3.4 函数的应用(一)-【创新教程】2026-2027学年高中数学必修第一册五维课堂同步复习（人教A版）

3,解析：①函数y=x在(0，十∞)上为减函数， 又3<3.1,3立>3.1 @-8子=-（日）广，画数y=子在0，十0)上为增函 日>古别()>（付） 从而一8量< (合) (号)=()·()=() 函数y=x音；在(0，十∞)上为减函数， 又号>音()<() ④4.1>1=1,0<3.8<1号=1，(-1.9)}<0 .(-1.9)<3.8言<(4.1). 随堂步步夯实 1.B2.D 3.[0,+∞) 4.6 5.解：1)若函数f()为正比例画数，则m十m-1=1, 1m+2m≠0， ∴.m=1. (2)若函数f(x)为反比例函数，则 jm+m-1=-1, 1m+2m≠0， .∴.m=-1, (3)若函数f(x)为暴函数，则m十2m=1, m=-1士√2. 3.4函数的应用（一） 课前预习学案 情境引入 提示1.建立函数模型.2.通过计算二次函数能更好地 反映该公司的年销量.3.2026年，该公司预销售60万辆 汽车 [思考] 提示：利用函数知识和函数观点解决实际问题时，一般 按以下几个步骤进行： (一)审题；（二）建模；（三）求模；（四）还原. 这些步骤用框图表示如图： 实际向题分析、联想、一建立函数模型 抽象、转化 问题 数学 解决 解答 实际问题结论 转译 数学问题结论 预习自测 1.D2.A3.159 课堂互动学案 [例1][解](1)设服装店购进A种T恤衫x件，购进B 种T恤衫y件 ·3 参考答案 由题意，得+y=120, 解得 2=80, 145x+60y=6000, y=40. (66-45)×80+(90-60)×40=2880(元). 答：全部售完获利2880元. (2)①：购进A种T恤衫m件， ∴.购进B种T恤衫(150-m)件. 由题意，得0<150-m≤21，∴.50≤m<150. 则W=(66-45-5)m+(90-60-10)(150-m) =-4m+3000, ∴.W与m的函数关系式为W=一4m+3000(50m<150). ②服装店第二次获利不能超过第一次获利， 理由如下：：W=-4m十3000(50≤m<150),-4<0, .W随m的增大而减小，当m=50时，W取最大值，最 大值为-4×50+3000=2800（元）. .2800<2880. 服装店第二次获利不能超过第一次获利 [例2][解](1)根据题意，可知当纪念品每套降价x元 时，每天可以多卖10x套， 则销售量y与x之间的函数解析式为y=10x十60. (2)根据题意，可知当纪念品每套降价x元时，售价为 (40一x)元，由(1)可知每天销售量为(10x十60)套， 则W=[(40-x)-30](10x+60)=10.x2+40x+600 =-10(x-2)2+640. .-10<0, .当x=2时，W取最大值为640 故售价为40一2=38元. 答：每套售价定为38元时，每天利润最大，最大利润是 640元. [例3][解](1)当0≤x≤8时，设y=入x,代入(8,6)， 得到A=是所以y=是(0<≤8) 当x≥8时，把(8,6)代入得到k=48, 3 所以y= 48 x,0≤x≤8， 2(x>8),所以y= >8 (2)当0≤x<8时，令子x=3,得2=4， 当x>8时，令48=3，得x=16, 所以空气中每立方米的含药量不低于3g时的持续时 间为16-4=12(min)>10,所以此次消毒有效. [例4][解](1)设投入资金x千万元，则生产A芯片的 毛收入y=子(x>0). 将(1,1)，(4,2)代入y=kx, 得=1， k=1, 1 {k4=2,a=2 生产B芯片的毛收入y=√E(x>0). (2)由子>丘，得x>16: 由平=反，得x=16: 数学·必修第一册 由千<丘，得0<x<16. .当投入资金大于16千万元时，生产A芯片的毛收入 更大：当投入资金等于16千万元时，生产A,B芯片的毛 收入相等；当投入资金小于16千万元时，生产B芯片的 毛收入更大」 (3)由题知投入x千万元生产B芯片，则投入(40一x)千 万元资金生产A芯片，公司所获净利润f(x)=40一工+ 厅-2=-十反-2y+9,故当匠=2，即x=4千万元 时，公司所获净利润最大，最大净利润为9千万元， 变式训练 1.D[设从甲仓库调往A县的车辆数为x,则从甲仓库调 往B县的车辆数为12一x,从乙仓库调往A县的车辆数 为10一x,从乙仓库调往B县的车辆数为6一(10一x)= x-4. 设总费用为y,则y=40x+80×(12-x)+30×(10-x) +50×(x一4)=1060一20x(4≤x10,x∈N),要使总 费用y最少，则需x最大，所以当x=10时，总费用y最 少，为860元.] 2.解析：设每个提价x元(x≥0，x∈N),利润为y元. 每天销售总额为(10+x)(100一10x)元， 进货总额8(100-10x)元，显然100-10x>0,即x<10, 则y=(10+x)(100-10x)-8(100-10.x) =(2十x)(100-10x) =-10(x-4)2+360(0≤x<10,x∈N). 当x=4时，y取得最大值，此时销售单价应为14元，最 大利润为360元。 所以当售价定为14元时，可使每天所赚的利润最大，最 大利润为360元. 3.解：(1)依题意，生产x辆新样式单车的总成本为(20000+ 10x)元， 则y=厂zx+300x-2000,0<x≤400且z∈N (60000-100x,x>400且x∈N (2)当0<x≤400时，y=一7（x一300)+25000， 则当x=300时，ymx=25000: 当x>400时，y=60000-100x单调递减， 则y<60000-100×400=20000, 所以当产量为300辆时，自行车厂生产新样式单车的利 润最大，最大利润为25000元. 4.解：(1)由题意，得R=kr(k是大于0的常数) (2)由r=3cm,R=400cm3/s,得k·3=400, k=00.流量R的函数解析式为R=00.r 81 81 8R=82 当r=5cm时，R=×5≈3086(cm/8. 随堂步步夯实 1.C2.B3.3604.125 ·39 5.解：(1)当0<t≤10时，f(t)=-t+24t+100是增函数， 当20<t≤40时，f(t)=一7t+380是减函数，且f(10)= f(20)=240,所以讲课开始10min,学生的注意力最集 中，能持续10min. (2)因为f(5)=195,f(25)=205, 所以讲课开始后25min比讲课开始后5min学生的注 意力更集中， (3)当0<t≤10时，令f(t)=-t+24t+100=180,得t =4, 当20<t≤40时，令f(t)=一7t+380=180,得t≈ 28.57, 又28.57-4=24.57>24， 所以经过适当的安排，老师可以在学生达到所需要的状 态下讲完这道题目， 章末归纳提升 归纳提升 [例1】[解析](1)由题意知-1>0， 解得x<1且 13x-1≠0， ≠分即f)的定义城是（合）U(合) (2)由y=f(x一1)的定义域是[-1,2]，则x-1∈ [-2,1],即f(x)的定义域是[-2,1]，令-2≤1-3x≤1， 解得0≤x≤1，即y=f1-3x)的定义城为[0,1]. [答案](1)D(2)C [例2][解析](1)f(x)=x2-1(x≥-1)(2)x2+x 十1[(1)法一（换元法）令t=√x一1，t≥一1，则x= (t+1),所以f(t)=(t+1)2-2(t+1)=t-1(t≥-1)， 所以函数的解析式为f(.x)=x2一1(x≥一1). 法二（配凑法）f(E-1)=x-2√元 =x-2√元+1-1=（元-1）2-1. 因为√-1≥-1，所以函数的解析式为 f(x)=x-1(x≥-1). (2)法一由已知条件得f(0)=1, 又f(.x-y)=f(x)-y(2x-y+1), 令y=x,则f(x-y)=f(0) =f(x)-x(2x-x+1)=1, 所以f(x)=x2+x+1. 法二令x=0,得 f(0-y)=f(0)-y(-y+1), 即f(-y)=1-y(-y+1), 将-y用x代换得f(x)=x+x十1.] [例3][解析]当0<a<1时，a+1>1, f(a)=√a,f(a+1)=2(a+1-1)=2a, f(a)=f(a+1), 1 .a=2a,解得a=4 /(日）=f4)=2×(4-1D=6. [答案]C 2数学·必修第一册 3.4 函数的应用（一) 课程标准 素养解读 1.理解函数模型是描述客观世界中变量关系和规律的重 通过本节的学习，使学生体会常见 要模型 函数的变化异同，提升学生数学抽 2.会利用已知的函数模型（或建立函数模型）解决实际 象、数学建模、数据分析等素养 问题 课前。预习学案 [情境引入] [知识梳理] 随着经济和社会的发展，汽车已逐步成为 [知识点-] 人们外出的代步工具.下面是某地一汽车销售 1.常见函数模型 公司对近三年的汽车销售量的统计表： 名称 解析式 条件 年份 2022 2023 2024 次函数模型 y=kx+b k≠0 销量/万辆 8 18 30 反比例函数模型 y=冬+b k≠0 结合以上三年的销量及人们生活的需要，2025 般式：y=a.xr2+bx+c 年初，该汽车销售公司的经理提出全年预售 二次函数模型 顶点式：y=a(x十)2+4uc-b2 a≠0 2a 4a 43万辆汽车的远大目标，经过全体员工的共 a≠0， 同努力，2025年实际销售44万辆，圆满完成 幂函数模型 y=ax"+b n≠1 销售目标. 2.本质：数学建模是对现实问题进行数学抽 [问题1]在实际生产生活中，对已收集到的 象，用数学语言表达问题，选择适当的函数 样本数据常采用什么方式获取直观信息？ 模型，数学模型解决问题， [问题2]如果我们分别将2022,2023,2024， 3.应用：应用于各类与数学相关的应用题 2025年定义为第一、二、三、四年，现在有两个 函数模型：二次函数模型f(x)=ax2十bx十c ?思考解决函数应用问题的基本步骤是 (a≠0)，一次函数模型g(x)=ax十b(a≠0)， 什么？ 哪个模型能更好地反映该公司年销量y与第 x年的关系？ [问题3]依照目前的形势分析，你能预测一 下2026年，该公司预销售多少辆汽车吗？ [知识点二] 分段函数模型：一种比较复杂的函数模型，可 以用来描述在不同区间上有不同变化规律的 实际问题.或者将定义域上变化复杂的函数分 成几段区间来研究，在每一段区间上函数有各 自的变化规律，根据函数的具体变化，再分段 选择相应的函数模型. ·86· 第三章函数的概念与性质 [预习自测] 2.随着海拔高度的升高，大气压强下降，空气 1.某地供电公司为鼓励小微元 中的含氧量也随之下降，且含氧量y(g/m) 企业增加夜间时段用电， 110 与大气压强x(kPa)成正比例函数关系.当 60 规定在月度所属夜间计费 x=36kPa时，y=108g/m3,则y与x的函 0100200x/kw-h 数关系式为 () 时段内采用按用电量分段计费的方法来计 A.y=3x(x≥0) B.y-3x 算电费，夜间月用电量x(kW·h)与相应电 1 费y(元)之间的函数关系如图所示，当夜间 C.y=3x(x≥0) D.y 月用电量为300kW·h时，应交电费为 3.企业一个月生产某种商品x万件时的生产 ( 成本为C(x)=x2+4x十10（万元），一万件 A.130元 B.140元 的售价是30万元.若商品能全部卖出，则该 企业一个月生产该商品的最大利润为 C.150元 D.160元 万元. ● 课堂。互动学案 题型 次函数模型的应角 规律方法 [例1]某服装店经销A,B两种T恤衫，进价 1.一次函数模型解决实际问题的原则 和售价如下表所示： 次函数模型的应用层次要求不高， 般情况下按照“问什么，设什么，列什么” 品名 A B 的原则来处理，求解过程也比较简单， 进价/（元/件） 45 60 2.一次函数模型解决问题的注意点 售价/（元/件） 66 90 用一次函数模型解决实际问题时，对于 (1)第一次进货时，服装店用6000元购进 给出图象的应用题可先结合图象利用待 A,B两种T恤衫共120件，全部售完获利 定系数法求出解析式.对于一次函数y= 多少元？ a.x十b(a≠0)，当a>0时为增函数，当a<0 (2)受市场因素影响，第二次进货时，A种T 时为减函数.另外，要结合题目理解(0，b) 恤衫进价每件上涨了5元，B种T恤衫进价 或 每件上涨了10元，但两种T恤衫的售价不 ,0这些特殊点的意义. a 变.服装店计划购进A,B两种T恤衫共150 ◇[变式训练] 件，且B种T恤衫的购进量不超过A种T恤 1.某公司在甲、乙两个仓库分别有农用车12 衫购进量的2倍.设此次购进A种T恤衫m 辆和6辆.现需要调往A县10辆，B县8 件，两种T恤衫全部售完可获利W元. 辆，已知从甲仓库调运一辆农用车到A县、 ①请求出W与m的函数关系； B县的运费分别为40元、80元；从乙仓库 ②服装店第二次获利能否超过第一次获利？ 调运一辆农用车到A县、B县的运费分别 请说明理由， 为30元、50元.则总费用最少为( [思路点拨](1)设服装店购进A种T恤 A.300元 B.400元 衫x件，购进B种T恤衫y件， C.700元 D.860元 则有2+y=120 题型二 三次函数模型的应用 145x+60y=6000, 从而求得x,y. [例2]第九届亚洲冬季运动会于2025年2月 (2)W=(66-45-5)m+(90-60-10) 7日至2月14日在我国哈尔滨举办，此次 (150-m)=一4m十3000，根据一次函数 亚冬会上中国体育代表团获得32枚金牌、 的单调性求解 85枚奖牌，名创金牌榜和奖牌榜首位.亚冬 会结束后，人们对冰雪的热爱不减，亚冬会 周边纪念品依然十分畅销.某商家以每套 30元的价格购进一批纪念品套件.若该纪 念品每套的售价是40元时，每天可售出60 87 数学·必修第一册 套；若每套的售价每降价1元，则每天可以 题型 分段函数模型 多卖10套. [例3]为了预防流行性感 ↑y(mg (1)设纪念品每套降价x元，求该纪念品的 销售量y与x之间的函数解析式， 冒，某学校对教室采用药 (2)求每套纪念品的售价定为多少元时，每 熏消毒法进行消毒，已知 天销售纪念品套件所获的利润W最大？最 药物燃烧时室内每立方米 大利润是多少元？ 空气中的含药量y(mg)与 x(min) 汇思路点拨]本题主要考查二次函数的实 时间x(min)成正比例，药物燃烧完后满足 际应用，掌握相关量之间的关系并列出函 数解析式是解题的关键， y=,如图所示，现测得药物8min燃毕， (1)根据题意，用含有x的式子将销售量表 此时室内空气中每立方米的含药量为 示出来，即可求解. 6mg,请按题中所供给的信息，解答下列 (2)根据总利润等于单件利润乘以销售量， 各题 可得到函数关系式，再利用二次函数的性 质，即可求解 (1)求y关于x的函数解析式； (2)研究表明，当空气中每立方米的含药量 不低于3mg且持续时间不低于10min时 才能有效杀灭空气中的病菌，那么此次消毒 是否有效？为什么？ 汇思路点拨了“依题意，把实际问题转化为 规律方法 数学问题. 二次函数模型解题思路 二次函数模型的解析式为g(x)=a.x2+bz 十c(a≠0).在函数建模中，它占有重要的 地位.在根据实际问题建立函数解析式后， 可利用配方法、判别式法、换元法、函数的 单调性等方法来求函数的最值，从而解决 实际问题中的最值问题.二次函数求最值 最好结合二次函数的图象来解答， ◇[变式训练] 2.随着人们对交通安全的认识，骑电动车必需 戴头盔，所以头盔已成为人们日常生活中不 可或缺的必备品.某商人将进货单价为8元 的某种头盔按10元一个销售时，每天可卖 出100个.现在他采用提高售价，减少进货 规律方法 量的办法增加利润，已知这种头盔销售单价 (1)现实生活中有很多问题都是用分段函 每涨1元，销售量就减少10个，问他将售价 定为多少元时，才能使每天所赚的利润最 数表示的，如出租车计费、个人所得税 大？并求出最大值. 等，分段函数是刻画现实问题的重要 模型， (2)分段函数的每一段自变量变化所遵循 的规律不同，因此可以先将其看成几个 问题，将各段的变化规律分别找出来， 再将其合到一起，要注意各段自变量的 范围，特别是端点值。 ·88· 第三章函数的概念与性质 ◇[变式训练] (3)现在公司准备投人4亿元资金同时生产 3.共享单车是城市慢行系统的一种模式创新， A,B两种芯片，设投入x千万元生产B芯 对于解决民众出行“最后一公里”的问题特 片，用f(x)表示公司所获净利润，当x为多 别见效，由于停取方便、租用价格低廉，各色 少时，可以获得最大净利润？并求出最大净 共享单车受到人们的热捧.某自行车厂为共 利润.（净利润=A芯片毛收入十B芯片毛 享单车公司生产新样式的单车，已知生产新 收入一研发耗费资金) 样式单车的固定成本为20000元，每生产 [思路点拨]设投入资金为x千万元，则 一辆新样式单车需要增加投入100元，根据 初步测算，自行车厂生产新样式单车的总收 A芯片的毛收入为y=平(x>0),将1 益（单位：元）满足分段函数h(x),其中h(x) 1),(4,2)代入y=kx“,得生产B芯片的毛 400r-2,0Kx≤40 收入为y=√x(x>0): 80000,x>400 x是新样式单车的产量（单位：辆），利润= 总收益一总成本。 (1)试将自行车厂生产新样式单车的利润y (单位：元)表示为产量x的函数； (2)当产量为多少时，自行车厂生产新样式 单车的利润最大？最大利润是多少？ 规律方法… 幂函数模型的应用求解策略 (1)给出含参数的函数关系式，利用待定系 数法求出参数，明确函数关系式 (2)根据题意，直接列出相应的函数关 系式 ◇[变式训练] 题型四 幕函数模型的应用 4.在固定压力差（压力差为常数）下，当气体通 [例4]美国对中国芯片 y/千万元 过圆形管道时，其流量R与管道半径r的四 的技术封锁，激发了中 次方成正比. 国“芯”的研究热潮.某 01 4x/千万元 (1)写出函数解析式； 公司研发的A,B两种芯片都已经获得成 (2)假设气体在半径为3cm的管道中的流 功.该公司研发芯片已经耗费资金2千万 量为400cm3/s,求该气体通过半径为rcm 元，现在准备投入资金进行生产.经市场调 的管道时，其流量R的函数解析式： 查与预测，生产A芯片的毛收入与投入的 (3)已知(2)中的气体通过的管道半径为 资金成正比，已知每投人1千万元，公司获 5cm,计算该气体的流量. 得毛收入0.25千万元；生产B芯片的毛收 入y(千万元)与投入的资金x(千万元)的函 数关系为y=kx“(x>0),其图象如图所示. (1)试分别求出生产A,B两种芯片的毛收 入y(千万元)与投入资金x(千万元)的函数 关系式； (2)如果公司只生产一种芯片，那么生产哪 种芯片毛收入更大？ ·89· 数学·必修第一册 随堂。步步夯实 1.一定范围内，某种产品的购买量y与单价x (3)一道数学难题，需要讲解24min,并且要 之间满足一次函数关系.如果购买1000 求学生的注意力至少达到180，那么经过适 吨，则每吨800元，购买2000吨，则每吨 当安排，老师能否在学生达到所需要的状态 700元，那么一客户购买400吨，其价格为 下讲完这道题目？ 每吨 A.820元 B.840元 C.860元 D.880元 2.某工厂计划在一边长为60m的正三角形空 地上建造一座长方体的厂房，则厂房占地面 积的最大值为 A.400√3m2 B.450√3m2 C.400m2 D.450m2 3.端午节期间，某商场为吸引顾客，实行买 100送20活动，即顾客购物每满100元，就 可以获赠商场购物券20元，可以当作现金 继续购物.如果你有1460元现金，在活动 期间到该商场购物，最多可以获赠购物券累 计 元 4.某药厂研制出一种新型药剂，投放市场后其 广告投入x(万元)与药品利润y(万元)的关 系为y=x“(a为常数)，其中x不超过5万 元.已知去年投入广告费用为3万元时，药 品利润为27万元，若今年投入广告费用5 万元，预计今年药品利润为 万元. 5.通过研究学生的学习行为，专家发现，学生 的注意力随着老师讲课时间的变化而变化， 讲课开始时，学生的兴趣激增，中间一段时 间，学生保持较理想的状态，随后学生的注 意力开始分散，设f(t)表示学生注意力随 时间t(min)的变化规律f(t)越大，表明学 生注意力越集中)，经实验分析得知： -t2+24t+100,0<t≤10， f(t)= 240,10<t≤20， 7t+380,20<t≤40. (1)讲课开始多少分钟，学生的注意力最集 中？能持续多少分钟？ C温馨提污 (2)讲课开始后5min与讲课开始后25min 学习至此，请完成配套训练 比较，何时学生的注意力更集中？ ·90·