【刷考点】1.1集合与逻辑大总结（27个考点题型归纳）单元复习讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

集合与常用逻辑用语·考点一遍过 目录 【考点01】集合的判断 【考点02】同一集合 【考点03】元素与集合的关系 【考点04】根据元素与集合关系求参数 【考点05】利用互异性求参数 【考点06】集合的表示 【考点07】根据集合中元素个数求参数 【考点08】利用元素性质求参数 【考点09】子集个数问题 5 【考点10】集合间的包含关系 【考点11】由包含关系求参数 【考点12】空集的应用 【考点13】集合求交集 【考点14】由交集运算求参数 【考点15】集合求并集 【考点16】由并集运算求参数 【考点17】集合求补集 【考点18】由补集运算求参数 【考点19】容斥原理 【考点20】由韦恩图求集合 【考点21】新定义问题 【考点22】易忽略空集的情况 【考点23】充分条件与必要条件 【考点24】由充分、必要条件求参数 【考点25】判断命题真假 【考点26】根据命题真假求参数 【考点27】命题的否定 【知识梳理】 1.集合概念：把一些能够确定的、不同的对象看成一个整体，这个整体叫做集合（简称集），通常用大写字母 A、B、C… 表示；集合中的每一个对象叫做这个集合的元素，通常用小写字母 a、b、c… 表示. 2.集合与元素间的关系：若是集合的元素，记作；若不是的元素，记作。 3.集合三要素：确定性：给定一个集合，任何一个对象是否属于这个集合必须是明确的；互异性：同一个集合中的元素是互不相同的；无序性：集合中的元素没有先后顺序. 4.集合的分类：按元素个数分：有限集（元素个数有限）、无限集（元素个数无限）；不含任何元素的集合叫空集 . 5.常用数集及其记法：自然数集（含 0）、正整数集或 、整数集 、有理数集 、实数集 ；它们满足 . 6.区间及其表示：设 、是实数且：闭区间，开区间，半开半闭区间与；无界区间可写作、、与，全体实数的区间表示为. 7.集合的表示方法：① 列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内；② 描述法：用集合中元素的共同特征表示，形式为；③ 图示法（Venn 图）：用平面内一条封闭曲线的内部表示集合. 8.集合间的基本关系：子集：若中任意一个元素都是的元素，则称是的子集，记作；真子集：若且，则称是的真子集，记作；集合相等：若且，则. 9.空集:不含任何元素的集合叫做空集，记作.定：是任何集合的子集；是任何非空集合的真子集. 10.有限集合的子集个数：若有限集合中有个元素，则：子集个数为. 11.集合的基本运算：交集 ：由既属于又属于的所有元素组成的集合；并集：由属于或属于的所有元素组成的集合；补集：为全集，由中不属于的所有元素组成的集合. 12.全集与补集：全集 ：研究某一问题时，把所有研究对象组成的集合叫做全集。补集的性质：，，. 13.命题及其真假:可以判断真假的陈述句叫做命题；判断为真的命题叫做真命题，判断为假的命题叫做假命题. 14.充分条件与必要条件:若，则称是的充分条件，是的必要条件. 15.充充要条件:若且，即，则称是的充要条件，也说与互为充要条件。 16.全称量词与全称量词命题:短语"所有的""任意一个"在逻辑中叫做全称量词，用符号表示；含有全称量词的命题叫做全称量词命题，一般形式为. 17.存在量词与存在量词命题:短语"存在一个""至少有一个"在逻辑中叫做存在量词，用符号 表示；含有存在量词的命题叫做存在量词命题，一般形式为 . 18.量词命题的否定:；。口诀：全称变存在、存在变全称，结论同时要否定. 【考点01】集合的判断 1．下列各项对象中，能够构成一个确定集合的是（    ） A．班级里身材高挑的学生 B．数值很大的正数 C．的近似小数 D．平方等于的实数 【考点02】同一集合 2．下列与集合表示同一集合的是（ ） A． B． C． D． 【考点03】元素与集合的关系 3．给出下列5个关系：①，②，③，④，⑤．其中正确命题的个数为（ ） A．4 B．2 C．3 D．5 【考点04】根据元素与集合关系求参数 4．已知集合，且中只有一个元素，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【考点05】利用互异性求参数 5．已知集合，且，则（   ） A． B．或 C． D． 【考点06】集合的表示 6．不小于2的所有整数构成的集合可表示为（    ） A． B． C． D． 7．已知集合，集合，则集合中元素之和为（    ） A．0 B． C． D．1 【考点07】根据集合中元素个数求参数 8．已知集合内的元素个数为2，则（   ） A．0或1 B．1或2 C．0或4 D．1或8 【考点08】利用元素性质求参数 9．集合的元素个数是（    ） A．5个 B．4个 C．3个 D．无数个 【考点09】子集个数问题 10．满足集合的集合的个数是（    ） A．9 B．8 C．7 D．6 【考点10】集合间的包含关系 11．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【考点11】由包含关系求参数 12．已知集合，，且，则（     ） A．-1 B．1 C．2 D．0 【考点12】空集的应用 13．下列式子中正确的个数是（  ） （1）     （2）     （3）    （4） A．1 B．2 C．3 D．4 【考点13】集合求交集 14．已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 【考点14】由交集运算求参数 15．设集合，集合，若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【考点15】集合求并集 16．已知集合，，则（     ） A． B． C． D． 【考点16】由并集运算求参数 17．已知集合，若，则实数的值是（   ） A．2 B．1 C．2 D．1 【考点17】集合求补集 18．已知集合，，则或（    ） A． B． C． D． 【考点18】由补集运算求参数 19．设全集，集合，则（   ） A． B． C． D． 【考点19】容斥原理 20．某班参加数学竞赛的学生有15人，参加物理竞赛的学生有18人，既参加数学竞赛又参加物理竞赛的学生有8人，既没有参加数学竞赛又没有参加物理竞赛的学生有25人，则这个班的学生人数是（    ） A．45 B．48 C．50 D．58 【考点20】由韦恩图求集合 21．已知集合，，，则阴影部分表示的集合为（     ） A． B． C． D． 【考点21】新定义问题 22．设为两个实数集，定义集合，若，则的子集个数为（   ） A．15 B．16 C．31 D．32 【考点22】易忽略空集的情况 23．若集合，则实数a的取值范围是________. 24．已知全集，集合. (1)若，求； (2)若，求实数的取值范围. 【考点23】充分条件与必要条件 25．用充分条件、必要条件填空： （1）“”是“且”的______； （2）“”是“”的______. 26．“”是“”的（   ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 【考点24】由充分、必要条件求参数 27．若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是（   ）． A． B． C． D． 28．已知p：，q：，若p是q的必要不充分条件，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【考点25】判断命题真假 29．已知集合，则（ ） A． B． C． D． 【考点26】根据命题真假求参数 30．若命题：“，”为假命题，实数的取值范围（ ） A． B． C． D． 【考点27】命题的否定 31．已知命题：，，则为（   ） A．， B．， C．， D．， 学科网（北京）股份有限公司 $ 集合与常用逻辑用语·考点一遍过 目录 【考点01】集合的判断 【考点02】同一集合 【考点03】元素与集合的关系 【考点04】根据元素与集合关系求参数 【考点05】利用互异性求参数 【考点06】集合的表示 【考点07】根据集合中元素个数求参数 【考点08】利用元素性质求参数 【考点09】子集个数问题 5 【考点10】集合间的包含关系 【考点11】由包含关系求参数 【考点12】空集的应用 【考点13】集合求交集 【考点14】由交集运算求参数 【考点15】集合求并集 【考点16】由并集运算求参数 【考点17】集合求补集 【考点18】由补集运算求参数 【考点19】容斥原理 【考点20】由韦恩图求集合 【考点21】新定义问题 【考点22】易忽略空集的情况 【考点23】充分条件与必要条件 【考点24】由充分、必要条件求参数 【考点25】判断命题真假 【考点26】根据命题真假求参数 【考点27】命题的否定 【知识梳理】 1.集合概念：把一些能够确定的、不同的对象看成一个整体，这个整体叫做集合（简称集），通常用大写字母 A、B、C… 表示；集合中的每一个对象叫做这个集合的元素，通常用小写字母 a、b、c… 表示. 2.集合与元素间的关系：若是集合的元素，记作；若不是的元素，记作。 3.集合三要素：确定性：给定一个集合，任何一个对象是否属于这个集合必须是明确的；互异性：同一个集合中的元素是互不相同的；无序性：集合中的元素没有先后顺序. 4.集合的分类：按元素个数分：有限集（元素个数有限）、无限集（元素个数无限）；不含任何元素的集合叫空集 . 5.常用数集及其记法：自然数集（含 0）、正整数集或 、整数集 、有理数集 、实数集 ；它们满足 . 6.区间及其表示：设 、是实数且：闭区间，开区间，半开半闭区间与；无界区间可写作、、与，全体实数的区间表示为. 7.集合的表示方法：① 列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内；② 描述法：用集合中元素的共同特征表示，形式为；③ 图示法（Venn 图）：用平面内一条封闭曲线的内部表示集合. 8.集合间的基本关系：子集：若中任意一个元素都是的元素，则称是的子集，记作；真子集：若且，则称是的真子集，记作；集合相等：若且，则. 9.空集:不含任何元素的集合叫做空集，记作.定：是任何集合的子集；是任何非空集合的真子集. 10.有限集合的子集个数：若有限集合中有个元素，则：子集个数为. 11.集合的基本运算：交集 ：由既属于又属于的所有元素组成的集合；并集：由属于或属于的所有元素组成的集合；补集：为全集，由中不属于的所有元素组成的集合. 12.全集与补集：全集 ：研究某一问题时，把所有研究对象组成的集合叫做全集。补集的性质：，，. 13.命题及其真假:可以判断真假的陈述句叫做命题；判断为真的命题叫做真命题，判断为假的命题叫做假命题. 14.充分条件与必要条件:若，则称是的充分条件，是的必要条件. 15.充充要条件:若且，即，则称是的充要条件，也说与互为充要条件。 16.全称量词与全称量词命题:短语"所有的""任意一个"在逻辑中叫做全称量词，用符号表示；含有全称量词的命题叫做全称量词命题，一般形式为. 17.存在量词与存在量词命题:短语"存在一个""至少有一个"在逻辑中叫做存在量词，用符号 表示；含有存在量词的命题叫做存在量词命题，一般形式为 . 18.量词命题的否定:；。口诀：全称变存在、存在变全称，结论同时要否定. 【考点01】集合的判断 1．下列各项对象中，能够构成一个确定集合的是（    ） A．班级里身材高挑的学生 B．数值很大的正数 C．的近似小数 D．平方等于的实数 【答案】D 【详解】因为构成集合的核心前提是元素具有确定性.对A、B、C选项描述模糊，无统一判定标准，因而不能确定哪些对象是集合的元素，即元素不确定，故A、B、C错误；对D选项，平方等于的实数只有元素确定，可构成集合，因此D正确. 【考点02】同一集合 2．下列与集合表示同一集合的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】选项A： 是表示平面直角坐标系中的一个点，不是集合，故A错误； 选项B： 是点集，与数集的元素类型不同，不是同一集合，故B错误； 选C：解方程 ，因式分解得 ，解得 或 ， 因此集合 ，与原集合是同一集合，故C正确； 选项D： 是两个等式构成的集合，不是同一集合，故D错误. 故选：C 【考点03】元素与集合的关系 3．给出下列5个关系：①，②，③，④，⑤．其中正确命题的个数为（ ） A．4 B．2 C．3 D．5 【答案】A 【详解】对于①，因为为无理数，有理数和无理数统称为实数，所以，所以①正确；对于②，因为不是整数，所以，所以②错误；对于③，因为不是正整数，所以，所以③正确；对于④，因为，所以④正确；对于⑤，因为是无理数，所以，所以⑤正确；故选：A． 【考点04】根据元素与集合关系求参数 4．已知集合，且中只有一个元素，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为集合，且中只有一个元素，则必有，且不属于集合，所以,则实数的取值范围是 【考点05】利用互异性求参数 5．已知集合，且，则（   ） A． B．或 C． D． 【答案】C 【详解】因为集合，且， 当时，即，解得或， 若时，，，集合的元素出现重复，故舍去； 若时，，符合题意. 当时，，此时，集合的元素出现重复，故舍去. 综上所述，. 【考点06】集合的表示 6．不小于2的所有整数构成的集合可表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】不小于2的所有整数构成的集合可表示为. 7．已知集合，集合，则集合中元素之和为（    ） A．0 B． C． D．1 【答案】A 【详解】集合，集合，则， ∴集合中元素之和为． 【考点07】根据集合中元素个数求参数 8．已知集合内的元素个数为2，则（   ） A．0或1 B．1或2 C．0或4 D．1或8 【答案】C 【详解】当时，因为，所以，不符合题意； 当时，此时，符合题意； 当时，由，得或， 因为集合内的元素个数为2，所以，则，即. 综上，或4. 【考点08】利用元素性质求参数 9．集合的元素个数是（    ） A．5个 B．4个 C．3个 D．无数个 【答案】B 【详解】因为，所以是自然数且是6的正约数，而6的正约数有当分别取时，对应的的值分别为，所以只能是.故集合的元素个数是4. 【考点09】子集个数问题 10．满足集合的集合的个数是（    ） A．9 B．8 C．7 D．6 【答案】B 【详解】由集合子集的定义可得：因为，所以且；因为，所以的可能情况有：，故满足条件的的个数为8. 【考点10】集合间的包含关系 11．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为， 当时,为整数,为奇数,所以.故选:C 【考点11】由包含关系求参数 12．已知集合，，且，则（     ） A．-1 B．1 C．2 D．0 【答案】C 【详解】由可知或；当时，即，此时，不能满足题意；当时，解得或，，此时，不能满足题意；时，，满足题意，故. 【考点12】空集的应用 13．下列式子中正确的个数是（  ） （1）     （2）     （3）    （4） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】对（1），，正确；对（2），，不对；对（3），，正确；对（4），，表述错误，前者为元素，后者为集合，不可以用子集符号连接；则共有2个正确.故选：B. 【考点13】集合求交集 14．已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为集合，， 故. 【考点14】由交集运算求参数 15．设集合，集合，若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】若，则，解得，因此当时，的取值范围为 【考点15】集合求并集 16．已知集合，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】已知集合，， 则，所以. 【考点16】由并集运算求参数 17．已知集合，若，则实数的值是（   ） A．2 B．1 C．2 D．1 【答案】B 【详解】已知集合，若，所以，解得. 【考点17】集合求补集 18．已知集合，，则或（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，，所以，，，所以，A错误；或，B正确；，C错误；，D错误. 【考点18】由补集运算求参数 19．设全集，集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，， 所以. 【考点19】容斥原理 20．某班参加数学竞赛的学生有15人，参加物理竞赛的学生有18人，既参加数学竞赛又参加物理竞赛的学生有8人，既没有参加数学竞赛又没有参加物理竞赛的学生有25人，则这个班的学生人数是（    ） A．45 B．48 C．50 D．58 【答案】C 【详解】由题意作如下所示的图： 由图可知，这个班的学生人数是25+(15-8)+(18-8)+8=50. 【考点20】由韦恩图求集合 21．已知集合，，，则阴影部分表示的集合为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】图中阴影部分由属于集合，但不属于集合的元素构成的集合， 所以所求集合为． 【考点21】新定义问题 22．设为两个实数集，定义集合，若，则的子集个数为（   ） A．15 B．16 C．31 D．32 【答案】B 【详解】由题意，所以的子集个数为，故选：B 【考点22】易忽略空集的情况 23．若集合，则实数a的取值范围是________. 【答案】 【详解】当时，不等式可化为，不成立，故为空集，满足题意；当时，根据二次函数图像与性质可得，解得，综上.故答案为： 24．已知全集，集合. (1)若，求； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1)，；(2). 【详解】（1）全集，当时，，则或，而，所以. （2）当时，，则，解得；当时，由，得，解得，所以实数的取值范围为. 【考点23】充分条件与必要条件 25．用充分条件、必要条件填空： （1）“”是“且”的______； （2）“”是“”的______. 【答案】 必要条件 充分条件 【详解】（1）设,且，分析：若成立，不一定能推出且， 例如，，满足，但不满足.分析:若且，两个负数相加一定是负数，则成立.所以根据定义“”是“且”的必要条件. （2）设,，先解方程得或， 分析，将代入q命题的方程，等式成立，因此， 分析，若方程成立，x可以是5，不一定是2，因此q不能推出p， 所以根据定义 “”是“”的充分条件. 26．“”是“”的（   ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 【答案】A 【详解】解不等式得或，若，则成立，满足充分性，由得或，不能推出，不满足必要性，故是的充分不必要条件． 【考点24】由充分、必要条件求参数 27．若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由是的充分不必要条件，得，则， 所以实数的取值范围是.故选：B. 28．已知p：，q：，若p是q的必要不充分条件，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设，设，若p是q的必要不充分条件，则是的真子集，当时，，满足题意，当时，，则，解得，当时，，显然不符合题意，故a的范围为故选：C 【考点25】判断命题真假 29．已知集合，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】结合元素与集合间关系及特称量词与全称量词的关系逐项判断即可得. 对于A，，这是存在性命题，只需找到一个且的元素即可，例如，满足且，故A正确；对于B，，这是存在性命题，因集合是集合的真子集， 故不存在集合中的元素不属于集合，故B错误；对于C，，这是全称量词命题，要求所有集合中的元素都不属于集合，而属于集合，也属于集合，故C错误；对于D，，，这是全称量词命题，要求所有集合中的元素都属于集合，而属于集合，但不属于集合，故D错误． 【考点26】根据命题真假求参数 30．若命题：“，”为假命题，实数的取值范围（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】若命题：“，”为真命题，由，当且仅当时取等号，则，所以命题为假命题时，． 【考点27】命题的否定 31．已知命题：，，则为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【详解】因为命题：，，所以为：，. 学科网（北京）股份有限公司 $