3.4 函数的应用(一)-【突破课堂】2026-2027学年高中数学必修第一册基础提升练（人教A版）

**基本信息** 该同步练习通过A、B、C三层设计，实现从基础概念到综合应用的梯度进阶，强化函数模型应用的知识巩固，培养数学眼光、思维与语言能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A组（基础）|函数模型概念、简单计算|含教材改编题（如P94例2改编），通过判对错强化模型理解，限时20分钟适配课后巩固| |B组（单一知识点）|一次函数、二次函数与幂函数、分段函数模型|按知识点设专项题（如污水处理方案决策），深化单一模型应用，限时30分钟适合专题强化| |C组（综合知识点）|多模型综合、复杂情境应用|结合图像分析（如工资方案比较）、跨知识点综合题（如核电站供电费用），限时30分钟提升综合解题能力|

3.4　函数的应用(一) 1.125 2.(1)✕　(2)√　(3)√　(4)✕　(5)✕(提示:注意定义域是否符合实际意义)　(6)√　(7)✕ 3.(1)✕　(2)✕　(3)✕　(4)√ 4.9　 5.580　 6.解题思路　(1)当x=10时,C(x)=10k+4 000=9 000, ∴k=500,∴C(x)=500x+4 000(x∈[1,100],x∈N*), 当x=10时,R(x)=30 000+100a=9 000+19 000, ∴a=-20,∴R(x)=3 000x-20x2(x∈[1,100],x∈N*), ∴P(x)=R(x)-C(x)=(3 000x-20x2)-(500x+4 000)= -20x2+2 500x-4 000(x∈[1,100],且x∈N*), MP(x)=P(x+1)-P(x)=-20(x+1)2+2 500(x+1)-4 000-(-20x2+2 500x-4 000)=2 480-40x(x∈[1,100]且x∈N*). (2)P(x)=-20+74 125,x∈N*, ∴当x=62或x=63时,P(x)取得最大值,为74 120. ∵MP(x)=2 480-40x是减函数, ∴当x=1时,MP(x)取得最大值,为2 440. 因此,利润函数P(x)与边际利润函数MP(x)不具有相同的最大值. 7.解题思路　设工厂生产x件产品时,依方案一的利润为y1元,依方案二的利润为y2元, 则y1=(50-25)x-2×0.5x-30 000=24x-30 000,y2=(50-25)x-14×0.5x=18x. (1)当x=3 000时,y1=42 000,y2=54 000.由于y1<y2,故应选择方案二处理污水. (2)当x=6 000时,y1=114 000,y2=108 000.由于y1>y2,故应选择方案一处理污水. 8.解题思路　(1)y与x之间的函数关系式为y=(10+0.5x)(2 000-6x)=-3x2+940x+20 000(1≤x≤110,且x为整数). (2)令-3x2+940x+20 000-10×2 000-340x=22 500, 解得x1=50,x2=150(不符合题意,舍去), 故需将这批香菇存放50天后出售. (3)设利润为w元,由题意得w=-3x2+940x+20 000-10×2 000-340x=-3(x-100)2+30 000(1≤x≤110,且x为整数), 因为-3<0, 所以抛物线开口向下, 所以x=100时,wmax=30 000, 所以李经理将这批香菇存放100天后出售可获得最大利润,最大利润是30 000元. 9.B　由题意知,新设备生产的产品可获得的年平均利润y==(t∈N*), 当t<8且t∈N*时,2t+≥28,当且仅当t=7时,等号成立, 则-2t-+50≤22, 所以当t=7时,取得最大值,为22, 当t≥8且t∈N*时, 函数y=-t2+10t-2=-(t-5)2+23单调递减, 所以当t=8时,取得最大值,为14, 22>14,故当新设备生产的产品可获得的年平均利润最大时,新设备运行的时间t=7. 故选B. 10.ACD　由题图可得,A正确,B错误; 对于C,对于A方案,由题图知,当x=2时,y=3,即该员工采用A方案核算的计件工资为3 000元,对于B方案,当0≤x≤3时,设y=kx,k>0,将(3,5)代入得5=3k,即k=,所以y=x,所以当x=2时,y=,即该员工采用B方案核算的计件工资为元,因为>3 000,所以该员工采用B方案核算的计件工资更多,C正确; 对于D,由题图易得当x=10时,员工采用A方案核算的计件工资比B方案多,对于A方案,当x≥3时,设y=k1x+b,k1>0,将(3,3),(8,11)分别代入,得解得所以y=1.6x-1.8, 当x=10时,y=14.2,即当某员工生产的产品件数为1 000时,该员工的计件工资最多为14 200元,D正确. 故选ACD. 11.B　由题图易知,函数图象的顶点坐标为(10,64),设该二次函数的解析式为y=a(x-10)2+64, ∵二次函数的图象过点(2,0), ∴64a+64=0,解得a=-1, 故二次函数的解析式为y=-x2+20x-36, ∴=-x-+20≤-2+20=8, 当且仅当x=(x∈N*),即x=6时,等号成立, 故若想使该车间产出的年平均利润最大,则这个车间运行的年数为6. 故选B. 12.解题思路　(1)由题意设A城的月供电费用为y1万元,则y1=0.25×20x2=5x2(10≤x≤90). 设B城的月供电费用为y2万元,则y2=0.25×10×(100-x)2=(100-x)2(10≤x≤90), ∴A,B两城月供电总费用y=y1+y2=5x2+(100-x)2=x2-500x+25 000(10≤x≤90). (2)y=x2-500x+25 000=+(10≤x≤90), 则当x=时,y最小.故当核电站建在距A城 km时,才能使月供电总费用最小. 13.解题思路　(1)当1≤t≤7,t∈N*时,w(t)=f(t)·g(t)=·100t=400t+100, 当7<t≤30,t∈N*时,w(t)=f(t)·g(t)=·(130-t)=-4t++519, 所以w(t)= (2)当1≤t≤7,t∈N*时,w(t)=400t+100, 所以w(t)随t的增大而增大,故w(t)≥w(1)=500; 当7<t≤30,t∈N*时,w(t)=-4t++519, 所以w(t)随t的增大而减小,故w(t)≥w(30)=-4×30++519=, 又500>, 所以该商场日收益的最小值为千元. 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.4　函数的应用(一) A组　教材夯基础限时20分钟 　　　　　　　　　　　　 1.(数学与生活)某药厂研制出一种新型药剂,投放市场后其广告投入x(万元)与药品利润y(万元)存在的关系为y=xα(α为常数),其中x不超过5万元.已知去年广告投入为3万元时,药品利润为27万元,若今年广告投入为5万元,预计今年药品利润为　　　　万元.  2.(判对错) (1)在用函数模型解决实际问题时,得到的数学问题的解就是实际问题的解.(　　) (2)一根蜡烛长20 cm,点燃后每小时燃烧5 cm,燃烧时剩下的高度h(cm)与燃烧时间t(h)的函数关系可以用一次函数模型来刻画.(　　) (3)当x每增加一个单位时,y增加或减少的量为定值(非零),则y是x的一次函数.(　　) (4)解决某一实际问题的函数模型是唯一的.(　　) (5)随着海拔高度的升高,大气压强下降,空气中的含氧量也随之下降,且含氧量y(g/m3)与大气压强x(kPa)满足正比例函数关系.当x=36时,y=108,则y与x的函数关系式为y=3x(x∈R).(　　) (6)根据收集到的数据作出散点图,结合已知的函数选择适当的函数模型,这样得到的函数模型的模拟效果较好.(　　) (7)函数y=x2比y=2x增长的速度更快些.(　　) 3.(教材P94例2改编)甲、乙两人在一次赛跑中,路程s与时间t的函数关系如图所示,判断下列说法的对错. (1)甲比乙先出发.(　　) (2)乙比甲跑的路程多.(　　) (3)甲、乙两人的速度相同.(　　) (4)甲先到达终点.(　　) 4.(教材P95练习T2改编)用一根长为12 m的铁丝弯成一个矩形的铁框架,则能弯成的框架的最大面积是　　　　m2.  5.(教材P96习题3.4T3改编)为了引导居民节约用电,某城市对居民生活用电实行“阶梯电价”,按月用电量计算,将居民家庭每月用电量划分为三个阶梯,电价按阶梯递增.第一阶梯:月用电量不超过240千瓦时的部分,电价为0.5元/千瓦时;第二阶梯:月用电量超过240千瓦时但不超过400千瓦时的部分,电价为0.6元/千瓦时;第三阶梯:月用电量超过400千瓦时的部分,电价为0.8元/千瓦时.若某户居民10月份缴纳的电费为360元,则此户居民10月份的用电量为　　　　千瓦时.  6.(人教B版教材好题改编)在经济学中,函数f(x)的边际函数Mf(x)定义为Mf(x)=f(x+1)-f(x).某公司每月最多生产100台报警系统装置,生产x(x∈N*)台的收入函数为R(x)=3 000x+ax2(单位:元),其成本函数为C(x)=kx+4 000(单位:元),利润是收入与成本之差.当生产10台报警系统装置时,成本为9 000元,利润为19 000元. (1)求利润函数P(x)及边际利润函数MP(x); (2)利润函数P(x)与边际利润函数MP(x)是否具有相同的最大值? B组　单一知识点限时30分钟 　　　　　　　　　　 知识点1　一次函数模型的应用 7.(2024浙江湖州期末)某工厂生产某种产品,每件产品的出厂价为50元,其成本为25元,因为在生产过程中,平均每生产一件产品有0.5立方米污水排出,所以为了净化环境,工厂设计两个方案进行污水处理,并准备实施. 方案一:工厂污水先净化后再排出,每处理1立方米污水所耗原料费为2元,并且每月排污设备损耗费为30 000元; 方案二:工厂污水排到污水处理厂统一处理,每处理1立方米污水需付14元排污费. (1)若工厂每月生产3 000件产品,你作为厂长,在不污染环境,又节约资金的前提下,应选择哪个处理污水的方案?请通过计算加以说明; (2)若工厂每月生产6 000件产品时,你作为厂长又该如何决策呢? 知识点2　二次函数与幂函数模型的应用 8.(2024山东寿光一中期末)山东省寿光市绿色富硒产品和特色农产品在国际市场上颇具竞争力,其中香菇远销日本和韩国等地.上市时,外商李经理按市场价格10元/千克在本市收购了2 000千克香菇存放入冷库中.据预测,香菇的市场价格每天每千克将上涨0.5元,但冷库存放这批香菇时每天需要支出各种费用合计340元,而且香菇在冷库中最多保存110天,同时,平均每天有6千克的香菇损坏不能出售. (1)若存放x天后,将这批香菇一次性出售,设这批香菇的销售总金额为y元,试写出y与x之间的函数关系式; (2)李经理如果想获得利润22 500元,需将这批香菇存放多少天后出售? (3)李经理将这批香菇存放多少天后出售可获得最大利润?最大利润是多少? 知识点3　分段函数模型的应用 9.(2024湖北一模)某公司引进新的生产设备投入生产,新设备生产的产品可获得的总利润s(单位:百万元)与新设备运行的时间t(单位:年,t∈N*)满足s=当新设备生产的产品可获得的年平均利润最大时,新设备运行的时间t=(　　) A.6 B.7 C.8 D.9 C组　综合知识点限时30分钟 　　　　　　 10.(2025贵州黔东南期末)(多选)某工厂对员工的计件工资标准进行改革,现制订了A,B两种计件工资核算方案,员工的计件工资y(单位:千元)与其生产的产品件数x(单位:百)的函数关系如图所示,则下列结论正确的是(　　) A.当某员工生产的产品件数为800时,该员工采用A,B方案核算的计件工资相同 B.当某员工生产的产品件数为500时,该员工采用A方案核算的计件工资更多 C.当某员工生产的产品件数为200时,该员工采用B方案核算的计件工资更多 D.当某员工生产的产品件数为1 000时,该员工的计件工资最多为14 200元 11.()某汽车制造厂建造了一个高科技自动化生产车间,据市场分析这个车间产出的总利润y(单位:千万元)与运行年数x(x∈N*)满足二次函数关系,其函数图象如图所示,若想使该车间产出的年平均利润最大,则这个车间运行的年数为(　　) A.4 B.6 C.8 D.10 12.(2024江西宜春期末)A,B两城相距100 km,在两城之间距A城x km处的D地建一核电站给A,B两城供电,为保证城市安全,核电站距城市不得少于10 km,已知每个城市的供电费用(万元)与供电距离的平方和供电量(亿千瓦时)之积成正比,比例系数λ=0.25.若A城供电量为20亿千瓦时/月,B城为10亿千瓦时/月. (1)把A,B两城月供电总费用y(万元)表示成x(km)的函数,并求定义域; (2)核电站建在距A城多远时,才能使月供电总费用最小? 13.(2025云南曲靖期末)经市场调查,新街口某新开业的商场在过去一个月内(以30天计),顾客人数f(t)(千)与时间t(天)的函数关系近似满足f(t)=4+(t∈N*,t≤30),人均消费g(t)(元)与时间t(天)的函数关系近似满足g(t)= (1)求该商场的日收益w(t)(千元)与时间t(天)(1≤t≤30,t∈N*)的函数关系式; (2)求该商场日收益的最小值. 学科网（北京）股份有限公司 $