2.4 单摆 专题训练-2026-2027学年高二物理上学期同步知识点解读与专题训练（人教版选择性必修第一册）

2.4单摆（专题训练） 【人教版（2019）： 选择性必修第一册】 题型归纳 【题型1 单摆模型及条件】 1 【题型2 单摆的回复力】 4 【题型3 单摆的速度、加速度和位移】 5 【题型4 单摆的振动图像及其表达式】 8 【题型5 单摆的周期】 10 【题型6 等效单摆】 14 【题型1 】 1．在用单摆测当地的重力加速度实验中，一个单摆的摆长为L，摆球的质量为m，它做简谐运动的振幅为A，当摆球运动至平衡位置时速度大小为v。现小郴同学保持微小摆动，将这个单摆的摆球质量增加为2m，并使其在平衡位置的速度大小变为，以单摆的平衡位置所在的水平面为重力势能的参考面，则（ ） A．振动周期为原来的 B．摆球机械能为原来的 C．振动振幅变为原来的 D．摆球经过平衡位置动量为原来的2倍 2．关于简谐运动和单摆，下列说法正确的是（　　） A．平衡位置就是回复力为零的位置 B．物体到达平衡位置时，合力一定为零 C．单摆细线拉力与重力的合力提供回复力 D．单摆摆动到最低点时摆球合力为零 3．如图所示的装置可以模拟波的形成过程。半径为的圆柱面最低处的母线沿水平方向，母线和距很近且关于对称。完全相同的1到10号小球（可视为质点）锁定在上，间距均为。时刻，由静止释放球1，此后每隔时间（g为重力加速度）依次由静止释放所有小球。若忽略一切摩擦，则（　　） A．时刻，球1回到出发点 B．球1首次到达时，球5位于最低点 C．该“波”的“波长”为 D．该“波”的“波速”为 4．下列关于简谐运动的振幅、周期和频率的说法正确的是（　　） A．物体位于平衡位置时，一定处于平衡状态 B．振幅是矢量，方向从平衡位置指向最大位移处 C．弹簧振子的位移减小时，加速度减小，速度增大 D．简谐运动的振幅越大，则其运动的周期一定越长 5．（多选）下列有关单摆的说法正确的是（　　） A．在做单摆实验时，要尽可能选择质量小、体积大的球 B．同一个单摆在赤道和两极的周期不相同 C．单摆的周期与摆球质量和振幅无关 D．摆角很大时，单摆也可以看成做简谐运动 6．（多选）图中是甲、乙两名游客体验“悬崖秋千”的情境，甲、乙游客的质量和摆幅均不相等，忽略空气阻力作用，两游客均可视作质点且摆幅较小，下列说法正确的有（　　） A．甲游客在B点机械能大于A点 B．甲游客在A点受到的回复力大于B点 C．甲、乙游客在B点的速度大小相等 D．甲、乙游客从最低点运动到最高点的时间近似相同 7．甲、乙两个单摆在同一地点摆动的振动图像如图所示。 (1)写出甲、乙两个单摆位移随时间的变化关系式； (2)求甲、乙两个单摆的摆长之比。 8．如图所示，质量为的小球甲在半径为的光滑圆槽上的、之间来回运动，间弧长远小于圆槽半径。当摆角很小时，重力加速度为。小球均可看成质点，不计空气阻力的影响。 (1)证明小球甲的运动是简谐运动； (2)将小球甲从圆弧面的处由静止释放，同时在圆弧的圆心处由静止释放另一小球乙（图中未画出）。通过计算说明哪个小球先到达圆弧面的最低点； (3)当甲球完成（为整数）次全振动过程中，圆槽对甲球的冲量。 【题型2 】 9．在北京研学的同学们看到街头有一个摆钟，如图所示，大家纷纷议论了起来，已知此摆钟在北京走时准确。关于同学们的议论下列说法正确的是（　　） A．小华同学认为如果将摆钟带回广州，摆钟走时还会像在北京一样准确 B．小明同学说摆球在摆动中的回复力是摆绳拉力和摆球重力的合力 C．小张同学说摆球运动到两侧最高点时摆绳的拉力最大 D．小王同学说如果能让此摆钟加速上升，摆钟的摆动周期一定减小 10．关于机械振动的描述，以下说法中正确的是（　　） A．平衡位置一定就是物体合力为零的位置 B．机械振动的位移是以平衡位置为起点的位移 C．回复力一定是物体受到的合外力 D．机械振动的加速度越大，速度也越大 11．荡秋千是深受小朋友喜欢的游乐活动，如图所示，秋千由坐板和绳构成，人在秋千上小幅度摆动时可以简化为单摆模型，人和坐板可视为摆球，忽略空气阻力，在摆动过程中，下列说法正确的是（     ） A．摆球受重力、摆线的拉力、回复力的作用 B．经过最低点时摆球处于平衡状态 C．摆球做简谐运动时，摆角越小，其运动周期越小 D．远离最低点运动的过程中，摆球机械能不变，而动能减小 12．简谐运动既是最基本也是最简单的一种机械振动。关于简谐运动的表达式、回复力和能量，下列说法正确的是（     ） A．单摆做简谐运动过程中的回复力是单摆受到重力沿圆弧切线方向的分力 B．水平弹簧振子做简谐运动时系统的能量做周期性变化 C．简谐运动位移x的一般函数表达式中，表示频率，表示相位 D．简谐运动的回复力可以是方向不变而大小变化的力，也可以是大小不变而方向改变的力 13．（多选）如图甲所示，一单摆做小角度摆动，从某次摆球由左向右通过平衡位置时开始计时，相对平衡位置的位移x随时间t变化的图像如图乙所示。不计空气阻力，重力加速度g取。对于这个单摆的振动过程，下列说法正确的是（   ） A．单摆的摆长约为1.0m B．单摆的位移x随时间t变化的关系式为 C．从到的过程中，摆球的重力势能逐渐增大 D．从到的过程中，摆球所受回复力逐渐减小 14．（多选）下列关于简谐运动的说法正确的是（　　） A．做简谐运动的物体，振幅越大，振动能量越大 B．做简谐运动的单摆的回复力是由单摆受到的合力提供的 C．物体做简谐运动，从点经过二分之一周期运动到点，则点和点关于平衡位置对称 D．物体做简谐运动，从点经过四分之一周期运动到点，则点和点不可能关于平衡位置对称 【题型3 】 15．两个小球P、Q构成的单摆振动的图像如下表所示（位移x随时间t变化的部分数据）。下列说法正确的是（     ） 时间t/s 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 P位移x/cm 5.0 2.5 -2.5 -5.0 -2.5 2.5 5.0 Q位移x/cm 2.5 -2.5 -5.0 -2.5 2.5 5.0 2.5 A．t=0.6s时，P和Q的速度都为0 B．t=1.0s时，P和Q的速度方向相同 C．t=1.0s时，P和Q的加速度方向相同 D．根据图像无法比较P和Q的摆长 16．把秋千看成单摆模型，图为小明在荡秋千时的振动图像，已知小王的体重比小明的大，已知绳子等长且不可伸长，二人均可看成质点，则下列说法正确的是（g取10m/s2）（　　） A．图中b点对应荡秋千时的最低点，此时回复力为零 B．小王荡秋千时，其周期大于6.28s C．小明荡到图中对应的b点时，动能最小 D．该秋千的绳子长度约为5m 17．荡秋千是深受大家喜爱的活动。若将小孩和秋千视为一个单摆，其摆动可近似看作简谐运动。关于该振动过程，下列说法正确的是（     ） A．秋千摆动到最高点时，速度为零，处于平衡状态 B．秋千除受重力、弹力外还受回复力 C．秋千摆动的过程中不存在合力为零的位置 D．秋千从最高点向最低点运动的过程中，回复力逐渐增大 18．（多选）一单摆做小角度摆动，其振动图像如图，以下说法正确的是（　　） A．时刻摆球速度最大，绳对它的拉力最小 B．时刻摆球速度最大，绳对它的拉力最大 C．时刻摆球速度为零，绳对它的拉力最小 D．时刻摆球速度最小，绳对它的拉力最大 19．（多选）如图所示，甲、乙、丙三个小球用不可伸长的轻绳悬挂在天花板上，从左至右摆长依次增加，小球静止在纸面所示竖直平面内。将三个小球垂直纸面向外拉起一小角度，由静止同时释放。释放后小球都做简谐运动。当小球甲完成2个周期的振动时，小球丙恰好第一次到达与小球甲同侧最高点，同时小球乙恰好第一次到达另一侧最高点。则（　　） A．小球甲第一次到达另一侧最高点时，小球丙动能最大 B．小球甲第一次回到平衡位置时，小球乙动能正在减小 C．小球甲、乙的摆长之比为 D．小球甲、丙的摆长之比为 20．如图所示，一细线上端固定，下端悬挂一金属球在之间做简谐振动，其中是简谐振动的平衡位置，是球的最大位移处。已知细线长为球直径为质量为，重力加速度大小为。 (1)从点开始计时，求球第二次经过点时间； (2)已知球在点时细线的拉力大小为，求球经过点时细线上拉力大小。 【题型4 】 21．如图甲所示的挖掘机的顶部垂下一个大铁球并让它小角度地摆动，可用作工地的拆除工作。大铁球摆动时可视为单摆，对应的振动图像如图乙所示，则下列说法正确的是（　　） A．单摆振动的周期是 B．如果再知道单摆的摆长，可粗略算出当地的重力加速度 C．大铁球摆动的角度增大，则振动周期增大，能量也增大 D．当时，大铁球的动能最小，回复力最大 22．如图甲所示，一单摆做小角度摆动，从某次摆球由左向右通过平衡位置时开始计时，相对平衡位置的位移x随时间t变化的图像如图乙所示。不计空气阻力，重力加速度g取10m/s²。对于这个单摆的振动过程，下列说法正确的是（　　） A．单摆的摆长约为1.0m B．单摆的位移x随时间t变化的关系式为x=8sin100πt(cm) C．从t=0.5s到t=1.0s的过程中，摆球的重力势能逐渐增大 D．从t=1.0s到t=1.5s的过程中，摆球所受回复力逐渐减小 23．某同学在学校实验室分别用甲、乙两个质量相等的单摆做简谐运动的实验，测得的振动图像如图所示，下列说法中正确的是（     ） A．甲单摆的摆长大于乙单摆的摆长 B．两摆球经过平衡位置时，动能不可能相等 C．乙单摆的振动方程是 D．在任意相同时间内，两摆球的位移之比为 24．（多选）如图甲所示，一单摆做小角度（）摆动。从某次摆球由左向右通过平衡位置开始计时，摆球相对平衡位置的位移x随时间t变化的图像如图乙所示。忽略空气阻力不计，取，重力加速度，对于这个摆球的振动过程，下列说法正确的是（     ） A．单摆做简谐运动时，摆长约为1.0m B．时，摆球运动的位移为零，速度为零 C．时，摆球运动的速度最大，加速度为零 D．从到的过程中，摆球所受回复力逐渐增大，摆线上的拉力逐渐减小 25．（多选）如图甲所示，单摆摆球在竖直面内的A、C之间来回摆动，B点为运动中的最低位置，最大摆角α为5°，悬点O处接有一力传感器，记录摆线拉力大小F随时间t变化的关系如图乙所示。下列判断正确的是（　　） A．单摆的周期为1s B．单摆的周期为2s C．时刻，摆球在A点 D．时刻，摆球在B点 26．摆球质量为m的单摆悬挂在O点如图所示，其振动图像如图甲所示，今将此单摆移至某一行星上，其简谐运动图像如图乙所示．求：（g取，取） (1)求单摆摆动任一角度时的回复力大小P； (2)此单摆的摆长； (3)该行星表面的重力加速度为地球表面重力加速度的多少倍。 【题型5 】 27．长度为的细线将小球靠竖直墙悬挂，现将小球拉至与墙面成角（）处静止释放，球与墙壁发生弹性碰撞返回最高点，该过程中细线拉力对小球的平均冲量为，则（     ） A．若增大，变小、方向不变 B．若增大，变大、方向不变 C．若减小，变小、方向不变 D．若减小，变大、方向不变 28．如图所示，单摆P在平衡位置与光滑水平面上的弹簧振子Q恰好接触且无相互作用，P与Q的振动周期相同。现将摆球P向左拉开一很小角度由静止释放，P与Q的碰撞均为弹性正碰。下列说法中正确的是（　　） A．若P的质量比Q的小，第二次碰撞发生在图示位置右侧 B．若P的质量比Q的大，第二次碰撞发生在图示位置左侧 C．无论P、Q质量大小关系，第二次碰撞仍发生在图示位置 D．若P、Q的质量相等，整个装置的振动周期大于单摆的周期 29．摆球从 位置静止释放，经最低点 时改变摆长，到达 位置。此过程频闪照片记录如图所示，摆角小于 ，分析可知下列叙述正确的是（　　） A．摆球的机械能减小 B．摆球经过 点瞬间角速度保持不变 C．摆球运动到 点时，摆球加速度为零 D． 点左右两侧摆长之比 16∶9 30．（多选）某同学在探究单摆运动中，图甲是用力传感器对单摆运动过程进行测量的装置图，图乙是与力传感器连接的计算机屏幕所显示的图像，则以下说法正确的是（     ） A．时刻摆球速度最大 B．时刻摆球经过最低点 C．单摆振动周期 D．单摆振动周期 31．（多选）小明同学用装有墨水的小漏斗和细线做了一个单摆，用图甲所示的装置确定该单摆的周期和摆长：水平纸带中央的虚线在单摆平衡位置的正下方，让纸带向左做匀加速直线运动，单摆垂直虚线小幅度摆动，纸带上留下墨水痕迹。图乙为某次实验中纸带的俯视图，痕迹与中央虚线的交点分别为a、b、c、d，用刻度尺测出a、b间的距离，c、d间的距离。已知纸带的加速度大小，取，重力加速度大小取，则该单摆（     ） A．周期为1s B．周期为0.5s C．摆长为25cm D．摆长为50cm 32．某同学探究单摆周期与摆长之间的关系时，改变摆长l，并测出对应的周期T，测量的数据如下表。 实验次数 1 2 3 4 5 6 7 8 摆长l/m 0.30 0.40 0.50 0.60 0.70 0.80 0.90 1.00 周期 1.1 1.3 1.4 1.6 1.7 1.8 1.9 2.0 (1)根据表中实验数据，能否看出周期与摆长之间有何关系？ (2)请在坐标纸上画出T-l图像，图线是什么形状？能否看出周期与摆长之间有何关系？ (3)该同学计算出了表中“周期”的二次方，请在坐标纸上画出图像，该图线又是什么形状？能否看出周期与摆长之间有何关系？ 实验次数 1 2 3 4 5 6 7 8 摆长l/m 0.30 0.40 0.50 0.60 0.70 0.80 0.90 1.00 周期 的平方 1.21 1.69 1.96 2.56 2.89 3.24 3.61 4.00 33．如图所示，小球自A点以初速度开始运动，的方向平行于AD。已知的长为0.8m，的半径，AD的长为，A、B、C、D在同一水平面内。g取。欲使小球恰好能够通过D点，其初速度应取何值？ 34．如图所示，三根长度均为l0的绳a、b、c组合系住一质量分布均匀的小球，球的直径为d，绳a、b与天花板的夹角均为α=30°，重力加速度为g。则： (1)若小球在纸面内做小角度的左右摆动，周期T1为多少？ (2)若小球做垂直于纸面的小角度摆动，周期T2又为多少？ 【题型6 】 35．在研究单摆运动时，某物理兴趣小组利用伽利略“冲淡”重力设计思路，设计安装了如图甲所示的“杆线摆”装置：轻质细线一端系于铁架台支柱上O点，另一端系一质量为m的小球，再将轻杆一端用铰链垂直固定在铁架台支柱上，另一端固定在小球上，轻杆和细线之间的夹角为，将铁架台支柱侧倾使其与竖直方向的夹角为，轻推小球，小球便可在倾角为的倾斜平面上来回摆动，形成“类单摆”，该杆线摆做简谐运动的图像如图乙所示。不计机械能损耗，重力加速度为g，下列说法正确的是（　　） A．该杆线摆的等效重力加速度为 B．由图乙可知该杆线摆做简谐运动的振幅为2A C．连接小球和铁架台支柱的细线长度为 D．小球在小角度摆动过程中，当偏离最低点的距离为x时，回复力大小为 36．如图所示，半球形凹槽固定于水平面上，凹槽内壁光滑，球心为O，小球1以某一初速度从与O点等高的A点沿AO方向水平抛出，恰好落到凹槽最低点，小球1抛出的同时，另一小球2从靠近凹槽最低点的内壁上由静止释放。不计空气阻力，下列说法正确的是（     ） A．球1先到达凹槽最低点 B．球2先到达凹槽最低点 C．两球同时到达凹槽最低点 D．条件不足，无法判断哪个小球先到达凹槽最低点 37．（多选）如图所示，在竖直平面内有一段半径为的光滑圆弧轨道，圆心角很小（小于），是轨道最低点。将两个完全相同的小球A和B（均可视为质点）从圆弧左侧的不同高度同时由静止释放，不计空气阻力，下列说法正确的是（　　） A．两小球经过点时的速度大小相等 B．小球A、B经过点时的加速度相等 C．小球A不可能在点追上小球B并与之相碰 D．如果装置被移到月球上，两小球释放高度不变，它们将同时到达点 38．（多选）如图所示，质量为，长为的铜棒，用长度也为的两根轻导线水平悬吊在竖直向上的匀强磁场中，未通电时，轻导线静止在竖直方向，通入大小为的恒定电流后，棒向纸面外偏转的最大角度为，忽略一切阻力，已知重力加速度为g。则（　　） A．棒中电流的方向为 B．磁场的大小为 C．磁场的大小为 D．保持电流的大小方向恒定，在外力作用下，将ab棒拉到角时静止释放，则ab棒来回摆动的周期为 39．如图甲所示，倾角为的光滑斜面体固定，斜面上点固定一拉力传感器。传感器通过一段不可伸长的轻绳拴接一小球，初始时小球静止于平衡位置。现将小球沿斜面拉离平衡位置一小角度后由静止释放，小球在斜面上做简谐运动。拉力传感器的示数随时间的变化规律如图乙所示。不计空气阻力，小球视为质点，重力加速度取，，。求： (1)轻绳的长度； (2)小球质量以及轻绳偏离平衡位置的最大摆角的余弦值（保留三位有效数字）。 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.4单摆（专题训练） 【人教版（2019）： 选择性必修第一册】 题型归纳 【题型1 单摆模型及条件】 1 【题型2 单摆的回复力】 7 【题型3 单摆的速度、加速度和位移】 11 【题型4 单摆的振动图像及其表达式】 15 【题型5 单摆的周期】 20 【题型6 等效单摆】 27 【题型1 】 1．在用单摆测当地的重力加速度实验中，一个单摆的摆长为L，摆球的质量为m，它做简谐运动的振幅为A，当摆球运动至平衡位置时速度大小为v。现小郴同学保持微小摆动，将这个单摆的摆球质量增加为2m，并使其在平衡位置的速度大小变为，以单摆的平衡位置所在的水平面为重力势能的参考面，则（　　） A．振动周期为原来的 B．摆球机械能为原来的 C．振动振幅变为原来的 D．摆球经过平衡位置动量为原来的2倍 【答案】B 【详解】A．由单摆的周期公式可知，单摆摆长不变，则周期不变，故A错误； B．由可知，将这个单摆的摆球质量增加为2m，并使其在平衡位置的速度大小变为，所以摆球经过平衡位置时的动能变成原来的，则机械能变为原来的，故B正确； C．设摆球的位移最大时，悬线与竖直方向之间的夹角为，摆球的位移为A，则 摆球上升的最大高度 摆球从最低点到最高点的过程中机械能守恒，有 解得 由三角函数关系， 联立可得 由于单摆的摆角很小，则， 此时，则 解得 当摆球在平衡位置的速度大小变为时，其振幅变成原来的，故C错误； D．摆球经过平衡位置动量为 摆球经过平衡位置动量与原来的相同，故D错误； 故选B。 2．关于简谐运动和单摆，下列说法正确的是（　　） A．平衡位置就是回复力为零的位置 B．物体到达平衡位置时，合力一定为零 C．单摆细线拉力与重力的合力提供回复力 D．单摆摆动到最低点时摆球合力为零 【答案】A 【详解】A．根据简谐运动平衡位置的定义，平衡位置就是回复力为零的位置，故A正确； B．物体到达平衡位置时合力不一定为零，例如单摆的平衡位置（最低点），合力需要提供圆周运动的向心力，不为零，故B错误； C．单摆的回复力由重力沿圆弧切线方向的分力提供，细线拉力与重力的合力同时提供向心力和切向回复力，并非全部用来提供回复力，故C错误； D．单摆摆动到最低点时，摆球做圆周运动，向心力由拉力和重力的合力提供，满足，合力不为零，故D错误。 故选A。 3．如图所示的装置可以模拟波的形成过程。半径为的圆柱面最低处的母线沿水平方向，母线和距很近且关于对称。完全相同的1到10号小球（可视为质点）锁定在上，间距均为。时刻，由静止释放球1，此后每隔时间（g为重力加速度）依次由静止释放所有小球。若忽略一切摩擦，则（　　） A．时刻，球1回到出发点 B．球1首次到达时，球5位于最低点 C．该“波”的“波长”为 D．该“波”的“波速”为 【答案】C 【详解】A．小球在圆柱面上的运动可等效为单摆运动，圆柱面的半径相当于摆长，所以该单摆的周期公式为 时刻，球1由静止释放，因为 所以时刻，球1是到达与出发点对称的，并非回到出发点，故A错误； B．由A选项可知，球1首次到达的时间为，由于相邻小球释放的时间间隔为，故球5比球1晚释放的时间为 即球5释放的时间为，所以球1首次到达时，球5刚被释放，并非位于最低点，故B错误； C．波的“波长”是指相邻两个同相位质点间的距离。由于小球释放的时间间隔为 所以相邻两个运动状态相同的小球间距为，即该“波”的“波长”为，故C正确； D．根据波速的公式可得该“波”的“波速”为，故D错误。 故选C。 4．下列关于简谐运动的振幅、周期和频率的说法正确的是（　　） A．物体位于平衡位置时，一定处于平衡状态 B．振幅是矢量，方向从平衡位置指向最大位移处 C．弹簧振子的位移减小时，加速度减小，速度增大 D．简谐运动的振幅越大，则其运动的周期一定越长 【答案】C 【详解】A．处于平衡位置，物体的回复力一定为零，但合力不一定为零，也不一定处于平衡状态，比如单摆，故A错误； B．振幅是标量，故B错误； C．弹簧振子的位移减小时，处于向平衡位置振动过程，加速度减小，速度增大，故C正确； D．简谐运动的周期与振幅无关，简谐运动的振幅越大，则其运动的周期不会越长，故D错误。 故选C。 5．（多选）下列有关单摆的说法正确的是（　　） A．在做单摆实验时，要尽可能选择质量小、体积大的球 B．同一个单摆在赤道和两极的周期不相同 C．单摆的周期与摆球质量和振幅无关 D．摆角很大时，单摆也可以看成做简谐运动 【答案】BC 【详解】A．在做单摆实验时，为了减小空气阻力的影响，要尽可能选择质量大、体积小的球，故A错误； BC．根据单摆周期公式，由于赤道和两极的重力加速度不同，所以同一单摆的周期不同；单摆的周期与摆球质量和振幅无关，故BC正确； D．当摆线小于时，单摆可以看成做简谐运动；摆角很大时，就不满足简谐运动规律，故D错误。 故选BC。 6．（多选）图中是甲、乙两名游客体验“悬崖秋千”的情境，甲、乙游客的质量和摆幅均不相等，忽略空气阻力作用，两游客均可视作质点且摆幅较小，下列说法正确的有（　　） A．甲游客在B点机械能大于A点 B．甲游客在A点受到的回复力大于B点 C．甲、乙游客在B点的速度大小相等 D．甲、乙游客从最低点运动到最高点的时间近似相同 【答案】BD 【详解】A．甲游客在B点机械能等于A点，故A错误； B．甲游客在A点的回复力等于重力沿运动轨迹切线方向的分力，在B点的回复力为0，故B正确； C．甲、乙游客的摆幅不相等，在B点的速度大小不相等，故C错误； D．两个单摆周期近似相等，甲、乙游客从最低点运动到最高点的时间近似相同，故D正确。 故选BD。 7．甲、乙两个单摆在同一地点摆动的振动图像如图所示。 (1)写出甲、乙两个单摆位移随时间的变化关系式； (2)求甲、乙两个单摆的摆长之比。 【详解】（1）根据图像可知 甲的振幅为8cm，乙的振幅为4cm，根据 通过将图像中的坐标代入，解得 （cm），（cm） （2）根据 解得 8．如图所示，质量为的小球甲在半径为的光滑圆槽上的、之间来回运动，间弧长远小于圆槽半径。当摆角很小时，重力加速度为。小球均可看成质点，不计空气阻力的影响。 (1)证明小球甲的运动是简谐运动； (2)将小球甲从圆弧面的处由静止释放，同时在圆弧的圆心处由静止释放另一小球乙（图中未画出）。通过计算说明哪个小球先到达圆弧面的最低点； (3)当甲球完成（为整数）次全振动过程中，圆槽对甲球的冲量。 【详解】（1）小球甲的回复力是重力沿圆弧切线方向的分力 当摆角很小时 因此小球甲运动的回复力可表示为 负号表示与位移方向相反，所以小球甲的运动是简谐运动 （2）小球甲做简谐运动，周期 小球甲第一次运动到最低点的时间 根据自由落体运动规律，小球乙到达最低点时间 因为，所以小球乙先到达最低点 （3）小球甲完成次全振动过程，动量的变化量 重力的冲量 由动量定理 解得，方向竖直向上 【题型2 】 9．在北京研学的同学们看到街头有一个摆钟，如图所示，大家纷纷议论了起来，已知此摆钟在北京走时准确。关于同学们的议论下列说法正确的是（　　） A．小华同学认为如果将摆钟带回广州，摆钟走时还会像在北京一样准确 B．小明同学说摆球在摆动中的回复力是摆绳拉力和摆球重力的合力 C．小张同学说摆球运动到两侧最高点时摆绳的拉力最大 D．小王同学说如果能让此摆钟加速上升，摆钟的摆动周期一定减小 【答案】D 【详解】A．如果将摆钟从北京带回广州，重力加速度变小，根据单摆周期公式 可知周期变大，所以摆钟走时将不准确，故A错误； B．摆球在摆动中重力沿切线方向的分力提供摆球做简谐运动的回复力，故B错误； C．摆球运动到最低点时速度最大，根据牛顿第二定律 可知在最低点时线的拉力最大，两侧最高点时，速度最小，摆绳的拉力最小，故C错误； D．如果能让此摆钟加速上升，等效重力加速度变大，根据单摆周期公式 可知周期变小，故D正确。 故选D。 10．关于机械振动的描述，以下说法中正确的是（　　） A．平衡位置一定就是物体合力为零的位置 B．机械振动的位移是以平衡位置为起点的位移 C．回复力一定是物体受到的合外力 D．机械振动的加速度越大，速度也越大 【答案】B 【详解】A．在机械振动中，平衡位置定义为物体所受回复力为零的位置，但此位置合外力不一定为零（例如单摆的最低点），故A错误； B．机械振动的位移是以平衡位置为起点的位移，故B正确； C．回复力是使物体返回平衡位置的力，但不一定是物体受到的合外力。例如，在单摆振动中，回复力是重力的切向分量，而合外力是拉力与重力的合力，因此回复力不一定等于合外力，故C错误； D．在机械振动中，加速度和速度的相位关系为：当加速度最大时（如最大位移处），速度为零；当速度最大时（如平衡位置），加速度为零。因此，加速度越大，速度不一定越大，反而可能越小，故D错误。 故选B。 11．荡秋千是深受小朋友喜欢的游乐活动，如图所示，秋千由坐板和绳构成，人在秋千上小幅度摆动时可以简化为单摆模型，人和坐板可视为摆球，忽略空气阻力，在摆动过程中，下列说法正确的是（     ） A．摆球受重力、摆线的拉力、回复力的作用 B．经过最低点时摆球处于平衡状态 C．摆球做简谐运动时，摆角越小，其运动周期越小 D．远离最低点运动的过程中，摆球机械能不变，而动能减小 【答案】D 【详解】A．摆球受重力、摆线的拉力两个力的作用，回复力是一个效果力，由重力沿切向方向的分力充当，故A错误； B．经过最低点时摆球处拉力与重力的合力（不为零且最大）提供向心力，是非平衡状态，故B错误； C．摆球做简谐运动时，摆角很小时，周期恒定与摆角或者振幅无关，故C错误； D．远离最低点运动的过程中，摆球机械能不变，而动能减小，故D正确。 故选D 。 12．简谐运动既是最基本也是最简单的一种机械振动。关于简谐运动的表达式、回复力和能量，下列说法正确的是（     ） A．单摆做简谐运动过程中的回复力是单摆受到重力沿圆弧切线方向的分力 B．水平弹簧振子做简谐运动时系统的能量做周期性变化 C．简谐运动位移x的一般函数表达式中，表示频率，表示相位 D．简谐运动的回复力可以是方向不变而大小变化的力，也可以是大小不变而方向改变的力 【答案】A 【详解】A．单摆做简谐运动时，径向的合力提供圆周运动的向心力，重力沿圆弧切线方向的分力提供回复力，故A正确； B．水平弹簧振子做简谐运动时，只有动能和弹性势能相互转化，系统的总机械能保持不变，不会发生周期性变化，故B错误； C．简谐运动位移表达式中，表示圆频率（角频率），表示初相位，才是相位，频率，故C错误； D．简谐运动的回复力满足，回复力大小与位移大小成正比，方向始终与位移方向相反、指向平衡位置，因此回复力的大小和方向都随位移变化，故D错误。 故选A。 13．（多选）如图甲所示，一单摆做小角度摆动，从某次摆球由左向右通过平衡位置时开始计时，相对平衡位置的位移x随时间t变化的图像如图乙所示。不计空气阻力，重力加速度g取。对于这个单摆的振动过程，下列说法正确的是（   ） A．单摆的摆长约为1.0m B．单摆的位移x随时间t变化的关系式为 C．从到的过程中，摆球的重力势能逐渐增大 D．从到的过程中，摆球所受回复力逐渐减小 【答案】AB 【详解】A．由题图乙可知，单摆的周期为，由单摆的周期公式 可得单摆的摆长为，故A正确； B．由图乙可知，振幅，角速度为 则单摆的位移x随时间t变化的关系式为，故B正确； C．由图乙可知，到的过程中，摆球从右侧最高点向平衡位置运动，摆球的速度逐渐增大，动能逐渐增大，重力势能逐渐减小，故C错误； D．由图乙可知，从到的过程中，摆球从平衡位置向左运动到最大位移处，可知摆球所受回复力逐渐增大，故D错误。 故选AB。 14．（多选）下列关于简谐运动的说法正确的是（　　） A．做简谐运动的物体，振幅越大，振动能量越大 B．做简谐运动的单摆的回复力是由单摆受到的合力提供的 C．物体做简谐运动，从点经过二分之一周期运动到点，则点和点关于平衡位置对称 D．物体做简谐运动，从点经过四分之一周期运动到点，则点和点不可能关于平衡位置对称 【答案】AC 【详解】A．做简谐运动的物体振动的能量与振幅有关，振幅越大，振动能量越大，A正确； B．做简谐运动的单摆的回复力由摆球的重力沿切线方向的分力提供，B错误； C．物体做简谐运动，从点经过二分之一周期运动到点，则点和点关于平衡位置对称，C正确； D．物体做简谐运动，从点经过四分之一周期运动到点，则点和点有可能关于平衡位置对称，此时振子分别在平衡位置两侧运动八分之一周期，D错误。 故选AC。 【题型3 】 15．两个小球P、Q构成的单摆振动的图像如下表所示（位移x随时间t变化的部分数据）。下列说法正确的是（     ） 时间t/s 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 P位移x/cm 5.0 2.5 -2.5 -5.0 -2.5 2.5 5.0 Q位移x/cm 2.5 -2.5 -5.0 -2.5 2.5 5.0 2.5 A．t=0.6s时，P和Q的速度都为0 B．t=1.0s时，P和Q的速度方向相同 C．t=1.0s时，P和Q的加速度方向相同 D．根据图像无法比较P和Q的摆长 【答案】C 【详解】A．时，P的位移为，是最大位移，速度为； Q的位移为，不是最大位移，速度不为，故A错误； B．时，P的位移为，逐渐增大到，说明P向正方向运动； Q在位移为最大值，速度为0，没有方向，二者速度方向不可能相同，故B错误； C．时，二者位移均为正，加速度均沿负方向，P和Q的加速度方向相同，C正确； D．从表格数据可得，P从（位移）到回到原位移，Q从（位移 ）到也回到原位移，二者周期均为。 根据单摆周期公式，同一地点重力加速度相同，周期相同则摆长相等，可以比较摆长，因此D错误。 故选 C。 16．把秋千看成单摆模型，图为小明在荡秋千时的振动图像，已知小王的体重比小明的大，已知绳子等长且不可伸长，二人均可看成质点，则下列说法正确的是（g取10m/s2）（　　） A．图中b点对应荡秋千时的最低点，此时回复力为零 B．小王荡秋千时，其周期大于6.28s C．小明荡到图中对应的b点时，动能最小 D．该秋千的绳子长度约为5m 【答案】A 【详解】A．根据简谐振动的回复力可知，在最低点（即平衡位置），位移，此时回复力为0，故A正确； B．根据单摆的周期可知，单摆的周期与摆球的质量无关，因此小王荡秋千时，其周期也等于6.28s，故B错误； C．小明荡到图中对应的b点时，由图可知，b点为平衡位置，小明的速度最大，动能最大，故C错误； D．根据单摆的周期 解得，故D错误。 故选A。 17．荡秋千是深受大家喜爱的活动。若将小孩和秋千视为一个单摆，其摆动可近似看作简谐运动。关于该振动过程，下列说法正确的是（     ） A．秋千摆动到最高点时，速度为零，处于平衡状态 B．秋千除受重力、弹力外还受回复力 C．秋千摆动的过程中不存在合力为零的位置 D．秋千从最高点向最低点运动的过程中，回复力逐渐增大 【答案】C 【详解】A．平衡状态的条件是合力为零。秋千摆到最高点时，速度虽然为零，但重力沿切线的分力不为零，总合力不为零，不是平衡状态，故A错误； B．回复力是效果力，由重力沿摆动切线方向的分力提供，不是物体额外受到的力，秋千实际只受重力、绳子的弹力，故B错误； C．最低点处切线方向的回复力为零，但径向的合力需要提供圆周运动的向心力，总合力不为零；其他位置合力也不为零，因此整个摆动过程不存在合力为零的位置，故C正确； D．简谐运动的回复力满足，回复力大小与偏离平衡位置的位移大小成正比。秋千从最高点向最低点运动时，偏离平衡位置的位移逐渐减小，因此回复力逐渐减小，故D错误。 故选C。 18．（多选）一单摆做小角度摆动，其振动图像如图，以下说法正确的是（　　） A．时刻摆球速度最大，绳对它的拉力最小 B．时刻摆球速度最大，绳对它的拉力最大 C．时刻摆球速度为零，绳对它的拉力最小 D．时刻摆球速度最小，绳对它的拉力最大 【答案】BC 【详解】AC．由图可知，和时刻摆球分别位于正、负向最大位移处，速度均为零。设摆线与竖直方向的夹角为，绳长为，沿摆线方向有 在最大位移处且最大，右侧两项均取最小值，绳的拉力最小，故A错误，C正确。 BD．和时刻摆球均经过平衡位置，速度大小最大，且，由 可知绳的拉力最大，故B正确，D错误。 故选BC。 19．（多选）如图所示，甲、乙、丙三个小球用不可伸长的轻绳悬挂在天花板上，从左至右摆长依次增加，小球静止在纸面所示竖直平面内。将三个小球垂直纸面向外拉起一小角度，由静止同时释放。释放后小球都做简谐运动。当小球甲完成2个周期的振动时，小球丙恰好第一次到达与小球甲同侧最高点，同时小球乙恰好第一次到达另一侧最高点。则（　　） A．小球甲第一次到达另一侧最高点时，小球丙动能最大 B．小球甲第一次回到平衡位置时，小球乙动能正在减小 C．小球甲、乙的摆长之比为 D．小球甲、丙的摆长之比为 【答案】AD 【详解】A．设甲的周期为，乙的周期为，丙的周期为，当小球甲完成2个周期的振动时，小球丙恰好到达与小球甲同侧最高点，则，即 小球甲第一次到达另一侧最高点时，小球丙在平衡位置，此时小球丙速度最大，动能最大，故A正确； B．小球甲第一次到达平衡位置时间是，乙的运动时间为，乙从最大位移处向平衡位置运动，动能增加，故B错误； CD．根据单摆周期公式 根据题意可得 联立解得，，C错误，D正确。 故选AD。 20．如图所示，一细线上端固定，下端悬挂一金属球在之间做简谐振动，其中是简谐振动的平衡位置，是球的最大位移处。已知细线长为球直径为质量为，重力加速度大小为。 (1)从点开始计时，求球第二次经过点时间； (2)已知球在点时细线的拉力大小为，求球经过点时细线上拉力大小。 【详解】（1）根据单摆周期公式得 球再次经过点的时间为 解得 （2）设小球在点时，细线和竖直方向的夹角，则 从点到点，根据动能定理得 球运动到点时有 解得 【题型4 】 21．如图甲所示的挖掘机的顶部垂下一个大铁球并让它小角度地摆动，可用作工地的拆除工作。大铁球摆动时可视为单摆，对应的振动图像如图乙所示，则下列说法正确的是（　　） A．单摆振动的周期是 B．如果再知道单摆的摆长，可粗略算出当地的重力加速度 C．大铁球摆动的角度增大，则振动周期增大，能量也增大 D．当时，大铁球的动能最小，回复力最大 【答案】B 【详解】A.由图乙可知，相邻位移最大点间隔4s，故单摆的周期为，故A错误； B.根据单摆周期公式可知，如果再知道单摆的摆长，可算出当地的重力加速度，故B正确； C.由单摆周期公式可知，振动周期与摆动的角度大小无关，根据机械能守恒，角度增大导致重力势能增加，总能量增加，故C错误； D.在时大铁球处在平衡位置，动能最大，回复力最小，故D错误。 故选B。 22．如图甲所示，一单摆做小角度摆动，从某次摆球由左向右通过平衡位置时开始计时，相对平衡位置的位移x随时间t变化的图像如图乙所示。不计空气阻力，重力加速度g取10m/s²。对于这个单摆的振动过程，下列说法正确的是（　　） A．单摆的摆长约为1.0m B．单摆的位移x随时间t变化的关系式为x=8sin100πt(cm) C．从t=0.5s到t=1.0s的过程中，摆球的重力势能逐渐增大 D．从t=1.0s到t=1.5s的过程中，摆球所受回复力逐渐减小 【答案】A 【详解】A．由题图乙可知，单摆的周期为2s，振幅为8cm，由单摆的周期公式 代入数据解得，故A正确； B．单摆的位移x随时间t变化的关系式为，故B错误； C．从t=0.5s到t=1.0s的过程中，摆球从最高点运动到最低点，重力势能减小，故C错误； D．从t=1.0s到t=1.5s的过程中，摆球的位移增大，回复力增大，故D错误。 故选A。 23．某同学在学校实验室分别用甲、乙两个质量相等的单摆做简谐运动的实验，测得的振动图像如图所示，下列说法中正确的是（     ） A．甲单摆的摆长大于乙单摆的摆长 B．两摆球经过平衡位置时，动能不可能相等 C．乙单摆的振动方程是 D．在任意相同时间内，两摆球的位移之比为 【答案】B 【详解】A．由图可知，由单摆周期公式 可知两单摆的摆长相等，故A错误； B．两摆的角频率相同，振幅分别为、。摆球经过平衡位置时速度达到最大，且故两摆球经过平衡位置时的速度大小不同，动能不可能相等，故B正确； C．将代入题给方程得，与图中乙摆此时不符，故C错误； D．是两摆的振幅之比，但两摆初相位不同。例如时、，同一时刻位移之比不恒为，故D错误。 故选B。 24．（多选）如图甲所示，一单摆做小角度（）摆动。从某次摆球由左向右通过平衡位置开始计时，摆球相对平衡位置的位移x随时间t变化的图像如图乙所示。忽略空气阻力不计，取，重力加速度，对于这个摆球的振动过程，下列说法正确的是（     ） A．单摆做简谐运动时，摆长约为1.0m B．时，摆球运动的位移为零，速度为零 C．时，摆球运动的速度最大，加速度为零 D．从到的过程中，摆球所受回复力逐渐增大，摆线上的拉力逐渐减小 【答案】AD 【详解】A．由图可知单摆的周期为，根据单摆周期公式 解得摆长约为，故A正确； B．时，摆球运动的位移为零，速度最大，故B错误； C．时，摆球运动的速度最大，在最低点，有 加速度不为零，故C错误； D．从到的过程中，位移变大，根据可知回复力逐渐增大；根据牛顿第二定律有 可得摆线上的拉力 随着角度变大，变小，速度变小，可得摆线上的拉力变小，故D正确。 故选AD。 25．（多选）如图甲所示，单摆摆球在竖直面内的A、C之间来回摆动，B点为运动中的最低位置，最大摆角α为5°，悬点O处接有一力传感器，记录摆线拉力大小F随时间t变化的关系如图乙所示。下列判断正确的是（　　） A．单摆的周期为1s B．单摆的周期为2s C．时刻，摆球在A点 D．时刻，摆球在B点 【答案】BD 【详解】AB．单摆摆球在最低点B时速度最大，由牛顿第二定律 可知此时拉力最大；在最高点A、C时速度为零，拉力最小。由图乙可知，拉力变化的周期为，而单摆在一个周期内两次经过最低点，拉力两次达到最大值，故单摆的周期，故A错误，B正确； C．由图乙可知，时拉力达到最大值，对应摆球经过最低点B，故C错误； D．由图乙可知，时拉力达到最大值，对应摆球经过最低点B，故D正确。 故选BD。 26．摆球质量为m的单摆悬挂在O点如图所示，其振动图像如图甲所示，今将此单摆移至某一行星上，其简谐运动图像如图乙所示．求：（g取，取） (1)求单摆摆动任一角度时的回复力大小P； (2)此单摆的摆长； (3)该行星表面的重力加速度为地球表面重力加速度的多少倍。 【详解】（1）摆球偏离平衡位置的角度为时，重力沿圆弧切线方向的分力指向平衡位置，该分力即回复力，因此回复力大小为 （2）由图甲可知，摆球从正向最大位移运动至负向最大位移所用时间为，该时间等于半个周期，因此单摆在地球上的周期为，根据单摆周期公式有 解得 （3）由图乙可知，摆球从平衡位置沿正方向运动，经过再次以相同方向通过平衡位置，因此单摆在该行星表面的周期为，设该行星表面的重力加速度为，同一单摆的摆长不变，根据单摆周期公式分别有， 联立解得 【题型5 】 27．长度为的细线将小球靠竖直墙悬挂，现将小球拉至与墙面成角（）处静止释放，球与墙壁发生弹性碰撞返回最高点，该过程中细线拉力对小球的平均冲量为，则（     ） A．若增大，变小、方向不变 B．若增大，变大、方向不变 C．若减小，变小、方向不变 D．若减小，变大、方向不变 【答案】B 【详解】AB．小球拉至与墙面成角（）处静止释放，其运动可视为单摆运动的一半，小球从释放到与墙壁碰撞再返回最高点的总时间为单摆周期的半个周期，即，由于小球摆角很小，细线拉力的方向始终近似竖直向上，平均拉力，根据冲量定义，该过程中细线拉力对小球的平均冲量，其方向竖直向上，由此可知，若增大，变大、方向不变，故A错误，B正确； CD．由平均冲量公式 可知，冲量与初始摆角无关，若减小，不变、方向不变，故CD错误。 故选B。 28．如图所示，单摆P在平衡位置与光滑水平面上的弹簧振子Q恰好接触且无相互作用，P与Q的振动周期相同。现将摆球P向左拉开一很小角度由静止释放，P与Q的碰撞均为弹性正碰。下列说法中正确的是（　　） A．若P的质量比Q的小，第二次碰撞发生在图示位置右侧 B．若P的质量比Q的大，第二次碰撞发生在图示位置左侧 C．无论P、Q质量大小关系，第二次碰撞仍发生在图示位置 D．若P、Q的质量相等，整个装置的振动周期大于单摆的周期 【答案】C 【详解】设P、Q的质量分别为和，设P运动到最低点时的速度为，则当二者发生弹性碰撞后，有 碰撞前后能量也是守恒的，有 解得， 若，碰后P与Q都继续向右运动，P做振幅更小的单摆运动，周期不变，Q也做简谐运动，二者的周期相等，经过半个周期后，在单摆P的最低点再次相遇（也是各自的平衡位置），再次碰撞后依然是弹性碰撞，碰后P以原速度大小向左运动，Q静止，整个装置的运动周期与原单摆P或振子Q的周期是相同的； 若，碰后P向左运动，Q从平衡位置开始向右振动，经过半个周期后，在单摆P的最低点再次相遇（也是各自的平衡位置），再次碰撞后依然是弹性碰撞，碰后P以原速度大小向左运动，Q静止，整个装置的周期依然不变； 若，碰后P静止，Q以向右压缩弹簧开始做简谐振动，半个周期后回到P的最低点与P发生弹性碰撞，碰后P以向左运动，Q静止，从第一次碰撞到第二次碰撞依然需要半个周期的时间，所以无论质量如何，PQ的第二次碰撞都发生在图示的原位置，装置的周期也与单摆P的周期相同，是不变的。 故选C。 29．摆球从 位置静止释放，经最低点 时改变摆长，到达 位置。此过程频闪照片记录如图所示，摆角小于 ，分析可知下列叙述正确的是（　　） A．摆球的机械能减小 B．摆球经过 点瞬间角速度保持不变 C．摆球运动到 点时，摆球加速度为零 D． 点左右两侧摆长之比 16∶9 【答案】D 【详解】A．从频闪照片可以看出，摆球在 A、B 两点的高度相同，说明重力势能相同；而摆球在最低点 O 的速度大小不变（动能不变），因此摆球机械能守恒，A错误； B．摆球经过O点时线速度大小不变，根据角速度与线速度的关系，经过O点时摆球做圆周运动的半径减小，所以摆球经过O点瞬间角速度变大了，故 B 错误； C．摆球运动到 O点时回复力为零，所以其振动方向加速度为零，但摆球向心加速度不为零，摆球做圆周运动的半径减小，根据向心加速度公式,可知经过O点时摆球做圆周运动的半径减小，所以摆球向心加速度变大，C错误； D．设频闪时间间隔为,从频闪照片可以看出，从A到O摆球运动,从O到B为，所以单摆在左右两侧的周期之比为 根据单摆的周期公式可知 点左右两侧摆长之比 为，故D正确。 故选D 。 30．（多选）某同学在探究单摆运动中，图甲是用力传感器对单摆运动过程进行测量的装置图，图乙是与力传感器连接的计算机屏幕所显示的图像，则以下说法正确的是（     ） A．时刻摆球速度最大 B．时刻摆球经过最低点 C．单摆振动周期 D．单摆振动周期 【答案】BD 【详解】A B．设摆线与竖直方向夹角为，由牛顿第二定律有 可得拉力，当夹角越小，速度越大、越大，可知拉力也就越大，所以时刻摆球受拉力最小（对应于最大），则摆球在最大位移处，速度最小，时刻摆球受拉力最大（对应于），则摆球经过最低点，故A错误、B正确； CD．由图可知，摆球相邻两次拉力最小的时间间隔对应于摆球的半个周期，故摆球的周期，故C错误、D正确。 故选BD。 31．（多选）小明同学用装有墨水的小漏斗和细线做了一个单摆，用图甲所示的装置确定该单摆的周期和摆长：水平纸带中央的虚线在单摆平衡位置的正下方，让纸带向左做匀加速直线运动，单摆垂直虚线小幅度摆动，纸带上留下墨水痕迹。图乙为某次实验中纸带的俯视图，痕迹与中央虚线的交点分别为a、b、c、d，用刻度尺测出a、b间的距离，c、d间的距离。已知纸带的加速度大小，取，重力加速度大小取，则该单摆（     ） A．周期为1s B．周期为0.5s C．摆长为25cm D．摆长为50cm 【答案】AC 【详解】AB．由图可知纸带运动ab段时间、bc段时间、cd段时间均相同，且为半个单摆周期，根据匀变速直线运动推论有 代入题中数据，解得 则单摆周期，故A正确，B错误； CD．根据 联立解得摆长，故C正确，D错误。 故选AC。 32．某同学探究单摆周期与摆长之间的关系时，改变摆长l，并测出对应的周期T，测量的数据如下表。 实验次数 1 2 3 4 5 6 7 8 摆长l/m 0.30 0.40 0.50 0.60 0.70 0.80 0.90 1.00 周期 1.1 1.3 1.4 1.6 1.7 1.8 1.9 2.0 (1)根据表中实验数据，能否看出周期与摆长之间有何关系？ (2)请在坐标纸上画出T-l图像，图线是什么形状？能否看出周期与摆长之间有何关系？ (3)该同学计算出了表中“周期”的二次方，请在坐标纸上画出图像，该图线又是什么形状？能否看出周期与摆长之间有何关系？ 实验次数 1 2 3 4 5 6 7 8 摆长l/m 0.30 0.40 0.50 0.60 0.70 0.80 0.90 1.00 周期 的平方 1.21 1.69 1.96 2.56 2.89 3.24 3.61 4.00 【答案】(1)根据表中的数据可以看出，随着摆长的增大，周期也增大，但无法确定具体的函数关系 (2)在坐标纸上画出T-l的图像如图所示，图线是一条曲线，表明单摆的周期随摆长的增大而增大，但增大得越来越慢，不能看出周期与摆长之间的函数关系 (3)，图线延长后是一条过原点的直线，表明单摆周期的二次方与摆长成正比，即单摆做简谐运动的周期T与摆长l的二次方根成正比 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 33．如图所示，小球自A点以初速度开始运动，的方向平行于AD。已知的长为0.8m，的半径，AD的长为，A、B、C、D在同一水平面内。g取。欲使小球恰好能够通过D点，其初速度应取何值？ 【答案】 【详解】小球所在的弧面AB是一段曲率半径的圆弧轨道，且弧长，小球在垂直于AD的圆弧切线方向的小幅度运动，可等效为单摆的简谐运动：该方向的回复力由重力的分力提供，等效单摆的摆长为圆弧的曲率半径。 根据单摆周期公式 ，代入、 可得 做简谐运动。 欲让小球恰好到达D点，需要在从A运动到D的过程中，垂直AD方向的简谐运动刚好完成个全振动（为正整数），这样小球在垂直方向经过整数次全振动后会回到AD轴上，刚好落在D点，即满足 。 沿AD方向的运动为匀速直线运动，有 联立解得 34．如图所示，三根长度均为l0的绳a、b、c组合系住一质量分布均匀的小球，球的直径为d，绳a、b与天花板的夹角均为α=30°，重力加速度为g。则： (1)若小球在纸面内做小角度的左右摆动，周期T1为多少？ (2)若小球做垂直于纸面的小角度摆动，周期T2又为多少？ 【详解】（1）根据题意可知，若小球以为圆心做简谐运动，所以摆长为 振动的周期为 （2）根据题意可知，若小球以为圆心做简谐运动，摆长 振动周期为 【题型6 】 35．在研究单摆运动时，某物理兴趣小组利用伽利略“冲淡”重力设计思路，设计安装了如图甲所示的“杆线摆”装置：轻质细线一端系于铁架台支柱上O点，另一端系一质量为m的小球，再将轻杆一端用铰链垂直固定在铁架台支柱上，另一端固定在小球上，轻杆和细线之间的夹角为，将铁架台支柱侧倾使其与竖直方向的夹角为，轻推小球，小球便可在倾角为的倾斜平面上来回摆动，形成“类单摆”，该杆线摆做简谐运动的图像如图乙所示。不计机械能损耗，重力加速度为g，下列说法正确的是（　　） A．该杆线摆的等效重力加速度为 B．由图乙可知该杆线摆做简谐运动的振幅为2A C．连接小球和铁架台支柱的细线长度为 D．小球在小角度摆动过程中，当偏离最低点的距离为x时，回复力大小为 【答案】C 【详解】A．根据题意，当摆杆来回摆动时，小球做圆周运动的圆心在摆杆与铁架台支柱的连接点位置，小球相当于在一个倾角为的斜面上做单摆运动，倾角等于摆杆与水平面之间的夹角，则该杆线摆的等效摆长为轻杆的长度L，等效重力加速度为，故A错误； B．由图乙可知，该杆线摆做简谐运动的振幅为A，故B错误； C．单摆的等效摆长 则周期公式 细线长度，故C正确； D．当小球偏离最低点的距离为x时，设摆角为（较小），则有 其回复力大小，故D错误。 故选C。 36．如图所示，半球形凹槽固定于水平面上，凹槽内壁光滑，球心为O，小球1以某一初速度从与O点等高的A点沿AO方向水平抛出，恰好落到凹槽最低点，小球1抛出的同时，另一小球2从靠近凹槽最低点的内壁上由静止释放。不计空气阻力，下列说法正确的是（     ） A．球1先到达凹槽最低点 B．球2先到达凹槽最低点 C．两球同时到达凹槽最低点 D．条件不足，无法判断哪个小球先到达凹槽最低点 【答案】A 【详解】小球1做平抛运动，则到达最低点时的时间为 小球2从靠近凹槽最低点的内壁上由静止释放，则可看作是单摆模型，到达最低点的时间为 因可知，球1先到达凹槽最低点。 故选A。 37．（多选）如图所示，在竖直平面内有一段半径为的光滑圆弧轨道，圆心角很小（小于），是轨道最低点。将两个完全相同的小球A和B（均可视为质点）从圆弧左侧的不同高度同时由静止释放，不计空气阻力，下列说法正确的是（　　） A．两小球经过点时的速度大小相等 B．小球A、B经过点时的加速度相等 C．小球A不可能在点追上小球B并与之相碰 D．如果装置被移到月球上，两小球释放高度不变，它们将同时到达点 【答案】CD 【详解】A．A球释放位置更高，下落至P点时重力做功更大，由机械能守恒可知，A经过P点的速度更大，因此两球速度不相等，故A错误； B．加速度为合加速度，A经过P点速度更大，向心加速度更大，因此合加速度大小不相等，故B错误； C．本题中圆弧轨道圆心角小于，小球的运动可等效为单摆运动，满足单摆周期公式 周期与振幅无关，两球周期相同，同时释放后运动相位始终相同，在运动到O点之前，A始终在B左侧（离O更远），因此A不可能在P点追上B发生碰撞，故C正确； D．移到月球后，重力加速度减小，但两球等效摆长均为，周期仍然相等，因此同时释放后仍会同时到达O点，故D正确。 故选CD。 38．（多选）如图所示，质量为，长为的铜棒，用长度也为的两根轻导线水平悬吊在竖直向上的匀强磁场中，未通电时，轻导线静止在竖直方向，通入大小为的恒定电流后，棒向纸面外偏转的最大角度为，忽略一切阻力，已知重力加速度为g。则（　　） A．棒中电流的方向为 B．磁场的大小为 C．磁场的大小为 D．保持电流的大小方向恒定，在外力作用下，将ab棒拉到角时静止释放，则ab棒来回摆动的周期为 【答案】BD 【详解】A．棒受到的安培力方向垂直纸面向外，由左手定则可知，棒中电流的方向为a→b，故A错误； BC．通入大小为I的恒定电流后，棒做圆周运动，将恒定的安培力与重力的合力F作为等效重力，已知棒偏转的最大角度为=60°，则在偏转了30°时速度最大，此位置为等效最低点，可得合力F的方向与竖直方向的夹角为30°，如下图所示 则有BIl= mgtan 30° 解得     故B正确，C错误； D．将ab棒拉到=25°角时静止释放后，棒的运动可看作单摆的简谐运动，安培力与重力的合力 F作为等效重力，则有 解得等效重力加速度 根据单摆周期公式可得ab棒来回摆动的周期为 故D正确。 故选BD。 39．如图甲所示，倾角为的光滑斜面体固定，斜面上点固定一拉力传感器。传感器通过一段不可伸长的轻绳拴接一小球，初始时小球静止于平衡位置。现将小球沿斜面拉离平衡位置一小角度后由静止释放，小球在斜面上做简谐运动。拉力传感器的示数随时间的变化规律如图乙所示。不计空气阻力，小球视为质点，重力加速度取，，。求： (1)轻绳的长度； (2)小球质量以及轻绳偏离平衡位置的最大摆角的余弦值（保留三位有效数字）。 【详解】（1）由图乙可知，单摆的周期为 单摆做简谐运动的等效重力加速度为 由单摆的周期公式得 解得 （2）设小球的质量为，最大的摆角为，小球的最大速度为，由图甲可知，小球在最低点时传感器的示数最大，结合图乙可知最大拉力为 由牛顿第二定律得 小球在最高点时，传感器的示数最小，结合图乙可知最小拉力为 得 小球由最高点向最低点运动的过程中，小球的机械能守恒，则有 联立解得， 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $