2.6 二次函数与一元二次方程 第2课时 (课件) 2026-2027学年鲁教版（五四制）九年级数学上册

该初中数学课件聚焦利用二次函数图象求一元二次方程近似根，通过“探究新知”环节以方程x²+2x-10=0为例，引导学生观察图象确定根的范围，再用计算器探索缩小范围，衔接二次函数与一元二次方程的关系，搭建从理论到实践的学习支架。 其亮点在于结合几何直观呈现根的范围，通过数据表格分析和取平均数缩小范围培养推理意识，典例精析与多样练习强化应用意识。学生能提升直观理解与探究能力，教师可借助清晰步骤和例题提高教学效率。

第二章 二次函数 2.6 二次函数与一元二次方程 鲁教版（五四制）九年级上册 第2课时 利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根 学习目标 1.了解用图象法求一元二次方程的近似根. 2.掌握求一元二次方程近似根的方法. 学习重难点 理解运用图象法求一元二次方程的近似根的方法. 熟练运用图象法求一元二次方程的近似根. 难点 重点 探究新知 你能利用二次函数的图象估计一元二次方程x²+2x-10=0的根吗? 下图是函数y=x²+2x-10的图象。 观察·思考 由图象可知方程有两个根，一个在-5和-4之间，另一个在2和3之间。 (1)先求-5和一4之间的根。如图，利用计算器进行探索: 因此，x=-4.3是方程的一个近似根。 4 (2)另一个根可以类似地求出(如图): 因此，x=2.3是方程的另一个近似根。 用一元二次方程的求根公式看是否有相同的结果. 5 操作·思考 (1)如何利用图2-34求一元二次方程x²+2x-10=3的近似根?你是怎么做的? (2)你还能利用图2-35求一元二次方程x²+2x-10=3的近似根吗? 6 思考·交流 一次函数与二元一次方程的关系、二次函数与一元二次方程的关系，这两者有什么共性和不同?与同伴进行交流。 7 例 利用函数图象求方程x2-2x-2=0的实数根(精确到0.1). x y O 　－2 2 2 4 6 4 －4 8 －2 －4 y = x2－2x－2 解：作y=x2-2x-2的图象(如右图所示)，它与x轴的公共点的横坐标大约是-0.7，2.7. 所以方程x2-2x-2=0的实数根为 x1≈-0.7，x2≈2.7. 典例精析 例1已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的近似根为(　　) A．x1≈－2.1，x2≈0.1 B．x1≈－2.5，x2≈0.5 C．x1≈－2.9，x2≈0.9 D．x1≈－3，x2≈1 解析：由图象可得二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的对称轴为x＝－1，而对称轴右侧图象与x轴交点到原点的距离约为0.5，∴x2≈0.5；又∵对称轴为x＝－1，则 ＝－1，∴x1＝2×(－1)－0.5＝－2.5.故x1≈－2.5，x2≈0.5.故选B. B 典例精析 利用二次函数的图象解一元二次方程的基本步骤： 1.在平面直角坐标系内画出二次函数的图象； 2.观察图象，确定抛物线与 x 轴的公共点的坐标； 3.公共点的横坐标就是对应的一元二次方程的解. 当函数图象与 x 轴有两个公共点，且公共点的横坐标不是整数时，可通过不断缩小根所在的范围估计一元二次方程的解： ①观察函数图象与 x 轴的一个公共点的横坐标在哪两个连续整数之间，从而确定这个公共点的横坐标的取值范围. 总结 ②由①可确定方程 ax2+bx+c=0 的一个根在整数 m 和 n (m<n)之间，再通过取平均数的方法不断缩小根所在的范围，直到得出的根满足题目要求为止，具体过程如下：取 m 和 n 的平均数，计算出当时的函数值y2，将y2与自变量分别为 m 和 n 时的函数值ym，yn比较，若函数值y2，ym异号，说明所求根在m和之间，再取m和的平均数，计算函数值； 若函数值y2，yn异号，说明所求的根在和 n 之间，再取和 n 的平均数，计算函数值.重复前面的步骤，直到得出的数达到所需精确的数位为止. ③按照①②的方法估计出方程的另一个根. 1. 已知二次函数,,为常数,的 与 的部分对应值如下表： 3.23 3.24 3.25 3.26 0.09 判断方程的一个解 的取值范围是( ) D A. B. C. D. 课堂练习 13 【点拨】由表可以看出，当 取3.25与3.26之间的某个数时， ，即这个数是的一个解， 方程 的一个解的取值范围为 . 14 2. 已知二次函数,是常数的图象与 轴 交于点,点与点关于抛物线的对称轴对称，且点 , 在该函数图象上.二次函数 ,是常数中的自变量与函数值 的部分对应值如下表： … 0 1 3 … … 2 5 5 … 15 下列结论：①点的坐标是 ；②这个函数的最大值大于5； ③有一个根在4与5之间；④当 , 时, .其中正确的为________（将所有正确 结论的序号都填入）. ②③④ 【点拨】将,和, 代入 ，得 解得 ， 抛物线 开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为， 这个 函数的最大值大于5，故②正确. 当时，， 点 的坐标为 点与点关于抛物线的对称轴对称， 点 17 的坐标为，故①错误. 对于 ，当时， ; 当时，，的图象与 轴 有一个交点在4与5之间， 方程 有一个根在4 与5之间，故③正确.，， 点 到对 称轴的距离小于点到对称轴的距离， ，故④正确. 故答案为②③④. 3. 抛物线 如图所示， 利用图象可得方程 的 近似解为________________. （精确到 ） , 19 4.（1）请在如图的坐标系中画出二次函数 的大致 图象； 【解】如图. （2）根据方程的根与函数图象的关系，将方程 的根, 在图上表示出来； 如图. 21 （3）直接写出方程的根（精确到 ）. ， . 22 5. 二次函数 的图象如图所 示，若方程 的一个近似根 是 ，则方程的另一个近似根为____ ____（结果精确到 ）. 【点拨】由题图可知，抛物线的对称轴为直 线 方程的一个近似根为 , 方程的另一个近似根为 . 23 6. 利用图象解 一元二次方程 时， 我们采用的一种方法是：在直角坐 标系中画出抛物线 和直线 ，两图象交点的横坐标 就是该方程的解. 24 （1）请再给出一种利用图象求方 程 的解的方法； 【解】方法：在直角坐标系中画出 抛物线和直线 ， 其交点的横坐标就是方程的解. （答案不唯一） 25 （2）已知函数 的图象（如图）， 求方程 的近似解 （结果精确到 ）. 26 如图，在图中画出直线,与函数 的图象交于点 ，易得点的横坐标约为， 方程的近似解为 . 27 $