专题03 根的判别式与公式法（10大题型）2026-2027学年苏科版九年级数学上册

**基本信息** 聚焦根的判别式与公式法，通过10类递进题型构建从概念理解到几何综合的完整训练体系，强化运算能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |求根的判别式|1典例+3变式|直接计算判别式值|概念基础，巩固Δ=b²-4ac公式应用| |判断根的情况|1典例+4变式|由Δ符号判断根的个数|深化对Δ与根关系的理解| |求参数|1典例+4变式|含参数方程根的情况讨论|结合分类讨论思想，提升推理能力| |公式法应用|5类（解方程/还原方程/错解分析等）|公式法直接应用与逆向思维|从正向求解到错误辨析，强化运算规范性| |几何综合|2类（等腰三角形/四边形）|代数方法解决几何存在性问题|体现模型意识，构建代数与几何联系|

专题03 根的判别式与公式法 题型01 求根的判别式 题型02 根据判别式判断根的情况 题型03 根据根的情况利用判别式求参数 题型04 利用公式法还原一元二次方程 题型05 用公式法解一元二次方程 题型06 用公式法解一元二次方程之错解还原问题 题型07 利用根的判别式进行证明 题型08 整数解问题 题型09 根的判别式与等腰三角形 题型10 根的判别式与四边形 ▌题型01 求根的判别式 【典例1】一元二次方程的根的判别式的值为（     ） A． B．12 C． D．8 【答案】D 【分析】对于一元二次方程，根的判别式． 【详解】解：∵一元二次方程为， ∴，，， ∴． 【变式1-1】关于x的一元二次方程中，根的判别式的值为（     ） A．8 B．12 C． D． 【答案】C 【分析】根据一元二次方程根的判别式公式计算即可得出结果． 【详解】解：在方程中，，，， 故． 【变式1-2】一元二次方程的判别式的值为______． 【答案】16 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根据求解即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴． 故答案为：16． 【变式1-3】关于x的一元二次方程根的判别式的值是______． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，难度较低，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题关键．将a、b、c的值代入根的判别式即可解答． 【详解】∵ ∴，， ∴． 故答案为：． ▌题型02 根据判别式判断根的情况 【典例1】关于x的一元二次方程的根的情况是（     ） A．没有实数根 B．有两个不相等的实数根 C．有两个相等的实数根 D．无法确定 【答案】A 【分析】通过计算判别式的值，判断一元二次方程的根的情况即可． 【详解】解：∵， ∴，，， ∴， ∴方程没有实数根． 【变式1-1】一元二次方程的根的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 【答案】D 【分析】利用一元二次方程根的判别式判断即可． 【详解】解：， 该方程没有实数根． 【变式1-2】一元二次方程的根的情况为（     ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 【答案】D 【分析】先求一元二次方程的判别式，由判别式与0的大小关系来判断方程根的情况即可． 【详解】解：∵ ， ∴ 方程没有实数根． 【变式1-3】下列一元二次方程中，没有实数根的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据一元二次方程无实数根的条件，计算各选项的根的判别式判断． 【详解】解：A选项，方程中，，有实数根； B选项，方程中，，有实数根； C选项，将方程整理为，，有实数根； D选项，方程中，，没有实数根． ▌题型03 根据根的情况利用判别式求参数 【典例1】已知关于x的方程有两个不相等的实数根，则k的值可能是（     ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】A 【分析】由方程有两个不相等的实数根，利用根的判别式构建关于的不等式求解． 【详解】解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得， 选项中仅A的满足． 【变式1-1】关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（     ） A． B．且 C．且 D．且 【答案】C 【分析】根据一元二次方程二次项系数不为0和根的判别式与根的情况的关系，即可求解． 【详解】解：∵方程是一元二次方程， ∴， ∵方程有实数根， ∴， ∴， 解得， 综上，的取值范围是且． 【变式1-2】关于x的方程有实数根，则k的值可以是下列哪个数（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分和两种情况讨论，结合方程有实数根的条件确定的取值范围，再对照选项判断． 【详解】解：当时，方程为，解得，故方程有实数根，符合题意； 当时，∵ 方程有实数根， ∴，即，解得且， 综上，的取值范围是，故选项A符合题意． 【变式1-3】下列说法：①关于x的一元二次方程无实数解；②无论m为何值，关于x的一元二次方程都有两个不相等的实数根；③若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是且．其中正确的有（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】计算各一元二次方程的判别式，根据判别式的符号判断根的情况，逐一验证三个说法的正误即可． 【详解】解：①对于方程，，当时，，方程有两个相等的实数根，即有实数解，故①错误； ②对于方程，， ∵， ∴， ∴无论为何值，方程都有两个不相等的实数根，故②正确； ③对于方程，由方程有两个不相等的实数根得，即，解得， 当时，方程为一元二次方程且有两个不相等的实数根，故错误，③错误； 综上，正确的说法有1个． ▌题型04 利用公式法还原一元二次方程 【典例1】在用求根公式求一元二次方程的根时，琪琪正确代入了、、得到，则她求解的一元二次方程是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵一元二次方程求根公式为，且代入后得， ∴，解得， ，解得， 对比根号内的项，得 ， 将代入，得， ∴原方程为． 【变式1-1】是下列哪个一元二次方程的根（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由，得． 两边平方得． 展开整理得． 化简得． 【变式1-2】在用求根公式求某一元二次方程的根时，得到x，则该一元二次方程可能为（　　） A．2x2+5x﹣1＝0 B．2x2﹣5x﹣1＝0 C．2x2﹣5x+1＝0 D．5x2﹣2x﹣1＝0 【答案】B 【分析】通过求根公式，分析出a，b，c． 【解答】解：已知， 由2a＝2×2，可得a＝2， 由﹣b＝5，可得b＝﹣5， 由4ac＝4×2×（﹣1），可得c＝﹣1， 将a＝2，b＝﹣5，c＝﹣1代入一元二次方程ax2+bx+c＝0， 得到2x2﹣5x﹣1＝0，对应选项B． 【变式1-3】已知关于x的一元二次方程的两个实数根分别是，，那么______，______，______． 【答案】 1 3 【分析】题目给出的根符合一元二次方程求根公式的形式，对比对应位置系数即可求解． 【详解】解：一元二次方程的求根公式为， 题目给出的两根可写为， 将两式对应位置对比，可得 ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，代入得， ∴． ▌题型05 用公式法解一元二次方程 【典例1】用公式法解方程   【答案】， 【分析】先计算判别式的值，然后利用求根公式解方程． 【详解】解：， ∵，，， ∴， ， 【变式1-1】用公式法解下列方程： (1) (2) 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）用公式法解一元二次方程即可； （2）用公式法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：即， ∴， ， ∴，. （2）解：， ∴， ， ∴，． 【变式1-2】用公式法解下列方程． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：， ， ∴, ∴， ∴， 解得：； （2）解： ， ∴， ∴， ∴， 解得：． 【变式1-3】用公式法解下列方程． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：， ， ， ， ； （2）解：方程整理得：， ， ， ， ； （3）解：， ， ， ． ▌题型06 用公式法解一元二次方程之错解还原问题 【典例1】解一元二次方程时，两位同学的解法如下： 嘉嘉同学 或 琪琪同学 原方程无实数根 (1)你认为她们的解法是否正确？直接写出判断结果：嘉嘉同学的解法______，琪琪同学的解法______（填“正确”或“错误”）； (2)请选择合适的方法解一元二次方程：． 【答案】(1)错误；错误． (2)． 【分析】（1）由乘积为5的两个因数有无数种情况从而可判断嘉嘉错误，通过移项分析发现琪琪对的分析是错的； （2）移项后用因式分解法求解即可． 【详解】（1）解：∵乘积为5的两个因数有无数种情况， ∴嘉嘉由得到或是错误的； 因化为一般式是， ∴，，， ∴琪琪同学的解法错误； （2）解： 移项得：， 提取公因式得：， ∴或， ． 【变式1-1】（1）解方程：． （2）小明在解方程时出现了错误，其解答过程如下： 解：∵，，，    第一步 ∴，    第二步 ∴，        第三步 ∴，．    第四步 ①小明的解答过程是从第______步开始出错的，其错误原因是__________________． ②写出此题正确的解答过程． 【答案】（1），； （2）①一，原方程没有化成一般形式； ②∵，，， ∴， ∴， ∴，． 【分析】（1）移项，再直接开平方即可； （2）①要在一元二次方程的一般形式下确定a，b，c的值时，由此可确定第一步是错的；②根据公式法解一元二次方程的步骤解答即可． 【详解】解：（1）方程两边同乘，得：， 开方，得：， ∴，； （2）①根据解题步骤可知第一步是错的，原因是原方程没有化成一般形式． 故答案为：一，原方程没有化成一般形式； ②略 【变式1-2】在学习一元二次方程的解法中我们发现，用配方法解一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），可以得到一元二次方程的求根公式． （1）一般地，对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），当b2﹣4ac≥0时，它的求根公式是x＝　　 ，我们也把用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法； （2）小明在用公式法解方程x2﹣6x＝5时出现了错误，解答过程如表：请问，小明的解答过程是从第　一　 步开始出错的，其错误原因是　未将所给方程化为一般式　 ． 解：∵a＝1，b＝﹣6，c＝5（第一步） ∴b2﹣4ac＝（﹣6）2﹣4×1×5＝16（第二步） ∴（第三步） ∴x1＝5，x2＝1（第四步） （3）请你用自己学过的方法写出此题正确的解答过程． 【分析】（1）根据求根公式完成填空即可； （2）找出所给求解过程的错误步骤即可； （3）利用配方法对所给一元二次方程进行求解即可． 【解答】解：（1）由题知， 一般地，对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）， 当b2﹣4ac≥0时，它的求根公式是x． 故答案为：； （2）观察所给解题过程可知， 小明的解答过程是从第一步开始出错的，其错误原因是未将所给方程化为一般式． 故答案为：一，未将所给方程化为一般式； （3）x2﹣6x＝5， x2﹣6x+9＝5+9， （x﹣3）2＝14， 则x﹣3， 所以． 【变式1-3】习题课上，数学老师展示了一道习题及其错误的解答过程 用公式法解方程：3x2﹣5x＝2 解：将方程化为一般形式，得3x2﹣5x+2＝0，第一步， a＝3，b＝5，c＝2，第二步； ∵Δ＝b2﹣4ac＝52﹣4×3×2＝1＞0，第三步； ∵x第四步， 即x1，x2＝1第五步． （1）开始出现错误的步骤是第　一　 步； （2）请给出此题正确的解答过程． 【分析】（1）根据公式法解一元二次方程的步骤解答即可； （2）根据公式法解一元二次方程的步骤解答即可． 【解答】解：（1）将方程3x2﹣5x＝2化为一般形式得： 3x2﹣5x﹣2＝0， ∴第一步开始出现错误． 故答案为：一； （2）解方程化为一般形式可得a＝3，b＝﹣5，c＝﹣2， ∵Δ＝b2﹣4ac＝（﹣5）2﹣4×3×（﹣2）＝49＞0， ∴， 即，x2＝2． ▌题型07 利用根的判别式进行证明 【典例1】已知关于的方程． (1)求证：对于任意实数m，方程总有两个不相等的实数根； (2)若2是该方程的一个根，求代数式的值． 【答案】(1)证明：∵， ∴对于任意实数m，方程总有两个不相等的实数根． (2)30 【分析】（1）根据一元二次方程的根的判别式，当时，方程有两个不相等的实数根，据此可计算判别式进行求证； （2）将代入原方程，整理得到关于m的等式，计算化简后，整体代入求代数式的值． 【详解】（1）略 （2）解：将代入方程中， 得，即； ∴． 【变式1-1】已知关于x的方程 (1)求证：方程总有两个实数根； (2)若方程有一个根大于2，求a的取值范围． 【答案】(1) 证明：在方程中， ， ∵ 无论取何实数，，即， ∴ 方程总有两个实数根； (2) 【分析】（1）计算方程的判别式，证明其恒非负即可得证； （2）先求解方程的两根，结合一根大于2的条件列不等式求的范围． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∴或， 解得或， ∵原方程有一个根大于2， ∴， ∴． 【变式1-2】已知关于x的一元二次方程． (1)若该方程的一个根是，求m的值及方程的另一个根． (2)求证：无论m取何值，该方程总有两个实数根． 【答案】(1)， (2) 证明： ， 无论m取何值，该方程总有两个实数根． 【分析】本题主要考查一元二次方程的解，解一元二次方程，一元二次方程根的判别式． （1）先将代入，求出m的值，再求方程即可； （2）利用一元二次方程根的判别式证明即可． 【详解】（1）解： 是方程的一个根， ， 解得． 则原方程为． 解得，． 即方程的另一个根为； （2）略 【变式1-3】已知关于 的一元二次方程：． (1)求证：方程总有两个实根； (2)若是整数，方程的根也是整数，求 的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）计算，即可得出结论； （2）公式法解一元二次方程，得出，根据题意，即可求解． 【详解】（1）解：依题意，， 方程总有两个实根． （2）， ， 均为整数， ． ▌题型08 整数解问题 【典例1】已知关于的一元二次方程． (1)求证：方程总有两个实数根； (2)求出方程的根； (3)若方程的两个根都是正整数，求整数的值． 【答案】(1) 证明：，，， ∴ ， ∴ 方程总有两个实数根 (2)， (3)或． 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，根的判别式以及根据一元二次次方程根的情况求出参数等知识． （1）先求出，再根据根的判别式得出答案即可； （2）用因式分解法解一元二次方程即可． （3）利用一元二次次方程根的情况求出参数即可． 【详解】（1）略． （2） ， ∴或， ∴， （3）由（2）知，， ∵m为整数，方程的两个根都是正整数， ∴必为正整数， ∴或2， ∴或． 【变式1-1】已知关于x的方程． (1)求证：方程总有实数根； (2)若方程有两个不相等的正整数根，求整数m的值． 【答案】(1)见解析 (2)或 【分析】（1）分和两种情况讨论，时方程为一元一次方程，可直接得到有实数根；时，计算一元二次方程的判别式，证明判别式恒非负，即可证明方程总有实数根． （2）先求出方程的两个根，再根据"两个不相等的正整数根"和为整数的条件，筛选得到符合要求的的值． 【详解】（1）证明：分两种情况讨论：当时，原方程化为， 解得，有实数根； 当时，原方程是一元二次方程， ， 任意实数的平方非负， ，即，方程总有实数根； 综上，不论为何值，方程总有实数根． （2）解： 方程有两个不相等的正整数根， ，且，即，得． 将方程因式分解得， 解得，． 两个根都是不相等的正整数，是整数， 为整数，且为正整数， 因此是的约数，可能取值为． 逐一验证：已排除，不符合； 时，，不是正整数，舍去； 时，，是正整数，且，符合条件； 时，，是正整数，且，符合条件； 因此整数的值为或． 【变式1-2】已知关于x的一元二次方程 (1)求证：无论a为任何非零实数，方程总有两个实数根； (2)当a取何整数时，关于x的方程的两个实数根均为负整数． 【答案】(1) 证明：∵ ∴无论a为任何非零实数，方程总有两个实数根； (2) 【分析】本题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：⇔方程有两个不相等的实数根；⇔方程有两个相等的实数根；⇔方程没有实数根． （1）先根据题意求出△的值，再根据一元二次方程根的情况与判别式△的关系即可得出答案； （2）先利用因式分解法求出方程的两根为，x2，再根据两个实数根均为负整数，得出必须为正整数，即可得出结果． 【详解】（1）略． （2）解：∵， ∴， ∴，或， 解得，． 要使两个实数根均为负整数，则必须为正整数， ∴整数． 【变式1-3】已知关于x的一元二次方程． (1)求证：不论m为何值，方程总有两个实数根． (2)若方程有一个根是负整数，求正整数m的值； (3)若等腰三角形的其中一边为4，另两边是这个方程的两根，求m的值． 【答案】(1) 证明：∵ ， ∴方程总有两个实数根； (2)1或2或3 (3)8 【分析】本题考查了一元二次方程及根的判别式、求根公式，等腰三角形定义及三角形三边关系． （1）先计算根的判别式的值得到，然后根据根的判别式的意义得到结论； （2）利用求根公式得到，则，从而得到正整数m的值． （2）分4为腰与4为底两种情况，求出方程的解，再验证是否能构成三角形，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：， ∴， ∵方程有一个根是负整数， ∴， ∴正整数m的值为1或2或3． （3）解：由（2）知，， ①当4为底边时，， ∵， ∴等腰三角形不存在，舍去； ②当4为腰时，，即， ∵， ∴等腰三角形存在， 综上所述，m的值为8． ▌题型09 根的判别式与等腰三角形 【典例1】已知关于x的一元二次方程． (1)求证：无论m为何值，方程总有两个实数根； (2)若的两边、的长分别是此方程的两个实数根，第三边长为，当是等腰三角形时，求的值． 【答案】(1)证明：∵， ∴无论m为何值，方程总有两个实数根； (2) 【分析】（1）计算方程根的判别式，证明判别式恒大于等于0即可证明结论； （2）先因式分解求出方程的两个根，再分和两种情况讨论，结合三角形三边关系舍去不合题意的解，得到m的值． 【详解】（1）略 （2）解：对于一元二次方程， 因式分解，得， 所以或， 解得或， 即，的长分别为，1． 分两种情况讨论： ①若，则，解得， 此时三角形的三边长分别为2，2，1，满足三角形三边关系，符合题意． ②若，则，解得， 此时三角形的三边长分别为1，1，2， 由于，不满足三角形三边关系，不能构成三角形，舍去． 综上所述，． 【变式1-1】已知关于的方程． (1)求证：无论取何值，方程一定有两个实数根； (2)若等腰的边长，另两边长，恰好是这个方程的根，求的周长． 【答案】(1)证明：， ∴无论取何实数，该方程总有两个实数根； (2)的周长为或 【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式证明即可； （2）根据等腰三角形的定义，分两种情况讨论：当时；当或时，分别求出的值，进而得到另两边边长，再根据三角形的三边关系判断即可． 【详解】（1）略 （2）解：①当时，则，即， ， ． ，即， ∴三边为2，2，3，满足， 的周长； ②解：当或者时，得， 解得． ∴方程为，解得另一根为． ∴三边为2，3，3，满足， 的周长； 综上所述，的周长为或． 【变式1-2】已知关于x的一元二次方程． (1)求证：无论m取何值，方程恒有实数根； (2)若以方程两根为等腰三角形的两边，且其中一个根为4，求此三角形的周长． 【答案】(1) 证明：根据题意可得： ， ∴无论m取何值，方程总有实数根． (2)三角形的周长为9 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，一元二次方程根的判别式，一元二次方程解的定义，等腰三角形的定义，构成三角形的条件： （1）利用判别式求解即可； （2）把代入原方程求出m的值，进而解方程求出方程的两个角，再根据等腰三角形的定义和构成三角形的条件求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：将代入，得， 解得 ∴原方程为， 解得， ∴此三角形的三边为：①4，4，1，此时三角形的周长为； ②1，1，4，此时三边不符合三角形三边关系，舍去． 综上所述，此三角形的周长为9． 【变式1-3】已知关于的方程． (1)求证：无论取何值，这个方程总有实数根； (2)若等腰的一边长，另外两边，恰好是这个方程的两个根，求的周长． 【答案】(1) 证明：在方程中， ，，， ， ∵ 无论取何值，， ∴ ， ∴ 无论取何值，这个方程总有实数根； (2)的周长为． 【分析】（1）计算并配方方程的判别式，利用平方的非负性证明； （2）分为腰长、底边长两种情况求解方程的根，结合三角形三边关系验证后计算周长． 【详解】（1）略 （2）解：分两种情况讨论： ① 当为腰长时，是方程的一个根， 将代入方程得： 解得， 将代入原方程，得， 解得，， 三角形三边长为，，，满足三边关系， 周长为； ② 当为底边长时，，即方程有两个相等的实数根， ∴，即， 解得， 此时方程为， 解得， 三角形三边长为，，， ∵ ，不满足三边关系，舍去， 综上所述，的周长为． ▌题型10 根的判别式与四边形 【典例1】（1）解方程： （2）已知：的两邻边，的长是关于x的方程的两个实数根． ①当m为何值时，是菱形？ ②若的长为3，求的周长． 【答案】（1）， （2）①；②18 【分析】本题考查一元二次方程的解法和根的判别式，正确掌握一元二次方程的解法和根的判别式是解题的关键． （1）利用配方法即可求解； （2）①根据菱形的性质“邻边相等”，可得方程有两个相等的实数根，即，即可求解；②根据题意，可得是方程的一个实数根，从而求出m的值，再通过解方程求出，即可求出的周长． 【详解】（1） 解： 或， ，； （2）解：① 是菱形， ，即方程有两个相等的实数根， ，即，解得，（不符合题意，舍去）， 当时，是菱形； ②由题可得，是方程的一个实数根， ，解得， 则原方程为，解得，， ， 的周长为：． 【变式1-1】已知：的两边、的长是关于的方程的两个实数根． (1)若长为2，则长是多少？ (2)当为何值时，四边形是菱形？求出此时菱形的周长． 【答案】(1)1 (2)，周长为4 【分析】（1）先把代入得，可得，再代入方程解方程即可； （2）由菱形的性质可得方程有两个相等的实数根，再利用根的判别式建立方程求解a，可得方程，再解方程可得菱形的边长，从而可得答案． 【详解】（1）解：把代入得， 解得：； 方程为， 解得：，； ∴． （2）∵在菱形中， ∴， ∴方程有两个相等的根 ∴，得 方程的解为； ∴菱形周长为4． 【变式1-2】已知平行四边形的两边、的长是关于x的方程的两个实数根． (1)当m为何值时，四边形是菱形？ (2)若，求m的值． 【答案】(1)当时，四边形为菱形 (2)m的值为1 【分析】（1）由邻边相等的平行四边形为菱形，得出根的判别式等于0，求出m的值即可； （2）根据根与系数的关系结合题意列出一元二次方程，解之取满足题意的值即可． 【详解】（1）解：∵四边形为平行四边形， ∴当时，平行四边形ABCD是菱形， ∵、的长是关于x的方程的两个实数根， ，即， 解得：， ∴当时，四边形ABCD为菱形； （2）解：∵、的长是关于x的方程的两个实数根， ，， ∵， ，即， 整理得： 解得：，， ， ∴不合题意， ∴m的值为1． 【变式1-3】已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+k＝0． （1）求证：该一元二次方程总有两个不相等的实数根； （2）若该方程的两个根x1，x2是一个矩形的一边长和对角线的长，且矩形的另一边长为3，试求k的值． 【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，可得出Δ＝1＞0进而可证出方程有两个不相等的实数根； （2）利用因式分解法可求出x1，x2，利用勾股定理可得出关于k的一元一次方程或一元二次方程解之即可得出k值． 【解答】（1）证明：在x2﹣（2k+1）x+k2+k＝0中， a＝1，b＝﹣（2k+1），c＝k2+k， ∴Δ＝[﹣（2k+1）]2﹣4×（k2+k）＝1＞0， ∴方程有两个不相等的实数根； （2）解：∵x2﹣（2k+1）x+k2+k＝0，即（x﹣k）[x﹣（k+1）]＝0， 解得x1＝k，x2＝k+1， ∵k+1＞k， ∴x＝k+1为对角线， 根据勾股定理得（k+1）2＝k2+32， 解得k＝4， 即k的值为4． 1 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 根的判别式与公式法 题型01 求根的判别式 题型02 根据判别式判断根的情况 题型03 根据根的情况利用判别式求参数 题型04 利用公式法还原一元二次方程 题型05 用公式法解一元二次方程 题型06 用公式法解一元二次方程之错解还原问题 题型07 利用根的判别式进行证明 题型08 整数解问题 题型09 根的判别式与等腰三角形 题型10 根的判别式与四边形 ▌题型01 求根的判别式 【典例1】一元二次方程的根的判别式的值为（     ） A． B．12 C． D．8 【变式1-1】关于x的一元二次方程中，根的判别式的值为（     ） A．8 B．12 C． D． 【变式1-2】一元二次方程的判别式的值为______． 【变式1-3】关于x的一元二次方程根的判别式的值是______． ▌题型02 根据判别式判断根的情况 【典例1】关于x的一元二次方程的根的情况是（     ） A．没有实数根 B．有两个不相等的实数根 C．有两个相等的实数根 D．无法确定 【变式1-1】一元二次方程的根的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 【变式1-2】一元二次方程的根的情况为（     ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 【变式1-3】下列一元二次方程中，没有实数根的是（     ） A． B． C． D． ▌题型03 根据根的情况利用判别式求参数 【典例1】已知关于x的方程有两个不相等的实数根，则k的值可能是（     ） A．8 B．9 C．10 D．11 【变式1-1】关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（     ） A． B．且 C．且 D．且 【变式1-2】关于x的方程有实数根，则k的值可以是下列哪个数（     ） A． B． C． D． 【变式1-3】下列说法：①关于x的一元二次方程无实数解；②无论m为何值，关于x的一元二次方程都有两个不相等的实数根；③若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是且．其中正确的有（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 ▌题型04 利用公式法还原一元二次方程 【典例1】在用求根公式求一元二次方程的根时，琪琪正确代入了、、得到，则她求解的一元二次方程是（     ） A． B． C． D． 【变式1-1】是下列哪个一元二次方程的根（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】在用求根公式求某一元二次方程的根时，得到x，则该一元二次方程可能为（　　） A．2x2+5x﹣1＝0 B．2x2﹣5x﹣1＝0 C．2x2﹣5x+1＝0 D．5x2﹣2x﹣1＝0 【变式1-3】已知关于x的一元二次方程的两个实数根分别是，，那么______，______，______． ▌题型05 用公式法解一元二次方程 【典例1】用公式法解方程   【变式1-1】用公式法解下列方程： (1) (2) 【变式1-2】用公式法解下列方程． (1)； (2)． 【变式1-3】用公式法解下列方程． (1)； (2)； (3)． ▌题型06 用公式法解一元二次方程之错解还原问题 【典例1】解一元二次方程时，两位同学的解法如下： 嘉嘉同学 或 琪琪同学 原方程无实数根 (1)你认为她们的解法是否正确？直接写出判断结果：嘉嘉同学的解法______，琪琪同学的解法______（填“正确”或“错误”）； (2)请选择合适的方法解一元二次方程：． 【变式1-1】（1）解方程：． （2）小明在解方程时出现了错误，其解答过程如下： 解：∵，，，    第一步 ∴，    第二步 ∴，        第三步 ∴，．    第四步 ①小明的解答过程是从第______步开始出错的，其错误原因是__________________． ②写出此题正确的解答过程． 【变式1-2】在学习一元二次方程的解法中我们发现，用配方法解一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），可以得到一元二次方程的求根公式． （1）一般地，对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），当b2﹣4ac≥0时，它的求根公式是x＝　　 ，我们也把用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法； （2）小明在用公式法解方程x2﹣6x＝5时出现了错误，解答过程如表：请问，小明的解答过程是从第　 　 步开始出错的，其错误原因是　 　 ． 解：∵a＝1，b＝﹣6，c＝5（第一步） ∴b2﹣4ac＝（﹣6）2﹣4×1×5＝16（第二步） ∴（第三步） ∴x1＝5，x2＝1（第四步） （3）请你用自己学过的方法写出此题正确的解答过程． 【变式1-3】习题课上，数学老师展示了一道习题及其错误的解答过程 用公式法解方程：3x2﹣5x＝2 解：将方程化为一般形式，得3x2﹣5x+2＝0，第一步， a＝3，b＝5，c＝2，第二步； ∵Δ＝b2﹣4ac＝52﹣4×3×2＝1＞0，第三步； ∵x第四步， 即x1，x2＝1第五步． （1）开始出现错误的步骤是第　 　 步； （2）请给出此题正确的解答过程． ▌题型07 利用根的判别式进行证明 【典例1】已知关于的方程． (1)求证：对于任意实数m，方程总有两个不相等的实数根； (2)若2是该方程的一个根，求代数式的值． 【变式1-1】已知关于x的方程 (1)求证：方程总有两个实数根； (2)若方程有一个根大于2，求a的取值范围． 【变式1-2】已知关于x的一元二次方程． (1)若该方程的一个根是，求m的值及方程的另一个根． (2)求证：无论m取何值，该方程总有两个实数根． 【变式1-3】已知关于 的一元二次方程：． (1)求证：方程总有两个实根； (2)若是整数，方程的根也是整数，求 的值． ▌题型08 整数解问题 【典例1】已知关于的一元二次方程． (1)求证：方程总有两个实数根； (2)求出方程的根； (3)若方程的两个根都是正整数，求整数的值． 【变式1-1】已知关于x的方程． (1)求证：方程总有实数根； (2)若方程有两个不相等的正整数根，求整数m的值． 【变式1-2】已知关于x的一元二次方程 (1)求证：无论a为任何非零实数，方程总有两个实数根； (2)当a取何整数时，关于x的方程的两个实数根均为负整数． 【变式1-3】已知关于x的一元二次方程． (1)求证：不论m为何值，方程总有两个实数根． (2)若方程有一个根是负整数，求正整数m的值； (3)若等腰三角形的其中一边为4，另两边是这个方程的两根，求m的值． ▌题型09 根的判别式与等腰三角形 【典例1】已知关于x的一元二次方程． (1)求证：无论m为何值，方程总有两个实数根； (2)若的两边、的长分别是此方程的两个实数根，第三边长为，当是等腰三角形时，求的值． 【变式1-1】已知关于的方程． (1)求证：无论取何值，方程一定有两个实数根； (2)若等腰的边长，另两边长，恰好是这个方程的根，求的周长． 【变式1-2】已知关于x的一元二次方程． (1)求证：无论m取何值，方程恒有实数根； (2)若以方程两根为等腰三角形的两边，且其中一个根为4，求此三角形的周长． 【变式1-3】已知关于的方程． (1)求证：无论取何值，这个方程总有实数根； (2)若等腰的一边长，另外两边，恰好是这个方程的两个根，求的周长． ▌题型10 根的判别式与四边形 【典例1】（1）解方程： （2）已知：的两邻边，的长是关于x的方程的两个实数根． ①当m为何值时，是菱形？ ②若的长为3，求的周长． 【变式1-1】已知：的两边、的长是关于的方程的两个实数根． (1)若长为2，则长是多少？ (2)当为何值时，四边形是菱形？求出此时菱形的周长． 【变式1-2】已知平行四边形的两边、的长是关于x的方程的两个实数根． (1)当m为何值时，四边形是菱形？ (2)若，求m的值． 【变式1-3】已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+k＝0． （1）求证：该一元二次方程总有两个不相等的实数根； （2）若该方程的两个根x1，x2是一个矩形的一边长和对角线的长，且矩形的另一边长为3，试求k的值． 1 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $