第一章集合与常用逻辑用语题型归纳讲义（5大知识点+14大题型）-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

第一章集合与常用逻辑用语 高频重难点题型归纳 目录 01 思维导图 2 02 知识回顾 3 知识点一、 集合的含义与表示 3 知识点二、集合间的基本关系 3 知识点三、集合的基本运算 3 知识点四、充分条件与必要条件 4 知识点五、全称量词和存在量词 4 常用二级结论 5 03 题型精讲 6 题型 1：集合定义及表示形式 6 题型 2：元素与集合归属关系判断 7 题型 3：集合元素三大特性应用 9 题型 4：集合包含、相等关系辨析 10 题型 5：集合交、并、补基础运算 12 题型 6：充分、必要条件区分判断 13 题型 7：带量词命题真假判断 14 题型 8：韦恩图解集合关系与运算 16 题型 9：全称、特称命题改写否定形式 18 题型 10：容斥原理实际应用题 18 题型 11：根据充分、必要条件求解参数范围 21 题型 12：集合创新定义类考题 23 题型 13：含参集合计算问题 27 题型 14：依据命题真假求参数 30 知识点一、 集合的含义与表示 1、元素与集合：一般地，把研究对象统称元素；把一些元素组成的总体叫做集合．集合中的元素具有：确定性，互异性，无序性． 2、元素与集合的关系：，； 3、集合的表示方法：列举法、描述法、韦恩图（图）. 4、常见数集和数学符号 数集 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 或 知识点二、集合间的基本关系 （1）子集：一般地，对于两个集合、，如果集合中任意一个元素都是集合中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合为集合的子集 ，记作（或），读作“包含于”（或“包含”）. （2）真子集：如果集合，但存在元素，且，我们称集合是集合的真子集，记作（或）.读作“真包含于 ”或“真包含 ”. （3）相等：如果集合是集合的子集（，且集合是集合的子集（），此时，集合与集合中的元素是一样的，因此，集合与集合相等，记作. （4）空集的性质： 我们把不含任何元素的集合叫做空集，记作；是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集. 知识点三、集合的基本运算 1、①并集：； ②交集：； ③补集：． ④全集：一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作 2、运算律 ① 交换律 ，； ② 结合律 ，； ③ 分配律 ，； ④ 德摩根律 ，. 知识点四、充分条件与必要条件 1、定义 如果命题“若，则”为真（记作），则是的充分条件；同时是的必要条件． 2、从逻辑推理关系上看 p是q的充分条件 p是q的必要条件 p是q的充要条件 且 p是q的充分不必要条件 且 是的必要不充分条件 且 是的既不充分也不必要条件 且 3、大小关系（设包含的对象分别组成集合） ①若，则是的充分条件 ②若，则是的必要条件 ③若，则是的充分不必要条件 ④若，则是的必要不充分条件 ⑤若，则是的充要条件 知识点五、全称量词和存在量词 1、全称量词与存在量词的概念 短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词,并用符号“”表示. 短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词,并用符号“”表示. 量词名称 常见量词 表示符号 全称量词 所有、一切、任意、全部、每一个等 存在量词 存在一个、至少有一个、有一个、某些、某个、有些、某些等 2、全称量词命题和存在量词命题 名称 全称量词命题 存在量词命题 结构 对中任意一个，有成立 存在中一个，有成立 简记 ， ， 否定 ， ， 常用二级结论 1、从集合与集合之间的关系上看 设． （1）若，则是的充分条件（），是的必要条件；若，则是的充分不必要条件，是的必要不充分条件，即且； 简记：“小大”． （2）若，则是的必要条件，是的充分条件； （3）若，则与互为充要条件． （4）若集合中有个元素，则集合的所有子集个数为，所有非空子集的个数是，所有真子集的个数是，所有非空真子集的个数是． （5）包含关系的各种等价表示：①；②；③；④；⑤． （6）容斥原理 ． 题型 1：集合定义及表示形式 【典例1】给出下列表述：①联合国常任理事国；②坪高全体游泳健将；③方程的实数根；④全国著名的歌手，以上能构成集合的是（    ） A．①③ B．①② C．①②③ D．①②③④ 【答案】A 【解析】①联合国常任理事国有5个国家，满足确定性，可以构成集合； ②坪高全体游泳健将，元素不具有确定性，不能构成集合； ③方程的实数根，具有确定性，能构成集合； ④全国著名的歌手，元素不具有确定性，不能构成集合. 故选：A 【变式1-1】（2026·高一·河南安阳·阶段检测）下列各项中不能构成集合的是（    ） A．方程的实数解 B．所有的圆 C．著名的战斗英雄 D．中国具有教师资格证的所有人 【答案】C 【解析】选项A：方程的实数解为，，元素确定，故A能构成集合； 选项B：所有的圆对象明确，可以构成集合； 选项C：“著名” 没有明确统一的判定标准，无法确定谁属于这个群体，不满足确定性，不能构成集合； 选项D：中国具有教师资格证的所有人，有没有证书是客观可判定的，元素确定，可以构成集合． 【变式1-2】下列说法正确的是（   ） A．集合中不能只有一个元素 B．3和可以是一个集合中的元素 C．集合可以表示为所有整数组成的集合 D．2.1是整数集中的元素 【答案】B 【解析】对于A：集合中可以只有一个元素，故A错误． 对于B：集合中可以同时包含多种类型的元素，3和可以是一个集合中的元素，故B正确． 对于C：通常约定用大写拉丁字母表示集合，小写字母一般表示集合中的元素，集合不可以表示为所有整数组成的集合，所有整数组成的集合用表示，故C错误． 对于D：2.1不为整数，2.1不是整数集中的元素故D错误． 【变式1-3】（2026·高一·云南大理·阶段检测）下列命题中正确的是（   ） A．与表示同一个集合 B．集合和表示同一个集合 C．由组成的集合可表示为 D．接近于的所有实数可以构成集合 【答案】C 【解析】选项A. 是不含有任何元素的集合，中的元素为，故这两个集合不表示同一个集合，故选项A错误； 选项B. 集合中的元素是两个数，中的元素是一个点，故这两个集合不表示同一个集合，故选项B错误； 选项C.的解或，则此方程的解组成的集合可表示为，故选项C正确； 选项D. 接近于的所有实数，不具有确定性，故不可以构成集合. 故选：C. 题型 2：元素与集合归属关系判断 【典例2】（2026·高一·四川·期中）设为自然数集，集合，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】A选项， 且 ，所以，A选项错误； B选项， ，所以，B选项错误； C选项， ，所以 ，C选项错误； D选项， 且 不成立，所以，D选项正确. 【变式2-1】（2026·高一·安徽阜阳·阶段检测）若对任意，，则称集合为“倒数关系”集合.下列集合不是“倒数关系”集合的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】对于选项，因为，，符合题意，所以集合是“倒数关系”集合； 对于选项，因为，但无意义，不符合题意，所以集合不是“倒数关系”集合； 对于选项，对任意，均有，符合题意，故集合是“倒数关系”集合； 对于选项，对任意，均有，符合题意，故集合是“倒数关系”集合. 【变式2-2】（2026·高一·山东聊城·开学考试）已知为非零实数，代数式的值所组成的集合是M，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】当时，， 则， 当只存在一个正数时，不妨设，则， 则， 当只存在一个负数时，不妨设，则， 则， 当时，， 则， 所以. ∴，A选项错误；，B选项错误；，C选项错误；，D选项正确. 【变式2-3】（2026·高一·安徽阜阳·期中）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，所以，，，， 故选：A. 题型 3：集合元素三大特性应用 【典例3】（2026·高一·山东聊城·期中）若，则的可能取值有（   ） A．0 B．0，1 C．0，3 D．0，1，3 【答案】C 【解析】时，可得，符合题意； 时，显然不满足集合中元素的互异性，不合题意； 时，可得，符合题意. 或均可以． 故选：C. 【变式3-1】（2026·高一·浙江·期中）若，则的可能值为（    ） A．0，2 B．0，1 C．1，2 D．0，1，2 【答案】A 【解析】因为， 当时，集合为，不成立； 当时，集合为，成立； 当时，则（舍去）或，当时，集合为，成立； ∴或. 故选：A 【变式3-2】（2026·高一·四川眉山·期中）若，则实数的值为（    ） A． B． C． D．或 【答案】C 【解析】因为， 若，则，即为，集合中元素的互异性矛盾，舍去； 若，则，因此，即为，符合题意； 综上：， 故选：C. 【变式3-3】（2026·高一·北京·期中）已知为实数，，集合中有一个元素恰为另一个元素的倍，则实数的个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意： 当时，，此时集合，不成立； 当时，，时不成立，时，集合，成立； 当时，集合，成立； 当时，或，时集合，不成立，时集合，成立； 当时，，时集合，不成立，时集合，成立； 当时，或，时集合，不成立，时不成立； 故， 故选：B. 题型 4：集合包含、相等关系辨析 【典例4】（2026·高一·河南新乡·开学考试）已知集合，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】. A：由上可知该选项结论不正确； B：因为，所以本选项结论不正确； C：因为，所以本选项结论不正确； D：因为空集是任何集合的子集，所以本选项结论正确. 【变式4-1】（2026·高二·广东广州·期末）设集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意得, 显然仅表示奇数，而表示整数， 因此集合是集合的子集，即， 故选：B 【变式4-2】（2026·贵州遵义·模拟预测）设集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】， ， 集合A为所有奇数组成的集合，集合B为所有整数组成的集合，故A是B的子集. 故选：A 【变式4-3】（2026·高一·海南儋州·期中）已知集合，．若，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】B 【解析】由题意可知，两集合元素全部相等，得到或， 若，解得，此时，不满足集合的互异性； 若，解得（舍）或， 当时，，符合题意，所以， 所以. 故选：B 题型 5：集合交、并、补基础运算 【典例5】（2026·高一·海南·期中）已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由集合，，则． 【变式5-1】（2026·高一·海南·期中）已知集合 ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为 ， 所以 . 【变式5-2】（2026·高一·湖北十堰·阶段检测），设集合，，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意得，， 则. 【变式5-3】（2026·高三·湖北武汉·阶段检测）设全集，集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题知，所以. 题型 6：充分、必要条件区分判断 【典例6】“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】取，显然满足，但，所以由不能推出， 若，则且，所以可以推出， 所以“”是“”的必要不充分条件. 【变式6-1】（2026·高三·山西吕梁·阶段检测）“”的一个充分不必要条件可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为集合是集合的真子集，所以是的必要不充分条件，A错误； 因为集合是集合的真子集，所以是的充分不必要条件，B正确； 因为集合与集合之间不存在包含关系，所以是的既不充分也不必要条件，C错误； 因为集合是集合的真子集，所以是的必要不充分条件，D错误. 【变式6-2】设甲、乙、丙是三个命题，如果甲是乙的必要条件，丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，那么（   ） A．丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件 B．丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件 C．丙是甲的充要条件 D．丙既不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件 【答案】A 【解析】因为甲是乙的必要条件，所以乙甲． 又因为丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，所以丙乙，但乙丙，如图． 综上，有丙甲，但甲丙，即丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件； 故答案为：A 【变式6-3】已知集合，，则“”是“”的（   ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】因，即，故得或，解得或， 所以“”可以推出“”，但“”无法推出“”， 所以“”是“”的充分不必要条件， 故选：B. 题型 7：带量词命题真假判断 【典例7】下列命题中，不是全称量词命题的是（    ） A．任何一个实数乘以都等于 B．任意一个负数都比零小 C．每一个正方形都是矩形 D．一定存在没有最大值的二次函数 【答案】D 【解析】全称量词命题的特征是含有全称量词（如“任何一个”“任意一个”“每一个”等），表述对指定范围内所有对象都成立的判断： 选项A：含全称量词“任何一个”，是全称量词命题； 选项B：含全称量词“任意一个”，是全称量词命题； 选项C：含全称量词“每一个”，是全称量词命题； 选项D：中的“存在”是存在量词，该命题是存在量词命题，不属于全称量词命题. 【变式7-1】（2026·陕西铜川·一模）下列命题中，既是全称量词命题，又是真命题的是（    ） A． B． C．任何实数都有算术平方根 D．任意两个无理数之和仍为无理数 【答案】A 【解析】对于A，含有全称量词，而，所以，故A正确； 对于B，不含有全称量词，故B错误； 对于C，含有全称量词，负数没有算术平方根即可判断，故C错误； 对于D，含有全称量词，是无理数，而，而是有理数，故D错误. 故选：A 【变式7-2】（2026·湖南长沙·模拟预测）下列命题中，是存在量词命题的是（    ） A．正方形的四条边相等 B．有三个角是的三角形是等边三角形 C．正数的平方根不等于0 D．至少有一个正整数是奇数 【答案】D 【解析】A选项完整含义为“所有正方形的四条边相等”，隐含全称量词“所有”，属于全称量词命题； B选项完整含义为“所有有三个角是的三角形是等边三角形”，隐含全称量词“所有”，属于全称量词命题； C选项完整含义为“所有正数的平方根不等于0”，隐含全称量词“所有”，属于全称量词命题； D选项含有存在量词“至少有一个”，属于存在量词命题. 【变式7-3】（2026·高一·江苏盐城·期末）下列是存在量词命题且是真命题的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】AC是全称量词命题，不符合题意，BD为存在量词命题， 对于B，当时，此时，，故为真命题，符合题意， 对于D，因为恒成立，故不存在，即为假命题，不符合题意. 故选：B. 题型 8：韦恩图解集合关系与运算 【典例8】（多选题）（2026·高一·河南新乡·开学考试）已知集合，均为的子集，集合，的关系如图所示，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【解析】由图可得，，，，， 故A、B、D正确，C错误． 【变式8-1】（多选题）（2026·河南南阳·模拟预测）已知为全集，集合M，N，P均为非空集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【解析】全集为，集合M，N，P均为非空集合，由作出如图所示的韦恩图： 由，得，而， 结合韦恩图，得不是的子集，，，不是的子集， 因此选项AD错误，选项BC正确. 故选：BC 【变式8-2】（多选题）（2026·高一·云南昆明·阶段检测）已知U是全集，集合A，B的关系如图所示，则（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【解析】对于A，由图可知，故A错误； B、C、D均正确， 故选：BCD 【变式8-3】全集，，，，，则________，________ 【答案】 【解析】法一：根据题意作出Venn图如图所示： 由图可知，． 法二：∵， ∴． 又， ∴． ∵，， ∴． 题型 9：全称、特称命题改写否定形式 【典例9】（2026·高一·上海·开学考试）命题“存在，使得”的否定是__________． 【答案】 对任意，都有 【解析】命题“存在，使得”的否定是“对任意，都有” 【变式9-1】（2026·高二·河北承德·期末）命题“，”的否定是________． 【答案】， 【解析】命题“，”的否定是，. 【变式9-2】（2026·高一·福建厦门·阶段检测）已知命题，则为_________________ 【答案】 【解析】根据全称量词命题的否定， 由命题， 则为. 【变式9-3】（2026·高二·黑龙江齐齐哈尔·阶段检测）命题“，”的否定是__________． 【答案】， 【解析】命题“，”的否定是“，”. 题型 10：容斥原理实际应用题 【典例10】（2026·高一·山西大同·阶段检测）某校高一年级共有40名同学参加学科竞赛培训，其中参加数学竞赛的有25人，参加物理竞赛的有18人，参加化学竞赛的有14人．已知每人至多参加两项培训，且同时参加数学和物理竞赛的有7人，同时参加物理和化学竞赛的有5人，则同时参加数学和化学竞赛的有________人． 【答案】5 【解析】设同时参加数学和化学竞赛的有人， 由Venn图可知：只参加数学竞赛的有人，只参加化学竞赛的有人， 可得，解得， 所以同时参加数学和化学竞赛的有5人. 【变式10-1】（2026·高一·河南新乡·开学考试）为了积极响应国家对于网络游戏的防沉迷政策，某中学学生会对学生假期玩游戏的时长进行了调查．某班共有人，其中人玩游戏，人玩游戏，人玩游戏，已知玩游戏的均不玩游戏，只玩游戏的人数与游戏和游戏都玩的人数相同，只玩游戏的人数与游戏和游戏都玩的人数相同，则班上这三种游戏都不玩的学生有_____人． 【答案】 【解析】根据题意，设只玩的人数、同时玩和的人数、只玩的人数均为， 拆分玩的人群：已知玩的人均不玩， 因此玩的7人仅分为两类：只玩的人，同时玩和的人， 利用玩的总人数列方程：玩的12人包含只玩、同时玩、同时玩三类， 代入人数得：，解得， 统计各类玩游戏的人数： 只玩：玩总人数减去同时玩的人数，即； 只玩：；只玩：；同时玩：；同时玩：， 至少玩一种游戏的总人数：， 三种游戏都不玩的人数：班级总人数减去至少玩一种游戏的人数，即. 【变式10-2】（2026·高一·山东青岛·期中）某商店统计了连续三天售出商品的种类情况：第一天售出18种商品，第二天售出12种商品，第三天售出16种商品，前两天都售出的商品有3种，后两天都售出的商品有4种，则该商店第一天售出但第二天未售出的商品有________种；这三天售出的商品至少有________种. 【答案】 【解析】因为前两天都售出的商品有种， 因此第一天售出且第二天没有售出的商品有种； 同理由后两天都售出的商品有种， 则第三天售出的商品中有种第二天未售出； 所以三天售出商品种数最少时， 即第三天中这种第二天未售出的商品恰都是第一天售出过的，且第二天未售出的那些即可， 所以这三天售出的商品至少有种. 故答案为：；. 【变式10-3】（2026·高三·广西钦州·开学考试）一个学校只有三门课程：数学、语文、外语，已知修这三门课的学生分别有172，132，130人；同时修数学、语文两门课的学生有48人，同时修数学、外语两门课的学生有30人，同时修语文、外语两门课的学生有21人；三门课全修的学生有5人.问： (1)该校共有多少学生？ (2)只修一门课的学生有多少？ (3)正好修两门课的学生有多少？ 【解析】（1）设修数学、语文、外语的学生组成集合为， 则， ， ， 所以该校共有340人. （2）只修一门课的学生有 , 所以只修一门课的学生有251人. （3）正好修两门课的学生有 ， 所以正好修两门课的学生有84人. 题型 11：根据充分、必要条件求解参数范围 【典例11】（2026·高一·上海·开学考试）已知集合，，全集． (1)当时，求； (2)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【解析】（1）当时，， 因为，所以； （2）因为是的必要不充分条件，所以是的真子集， 若是空集，则，得； 若不是空集，则，得， 则实数的取值范围为或 【变式11-1】（2026·高一·甘肃兰州·阶段检测）已知集合，集合． (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围； (3)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【解析】（1）当时，，因为， 则；. （2）若时， 当时，即，可得； 当时，需满足或， 解得（舍）或，即， 时，实数的取值范围为或． （3）若是的充分不必要条件，所以是的真子集， 当时，由，可得； 当时，，即， 又，解得， 又，故． 综上，实数的取值范围为． 【变式11-2】（2026·高一·河南信阳·阶段检测）设全集，集合，. (1)若，求，，； (2)若不是空集，若是成立的充分条件，求实数a的取值范围. 【解析】（1）由，得， 又，， 所以， ， 或， 则. （2）因为是成立的充分条件，所以； ∵不是空集，由题意，解得， ∴实数的取值范围是. 【变式11-3】（2026·高一·广东深圳·期末）已知集合. (1)若，求和； (2)若“”是“”的必要不充分条件，求实数m的取值范围. 【解析】（1）当时，， 因为，所以或，. （2）因为“”是“”的必要不充分条件，则集合B是集合A的真子集， 当时，，解得； 当时，要使集合B是集合A的真子集，则，解得. 综上所述，实数的取值范围是. 题型 12：集合创新定义类考题 【典例12】（2026·高一·山西大同·阶段检测）定义：设非空数集，若，，则称是一个“乘法封闭集”；若，，则称为的一个“完美元素”．已知集合． (1)判断集合是否为“乘法封闭集”，并写出中的所有“完美元素”（直接写出结论即可）； (2)证明：是一个“乘法封闭集”； (3)判断是否为集合的“完美元素”，并说明理由． 【解析】（1）对 中任意两个元素作乘积： 故 中任意两元素之积仍属于 ， 是乘法封闭集. 又因为： 所以－1 和 1 均为 的完美元素. （2）证明 是＂乘法封闭集＂任取 ，根据集合 的定义，可设： 则 因为 均为整数, 所以： 因此 可以表示为 的形式（其中 ，故 . 由乘法封闭集的定义可知，是一个＂乘法封闭集＂. （3）首先， （取 ，均为整数）. 接下来验证其倒数是否也属于 ： 因为 ，所以 . 即： ，且它的倒数 ，满足完美元素的定义. 因此， 是集合 的完美元素. 【变式12-1】（2026·高一·上海普陀·期中）已知是非空数集，如果对任意，都有，则称是封闭集． (1)判断集合是否是封闭集，并说明理由； (2)若集合，，判断集合，是否是封闭集，并说明理由； (3)若非空集合是封闭集，且为全体实数集，求证：不是封闭集． 【解析】（1）不是，理由为： 对于集合，由于，， 所以集合不是封闭集. （2）是，不是，理由为：集合，，则， 任取，其中， 因此，， 所以集合是封闭集； 取，则，而， 所以不是封闭集. （3）证明：假设是封闭集， 若，在中任取一个，，则， 否则，此时，与矛盾， 因此，而，，与矛盾， 则当时， 不是封闭集； 同理可证，当时，也不是封闭集， 所以不是封闭集. 【变式12-2】（2026·高一·上海浦东新·期中）已知，. （1）设全集，定义集合运算，使，求和； （2）若，按（1）的运算定义求：. 【解析】（1），； 根据题意，，， ∴， 又， ∴； （2）∵， ∴， 当，或，即，或时，； 当，即时，； 当，即时，； 当，且，即时，. 【变式12-3】（2026·高一·北京·期中）对于一个所有元素均为整数的非空集合，和一个给定的整数，定义集合. (1)若，直接写出集合，和； (2)若，其中，，求的值，使得集合中元素的个数最少； (3)写出所有满足的整数和，使得当集合时，有，并说明理由. 【解析】（1）由题意，集合，且， 当时，可得； 当时，可得； 当时，可得. （2）由题意，集合， 对于，其中， 当时，此时中的元素个数最少， 若为奇数，则时，中的元素个数最少； 若为偶数，则或时，中的元素个数最少. （3）①若时，可得，此时，且，所以； ②若时，可得，要使得且， 则，即. 当时，，则， 时，不合题意； 时，， 则， 当时，， 所以，所以，符合题意； 时，， 则， 当时，， 所以，所以，符合题意； 若时，此时，显然中有很多整数空缺，所以不成立. 综上可得：，或，或，或，. 题型 13：含参集合计算问题 【典例13】（2026·高一·宁夏银川·阶段检测）已知集合，． (1)若，求； (2)若，且，求实数的取值范围． (3)若集合，求的值． 【解析】（1）当时，. （2）由，则，即， 此时， 因为，所以，解得， 则实数的取值范围为. （3）由，可知，且，即， 此时，则且，所以， 则. 【变式13-1】已知集合，． (1)若，求； (2)若，求实数的取值集合； (3)若中有3个整数，求实数的取值集合； (4)若，求实数的取值集合； (5)若，求实数的取值取值集合； 【解析】（1）因为，，所以. （2）因为， 若，则，解得， 所以实数的取值集合为. （3）因为，中有3个整数， 所以，解得， 当时，，符合题意， 当时，， 若中有3个整数，则，即， 此时集合中的整数为，符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，， 若中有3个整数，则，即， 此时集合中的整数为，符合题意； 综上所述，实数的取值集合为. （4）当时，如图，此时． 则，即，因此的取值集合为． （5）当时，如图， 此时，解得，此时无解； 当时，由，解得． 综上可得：的取值集合为． 【变式13-2】（2026·高一·河北保定·期中）已知集合． (1)若中恰有一个元素，求实数的取值构成的集合； (2)若，求实数的取值范围． 【解析】（1）对于， 当，即时，方程为，则，集合中只有一个元素，满足题意； 当时，方程为关于的一元二次方程， 由题意知，该方程有两个相等的实根， 所以， 解得或. 所以实数的取值构成的集合为. （2）由题意可知，，若，则分以下几种情况讨论： ①当时，，即. ②当集合中只有一个元素时，由（1）知， 当时，，，； 当时，，，，； 当时，，，，. ③当集合中有两个元素时， 因为，所以，即， 即关于的方程的两根分别为1，2， 所以，无解. 综上所述，实数的取值范围是. 【变式13-3】（2026·高一·河北唐山·阶段检测）设集合，集合. (1)若，求实数a的值； (2)若，求实数a的取值范围. 【解析】（1）由题意得. ∵.∴ ∴ 化简得： 解得：， 检验：当，，满足 当，，满足 ∴， （2）∵，故 ①当B为空集时，，∴ ①当B为单元素集，则，得， 当，符合. ②当B为双元素集，则 则有无解 综上：实数a的取值范围为 题型 14：依据命题真假求参数 【典例14】（2026·高一·河南新乡·开学考试）设全集，集合，集合． (1)若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围； (2)若命题“，”是真命题，求实数的取值范围． 【解析】（1）由题意，得． “”是“”的充分条件，． 又， ，解得， 实数的取值范围为． （2）方法一：命题“，”是真命题，． 下面讨论的情形： ①当时，，，满足； ②当时，，若，则或，解得或，所以， 当时，，当时，． 综上，命题“，”是真命题时，实数的取值范围为． 方法二：命题“，”是真命题，． ． 即命题“，”是真命题时，实数的取值范围为． 【变式14-1】已知命题：“”，命题：“，”，若命题，都是真命题，求实数的取值范围． 【解析】由为真命题，对恒成立，得；① 由为真命题，即方程有实根，得， 即或;② 对①②求交集，可得或， 综上，所求实数的取值范围为或.． 【变式14-2】（2026·高一·贵州贵阳·阶段检测）已知集合，，． (1)若，求实数的取值范围； (2)命题：“，都有”，若命题为真命题，求实数的值． 【解析】（1）解方程，得或，故. 因为，所以，分情况讨论： ① 当时，，满足； ② 当时，方程的解为，需使： 若，解得；若，解得. 综上，实数的取值范围为. （2）由得，解得或. 因为命题：“，都有”，若命题为真命题，则，且： ① 当时，即，则，显然，符合条件； ② 当时，，由得，解得，此时，符合条件. 综上，实数或. 【变式14-3】（2026·高一·江苏苏州·阶段检测）已知集合，集合. (1)若，求和； (2)若命题“”是假命题，求实数a的取值范围. 【解析】（1），，又， 所以，； （2）若命题“”是假命题，则命题“”是真命题， 又或， 若，即，则，满足题意； 若，则，此时，解得，所以， 综上的取值范围是． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章集合与常用逻辑用语 高频重难点题型归纳 目录 01 思维导图 2 02 知识回顾 3 知识点一、 集合的含义与表示 3 知识点二、集合间的基本关系 3 知识点三、集合的基本运算 3 知识点四、充分条件与必要条件 4 知识点五、全称量词和存在量词 4 常用二级结论 5 03 题型精讲 6 题型 1：集合定义及表示形式 6 题型 2：元素与集合归属关系判断 6 题型 3：集合元素三大特性应用 7 题型 4：集合包含、相等关系辨析 7 题型 5：集合交、并、补基础运算 8 题型 6：充分、必要条件区分判断 8 题型 7：带量词命题真假判断 9 题型 8：韦恩图解集合关系与运算 9 题型 9：全称、特称命题改写否定形式 10 题型 10：容斥原理实际应用题 10 题型 11：根据充分、必要条件求解参数范围 11 题型 12：集合创新定义类考题 12 题型 13：含参集合计算问题 14 题型 14：依据命题真假求参数 15 知识点一、 集合的含义与表示 1、元素与集合：一般地，把研究对象统称元素；把一些元素组成的总体叫做集合．集合中的元素具有：确定性，互异性，无序性． 2、元素与集合的关系：，； 3、集合的表示方法：列举法、描述法、韦恩图（图）. 4、常见数集和数学符号 数集 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 或 知识点二、集合间的基本关系 （1）子集：一般地，对于两个集合、，如果集合中任意一个元素都是集合中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合为集合的子集 ，记作（或），读作“包含于”（或“包含”）. （2）真子集：如果集合，但存在元素，且，我们称集合是集合的真子集，记作（或）.读作“真包含于 ”或“真包含 ”. （3）相等：如果集合是集合的子集（，且集合是集合的子集（），此时，集合与集合中的元素是一样的，因此，集合与集合相等，记作. （4）空集的性质： 我们把不含任何元素的集合叫做空集，记作；是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集. 知识点三、集合的基本运算 1、①并集：； ②交集：； ③补集：． ④全集：一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作 2、运算律 ① 交换律 ，； ② 结合律 ，； ③ 分配律 ，； ④ 德摩根律 ，. 知识点四、充分条件与必要条件 1、定义 如果命题“若，则”为真（记作），则是的充分条件；同时是的必要条件． 2、从逻辑推理关系上看 p是q的充分条件 p是q的必要条件 p是q的充要条件 且 p是q的充分不必要条件 且 是的必要不充分条件 且 是的既不充分也不必要条件 且 3、大小关系（设包含的对象分别组成集合） ①若，则是的充分条件 ②若，则是的必要条件 ③若，则是的充分不必要条件 ④若，则是的必要不充分条件 ⑤若，则是的充要条件 知识点五、全称量词和存在量词 1、全称量词与存在量词的概念 短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词,并用符号“”表示. 短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词,并用符号“”表示. 量词名称 常见量词 表示符号 全称量词 所有、一切、任意、全部、每一个等 存在量词 存在一个、至少有一个、有一个、某些、某个、有些、某些等 2、全称量词命题和存在量词命题 名称 全称量词命题 存在量词命题 结构 对中任意一个，有成立 存在中一个，有成立 简记 ， ， 否定 ， ， 常用二级结论 1、从集合与集合之间的关系上看 设． （1）若，则是的充分条件（），是的必要条件；若，则是的充分不必要条件，是的必要不充分条件，即且； 简记：“小大”． （2）若，则是的必要条件，是的充分条件； （3）若，则与互为充要条件． （4）若集合中有个元素，则集合的所有子集个数为，所有非空子集的个数是，所有真子集的个数是，所有非空真子集的个数是． （5）包含关系的各种等价表示：①；②；③；④；⑤． （6）容斥原理 ． 题型 1：集合定义及表示形式 【典例1】给出下列表述：①联合国常任理事国；②坪高全体游泳健将；③方程的实数根；④全国著名的歌手，以上能构成集合的是（    ） A．①③ B．①② C．①②③ D．①②③④ 【变式1-1】（2026·高一·河南安阳·阶段检测）下列各项中不能构成集合的是（    ） A．方程的实数解 B．所有的圆 C．著名的战斗英雄 D．中国具有教师资格证的所有人 【变式1-2】下列说法正确的是（   ） A．集合中不能只有一个元素 B．3和可以是一个集合中的元素 C．集合可以表示为所有整数组成的集合 D．2.1是整数集中的元素 【变式1-3】（2026·高一·云南大理·阶段检测）下列命题中正确的是（   ） A．与表示同一个集合 B．集合和表示同一个集合 C．由组成的集合可表示为 D．接近于的所有实数可以构成集合 题型 2：元素与集合归属关系判断 【典例2】（2026·高一·四川·期中）设为自然数集，集合，则（ ） A． B． C． D． 【变式2-1】（2026·高一·安徽阜阳·阶段检测）若对任意，，则称集合为“倒数关系”集合.下列集合不是“倒数关系”集合的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（2026·高一·山东聊城·开学考试）已知为非零实数，代数式的值所组成的集合是M，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（2026·高一·安徽阜阳·期中）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 题型 3：集合元素三大特性应用 【典例3】（2026·高一·山东聊城·期中）若，则的可能取值有（   ） A．0 B．0，1 C．0，3 D．0，1，3 【变式3-1】（2026·高一·浙江·期中）若，则的可能值为（    ） A．0，2 B．0，1 C．1，2 D．0，1，2 【变式3-2】（2026·高一·四川眉山·期中）若，则实数的值为（    ） A． B． C． D．或 【变式3-3】（2026·高一·北京·期中）已知为实数，，集合中有一个元素恰为另一个元素的倍，则实数的个数为（    ） A． B． C． D． 题型 4：集合包含、相等关系辨析 【典例4】（2026·高一·河南新乡·开学考试）已知集合，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（2026·高二·广东广州·期末）设集合，则（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】（2026·贵州遵义·模拟预测）设集合，，则（   ） A． B． C． D． 【变式4-3】（2026·高一·海南儋州·期中）已知集合，．若，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 题型 5：集合交、并、补基础运算 【典例5】（2026·高一·海南·期中）已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 【变式5-1】（2026·高一·海南·期中）已知集合 ，则 （ ） A． B． C． D． 【变式5-2】（2026·高一·湖北十堰·阶段检测），设集合，，则（    ）． A． B． C． D． 【变式5-3】（2026·高三·湖北武汉·阶段检测）设全集，集合，，则（    ） A． B． C． D． 题型 6：充分、必要条件区分判断 【典例6】“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式6-1】（2026·高三·山西吕梁·阶段检测）“”的一个充分不必要条件可以是（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】设甲、乙、丙是三个命题，如果甲是乙的必要条件，丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，那么（   ） A．丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件 B．丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件 C．丙是甲的充要条件 D．丙既不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件 【变式6-3】已知集合，，则“”是“”的（   ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 题型 7：带量词命题真假判断 【典例7】下列命题中，不是全称量词命题的是（    ） A．任何一个实数乘以都等于 B．任意一个负数都比零小 C．每一个正方形都是矩形 D．一定存在没有最大值的二次函数 【变式7-1】（2026·陕西铜川·一模）下列命题中，既是全称量词命题，又是真命题的是（    ） A． B． C．任何实数都有算术平方根 D．任意两个无理数之和仍为无理数 【变式7-2】（2026·湖南长沙·模拟预测）下列命题中，是存在量词命题的是（    ） A．正方形的四条边相等 B．有三个角是的三角形是等边三角形 C．正数的平方根不等于0 D．至少有一个正整数是奇数 【变式7-3】（2026·高一·江苏盐城·期末）下列是存在量词命题且是真命题的是（   ） A． B． C． D． 题型 8：韦恩图解集合关系与运算 【典例8】（多选题）（2026·高一·河南新乡·开学考试）已知集合，均为的子集，集合，的关系如图所示，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式8-1】（多选题）（2026·河南南阳·模拟预测）已知为全集，集合M，N，P均为非空集合，，则（    ） A． B． C． D． 【变式8-2】（多选题）（2026·高一·云南昆明·阶段检测）已知U是全集，集合A，B的关系如图所示，则（   ） A． B． C． D． 【变式8-3】全集，，，，，则________，________ 题型 9：全称、特称命题改写否定形式 【典例9】（2026·高一·上海·开学考试）命题“存在，使得”的否定是__________． 【变式9-1】（2026·高二·河北承德·期末）命题“，”的否定是________． 【变式9-2】（2026·高一·福建厦门·阶段检测）已知命题，则为_________________ 【变式9-3】（2026·高二·黑龙江齐齐哈尔·阶段检测）命题“，”的否定是__________． 题型 10：容斥原理实际应用题 【典例10】（2026·高一·山西大同·阶段检测）某校高一年级共有40名同学参加学科竞赛培训，其中参加数学竞赛的有25人，参加物理竞赛的有18人，参加化学竞赛的有14人．已知每人至多参加两项培训，且同时参加数学和物理竞赛的有7人，同时参加物理和化学竞赛的有5人，则同时参加数学和化学竞赛的有________人． 【变式10-1】（2026·高一·河南新乡·开学考试）为了积极响应国家对于网络游戏的防沉迷政策，某中学学生会对学生假期玩游戏的时长进行了调查．某班共有人，其中人玩游戏，人玩游戏，人玩游戏，已知玩游戏的均不玩游戏，只玩游戏的人数与游戏和游戏都玩的人数相同，只玩游戏的人数与游戏和游戏都玩的人数相同，则班上这三种游戏都不玩的学生有_____人． 【变式10-2】（2026·高一·山东青岛·期中）某商店统计了连续三天售出商品的种类情况：第一天售出18种商品，第二天售出12种商品，第三天售出16种商品，前两天都售出的商品有3种，后两天都售出的商品有4种，则该商店第一天售出但第二天未售出的商品有________种；这三天售出的商品至少有________种. 【变式10-3】（2026·高三·广西钦州·开学考试）一个学校只有三门课程：数学、语文、外语，已知修这三门课的学生分别有172，132，130人；同时修数学、语文两门课的学生有48人，同时修数学、外语两门课的学生有30人，同时修语文、外语两门课的学生有21人；三门课全修的学生有5人.问： (1)该校共有多少学生？ (2)只修一门课的学生有多少？ (3)正好修两门课的学生有多少？ 题型 11：根据充分、必要条件求解参数范围 【典例11】（2026·高一·上海·开学考试）已知集合，，全集． (1)当时，求； (2)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【变式11-1】（2026·高一·甘肃兰州·阶段检测）已知集合，集合． (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围； (3)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【变式11-2】（2026·高一·河南信阳·阶段检测）设全集，集合，. (1)若，求，，； (2)若不是空集，若是成立的充分条件，求实数a的取值范围. 【变式11-3】（2026·高一·广东深圳·期末）已知集合. (1)若，求和； (2)若“”是“”的必要不充分条件，求实数m的取值范围. 题型 12：集合创新定义类考题 【典例12】（2026·高一·山西大同·阶段检测）定义：设非空数集，若，，则称是一个“乘法封闭集”；若，，则称为的一个“完美元素”．已知集合． (1)判断集合是否为“乘法封闭集”，并写出中的所有“完美元素”（直接写出结论即可）； (2)证明：是一个“乘法封闭集”； (3)判断是否为集合的“完美元素”，并说明理由． 【变式12-1】（2026·高一·上海普陀·期中）已知是非空数集，如果对任意，都有，则称是封闭集． (1)判断集合是否是封闭集，并说明理由； (2)若集合，，判断集合，是否是封闭集，并说明理由； (3)若非空集合是封闭集，且为全体实数集，求证：不是封闭集． 【变式12-2】（2026·高一·上海浦东新·期中）已知，. （1）设全集，定义集合运算，使，求和； （2）若，按（1）的运算定义求：. 【变式12-3】（2026·高一·北京·期中）对于一个所有元素均为整数的非空集合，和一个给定的整数，定义集合. (1)若，直接写出集合，和； (2)若，其中，，求的值，使得集合中元素的个数最少； (3)写出所有满足的整数和，使得当集合时，有，并说明理由. 题型 13：含参集合计算问题 【典例13】（2026·高一·宁夏银川·阶段检测）已知集合，． (1)若，求； (2)若，且，求实数的取值范围． (3)若集合，求的值． 【变式13-1】已知集合，． (1)若，求； (2)若，求实数的取值集合； (3)若中有3个整数，求实数的取值集合； (4)若，求实数的取值集合； (5)若，求实数的取值取值集合； 【变式13-2】（2026·高一·河北保定·期中）已知集合． (1)若中恰有一个元素，求实数的取值构成的集合； (2)若，求实数的取值范围． 【变式13-3】（2026·高一·河北唐山·阶段检测）设集合，集合. (1)若，求实数a的值； (2)若，求实数a的取值范围. 题型 14：依据命题真假求参数 【典例14】（2026·高一·河南新乡·开学考试）设全集，集合，集合． (1)若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围； (2)若命题“，”是真命题，求实数的取值范围． 【变式14-1】已知命题：“”，命题：“，”，若命题，都是真命题，求实数的取值范围． 【变式14-2】（2026·高一·贵州贵阳·阶段检测）已知集合，，． (1)若，求实数的取值范围； (2)命题：“，都有”，若命题为真命题，求实数的值． 【变式14-3】（2026·高一·江苏苏州·阶段检测）已知集合，集合. (1)若，求和； (2)若命题“”是假命题，求实数a的取值范围. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $