2.5 二次函数的应用 第1课时 (课件) 2026-2027学年鲁教版（五四制）九年级数学上册

该初中数学课件聚焦二次函数在几何图形最大面积中的应用，通过探究直角三角形内矩形面积问题导入，衔接二次函数顶点求最值的旧知，搭建“审设列解检”的学习支架，引导学生建立函数模型解决实际问题。 其亮点在于以问题链驱动教学，结合探究、典例及变式练习，培养学生用数学眼光抽象数量关系、用数学思维推理求解的能力，如矩形篱笆面积最值问题中体现模型意识。通过规范解题步骤总结，提升学生应用能力，也为教师提供结构化教学资源。

第二章 二次函数 2.5 二次函数的应用 鲁教版（五四制）九年级上册 第1课时 几何图形的最大面积 学习目标 学习重难点 能应用二次函数的性质解决图形中最大面积问题. 分析实际问题中变量之间的二次函数关系. 难点 重点 1.分析实际问题中变量之间的二次函数关系. 2.会运用二次函数求实际问题中的最大值或最小值. 3.能应用二次函数的性质解决图形中最大面积问题. 探究新知 问题 如图,在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD，其中AB和AD分别在两直角边上，AF=40 m，AE=30 m， （1）如果设矩形的一边AB=x m,那么AD边的长度如何表示？ （2）设矩形的面积为y m2,当x取何值时,y有最大值?最大值是多少？ （1）AD=（30-x）m。 （2）当x取20时,y有最大值，最大值是300。 在上面的问题中，直角三角形不变，如果把矩形改为如图所示的位置，B，C在斜边上，A，D分别在两条直角边上，那么矩形ABCD的最大面积是多少？你是怎样知道的？ 思考·交流 4 一般地，当a>0(a<0)时，抛物线 y = ax 2 + bx + c 的顶点是最低（高）点，也就是说当 时，二次函数 y = ax 2 + bx + c有最小（大）值 . 如何求出二次函数 y = ax 2 + bx + c 的最小（大）值？ 总结 5 典例精析 例 用总长为 60 m 的篱笆围成矩形场地，矩形面积 S 随矩形一边长 l的变化而变化.当 l 是多少米时，场地的面积 S 最大？ 即 S=-l2+30l (0<l<30). S=l(30-l), 解：根据题意得 因此，当l=-=-=15时， S 有最大值==225. 也就是说，当 l 是 15 m 时，场地的面积 S 最大. 矩形周长为60 m 一边长为l m,另一边长为(30-l)m 变式 如图，用一段长为60 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18 m，这个矩形的长、宽分别为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少? 解：根据题意设矩形菜园平行于墙的一边长为l m，菜园的面积为S m2 ， 得(0< l ≤18),即 S=(0<l ≤18). 二次函数 S= 的对称轴为 ， 因为0<l ≤18，所以l=18 时，S取得最大值， 即当矩形的长为21 m，宽是18 m 时，菜园的面积最大，最大面积为378 m2. 当 l<30 时，S 随 l 的增大而增大， 总结1 用二次函数解决实际问题的一般步骤 1.审：仔细审题，厘清题意. 2.设：找出题中的变量和常量，分析它们之间的关系，设出适当的未知数. 3.列：用二次函数表示出变量和常量之间的关系，建立二次函数模型，写出二次函数的解析式. 4.解：依据已知条件，借助二次函数的解析式、图象和性质等求解实际问题. 5.检：检验结果，进行合理取舍，得出符合实际意义的结论. 归纳2 二次函数解决几何面积最值问题的方法 1.求出函数解析式和自变量的取值范围； 2.配方变形，或利用公式求它的最大值或最小值； 3.检查求得的最大值或最小值对应的自变量的值是否在自变量的取值范围内. 课堂小结 几何面积最值问题 一个关键 一个注意 建立函数关系式 常见几何图形的面积公式 依 据 最值有时不在顶点处，需要利用函数的增减性来确定 1. 已知,由下表可知与 之间的函数关系式 是( ) 0 1 1 8 3 A A. B. C. D. 课堂练习 11 1. 一块三角形材料如图所示， ， ， 九年级（8）班的同学在 劳动课上用这块材料剪出一个矩形 ，其中 点，，分别在边，，上．设 的 长为，矩形的面积为 ． （1）写出关于的函数表达式，并写出 的取值范围； 课堂练习 12 【解】 四边形 为矩形， , . 在中， , , , ． 13 在中， , , , , , , ． 14 （2）当矩形的面积为时，求 的长； 由题意，得 , 整理，得 , 解得, , 即 的长为4或8． 15 （3）若矩形的面积不小于 ，请直接写 出的长 的取值范围． . 【点拨】由题意，得 ,整理， 得， . 16 2. 在一次劳动课中，老师准备 了一些长为、宽为 的长 方形硬纸板，准备利用这些纸板制 作无盖的长方体纸盒，且每张纸板可制作两个纸盒 （接头处忽略不计）．如图①，活动小组将纸板在四个角裁 掉四个边长均为 的正方形，再在中间裁掉一个正方形 17 ，将纸板沿, 剪开，折叠 后，得到两个相同的无盖长方体纸 盒，其中一个纸盒的底面是矩形 （如图②）． （1）求制作的无盖纸盒的底面的边 的长； 【解】由题意可知， ， ． （2）写出一个无盖纸盒的体积（单位：）与 （单位：）之间的函数关系式，并求出当 的值为5时，单 个无盖纸盒的体积 的值． 20 , ， ， 当时， ． 21 3. [江苏省南通市中考] 综合与实践：学校数学兴趣小组 围绕“校园花圃方案设计”开展主题学习活动，已知花圃一边 靠墙（墙的长度不限），其余部分用总长为 的栅栏围成， 兴趣小组设计了以下两种方案：#1 22 方案一 方案二 如图①，围成一个 面积为 的矩 形花圃. __________________________________________ 如图②，围成矩形花圃，用栅栏 （栅栏宽度忽略不计）将该花圃分隔为 两个小矩形区域，用来种植不同花卉， 并在花圃两侧各留一个宽为 的进出 口（此处不用栅栏）. __________________________________________ 23 （1）求方案一中与墙垂直的边的长度. 【解】设方案一中与墙垂直的边的长度为 ，则与墙平行 的边的长度为 ， 根据题意,得 ， 解得 . 答：方案一中与墙垂直的边的长度为 . 24 （2）要使方案二中花圃的面积最大，与墙平行的边的长度 为多少米？ 设方案二中与墙平行的边的长度为，花圃的面积为 ， 根据题意,得 . 25 ， 当时， 有最大值363. 答：当与墙平行的边的长度为 时，方案二中花圃的面积 最大. 26 4. 如图①,在平面直角坐标系 中，为原点， , ，顶点,点 在第一 （1）求点 的坐标. 象限，矩形的顶点的坐标为，点在 轴的正 半轴上，点在第二象限，射线经过点 .#1 27 【解】如图①,过点作,垂足为.由点 ,得 , , 点的坐标为 . 28 （2）将矩形沿轴向右平移，得到矩形,点, , ,的对应点分别为,,,.设，矩形 与 重叠部分的面积为 . ①如图②,当点在 轴正半轴上，且 矩形与 重叠部分为四 边形时，与相交于点,试用含有的式子表示 ,并直接 写出 的取值范围； 29 由点得 ，由平 移的性质知, , ， , . , ， . . 30 . , 即 . ②当时，求 的取值范围（直接写出结果即可）. 的取值范围为 . 32 $