第15章 轴对称-【重点班提分练】2025-2026学年新教材八年级上册数学同步知识册（人教版2024）

第十五章轴对称 知识·学习区 一个图形 轴对称 如果个平面图形沿一条直线折叠，直 线两旁的部分能够互相重合，这个图形 有关 图形 就叫作轴对称图形 概念 之两个图形 把一个图形沿着某一条直线折叠，如果 轴对称 它能够与另一个图形重合 ,那么就说这 两个图形关于这条直线成轴对称 轴对称 成轴对称的两个图形全等，连接对称 性质 点的线段被对称轴垂直平分 0 对称轴是其任意，一对对称点所 轴对称 轴对称 图形 连线段的垂直平分线 o定义 经过线段中点并且垂直于这条线段的直线 线段的 性质 线段垂直平分线上的点与这条 垂直平 线段两个端点的距离相等 分线 判定 与线段两个端点距离相等的点 在这条线段的垂直平分线上 对称轴的作法 作对应点所连线段的垂直平分线 画轴对称的图形的方法 画轴对称 的图形 关于x轴对称的两点的坐标特征： 用坐标表 横坐标相同，纵坐粽互为相反数 示轴对称 关于y轴对称的两点的坐标特征： 豖坐标相同，横坐标置为相发数 定义一 有两边相等的三角形是等腰三角形 等边对等角 对称 等腰三角形 性质 o三线合一 也可作判定方法 轴对称图形 也可作判定方法 等腰 判定 等角对等边 三角形 定义 三边都相等的三角形是等边三角形 三条边都相等 等边三角形 °三个角都相等且每一个角都等于60° 性质 。三个“三线合 0 轴对称图形 >三条对称轴 ·三个角都相等的三角形 o判定 。有一个角是60°的等腰三角形 含30°角的直角 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对 角形的性质 的直角边等子斜边的一半 最短路径问题 通常利用“两点之间，线段最短”“连接直线外一点与直 线上各点的所有线段中，垂线段最短”探索最短路径问题 12 第十五章)轴对称 技巧·提升区 @扫码批改 ⊙重点题讲解 技巧提分1将军饮马模型 模型 解读 ◇模型直线与定点 和最小、差最大 问题 作法 示意图 当两定点A,B在直线l 异侧时，在直线1上找 作法：连接AB交直线1 一点P,使得PA+PB A 于点P,点P即为所求作 最小 的点，PA+PB的最小值 为AB B B 当两定点A,B在直线L 同侧时，在直线1上找 作法：作点B关于直线1 一点P,使得PA+PB 的对称点B'，连接AB 最小 交直线l于点P,点P即 B 为所求作的点，PA+PB ● 的最小值为AB' 当两定点A,B在直线L 同侧时，在直线1上找 作法：连接AB并延长交 一点P,使得IPA-PBI 直线1于点P,点P即为 B 最大 所求作的点，IPA-PBI 的最大值为AB B 13 重点班提分练数学八年级上册 续表 问题 作法 示意图 当两定点A,B在直线l 作法：作点B关于直线U 异侧时，在直线1上找 的对称点B'，连接AB 一点P,使得IPA-PBI 并延长交直线1于点P, 最大 点P即为所求作的点， ● IPA-PBI的最大值为 AB' ·B 当两定点A,B在直线l 同侧时，在直线1上找 作法：连接AB,作AB 一点P,使得IPA-PBI 的垂直平分线交直线l于 最小 点P,点P即为所求作 的点，IPA-PBI的最小 B 值为0 模型演练 1.如图，在△ABC中，AB的垂直平分线DE交BC于点D,垂足为E,M 为DE上任意一点，BA=3,AC=4,BC=6,求△AMC周长的最小值. 14 第十五章)轴对称 2.如图，在△ABC中，AB=AC, 3.如图，点M在等边三角形ABC的边 BC=4,面积是16，AC的垂直平 BC上，BM=8,射线CD⊥BC,垂足 分线EF分别交AB,AC边于点E,F. 为C,点P是射线CD上一动点，点 若点D为BC边的中点，点P为 N是线段AB上一动点.当MP+NP的 线段EF上一动点，求△PCD周 值最小时，BN=9,求AC的长， 长的最小值. D 4.如图，已知∠AOB=50°，点P为∠AOB内部一点，点M,N分别为射 线OA,OB上的两个动点.当△PMN的周长最小时，求∠MPN的度数， 15 重点班提分练数学八年级上册 ◇技巧提分2等腰三角形分类讨论 模型解读 ◇模型等腰三角形 (1) 当腰长或底边长不能确定时，必须进行分类讨论 (2) 当顶角或底角不能确定时，必须进行分类讨论 (3) 当高与等腰三角形的位置关系不能确定时，必须进行分类讨论 (4) 由腰的垂直平分线所引起的分类讨论 (5) 由腰上的中线所引起的分类讨论 模型演练 1.在等腰三角形中，已知一个角是 2.恒恒发现等腰三角形一腰上的高与另 另一个角的2倍，则这个等腰三 一腰的夹角为40°，则这个等腰三角 角形的顶角度数为() 形底角的度数为()》 A.36° B.30°或100° A.50° B.65° C.90° D.36°或90° C.65°或25° D.50°或40° 3.已知等腰三角形一腰上的中线将 4.根据等腰三角形的性质求解 这个等腰三角形的周长分为9cm (1)一个等腰三角形，它的一个角 和15cm两部分，则这个等腰三 为40°，求另外两个角的度数； 角形的腰长为() (2)一个等腰三角形，两条边长分别 A.6cm B.10 cm 为5和7，求这个等腰三角形的周长. C.6cm或10cm D.11 cm 5.在等腰三角形ABC中，AB=AC,6.在△ABC中，AB=AC,AB的中垂 一腰上的中线将等腰三角形ABC 线与AC所在直线相交所得的锐角为 的周长分成12和15两部分，求 60°，求底角的度数 △ABC的腰长及底边长. 16 第十五章)轴对称 满分·冲刺区 压轴满分集训 1.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°， :3.如图，在△ABC中，∠A=30°， AC=6,BC=8,AB=10,AD是 BC=3,△ABC的面积为9.点D, ∠BAC的平分线.若P,Q分别是 E,F分别是三边AB,BC,CA上的 AD和AC上的动点，求PC+PQ的 动点，求△DEF周长的最小值 最小值. B 2.等腰三角形的顶角与其一个底角的 4.如图，在Rt△ABC中，AC⊥BC,若 度数的比值k称为这个等腰三角形 AC=5,BC=12,AB=13,将Rt△ABC 的“特征值”.若等腰三角形ABC中， 折叠，使得点C恰好落在AB边上的 ∠A=80°，求它的特征值 点E处，折痕为AD,点P为线段AD 上一动点，求△PEB周长的最小值 17 重点班提分练数学八年级上册 5.若△ABC的三边长分别为m+2, 7.如图，在△ABC中，∠B=90°， 2m+1,8,且△ABC为等腰三角形， AB=16 cm,BC=12 cm,AC=20cm, 求m的值， P,Q是△ABC的边上的两个动点， 其中点P从点A开始沿A→B方向 运动，速度为每秒1cm,点Q从点 B开始沿B→C→A方向运动，速 度为每秒2cm,它们同时出发，设 出发的时间为ts. (1)BP= .(用t的代数 式表示) （2)当点Q在BC边上运动时，出 发几秒后，△PQB是等腰三角形？ 6.如图，在△ABC中，AB=AC,BC= (3)当点Q在CA边上运动时，出 8,△ABC的面积为32，DE垂直平 发几秒后，△BCQ是以CQ为腰的 分AC,分别交边AB,AC于点D,E, 等腰三角形？ F为直线DE上一动点，G为BC的 中点，连接CF,FG,求CF+FG的 最小值 备用图 (18∴.△BEC≌△CFA(AAS), ∴.BE=CF,EC=FA, ∴.EF=EC+CF=FA+BE,即EF=BE+AF. 第十五章轴对称 技巧·提升区 技巧提分1将军饮马模型 1.解：如图，连接BM. DE是AB的垂直平分线，∴.AM=BM, .∴.AM+CM=BM+CM. 当B,M,C在同一条直线上时，AM+CM取得 最小值，最小值为BC的长， 又AC=4,BC=6, ∴.△AMC周长的最小值=6+4=10 2.解：如图，连接AD,PA ,'AB=AC,BC=4,点D为BC 边的中点， .CD BD = 2 BC=2, AD⊥BC, B D ∴.∠ADB=90° :Sc-=28c·A0=7×4D=16,A0=8 EF垂直平分AC,点P为线段EF上的动 点，∴.PA=PC .PA+PD≥AD,∴.PC+PD≥8， ∴.PC+PD+CD≥10， ∴.PC+PD+CD的最小值为10，即△PCD周长 的最小值为10. 3.解：如图，作点M关于直 线CD的对称点G,过点 G作GN⊥AB于点N,GN 交CD于点P,则MP= B M GP,∴.MP+NP=GP+NP. 由垂线段最短，可知MP+NP的最小值 6 为NG. .△ABC为等边三角形，∴.∠B=60°. GN⊥AB,∴.∠BNG=90°，∴.∠G=30. ,BN=9,∴.BG=2BN=18, ∴.MG=BG-BM=10, .MC=2MG=5, 2 .∴.AC=BC=BM+MC=13. 4,解：如图，作点P关于OA的对称点E,连接 EO,EM, ∴.EM=MP,∠MPO= ∠OEM,∠EOM=∠MOP. 作点P关于OB的对称点 0 F,连接NF,OF, ∴.PN=FN,∠OPN=∠OFN,∠PON=∠NOF, .PM+PN+MN=EM+MN+NF>EF, 即当点E,M,N,F共线时，△PMN的周长 最小. 又∠EOF=∠EOM+∠MOP+∠PON+∠NOF, ∠AOB=∠MOP+∠PON, ∴.∠EOF=2∠AOB. 又∠A0B=50°，∴.∠E0F=100° 在△E0F中，∠OEM+∠OFN+∠EOF=180°， ∴.∠OEM+∠0FN=180°-100°=80°， .'∠MPO=∠OEM,∠OPN=∠OFN, .∠MP0+∠OPN=80°，即∠MPN=80°. 技巧提分2等腰三角形分类讨论 1.D当底角的度数是顶角的2倍时，顶角的度 数是180÷(2+2+1)=36°； 当顶角的度数是底角的2倍时，底角的度数 是180÷(2+1+1)=45°，顶角的度数是45°× 2=90°. 综上，这个三角形的顶角是36°或90° 2.C设在等腰三角形ABC中，AB=AC,BD为 腰AC上的高，∠ABD=40° 当BD在△ABC内部时，如图1所示 BD为高，∴.∠ADB=90°， ∴.∠A=90°-∠ABD=90°-40°=50°. AB=AC, 1 ∴.∠ABC=∠C= 2×(180°-50)=65. A 、D B 图1 图2 当BD在△ABC外部时，如图2所示. BD为高，∴∠ADB=90 ∴.∠BAD=90°-∠ABD=90°-40°=50°. .AB=AC,∴.∠ABC=∠C. 又∠BAD=∠ABC+∠C, LC=2LBAD=2×50=250 综上所述，这个等腰三角形底角的度数为65° 或25. 3.B设三角形的腰为xcm,如下图所示。 ·△ABC是等腰三角形，AB= AC,BD是AC边上的中线， AD=4C=2,AB+AD= 2 由题意知，AB+AD=9cm或AB+AD=15cm, 故分下面两种情况讨论， ①x+2x=9,解得x=6, .:三角形的周长为9+15=24(cm), ∴.这个三角形的三边长分别为6cm,6cm, 12cm. ·6+6=12,不符合三角形的三边关系， ∴.该情况不成立，应舍去 ②x+2x=15,解得x=10. .三角形的周长为24cm, ∴.这个三角形的三边长分别为10cm,10cm, 4 cm. 综上可知，这个等腰三角形的腰长为10cm. 4.解：(1)若此角是顶角，另外两个角即为底角， 则底角是(180°-40°)÷2=140°÷2=70°. 若此角是底角，另一个底角也是40°， 则顶角是180°-40°×2=180°-80°=100° 答：其他两个角的度数分别是70°和70°或 40°和100°. (2)当5是腰长时，5+5>7，能组成三角形，则 三角形的周长是7+5×2=17； 当7是腰长时，5+7>7，能组成三角形，则三 角形的周长是5+7×2=19， 答：这个等腰三角形的周长为17或19. 5.解：如图，在△ABC中，AB=AC,AD=BD.设 AB=x,BC=y,则AD=BD=2元 当AD+AC=15,BD+BC=12时，2+ 1 A D x=15, 2x+y=12,解得x=10,y=7； 当AD+AC=12,BD+BC=15时， 2x+x=12,7x+y=15,解得x=8,y=11 1 综上，这个三角形的三边长分别为10,10,7 或8,8,11. 6.解：DE是AB的中垂线， .∴.DE⊥AB. .AB=AC,∴.∠ABC=∠C. 在图1中，∠ADE=60°，.∠A=30°， :∠ABC=∠C=180LA=759 2 B 图1 图2 在图2中，∠ADE=60°，∴.∠DAE=30° ·∠DAB=∠B+∠C, ∴.∠B=。∠DAE=15. 综上，底角的度数为75°或15 58 满分·冲刺区 压轴满分集训 1.解：如图，作点Q关于AD的对称点Q',连接 PQ',过点C作CH⊥AB于点H. ·AD是△ABC的 角平分线，点Q与 Q'关于AD对称， ∴.点Q'在AB上，A HO PC+PQ=PC+PQ'≥CH. ∵AC=6,BC=8,AB=10, ÷5ac=24C.Bc=ABCH, 1 .CH=4.8,.CP+PQ≥4.8， .PC+PQ的最小值为4.8. 2.解：当∠A为顶角时，等腰三角形的底角的度 数为180°-80 =50°， 2 二它的特征值=80°-8」 50°-59 当∠A为底角时，等腰三解形的顶角的度数 为180°-80°-80°=20°， 20°1 .它的特征值k 80°=4 81 综上所述，特征值k为5或4 3.解：如图，作点E关于AB的对称点G,点E关 于AC的对称点H,连接GH,交AB于点D,交 AC于点F,连接AG,AH,AE, 由对称性可知GD=DE,EF= FH,AG=AE=AH, ∴.△DEF的周长=DE+DF+ EF=GD+DF+FH=GH. D G :∠GAD=∠DAE,∠EAC= B E ∠HAC, .∴.∠GAH=2∠BAC. ∠BAC=30°，∴.∠GAH=60°，∴.△AGH是 等边三角形， ∴.GH=AH,∴.GH=AE, 6 .当AE⊥BC时，GH最短，此时△DEF的周 长最小 ,BC=3,△ABC的面积为9，∴.BC边上的 高为6， .△DEF周长的最小值为6. 4.解：如图，连接CE,交AD于点M,连接PC. .·将Rt△ABC沿AD A 折叠，且点C和点E E M八 重合， Ch: B ∴.∠ACD=∠AED= D 90°，AC=AE=5,∠CAD=∠EAD,DC=DE, .BE=AB-AE=13-5=8,AD垂直平分CE,即 点C和点E关于直线AD对称，∴.PC=PE, .PE+PB=PC+PB≥BC, ∴.当点P和点D重合时，PE+BP的值最小， 最小值为BC .BE是定值，∴.△PEB周长的最小值是BC+ BE=12+8=20. 5.解：当m+2=2m+1时，解得m=1, 则m+2=3,2m+1=3. 3+3<8,不能构成三角形， .m=1时，假设不成立 当m+2=8时，解得m=6, 则2m+1=13, ∴.此时△ABC的三边长分别为8,8,13，能构 成三角形 7 当2m+1=8时，解得m= 则m+2=2 11 11 此时△4BC的三边长分别为8,8,2，能构 成三角形 综上，m的值为6或子 6.解：如图，连接AG,AF, DE是AC的垂直平分线， ∴.点A与点C关于DE对称， ∴.CF+FG=AF+FG. 当A,F,G三点共线且AG⊥ BC时，AF+FG的值最小， 此时，CF+FG的最小值为AG 的长 AB=AC,点G为BC的中点， .∴.AG⊥BC. BC=8,△ABC的面积为32， 1 六2×8x4G=32, .AG=8, ∴.CF+FG的最小值为8. 7.(1)(16-t)cm. 提示：由题意可知AP=t,BQ=2t. AB=16 cm,..BP=AB-AP=(16-t)cm. (2)解：当点Q在BC边上运动，△PQB为等 腰三角形时，有BP=BQ, 即16-t=2,解得1=3， 16 :出发gs后，△PQB是等腰三角形， 16 (3)解：当CQ=BQ时，如图1所示，则 LC=∠CBQ. .∠ABC=90°， ∴.∠CBQ+∠ABQ=90°. .∠A+∠C=90°， B P← .∠A=∠ABQ, 图1 ..BQ=AQ, CQ=AQ=AC=10 cm, ∴.BC+CQ=22cm, ∴.t=22÷2=11(s). 当CQ=BC时，如图2所示， 则BC+CQ=2BC=24cm, ∴.t=24÷2=12(s). 综上所述，当点Q在CA边 图2 上运动时，出发11s或12s 后，△BCQ是以CQ为腰的等腰三角形 第十六章整式的乘法 技巧·提升区 技巧提分1对称式求值 1.Da+b=4,.（a+b)2=16,.a2+2ab+b2= 16.a2+b2=10,.10+2ab=16,∴.ab=3,∴.y= (a-b)2=a2-2ab+b2=10-2×3=10-6=4. 2.Ba2+b2=(a+b)2-2ab=4-2×1=2. 技巧提分2配方法 1.Bx2+y2+2x-4y+7=x2+2x+1+y2-4y+4+2= (x+1)2+(y-2)2+2.,(x+1)2≥0，(y-2)2≥ 0,∴.(x+1)2+(y-2)2+2≥2，.x2+y2+2x-4y+ 7≥2. 2.（1)-2. 提示：a2-2a-1=a2-2a+1-1-1=(a-1)2- 2..（a-1)2≥0，∴.a2-2a-1≥-2. (2)解：-x2+2x+4=-(x2-2x+1)+1+4= -(x-1)2+5. .(x-1)2≥0， .-(x-1)2≤0， .-(x-1)2+5≤5， 即-x2+2x+4的最大值为5. (3)①A. 提示：x2+y2+2y-4x+6=x2-4x+4+y2+2y+1+1= (x-2)2+(y+1)2+1. (x-2)2≥0，(y+1)2≥0，∴.x2+y2+2y-4x+6 的最小值为1，故A正确. ②解：a2+b2-10a-12b+61=0, .(a2-10a+25)+(b2-12b+36)=0,即 （a-5)2+(b-6)2=0, ∴.a-5=0,b-6=0, ∴.a=5,b=6, .a-b=5-6=-1. 满分·冲刺区 压轴满分集训 1.DA.a3+a3=2a3≠a°，故该选项不符合题 意；B.a2·a3=a3≠a,故该选项不符合题意；