第五章 数学活动 生活中的阶梯计价及木杆挂重物问题（教学课件）数学新教材人教版七年级上册

数学活动 生活中的阶梯计价 及木杆挂重物问题 第5章 一元一次方程 人教版 七年级上册 教学目标 学 习 目 标 1 2 3 能够根据阶梯计价的收费标准，建立数学模型，列出一元一次方程解决实际费用问题，培养数学建模和数学运算素养. 通过探究木杆挂重物的平衡规律，归纳出相关数学关系，列出一元一次方程，提升逻辑推理和抽象概括能力. 体会数学在实际生活中的广泛应用，增强应用数学知识解决实际问题的意识，激发对数学学习的兴趣. 1.理解阶梯计价的收费方式，掌握根据不同阶梯计算费用并利用一元一次方程求解用水量等问题. 2.探究木杆挂重物的平衡规律，能根据规律列出关于距离的一元一次方程. 重点 1.准确判断阶梯计价中费用对应的阶梯范围，正确列出并求解一元一次方程. 2.从木杆挂重物的实验操作中抽象出平衡的数学规律，合理列出方程. 难点 重 难 点 创设情境 同学们，在日常生活中，我们经常会遇到各种与数学相关的实际问题. ①每个月家里的水电费是怎么计算的，为什么会有不同的收费标准？ 创设情境 ②当我们在杠杆上挂不同重物时，怎样才能让杠杆保持平衡呢？ 杆秤是中国古老的不等臂杠杆衡器，俗称木杆秤，是古代度量衡 “尺、斗、秤” 三大件之一，既是计量工具，也承载着中华诚信文化，传统杆秤制作技艺已列入非物质文化遗产 大家知道杆秤吗？ 今天，我们就通过两个有趣的活动来学习如何用一元一次方程解决这些生活中的实际问题. 你家水费账单上的数字，是怎么算出来的？ 居民生活用水通常按户计费（户内人口不超过 4 人）。 某市实行阶梯水价： 用得少，单价低； 用得多，超出部分单价高这种"分段计费"的方式，就叫阶梯计价。 新知讲授 探究点1 生活中的阶梯计价问题 讨论 新知讲授 探究点1 生活中的阶梯计价问题 收费方式 年用水量/m3 费用/（元/m3） 第一阶梯 0～180 4.5 第二阶梯 181～240 6 第三阶梯 240以上 8 下表是某城市居民生活用水的收费标准（户内人口不超过 4 人） 讨论 阶梯计价. 年用水量/m3 收费计算模式 0～180 不超过240 年用水量240以上 每立方米 4.5 元 前 180 立方米按 4.5 元计算， 超过180不足240的水量 每立方米按 6 元计算 180立方米按第一阶梯用水每立方米4.5 元计算， 60立方米按第二阶梯用水每立方米 6 元计算， 超过240 部分按第三阶梯用水每立方米 8 元计算 收费方式 年用水量/m3 费用/（元/m3） 第一阶梯 0～180 4.5 第二阶梯 181～240 6 第三阶梯 240以上 8 下表是某城市居民生活用水的收费标准（户内人口不超过 4 人） 讨论 新知讲授 探究点1 生活中的阶梯计价问题 （1）如果一年用了 210 m³ 水，这 200 m³ 都按 6 元算吗？为什么？ 因为210 =180+30， 所以前 180 立方米按 4.5 元， 超出的 30 立方米按 6 元。 阶梯计价三个关键点： 1.按年用水量分三档，不是按月 2. 三档上限分别是 180m³ 和 240 m³ 3. 超出部分才按高价算，不是全部按高价。 新知讲授 探究点1 生活中的阶梯计价问题 （1）设某户居民的年用水量为 t m3（t 是正整数）.请你列表说明，当 t 在不同范围内取值时，如何计费（用含t的代数式表示）. 讨论 ►当一年用水量小于或等于180 m3时， 属于第一级阶梯 即当 t ≤ 180 时，按4.5元/ m3计算 应缴水费： 4.5t 元； 第一阶梯满额时水费： 180×4.5=810（元） 收费方式 年用水量/m3 费用/（元/m3） 第一阶梯 0～180 4.5 第二阶梯 181～240 6 第三阶梯 240以上 8 问题分析 新知讲授 探究点1 生活中的阶梯计价问题 （1）设某户居民的年用水量为 t m3（t 是正整数）.请你列表说明，当 t 在不同范围内取值时，如何计费（用含t的代数式表示）. 讨论 ►当一年用水量小于或等于240 m3时，属于第二阶梯 即当 t ≤ 240 时，因为 t = 180+（t-180） 计费按两个档位计算，第一档位满额，即： 180 m3按4.5元/ m3计算， 超过部分（ t-180 ） m3按6元/ m3计算 所以应缴水费： 180×4.5 + (t -180)×6 = (6t - 270)元 收费方式 年用水量/m3 费用/（元/m3） 第一阶梯 0～180 4.5 第二阶梯 181～240 6 第三阶梯 240以上 8 第二阶梯满额时水费： 180×4.5+60×6 =810+360 =1170（元） 问题分析 新知讲授 探究点1 生活中的阶梯计价问题 （1）设某户居民的年用水量为 t m3（t 是正整数）.请你列表说明，当 t 在不同范围内取值时，如何计费（用含t的代数式表示）. 讨论 ►当一年用水量大于240 m3时， 即当 t ＞ 240 时，因为 t = 180+60+（t-240） 计费按三档位计算，第一档位和第二档位按满额计算 所以其中180 m3按4.5元/ m3计算，60m3按6元/ m3计算， 超过240部分的（t-240）m3按8元/ m3计算 所以应缴水费： 180×4.5 + (240-180)×6 + (t -240)×8 = (8t - 750) 元 收费方式 年用水量/m3 费用/（元/m3） 第一阶梯 0～180 4.5 第二阶梯 181～240 6 第三阶梯 240以上 8 问题分析 新知讲授 探究点1 生活中的阶梯计价问题 （1）设某户居民的年用水量为 t m3（t 是正整数）.请你列表说明，当 t 在不同范围内取值时，如何计费（用含t的代数式表示）. 收费方式 年用水量/m3 费用/（元/m3） 计费（年用水量为tm3，t为正整数） 第一阶梯 0～180 4.5   第二阶梯 181～240 6   第三阶梯 240以上 8 4.5t元 810+6（t-180）=(6t - 270)元 1170+8（t-240）=(8t - 750) 元 讨论 每一阶梯的水费 = 上一个阶梯的满额水费 + 超出本档下限部分水量 × 本档单价 新知讲授 探究点1 生活中的阶梯计价问题 （2）若某户居民一年的水费为930元，这户居民的年用水量是多少立方米？（列方程解应用题） 解：因为4.5×180＝810（元）， 4.5×180＋（240－180）×6＝1170（元）， 810＜930＜1170， 所以年用水量的计费属于第二阶梯. 设这户居民的年用水量为xm3， 根据题意得： 180×4.5＋（x－180）×6＝930， 解得x＝200. 答：这户居民的年用水量为200m3. 思考 归纳小结： 解决阶梯计价问题，关键要明确各阶梯的范围和收费标准，根据费用判断所在阶梯，然后依据等量关系列出一元一次方程求解. 新知讲授 探究点1 生活中的阶梯计价问题 打车方式 出租车 3千米以内8元；超过3千米的部分2.4元/千米 滴滴快车 路程：1.4元/千米；时间：0.6元/分钟 说明 打车的平均车速40千米/时 例1．下表是某市居民出行方式以及收费标准：（不足1千米按1千米算）假设乘坐8千米，耗时：8÷40×60＝12分钟；出租车收费：8＋（8－3）×2.4＝20元；滴滴快车收费：8×1.4＋12×0.6＝18.4元．为了提升市场竞争力，出租车公司推出行使里程超过10千米立减4.8元活动．小聪乘坐出租车从甲地到达乙地支付车费22.4元，若改乘滴滴快车从甲地到乙地，则需支付　 　元． 解：设此次的路程为x千米， ①假设此次的路程没有超过10千米， 则 8＋2.4（x－3）＝22.4 ， 解得x=9， 则改乘滴滴快车从甲地到乙地， 需要支付 9×1.4+（9÷40×60）×0.6=20.7元； 20.7或25.3 ②假设此次的路程超过10千米，则 8＋2.4（x－3）-4.8＝22.4 ，解得x=11， 则改乘滴滴快车从甲地到乙地，需要支付 11×1.4+（11÷40×60）×0.6=25.3元； 综上， 若改乘滴滴快车从甲地到乙地， 则需支付20.7或25.3元 新知讲授 探究点2 木杆挂重物问题 （1）在木杆中间处栓绳，将木杆吊起来并使左右平衡，吊绳处为木杆的中点. 木杆长的一半 实验与探究 用一根质地均匀的木杆和一些等重的小物体，做下列实验 如图① 中点 为什么从中间吊起来，木杆就能保持水平？ 因为木杆质地均匀，左右两边一样重，而且两边到支点的距离也一样远。 实验与探究 用一根质地均匀的木杆和一些等重的小物体，做下列实验 新知讲授 探究点2 木杆挂重物问题 （2）在木杆两端各悬挂一重物，看左右是否保持平衡. 结论：两边各挂1个重物，木杆仍然保持水平平衡。 两边重物一样重，且到支点的距离相等，所以正好平衡。 中点 实验与探究 用一根质地均匀的木杆和一些等重的小物体，做下列实验 新知讲授 （3）在木杆左端小物体下加挂一重物，然后把这两个重物一起向右移动，直至左右平衡，记录此时支点到木杆左右两边挂重物的距离. 探究点2 木杆挂重物问题 中点 木杆长的 发现：左边2个重物，要整体向支点方向移动，木杆才能重新平衡。 重物越多的一边，挂的位置要离支点越近；重物越少的一边，挂得越远。 新知讲授 探究点2 木杆挂重物问题 （4）在木杆左边继续加挂重物 实验与探究 用一根质地均匀的木杆和一些等重的小物体，做下列实验 中点 左边重物数量从2个变成3个，平衡时的x也跟着变了 ——重物越多，x越小。 到中点的距离是木棍长的 x 新知讲授 探究点2 木杆挂重物问题 木杆左边挂重物个数 支点到木杆左边挂重物的距离 木杆右端挂重物个数 支点到木杆右端挂重物的距离 2 1 木杆的 3 1 木杆的 4 1 木杆的 … … 1 木杆的 n   1 木杆的 （5）在木杆左边继续加挂重物，并重复以上操作和记录如下： 实验与探究 用一根质地均匀的木杆和一些等重的小物体，做下列实验 木杆的 木杆的 木杆的 木杆的 新知讲授 探究点2 木杆挂重物问题 （6）根据记录你能发现有什么规律？能否用语言进行表述？ 根据记录能发现： 右边物块的数量与物块到支点的距离的乘积不变，均等于木杆长度的一半； 左边物块的数量与物块到支点的距离的乘积不变，均等于木杆长度的一半. 实验与探究 用一根质地均匀的木杆和一些等重的小物体，做下列实验 左边重物数 × 左边距离 = 右边重物数 × 右边距离 杠杆平衡原理 新知讲授 探究点2 木杆挂重物问题 （7）如图，在木杆右端挂一重物，支点左边挂n个重物，并使左右平衡.设木杆长为lcm，支点到木杆左边挂重物处的距离为xcm，把n，l作为已知数，列出关于x的一元一次方程. l cm x cm n个 根据发现的规律， 可得nx＝×1＝， 所以列出关于x的一元一次方程为： nx＝. 实验与探究 用一根质地均匀的木杆和一些等重的小物体，做下列实验 归纳小结：通过实验操作记录数据，发现木杆平衡时遵循杠杆平衡原理，利用这个原理，结合已知条件设未知数，就能列出相应的一元一次方程. 典例评析 例1．某公园为了吸引更多游客，推出了“个人年票”的售票方式（从购买日起，可供持票者使用一年），年票分A、B二类：A类年票每张49元，持票者每次进入公园时，再购买3元的门票；B类年票每张64元，持票者每次进入公园时，再购买2元的门票． （1）一游客计划在一年中用100元游该公园（只含年票和每次进入公园的门票），请你通过计算比较购买A、B两种年票方式中，进入该公园次数较多的购票方式； （2）求一年内游客进入该公园多少次，购买A类、B类年票花钱一样多？ 解:(1)设用100元购买A类年票可进入该公园的次数为x次, 购买B类年票可进入该公园的次数为y次， 49 +3x= 100 得出：x=17. 64+2y=100 得出：y=18. 因为y>x，所以,进入该公园次数较多的是B类年票。 答:进入该公园次数较多的是B类年票; 典例评析 例1．某公园为了吸引更多游客，推出了“个人年票”的售票方式（从购买日起，可供持票者使用一年），年票分A、B二类：A类年票每张49元，持票者每次进入公园时，再购买3元的门票；B类年票每张64元，持票者每次进入公园时，再购买2元的门票． （1）一游客计划在一年中用100元游该公园（只含年票和每次进入公园的门票），请你通过计算比较购买A、B两种年票方式中，进入该公园次数较多的购票方式； （2）求一年内游客进入该公园多少次，购买A类、B类年票花钱一样多？ (2)解：设进入该公园z次,购买A类、B类年票花钱一样多. 根据题意可得： 49+3z=64+2z. 解得：z=15. 答:进入该公园15次,购买A类、B类年票花钱一样多. 例2.（2025•深圳）下表为深圳市居民每月用水收费标准，（单位：元/m3）． 用水量 单价 x≤22 a 剩余部分 a+1.1 （1）某用户用水10立方米，共交水费23元，求a的值； （2）在（1）的前提下，该用户5月份交水费71元，请问该用户用水多少立方米？ 解：（1）由题意可得： 10a＝23， 解得：a＝2.3， 答：a的值为2.3； 典例评析 （2）设用户用水量为x立方米， ∵用水22立方米时，水费为： 22×2.3＝50.6＜71， ∴x＞22， ∴22×2.3+（x﹣22）×（2.3+1.1）＝71， 解得：x＝28， 答：该用户用水28立方米． 新知巩固 1. 列方程表示下列语句中的相等关系： （1）某地 2023 年 9 月 10 日的温差是 4℃，这天最高气温是 t ℃，最低气温是t ℃； t - t = 4 （2）某校七年级学生人数为 n，其中男生占 45%，女生有 110 人； (1 - 45%)n = 110 （3）一种商品每件进价为 a 元，售价为进价的 1.1 倍，现每件的售价又降低 10 元，现售价为每件 210 元； 1.1a - 10 = 210 （4）在 5 天中，第一小组共植树 60 棵，第二小组共植树 x(x < 60) 棵，平均每天第一小组比第二小组多植 2 棵树. 复习题 课本p146页 5 检测反馈 1．宁宁同学拿了一个天平，测量饼干与糖果的质量（每块饼干的质量都相同，每颗糖果的质量都相同）．第一次：左盘放两块饼干，右盘放三颗糖果，结果天平平衡；第二次，左盘放10克砝码，右盘放一块饼干和一颗糖果，结果天平平衡；第三次：左盘放一颗糖果，右盘放一块饼干，下列哪一种方法可使天平再度平衡（ ） A．在糖果的称盘上加2克砝码 B．在饼干的称盘上加2克砝码 C．在糖果的称盘上加5克砝码 D．在饼干的称盘上加5克砝码 A 2. 如图，处于平衡状态的天平中，若每个A的质量为20 g，则每个B的质量为(　　) A. 5 g B. 10 g C. 15 g D. 20 g B 检测反馈 3．国家规定个人发表文章、出版图书所得稿费的纳税计算方法是： ①稿费不高于800元的不纳税； ②稿费高于800元，而低于4000元的应缴纳超过800元的那部分稿费的14%的税； ③稿费为4000元或高于4000元的应缴纳全部稿费的11%的税，试根据上述纳税的计算方法作答： （1）如果王老师获得的稿费为2400元，那么应纳税________元，如果王老师获得的稿费为4000元，那么应纳税________元。  （2）如果王老师获稿费后纳税420元，求这笔稿费是多少元？ 224 解：（1）计算①稿费 2400 元： ，适用第②条 %=224元 ②稿费 4000 元：适用第③条 %=440（元） 检测反馈 2．国家规定个人发表文章、出版图书所得稿费的纳税计算方法是： ①稿费不高于800元的不纳税； ②稿费高于800元，而低于4000元的应缴纳超过800元的那部分稿费的14%的税； ③稿费为4000元或高于4000元的应缴纳全部稿费的11%的税，试根据上述纳税的计算方法作答： （1）如果王老师获得的稿费为2400元，那么应纳税________元，如果王老师获得的稿费为4000元，那么应纳税________元。  （2）如果王老师获稿费后纳税420元，求这笔稿费是多少元？ 224 440 （2）稿费 4000 元时交税 440 元，， 说明稿费小于 4000 元，适用第②种纳税方式。 设这笔稿费为元（） =420 检验： ，符合条件。 答：这笔稿费是元。 检测反馈 4.公司生产一种产品,每件成本价是400元,销售价为510元,本季度销售了m件,为进一步扩大市场,该企业决定在降低生产成本,经过市场调研,预测下一季度这种商品每件销售价降低4%,销售量将提高10%,要使销售利润（销售利润=销售价-成本价）保持不变,该商品每件的成本应降低多少元? 解:设该产品每件的成本价应降低元，则根据题意得   [510× (1-4%) - (400- x) ] •m (1+10%) = (510-400)•m,   解这个方程得x=10.4.   答:该产品每件的成本价应降低10.4元. 检测反馈 5.甲、乙两件服装的成本共500元，商店老板为获取利润，决定将甲服装按50%的利润定价，乙件服装按40%的利润定价，在实际销售中，应顾客要求，两件服装均按九折出售，这样商店共获利157元，求甲、乙两件服装的成本各是多少元？ 解：设甲服装的成本为x元，则乙服装的成本为(500-x)元， 根据题意得: 90%·(1+50%)x+90%·(1+40%)(500-x)-500=157 1.35x+630-1.26x-500=157 0.09x=27 x=300 则乙的成本价是:500-300=200(元).   答:甲服装的成本为300元、乙服装的成本为200元 6.下表是两种手机套餐的计费方式： 如果某人每月的主叫通话时间超过50分钟，但不超过220分钟，要选择省钱的套餐，应如何选择？ 检测反馈 套餐月费/元 套餐主叫限定时间/分钟 主叫超过套餐收费（元/分钟） 被叫 套餐一 66 50 0.2 免费 套餐二 96 240 0.15 免费 解:设此人每月的主叫通话时间为x分钟，则按套餐一的计费为66+0.2(x一50)(元), 按套餐二的计费为96元， 当按套餐一与按套餐二计费相等时,得：：66 +0.2(x-50)=96 解得x=200. 当主叫通话时间等于200分钟时,按套餐一与按套餐二计费相等， 经验证,当主叫通话时间大于50分钟且小于200分钟时，按套餐一的计费少于按套餐二的计费; 当主叫通话时间大于200分钟且小于或等于220分钟时，按套餐一的计费多于按套餐二的计费; 综上所述，当主叫通话时间大于50分钟且小于200分钟时，选择套餐一省钱; 当主叫通话时间等于200分钟时，选择套餐一与套餐二均可; 当主叫通话时间大于200分钟且小于或等于220分钟时，选择套餐二省钱. 拓展提升 1.（2025春•新都区校级月考）某社区超市第一次用6000元购进甲、乙两种商品，其中乙商品的件数比甲商品件数的倍多15件，甲、乙两种商品的进价和售价如下表：（注：获利＝售价﹣进价）   甲 乙 进价（元/件） 22 30 售价（元/件） 29 40 （1）该超市购进甲、乙两种商品各多少件？ （2）该超市将第一次购进的甲、乙两种商品全部卖完后一共可获得多少利润？ （3）该超市第二次以第一次的进价又购进甲、乙两种商品，其中甲商品的件数不变，乙商品的件数是第一次的3倍；甲商品按原价销售，乙商品打折销售，第二次两种商品都销售完以后获得的总利润比第一次获得的总利润多180元，求第二次乙商品是按原价打几折销售？ 拓展提升 1.（2025春•新都区校级月考）某社区超市第一次用6000元购进甲、乙两种商品，其中乙商品的件数比甲商品件数的倍多15件，甲、乙两种商品的进价和售价如下表：（注：获利＝售价﹣进价）   甲 乙 进价（元/件） 22 30 售价（元/件） 29 40 （1）该超市购进甲、乙两种商品各多少件？ 解：（1）设第一次购进甲种商品x件， 则购进乙种商品（x+15）件， 根据题意得：22x+30（x+15）＝6000， 解得：x＝150， ∴x+15＝90． 答：该超市第一次购进甲种商品150件、乙种商品90件． 拓展提升 1.（2025春•新都区校级月考）某社区超市第一次用6000元购进甲、乙两种商品，其中乙商品的件数比甲商品件数的倍多15件，甲、乙两种商品的进价和售价如下表：（注：获利＝售价﹣进价）   甲 乙 进价（元/件） 22 30 售价（元/件） 29 40 （2）该超市将第一次购进的甲、乙两种商品全部卖完后一共可获得多少利润？ 解：（29﹣22）×150+（40﹣30）×90 ＝1950（元）． 答：该超市将第一次购进的甲、乙两种商品全部卖完后一共可获得利润1950元． 拓展提升 1.（2025春•新都区校级月考）某社区超市第一次用6000元购进甲、乙两种商品，其中乙商品的件数比甲商品件数的倍多15件，甲、乙两种商品的进价和售价如下表：（注：获利＝售价﹣进价）   甲 乙 进价（元/件） 22 30 售价（元/件） 29 40 （3）该超市第二次以第一次的进价又购进甲、乙两种商品，其中甲商品的件数不变，乙商品的件数是第一次的3倍；甲商品按原价销售，乙商品打折销售，第二次两种商品都销售完以后获得的总利润比第一次获得的总利润多180元，求第二次乙商品是按原价打几折销售？ （3）解：设第二次乙种商品是按原价打y折销售，根据题意得： （29﹣22）×150+（4030）×90×3＝1950+180， 解得：y＝8.5． 答：第二次乙商品是按原价打8.5折销售． 真题感知 1.（2024七年级上·江苏·专题练习）已知〇、△、口分别代表不同物体，用天平比较它们的质量，如图所示．根据砝码显示的质量，求〇 g，□= g． 解：设1个〇重g，1个□重g，1个△重g． 由题意可得：，，． 根据等式的基本性质2，将的两边同除以2，得， 将的两边同除以5，得， 将和代入，得， 根据等式的基本性质1，将两边同时减，得， 根据等式的基本性质2，将两边同时除以，得， 将代入，得， 〇g，□g． 邮购数量 1~99 100以上（含100） 邮寄费用 总价的10% 免费邮寄 折扇价格 不优惠 打九折 2.（2024·连云港）我市将5月21日设立为连云港市“人才日”，以最大诚意礼遇人才，让人才与城市“双向奔赴”．活动主办方分两次共邮购了200把绘有西游文化的折扇作为当天一项活动的纪念品．折扇单价为8元，其中邮费和优惠方式如下表所示： 真题感知 解：若每次购买都是100把，则200×8×0.9=1440≠1504． ∴一次购买少于100把，另一次购买多于100把． ∴设一次邮购折扇x(x<100)把，则另一次邮购折扇(200-x)把． 由题意得：8x(1+10%)+0.9×8(200-x)=1504， 解得x=40.∴200-x=200-40=160． 答：两次邮购的折扇分别是40把和160把． 若两次邮购折扇共花费1504元，求两次邮购的折扇各多少把？ 课堂小结 方法三步：第一步判断档位，第二步分段列方程，第三步回到区间检验。 水费，电费、出租车费、停车费，外表不同，内核都是同一把钥匙 规律：左边重物数 × 左边距离 = 右边重物数 × 右边距离 新知巩固 14. 一家游泳馆每年 6 月- 8 月出售夏季会员证. 每张会员证120 元，只限本人使用，凭会员证购入场券每张 15 元，不凭会员证购入场券每张 20 元. 讨论并回答下列问题: （1）在什么情况下，使用会员证与不使用会员证付一样的钱？ （2）在什么情况下，使用会员证比不使用会员证更合算？ （3）在什么情况下，不使用会员证比使用会员证更合算？ 解:（1）设去游泳馆 x 次时，购会员证与不购会员证付一样的钱. 根据题意，得 120 + 15x ＝ 20x. 解得 x＝24. 答:在去游泳馆的次数为 24 的情况下，购会员证与不购会员证付一样的钱. （2）在去游泳馆的次数多于 24 的情况下，购会员证比不购会员证更合算. （3）在去游泳馆的次数少于 24 的情况下，不购会员证比购会员证更合算. 复习题 课本p148页 5 数学使世界更清晰！ 人教版 七年级上册 $