2.4单摆（专题训练）【九大题型】-2024-2025学年高中物理同步知识点解读与专题训练（人教版2019选择性必修第一册）

2.4单摆（专题训练）【九大题型】 一．单摆做简谐运动的模型及成立条件（共4小题） 二．单摆的回复力（共5小题） 三．分析单摆运动过程中速度加速度和位移的变化（共4小题） 四．单摆运动的对称性（共3小题） 五．单摆的振动图像及其表达式（共5小题） 六．影响单摆周期的因素、单摆周期公式（共5小题） 七．单摆周期公式的简单应用（共10小题） 八．等效单摆及其摆长的计算（共4小题） 九．单摆在不同星球上的周期（共3小题） 一．单摆做简谐运动的模型及成立条件（共4小题） 1．下列说法正确的是（　　） A．做简谐运动的物体一定做机械振动 B．机械振动就是简谐运动 C．简谐运动就是弹簧振子的运动 D．简谐运动就是单摆的运动 2．下列对理想模型的应用，正确的是（　　） A．研究百米赛跑运动员的平均速度时，可以将运动员视为质点 B．研究从地面附近以一定初速度水平抛出的塑料飞盘时，可以认为它做平抛运动 C．研究两个半径为r、球心相距3r的带电金属球之间的库仑力时，可以将它们视为点电荷 D．研究一根轻质弹簧绳下挂着的小球的摆动时，可以认为两者构成一个单摆 3．（多选）关于单摆，下列说法正确的是（　　） A．单摆的回复力是重力的分力 B．单摆的摆角小于5°，可看作简谐振动 C．单摆的振幅不论多大，其周期均为2π D．单摆的振动是变加速运动 4．质量为m的小球在半径为R的光滑球面上的A、B之间来回运动，P为平衡位置，重力加速度为g。 （1）请画出小球在A位置的受力示意图，并写出此位置小球的重力沿圆弧切线方向的分力大小的表达式： （2）若请从简谐运动受力角度推理说明小球做的是简谐运动。 二．单摆的回复力（共5小题） 5．如图所示，O点为单摆的固定悬点，现将可视为质点的摆球拉至A点，此时细线处于张紧状态，静止释放摆球，摆球将在竖直平面内的A、C之间来回摆动，B点为运动中的最低位置。整个过程忽略空气阻力，则在摆动稳定后的一个周期内（　　） A．摆球只受到重力、拉力两个力的作用 B．摆球在经过A点和C点处，速度为零，回复力为零 C．摆球在经过B点处，速度最大，回复力最大 D．摆球相邻两次经过B点时，细线拉力大小不相等 6．如图甲所示，单摆在竖直面内的A、C之间做简谐运动。小南同学利用传感器得到了单摆的摆球沿摆线方向的关系图（图乙）。为了进一步研究单摆的特性，小华继续实验。先使摆球（视为质点）带负电（摆线是绝缘的），然后分别将其放在垂直纸面向外的匀强磁场和竖直向上的匀强电场中。对于此次研究，小华的猜想正确的是（　　） A．由图像可得单摆摆动的周期为 B．摆球运动到最低点B时，回复力为零，所受合力为零 C．加上匀强磁场后，A与C不在同一水平面 D．加上匀强电场后，单摆周期变小 7．（多选）摆钟是一种较有年代的计时钟表。其基本原理是利用了单摆的周期性，结合巧妙的擒纵器设计，实现计时的功能。如图为其内部的结构简图，设原先摆钟走时准确，则（ ） A．摆动过程中，金属圆盘所受合力为其回复力 B．摆钟在太空实验室内也可以正常使用的 C．该摆钟从北京带到广州，为使走时准确，需旋转微调螺母使金属圆盘沿摆杆向上移动 D．该摆钟在冬季走时准确，到夏季为了准时，考虑热胀冷缩需旋转微调螺母使金属圆盘沿摆杆向上移动 8．（多选）如图所示，在水平地面上固定一倾角为的光滑斜面，把摆线固定于斜面上的O点，使摆线平行于斜面。拉开摆球至A点，静止释放后，摆球在ABC之间做简谐运动，B点为最低点，摆长为L，摆角为，，当地的重力加速度为g，下列说法正确的是（　　） A．小球从A点运动到C点最短时间为 B．摆线的最小拉力为 C．摆线的最大拉力为 D．球的最大回复加速度为 9．单摆是我们研究简谐运动中常用的模型。已知某单摆的摆长为，摆球质量为，当地重力加速度为。将此摆球在所在的竖直平面内向拉离平衡位置一个小角度，自由释放。 （1）在很小时，（其中为小球的位移），由此写出单摆回复力与位移的关系式，并说明为何单摆可视为简谐运动； （2）简谐运动的周期公式（其中k是回复力与位移的比例系数，为系统的质量），结合（1）推导出单摆的周期公式； 三．分析单摆运动过程中速度加速度和位移的变化（共4小题） 10．如图甲所示，一单摆做小角度摆动，从某次摆球由左向右通过平衡位置开始计时，相对平衡位置的位移x随时间t变化的图像如图乙所示。不计空气阻力，对于这个单摆的振动过程，下列说法正确的是（　　） A．若仅将摆球质量变大，单摆周期变大 B．单摆的位移x随时间t变化的关系式为 C．从t=0.5s到t=1.0s的过程中，摆球的重力势能逐渐增大 D．从t=1.0s到t=1.5s的过程中，摆球所受回复力逐渐减小 11．一单摆如图所示，小球在之间做简谐运动，为运动最高点，为运动最低点。下列关于小球运动说法正确的是（　　） A．经过点时，回复力为零，合外力不为零 B．在点时，回复力不为零，合外力为零 C．经过半个周期重力的冲量为零 D．经过半个周期合外力的的冲量为零 12．（多选）图甲是用力传感器对单摆做小角度摆动过程进行测量的装置图，图乙是与力传感器连接的计算机屏幕所显示的F-t图像，其中F的最大值。已知摆球质量，重力加速度取，取9.8，不计摆线质量及空气阻力。下列说法正确的是（　　） A．单摆周期为0.8s B．单摆摆长为0.64m C．F的最小值 D．若仅将摆球质量变为200g，单摆周期变小 13．单摆摆球质量为m，摆长为，最大偏角为，求： （1）摆球运动的最大加速度． （2）摆球运动的最大速度． （3）摆球从最大位移运动到平衡位置的过程中，重力对摆球做的功和绳子拉力做的功． 四．单摆运动的对称性（共3小题） 14．如图甲所示，一单摆做小角度摆动，从某次摆球由左向右通过平衡位置时开始计时，相对平衡位置的位移x随时间t变化的图像如图乙所示。不计空气阻力，重力加速度g取10m/s2。对于这个单摆的振动过程，下列说法正确的是（　　） A．单摆的位移x随时间t变化的关系式为x=8sin（2πt）cm B．单摆的摆长约为2.0m C．从t=0.5s到t=1.0s的过程中，摆球的重力势能逐渐减小 D．从t=0.5s到t=1.0s的过程中，摆球所受回复力逐渐增大 15．（多选）如图所示，光滑绝缘圆弧轨道的半径为，最低点点左侧处于垂直纸面向外的匀强磁场中，现将一带负电的小球（可视为质点）自最低点右侧的点静止释放，、两点间的距离远小于轨道半径，小球到达最左侧的位置为点（图中未画出），小球运动过程中始终未脱离轨道，已知重力加速度为，下列说法中正确的是（　　）    A．点与点等高 B．小球在点和点处对轨道的压力大小不相等 C．小球向左经过点后，对轨道的压力立即变小 D．小球运动的周期为 16．某单摆做简谐运动，运动过程中摆线的最大拉力与最小拉力之比为，以摆球平衡位置所在水平面为零重力势能参考面，摆球的动能和重力势能随时间的变化规律如图所示，已知角度θ很小时，，重力加速度g取10m/s2，。求： （1）单摆的振动周期和摆长； （2）摆球的质量； （3）单摆做简谐运动的振幅（结果保留两位有效数字）。 五．单摆的振动图像及其表达式（共5小题） 17．如图甲所示，一个单摆做小角度摆动，以向右的方向作为摆球偏离平衡位置的位移的正方向，得到摆球相对平衡位置的位移x随时间变化的图像，如图乙所示，不计空气阻力。对于这个单摆的振动过程，下列说法正确的是（　　）    A．时，摆球所受回复力最大，方向向右 B．时，摆球偏离平衡位置位移最大，方向向右 C．从到的过程中，摆球的重力势能逐渐增大 D．该单摆摆长约为2m 18．如图甲所示，假设航天员登上月球后做了个圆锥摆运动实验，测得摆球在t时间内转了n圈，用尺子测量悬点与球心的高度差为h，然后让此摆球做单摆运动，作出的振动图像如图乙所示，下列说法正确的是（　　） A．月球表面的重力加速度为 B．单摆的周期为 C．圆锥摆的摆长为 D．做单摆运动时，时间内摆球走过的路程为11A 19．（多选）学校实验室中有甲、乙两单摆，其振动图像为如图所示的正弦曲线，则下列说法中正确的是（　　） A．甲、乙两单摆的摆球质量之比是1:2 B．甲、乙两单摆的摆长之比是1:4 C．t=1.5s时，两摆球的速度方向相同 D．t=1.5s时，两摆球的加速度方向相同 20．（多选）如图所示为同一实验室中甲、乙两个单摆的振动图像，从图像可知（　　） A．两单摆的摆长相等 B．两摆球质量， C．两单摆相位相差 D．在相同时间内，两摆球通过的路程总有 21．摆，是物理学中重要的模型之一。如图所示，一根不可伸长的轻软细绳的上端固定在天花板上的点，下端系一个摆球（可看作质点）。将其拉至A点后静止释放，摆球将在竖直面内的A、C之间来回摆动，其中B点为运动中的最低点。忽略空气阻力。图所示为绳中拉力随时间变化的图线，取，求：   （1）摆的振动周期。 （2）摆的最大摆角。 （3）摆球质量。    六．影响单摆周期的因素、单摆周期公式（共5小题） 22．如图所示，在倾角为的光滑绝缘斜面顶端固定一摆长为L的单摆，单摆在斜面上做小角度摆动，摆球经过平衡位置时的速度为v，重力加速度为g，则以下判断正确的是（    ） A．单摆在斜面上摆动的周期 B．摆球经过平衡位置时的回复力大小为 C．若摆球带正电，并加一沿斜面向下的匀强电场，则单摆的振动周期将减小 D．若斜面的倾角增大，则单摆的振动周期将增大 23．如图所示，在地球上同一个地区创设不同的条件进行单摆实验。图甲装置置于真空中，悬点处固定一带正电的小球，绝缘细线下端连接另一带正电小球，周期记为；图乙中，单摆的悬点在一向下加速的电梯顶端，周期记为；图丙中的摆球带正电，在如图所示的匀强磁场中进行摆动，周期记为；图丁中的摆球带正电，在如图所示的匀强电场中进行摆动，周期记为。若四个单摆的摆长一样长，则周期关系正确的是（　　） A． B． C． D． 24．（多选）滑板运动非常有趣。如图所示，某同学踩着滑板在弧形轨道的内壁来回滑行，若人和滑板的运动可视为简谐运动，设该同学站在滑板上与蹲在滑板上滑行时，滑板到达了相同的最高点，则（　　） A．站在滑板上运动时周期比较大 B．站在滑板上运动时周期比较小 C．站着运动到最低点时的速度比较小 D．站着运动到最低点时的速度比较大 25．（多选）若把周期为1s的单摆从g=10m/s2处搬到g/=8m/s2的地方，则（　　） A．单摆的周期变大 B．单摆的周期变小 C．为了使其仍按1s的周期走，则摆长应变长 D．为了使其仍按1s的周期走，则摆长应变短 26．如图甲所示，在天花板上的O点用一定长度的摆线悬挂一个摆球，在O点的下方P点处有一个钉子，现将摆球向左拉开一个很小的角度，t=0时将摆球由静止释放，当摆球运动到最低点时，摆线碰到钉子，此后摆球又向上摆动一个很小角度（不超过5°），设向左为正方向，摆球的振动图像如图乙所示（图线与两轴的交点已在图中标出），不计摆线和钉子相碰时的能量损失，取重力加速度，结果可用分式表示，求： （1）单摆的振动周期； （2）钉子的位置P点到悬点O的距离； （3）图像中x1与x2的比值。 七．单摆周期公式的简单应用（共10小题） 27．两个等长的单摆，一个放在地面上，另一个放在高空，当第一个摆小角度振动n次的时间内，第二个摆小角度振动了（n-1）次。如果地球半径为R，那么第二个摆离地面的高度为（　　） A．nR B．（n－1）R C． D． 28．2020年7月23日，我国首次发射火星探测器“天问一号”。地面上周期为的单摆经常被称为秒摆。假如某秒摆被“天问一号”探测器携带至火星表面后，周期变为。已知火星半径约为地球半径的二分之一，以下说法正确的是（    ） A．若秒摆在火星表面的摆角变小，则周期也会随之变小 B．地球质量约为火星质量的4倍 C．火星的第一宇宙速度约为地球第一宇宙速度的倍 D．火星重力加速度与地球的重力加速度之比为 29．如图所示，两根线的一端都系在小球的同一点，另一端分别固定在天花板上，组成一个双线摆，两根线的长度均为l、与竖直方向的夹角均为，小球的直径为d，重力加速度为g。现将小球垂直纸面向外拉动，使悬线偏离竖直方向一个很小的角度后由静止释放，若不计空气阻力，下列说法正确的是（　　） A．该双线摆的摆长为 B．该双线摆的周期为 C．该双线摆的角越小越好 D．小球宜采用密度较小的塑料球 30．惠更斯利用摆的等时性发明了摆钟，钟摆的周期可以通过调节等效摆长（整个钟摆的重心到悬挂点的距离）控制，控制的方法是旋转钟摆下端的旋转螺母以调节圆盘高度。下列关于摆钟的说法正确的是（    ） A．将摆钟从广州运到北京，应将圆盘向上移 B．摆钟慢了，应将圆盘向上移 C．若夏天摆钟准确，则到冬天要将圆盘向上移 D．若钟摆周期为1s，则等效摆长约为0.5m 31．（多选）某学习小组利用假期往返海南，北京两地，研究了单摆周期与摆长的关系，图甲是两地的—L图像，图乙是在海南绘制的不同摆长的振动图像，关于本次实验，下列说法正确的是（　　） A．图甲中A代表重力加速度小，是海南测量的图像 B．图甲中B代表重力加速度小，是海南测量的图像 C．图乙中a、b对应的摆长比为2∶3 D．图乙中a、b对应的摆长比为4∶9 32．（多选）图1、2分别是甲、乙两个单摆在同一位置做简谐运动的图像，则下列说法正确的是（    ） A．甲、乙两单摆的振幅之比为 B．时，甲单摆的重力势能最大，乙单摆的动能最小 C．甲、乙两单摆的摆长之比为 D．甲、乙两单摆的摆球在最低点时，向心加速度大小一定不相等 33．（多选）一根不可伸长的细线，上端悬挂在O点，下端系一个小球，如图甲所示，某同学利用此装置来探究周期与摆长的关系．该同学用米尺测得细线的长度，用游标卡尺测得小球的直径，二者相加为l，通过改变细线的长度，测得对应的周期T，得到该装置的图像如图乙所示，则下列说法正确的是（取）（　　） A．时摆长为 B．时摆长为 C．摆球半径为 D．当地的重力加速度为 34．有几个登山运动员登上一无名高峰，但不知此峰的高度，他们想迅速估测高峰的海拔，但是他们除了食品外只带了一些轻质绳子、小刀、小钢卷尺和可当秒表用的手表，附近还有一些石子、树木等。请写出测量方法、需要记录的数据、海拔的计算式。（海平面处重力加速度为，地球半径为） 35．如图甲所示，一个小弹丸水平射入一个原来静止的单摆摆球内并停留在里面，结果单摆按如图乙所示的振动图线做简谐运动，已知摆球的质量为小弹丸质量的5倍，求小弹丸射入摆球前的速度大小。（结果保留两位有效数字） 36．图甲是一个单摆振动的情形，O是它的平衡位置，B、C是摆球所能到达的最远位置，设摆球向右运动为正方向，图乙是这个单摆的振动图像，根据图像： （1）写出摆球相对平衡位置的位移随时间的变化关系式； （2）若当地的重力加速度为，取，求单摆的摆长。 八．等效单摆及其摆长的计算（共4小题） 37．如图所示，在倾角为α的斜面顶端固定一摆长为L的单摆，单摆在斜面上做小角度摆动，摆球经过平衡位置时的速度为v，重力加速度大小为g，则以下判断正确的是（　　） A．单摆在斜面上摆动的周期为 B．摆球经过平衡位置时受到的回复力大小为 C．若小球带正电，并加一沿斜面向下的匀强电场，则单摆的振动周期将增大 D．若小球带正电，并加一沿斜面向下的匀强电场，则单摆的振动周期将减小 38．如图所示，三根长度均为的轻细绳、、组合系住一质量分布均匀且带正电的小球，球的质量为、直径为，带电荷量为，绳、与天花板的夹角，空间中存在平行于纸面竖直向下的匀强电场，电场强度，重力加速度为，现将小球拉开小角度后由静止释放，则（    ） A．若小球在纸面内做小角度的左右摆动，则周期为 B．若小球做垂直于纸面的小角度摆动，则周期为 C．摆球经过平衡位置时所受合力为零 D．无论小球如何摆动，电场力都不做功 39．（多选）某研究性学习小组设计了如图1所示的实验装置，将一倾角可调的光滑斜面固定在水平面上，斜面上固定一力传感器，将小球通过摆线挂在力传感器上，摆线与斜面始终保持平行，小球能在斜面上做单摆运动。当斜面倾角时，传感器输出的细线拉力F随时间t的变化曲线如图2所示，则下列说法正确的是（　　） A．由图2可知单摆的周期为 B．只减小斜面倾角，则单摆周期将变大 C．摆线应选用不易伸缩的轻质细绳 D．只增大摆线的长度，则单摆周期将减小 40．如图所示，处于竖直平面内的光滑绝缘半圆形槽的半径为，一质量为的小球于槽中点由静止释放； (1)若弧长远小于半径，则小球再次回到P点所用时间T为多少？ (2)若使小球带一定量的正电荷，并将整个装置放在水平向右的匀强电场中，且小球所受电场力的大小等于小球所受重力的大小，则小球做简谐运动的周期为多大？ 九．单摆在不同星球上的周期（共3小题） 41．已知火星的质量为地球质量的，火星的半径为地球半径的，在地球上秒摆的周期为，则该秒摆在火星上的周期为（    ） A． B． C． D． 42．（多选）如图，BOC为放置于月球表面的半径为R的光滑弧形槽，O点是弧形槽的最低点。半径R远大于BOC弧长。一小球由静止开始从B点释放，小球在槽内做简谐运动。欲使小球运动的周期减小，下列采用的方法不正确的是（　　） A．让小球释放点更靠近O点 B．让小球释放时有一个初速度 C．换一个半径R小一些的弧形槽 D．其他条件不变，将装置从月球拿至地球表面 43．某中学的实验室内有一秒摆，一位同学用其做实验，该同学使摆球偏离平衡位置的距离为4cm，然后静止释放摆球，得到如图所示的振动图像。取地球表面的重力加速度，。不计空气阻力。 （1）振动图像中A和b应该标注的数值为多少？ （2）求秒摆的摆长； （3）已知月球上的自由落体加速度为，求地球上的秒摆在月球表面的振动周期。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.4单摆（专题训练）【九大题型】 一．单摆做简谐运动的模型及成立条件（共4小题） 二．单摆的回复力（共5小题） 三．分析单摆运动过程中速度加速度和位移的变化（共4小题） 四．单摆运动的对称性（共3小题） 五．单摆的振动图像及其表达式（共5小题） 六．影响单摆周期的因素、单摆周期公式（共5小题） 七．单摆周期公式的简单应用（共10小题） 八．等效单摆及其摆长的计算（共4小题） 九．单摆在不同星球上的周期（共3小题） 一．单摆做简谐运动的模型及成立条件（共4小题） 1．下列说法正确的是（　　） A．做简谐运动的物体一定做机械振动 B．机械振动就是简谐运动 C．简谐运动就是弹簧振子的运动 D．简谐运动就是单摆的运动 【答案】A 【详解】ACD．简谐运动是机械振动的一种最基本、最简单的振动形式，振动物体的位移—时间图像遵从正弦函数规律的振动形式，都是简谐运动，弹簧振子和单摆的振动只是简谐运动中的一种。故正确；CD错误； B．做简谐运动的物体一定做机械振动，但机械振动不一定都是简谐运动，如果位移—时间图像不满足正弦规律，则不是简谐运动。故错误。 故选A。 2．下列对理想模型的应用，正确的是（　　） A．研究百米赛跑运动员的平均速度时，可以将运动员视为质点 B．研究从地面附近以一定初速度水平抛出的塑料飞盘时，可以认为它做平抛运动 C．研究两个半径为r、球心相距3r的带电金属球之间的库仑力时，可以将它们视为点电荷 D．研究一根轻质弹簧绳下挂着的小球的摆动时，可以认为两者构成一个单摆 【答案】A 【详解】A．研究百米赛跑运动员的平均速度时，运动员的形状大小可以忽略不计，可以将运动员视为质点，故A正确； B．研究从地面附近以一定初速度水平抛出的塑料飞盘时，由于塑料飞盘受到的空气阻力相对于塑料飞盘的重力不能忽略不计，不可以认为它做平抛运动，故B错误； C．研究两个半径为r、球心相距3r的带电金属球之间的库仑力时，由于两球的大小不能忽略不计，库仑力会应影响电荷的分布，所以不可以将它们视为点电荷，故C错误； D．研究一根轻质弹簧绳下挂着的小球的摆动时，只有当摆角小于时，才可以认为两者构成一个单摆，故D错误。 故选A。 3．（多选）关于单摆，下列说法正确的是（　　） A．单摆的回复力是重力的分力 B．单摆的摆角小于5°，可看作简谐振动 C．单摆的振幅不论多大，其周期均为2π D．单摆的振动是变加速运动 【答案】ABD 【详解】A．单摆的回复力是重力的切向分力，选项A正确； B．单摆做简谐运动的条件是摆角很小，不超过5°，选项B正确； C．单摆做简谐运动周期T＝2π，要求摆角很小不超过5°，选项C错误； D．单摆振动中加速度不断变化，是变加速运动，选项D正确。 故选ABD。 4．质量为m的小球在半径为R的光滑球面上的A、B之间来回运动，P为平衡位置，重力加速度为g。 （1）请画出小球在A位置的受力示意图，并写出此位置小球的重力沿圆弧切线方向的分力大小的表达式： （2）若请从简谐运动受力角度推理说明小球做的是简谐运动。 【答案】（1）， ；（2）小球在运动弧度不大，偏角很小的情况下做简谐运动 【详解】（1）受力示意图如图所示 如图，重力沿圆弧切线方向的分力为 （2）充当回复力。当很小时，圆弧的长度可认为与小球的位移大小相等，则有 回复力与位移的方向相反，则可表示为 此题给定的情境中为定值，可以用一个常量表示，即 故小球在运动弧度不大，偏角很小的情况下做简谐运动。 二．单摆的回复力（共5小题） 5．如图所示，O点为单摆的固定悬点，现将可视为质点的摆球拉至A点，此时细线处于张紧状态，静止释放摆球，摆球将在竖直平面内的A、C之间来回摆动，B点为运动中的最低位置。整个过程忽略空气阻力，则在摆动稳定后的一个周期内（　　） A．摆球只受到重力、拉力两个力的作用 B．摆球在经过A点和C点处，速度为零，回复力为零 C．摆球在经过B点处，速度最大，回复力最大 D．摆球相邻两次经过B点时，细线拉力大小不相等 【答案】A 【详解】A．摆球受到重力、拉力两个力的作用。故A正确； B．摆球在经过A点和C点处，速度为零，回复力为重力沿切线方向的分力，不为零。故B错误； C．摆球在经过B点（单摆的平衡位置）处，速度最大，回复力为零。故C错误； D．摆球相邻两次经过B点时，速度大小相等，根据牛顿第二定律得 解得 细线拉力大小相等。故D错误。 故选A。 6．如图甲所示，单摆在竖直面内的A、C之间做简谐运动。小南同学利用传感器得到了单摆的摆球沿摆线方向的关系图（图乙）。为了进一步研究单摆的特性，小华继续实验。先使摆球（视为质点）带负电（摆线是绝缘的），然后分别将其放在垂直纸面向外的匀强磁场和竖直向上的匀强电场中。对于此次研究，小华的猜想正确的是（　　） A．由图像可得单摆摆动的周期为 B．摆球运动到最低点B时，回复力为零，所受合力为零 C．加上匀强磁场后，A与C不在同一水平面 D．加上匀强电场后，单摆周期变小 【答案】D 【详解】A．单摆运动的过程在A点时沿细绳方向的加速度最小，在B点时沿细绳方向的加速度最大，到达C点沿细绳方向的加速度又最小，所以单摆的一个周期为A—B—C—B—A，结合图乙可知，单摆摆动的周期为，故A错误； B．摆球运动到最低点B时，质点相对平衡位置的位移为0，则回复力为零，由于沿绳方向的合力提供向心力，则沿绳方向的加速度不为零，即所受合力不为零，故B错误； C．加上匀强磁场后，根据左手定则可知，小球所受洛伦兹力方向与速度方向垂直，垂直绳方向的运动不受影响，即A与C仍然在同一水平面，故C错误； D．加上竖直向上的匀强电场后，小球受竖直向下的电场力，可知等效重力加速度变大，根据 可知单摆周期减小，故D正确。 故选D。 7．（多选）摆钟是一种较有年代的计时钟表。其基本原理是利用了单摆的周期性，结合巧妙的擒纵器设计，实现计时的功能。如图为其内部的结构简图，设原先摆钟走时准确，则（　　） A．摆动过程中，金属圆盘所受合力为其回复力 B．摆钟在太空实验室内也可以正常使用的 C．该摆钟从北京带到广州，为使走时准确，需旋转微调螺母使金属圆盘沿摆杆向上移动 D．该摆钟在冬季走时准确，到夏季为了准时，考虑热胀冷缩需旋转微调螺母使金属圆盘沿摆杆向上移动 【答案】CD 【详解】A．回复力是指向平衡位置的力，摆动过程中，金属圆盘所受重力沿轨迹切线方向的分力为其回复力，金属圆盘所受合力还有一部分提供向心力，故A错误； B．金属圆盘所受重力沿轨迹切线方向的分力为其回复力，该摆钟在太空实验室内处于失重状态，因此不可正常使用，故B错误； C．该摆钟从北京带到广州，重力加速度减小，由单摆的周期公式 可知周期变大，摆钟变慢，为走时准确，需要摆钟的摆长变短，需旋转微调螺母使金属圆盘沿摆杆向上移动，故C正确； D．该摆钟在冬季走时准确，到夏季温度升高，由于热胀冷缩，摆长变长，为了准时，需要摆长变短，因此考虑热胀冷缩需旋转微调螺母使金属圆盘沿摆杆向上移动，故D正确。 故选CD。 8．（多选）如图所示，在水平地面上固定一倾角为的光滑斜面，把摆线固定于斜面上的O点，使摆线平行于斜面。拉开摆球至A点，静止释放后，摆球在ABC之间做简谐运动，B点为最低点，摆长为L，摆角为，，当地的重力加速度为g，下列说法正确的是（　　） A．小球从A点运动到C点最短时间为 B．摆线的最小拉力为 C．摆线的最大拉力为 D．球的最大回复加速度为 【答案】AC 【详解】D．单摆的回复力是重力的下滑分力的切向分量提供，重力的下滑分力为，下滑分力的切线分力即回复力为 ==ma 解得 故D错误； A．等效重力加速度为，根据单摆的周期公式有 小球从A点运动到C点最短时间为 = 故A正确； B．当摆球到达B点或C点时，摆线拉力最小为 故B错误； C．摆球从B到A运动过程中，根据动能定理有 在B点拉力最大，根据牛顿第二定律有 解得 故C正确； 故选AC。 9．单摆是我们研究简谐运动中常用的模型。已知某单摆的摆长为，摆球质量为，当地重力加速度为。将此摆球在所在的竖直平面内向拉离平衡位置一个小角度，自由释放。 （1）在很小时，（其中为小球的位移），由此写出单摆回复力与位移的关系式，并说明为何单摆可视为简谐运动； （2）简谐运动的周期公式（其中k是回复力与位移的比例系数，为系统的质量），结合（1）推导出单摆的周期公式； 【答案】（1），见解析；（2） 【详解】（1）根据题意，当小球偏离平衡位置一个小角度时，对小球受力分析，如图所示 可知，重力沿圆弧切线方向的分力 充当回复力，设此时小球的位移为，由于很小，则有 又有与的方向相反，则 令，则有 说明单摆可视为简谐运动。 （2）由（1）分析可知，回复力与位移的比例系数 又有简谐运动的周期公式 联立解得，单摆的周期公式为 三．分析单摆运动过程中速度加速度和位移的变化（共4小题） 10．如图甲所示，一单摆做小角度摆动，从某次摆球由左向右通过平衡位置开始计时，相对平衡位置的位移x随时间t变化的图像如图乙所示。不计空气阻力，对于这个单摆的振动过程，下列说法正确的是（　　） A．若仅将摆球质量变大，单摆周期变大 B．单摆的位移x随时间t变化的关系式为 C．从t=0.5s到t=1.0s的过程中，摆球的重力势能逐渐增大 D．从t=1.0s到t=1.5s的过程中，摆球所受回复力逐渐减小 【答案】B 【详解】A．根据单摆周期公式 可知仅将摆球质量变大，单摆周期不变，故A错误； B．由图乙可知单摆的位移x随时间t变化的关系式为 故B正确； C．由图乙可知，从t=0.5s到t=1.0s的过程中，摆球从最高点摆动最低点，摆球的重力势能逐渐减小，故C错误； D．由图乙可知，从t=1.0s到t=1.5s的过程中，摆球的位移大小逐渐增大，摆球所受回复力逐渐增大，故D错误。 故选B。 11．一单摆如图所示，小球在之间做简谐运动，为运动最高点，为运动最低点。下列关于小球运动说法正确的是（　　） A．经过点时，回复力为零，合外力不为零 B．在点时，回复力不为零，合外力为零 C．经过半个周期重力的冲量为零 D．经过半个周期合外力的的冲量为零 【答案】A 【详解】A．点为小球做简谐运动的平衡位置，经过点时，回复力为零，小球做圆周运动合外力不为零，A正确； B．在点时，回复力不为零，合外力也不为零，B错误； C．由可知经过半个周期重力的冲量不为零，C错误； D．经过半个周期合外力的冲量不一定为零，如由点经过半个周期回到点，速度大小不变，方向相反，可知动量变化量不为零，根据动量定理可知合外力的冲量不为零，D错误。 故选A。 12．（多选）图甲是用力传感器对单摆做小角度摆动过程进行测量的装置图，图乙是与力传感器连接的计算机屏幕所显示的F-t图像，其中F的最大值。已知摆球质量，重力加速度取，取9.8，不计摆线质量及空气阻力。下列说法正确的是（　　） A．单摆周期为0.8s B．单摆摆长为0.64m C．F的最小值 D．若仅将摆球质量变为200g，单摆周期变小 【答案】BC 【详解】A．单摆在最低点时速度最大，所需向心力最大，力传感器示数最大，且摆球在相邻两次通过最低点的时间间隔为半个周期，则由图乙可知单摆周期为 故A错误； B．根据单摆周期公式可得单摆摆长为 故B正确； C．摆球在最低点时，根据牛顿第二定律有 设单摆的摆角为θ，摆球从最低点运动至最高点的过程中，根据机械能守恒定律有 解得 摆球在最高点时，有 故C正确； D．单摆周期与摆球质量无关，若仅将摆球质量变为200g，单摆周期不变，故D错误。 故选BC。 13．单摆摆球质量为m，摆长为，最大偏角为，求： （1）摆球运动的最大加速度． （2）摆球运动的最大速度． （3）摆球从最大位移运动到平衡位置的过程中，重力对摆球做的功和绳子拉力做的功． 【答案】（1）  （2）  （3）   【详解】(1)由题意知单摆摆动到最高点时加速度最大，根据受力关系由牛顿第二定律可知： 解得： (2)小球摆动到最低点即平衡位置时速度最大，从最高点到最低点过程中只有重力做功，由动能定理得： 解得摆球运动的最大速度为： (3)由(2)分析可知摆球从最大位移运动到平衡位置的过程中重力做功为： 而绳子拉力一直与速度方向垂直，故绳子拉力做功为0. 答：（1）摆球运动的最大加速度． （2）摆球运动的最大速度． （3）摆球从最大位移运动到平衡位置的过程中，重力对摆球做的功和绳子拉力做的功为0． 四．单摆运动的对称性（共3小题） 14．如图甲所示，一单摆做小角度摆动，从某次摆球由左向右通过平衡位置时开始计时，相对平衡位置的位移x随时间t变化的图像如图乙所示。不计空气阻力，重力加速度g取10m/s2。对于这个单摆的振动过程，下列说法正确的是（　　） A．单摆的位移x随时间t变化的关系式为x=8sin（2πt）cm B．单摆的摆长约为2.0m C．从t=0.5s到t=1.0s的过程中，摆球的重力势能逐渐减小 D．从t=0.5s到t=1.0s的过程中，摆球所受回复力逐渐增大 【答案】C 【详解】A．根据图乙可知单摆的周期、振幅分别为 T=2s，A=8cm 则圆频率 单摆从平衡位置开始的位移x随时间t变化的关系式为 x=Asinωt=8sin（πt）cm 故A错误； B．根据单摆的周期公式 结合上述解得 L=1.0m 故B正确； C．从t=0.5s到t=1.0s的过程中，摆球从最高点运动到最低点，重力势能减小，故C正确； D．从t=0.5s到t=1.0s的过程中，摆球的位移减小，回复力减小，故D错误。 故选C。 15．（多选）如图所示，光滑绝缘圆弧轨道的半径为，最低点点左侧处于垂直纸面向外的匀强磁场中，现将一带负电的小球（可视为质点）自最低点右侧的点静止释放，、两点间的距离远小于轨道半径，小球到达最左侧的位置为点（图中未画出），小球运动过程中始终未脱离轨道，已知重力加速度为，下列说法中正确的是（　　）    A．点与点等高 B．小球在点和点处对轨道的压力大小不相等 C．小球向左经过点后，对轨道的压力立即变小 D．小球运动的周期为 【答案】AD 【详解】A．根据题意可知，小球在滑绝缘圆弧轨道中运动时，由于只有重力做功，则机械能守恒，则点与点等高，故A正确； B．根据题意可知，小球在点和点处速度为0，则只受到重力和轨道的支持力，且点和点关于最低点位置对称，则对轨道的压力大小相等，故B错误； C．小球向左经过点后，由左手定则可知，洛伦兹力方向垂直轨道向下，则对轨道的压力立即变大，故C错误； D．根据题意，对小球受力分析可知，小球运动过程中，受重力和垂直运动方向的支持力和洛伦兹力，由于、两点间的距离远小于轨道半径，则小球的运动可看做单摆，则小球运动的周期为 故D正确。 故选AD。 16．某单摆做简谐运动，运动过程中摆线的最大拉力与最小拉力之比为，以摆球平衡位置所在水平面为零重力势能参考面，摆球的动能和重力势能随时间的变化规律如图所示，已知角度θ很小时，，重力加速度g取10m/s2，。求： （1）单摆的振动周期和摆长； （2）摆球的质量； （3）单摆做简谐运动的振幅（结果保留两位有效数字）。 【答案】（1），；（2）；（3） 【详解】（1）一个单摆周期内摆球的动能和重力势能有两次达到最大值，因此由图可知该单摆的振动周期为 由单摆周期公式 代入数据可得 （2）设单摆在最高点时摆线与竖直方向的夹角为，在最高点时摆线的拉力最小，最小为 在最低点摆线拉力最大，此时速度也为最大，设为，则 由题意可得 由图可知 联合解得 （3）由（2）中分析可得 即 由几何知识可得单摆做简谐运动的振幅为 五．单摆的振动图像及其表达式（共5小题） 17．如图甲所示，一个单摆做小角度摆动，以向右的方向作为摆球偏离平衡位置的位移的正方向，得到摆球相对平衡位置的位移x随时间变化的图像，如图乙所示，不计空气阻力。对于这个单摆的振动过程，下列说法正确的是（　　）    A．时，摆球所受回复力最大，方向向右 B．时，摆球偏离平衡位置位移最大，方向向右 C．从到的过程中，摆球的重力势能逐渐增大 D．该单摆摆长约为2m 【答案】A 【详解】A．以向右的方向作为摆球偏离平衡位置的位移的正方向, 时,位移为，即摆球在端点A，由可知，摆球所受回复力最大，方向向右，故A正确； B．时，摆球的位移为零，即摆球刚好在平衡位置，故B错误； C．从到的过程中，摆球的位移逐渐减小，即向下摆动回到平衡位置，重力做正功，重力势能逐渐减小，故C错误； D．由图像可知单摆的周期为，由，可得摆长为 故D错误。 故选A。 18．如图甲所示，假设航天员登上月球后做了个圆锥摆运动实验，测得摆球在t时间内转了n圈，用尺子测量悬点与球心的高度差为h，然后让此摆球做单摆运动，作出的振动图像如图乙所示，下列说法正确的是（　　） A．月球表面的重力加速度为 B．单摆的周期为 C．圆锥摆的摆长为 D．做单摆运动时，时间内摆球走过的路程为11A 【答案】C 【详解】AB．设圆锥摆的摆线与竖直方向的夹角为，由题意可得圆锥摆的周期为 对圆锥摆受力分析，由牛顿第二定律可得 由几何关系可得 解得 故AB错误； C．由题图乙可知摆球做单摆运动的周期为T，设摆长为L，则有 解得 故C正确； D．由题图乙可知单摆的振幅为A，且从最大位移处开始振动，则时间内摆球走过的路程为 故D错误。 故选C。 19．（多选）学校实验室中有甲、乙两单摆，其振动图像为如图所示的正弦曲线，则下列说法中正确的是（　　） A．甲、乙两单摆的摆球质量之比是1:2 B．甲、乙两单摆的摆长之比是1:4 C．t=1.5s时，两摆球的速度方向相同 D．t=1.5s时，两摆球的加速度方向相同 【答案】BD 【详解】A．单摆的周期与单摆的质量和振幅无关，根据单摆的振动图像无法判断摆球质量的比值关系，故A错误； B．根据单摆的周期公式有 解得 根据图像可知 可知 故B正确； C．t=1.5s时，甲正在靠近平衡位置，而乙正在远离平衡位置，可知，t=1.5s时，两摆球的速度方向相反，故C错误； D．t=1.5s时，两摆球相对于平衡位置的位移均为正值，则加速度方向沿负方向，即加速度方向相同，故D正确。 故选BD。 20．（多选）如图所示为同一实验室中甲、乙两个单摆的振动图像，从图像可知（　　） A．两单摆的摆长相等 B．两摆球质量， C．两单摆相位相差 D．在相同时间内，两摆球通过的路程总有 【答案】AC 【详解】AB．从振动图像知 又由 可知，两单摆的摆长相等；由于周期与摆球的质量无关，所以不能确定两摆球的质量关系，故A正确，B错误； C．由图像可知 两单摆相位相差，故C正确； D．由于两个摆的初相位不同，所以只有从平衡位置或最大位移处开始计时，而且末位置也是在平衡位置或最大位移处的特殊情况下，经过相同时间，两摆球通过的路程才一定满足，若不能满足以上的要求，则不一定满足，故D错误。 故选AC。 21．摆，是物理学中重要的模型之一。如图所示，一根不可伸长的轻软细绳的上端固定在天花板上的点，下端系一个摆球（可看作质点）。将其拉至A点后静止释放，摆球将在竖直面内的A、C之间来回摆动，其中B点为运动中的最低点。忽略空气阻力。图所示为绳中拉力随时间变化的图线，取，求：   （1）摆的振动周期。 （2）摆的最大摆角。 （3）摆球质量。    【答案】（1）2.16s；（2）60°；（3）0.245kg 【详解】（1）由对称性可知，小球在A、C两点拉力大小相等，但一个周期是A到C再回到A，故周期摆球 （2）（3）在A点时有 在B点时有 从A点到B点由动能定理可得 联立得 六．影响单摆周期的因素、单摆周期公式（共5小题） 22．如图所示，在倾角为的光滑绝缘斜面顶端固定一摆长为L的单摆，单摆在斜面上做小角度摆动，摆球经过平衡位置时的速度为v，重力加速度为g，则以下判断正确的是（    ） A．单摆在斜面上摆动的周期 B．摆球经过平衡位置时的回复力大小为 C．若摆球带正电，并加一沿斜面向下的匀强电场，则单摆的振动周期将减小 D．若斜面的倾角增大，则单摆的振动周期将增大 【答案】C 【详解】AD．单摆在斜面上摆动时，等效重力加速度为 所以单摆在斜面上摆动的周期 当斜面的倾角增大，则单摆的振动周期将减小，故AD错误； B．回复力大小与偏离平衡位置的位移大小成正比，故摆球经过平衡位置时的回复力大小为零，故B错误； C．若摆球带正电，并加一沿斜面向下的匀强电场，单摆的等效重力加速度为 所以单摆在斜面上摆动的周期 故C正确。 故选C。 23．如图所示，在地球上同一个地区创设不同的条件进行单摆实验。图甲装置置于真空中，悬点处固定一带正电的小球，绝缘细线下端连接另一带正电小球，周期记为；图乙中，单摆的悬点在一向下加速的电梯顶端，周期记为；图丙中的摆球带正电，在如图所示的匀强磁场中进行摆动，周期记为；图丁中的摆球带正电，在如图所示的匀强电场中进行摆动，周期记为。若四个单摆的摆长一样长，则周期关系正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】单摆甲所受的库仑力和单摆丙受的洛伦兹力总是沿半径方向，不影响回复力，则 根据等效重力加速度的求法，在平衡位置处，对乙有 解得 则有 对丁有 则 故 综上比较四个单摆的周期可知 故选D。 24．（多选）滑板运动非常有趣。如图所示，某同学踩着滑板在弧形轨道的内壁来回滑行，若人和滑板的运动可视为简谐运动，设该同学站在滑板上与蹲在滑板上滑行时，滑板到达了相同的最高点，则（　　） A．站在滑板上运动时周期比较大 B．站在滑板上运动时周期比较小 C．站着运动到最低点时的速度比较小 D．站着运动到最低点时的速度比较大 【答案】BD 【详解】AB．根据题意，人和滑板的运动可视为简谐运动，该同学站在滑板上与蹲在滑板上滑行时，滑板到达了相同的最高点，由 可知当人站起来，重心向上移，相当于摆长L变短，则周期T变小，故A错误，B正确； CD．因为站在滑板上与蹲在滑板上滑行时，滑板到达了相同的最高点，而当人站起来时周期变小，通过相等的弧长时，周期越小，速度越大，故C错误，D正确。 故选BD。 25．（多选）若把周期为1s的单摆从g=10m/s2处搬到g/=8m/s2的地方，则（　　） A．单摆的周期变大 B．单摆的周期变小 C．为了使其仍按1s的周期走，则摆长应变长 D．为了使其仍按1s的周期走，则摆长应变短 【答案】AD 【详解】AB．单摆的周期公式为 由题意可知，其重力加速度变小，所以单摆的周期变大，故A正确，B错误； CD．由公式可知 由于重力加速变小，为了使其周期不变，所以其摆长应该变短，故C错误，D正确。 故选AD。 26．如图甲所示，在天花板上的O点用一定长度的摆线悬挂一个摆球，在O点的下方P点处有一个钉子，现将摆球向左拉开一个很小的角度，t=0时将摆球由静止释放，当摆球运动到最低点时，摆线碰到钉子，此后摆球又向上摆动一个很小角度（不超过5°），设向左为正方向，摆球的振动图像如图乙所示（图线与两轴的交点已在图中标出），不计摆线和钉子相碰时的能量损失，取重力加速度，结果可用分式表示，求： （1）单摆的振动周期； （2）钉子的位置P点到悬点O的距离； （3）图像中x1与x2的比值。 【答案】（1）1.8s；（2）0.36m；（3）5：4 【详解】（1）由乙图像可知，单摆完成一次全振动的时间为 （2）由乙图可知，小球在OP左侧摆动时，单摆的周期为，由周期公式 解得该单摆摆线的长度为 小球在OP右侧绕着P点摆动时，周期为，由周期公式 ， 解得该单摆碰到钉子后的摆长为 故钉子的位置P距离悬点O的距离 代入数据得 （3）设单摆在OP左侧摆动的最大偏角为，在OP右侧摆动的最大偏角为，由数学知识可得 ， 由机械能守恒定律得 由数学方法可解得 七．单摆周期公式的简单应用（共10小题） 27．两个等长的单摆，一个放在地面上，另一个放在高空，当第一个摆小角度振动n次的时间内，第二个摆小角度振动了（n-1）次。如果地球半径为R，那么第二个摆离地面的高度为（　　） A．nR B．（n－1）R C． D． 【答案】D 【详解】设第二个摆离地面的高度为h，则距地心距离为（），设此处重力加速度为，地表处重力加速度为g，由万有引力定律有 再由单摆公式 又由于 ， 联立解得 故选D。 28．2020年7月23日，我国首次发射火星探测器“天问一号”。地面上周期为的单摆经常被称为秒摆。假如某秒摆被“天问一号”探测器携带至火星表面后，周期变为。已知火星半径约为地球半径的二分之一，以下说法正确的是（    ） A．若秒摆在火星表面的摆角变小，则周期也会随之变小 B．地球质量约为火星质量的4倍 C．火星的第一宇宙速度约为地球第一宇宙速度的倍 D．火星重力加速度与地球的重力加速度之比为 【答案】C 【详解】A．根据单摆的摆动周期公式 可知，单摆的周期只与摆长和重力加速度有关，与摆角无关，故A错误； D．由单摆的摆动周期公式可得 所以 选项D错误； B．在星球表面，物体的重力等于其所受的万有引力，即 则 所以 选项B错误； C．根据重力提供向心力，即 可得第一宇宙速度 所以 故C正确； 故选C。 29．如图所示，两根线的一端都系在小球的同一点，另一端分别固定在天花板上，组成一个双线摆，两根线的长度均为l、与竖直方向的夹角均为，小球的直径为d，重力加速度为g。现将小球垂直纸面向外拉动，使悬线偏离竖直方向一个很小的角度后由静止释放，若不计空气阻力，下列说法正确的是（　　） A．该双线摆的摆长为 B．该双线摆的周期为 C．该双线摆的角越小越好 D．小球宜采用密度较小的塑料球 【答案】B 【详解】A．由题意可知，该双线摆的摆长为 A错误； B．该双线摆的周期为 B正确； C．题图中双线摆的角越小的话，摆动起来越不稳定，C错误； D．小球宜采用密度大的铅球或者铁球，以减小空气阻力的影响，D错误。 故选B。 30．惠更斯利用摆的等时性发明了摆钟，钟摆的周期可以通过调节等效摆长（整个钟摆的重心到悬挂点的距离）控制，控制的方法是旋转钟摆下端的旋转螺母以调节圆盘高度。下列关于摆钟的说法正确的是（    ） A．将摆钟从广州运到北京，应将圆盘向上移 B．摆钟慢了，应将圆盘向上移 C．若夏天摆钟准确，则到冬天要将圆盘向上移 D．若钟摆周期为1s，则等效摆长约为0.5m 【答案】B 【详解】A．根据单摆周期公式可知，把摆钟从广州移到北京，则重力加速度增大，应增大摆长，即使圆盘沿摆杆下移，才能准确，故A错误； B．根据单摆周期公式可知，摆钟慢了，即周期变长，所以应使圆盘沿摆杆上移，减小周期，才能准确，故B正确； C．根据单摆周期公式可知，由夏季变为冬季时，温度减低，则由热胀冷缩可知，应使圆盘沿摆杆下移，才准确，故C错误； D．根据单摆周期公式可知，若钟摆周期为1s，则等效摆长约为0.25m，故D错误。 故选B。 31．（多选）某学习小组利用假期往返海南，北京两地，研究了单摆周期与摆长的关系，图甲是两地的—L图像，图乙是在海南绘制的不同摆长的振动图像，关于本次实验，下列说法正确的是（　　） A．图甲中A代表重力加速度小，是海南测量的图像 B．图甲中B代表重力加速度小，是海南测量的图像 C．图乙中a、b对应的摆长比为2∶3 D．图乙中a、b对应的摆长比为4∶9 【答案】AD 【详解】AB．根据 可得 图甲中A斜率大，则代表重力加速度小，是海南测量的图像，选项A正确，B错误； CD．图乙中a、b对应的周期之比为2:3，根据 可知摆长比为4∶9，选项C错误，D正确。 故选AD。 32．（多选）图1、2分别是甲、乙两个单摆在同一位置做简谐运动的图像，则下列说法正确的是（    ） A．甲、乙两单摆的振幅之比为 B．时，甲单摆的重力势能最大，乙单摆的动能最小 C．甲、乙两单摆的摆长之比为 D．甲、乙两单摆的摆球在最低点时，向心加速度大小一定不相等 【答案】AD 【详解】A．甲、乙两单摆的振幅分别为和，则振幅之比为，，故A正确； B．时，甲单摆在最低点，则重力势能最小，乙单摆在最高点，则动能最小，故B错误； C．甲、乙两单摆的周期之比为，根据 可知，摆长之比为，故C错误； D．设摆球摆动的最大偏角为，由 及 可得，摆球在最低点时向心加速度 因两摆球的最大偏角满足 所以 故D正确。 故选AD。 33．（多选）一根不可伸长的细线，上端悬挂在O点，下端系一个小球，如图甲所示，某同学利用此装置来探究周期与摆长的关系．该同学用米尺测得细线的长度，用游标卡尺测得小球的直径，二者相加为l，通过改变细线的长度，测得对应的周期T，得到该装置的图像如图乙所示，则下列说法正确的是（取）（　　） A．时摆长为 B．时摆长为 C．摆球半径为 D．当地的重力加速度为 【答案】BCD 【详解】D．设摆长为，小球半径为r，单摆的周期公式 整理得 可知为图像的斜率，所以有 解得 D正确； ABC．由题图乙可知，图像的纵轴截距为小球的半径r，则 当时摆长 A错误，B、C正确。 故选BCD。 34．有几个登山运动员登上一无名高峰，但不知此峰的高度，他们想迅速估测高峰的海拔，但是他们除了食品外只带了一些轻质绳子、小刀、小钢卷尺和可当秒表用的手表，附近还有一些石子、树木等。请写出测量方法、需要记录的数据、海拔的计算式。（海平面处重力加速度为，地球半径为） 【答案】见解析 【详解】在山顶上用细绳和小石块先后做成两个摆线长分别为、的单摆，测出相应的周期、， 联立得山顶的重力加速度 由万有引力知识可得 海平面处的重力加速度 联立解得海拔高度为 35．如图甲所示，一个小弹丸水平射入一个原来静止的单摆摆球内并停留在里面，结果单摆按如图乙所示的振动图线做简谐运动，已知摆球的质量为小弹丸质量的5倍，求小弹丸射入摆球前的速度大小。（结果保留两位有效数字） 【答案】 【详解】设小弹丸射入摆球前的速度大小为，射入摆球后，摆球的速度为，最大偏角为，摆球和小弹丸的总质量为。根据机械能守恒定律有 即 当足够小时 故 解得 又由单摆周期公式有 由以上各式得 从题图乙中可以读出 ， 则摆球振动的最大速度为 根据动量守恒定律，有 小弹丸射入摆球前的速度大小 36．图甲是一个单摆振动的情形，O是它的平衡位置，B、C是摆球所能到达的最远位置，设摆球向右运动为正方向，图乙是这个单摆的振动图像，根据图像： （1）写出摆球相对平衡位置的位移随时间的变化关系式； （2）若当地的重力加速度为，取，求单摆的摆长。 【答案】（1）；（2）0.36m 【详解】（1）单摆振动周期T=1.2s，则摆球相对平衡位置的位移随时间的变化关系式 （2）根据单摆周期公式 可得 八．等效单摆及其摆长的计算（共4小题） 37．如图所示，在倾角为α的斜面顶端固定一摆长为L的单摆，单摆在斜面上做小角度摆动，摆球经过平衡位置时的速度为v，重力加速度大小为g，则以下判断正确的是（　　） A．单摆在斜面上摆动的周期为 B．摆球经过平衡位置时受到的回复力大小为 C．若小球带正电，并加一沿斜面向下的匀强电场，则单摆的振动周期将增大 D．若小球带正电，并加一沿斜面向下的匀强电场，则单摆的振动周期将减小 【答案】D 【详解】A．单摆在平衡位置时，等效重力加速度为 所以单摆在斜面上摆动的周期 故A错误； B．回复力大小与摆球偏离平衡位置位移大小成正比，故摆球经过平衡位置时受到的回复力大小为0，故B错误； CD．若小球带正电，并加一沿斜面向下的匀强电场，摆球在平衡位置时，受力分析如图所示 等效重力加速度为 所以单摆在斜面上摆动的周期 故C错误，D正确。 故选D。 38．如图所示，三根长度均为的轻细绳、、组合系住一质量分布均匀且带正电的小球，球的质量为、直径为，带电荷量为，绳、与天花板的夹角，空间中存在平行于纸面竖直向下的匀强电场，电场强度，重力加速度为，现将小球拉开小角度后由静止释放，则（    ） A．若小球在纸面内做小角度的左右摆动，则周期为 B．若小球做垂直于纸面的小角度摆动，则周期为 C．摆球经过平衡位置时所受合力为零 D．无论小球如何摆动，电场力都不做功 【答案】B 【详解】A．若小球以为圆心做简谐运动，则摆长为 电场和重力场合成等效重力加速度为，振动的周期为 故A错误； B．若小球以为圆心做简谐运动，摆长 振动周期为 故B正确； C．摆球经过平衡位置时速度最大，有向心加速度，所受合力不为零。故C错误； D．小球摆动过程中，沿电场力方向存在位移，故电场力有做功。故D错误。 故选B。 39．（多选）某研究性学习小组设计了如图1所示的实验装置，将一倾角可调的光滑斜面固定在水平面上，斜面上固定一力传感器，将小球通过摆线挂在力传感器上，摆线与斜面始终保持平行，小球能在斜面上做单摆运动。当斜面倾角时，传感器输出的细线拉力F随时间t的变化曲线如图2所示，则下列说法正确的是（　　） A．由图2可知单摆的周期为 B．只减小斜面倾角，则单摆周期将变大 C．摆线应选用不易伸缩的轻质细绳 D．只增大摆线的长度，则单摆周期将减小 【答案】BC 【详解】A．根据题意，由图乙可知，小磁铁摆动的周期为 s=1.6s 故A错误； BD．根据题意可知，斜面倾角为时，等效重力加速度为 由单摆周期公式有 只减小斜面倾角，则单摆周期将变大，只增大摆线的长度，则单摆周期将增大，故B正确，D错误； C．为避免单摆摆动过程中摆长变化，摆线应选用不易伸缩的轻质细绳，故C正确； 故选BC。 40．如图所示，处于竖直平面内的光滑绝缘半圆形槽的半径为，一质量为的小球于槽中点由静止释放； (1)若弧长远小于半径，则小球再次回到P点所用时间T为多少？ (2)若使小球带一定量的正电荷，并将整个装置放在水平向右的匀强电场中，且小球所受电场力的大小等于小球所受重力的大小，则小球做简谐运动的周期为多大？ 【答案】(1) (2) 【详解】（1）若弧长远小于半径，可以将小球的摆动看成单摆模型，根据单摆的振动周期 此时，小球摆动的摆长为圆弧的半径，故小球再次回到P点所用时间 （2）整个装置处于水平向右的匀强电场后，小球的受力如图所示，其平衡位置和圆心的连线与竖直方向的夹角为 则其“等效重力加速度”为 据单摆周期公式可得 九．单摆在不同星球上的周期（共3小题） 41．已知火星的质量为地球质量的，火星的半径为地球半径的，在地球上秒摆的周期为，则该秒摆在火星上的周期为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设地球质量为、半径为，则火星质量为、半径为，根据，可知 解得 地球上秒摆的周期 在火星上时 故选B。 42．（多选）如图，BOC为放置于月球表面的半径为R的光滑弧形槽，O点是弧形槽的最低点。半径R远大于BOC弧长。一小球由静止开始从B点释放，小球在槽内做简谐运动。欲使小球运动的周期减小，下列采用的方法不正确的是（　　） A．让小球释放点更靠近O点 B．让小球释放时有一个初速度 C．换一个半径R小一些的弧形槽 D．其他条件不变，将装置从月球拿至地球表面 【答案】AB 【详解】AB．小球的运动可以视为单摆模型，由单摆的周期公式可得 可知，其周期只取决于等效摆长R和重力加速度g，与小球质量、摆动幅度（振幅）无关，而是否有初速度也只是间接的改变了振幅，因此和初速度也无关，AB错误，符合题意； C．换一个半径R小一些的弧形槽，可使小球运动的周期减小，C正确，不符合题意； D．其他条件不变，将装置从月球拿至地球表面，重力加速度g增大，可使小球运动的周期减小，D正确，不符合题意。 故选AB。 43．某中学的实验室内有一秒摆，一位同学用其做实验，该同学使摆球偏离平衡位置的距离为4cm，然后静止释放摆球，得到如图所示的振动图像。取地球表面的重力加速度，。不计空气阻力。 （1）振动图像中A和b应该标注的数值为多少？ （2）求秒摆的摆长； （3）已知月球上的自由落体加速度为，求地球上的秒摆在月球表面的振动周期。 【答案】（1）A=0.04，b=1；（2）；（3） 【详解】（1）由题意可知，振幅为0.04cm，则A=0.04。秒摆的周期是2s，故b=1。 （2）根据单摆周期公式 可知摆长为 （3）当此单摆在月球上时由周期公式 代入数据可得 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 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