下列结论：①；②；③；④中，错误的有（   ） A．4个 B．1个 C．0个 D．2个 2．如图是一个风筝的图案，它是以直线AF为对称轴的轴对称图形，下列结论中不一定成立的是　　    A．≌ B．AF垂直平分EG C．直线BG，CE的交点在AF上 D．是等边三角形 3．下列命题中是假命题的是（   ） A．全等三角形对应边上的高相等 B．全等三角形的面积相等 C．能够完全重合的两个三角形全等 D．两个全等的三角形一定关于某条直线成轴对称 4．（25-26八年级上·期末）下列说法正确的是（    ）． A．如果两个三角形全等，那么它们必是关于某条直线成轴对称的图形 B．如果两个三角形关于某条直线成轴对称，那么它们是全等三角形 C．等腰三角形是以一条边上的中线为对称轴的轴对称图形 D．一条线段是以经过该线段中点的直线为对称轴的轴对称图形 5．如图，直线MN是四边形AMBN的对称轴，点P是直线MN上的点，有以下的几种说法：①AM＝BM；②∠MAP＝∠MBP；③∠ANM＝∠BNM；④AP＝BN；⑤△AMP≌△BMP．其中正确的说法是________．（填序号） 6．下列说法正确的有___________个 （1）线段的对称轴有两条， （2）角是轴对称图形，它的角平分线就是它的对称轴， （3）到直线的距离相等的两个点关于直线对称， （4）若两个图形关于某直线对称，则它们的对应点一定位于对称轴的两侧． 7．如图，分别以的边所在直线为对称轴作的对称图形和．若，线段与相交于点O，连接．有如下结论：①；②；③．其中正确的是______ 8．如图，是由经过轴对称变换得到的，直线是对称轴．    (1)与全等吗？ (2)分别找出点关于直线的对称点，如果点在内，那么点关于直线的对称点一定在内吗？ (3)连接，线段与直线有什么关系？ 根据轴对称图形的特征求解题型01 1．如图，，点M在内，点M关于射线OA，OB的对称点分别是，，连接，，则（　　）    A．80° B．70° C．60° D．无法确定 2．（24-25七年级下·山东青岛·期末）如图，在中，，垂足为D，，．E，F为边，上两点，点，关于直线对称，点为线段上一动点，则的最小值是（   ） A．4 B．6 C．8 D．12 3．如图，六边形是关于所在直线对称的轴对称图形，P，Q为线段上任意两点，若六边形的面积为，则图中阴影部分的面积为___________． 4．（25-26七年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）如图，内有一点P，P点关于的对称点是G，P点关于的轴对称点是H，分别交、于点A、B．若的长为14，则的周长为______ ． 5．（24-25八年级上·广东云浮·期末）若点和点关于y轴对称，则______． 6．（24-25八年级上·安徽 阜阳·期中）如图，，点、分别在射线、，，的面积为3，则三角形的边上的高是______；是直线上的动点，点关于对称的点为，点关于对称的点为，当点在直线上运动时，三角形的面积最小值为______． 7．（24-25七年级下·吉林·月考）如图，点在的内部，点和点关于直线对称，点关于直线的对称点是点，连接交于点，交于点． (1)若，求的度数； (2)若，的周长为_________． 8．如图，已知，．点是射线上一动点（与点不重合），射线和射线分别平分和，分别交射线于点，． (1)求的度数． (2)当点运动到使时，求的度数． (3)作射线关于对称的射线，射线关于对称的射线，如果和始终在的内部，请直接写出的范围． 折叠问题题型02 1．如图，为一长条形纸带，，将沿折叠，A、D两点分别与、对应，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·宁夏银川·期末）如图，在中，，点在边上，将沿折叠，使点恰好落在边上的点处，若，则度数为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·云南昆明·期末）如图，在中，，沿过点的直线折叠这个三角形，使点落在边上的点处，折痕为，已知，则的面积为（   ） A．6 B．8 C．12 D．16 4．（24-25八年级上·甘肃平凉·期末）如图，将沿翻折，使点落在点处，过点作交于点，若，，则的度数为________． 5．如图，在三角形纸片中，，沿过点的直线折叠这个三角形，使点落在边上的点处，折痕为，则的周长等于_________________.    6．图1是一张足够长的纸条，其中，点A、B分别在、上，记．如图2，将纸条折叠，使与重合，得折痕，如图3，将纸条展开后再折叠，使与重合，得折痕，将纸条展开后继续折叠，使与重合，得折痕依此类推，第次折叠后，____a和n的代数式表示）    7．将一张长方形纸片按如图所示方式进行折叠，使点落至点处，点落至点处，且与在同一直线上，折痕分别为，则与有怎样的位置关系？并说明理由． 8．我们定义：如图1，直线a，b被直线c所战（a，b，c不交于同一点），若直线a，c所成的四个角中有一个角与直线b，c所成的四个角中的一个角相等，如，则称直线c是直线a，b的等角线． 【初步感知】 （1）如图2，在图①，②，③中，直线c是直线a，b的等角线的是___________（填序号）； 【探究应用】 （2）如图3，点E，F分别为长方形ABCD的边AD，BC的点，且点E不与点A，D重合，点F不与点B，C重合，将长方形ABCD沿EF折叠后，点D，C分别落在点的位置，的延长线交直线BC于点G． 图3               备用图 ①直线AB，EF，中，直线___________是直线与直线BC的等角线，并请说明理由； ②直线与直线BC交于点G，随着折痕EF的变动，当直线EG是直线AB，BC的等角线时，求的度数（提示：三角形的内角和为）． 台球桌面上的轴对称问题题型01 1．平面直角坐标系中，一张长方形台球桌的顶点分别为，，，，台球从球桌上的某一点出发，沿平行于或的直线方向运动，碰到边缘会发生镜面反射，台球从以下哪个点出发，在反弹不超过3次的情况下无法到达原点？（    ） A． B． C． D． 2．如图是台球桌面示意图，阴影部分表示四个入球孔，小明按图中方向击球，每当球碰到长方形桌的边时会反弹，反弹的方向与原来的方向关于垂直于长方形桌边的直线对称，则球最后落入的球袋是（    ） A．1号袋 B．2号袋 C．3号袋 D．4号袋 3．数学在我们的生活中无处不在，就连小小的台球桌上都有数学问题，如图所示，，若，为了使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中，那么击打白球时，必须保证为（    ）    A． B． C． D． 4．下面四个图形是标出了长宽之比的台球桌的俯视图，一个球从一个角落以角击出，在桌子边沿回弹若干次后，最终必将落入角落的一个球囊．图1中回弹次数为1次，图2中回弹次数为2次，图3中回弹次数为3次，图4中回弹次数为5次．若某台球桌长宽之比为，按同样的方式击球，球在边沿回弹的次数为（    ）次． A．6 B．7 C．8 D．9 5．（25-26七年级·河南驻马店·期中）小静同学观察台球比赛，从中受到启发，抽象成数学问题如下：如图，已知长方形，小球从出发，沿如图所示的方向运动，每当碰到长方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，小球第1次碰到长方形的边时的位置为，第2次碰到长方形的边时的位置为，第3次碰到长方形的边时的位置为若不考虑阻力，则小球第2026次碰到长方形的边时的位置的坐标是（   ） A． B． C． D． 6．（25-26七年级·内蒙古通辽·期中）一张台球桌的桌面如图所示，一个球从桌面的点滚向桌边，碰到上的点后便反弹而滚向桌边，碰到上的点便反弹而滚入点，一共反弹两次．已知都是直线，，且的平分线垂直于，的平分线垂直于，若，则的度数为______． 7．操作题：台球桌的形状是一个长方形，当母球被击打后可能在不同的边上反弹，为了使母球最终击中目标球，击球者需作出不同的设计，确定击球方向．如图，目标球从A点出发经B点到C点，相当于从点出发直接击打目标球C，其实质上是图形的轴对称变换，关键是找母球关于桌边的对称点的位置． (1)如下图，小球起始时位于点处，沿所示的方向击球，小球运动的轨迹如图所示．如果小球起始时位于点处，仍按原来方向击球，那么在点A，B，C，D，E，F，G，H中，小球会击中的点是___________； (2)在下图中，请你设计一条路径，使得球P依次撞击台球桌边AB，BC反射后，撞到球Q．（不写作法，保留作图痕迹．） 8．【问题初探】数学课上，老师和学生做数学书39页的做一做的内容 如图，打台球时，选择适当的方向击打白球，白球反弹后击打红球，红球会直接入袋，此时，． （1）若，则； （2）的余角是_________； 【学科融合】 物理学中把经过入射点并垂直于反射面的直线叫做法线，入射光线与法线的夹角叫做入射角，反射光线与法线的夹角叫做反射角（如图①）．由此可以归纳出如下的规律：在反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一平面内；反射光线、入射光线分别位于法线两侧：反射角等于入射角．这就是光的反射定律（rfectionlaw）． 【数学推理】 （3）如图1，有两块平面镜，且，入射光线经过两次反射，得到反射光线．由以上光的反射定律，可知入射角与反射角相等，进而可以推得他们的余角也相等，即：．在这样的条件下，求证：． 【尝试探究】 （4）两块平面镜，且，入射光线经过两次反射，得到反射光线．如图2，光线与相交于点，则_________；（用含有字母的式子表示） 轴对称中的光线反射问题题型02 1．（25-26八年级上·山西朔州·月考）如图，一束光贴着正方形网格背景布射向平面镜，由物理学知识可知，入射光线与平面镜的夹角等于反射光线与平面镜的夹角，则其反射光线为（    ） A． B． C． D． 2．（2025·河南周口·二模）如图，水平地面上放置一平面镜，从激光笔的点发出的光线照射到平面镜的处，反射光线为，且点恰好落在与地面垂直的墙面上．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．如图，设和是镜面平行相对且间距为的两面镜子，把一个小球A放在和之间，小球在镜中的像为，在镜是中的像为，则等于（   ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·山西晋中·期末）在制作万花筒活动中，小刚发现：如图，把一个正方形图片P放在张角为的（用两面平面镜制作而成）中间，可以看到完整的正方形（含原来的正方形P）的个数是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 5．（25-26七年级下·山东临沂·质检）如图1，已知是一块平面镜，光线在平面镜上经点反射后，形成反射光线，我们称为入射光线，为反射光线．镜面反射有如下性质：入射光线与平面镜的夹角等于反射光线与平面镜的夹角，即．如图2，和是两块平面镜，入射光线经过两次反射后，得到反射光线．则下列结论错误的个数是（    ） ①若，则；②若，则；③若，则；④若，则． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．根据光学中平面镜光线反射原理，入射光线、反射光线与平面镜所夹的角相等．如图，是两面互相平行的平面镜，一束光线m通过镜面反射后的光线为n，再通过镜面β反射后的光线为k．光线m与镜面的夹角的度数为，光线n与光线k的夹角的度数为．则x与y之间的数量关系是______． 7．综合与实践：科学研究发现，射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等（如图1中，）．七年级某学习小组围绕该结论开展主题学习活动． 【生活案例】 （1）如图2是潜望镜工作原理示意图，潜望镜中的两面镜子，是平行放置的，光线经过镜子，两次反射后得到光线．则与的位置关系是______． 【变式思考】 （2）如图3，调整镜子，光线经过镜子，两次反射后得到光线．若，求两面镜子夹角的度数． 【拓展运用】 （3）调整图3中的镜子使，重合，并改变它们的角度，光线经过镜子，两次反射后得到光线．若，求两面镜子夹角的度数． 备注：（根据物理学中的反射定律，光线射到平面镜上时，入射角（入射光线与镜面法线的夹角）等于反射角（反射光线与镜面法线的夹角）．在本题中，你可以利用这一性质来求解角度关系．） 8．（25-26七年级下·江苏连云港·期末）科学实验证实光的反射规律：光线入射至平面镜发生反射时，入射光线与镜面的夹角等于反射光线与镜面的夹角．即下图中； (1)窗外一束光从C处斜射到平面镜上的点E处，小明转动手中的平面镜，使反射光线恰好照到黑板上的点D处．请在图①中使用无刻度的直尺和圆规画出平面镜所在位置（平面镜用线段表示，铅笔加黑加粗，保留作图痕迹）； (2)在图②中，有，．设镜子与的夹角．若，入射光线与反射光线的夹角．求的度数； (3)如图③，若，设镜子与的夹角，入射光线与镜面的夹角，已知入射光线从镜面反射到镜面，再反射到镜面，最后经镜面反射后，当反射光线与入射光线平行时，探索m与γ的数量关系，并说明理由； (4)如图④，若，已知入射光线与镜面平行，经过次反射后，反射光线按原路返回，请直接写出α满足的条件． 试卷第1页（共3页） 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $