周周练08 3.6～4.1问题解决活动：利用相似三角形测高、投影（数学新教材北师大版九年级上册）

2026-2027学年九年级上学期数学周周测08 3.6～4.1问题解决活动：利用相似三角形测高、投影 一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．如果在同一盏路灯下，小明与小强的影子一样长，下列关于两个人身高的说法正确的是（     ） A．小明高 B．小强高 C．一样高 D．无法判断 【答案】D 【详解】在同一路灯下，由于小明和小强位置不确定，所以虽然影子一样长，但无法判断谁的身高高． 2．小华手拿一个矩形木框，在阳光的照射下，矩形木框在地面上的影子不可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解∶∵太阳光线是平行光线， ∴矩形木框在地面上的影子属于平行投影． ∵矩形的两组对边分别平行， ∴根据平行投影的性质，其在地面上的影子（当不重合为一条线段时）两组对边也应分别平行，即影子应为平行四边形（包含矩形）． 当矩形木框所在平面与光线平行时，影子为一条线段． ∴A是梯形，只有一组对边平行，不可能是矩形的影子； B是线段，可能是矩形平面与光线平行时的影子； C是矩形，可能是矩形平面与地面平行时的影子； D是平行四边形，可能是矩形平面倾斜时的影子． 综上所述，矩形木框在地面上的影子不可能是A． 3．下列四幅图形中，表示两棵小树在同一时刻同一地点阳光下影子的图形可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：太阳光线是平行光线， 在同一时刻，两棵树的影子方向应相同，且树高与影长成正比，观察各选项图形： A、B选项中，两棵树的影子方向均不相同，故不符合题意； D选项中，两棵树的影子方向相同，但较高的树影子较短，较矮的树影子较长，不符合平行投影的特征； C选项中，两棵树的影子方向相同，且较高的树影子较长，较矮的树影子较短，符合平行投影的特征． 4．槐荫区某校兴趣小组在下午分三次测量了学校旗杆的影子长度，按时间顺序排列正确的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】B 【详解】北半球一天中，从正午到傍晚，太阳高度逐渐减小，同一物体的影子长度随时间推移逐渐变长， 本题为下午三次测量，因此按时间顺序影子长度应逐渐增大， 故符合要求的排列为，，． 5．如图，用发光的手电筒垂直照射吊在空中静止的不透明小球，小球落在竖直墙面上影子的形状是（    ） A．圆 B．矩形 C．球 D．三角形 【答案】A 【详解】解：∵小球是球体，手电筒垂直照射， ∴光线方向与竖直墙面垂直， ∴小球在墙面上的影子即为球体的正投影， ∵球体在垂直于光线的平面上的影子是圆， ∴影子的形状是圆． 6．《孙子算经》是我国古代重要的数学著作，其中记载着这样一道题：今有树，不知其高，去树五十步，立表高五尺，人却退七步，望表末，与树末参直，人目高四尺，问树高几何？大致意思是：为求树高，在距离树50步的地方，竖立一根5尺长的标杆，再向后退7步，此时眼睛、标杆顶端、树顶端在一条直线上，眼睛离地面的高为4尺，则树高为（   ） A．尺 B．尺 C．尺 D．尺 【答案】D 【详解】解：设树高为尺， 如图，过C作，分别交标杆、树于点、， ∵， ∴， ∴， ∴， 由题意可知（尺），步，（步），尺， ∴， 解得， 故树高为尺． 7．如图，为凸透镜，其厚度忽略不计，O为凸透镜的光心，E为凸透镜的焦点，在凸透镜左侧的主光轴上垂直放置一支蜡烛，透过凸透镜后成的像为．平行于主光轴的光线，通过凸透镜折射后经过焦点，并与光线会聚于点C．若物距，像距，则凸透镜的焦距的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由题意得：，，， ∴四边形是矩形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴． 8．如图，在平面直角坐标系中，点光源位于处，木杆两端的坐标分别为，．则木杆在轴上的影长为（     ） A．3 B．6 C．8 D．9 【答案】B 【详解】解：如图，过点P作于点E交于点M， 根据题意得：， ∴， ∵，，， ∴，，， ∴， ∴，即， 解得：． 9．大约在两千四五百年前，墨子和他的学生做了世界上第一个小孔成倒像的试验（如图1），并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端．”在如图2所示的小孔成像试验中，若物距为，像距为，蜡烛火焰倒立的像的高度是，则蜡烛火焰的高度是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：根据小孔成像的性质及相似三角形的性质可得：蜡烛火焰的高度与火焰的像的高度的比值等于物距与像距的比值，设蜡烛火焰的高度为，则 ， ， 即蜡烛火焰的高度为， 故答案为：C． 10．《九章算术》中记载了一种测量古井水面以上部分深度的办法，如图所示，在井口处立一根垂直于井口的木杆，从木杆的顶端观测井水水面，视线与井口的直径交于点，若测得米，米，米，则水面以上深度为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】D 【详解】解：由题意可知，， ∴， ∴，即， 解得：． 11．如图，利用相关知识“制作视力表”：当测试距离为时，标准视力表中最大的“E”字高度为，当测试距离为时，最大的“E”字高度为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由题意得，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 12．元氏县开化寺塔是一座具有重要历史文化价值的古塔，创建于北魏时期．2013年被定为第七批全国重点文物、为更好地了解家乡文物，九年级同学设计了测量塔高的实践活动．记录如下：如图、表示塔的高度，表示竹竿顶端到地面的高度，表示人眼到地面的高度，在同一平面内，点、、在一条水平直线上，已知，，，．人从点F远眺塔顶B，视线恰好经过竹竿的顶端D．根据以上信息，计算塔的高度为(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图所示， 根据题意，， ∴，，， ∴四边形，四边形是矩形， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，即， 解得，， ∴， 故选：C． 二、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分。 13．如图，太阳光线与地面成的角，照射在地面上的一只皮球上，皮球在地面上的投影长是，则皮球的直径是______ ． 【答案】 【详解】解：如图，设两条光线分别切皮球于点，交地面于点， ∴ ， 过点作于点 ， ∵太阳光线是平行的 ， ∴ ， ∵是皮球直径，光线与球相切， ∴ ， 又∵， ∴ ， ∴四边形是矩形 ， ∴ ， ∵太阳光线与地面成的角， ∴ ， ∴， ∴在中，， ∴， ∴皮球的直径是 ． 14．小明用投影仪将平板电脑屏幕的画面投屏到墙上，画面形状保持不变．已知该平板电脑屏幕的画面是相邻两边长之比为的矩形．若墙上投影画面的短边长为1.2米，则投影画面的长边长为______． 【答案】 【详解】解：投屏后画面形状保持不变， 投影矩形与原屏幕矩形相似，对应边成比例， 设投影画面的长边长为， 原矩形相邻两边长之比为， 即长边短边， 可得， 解得， ∴投影画面的长边长为． 15．某店铺在窗户上方安装一个遮阳棚，如图所示，遮阳棚展开长度，遮阳棚固定点A距离地面高度，遮阳棚与墙面的夹角为．在某一时刻，一位身高的顾客在太阳光下的影长，则此时遮阳棚在地面上的影长为______m． 【答案】() 【详解】解：如图所示，过点B作于点N，作于点M， ∴四边形是矩形， ∴． 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， 即， 解得， ∴． 16．《九章算术》是中国古代第一部数学专著，是《算经十书》中最重要的一种，成于公元一世纪左右．在其“勾股”章中有这样一个问题：“今有邑，东西七里，南北九里，各开中门，出东门一十五里有水，问：出南门几何步而见木？”意思是说：如图，矩形城池，东边城墙长9里，南边城墙长7里，东门点，南门点分别是，的中点，于，于，里，经过点，则为__________里． 【答案】 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， 又∵， ∴， ∴（垂直于同一直线的两直线平行）， ∴（两直线平行同位角相等）， ∴， ∴， ∵里，里，点，点分别是，的中点，里， ∴里，里， ∴（里）． 故答案为：． 三、解答题：本题共9小题，共98分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17（12分）．某校墙边有甲、乙两根立柱，已知乙立柱的高度为． (1)某一时刻甲立柱在太阳光下的影子如图所示．请画出此时乙立柱的影子． (2)在图中，当乙立柱移动到什么位置时，其影子刚好不落在墙上？请画出此时乙立柱的位置和影子． (3)在（2）的情形下，如果测得甲、乙立柱的影子长分别为和，那么甲立柱的高度是多少？ 【答案】(1)解：由题意，作图如下： (2)解：由题意，作图如下： (3)甲立柱的高度是. （3）解：设甲立柱的高度是， 由题意， 解得； 答：甲立柱的高度是. 18（10分）．如图，在路灯下，小明的身高如图中线段所示，他在地面上的影子如图中线段所示，小亮的身高如图中线段所示，路灯灯泡在线段上． (1)请你确定灯泡P所在的位置，并画出表示小亮在灯光下形成的影子线段（请将线段用铅笔加粗）； (2)如果灯泡到地面距离为，小亮的身高，小亮与灯杆的距离，请求出小亮影子的长度． 【答案】(1)解：所求图形，如图所示； （2）解：由题意可得，， ∴， ∴， ， 设小亮的影子长为，即，则， ∴， 解得， 经检验，是该方程的解． 答：小亮影子的长度为． 19（10分）．“准、绳、规、矩”是我国古代使用的测量工具，一个简单结构的“矩”指两条边成直角的曲尺（如图①），把“矩”竖立放置可以测量物体的高度．如图②，将“矩”的边放在水平地面上，不断调整“矩”的位置，使木杆的顶端与，在一条直线上，并测得．已知“矩”的边，，，图中所有点均在同一平面内，求木杆的高度． 【答案】 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴． 答：木杆的高度为． 20（10分）．如图，小红同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙，木板和平面镜，手电筒的灯泡在点处，手电筒的光从平面镜上点处反射后，恰好经过木板的边缘点，落在墙上的点处，点到地面的高度，点到地面的高度，灯泡到木板的水平距离，木板到墙的水平距离为．图中在同一条直线上．求反射点到木板的距离BC的长． 【答案】 【详解】解：根据题意，， ∴ ∴， ∴， 解得：（）， ∴的长为． 21（10分）．【学科融合】如图①，在反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一个平面内；反射光线和入射光线分别位于法线两侧：反射角等于入射角．这就是光的反射定律．由反射定律可得：反射光线与反射面的夹角等于入射光线与反射面的夹角． 【问题解决】如图②，为测量信号塔的高度，小明同学在脚下点M处水平放置了一面镜子，然后向后退一段距离，直到他恰好在镜子中看到信号塔顶点A的像．已知小明同学身高为米，其眼睛到地面的距离为米，同时测得小明到镜子的水平距离米，信号塔到镜子的水平距离米．请根据以上数据，求信号塔的高度． 【答案】信号塔的高度为20米． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 即， ∴（米）． 答：信号塔的高度为20米． 22（10分）．在一次数学综合实践活动中，小颖和同学准备测量学校某幢教学楼的高度，他们选择平面镜、强光电筒、皮尺等工具进行测量．小颖身高为且位于图中的处，平面镜位于点处，教学楼高为．小颖头戴强光电筒，同学们帮忙调节强光电筒和平面镜的位置进行观察与测量（误差忽略不计），当强光电筒开启，光线通过平面镜反射后恰好照射在教学楼顶点的位置（点、、在同一水平线上，且），此时同学们测得，，请求教学楼的高度． 【答案】教学楼的高度为． 【详解】解：由题意可得：，，， ，， ， ，即， ． 故教学楼的高度为． 23（12分）．【综合与实践】主题：型晒衣架稳固性检测 步骤：如图1所示的是晒衣架的实物图，图2是晒衣架的侧面示意图，立杆，相交于点，经测量，得到，，，现将晒衣架完全稳固张开，横杆链成一条线段，测得． (1)晒衣架完全稳固张开时，连接，证明：； (2)利用夹子垂挂在晒衣架上的连衣裙（夹子高度忽略不计）总长度小于多少时，连衣裙才不会拖在地面上？ 【答案】(1)证明：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）解：如图，过点作于，过点作于， ∵，，， ∴， ∴， ∵，， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得：， ∴连衣裙总长度小于时，连衣裙才不会拖在地面上． 24（12分）．为响应国家节能减排的号召，某地乡村道路安装太阳能路灯．如图是一种新型太阳能路灯，已知太阳能路灯与墙相距18米，身高米的小明在离路灯3米的处时，测得自身影长为1米． (1)求路灯的高度； (2)小明沿着走至处时，头顶的影子刚好落到墙脚处，则他行走的路程是多少米； (3)小明继续往前走（如图2），在距离墙2米的处停下，求此时小明在墙上的影子高度． 【答案】(1)米 (2)米 (3)1米 【详解】（1）解：由题意知：米，米， （米）， ， ， 即， 解得：（米）， 答：路灯的高度是米； （2）解：由题意知，米，米，米， ， ， ， 即， 解得：（米）， （米）， 答：当走到处时，他行走的路程是米； （3）解：如图2，连接并延长交于点，过点作于点，交于点， 则四边形是矩形，四边形是矩形， 设米， 则米，米，米， 米，米， ， ， ， 即， 解得：， 答：此时小明在墙上的影子有1米高． 25（12分）．为进一步确保汽车安全性能，技术人员对汽车前视野盲区做了研究，研究时简化模型：如图2，线段为驾驶员，与地面垂直，车头近似看成矩形，驾驶员视线被车头遮挡形成视野盲区，发现视野盲区在地面上不是一条线段，而是一个区域（梯形）． 测量数据：驾驶员眼睛距地面的高度为，车头的高度为，宽度为，车头到点的水平距离为． 问题解决： (1)根据以上信息，参考立体图形，在图3上用无刻度直尺补全汽车主视图的视野盲区平面图形，并求出盲区长度（视野盲区的前沿到车头的水平距离为盲区长度）； (2)在问题1的基础上，在图4上补全汽车俯视图的视野盲区平面图形，并求出视野盲区的面积； (3)①若调高主驾驶座椅，使得驾驶员眼睛距地面的高度增大，其余条件不变，则前视野盲区的面积会____________（填“减小”、“不变”或“增大”）； ②若设计时增加整车宽度（包括车头），其余条件不变，则视野盲区面积会____________（填“减小”、“不变”或“增大”） 【答案】(1)如图所示： 盲区长度为； (2)如图所示 ； (3)①减小；②增大 【详解】（1）解：图略 ∵，， ∴， ∴，即，解得， ∴盲区长度为； （2）解：图略 作于，交于， ∵， ∴， ∴，即， 解得， ∴（平方米）； （3）解：①∵，即， ∴， 当增大时，减小，则前视野盲区的面积会减小； ②∵，增加整车宽度即增大，则也增大，其余条件不变， ∴视野盲区面积会增大． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级上学期数学周周测08 3.6～4.1问题解决活动：利用相似三角形测高、投影 时间：45分钟，分值：70分 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．如果在同一盏路灯下，小明与小强的影子一样长，下列关于两个人身高的说法正确的是（     ） A．小明高 B．小强高 C．一样高 D．无法判断 2．小华手拿一个矩形木框，在阳光的照射下，矩形木框在地面上的影子不可能是（     ） A． B． C． D． 3．下列四幅图形中，表示两棵小树在同一时刻同一地点阳光下影子的图形可能是（    ） A． B． C． D． 4．槐荫区某校兴趣小组在下午分三次测量了学校旗杆的影子长度，按时间顺序排列正确的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 5．如图，用发光的手电筒垂直照射吊在空中静止的不透明小球，小球落在竖直墙面上影子的形状是（    ） A．圆 B．矩形 C．球 D．三角形 6．如图，为凸透镜，其厚度忽略不计，O为凸透镜的光心，E为凸透镜的焦点，在凸透镜左侧的主光轴上垂直放置一支蜡烛，透过凸透镜后成的像为．平行于主光轴的光线，通过凸透镜折射后经过焦点，并与光线会聚于点C．若物距，像距，则凸透镜的焦距的长为（     ） A． B． C． D． 7．如图，在平面直角坐标系中，点光源位于处，木杆两端的坐标分别为，．则木杆在轴上的影长为（     ） A．3 B．6 C．8 D．9 8．大约在两千四五百年前，墨子和他的学生做了世界上第一个小孔成倒像的试验（如图1），并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端．”在如图2所示的小孔成像试验中，若物距为，像距为，蜡烛火焰倒立的像的高度是，则蜡烛火焰的高度是（   ） A． B． C． D． 9．《九章算术》中记载了一种测量古井水面以上部分深度的办法，如图所示，在井口处立一根垂直于井口的木杆，从木杆的顶端观测井水水面，视线与井口的直径交于点，若测得米，米，米，则水面以上深度为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 10．如图，利用相关知识“制作视力表”：当测试距离为时，标准视力表中最大的“E”字高度为，当测试距离为时，最大的“E”字高度为（   ） A． B． C． D． 二、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分。 11．如图，太阳光线与地面成的角，照射在地面上的一只皮球上，皮球在地面上的投影长是，则皮球的直径是______ ． 12．小明用投影仪将平板电脑屏幕的画面投屏到墙上，画面形状保持不变．已知该平板电脑屏幕的画面是相邻两边长之比为的矩形．若墙上投影画面的短边长为1.2米，则投影画面的长边长为______． 13．某店铺在窗户上方安装一个遮阳棚，如图所示，遮阳棚展开长度，遮阳棚固定点A距离地面高度，遮阳棚与墙面的夹角为．在某一时刻，一位身高的顾客在太阳光下的影长，则此时遮阳棚在地面上的影长为______m． 14．《九章算术》是中国古代第一部数学专著，是《算经十书》中最重要的一种，成于公元一世纪左右．在其“勾股”章中有这样一个问题：“今有邑，东西七里，南北九里，各开中门，出东门一十五里有水，问：出南门几何步而见木？”意思是说：如图，矩形城池，东边城墙长9里，南边城墙长7里，东门点，南门点分别是，的中点，于，于，里，经过点，则为__________里． 三、解答题：本题共3小题，共24分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15（6分）．如图，在路灯下，小明的身高如图中线段所示，他在地面上的影子如图中线段所示，小亮的身高如图中线段所示，路灯灯泡在线段上． (1)请你确定灯泡P所在的位置，并画出表示小亮在灯光下形成的影子线段（请将线段用铅笔加粗）； (2)如果灯泡到地面距离为，小亮的身高，小亮与灯杆的距离，请求出小亮影子的长度． 16（8分）．如图，小红同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙，木板和平面镜，手电筒的灯泡在点处，手电筒的光从平面镜上点处反射后，恰好经过木板的边缘点，落在墙上的点处，点到地面的高度，点到地面的高度，灯泡到木板的水平距离，木板到墙的水平距离为．图中在同一条直线上．求反射点到木板的距离BC的长． 17（10分）．【综合与实践】主题：型晒衣架稳固性检测 步骤：如图1所示的是晒衣架的实物图，图2是晒衣架的侧面示意图，立杆，相交于点，经测量，得到，，，现将晒衣架完全稳固张开，横杆链成一条线段，测得． (1)晒衣架完全稳固张开时，连接，证明：； (2)利用夹子垂挂在晒衣架上的连衣裙（夹子高度忽略不计）总长度小于多少时，连衣裙才不会拖在地面上？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级上学期数学周周测08 3.6～4.1问题解决活动：利用相似三角形测高、投影 一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．如果在同一盏路灯下，小明与小强的影子一样长，下列关于两个人身高的说法正确的是（     ） A．小明高 B．小强高 C．一样高 D．无法判断 2．小华手拿一个矩形木框，在阳光的照射下，矩形木框在地面上的影子不可能是（     ） A． B． C． D． 3．下列四幅图形中，表示两棵小树在同一时刻同一地点阳光下影子的图形可能是（    ） A． B． C． D． 4．槐荫区某校兴趣小组在下午分三次测量了学校旗杆的影子长度，按时间顺序排列正确的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 5．如图，用发光的手电筒垂直照射吊在空中静止的不透明小球，小球落在竖直墙面上影子的形状是（    ） A．圆 B．矩形 C．球 D．三角形 6．《孙子算经》是我国古代重要的数学著作，其中记载着这样一道题：今有树，不知其高，去树五十步，立表高五尺，人却退七步，望表末，与树末参直，人目高四尺，问树高几何？大致意思是：为求树高，在距离树50步的地方，竖立一根5尺长的标杆，再向后退7步，此时眼睛、标杆顶端、树顶端在一条直线上，眼睛离地面的高为4尺，则树高为（   ） A．尺 B．尺 C．尺 D．尺 7．如图，为凸透镜，其厚度忽略不计，O为凸透镜的光心，E为凸透镜的焦点，在凸透镜左侧的主光轴上垂直放置一支蜡烛，透过凸透镜后成的像为．平行于主光轴的光线，通过凸透镜折射后经过焦点，并与光线会聚于点C．若物距，像距，则凸透镜的焦距的长为（     ） A． B． C． D． 8．如图，在平面直角坐标系中，点光源位于处，木杆两端的坐标分别为，．则木杆在轴上的影长为（     ） A．3 B．6 C．8 D．9 9．大约在两千四五百年前，墨子和他的学生做了世界上第一个小孔成倒像的试验（如图1），并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端．”在如图2所示的小孔成像试验中，若物距为，像距为，蜡烛火焰倒立的像的高度是，则蜡烛火焰的高度是（   ） A． B． C． D． 10．《九章算术》中记载了一种测量古井水面以上部分深度的办法，如图所示，在井口处立一根垂直于井口的木杆，从木杆的顶端观测井水水面，视线与井口的直径交于点，若测得米，米，米，则水面以上深度为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 11．如图，利用相关知识“制作视力表”：当测试距离为时，标准视力表中最大的“E”字高度为，当测试距离为时，最大的“E”字高度为（   ） A． B． C． D． 12．元氏县开化寺塔是一座具有重要历史文化价值的古塔，创建于北魏时期．2013年被定为第七批全国重点文物、为更好地了解家乡文物，九年级同学设计了测量塔高的实践活动．记录如下：如图、表示塔的高度，表示竹竿顶端到地面的高度，表示人眼到地面的高度，在同一平面内，点、、在一条水平直线上，已知，，，．人从点F远眺塔顶B，视线恰好经过竹竿的顶端D．根据以上信息，计算塔的高度为(    ) A． B． C． D． 二、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分。 13．如图，太阳光线与地面成的角，照射在地面上的一只皮球上，皮球在地面上的投影长是，则皮球的直径是______ ． 14．小明用投影仪将平板电脑屏幕的画面投屏到墙上，画面形状保持不变．已知该平板电脑屏幕的画面是相邻两边长之比为的矩形．若墙上投影画面的短边长为1.2米，则投影画面的长边长为______． 15．某店铺在窗户上方安装一个遮阳棚，如图所示，遮阳棚展开长度，遮阳棚固定点A距离地面高度，遮阳棚与墙面的夹角为．在某一时刻，一位身高的顾客在太阳光下的影长，则此时遮阳棚在地面上的影长为______m． 16．《九章算术》是中国古代第一部数学专著，是《算经十书》中最重要的一种，成于公元一世纪左右．在其“勾股”章中有这样一个问题：“今有邑，东西七里，南北九里，各开中门，出东门一十五里有水，问：出南门几何步而见木？”意思是说：如图，矩形城池，东边城墙长9里，南边城墙长7里，东门点，南门点分别是，的中点，于，于，里，经过点，则为__________里． 三、解答题：本题共9小题，共98分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17（12分）．某校墙边有甲、乙两根立柱，已知乙立柱的高度为． (1)某一时刻甲立柱在太阳光下的影子如图所示．请画出此时乙立柱的影子． (2)在图中，当乙立柱移动到什么位置时，其影子刚好不落在墙上？请画出此时乙立柱的位置和影子． (3)在（2）的情形下，如果测得甲、乙立柱的影子长分别为和，那么甲立柱的高度是多少？ 18（10分）．如图，在路灯下，小明的身高如图中线段所示，他在地面上的影子如图中线段所示，小亮的身高如图中线段所示，路灯灯泡在线段上． (1)请你确定灯泡P所在的位置，并画出表示小亮在灯光下形成的影子线段（请将线段用铅笔加粗）； (2)如果灯泡到地面距离为，小亮的身高，小亮与灯杆的距离，请求出小亮影子的长度． 19（10分）．“准、绳、规、矩”是我国古代使用的测量工具，一个简单结构的“矩”指两条边成直角的曲尺（如图①），把“矩”竖立放置可以测量物体的高度．如图②，将“矩”的边放在水平地面上，不断调整“矩”的位置，使木杆的顶端与，在一条直线上，并测得．已知“矩”的边，，，图中所有点均在同一平面内，求木杆的高度． 20（10分）．如图，小红同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙，木板和平面镜，手电筒的灯泡在点处，手电筒的光从平面镜上点处反射后，恰好经过木板的边缘点，落在墙上的点处，点到地面的高度，点到地面的高度，灯泡到木板的水平距离，木板到墙的水平距离为．图中在同一条直线上．求反射点到木板的距离BC的长． 21（10分）．【学科融合】如图①，在反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一个平面内；反射光线和入射光线分别位于法线两侧：反射角等于入射角．这就是光的反射定律．由反射定律可得：反射光线与反射面的夹角等于入射光线与反射面的夹角． 【问题解决】如图②，为测量信号塔的高度，小明同学在脚下点M处水平放置了一面镜子，然后向后退一段距离，直到他恰好在镜子中看到信号塔顶点A的像．已知小明同学身高为米，其眼睛到地面的距离为米，同时测得小明到镜子的水平距离米，信号塔到镜子的水平距离米．请根据以上数据，求信号塔的高度． 22（10分）．在一次数学综合实践活动中，小颖和同学准备测量学校某幢教学楼的高度，他们选择平面镜、强光电筒、皮尺等工具进行测量．小颖身高为且位于图中的处，平面镜位于点处，教学楼高为．小颖头戴强光电筒，同学们帮忙调节强光电筒和平面镜的位置进行观察与测量（误差忽略不计），当强光电筒开启，光线通过平面镜反射后恰好照射在教学楼顶点的位置（点、、在同一水平线上，且），此时同学们测得，，请求教学楼的高度． 23（12分）．【综合与实践】主题：型晒衣架稳固性检测 步骤：如图1所示的是晒衣架的实物图，图2是晒衣架的侧面示意图，立杆，相交于点，经测量，得到，，，现将晒衣架完全稳固张开，横杆链成一条线段，测得． (1)晒衣架完全稳固张开时，连接，证明：； (2)利用夹子垂挂在晒衣架上的连衣裙（夹子高度忽略不计）总长度小于多少时，连衣裙才不会拖在地面上？ 24（12分）．为响应国家节能减排的号召，某地乡村道路安装太阳能路灯．如图是一种新型太阳能路灯，已知太阳能路灯与墙相距18米，身高米的小明在离路灯3米的处时，测得自身影长为1米． (1)求路灯的高度； (2)小明沿着走至处时，头顶的影子刚好落到墙脚处，则他行走的路程是多少米； (3)小明继续往前走（如图2），在距离墙2米的处停下，求此时小明在墙上的影子高度． 25（12分）．为进一步确保汽车安全性能，技术人员对汽车前视野盲区做了研究，研究时简化模型：如图2，线段为驾驶员，与地面垂直，车头近似看成矩形，驾驶员视线被车头遮挡形成视野盲区，发现视野盲区在地面上不是一条线段，而是一个区域（梯形）． 测量数据：驾驶员眼睛距地面的高度为，车头的高度为，宽度为，车头到点的水平距离为． 问题解决： (1)根据以上信息，参考立体图形，在图3上用无刻度直尺补全汽车主视图的视野盲区平面图形，并求出盲区长度（视野盲区的前沿到车头的水平距离为盲区长度）； (2)在问题1的基础上，在图4上补全汽车俯视图的视野盲区平面图形，并求出视野盲区的面积； (3)①若调高主驾驶座椅，使得驾驶员眼睛距地面的高度增大，其余条件不变，则前视野盲区的面积会____________（填“减小”、“不变”或“增大”）； ②若设计时增加整车宽度（包括车头），其余条件不变，则视野盲区面积会____________（填“减小”、“不变”或“增大”） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级上学期数学周周测08 3.6～4.1问题解决活动：利用相似三角形测高、投影 时间：45分钟，分值：70分 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．如果在同一盏路灯下，小明与小强的影子一样长，下列关于两个人身高的说法正确的是（     ） A．小明高 B．小强高 C．一样高 D．无法判断 【答案】D 【详解】在同一路灯下，由于小明和小强位置不确定，所以虽然影子一样长，但无法判断谁的身高高． 2．小华手拿一个矩形木框，在阳光的照射下，矩形木框在地面上的影子不可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解∶∵太阳光线是平行光线， ∴矩形木框在地面上的影子属于平行投影． ∵矩形的两组对边分别平行， ∴根据平行投影的性质，其在地面上的影子（当不重合为一条线段时）两组对边也应分别平行，即影子应为平行四边形（包含矩形）． 当矩形木框所在平面与光线平行时，影子为一条线段． ∴A是梯形，只有一组对边平行，不可能是矩形的影子； B是线段，可能是矩形平面与光线平行时的影子； C是矩形，可能是矩形平面与地面平行时的影子； D是平行四边形，可能是矩形平面倾斜时的影子． 综上所述，矩形木框在地面上的影子不可能是A． 3．下列四幅图形中，表示两棵小树在同一时刻同一地点阳光下影子的图形可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：太阳光线是平行光线， 在同一时刻，两棵树的影子方向应相同，且树高与影长成正比，观察各选项图形： A、B选项中，两棵树的影子方向均不相同，故不符合题意； D选项中，两棵树的影子方向相同，但较高的树影子较短，较矮的树影子较长，不符合平行投影的特征； C选项中，两棵树的影子方向相同，且较高的树影子较长，较矮的树影子较短，符合平行投影的特征． 4．槐荫区某校兴趣小组在下午分三次测量了学校旗杆的影子长度，按时间顺序排列正确的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】B 【详解】北半球一天中，从正午到傍晚，太阳高度逐渐减小，同一物体的影子长度随时间推移逐渐变长， 本题为下午三次测量，因此按时间顺序影子长度应逐渐增大， 故符合要求的排列为，，． 5．如图，用发光的手电筒垂直照射吊在空中静止的不透明小球，小球落在竖直墙面上影子的形状是（    ） A．圆 B．矩形 C．球 D．三角形 【答案】A 【详解】解：∵小球是球体，手电筒垂直照射， ∴光线方向与竖直墙面垂直， ∴小球在墙面上的影子即为球体的正投影， ∵球体在垂直于光线的平面上的影子是圆， ∴影子的形状是圆． 6．如图，为凸透镜，其厚度忽略不计，O为凸透镜的光心，E为凸透镜的焦点，在凸透镜左侧的主光轴上垂直放置一支蜡烛，透过凸透镜后成的像为．平行于主光轴的光线，通过凸透镜折射后经过焦点，并与光线会聚于点C．若物距，像距，则凸透镜的焦距的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由题意得：，，， ∴四边形是矩形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴． 7．如图，在平面直角坐标系中，点光源位于处，木杆两端的坐标分别为，．则木杆在轴上的影长为（     ） A．3 B．6 C．8 D．9 【答案】B 【详解】解：如图，过点P作于点E交于点M， 根据题意得：， ∴， ∵，，， ∴，，， ∴， ∴，即， 解得：． 8．大约在两千四五百年前，墨子和他的学生做了世界上第一个小孔成倒像的试验（如图1），并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端．”在如图2所示的小孔成像试验中，若物距为，像距为，蜡烛火焰倒立的像的高度是，则蜡烛火焰的高度是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：根据小孔成像的性质及相似三角形的性质可得：蜡烛火焰的高度与火焰的像的高度的比值等于物距与像距的比值，设蜡烛火焰的高度为，则 ， ， 即蜡烛火焰的高度为， 故答案为：C． 9．《九章算术》中记载了一种测量古井水面以上部分深度的办法，如图所示，在井口处立一根垂直于井口的木杆，从木杆的顶端观测井水水面，视线与井口的直径交于点，若测得米，米，米，则水面以上深度为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】D 【详解】解：由题意可知，， ∴， ∴，即， 解得：． 10．如图，利用相关知识“制作视力表”：当测试距离为时，标准视力表中最大的“E”字高度为，当测试距离为时，最大的“E”字高度为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由题意得，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 二、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分。 11．如图，太阳光线与地面成的角，照射在地面上的一只皮球上，皮球在地面上的投影长是，则皮球的直径是______ ． 【答案】 【详解】解：如图，设两条光线分别切皮球于点，交地面于点， ∴ ， 过点作于点 ， ∵太阳光线是平行的 ， ∴ ， ∵是皮球直径，光线与球相切， ∴ ， 又∵， ∴ ， ∴四边形是矩形 ， ∴ ， ∵太阳光线与地面成的角， ∴ ， ∴， ∴在中，， ∴， ∴皮球的直径是 ． 12．小明用投影仪将平板电脑屏幕的画面投屏到墙上，画面形状保持不变．已知该平板电脑屏幕的画面是相邻两边长之比为的矩形．若墙上投影画面的短边长为1.2米，则投影画面的长边长为______． 【答案】 【详解】解：投屏后画面形状保持不变， 投影矩形与原屏幕矩形相似，对应边成比例， 设投影画面的长边长为， 原矩形相邻两边长之比为， 即长边短边， 可得， 解得， ∴投影画面的长边长为． 13．某店铺在窗户上方安装一个遮阳棚，如图所示，遮阳棚展开长度，遮阳棚固定点A距离地面高度，遮阳棚与墙面的夹角为．在某一时刻，一位身高的顾客在太阳光下的影长，则此时遮阳棚在地面上的影长为______m． 【答案】() 【详解】解：如图所示，过点B作于点N，作于点M， ∴四边形是矩形， ∴． 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， 即， 解得， ∴． 14．《九章算术》是中国古代第一部数学专著，是《算经十书》中最重要的一种，成于公元一世纪左右．在其“勾股”章中有这样一个问题：“今有邑，东西七里，南北九里，各开中门，出东门一十五里有水，问：出南门几何步而见木？”意思是说：如图，矩形城池，东边城墙长9里，南边城墙长7里，东门点，南门点分别是，的中点，于，于，里，经过点，则为__________里． 【答案】 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， 又∵， ∴， ∴（垂直于同一直线的两直线平行）， ∴（两直线平行同位角相等）， ∴， ∴， ∵里，里，点，点分别是，的中点，里， ∴里，里， ∴（里）． 故答案为：． 三、解答题：本题共3小题，共24分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15（6分）．如图，在路灯下，小明的身高如图中线段所示，他在地面上的影子如图中线段所示，小亮的身高如图中线段所示，路灯灯泡在线段上． (1)请你确定灯泡P所在的位置，并画出表示小亮在灯光下形成的影子线段（请将线段用铅笔加粗）； (2)如果灯泡到地面距离为，小亮的身高，小亮与灯杆的距离，请求出小亮影子的长度． 【答案】(1)解：所求图形，如图所示； （2）解：由题意可得，， ∴， ∴， ， 设小亮的影子长为，即，则， ∴， 解得， 经检验，是该方程的解． 答：小亮影子的长度为． 16（8分）．如图，小红同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙，木板和平面镜，手电筒的灯泡在点处，手电筒的光从平面镜上点处反射后，恰好经过木板的边缘点，落在墙上的点处，点到地面的高度，点到地面的高度，灯泡到木板的水平距离，木板到墙的水平距离为．图中在同一条直线上．求反射点到木板的距离BC的长． 【答案】 【详解】解：根据题意，， ∴ ∴， ∴， 解得：（）， ∴的长为． 17（10分）．【综合与实践】主题：型晒衣架稳固性检测 步骤：如图1所示的是晒衣架的实物图，图2是晒衣架的侧面示意图，立杆，相交于点，经测量，得到，，，现将晒衣架完全稳固张开，横杆链成一条线段，测得． (1)晒衣架完全稳固张开时，连接，证明：； (2)利用夹子垂挂在晒衣架上的连衣裙（夹子高度忽略不计）总长度小于多少时，连衣裙才不会拖在地面上？ 【答案】(1)证明：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）解：如图，过点作于，过点作于， ∵，，， ∴， ∴， ∵，， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得：， ∴连衣裙总长度小于时，连衣裙才不会拖在地面上． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $