2.1等式性质和不等式性质（知识点+8题型）-2026-2027学年第一学期高一数学讲义（人教A版必修一）

本讲义聚焦“等式性质和不等式性质”核心知识点，先梳理文字语言与符号语言的转换规则，再系统呈现不等式的对称性、传递性、可加性等性质，构建从概念理解到比较大小、取值范围求解、证明应用的完整学习支架。 该资料通过表格化知识梳理和多样化题型（如装修工资预算、文旅活动人数关系等实际问题），引导学生用数学眼光观察现实世界，借助作差法、推理证明等培养数学思维，用符号语言精准表达不等关系。课中辅助教师系统授课，课后帮助学生巩固练习，查漏补缺。

2.1 等式性质和不等式性质 知识要点梳理 知识点1 用不等式(组)表示不等关系 常见的文字语言与符号语言之间的转换 文字语言 大于，高于，超过 小于，低于，少于 大于等于，至少，不低于 小于等于，至多，不超过 符号语言 > < ≥ ≤ 注意点： (1)仔细审题，注意同一个题目的单位是否一致. (2)用适当的不等号连接. (3)多个不等关系用不等式组表示. 知识点2 等式性质与不等式的性质 知识梳理　不等式的性质 性质 别名 性质内容 注意 1 对称性 a>b⇔b<a ⇔ 2 传递性 a>b，b>c⇒a>c 不可逆 3 可加性 a>b⇔a+c>b+c ⇔ 4 可乘性 a>b，c>0⇒ac>bc a>b，c<0⇒ac<bc c的 符号 5 同向可加性 a>b，c>d⇒a+c>b+d 同向 6 同向同正 可乘性 a>b>0，c>d>0⇒ac>bd 同向 同正 7 可乘方性 a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2) 同正 注意点： (1)若a>b>0，则>>0；若a<b<0，则<<0. (2)不等式只有同向可加和同向同正可乘，没有减法和除法运算. (3)若a>b>0，m>0，则><(b-m>0)<>(b-m>0). 考点题型突破 一、题型一 不等关系的表示 1．完成一项装修工程，请木工需付工资每人50元，请瓦工需付工资每人40元.现有工人工资预算2 000元，设请木工人，瓦工人，则工人数需满足的关系式是（    ） A． B． C． D． 2．在潭柘寺智慧文旅体验活动中，已知青年游客人数多于中年游客人数，中年游客人数多于老年游客人数，老年游客人数的两倍多于青年游客人数，那么下列选项中一定成立的是（     ） A．青年游客人数与中年游客人数之和多于老年游客人数的三倍 B．青年游客人数与老年游客人数之和多于中年游客人数的两倍 C．中年游客人数与老年游客人数之和多于青年游客人数 D．青年游客人数的两倍与老年游客人数之和多于中年游客人数的三倍 3．配制两种药剂，需要甲、乙两种原料，已知配一剂种药需甲料3毫克，乙料5毫克；配一剂种药需甲料5毫克，乙料4毫克.今有甲料20毫克，乙料25毫克，若、两种药至少各配一剂，应满足的条件是________. 4．某矿山车队有4辆载重为的甲型卡车和7辆载重为的乙型卡车，有9名驾驶员.此车队每天至少要运矿石至冶炼厂.已知甲型卡车每辆每天可往返6次，乙型卡车每辆每天可往返8次，如果设每天派出甲型卡车辆，乙型卡车辆，则满足上述所有不等关系的不等式组为________. 二、题型二 不等式性质 5．下列变形错误的是（    ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 6．如果，，那么下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 7．若，，则下列不等式中正确的有（    ） A． B． C． D． 8．已知为实数，下列命题中一定成立的是（   ） A．若，则   B．若，则   C．若 且  ，则   D．若，则   三、题型三 糖水不等式 9．已知，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 10．下列说法错误的是（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，，则 11．下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．设，，若，则 C．若，，则 D．若，，则 12．，，，则，，，由大到小的顺序是________． 四、题型五 作差法比较大小 13．已知，则与的大小关系为（   ） A． B． C． D．与有关 14．设，，，则a，b，c的大小关系为（   ） A． B． C． D． 15．甲、乙同去加油站加油两次，两次汽油单价分别为，元/升（）．甲每次加固定金额的油，乙每次加固定体积的油．哪种方式更经济实惠呢？（     ） A．加固定金额的方式 B．加固定体积的方式 C．两种方案一样 D．要视具体价格而定 16．已知，试比较的大小. 五、题型六 作商法比较大小 17．已知，则之间的大小关系是（    ） A． B． C． D．无法比较 18．设，，则p与的大小为　________　． 19．（1）比较与的大小； （2）设，比较与的大小. 20．（1）已知，，，，比较p与q的大小，并说明理由； （2）已知，，比较与的大小，并说明理由． 六、题型七 求代数式的取值范围 21．若，，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 22．已知，，则的取值范围是______；的取值范围是______． 23．（1）已知实数满足，求的取值范围； （2）已知，，求的取值范围. 24．已知． (1)求x的取值范围； (2)求的取值范围； (3)求的取值范围． 25．已知实数满足，. (1)求实数的取值范围； (2)求的取值范围. 26．已知实数x，y满足． (1)若，求实数m，n的值； (2)求的取值范围． 七、题型八 不等式的证明 27．已知，求证:. 28．（1）已知 ，求证：； （2）已知，求证： ． 29．假设克糖水中含有克糖，若再添加克糖（假设全部溶解），糖水变甜了． (1)请将这一事实表示为一个不等式（用，，表示）并证明； (2)求证：． 30．已知，，对任意的实数，求证： (1)； (2)． 31．求证：当 n 为正整数时，． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.1 等式性质和不等式性质 知识要点梳理 知识点1 用不等式(组)表示不等关系 常见的文字语言与符号语言之间的转换 文字语言 大于，高于，超过 小于，低于，少于 大于等于，至少，不低于 小于等于，至多，不超过 符号语言 > < ≥ ≤ 注意点： (1)仔细审题，注意同一个题目的单位是否一致. (2)用适当的不等号连接. (3)多个不等关系用不等式组表示. 知识点2 等式性质与不等式的性质 知识梳理　不等式的性质 性质 别名 性质内容 注意 1 对称性 a>b⇔b<a ⇔ 2 传递性 a>b，b>c⇒a>c 不可逆 3 可加性 a>b⇔a+c>b+c ⇔ 4 可乘性 a>b，c>0⇒ac>bc a>b，c<0⇒ac<bc c的 符号 5 同向可加性 a>b，c>d⇒a+c>b+d 同向 6 同向同正 可乘性 a>b>0，c>d>0⇒ac>bd 同向 同正 7 可乘方性 a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2) 同正 注意点： (1)若a>b>0，则>>0；若a<b<0，则<<0. (2)不等式只有同向可加和同向同正可乘，没有减法和除法运算. (3)若a>b>0，m>0，则><(b-m>0)<>(b-m>0). 考点题型突破 一、题型一 不等关系的表示 1．完成一项装修工程，请木工需付工资每人50元，请瓦工需付工资每人40元.现有工人工资预算2 000元，设请木工人，瓦工人，则工人数需满足的关系式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】依题意，可知，其中， 化简得 2．在潭柘寺智慧文旅体验活动中，已知青年游客人数多于中年游客人数，中年游客人数多于老年游客人数，老年游客人数的两倍多于青年游客人数，那么下列选项中一定成立的是（     ） A．青年游客人数与中年游客人数之和多于老年游客人数的三倍 B．青年游客人数与老年游客人数之和多于中年游客人数的两倍 C．中年游客人数与老年游客人数之和多于青年游客人数 D．青年游客人数的两倍与老年游客人数之和多于中年游客人数的三倍 【答案】C 【分析】设青年、中年、老年游客人数分别为正整数，将题干条件转化为不等式组：，，，代入特殊值验证，可以判断选项A、B、D；由可得，进而可得，可以判断C. 【详解】设青年、中年、老年游客人数分别为正整数 选项A：若，满足所有题干条件，此时，不满足“多于三倍”，故A错误； 对选项B：若，，不满足“多于两倍”，故B错误； 对选项C：由可得，又，因此， 即恒成立，故C正确； 对选项D：若，满足，此时， 不满足“多于三倍”，故D错误. 3．配制两种药剂，需要甲、乙两种原料，已知配一剂种药需甲料3毫克，乙料5毫克；配一剂种药需甲料5毫克，乙料4毫克.今有甲料20毫克，乙料25毫克，若、两种药至少各配一剂，应满足的条件是________. 【答案】 【详解】设两种药分别配剂，则. 即. 4．某矿山车队有4辆载重为的甲型卡车和7辆载重为的乙型卡车，有9名驾驶员.此车队每天至少要运矿石至冶炼厂.已知甲型卡车每辆每天可往返6次，乙型卡车每辆每天可往返8次，如果设每天派出甲型卡车辆，乙型卡车辆，则满足上述所有不等关系的不等式组为________. 【答案】 【详解】根据题意得，需要满足如下不等关系：①， ，化简为②， 又③，④,且；⑤ 由①、②、③、④、⑤组成不等式组，即. 二、题型二 不等式性质 5．下列变形错误的是（    ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】D 【详解】A.根据等式的性质，可知如果，那么，正确，不符合题意； B.根据等式性质，可得如果，那么，正确，不符合题意； C.根据等式性质，可知如果，那么，正确，不符合题意； D.根据不等式的性质，如果，那么，所以，故此选项错误，符合题意. 6．如果，，那么下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】已知，， 对于A：，即，故A正确； 对于B：，即，故B错误； 对于C：，已知， 当时，，此时，故C错误； 对于D：，已知， 当时，，此时，故D错误． 7．若，，则下列不等式中正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】利用不等式的基本性质推导即可. 【详解】由可得，故A对. 由可得，故B错. 由，可得，，所以，故C错. 由，可得，，所以， 即，所以，故D对. 8．已知为实数，下列命题中一定成立的是（   ） A．若，则   B．若，则   C．若 且  ，则   D．若，则   【答案】ACD 【详解】已知，不等式两边同时加上同一个实数，不等式方向不变，所以，正确； 已知，当时，，错误； 已知且，不等式两边同时乘同一个负数，不等式方向改变，即，正确； 已知，对于正数，分母越大，分数越小，即，正确. 三、题型三 糖水不等式 9．已知，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】应用作差法计算判断各个选项. 【详解】对于A，由题意，即，故A错误； 对于B，由题意，即，故B错误； 对于C，由题意，即，故C正确； 对于D，由题意，即，故D错误. 10．下列说法错误的是（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】AB 【详解】对于A，若，当时，则，A错误； 对于B，若，则，B错误； 对于C，若，则，C正确， 对于D，， 因为，所以，所以，D正确. 11．下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．设，，若，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】AC 【分析】使用不等式的性质进行分析. 【详解】对于选项，，因为，所以， 当或时，，则，即， 当时，，，则，选项正确 对于B选项，当为正数，为负数时不成立，选项错误； 对于选项，若，，则，所以，选项正确； 对于D选项，若，，当时，，选项错误. 12．，，，则，，，由大到小的顺序是________． 【答案】 【分析】根据题意，利用作差法判断即可. 【详解】已知，，，则，，，， 由于，所以， 由于，所以， 所以， 综上，. 四、题型五 作差法比较大小 13．已知，则与的大小关系为（   ） A． B． C． D．与有关 【答案】A 【详解】，故 14．设，，，则a，b，c的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】， ， 因为， 所以， 所以，因此， 因为， 所以，即. 15．甲、乙同去加油站加油两次，两次汽油单价分别为，元/升（）．甲每次加固定金额的油，乙每次加固定体积的油．哪种方式更经济实惠呢？（     ） A．加固定金额的方式 B．加固定体积的方式 C．两种方案一样 D．要视具体价格而定 【答案】A 【分析】设两次加油的油价分别为，（，且），分别计算两种方案的平均油价，然后比较即得到答案. 【详解】设两次加油的油价分别为，（，且）， 乙方案每次加油的量为；甲方案每次加油的钱数为， 则乙方案的平均油价为， 甲方案的平均油价为， 因为，所以，即甲方案更经济． 16．已知，试比较的大小. 【答案】 【详解】因为， 所以. 五、题型六 作商法比较大小 17．已知，则之间的大小关系是（    ） A． B． C． D．无法比较 【答案】B 【详解】由于， 且， 而， 则，即， 所以，即. 18．设，，则p与的大小为　________　． 【答案】p≥4q 【详解】因为， ， 则 , 故,当且仅当时取等号． 19．（1）比较与的大小； （2）设，比较与的大小. 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）利用作差法比较大小. （2）利用作商法比较大小. 【详解】（1）， 所以. （2）由，得，，， 因此， 所以. 20．（1）已知，，，，比较p与q的大小，并说明理由； （2）已知，，比较与的大小，并说明理由． 【答案】（1），理由： 由， ， 作差得 . 因 ，，故 ，又 ， 所以 ，即 ，当且仅当 时取等号. （2），理由： 作差得 . 因 ，，故 ，，又 ， 所以 ， 即 ，当且仅当 时取等号. 【分析】利用差比较法判断两者的大小关系. 【详解】（1）略 （2）略 六、题型七 求代数式的取值范围 21．若，，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为, 所以, 因为, 所以, 所以, 所以. 22．已知，，则的取值范围是______；的取值范围是______． 【答案】 【分析】由，然后利用同向不等式相加、正数同向不等式相乘可得结果. 【详解】由， 又因为 所以， 故答案为：， 【点睛】本题主要考查不等式基本性质，意在考查对所学知识的掌握与应用，属于基础题. 23．（1）已知实数满足，求的取值范围； （2）已知，，求的取值范围. 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）由，，结合可加性求解； （2）由，结合不等式的性质求解. 【详解】（1）因为，，所以， 所以的取值范围是． （2）设 则， ∴， ∴ ∵，， ∴， ∴ 即. 24．已知． (1)求x的取值范围； (2)求的取值范围； (3)求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）（2）根据不等式的性质即可求得答案； （3）设，解方程组可求得的值，再结合不等式性质，即可求得答案. 【详解】（1）由于， 将两不等式相加可得； （2）由，得， 结合，可得， 即； （3）设， 则，解得， 故， 由于，故， 故， 即. ， 25．已知实数满足，. (1)求实数的取值范围； (2)求的取值范围. 【答案】(1)； (2) 【分析】用已知式子表示所求式子，利用不等式的性质求解范围即可． 【详解】（1）由，， 所以， 由， 所以，即， 即实数的取值范围为． 因为， 由，所以，又， 所以， 所以， ∴， 即实数的取值范围为． （2）设， 则，解得， ∴， ∵，． ∴，， ∴， 即的取值范围为． 26．已知实数x，y满足． (1)若，求实数m，n的值； (2)求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用待定系数法运算求解； （2）根据（1）中结果，结合不等式性质运算求解. 【详解】（1）因为， 则，解得. （2）由（1）知， 且，， 可知，， 所以，即的取值范围是． 七、题型八 不等式的证明 27．已知，求证:. 【答案】证明：方法一：因为，所以， 所以，所以， 所以， 即，所以， 又因为，所以. 方法二： 因为，所以， 所以，所以， 所以，因此. 【分析】利用不等式的性质及作差法比较，即可得到结论． 【详解】略. 28．（1）已知 ，求证：； （2）已知，求证： ． 【答案】 （1），且，所以且，即； （2）， 因为，所以，，即， 所以，即． 【分析】（1）对平方比较即可； （2）作差得，再根据，得到，即可证明． 【详解】（1）略 （2）略 29．假设克糖水中含有克糖，若再添加克糖（假设全部溶解），糖水变甜了． (1)请将这一事实表示为一个不等式（用，，表示）并证明； (2)求证：． 【答案】(1) 不等式为或； 证明如下： ， 因为， 故，故. (2) 由（1）中不等式可知， ， 故， 两边开方得：. 【分析】（1）由题意写出不等式，作差可证明； （2）由（1）可得不等式，由不等式性质即可证明. 【详解】（1）略 （2）略 30．已知，，对任意的实数，求证： (1)； (2)． 【答案】(1)证明： 因为，，都是正数且，，可得， 所以，也是正数． 又因为， 即得． (2)证明： 由于对正数和，可得， 故，则， 从而， 两端次方得． 【分析】（1）根据指数函数的性质，结合，即可得证； （2）由对正数和，证得，进而得到，两端次方，即可得证. 【详解】（1）略． （2）略． 31．求证：当 n 为正整数时，． 【答案】设，构造对偶式. 因为（），所以. 又，所以. 又，所以，命题得证. 【详解】略. 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $