学易金卷：八年级数学上学期9月学情自测卷（新教材鲁教版五四制，范围：八年级上册第1～2章）

**基本信息** 本卷聚焦鲁教版八年级上册第1~2章核心内容，以因式分解、分式为主体，通过选择、填空夯实基础，解答题设计分组分解法、配方法、“和谐分式”等创新题型，考查数学思维中的推理意识与运算能力，适配月考学情检测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|因式分解判断、分式意义等基础概念|通过辨析式考查抽象能力，如第4题平方差公式适用判断| |填空题|6/18|分解因式、最简公分母等技能|第13题结合因式分解与多项式关系，体现逆向思维| |解答题|8/72|分组分解法（20题）、配方法应用（23题）、“和谐分式”定义理解（24题）|突出方法迁移与新情境应用，如24题以“和谐分式”考查模型意识，契合真题对创新能力的考查趋势|

画学科网·学易金卷 www .zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 2026-2027学年八年级数学上学期9月学情自测卷 (考试时间：120分钟，分值：120分) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改 动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡 上。写在本试卷上无效。 3.测试范围：新教材鲁教版八年级上册第1~2章(2.1-2.3)。 第I卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1.下列各式从左到右的变形，因式分解正确的是() A.ax-ay+a=a(x-y) B.4x2-y2=4(x+y)(x-y) C.x2+4y2=(x+2y)2 2.若分式+！有意义，则x的取值范围是() x+2 A.x=1 B.x≠-2 C.x≥1 D.x>-2 3.分式2a 中的α，b的值都扩大为原来的3倍，则分式的值() a+b A.缩小为原来的号 B.缩小为原米的日 C.不变 D.扩大为原来的3倍 4.下列各式：①x2+y2;②y2-x2;③-y2+x2;④-x2-y,其中能用平方差公式因式分解的有() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 5根据分式的基本性质，分式2x+3可变形为() 4-x A.-2r+3 B.-2x+3 C.3-2x 3-2x x-4 4-x D. 4-x x-4 6分式远第-号的结果为x+1,侧■处的运算符号是《) A. B.- C.× D.÷ 1/6 @学科网·学易金卷 www .zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 7若4-5g-6y=0,其中w≠0，则+出的值为() x-V A3或对 B.3或-片 C.3 D.月 8.若a、b、c为三角形的三条边长，且(a-b)2-c2=m,则的取值范围为() A.>0或<0B.m>0 C.m≥0 D.<0 9.己知46-1=(4+1)(4-1)=…则按此规律推算46-1的结果一定能() A.被12整除 B.被13整除 C.被14整除 D.被15整除 1 1 1 10若5=a+1（a*0且a≠-1)，1-，当1书，，1-k号 则x2025等于（) A.a B.a+1 c.-1 D. a a a+1 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 1分解因式：一寻+如=一 12分式。与是的最简公分母是 2ab 13.已知x+2是多项式x2-7x+m的一个因式，则它的另一个因式是 14若-3=AB -1x+1x-,则A+B= 15若a+子6，圆代数式 。的值为 16己知：。日，则2地0 a-4ab-6的值为 三、解答题：本题共8小题，共72分。 17.(6分)把下列多项式分解因式： (1)(x-3)-1: (2)(a+b)-2(a+b)c+c2: (3)(ab+a)-(b+1). 2/6 画学科网·学易金卷 www .Zxxk com 做好卷，就用学易金卷 18.(6分)计算： a)wx-y x-y xy x2-y2 .x-y (2)4+12y+3y e-)〔)ja 19.(8分)先化简，再求值： ,2从-2<x<2的范国内取个合适的整数作为x的 值代入求值， 20.(8分)常用的分解因式的方法有提公因式法、公式法.但有更多的多项式只用上述方法无法分解，如 x2-4y2-2x+4y,细心观察这个式子就会发现，前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两 部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了.过程如下： x2-4y2-2x+4y=(x-2y)(+2y2-2y飞-2y)K+2y-2) 这种分解因式的方法叫做分组分解法，请利用这种方法解决下列问题： (1)分解因式：x2-2xy+y2-16: (2)先因式分解，再求值：x2-y2-2y+2x,其中x+y=9,x-y=7. 3/6 学科网·学易金卷 www .zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 21.(10分)下面是某同学对多项式(x2-6x+10)(x2-6x+8)+1进行因式分解的过程. 解：设x2-6x=y,则原式=(y+10)(y+8)+1(第-步) =y2+18y+81(第二步) =(y+9)2(第三步) =(x2-6x+9)2(第四步) 回答下列问题： ()该同学第二步到第三步所用的因式分解的方法是 A.提取公因式 B.平方差公式 C.两数和的完全平方公式 D.两数差的完全平方公式 (2)该同学因式分解的结果是否彻底？ (填“彻底”或“不彻底”)若不彻底，请直接写出因式分解的最 后结果 (3)请你模仿以上方法尝试对多项式(x2-2x)x2-2x+2)+1进行因式分解. 4/6 @学科网·学易金卷 www .zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 22.(10分)解答 (1)计算下列各式： @〔0)月 ®近) (2)你能根据所学知识找到计算上面算式的简便方法吗？请你利用你找到的简便方法判断 〔1--头-)〔司(m≥2)的值与号的大小关系并说明理由. 23.(12分)阅读材料： 利用完全平方公式，可以将一些形如2+bx+c(a≠0)的多项式变形为a(x+m)+n的形式，我们把这样 的变形方法叫做多项式+bx+c(a≠O)的配方法，运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进 行因式分解，例如+4-5=+4x+ -5=(x+2y2-9=x+2+3)+2-3+5)6-1). 根据以上材料，解答下列问题. (1)分解因式：x2+2x-8; (2)求多项式x2+4x-1的最小值： (3)已知a,b,c是△ABC的三边长，且满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c,求△ABC的周长. 5/6 画学科网·学易金卷 www .zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 24.(12分)定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为 “和谐分式”.如： 料牛号品品 x d-2a+3@-2a++2_(a-旷+24+2 a-1 a-1 a-1 则和“。23郑是和谐分式 a-1 (1)下列分式中，属于“和谐分式”的是： (填序号)； @+2 ②+2 x+1: ③2+1 2: (2)将“和谐分式-6x+12化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为： x-3 (3)当x取什么整数时，“和谐分式℃-6r+12的值为整数？ x-3 6/6 2026-2027学年八年级数学上学期9月学情自测卷 （考试时间：120分钟，分值：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：新教材鲁教版八年级上册第1~2章（2.1-2.3）。 第Ⅰ卷 1、 选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1.下列各式从左到右的变形，因式分解正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】需验证等式左右相等且结果为整式积的形式，逐项判断． 【详解】解：A选项：∵，与左边不相等， ∴变形错误； B选项：∵，与左边不相等， ∴变形错误； C选项：∵，与左边不相等， ∴变形错误； D选项：∵，与左边相等，且结果为整式积的形式， ∴变形正确． 2.若分式有意义，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】令分式的分母不等于零，解不等式即可求出x的取值范围． 【详解】解：∵ 分式有意义， ∴ ， 解得． 3.分式中的，的值都扩大为原来的3倍，则分式的值（     ） A．缩小为原来的 B．缩小为原来的 C．不变 D．扩大为原来的3倍 【答案】C 【详解】解：∵， ∴将分式中的，的值都扩大为原来的3倍，分式的值不变． 4.下列各式：①x2＋y2；②y2－x2；③－y2＋x2；④－x2－y2，其中能用平方差公式因式分解的有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查平方差公式因式分解的条件，平方差公式因式分解要求多项式能写成两个平方项的差的形式，即的形式，逐个判断四个式子即可得到结果． 【详解】解：① 是两个平方项的和，不符合要求，不能用平方差公式因式分解； ② 符合的形式，符合要求，可以用平方差公式因式分解； ③ ，符合的形式，符合要求，可以用平方差公式因式分解； ④ ，本质是两个平方项的和的相反数，不符合要求，不能用平方差公式因式分解． 5.根据分式的基本性质，分式可变形为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：， ， 故选：A． 6.分式运算的结果为，则处的运算符号是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分式混合运算法则，逐项进行验证即可． 【详解】解：若处为“”，则 ，故A不符合题意； 若处为“”，则 ，故B不符合题意； 若处为“”，则 ，故C不符合题意； 若处为“”，则 ，故D符合题意． 7.若，其中，则的值为（     ） A．或 B．或 C． D． 【答案】B 【分析】对已知等式左边因式分解，得到与的数量关系，代入分式计算，即可解答． 【详解】解：左边因式分解，得； ∵， ∴，， ∴或， 解得：或； 当时，， ∴； 当时，， ∴． 8.若a、b、c为三角形的三条边长，且，则m的取值范围为（     ） A．或 B． C． D． 【答案】D 【分析】对等式左边用平方差公式因式分解，结合三角形三边关系判断m的符号． 【详解】解： ， ∵为三角形的三条边长， ∴， ， ∴， ， ∴， 即． 9.已知则按此规律推算的结果一定能（     ） A．被12整除 B．被13整除 C．被14整除 D．被15整除 【答案】D 【分析】对连续运用平方差公式分解因式即可得到答案． 【详解】解： ， ∵都是正整数， ∴一定能被15整除， ∴的结果一定能被15整除． 10.若（且），，，…，，则x2025等于（     ） A．a B． C． D． 【答案】D 【分析】计算数列前几项确定循环周期，结合余数求解对应项. 【详解】解：∵， ∴，，， … ∴数列每3项为一个循环周期， ∵2025÷3=675，余数为0， ∴x2025= . 第Ⅱ卷 2、 填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11.分解因式：______． 【答案】 【详解】解： ． 12.分式与的最简公分母是 　　． 【答案】 【分析】按照公分母的定义进行解答． 【详解】解：题中两分式的最简公分母即求两分式分母的最小公倍数，即为．故答案为． 13.已知是多项式的一个因式，则它的另一个因式是________________． 【答案】/ 【分析】设出另一个因式，利用因式乘积展开后对应系数相等求解． 【详解】解：设多项式的另一个因式为，则， ， ， 解得：， 因此另一个因式为． 14.若，则A+B=______． 【答案】 3 【分析】将等式右侧通分，再比较等式的两边，得出分子相等，利用多项式对应系数相等列方程组，解方程组即可． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴， 解得．∴A+B=3. 15.若，则代数式的值为____________． 【答案】/ 【分析】先对已知等式变形得到与的等量关系，再将所求分式的分母提取公因式后，整体代入化简求值． 【详解】解：由题知：，， ∵， ∴， ∴． 16.已知：，则的值为____________． 【答案】1 【分析】先根据已知条件推导出与的关系，再变形所求分式后代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴，整理得． ． 三、解答题：本题共8小题，共72分。 17.（6分）把下列多项式分解因式： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解： ；（2分） （2）解： ；（4分） （3）解： ．（6分） 18.（6分）计算： (1)． (2)． (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先进行乘方的运算，再进行约分，化为最简分式即可； （2）先进行多项式的因式分解，除号化为乘号，再进行约分，化为最简分式即可； （3）先乘方，再约分，化为最简分式即可。 【详解】（1）解：原式 ．（2分） （2）解：原式 ．（4分） （3）解：原式 ．（6分） 19.（8分）先化简，再求值：，从的范围内取一个合适的整数作为的值代入求值． 【答案】，取时，原式的值为（答案不唯一，取时值为） 【详解】解： （2分） ，（5分） ， 整数的值为，，， 又 ， （7分） 取时，原式 （答案不唯一，取时值为）．（8分） 20.（8分）常用的分解因式的方法有提公因式法、公式法．但有更多的多项式只用上述方法无法分解，如，细心观察这个式子就会发现，前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了．过程如下： 这种分解因式的方法叫做分组分解法，请利用这种方法解决下列问题： (1)分解因式：； (2)先因式分解，再求值：，其中． 【答案】(1) (2)， 【详解】（1）解： （2分） ；（4分） （2）解： （5分） ，（7分） ， 原式．（8分） 21.（10分）下面是某同学对多项式进行因式分解的过程． 解：设，则原式（第一步） （第二步） （第三步） （第四步） 回答下列问题： (1)该同学第二步到第三步所用的因式分解的方法是_____． A．提取公因式 B．平方差公式 C．两数和的完全平方公式 D．两数差的完全平方公式 (2)该同学因式分解的结果是否彻底？_____（填“彻底”或“不彻底”）若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果_____． (3)请你模仿以上方法尝试对多项式进行因式分解． 【答案】(1)C (2)不彻底； (3) 【分析】（1）根据完全平方公式进行求解即可； （2）根据因式分解结果，结合完全平方公式进行判断即可； （3）根据题干提供的方法，进行求解即可． 【详解】（1）解：该同学第二步到第三步所用的因式分解的方法是两数和的完全平方公式，选C；（3分） （2）解：该同学因式分解的结果不彻底；（4分） 设，则原式 ， ∴因式分解的最后结果为：．（6分） （3）解：设，则： （8分） ．（10分） 22.（10分）解答 (1)计算下列各式： ① ； ② ； ③ ； (2)你能根据所学知识找到计算上面算式的简便方法吗?请你利用你找到的简便方法判断（）的值与的大小关系，并说明理由． 【答案】(1)①；②；③ (2) 【分析】（1）利用平方差公式展开和约分计算即可； （2）利用平方差公式展开和约分计算，结合比较即可． 【详解】（1）解：①， ， ， ；（2分） ②， ， ， ， ；（4分） ③， ， ， ， ；（6分） （2）解：， ， ， ，（8分） （）， ， ．（10分） 23.（12分）阅读材料： 利用完全平方公式，可以将一些形如的多项式变形为的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式的配方法，运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解，例如． 根据以上材料，解答下列问题． (1)分解因式：； (2)求多项式的最小值； (3)已知a，b，c是的三边长，且满足，求的周长． 【答案】(1) (2) (3)12 【分析】（1）根据配方法配方，再运用平方差公式分解因式即可； （2）根据配方法配方，再根据平方的非负性，可得答案； （3）根据配方法配方，得到，再根据非负数的性质求出的值，可得答案． 【详解】（1）解：原式 （1分） ；（3分） （2）解： ，（5分） ∵， ∴，（6分） ∴当时，有最小值， 即多项式的最小值为；（7分） （3）解：∵， ∴，（8分） ∴， ∴，（10分） ∴，，， ∴，，，（11分） ∴的周长为．（12分） 24.（12分）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如： ； ， 则和都是“和谐分式”． (1)下列分式中，属于“和谐分式”的是： （填序号）； ①；    ②；    ③； (2)将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为： ； (3)当取什么整数时，“和谐分式”的值为整数？ 【答案】(1)①②③ (2) (3)整数的值为或或或 【分析】（1）根据“和谐分式”的定义逐个判断即可； （2）根据，利用完全平方公式进行化简即可； （3）先得出为整数，再结合（2）的结论，得出所有可能的取值，由此即可得． 【详解】（1）解：①， ②， ③， 则属于“和谐分式”的是①②③．（3分） （2）解： ．（6分） （3）解：∵为整数， ∴也为整数，（7分） 由（2）已得：， 要使“和谐分式”的值为整数，则需的值为整数，（9分） ∴所有可能的值为，，，，（10分） ∴所有可能的值为，，，， 即当整数的值为或或或时，“和谐分式”的值为整数．（12分） / 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年八年级数学上学期9月学情自测卷 答题卡 姓 名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 一==-■==。。==-一=-■-。===。=●一一=▣- 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 考生禁填：缺考标记 ▣ 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 选择题填涂样例： 无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 正确填涂 4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂[×][√][/] 一、单项选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。 1,A][B][C][D] 5.[A][B][C][D] 9.[A][B][C][D] 2.[A][B][C][D] 6.[A][B][C][D] 10.[A][B][C][D] 3.[A][B][C][D] 7.[A][B][C][D] 4.[A][B][C][D] 8.[A][B][c][D] 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11 12 13. 16. 三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚。 17.(6分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效： 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(6分) 19.(8分) 20.(8分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效： 21.(10分) (①)该同学第二步到第三步所用的因式分解的方法是 (2)该同学因式分解的结果是否彻底？ (填“彻底”或“不彻底)若不彻底，请直接写出因式分解的 最后结果一 22.(10分) 01 ) @近0) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23.(12分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24.(12分) (1)下列分式中，属于“和谐分式的是： (填序号)； ②)将“和谐分式了-6x+12化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为： x-3 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 11 2026-2027学年八年级数学上学期9月学情自测卷 答题卡 贴条形码区 考生禁填： 缺考标记 违纪标记 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 选择题填涂样例： 正确填涂 错误填涂 [×] [√] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5 mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 姓 名：__________________________ 准考证号： 一、单项选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 2.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 3.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 4.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 7.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 8.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 9.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 10.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11._______________ 15. ________________ 12. ___________ 16. _______________ 13. _________________ 14. __________________ 三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 17.（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（6分） 19．（8分） 20．（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21．（10分） (1)该同学第二步到第三步所用的因式分解的方法是_____． (2)该同学因式分解的结果是否彻底？_____（填“彻底”或“不彻底”）若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果_____． 22．（10分） ① ； ② ； ③ ； 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23．（12分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24．（12分） (1)下列分式中，属于“和谐分式”的是： （填序号）； (2)将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为： ； 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年八年级数学上学期9月学情自测卷 （考试时间：120分钟，分值：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：新教材鲁教版八年级上册第1~2章（2.1-2.3）。 第Ⅰ卷 1、 选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1.下列各式从左到右的变形，因式分解正确的是（     ） A． B． C． D． 2.若分式有意义，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 3.分式中的，的值都扩大为原来的3倍，则分式的值（     ） A．缩小为原来的 B．缩小为原来的 C．不变 D．扩大为原来的3倍 4.下列各式：①x2＋y2；②y2－x2；③－y2＋x2；④－x2－y2，其中能用平方差公式因式分解的有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5.根据分式的基本性质，分式可变形为（     ） A． B． C． D． 6.分式运算的结果为，则处的运算符号是（     ） A． B． C． D． 7.若，其中，则的值为（     ） A．或 B．或 C． D． 8.若a、b、c为三角形的三条边长，且，则m的取值范围为（     ） A．或 B． C． D． 9.已知则按此规律推算的结果一定能（     ） A．被12整除 B．被13整除 C．被14整除 D．被15整除 10.若（且），，，…，，则x2025等于（     ） A．a B． C． D． 第Ⅱ卷 2、 填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11.分解因式：______． 12.分式与的最简公分母是 　　． 13.已知是多项式的一个因式，则它的另一个因式是________________． 14.若，则A+B=______． 15.若，则代数式的值为____________． 16.已知：，则的值为____________． 三、解答题：本题共8小题，共72分。 17.（6分）把下列多项式分解因式： (1)； (2)； (3)． 18.（6分）计算： (1)． (2)． (3)． 19.（8分）先化简，再求值：，从的范围内取一个合适的整数作为的值代入求值． 20.（8分）常用的分解因式的方法有提公因式法、公式法．但有更多的多项式只用上述方法无法分解，如，细心观察这个式子就会发现，前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了．过程如下： 这种分解因式的方法叫做分组分解法，请利用这种方法解决下列问题： (1)分解因式：； (2)先因式分解，再求值：，其中． 21.（10分）下面是某同学对多项式进行因式分解的过程． 解：设，则原式（第一步） （第二步） （第三步） （第四步） 回答下列问题： (1)该同学第二步到第三步所用的因式分解的方法是_____． A．提取公因式 B．平方差公式 C．两数和的完全平方公式 D．两数差的完全平方公式 (2)该同学因式分解的结果是否彻底？_____（填“彻底”或“不彻底”）若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果_____． (3)请你模仿以上方法尝试对多项式进行因式分解． 22.（10分）解答 (1)计算下列各式： ① ； ② ； ③ ； (2)你能根据所学知识找到计算上面算式的简便方法吗?请你利用你找到的简便方法判断（）的值与的大小关系，并说明理由． 23.（12分）阅读材料： 利用完全平方公式，可以将一些形如的多项式变形为的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式的配方法，运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解，例如． 根据以上材料，解答下列问题． (1)分解因式：； (2)求多项式的最小值； (3)已知a，b，c是的三边长，且满足，求的周长． 24.（12分）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如： ； ， 则和都是“和谐分式”． (1)下列分式中，属于“和谐分式”的是： （填序号）； ①；    ②；    ③； (2)将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为： ； (3)当取什么整数时，“和谐分式”的值为整数？ / 学科网（北京）股份有限公司 $西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 2026-2027学年八年级数学上学期9月学情自测卷 参考答案 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 2 4 5 6 > 8 10 D B A 0 B 0 D 0 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 1.3-3+】 12.2a2b2c 13.x-9/-9+x 3 14.3 15.410.75 16.1 三、解答题：本题共8小题，共72分。 17.(6分)(2)解：x-3)-1 =(x-3+1)(x-3-1) =x-40x-2）.(2分) (2)解：(a+b}-2(a+b)c+c2 =(a+b-c :(4分) (3)解.(ab+a)-(b+) =a(b+1)-(b+1) =(a-1)(b+1) ，(6分) x2y2 x-y 18.(6分)(1)解：原式(x-y2x2y 1/7 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 =_y x-y.(2分) (x+y)(x-y).x+3y (2)解：原式4x(x+3y）x-y =+y 4x·(4分) 周，赋)衣如 =2.(6分) [ 气- -- 2+x-1 x+1(x+1)月 =1+x-1 x+1(x+1)2 x+1 x-1 (x+1)2(x+1 2.x (x+12,(5分) -2<x<2 整数x的值为-1,0,1， 又：x≠1，(7分) 217 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 2×0 =0 取x=0时，原式(0+) (答案不唯一，取x=1时值为2).(8分) x2-2xy+y2-16 20.(8分)(1)解： =(2-2y+y）162分) =(x-y)2-42 =(x-y+40x-y-4);(4分) x2-y2-2y+2x (2)解： =(x2-y)+(2-2y）5分) =(x+y)(x-y)+2(x-y) =(x-yx+y+2),7分) x+y=9,x-y=7 ÷原式(-儿x+y+2)=7×(9+2)=7×11=7 .8分) 21.(10分)(1)解：该同学第二步到第三步所用的因式分解的方法是两数和的完全平方公式，选C;(3 分) (2)解：该同学因式分解的结果不彻底；(4分) 设-6x=y,则原式=0+10心0+8)+1 =y2+18y+81 =(y+9)月 =(x2-6x+9) =(x-3)° 317 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 ∴因式分解的最后结果为： (x-3(6分) x2-2x=y (3)解：设 ,则： (x2-2x）(x2-2x+2)+1 =y(y+2)+1 =y2+2y+1 =(y+18分) =(x2-2x+1月 =(x-1)°，(10分) 2(10分)(4)解：0l-, =》 2分 @〔) +0 1、3、2、4 =2233 14 =23 =34分) 4/7 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 -) （101+-0+-4+4 -1x3x2x4x3x5 223344: 15 24 8;(6分) 2-----) （+1+0-4+-0+ =1×3x2×4x3x5n-1xn+1 =223×344nxn, =1×n+1 2n,(8分) +山>1(m22), n 0--)片n分 23.(12分)(1)解：原式=x2+2x+1-1-8 =(x+-91分) =(x+1-3)(x+1+3) 517 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 =-(x-2(x+4),(3分) (2)解：x2+4x-1 =x2+4x+4-4-1 =(x+2-5,(5分) (x+2}≥0 :(x+2)-52-5,6分) :当x=2时，(6+2)-5有最小值5， 即多项式x2+4x-1的最小值为-5；(7分) (3)解：：a2+b2+c2+50=6a+8b+10c, ∴a2+b2+c2-6a-8b-10c+50=0,(8分) :(a-6a+9)+(6-8b+16)+(c2-10c+25)=0 :(a-3+6-4+c-5=0,10分) .a-3=0,b-4=0,c-5=0, .a=3,b=4,c=5,(11分) 、.△ABC的周长为3+4+5=12.(12分) D+2-+2-1+2 24.12分)(1)解：①xx元 x+2_x+1+1=x+1+1=1+1 ②x+1=x+1=x+1x+1x+1, 、1 y2, 则属于“和谐分式”的是①②③.(3分) 617 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 x2-6x+12 (2)解：x-3 _(r-6x+9)+3 x-3 =(x-32+3 x-3 _x-3+3 x-3x-3 =r-3+3 -3·(6分) (3)解：，为整数， .x-3也为整数，(7分) -6x+12=x-3+3 由(2)已得：x-3 -3, x2-6x+12 3 要使“和谐分式”x一3的值为整数，则需x-3的值为整数，(9分) .x-3所有可能的值为-3，-1,1,3，(10分) .x所有可能的值为0,2,4,6， x2-6x+12 即当整数x的值为0或2或4或6时，“和谐分式”x-3的值为整数.(12分) 717………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年八年级数学上学期9月学情自测卷 （考试时间：120分钟，分值：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：新教材鲁教版八年级上册第1~2章（2.1-2.3）。 第Ⅰ卷 1、 选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1.下列各式从左到右的变形，因式分解正确的是（     ） A． B． C． D． 2.若分式有意义，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 3.分式中的，的值都扩大为原来的3倍，则分式的值（     ） A．缩小为原来的 B．缩小为原来的 C．不变 D．扩大为原来的3倍 4.下列各式：①x2＋y2；②y2－x2；③－y2＋x2；④－x2－y2，其中能用平方差公式因式分解的有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5.根据分式的基本性质，分式可变形为（     ） A． B． C． D． 6.分式运算的结果为，则处的运算符号是（     ） A． B． C． D． 7.若，其中，则的值为（     ） A．或 B．或 C． D． 8.若a、b、c为三角形的三条边长，且，则m的取值范围为（     ） A．或 B． C． D． 9.已知则按此规律推算的结果一定能（     ） A．被12整除 B．被13整除 C．被14整除 D．被15整除 10.若（且），，，…，，则x2025等于（     ） A．a B． C． D． 第Ⅱ卷 2、 填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11.分解因式：______． 12.分式与的最简公分母是 　　． 13.已知是多项式的一个因式，则它的另一个因式是________________． 14.若，则A+B=______． 15.若，则代数式的值为____________． 16.已知：，则的值为____________． 三、解答题：本题共8小题，共72分。 17.（6分）把下列多项式分解因式： (1)； (2)； (3)． 18.（6分）计算： (1)． (2)． (3)． 19.（8分）先化简，再求值：，从的范围内取一个合适的整数作为的值代入求值． 20.（8分）常用的分解因式的方法有提公因式法、公式法．但有更多的多项式只用上述方法无法分解，如，细心观察这个式子就会发现，前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了．过程如下： 这种分解因式的方法叫做分组分解法，请利用这种方法解决下列问题： (1)分解因式：； (2)先因式分解，再求值：，其中． 21.（10分）下面是某同学对多项式进行因式分解的过程． 解：设，则原式（第一步） （第二步） （第三步） （第四步） 回答下列问题： (1)该同学第二步到第三步所用的因式分解的方法是_____． A．提取公因式 B．平方差公式 C．两数和的完全平方公式 D．两数差的完全平方公式 (2)该同学因式分解的结果是否彻底？_____（填“彻底”或“不彻底”）若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果_____． (3)请你模仿以上方法尝试对多项式进行因式分解． 22.（10分）解答 (1)计算下列各式： ① ； ② ； ③ ； (2)你能根据所学知识找到计算上面算式的简便方法吗?请你利用你找到的简便方法判断（）的值与的大小关系，并说明理由． 23.（12分）阅读材料： 利用完全平方公式，可以将一些形如的多项式变形为的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式的配方法，运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解，例如． 根据以上材料，解答下列问题． (1)分解因式：； (2)求多项式的最小值； (3)已知a，b，c是的三边长，且满足，求的周长． 24.（12分）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如： ； ， 则和都是“和谐分式”． (1)下列分式中，属于“和谐分式”的是： （填序号）； ①；    ②；    ③； (2)将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为： ； (3)当取什么整数时，“和谐分式”的值为整数？ 试题 第7页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $: : : 2026-2027学年八年级数学上学期9月学情自测卷 O (考试时间：120分钟，分值：120分) : 注意事项： : 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。 : 写在本试卷上无效。 3.测试范围：新教材鲁教版八年级上册第1~2章（2.1-2.3)。 . : 第I卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1.下列各式从左到右的变形，因式分解正确的是() : A.ax-ay+a=a(x-y） B.4x2-y2=4(x+y)(x-y) C.x2+4y2=(x+2y)2 1 : D.d-a+4a-2 O +2有意义，则x的取值范围是（) 2.若分式x+1 A.x=1 B.x≠-2 C.x≥1 D.x>-2 3.分式2a中的a,b的值都扩大为原来的3倍，则分式的值（） atb : A.缩小为原来的时 B.缩小为原来的} : C.不变 D.扩大为原来的3倍 : 4.下列各式：①x2+y2:②y2-x2;③-y2+x2;④-x2-y2,其中能用平方差公式因式分解的有（) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 5.根据分式的基本性质，分式2x+3可变形为() 4-x 2x+3 : B.-2r+3 c.32r 3-2x D. 区 x-4 4-x 4-x x-4 : 6.分式运算1- 1-2的结果为x+1,则■处的运算符号是（） -1x2-1 A.+ B.- C.× D : 若4r-5m-6=0,其中w≠0，则的值为( : 试题第1页（共8页） : @学科网·学易金卷做斑微：就限是音普 A3或月 ®.3或月 1 C.3 D.7 8.若b、c为三角形的三条边长，且(a-b)-c2=m,则m的取值范围为() A.>0或<0 B.>0 C.m≥0 D.<0 9.已知46-1=(43+1)(43-1)=…则按此规律推算46-1的结果一定能() A.被12整除 B.被13整除 C.被14整除 D.被15整除 1 1 1 10,若5=a+1（a≠0且a≠-1)，名1-，1-，…1-，则x函等于（） A.a B.a+1 D. a+1 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11.分解因式：-+9xy= 4 12分式26与0心2的员简公分同足 13.已知x+2是多项式x2-7x+m的一个因式，则它的另一个因式是 u手合马则e 15.若a+2=b,则代数式 的值为 a 4a2+8 16.已知：上13，则3a+2ab-0的值为 a b a-4ab-b 三、解答题：本题共8小题，共72分。 17.(6分)把下列多项式分解因式： (1)(x-3)2-1: (2)(a+b)-2(a+b)c+c2; (3)(ab+a)-(b+1). 18.(6分)计算： 广y x-v xy x2-y2 x-y 2)4+12g+3y （ga 试题第2页（共8页） 可学科网·学易金卷做概微：就限彩是鲁舞 19.(8分)先化简，再求值： x-1 x+2x+1 从-2<x<2的范围内取一个合适的整数作为x的 值代入求值. 20.(8分)常用的分解因式的方法有提公因式法、公式法.但有更多的多项式只用上述方法无法分解，如 x2-4y2-2x+4y,细心观察这个式子就会发现，前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两 部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了.过程如下： x2-4y2-2x+4y=(x-2)(x+2y-2x-2)(x-20(x+2y-3 这种分解因式的方法叫做分组分解法，请利用这种方法解决下列问题： (1)分解因式：x2-2xy+y2-16: (2)先因式分解，再求值：x2-y2-2y+2x,其中x+y=9,x-y=7. 21.(10分)下面是某同学对多项式(x2-6x+10)(x2-6x+8)+1进行因式分解的过程. 解：设x2-6x=y,则原式=(y+10)(y+8)+1(第一步) =y2+18y+81(第二步) =(y+9)2(第三步) =(x2-6x+9}(第四步) 回答下列问题： (1)该同学第二步到第三步所用的因式分解的方法是 A.提取公因式 B.平方差公式 C.两数和的完全平方公式 D.两数差的完全平方公式 (2)该同学因式分解的结果是否彻底？一一（填“彻底”或“不彻底”）若不彻底，请直接写出因式分解的最后 结果一 (3)请你模仿以上方法尝试对多项式(x2-2x)(x2-2x+2)+1进行因式分解。 22.（10分)解答 试题第3页（共8页） (1)计算下列各式： @1- ®10) @) (2)你能根据所学知识找到计算上面算式的简便方法吗？请你利用你找到的简便方法判断 卡 1001司-司 (n≥2)的值与的大小关系，并说明理由. 张 23.(12分)阅读材料： 利用完全平方公式，可以将一些形如ax2+bx+c(a≠O)的多项式变形为a(x+m)+n的形式，我们把这样 江 的变形方法叫做多项式ax2+bx+c(a≠0)的配方法，运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进 游 网武解+5=r得-（ 游 -5=(x+2)2-9=x+2+3)6+2-3+5)-1) 根据以上材料，解答下列问题. (1)分解因式：x2+2x-8: (2)求多项式x2+4x-1的最小值： (3)已知a,b,c是△ABC的三边长，且满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c,求△ABC的周长. S 24.(12分)定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和 谐分式”.如： +1-=1+2=21+2 世 x-1x-1x-1x-11x-1 十一 O d2-2a+3@-2a+1t2_a-1+2a 2 a-1 a-1 a-1 a-1 则+1和心-2+3都是“和谐分式” x-1 a-1 (1)下列分式中，属于“和谐分式”的是： (填序号)： @+2 : ②+2 x+1 ③+1 y2 2将“和谐分式心-6+12化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为： x-3 3)当x取什么整数时，“和谐分式心-6x+12的值为整数？ x-3 试题第4页（共8页）