9.5 带电粒子在电场中的运动（重难点专练）物理沪科版必修第三册

9.5 带电粒子在电场中的运动（题型突破） 题型01 带电粒子在匀强电场中的运动 题型02 带电粒子在周期变化的电场中做直线运动 题型03 带电物体(计重力)在电场中的平衡问题 题型04 带电物体(计重力)在匀强电场中的圆周运动 题型05 带电粒子在匀强电场中做类平抛运动的相关计算 ▌题型01 带电粒子在匀强电场中的运动 1．一电子（电荷量大小为e，质量为m）由静止释放，经的加速电压加速后，沿平行于板面方向进入匀强电场。如图所示，两板相距为d，板长为l，极板间的电压为。电子射出偏转电场时速度偏转角为θ，偏移的距离为y。则下列选项正确的是（　　） A．偏转电场中电场线竖直向上 B． C． D．加速电场中左极板电势较高 2．如图所示，一对带电平行金属板M、N竖直放置，N板中心有一小孔正好位于平面直角坐标系xOy上的O点，在y轴右侧区域内存在方向竖直向上的匀强电场，电场强度大小为。重力不计、比荷为1.0×105C/kg的带正电的粒子从M板中心S处由静止释放，其运动轨迹恰好经过点P（，1），则金属板M、N之间的电势差为（　　） A．500V B．1000V C．1500V D．2000V 3．（多选）如图a所示是用电泳技术分离蛋白质的装置，溶液中有上下正对放置的平行金属板电极，溶液中甲、乙两个蛋白质颗粒与上下极板恰好等距。甲蛋白质颗粒体积更大且甲的质量是乙的两倍，带电量与pH值的关系如图b所示。未接通极板电源时，甲、乙颗粒均悬浮。现调节溶液，接通电源，不计粘滞阻力和甲乙之间的作用力。对于两种蛋白质颗粒，正确的说法是（　　） A．甲、乙到达同一个极板 B．甲、乙的电势能均减小 C．甲的运动时间比乙的运动时间短 D．增大pH值，甲受到的电场力先减小后增大 4．匀强电场的电场强度为，在同一条电场线上有、两点，把质量为、带电荷量为的微粒从A点移到B点，电场力做了的正功。求： (1)、两点间的电势差； (2)、两点间的距离； (3)若微粒在A点具有与电场线同向的速度为，在只有电场力作用的情况下，求经过B点的速度。 5．如图所示，电容的平行板电容器充电后，极板A带的正电荷，接地的极板B带的负电荷，极板间距。比荷的带正电粒子自两板中心的处由静止开始运动，不计粒子受到的重力。求： (1)极板间的电压； (2)粒子运动的加速度大小； (3)粒子到达极板前瞬间的速率。 ▌题型02 带电粒子在周期变化的电场中做直线运动 6．（多选）如图甲所示，两金属板水平正对放置，上下间距足够大，是两板间中轴线，是金属板右端的连线，在金属板之间加上如图乙所示垂直于板的周期性变化的电场，一比荷为k的带电粒子a（不计重力）在0时刻，从点以速度v水平向右射入金属板间，时刻运动到边界，另一比荷为k的带电粒子b（不计重力）在时刻，从点以速度v水平向右射入金属板间，下列说法正确的是（　　） A．粒子a在边界的出射速度的大小为 B．粒子a在边界的出射速度与水平方向夹角的正切值为 C．粒子b在边界的出射点与之间的距离为 D．若一群比荷均为k的带电粒子在不同的时刻从点以速度v水平向右射入金属板间，则这群粒子在边界的出射点之间的最大距离为 7．（多选）如图1所示，真空中两平行金属板A和B水平放置，板长为l、间距为d。板间加交变电压。左侧紧靠A板有一粒子源P，t=0时刻开始连续向右水平发射速率为v0，比荷为k的带正电的粒子。若t=0时刻发射的粒子从进入电场到从B板右边缘离开的全过程，竖直方向的速度vy随时间t变化的图像如图2所示。忽略边缘效应，不计粒子重力和粒子间的相互作用，则（     ） A．与进入电场时相比，t=0时刻发射的粒子离开电场时电势能减小 B．交变电压的周期 C．粒子在竖直方向的最大速度为 D．在时刻进入的粒子恰好从A板右边缘离开电场 8．（多选）如图甲所示，真空中水平放置两块长度为2d的平行金属板P、Q，两板间距为d，两板间加上如图乙所示最大值为U0的周期性变化的电压，在两板左侧紧靠P板处有一粒子源A，自t=0时刻开始连续释放初速度大小为v0，方向平行于金属板的相同带电粒子，t=0时刻释放的粒子恰好从Q板右侧边缘离开电场，已知电场变化周期，粒子质量为m，不计粒子重力及相互间的作用力，则（   ） A．在t=0时刻进入的粒子离开电场时速度大小为 B．粒子的电荷量为 C．在时刻进入的粒子离开电场时电势能减少了 D．在时刻进入的粒子刚好从P板右侧边缘离开电场 9．某装置用电场控制带电粒子运动，工作原理如图甲所示。M和N为互相平行的金属板，为板间中线，为两板右侧边缘连线的中点。板长为L（不考虑电场边缘效应）。电子从O点沿方向射入两板间，电子的电荷量为e、质量为m。不计电子重力。 (1)若两板间电场强度恒为E，且M、N板间距离为d，电子从点正上方A点从板间射出，、A两点间距离为，求该电子从点射入电场的初速度； (2)两板间的电压与（1）相同，只上下移动N板，改变M、N板间距离，求电子射出电场时动能的最大值； (3)若在两板间加按如图乙所示周期性变化的电压，和已知。某电子在时刻以初速度射入电场，要使该电子能从点射出电场，求以及板间距离d应满足的条件。 10．如图1所示，地面上方足够高的空间内存在与水平地面成角、方向周期性变化的电场，以斜向下为正方向，电场的变化规律如图2所示，其中周期为，电场强度的大小E未知。时刻，质量、电荷量的带正电小球从O点以速度水平向右抛出，时刻小球经过A点，速度方向竖直向下，再过一段时间后小球第一次经过O点正下方，该点记为B点。已知O、A的高度差，重力加速度g取，不计空气阻力，求： (1)电场强度的大小E及角； (2)小球第一次经过O点正下方时的速度大小； (3)小球第n次经过O点正下方时到O点的距离H。 ▌题型03 带电物体(计重力)在电场中的平衡问题 11．（多选）融合新型功能材料的传感器在智能感知领域得到广泛应用。如图所示，光滑、绝缘椭圆轨道竖直放置，长轴、短轴，与交于点，为最低点，点处内置可感知轨道压力的传感器。空间内充满平行轨道平面、斜向上的匀强电场（图中未画出）。质量为、电荷量为的小球置于点时恰好静止，此时传感器示数等于，重力加速度的大小为。下列说法正确的是（     ） A．电场强度的大小为 B．电场强度方向与的夹角为 C．若的电势为0，则点的电势为 D．若小球在点的速度水平向右、大小为，则到达点时速度大小仍为 12．（多选）融合新型功能材料的传感器在智能感知领域得到广泛应用。如图所示，光滑、绝缘椭圆轨道竖直放置，长轴AC、短轴BD，AC与BD交于O点，B为最低点，A点处内置可感知轨道压力的传感器。空间内充满平行轨道平面、斜向上的匀强电场（图中未画出）。质量为、电荷量为的小球置于A点时恰好静止，此时传感器示数等于，为重力加速度的大小。下列说法正确的是（　　　　　） A．电场强度的大小为 B．电场强度方向与OA的夹角为45° C．A、B两点间的电势差 D．若小球在B点的速度水平向右、大小为v0，则到达D点时速度大小仍为v0 13．用长为1.4m的轻质柔软绝缘细线，拴一质量为、电荷量为的小球，细线的上端固定于O点，现加一水平向右的匀强电场，平衡时细线与铅垂线成37°，如图所示，现向左拉小球使细线水平且拉直，而后由静止释放，则（     ）（） A．该匀强电场的场强为 B．经过0.5s，小球的速度大小为6.25m/s C．小球第一次通过O点正下方时，速度大小为7m/s D．小球第一次通过O点正下方时，绳子拉力大小为0.8N 14．如图所示，A、B两点固定有电荷量等量正点电荷，O是A、B的连线的中点，现用两根等长的绝缘细线通过A、B悬挂带电量为小球C，当C静止时，细线恰好无形变。已知绝缘细线长，A、B两点相距，重力加速度，静电力常量，不计空气阻力， (1)求A、B两点固定电荷量在小球C所处位置的电场强度大小； (2)小球C的质量； (3)若小球C恰能在竖直面内做圆周运动，求其在最高点的速度和经过最低点时细线的拉力大小。 15．如图，在竖直平面内有足够宽的方向水平向右、电场强度大小的匀强电场。一根长的绝缘细线，一端固定在点，另一端系一质量的带正电的小球，静止时悬线与竖直方向的夹角。若小球获得垂直于细线斜向上的初速度后，恰能绕点在竖直平面内做完整的圆周运动，为圆的竖直直径。重力加速度取，，。求： (1)小球所带电荷量； (2)细线的最大拉力大小。 ▌题型04 带电物体(计重力)在匀强电场中的圆周运动 16．（多选）如图所示，在竖直平面内有水平向左的匀强电场，在匀强电场中有一根长为L的绝缘细线，细线一端固定在O点，另一端系一质量为m的带电小球。小球静止时细线与竖直方向成θ角，此时让小球获得初速度且恰能绕O点在竖直平面内沿逆时针方向做圆周运动，重力加速度为g。下列说法正确的是（     ） A．小球运动至圆周轨迹的最高点时机械能最小 B．匀强电场的电场强度 C．小球从初始位置开始，在竖直平面内运动一周的过程中，其电势能先减小后增大再减小 D．小球动能的最小值为 17．（多选）如图所示，在竖直平面内有水平向左的匀强电场，在匀强电场中有一根长为的绝缘细线，细线一端固定在点，另一端系一质量为的带电小球。小球静止时细线与竖直方向成角，此时让小球获得初速度且恰能绕点在竖直平面内沿逆时针方向做圆周运动，重力加速度为。下列说法正确的是（     ） A．小球带负电 B．小球动能的最小值为 C．小球运动至圆周轨迹的最高点时机械能最小 D．小球从初始位置开始，在竖直平面内运动一周的过程中，其电势能先减小后增大，再减小 18．如图，在竖直向下匀强电场中有一长为的轻杆，杆的中点处有光滑的水平转动轴，杆两端分别固定质量均为的小球甲和乙，甲带正电，乙带负电，两者电荷量均为，电场强度为。现将甲、乙从水平位置静止释放，当甲第一次运动到最低点时，转轴处受到杆作用力的合力大小为（     ） A． B． C． D． 19．如图所示，一个粗糙斜面与一个光滑的竖直圆轨道在A点相切，B点为圆轨道的最低点，C点为圆轨道的最高点，整个空间存在水平向左的匀强电场。一质量m=1 kg，电荷量为-q（q＞0）的带电小球从斜面上静止释放，小球始终能沿轨道运动。已知电场强度，θ=53°，圆轨道半径R=0.8 m，g取10 m/s2，sin53°=0.8，求： (1)刚释放小球时小球的加速度的大小； (2)若小球释放点与A点距离x=2 m，小球到达A点时，对A点的正压力； (3)若小球恰好能完成圆周运动，释放点沿斜面到A的距离。 20．如图所示，在水平方向的匀强电场中，用长度为的轻质绝缘细线悬挂一个质量为m的带电小球。小球静止在A处，悬线与竖直方向的夹角为30°。现将小球拉至B点，使悬线水平，并由静止释放，（重力加速度为g），求∶ (1)电场力的大小和方向？ (2)细线刚绷紧时的速度大小？ (3)小球运动到最低点D时的速度大小？ ▌题型05 带电粒子在匀强电场中做类平抛运动的相关计算 21．（多选）如图所示a、b、c、d为匀强电场中4条沿水平方向的等势面，一个质量为m，电荷量为q的粒子在匀强电场中运动，A、B为其运动轨迹上的两个点。已知该粒子在A点的速度大小为，在B点的速度大小为，A、B连线长为L，连线与等势面间的夹角为θ，不计粒子受到的重力，则（     ） A．粒子所受的电场力方向竖直向下 B．匀强电场的电场强度方向竖直向下 C．粒子从A点运动到B点电场力做负功 D．匀强电场的电场强度大小为 22．如图所示，从炽热的金属丝漂出的电子 速度可视为零 ，经加速电场加速后从两极板中间垂直射入偏转电场。电子的重力不计。在满足电子能射出偏转电场的条件下，下述四种情况中，一定能使电子的偏转角变大的是（     ） A．仅将偏转电场极性对调 B．仅减小加速电极间的距离 C．仅增大偏转电极间的距离 D．仅增大偏转电极间的电压 23．（多选）如图所示，水平地面上方存在水平向右的匀强电场，O、Q为水平地面上的两点，现将质量为m，电荷量为q的小球（可看作质点），从O点以初速度竖直向上抛出，P为运动轨迹的最高点，Q为最后落回到地面上的点。若不计空气阻力，重力加速度为g，电场强度，，，下列说法正确的是（　　） A．小球到达Q点所用的时间为 B．小球到达P点时的速度大小为0 C．OP的水平距离与PQ的水平距离之比为 D．OQ两点之间的电势差为 24．（多选）如图所示，虚线MN左侧有一场强为E1=E的匀强电场，在两条平行的虚线MN和PQ之间存在着宽为L、电场强度为E2=3E的匀强电场，在虚线PQ右侧相距为L处有一与电场E2平行的屏。现将一电子（电荷量为e，质量为m，不计重力）无初速度地放入电场E1中的A点，A点到MN的距离为，最后电子打在右侧的屏上，AO连线与屏垂直，垂足为O，则（     ） A．电子从释放到打到屏上所用的时间为 B．电子从释放到打到屏上所用的时间为 C．电子刚射出电场E2时的速度方向与AO连线夹角的正切值为3 D．电子打到屏上的点P'（图中未标出）到点O的距离为4L 25．如图所示，竖直向下的匀强电场中，两个等势面M、N之间的电势差为U。质量为m、电荷量为q的带电粒子从M上的O点水平射入电场中，仅在电场力的作用下发生偏转，到达N上的P点时，水平位移为L，竖直位移为d。求： (1)电场强度的大小E； (2)带电粒子运动的加速度大小a； (3)带电粒子在O点时的速度的大小。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 9.5 带电粒子在电场中的运动（题型突破） 题型01 带电粒子在匀强电场中的运动 题型02 带电粒子在周期变化的电场中做直线运动 题型03 带电物体(计重力)在电场中的平衡问题 题型04 带电物体(计重力)在匀强电场中的圆周运动 题型05 带电粒子在匀强电场中做类平抛运动的相关计算 ▌题型01 带电粒子在匀强电场中的运动 1．一电子（电荷量大小为e，质量为m）由静止释放，经的加速电压加速后，沿平行于板面方向进入匀强电场。如图所示，两板相距为d，板长为l，极板间的电压为。电子射出偏转电场时速度偏转角为θ，偏移的距离为y。则下列选项正确的是（　　） A．偏转电场中电场线竖直向上 B． C． D．加速电场中左极板电势较高 【答案】C 【详解】AD．根据题意可知，电子在加速电场中从左向右加速运动，则加速电场右极板为正极，电势较高；电子进入偏转电场之后，向上偏转，说明上极板为正极，偏转电场中电场线竖直向下，故AD错误； BC．根据题意可知，电子在加速电场中，由动能定理有 在偏转电场中，水平方向上有 竖直方向上有，， 又有 联立解得，，故B错误，C正确。 故选C。 2．如图所示，一对带电平行金属板M、N竖直放置，N板中心有一小孔正好位于平面直角坐标系xOy上的O点，在y轴右侧区域内存在方向竖直向上的匀强电场，电场强度大小为。重力不计、比荷为1.0×105C/kg的带正电的粒子从M板中心S处由静止释放，其运动轨迹恰好经过点P（，1），则金属板M、N之间的电势差为（　　） A．500V B．1000V C．1500V D．2000V 【答案】B 【详解】设带正电的粒子的质量为、带电荷量为，从点进入匀强电场时的速度大小为，粒子在轴右侧匀强电场中做类平抛运动。 设从点运动到点所用时间为，由类平抛运动可得， 解得 在金属板、之间，由动能定理得 解得金属板M、N之间的电势差为。 故选B。 3．（多选）如图a所示是用电泳技术分离蛋白质的装置，溶液中有上下正对放置的平行金属板电极，溶液中甲、乙两个蛋白质颗粒与上下极板恰好等距。甲蛋白质颗粒体积更大且甲的质量是乙的两倍，带电量与pH值的关系如图b所示。未接通极板电源时，甲、乙颗粒均悬浮。现调节溶液，接通电源，不计粘滞阻力和甲乙之间的作用力。对于两种蛋白质颗粒，正确的说法是（　　） A．甲、乙到达同一个极板 B．甲、乙的电势能均减小 C．甲的运动时间比乙的运动时间短 D．增大pH值，甲受到的电场力先减小后增大 【答案】BD 【详解】A．由图可知，当调节溶液时，甲乙带电性相反，受力方向相反，故分别到达上下两极板，故A错误； B．甲乙运动过程中电场力都做正功，电势能均减小，故B正确； C．未接通极板电源时，甲乙颗粒均悬浮，重力等于浮力，调节溶液，从图中可知甲蛋白质颗粒带电量为。乙带电量为，接通电源后两微粒受电场力大小相等，由牛顿第二定律可得，由于甲蛋白质颗粒质量是乙的两倍，故甲的加速度为乙的一半，二者到相应极板距离相同，则乙比甲运动时间短，故C错误； D．由图可知，增大pH值，甲带的电荷量先减小后增大，故电场力也是先减小后增大，故D正确。 故选BD。 4．匀强电场的电场强度为，在同一条电场线上有、两点，把质量为、带电荷量为的微粒从A点移到B点，电场力做了的正功。求： (1)、两点间的电势差； (2)、两点间的距离； (3)若微粒在A点具有与电场线同向的速度为，在只有电场力作用的情况下，求经过B点的速度。 【答案】(1) (2) (3)，方向与场强方向相反 【详解】（1）根据电场力做功与电势差的关系式有 解得、两点间的电势差为 （2）由于，且、两点在同一电场线上，所以电场强度方向由指向。故 解得、两点间的距离为 （3）由动能定理有 解得微粒经过B点的速度大小为 其方向与场强方向相反。 5．如图所示，电容的平行板电容器充电后，极板A带的正电荷，接地的极板B带的负电荷，极板间距。比荷的带正电粒子自两板中心的处由静止开始运动，不计粒子受到的重力。求： (1)极板间的电压； (2)粒子运动的加速度大小； (3)粒子到达极板前瞬间的速率。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）根据平行板电容器的电容 可得极板间的电压 （2）带正电粒子在平行板电容器的匀强电场中受到的电场力为 其中场强 根据牛顿第二定律 联立解得粒子运动的加速度大小 （3）带正电粒子在平行板电容器的匀强电场中做匀加速直线运动，根据速度与位移的关系得 解得 ▌题型02 带电粒子在周期变化的电场中做直线运动 6．（多选）如图甲所示，两金属板水平正对放置，上下间距足够大，是两板间中轴线，是金属板右端的连线，在金属板之间加上如图乙所示垂直于板的周期性变化的电场，一比荷为k的带电粒子a（不计重力）在0时刻，从点以速度v水平向右射入金属板间，时刻运动到边界，另一比荷为k的带电粒子b（不计重力）在时刻，从点以速度v水平向右射入金属板间，下列说法正确的是（　　） A．粒子a在边界的出射速度的大小为 B．粒子a在边界的出射速度与水平方向夹角的正切值为 C．粒子b在边界的出射点与之间的距离为 D．若一群比荷均为k的带电粒子在不同的时刻从点以速度v水平向右射入金属板间，则这群粒子在边界的出射点之间的最大距离为 【答案】AD 【详解】A．带电粒子在水平方向不受力，始终以速度v匀速运动，穿过极板的总时间恒为，​竖直方向受电场力，加速度 内竖直方向加速度为，内竖直方向加速度大小为，方向与相反 时刻竖直方向速度 粒子a在边界的出射速度的大小为，故A正确； B．出射速度与水平方向夹角的正切值为，故B错误； C．粒子b在时刻射入金属板间，内竖直方向加速度大小为，竖直方向位移 内竖直方向加速度为，竖直方向位移 竖直方向总位移，即粒子b在边界的出射点与之间的距离为，故C错误； D．所有粒子穿过极板的总时间均为，其中时刻入射的粒子竖直位移最大，在内竖直方向位移 内竖直方向位移 出射时竖直方向总位移为 时刻入射的粒子竖直方向位移最小，出射时竖直方向总位移为 出射点之间的最大距离为，故D正确。 故选AD。 7．（多选）如图1所示，真空中两平行金属板A和B水平放置，板长为l、间距为d。板间加交变电压。左侧紧靠A板有一粒子源P，t=0时刻开始连续向右水平发射速率为v0，比荷为k的带正电的粒子。若t=0时刻发射的粒子从进入电场到从B板右边缘离开的全过程，竖直方向的速度vy随时间t变化的图像如图2所示。忽略边缘效应，不计粒子重力和粒子间的相互作用，则（     ） A．与进入电场时相比，t=0时刻发射的粒子离开电场时电势能减小 B．交变电压的周期 C．粒子在竖直方向的最大速度为 D．在时刻进入的粒子恰好从A板右边缘离开电场 【答案】BCD 【详解】粒子在水平方向不受力，做匀速直线运动，速度为，板长为，则粒子通过电场的时间 A．由图2可知，时刻发射的粒子进入电场时竖直分速度，离开电场时。说明粒子的初末速度相同，动能相同，即动能变化量 根据动能定理，电场力做功 由功能关系可知，电势能变化量为0，即电势能没有减小，故A错误； B．由图像的斜率表示加速度，可知粒子在做匀加速运动，在做匀减速运动，随后重复该过程。这说明电场力方向在时刻发生改变。图像中一个完整三角形波形对应粒子在电场周期内的响应，持续时间为，故交变电压的周期，故B正确； C．粒子从B板右边缘离开，说明在时间内，竖直位移。在图像中，竖直位移等于图线与时间轴围成的面积。图像包含两个完全相同的三角形，每个三角形的底为，高为，结合面积公式 解得，故C正确； D．时刻进入电场的粒子，在电场中运动的时间仍为。在时间内，粒子向下加速；在时间内，粒子向下减速到零；在时间内，粒子向上加速；在时间内，粒子向上减速到零，且恰好到A板。以上所用总时间为 此后，在下一个时间内重复上述过程，即粒子恰好从A板右边缘离开电场，故D正确。 故选BCD。 8．（多选）如图甲所示，真空中水平放置两块长度为2d的平行金属板P、Q，两板间距为d，两板间加上如图乙所示最大值为U0的周期性变化的电压，在两板左侧紧靠P板处有一粒子源A，自t=0时刻开始连续释放初速度大小为v0，方向平行于金属板的相同带电粒子，t=0时刻释放的粒子恰好从Q板右侧边缘离开电场，已知电场变化周期，粒子质量为m，不计粒子重力及相互间的作用力，则（   ） A．在t=0时刻进入的粒子离开电场时速度大小为 B．粒子的电荷量为 C．在时刻进入的粒子离开电场时电势能减少了 D．在时刻进入的粒子刚好从P板右侧边缘离开电场 【答案】BD 【详解】A．粒子进入电场后，水平方向做匀速运动，则时刻进入电场的粒子在电场中运动时间 此时间正好是交变电场的一个周期；粒子在竖直方向先做加速运动后做减速运动，经过一个周期，粒子的竖直速度为零，故粒子离开电场时的速度大小等于水平速度，故A错误； B．在竖直方向，粒子在时间内的位移为，则 可得，故B正确； C．在时刻进入电场的粒子，离开电场时在竖直方向的速度为 因此粒子离开电场时水平方向速度不变，竖直方向速度为零，因此动能不变，由动能定理，电场力做的总功为零，粒子离开电场时电势能不变，故C错误； D．时刻进入的粒子，在竖直方向先向下加速运动，然后向下减速运动，再向上加速，向上减速，由对称性可知，离开电场时粒子在竖直方向的位移为零，故粒子从板右侧边缘离开电场，故D正确。 故选BD。 9．某装置用电场控制带电粒子运动，工作原理如图甲所示。M和N为互相平行的金属板，为板间中线，为两板右侧边缘连线的中点。板长为L（不考虑电场边缘效应）。电子从O点沿方向射入两板间，电子的电荷量为e、质量为m。不计电子重力。 (1)若两板间电场强度恒为E，且M、N板间距离为d，电子从点正上方A点从板间射出，、A两点间距离为，求该电子从点射入电场的初速度； (2)两板间的电压与（1）相同，只上下移动N板，改变M、N板间距离，求电子射出电场时动能的最大值； (3)若在两板间加按如图乙所示周期性变化的电压，和已知。某电子在时刻以初速度射入电场，要使该电子能从点射出电场，求以及板间距离d应满足的条件。 【答案】(1) (2) (3)， 【详解】（1）取电子进入方向为轴正方向、竖直向上为轴正方向。电子带负电，要向上偏转，则电场力方向向上，电子在竖直方向的加速度大小为；水平方向不受力，做匀速直线运动，故飞行时间为。 电子从中线运动到点，竖直位移为，由匀变速直线运动位移公式得。由 有 解得 （2）设移动下极板后两板间距为。两板电压仍为，所以板间场强大小为 电子仍从中线进入，水平方向速度保持为，在到达右侧边缘前的时间为。 电子在竖直方向的位移为 代入第（1）问结果，得。 为使电子不碰上方极板，须有，故。电子射出时的竖直速度随增大而增大，因而动能最大对应临界情况，此时电子恰好从上极板边缘射出。从进入到射出，电场力做功等于，由动能定理得 代入， 解得 （3）取竖直向上为正方向，板间距为。在内，电压为，电子向上做匀加速运动，加速度大小为；在内，电压为，电子向下做匀减速运动，加速度大小为。 前半周期末电子的竖直速度为，竖直位移为 要使电子在时回到中线，后半周期的竖直位移应使总位移为零，即。由 整理得 因此 在后半周期内，电子先上升后下降，最大位移出现在竖直速度减为零的时刻。相对于，上升时间为，故最大位移为。由 整理得 电子不能碰到上极板，须满足，所以 即 10．如图1所示，地面上方足够高的空间内存在与水平地面成角、方向周期性变化的电场，以斜向下为正方向，电场的变化规律如图2所示，其中周期为，电场强度的大小E未知。时刻，质量、电荷量的带正电小球从O点以速度水平向右抛出，时刻小球经过A点，速度方向竖直向下，再过一段时间后小球第一次经过O点正下方，该点记为B点。已知O、A的高度差，重力加速度g取，不计空气阻力，求： (1)电场强度的大小E及角； (2)小球第一次经过O点正下方时的速度大小； (3)小球第n次经过O点正下方时到O点的距离H。 【答案】(1)， (2) (3)（n=1，2，3⋯） 【详解】（1）小球在水平方向，速度时间关系 解得 竖直方向，位移时间关系 解得 又水平方向，根据牛顿第二定律， 联立解得， （2）0∼：x向右匀减速到0，位移 ∼：电场仍为斜向下正方向，x方向加速度仍为−10m/s2，x方向速度从0开始向左加速，时刻x方向的速度 此阶段x位移 说明此时到达O点正下方B点，此时竖直方向的速度 则B点的速度 （3）第一次回到O点正下方时刻为t1= 竖直位移 之后电场反向，电场的水平分量变为向左的反方向，即水平加速度变为 竖直分量向上，竖直加速度变为 则第二次回到O点正下方时刻为t2= 竖直位移 第三次回到O点正下方竖直位移 第四次回到O点正下方竖直位移 …… 小球第n次经过O点正下方时到O点的距离 （n=1，2，3⋯） ▌题型03 带电物体(计重力)在电场中的平衡问题 11．（多选）融合新型功能材料的传感器在智能感知领域得到广泛应用。如图所示，光滑、绝缘椭圆轨道竖直放置，长轴、短轴，与交于点，为最低点，点处内置可感知轨道压力的传感器。空间内充满平行轨道平面、斜向上的匀强电场（图中未画出）。质量为、电荷量为的小球置于点时恰好静止，此时传感器示数等于，重力加速度的大小为。下列说法正确的是（     ） A．电场强度的大小为 B．电场强度方向与的夹角为 C．若的电势为0，则点的电势为 D．若小球在点的速度水平向右、大小为，则到达点时速度大小仍为 【答案】BCD 【详解】AB．作出小球在点时的受力分析图如图所示 由力的平衡条件结合几何关系有 所以电场强度的大小 且其方向与的夹角满足 则有，即电场强度方向与的夹角为，故A错误，B正确； C．分别作出、两点在经过点的电场线上的两等势点、，如图所示 则由几何关系可知，、两点间沿电场方向的距离为 则有 若的电势为0，则点的电势为，故C正确； D．小球所受支持力对其始终不做功，根据题意可知，小球所受电场力与重力的合力水平向右，连线沿竖直方向，所以从B到的过程，小球所受合外力做的总功为0，由动能定理可知其动能变化量为0，故小球在、两点的速度大小均为，故D正确。 故选BCD。 12．（多选）融合新型功能材料的传感器在智能感知领域得到广泛应用。如图所示，光滑、绝缘椭圆轨道竖直放置，长轴AC、短轴BD，AC与BD交于O点，B为最低点，A点处内置可感知轨道压力的传感器。空间内充满平行轨道平面、斜向上的匀强电场（图中未画出）。质量为、电荷量为的小球置于A点时恰好静止，此时传感器示数等于，为重力加速度的大小。下列说法正确的是（　　　　　） A．电场强度的大小为 B．电场强度方向与OA的夹角为45° C．A、B两点间的电势差 D．若小球在B点的速度水平向右、大小为v0，则到达D点时速度大小仍为v0 【答案】BD 【详解】小球在A点恰好静止，说明小球受力平衡。A点是椭圆轨道的最右端，该处切线竖直，轨道对小球的支持力沿水平方向；传感器示数为，说明轨道对小球的支持力大小为，方向水平向左。 竖直方向，由平衡条件得，解得，方向竖直向上。 水平方向，小球要平衡，电场力必须与轨道支持力等大反向，即，解得，方向水平向右。 故，方向与OA的夹角满足，即。 A．电场强度的大小为，不是，故A错误； B．电场方向斜向右上方，与OA的夹角为，故B正确； C．。由A到B的水平位移为，竖直位移为，二者都逆着电场方向，故，即，与选项中的符号相反，故C错误； D．由B到D小球沿轨道运动，位移竖直向上，大小为，水平位移为零。电场力做功，重力做功，两者之和为零，由动能定理可知小球到达D点时速度大小仍为，故D正确。 故选BD。 13．用长为1.4m的轻质柔软绝缘细线，拴一质量为、电荷量为的小球，细线的上端固定于O点，现加一水平向右的匀强电场，平衡时细线与铅垂线成37°，如图所示，现向左拉小球使细线水平且拉直，而后由静止释放，则（     ）（） A．该匀强电场的场强为 B．经过0.5s，小球的速度大小为6.25m/s C．小球第一次通过O点正下方时，速度大小为7m/s D．小球第一次通过O点正下方时，绳子拉力大小为0.8N 【答案】B 【详解】A．小球在平衡位置时，由受力分析可知 解得匀强电场的场强为，故A错误； B．小球向左被拉到细线水平且拉直的位置，释放后将沿着电场力和重力的合力方向做匀加速直线运动，合力方向与竖直方向成37°角，合力大小 根据牛顿第二定律可得加速度大小为 经过0.5s，小球的速度大小为，故B正确； CD．小球释放后先斜向下沿合力方向做直线运动，然后当细绳被拉直后做圆周运动到达最低点，设细线长为L，小球从释放位置运动到最低点的过程中，假设无能量损失，则由动能定理 代入数据解得最低点处小球的速度 再由向心力公式 解得绳子的拉力为 但绳子被拉直的瞬间小球是有能量损失的，可知小球第一次通过O点正下方时速度一定小于7m/s，而绳子的拉力一定小于0.45N，故C错误，D错误。 故选B。 14．如图所示，A、B两点固定有电荷量等量正点电荷，O是A、B的连线的中点，现用两根等长的绝缘细线通过A、B悬挂带电量为小球C，当C静止时，细线恰好无形变。已知绝缘细线长，A、B两点相距，重力加速度，静电力常量，不计空气阻力， (1)求A、B两点固定电荷量在小球C所处位置的电场强度大小； (2)小球C的质量； (3)若小球C恰能在竖直面内做圆周运动，求其在最高点的速度和经过最低点时细线的拉力大小。 【答案】(1) (2) (3)， 【详解】（1）因A、B两点固定有电量相等且带正电的小球，则两个点电荷在小球C所处位置产生的电场强度的大小相等，设一个带正电小球在C所处位置产生的电场强度的大小为，AC与AB连线夹角为，由几何关系可知 根据点电荷场强公式可知   由对称性，两场强在水平方向抵消，竖直方向叠加，根据电场的叠加原理可知小球C所处位置的电场强度 解得电场强度大小为 （2）设小球C所处位置的电场强度大小为，根据小球C静止时，细线张力恰好为零，对小球受力分析可知 代入数据解得小球C的质量 （3）球C恰能在竖直面内做圆周运动，半径，则当小球C到达最高点时，细线张力为零，由于对称性可知最高点和最低点的电场强度大小相等方向相反，设小球在最高点速度为，在最低点速度为 根据牛顿第二定律，有 代入数据解得 小球C从最高点运动到最低点的过程中，通过分析可知，只有重力做功，根据动能定理，有 代入数据解得小球在最低点速度 设小球在最低点时绳子的张力为，根据牛顿第二定律 代入数据解得 15．如图，在竖直平面内有足够宽的方向水平向右、电场强度大小的匀强电场。一根长的绝缘细线，一端固定在点，另一端系一质量的带正电的小球，静止时悬线与竖直方向的夹角。若小球获得垂直于细线斜向上的初速度后，恰能绕点在竖直平面内做完整的圆周运动，为圆的竖直直径。重力加速度取，，。求： (1)小球所带电荷量； (2)细线的最大拉力大小。 【答案】(1)10-3C (2)15N 【详解】（1）小球带正电，由平衡条件得 代入数据解得小球电荷量为q = 10-3C （2）小球恰能绕O点在竖直平面内做完整的圆周运动，在等效最高点，由牛顿第二定律 小球从等效最高点到等效最低点，由动能定理得 小球在圆周运动的等效最低点时，细线拉力最大，由牛顿第二定律 联立解得Fm=15N ▌题型04 带电物体(计重力)在匀强电场中的圆周运动 16．（多选）如图所示，在竖直平面内有水平向左的匀强电场，在匀强电场中有一根长为L的绝缘细线，细线一端固定在O点，另一端系一质量为m的带电小球。小球静止时细线与竖直方向成θ角，此时让小球获得初速度且恰能绕O点在竖直平面内沿逆时针方向做圆周运动，重力加速度为g。下列说法正确的是（     ） A．小球运动至圆周轨迹的最高点时机械能最小 B．匀强电场的电场强度 C．小球从初始位置开始，在竖直平面内运动一周的过程中，其电势能先减小后增大再减小 D．小球动能的最小值为 【答案】BCD 【详解】由平衡条件可知电场力方向水平向右，结合电场方向向左可知小球带负电。     A．小球在运动过程中，只有重力和电场力做功，故机械能与电势能之和保持不变，当电势能最大时，机械能最小。电势能，由于小球带负电，电势越低，电势能越大。沿电场线方向电势降低，电场向左，故最左侧电势最低，小球运动到圆周轨迹的最左侧时电势能最大，机械能最小，故A错误； B．由静止时的受力平衡可知 解得匀强电场的电场强度为，故B正确； C．小球沿逆时针方向运动。电场线向左，则水平方向上越靠右电势越高，越靠左电势越低。根据负电荷在电势高处电势能小的规律（），小球逆时针做圆周运动的过程中，水平方向位移先向右、后向左、再向右，因此其电势能先减小、后增大、再减小，故C正确； D．小球受重力和电场力作用，可等效为一个“等效重力场”。等效重力大小为 等效重力方向与竖直方向夹角为，斜向右下方。 小球恰能绕点在竖直平面内做圆周运动，则其在“等效最高点”的速度最小，由等效重力提供向心力，有 则小球动能的最小值为，故D正确。 故选BCD。 17．（多选）如图所示，在竖直平面内有水平向左的匀强电场，在匀强电场中有一根长为的绝缘细线，细线一端固定在点，另一端系一质量为的带电小球。小球静止时细线与竖直方向成角，此时让小球获得初速度且恰能绕点在竖直平面内沿逆时针方向做圆周运动，重力加速度为。下列说法正确的是（     ） A．小球带负电 B．小球动能的最小值为 C．小球运动至圆周轨迹的最高点时机械能最小 D．小球从初始位置开始，在竖直平面内运动一周的过程中，其电势能先减小后增大，再减小 【答案】ABD 【详解】AB．小球静止时悬线与竖直方向成角，受重力、拉力和电场力，三力平衡，如图所示 可知小球带负电，根据平衡条件有 解得 小球恰能绕点在竖直平面内做圆周运动，在等效最高点速度最小，根据牛顿第二定律，有 则最小动能为，故AB正确； C．小球的机械能和电势能之和守恒，则小球运动至电势能最大的位置机械能最小，小球带负电，则小球运动到圆周轨迹的最左端点时机械能最小，故C错误； D．小球从初始位置开始，在竖直平面内运动一周的过程中，电场力先做正功，后做负功，再做正功，则其电势能先减小后增大，再减小，故D正确。 故选ABD。 18．如图，在竖直向下匀强电场中有一长为的轻杆，杆的中点处有光滑的水平转动轴，杆两端分别固定质量均为的小球甲和乙，甲带正电，乙带负电，两者电荷量均为，电场强度为。现将甲、乙从水平位置静止释放，当甲第一次运动到最低点时，转轴处受到杆作用力的合力大小为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】甲、乙绕O点转动，转动半径均为，线速度大小始终相等。 从水平静止释放到甲第一次到最低点的过程中，对两球组成的系统由动能定理： 解得 圆心O在甲的正上方，合力向上提供向心力，设杆对甲的作用力为（向上为正）： 得，方向向上。 圆心O在乙的正下方，合力向下提供向心力。设杆对乙的作用力为（向下为正）： 得，方向向下。 根据牛顿第三定律，甲对杆的作用力向下、大小为，乙对杆的作用力向上、大小为 因此转轴受到杆的合力为： 故选A。 19．如图所示，一个粗糙斜面与一个光滑的竖直圆轨道在A点相切，B点为圆轨道的最低点，C点为圆轨道的最高点，整个空间存在水平向左的匀强电场。一质量m=1 kg，电荷量为-q（q＞0）的带电小球从斜面上静止释放，小球始终能沿轨道运动。已知电场强度，θ=53°，圆轨道半径R=0.8 m，g取10 m/s2，sin53°=0.8，求： (1)刚释放小球时小球的加速度的大小； (2)若小球释放点与A点距离x=2 m，小球到达A点时，对A点的正压力； (3)若小球恰好能完成圆周运动，释放点沿斜面到A的距离。 【答案】(1) (2)，方向垂直于斜面向下 (3) 【详解】（1）刚释放时，在沿斜面方向由牛顿第二定律得 （2）小球到达A点时速度为，此速度所需向心力为，在垂直斜面方向，，故斜面需给小球提供弹力充当向心力，则弹力，由牛顿第三定律知带电小球对A点的正压力，方向垂直于斜面向下。 （3）恰好能够完成圆周运动意味着在复合场中到达的“最高点”应为图中的D点，由几何知识知四边形AODG为正方形： 在D点，因恰能完成圆周运动，故小球和轨道间弹力为零，则有 设释放点到A点的距离为L，自释放点到D点过程中，根据动能定理有 代入数据得 20．如图所示，在水平方向的匀强电场中，用长度为的轻质绝缘细线悬挂一个质量为m的带电小球。小球静止在A处，悬线与竖直方向的夹角为30°。现将小球拉至B点，使悬线水平，并由静止释放，（重力加速度为g），求∶ (1)电场力的大小和方向？ (2)细线刚绷紧时的速度大小？ (3)小球运动到最低点D时的速度大小？ 【答案】(1)，方向水平向右 (2) (3) 【详解】（1）小球在A处时，对其进行受力分析，如图所示 根据平衡条件有 方向水平向右。 （2）“等效”重力 与FT反向，“等效”重力加速度 从B点运动到C点的过程中，小球在“等效”场力作用下先做初速度为零的匀加速直线运动，有， 所以 在细线拉力的作用下瞬间减小为零，可得细线刚绷紧时的速度大小为 （3）从C点运动到D点的过程中，由动能定理得，， 解得 ▌题型05 带电粒子在匀强电场中做类平抛运动的相关计算 21．（多选）如图所示a、b、c、d为匀强电场中4条沿水平方向的等势面，一个质量为m，电荷量为q的粒子在匀强电场中运动，A、B为其运动轨迹上的两个点。已知该粒子在A点的速度大小为，在B点的速度大小为，A、B连线长为L，连线与等势面间的夹角为θ，不计粒子受到的重力，则（     ） A．粒子所受的电场力方向竖直向下 B．匀强电场的电场强度方向竖直向下 C．粒子从A点运动到B点电场力做负功 D．匀强电场的电场强度大小为 【答案】AD 【详解】AC．该电场为匀强电场，等势面沿水平方向，则电场方向沿竖直方向，粒子的轨迹向下弯曲，所以粒子受到的电场力方向竖直向下，粒子从A点运动到B点电场力做正功，故A正确，C错误； B．由于粒子的电性未知，则无法判断匀强电场的电场强度方向，故B错误； D．A、B两点沿电场线方向的距离为，由动能定理有 联立解得 故D正确。 故选AD。 22．如图所示，从炽热的金属丝漂出的电子 速度可视为零 ，经加速电场加速后从两极板中间垂直射入偏转电场。电子的重力不计。在满足电子能射出偏转电场的条件下，下述四种情况中，一定能使电子的偏转角变大的是（     ） A．仅将偏转电场极性对调 B．仅减小加速电极间的距离 C．仅增大偏转电极间的距离 D．仅增大偏转电极间的电压 【答案】D 【详解】A．偏转电极只能使电子偏转方向相反，不能增大偏转角，故A错误； BCD．直线加速过程，根据动能定理 得 在偏转电场中由平抛规律可得 加速度为 运动时间为 可得偏角的正切值为 若使偏转角变大，即使变大，由上式看出可以增大，或减小，或增大 ，或减小，故BC错误，D正确； 故选D。 23．（多选）如图所示，水平地面上方存在水平向右的匀强电场，O、Q为水平地面上的两点，现将质量为m，电荷量为q的小球（可看作质点），从O点以初速度竖直向上抛出，P为运动轨迹的最高点，Q为最后落回到地面上的点。若不计空气阻力，重力加速度为g，电场强度，，，下列说法正确的是（　　） A．小球到达Q点所用的时间为 B．小球到达P点时的速度大小为0 C．OP的水平距离与PQ的水平距离之比为 D．OQ两点之间的电势差为 【答案】AC 【详解】A．由分析可知，小球在竖直方向上做竖直上抛运动，在水平方向上向右做从静止开始的匀加速直线运动，则在竖直方向上根据可知，小球上升的时间为 由于小球上升和下落的时间相等，所以小球到达Q点所用的时间为，故A正确； B．由于P为运动轨迹的最高点，所以小球在P点时竖直方向的速度大小为 设小球在水平方向的加速度为，则根据牛顿第二定律有 解得 根据运动学公式可知小球在P点时水平方向的速度大小为 所以小球到达P点时的速度大小为，故B错误； C．根据匀变速直线运动的位移公式可知，OP的水平距离为 OQ的水平距离为 所以OP的水平距离与PQ的水平距离之比为，故C正确； D．OQ两点之间的水平距离为 OQ两点之间的电势差为，故D错误。 故选AC。 24．（多选）如图所示，虚线MN左侧有一场强为E1=E的匀强电场，在两条平行的虚线MN和PQ之间存在着宽为L、电场强度为E2=3E的匀强电场，在虚线PQ右侧相距为L处有一与电场E2平行的屏。现将一电子（电荷量为e，质量为m，不计重力）无初速度地放入电场E1中的A点，A点到MN的距离为，最后电子打在右侧的屏上，AO连线与屏垂直，垂足为O，则（     ） A．电子从释放到打到屏上所用的时间为 B．电子从释放到打到屏上所用的时间为 C．电子刚射出电场E2时的速度方向与AO连线夹角的正切值为3 D．电子打到屏上的点P'（图中未标出）到点O的距离为4L 【答案】BC 【详解】AB．电子在E1=E的匀强电场中做初速度为零的匀加速直线运动，由牛顿第二定律 根据位移一时间公式，有 电子进入E2=3E的匀强电场时的速度 在水平方向上做匀速直线运动，有 电子从释放到打到屏上所用的时间为 解得 A错误，B正确； C．电子在电场E2=3E的竖直方向上有， 水平方向 电子刚射出电场E2时的速度方向与AO连线夹角的正切值 解得 C正确； D．电子离开电场E2时的速度反向延长线交于E2电场中点，轨迹如图所示： 电子打到屏上的点P'到点O的距离为x，由相似三角形得 解得 D错误。 故选BC。 25．如图所示，竖直向下的匀强电场中，两个等势面M、N之间的电势差为U。质量为m、电荷量为q的带电粒子从M上的O点水平射入电场中，仅在电场力的作用下发生偏转，到达N上的P点时，水平位移为L，竖直位移为d。求： (1)电场强度的大小E； (2)带电粒子运动的加速度大小a； (3)带电粒子在O点时的速度的大小。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）等势面与间沿电场方向的距离为，由匀强电场中电势差与电场强度的关系 得 （2）粒子仅受电场力，电场力大小 由牛顿第二定律得，结合第（1）问的结果可得 （3）设粒子从点运动到点的时间为，水平方向由匀速直线运动位移公式得 竖直方向初速度为零，由匀变速直线运动位移公式得 代入第（2）问的结果并联立，得 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $