重难专题03 直线方程（专项训练）高二数学人教A版选择性必修第一册

专题03 直线方程 常考题型·精准突破 考点一 ：直线倾斜角、斜率关系 题型1 直线倾斜角、斜率求参（重） 题型2直线倾斜角、斜率关系求参数范围（难） 考点二：求直线方程 题型1 求直线方程 考点三：两直线的位置关系求参数 题型1 两直线的位置关系求参数（高频） 考点四：距离问题 题型1 两点距离公式及点到直线的距离公式应用（重） 考点五 对称问题 题型1 关于点对称问题 题型2 关于直线对称问题 考点六 直线有关最值问题 题型1 两点距离及点到直线的最值 题型2 将军饮马及三角形三边关系求最值 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 直线倾斜角、斜率关系 题型1 直线倾斜角、斜率求参 1．直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 2．过两点的直线的倾斜角为135°，则的值为（    ）. A．或 B． C． D． 3．直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 4．已知两点，若直线的倾斜角为，则的值为（   ） A． B．6 C． D．4 5．已知直线的倾斜角为，方向向量．则（    ） A． B． C． D． 题型2 直线倾斜角、斜率关系求参数范围 6．若过点，的直线的倾斜角的取值范围是，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．直线的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．已知、，若斜率存在的直线l经过点，且与线段AB有交点，则l的斜率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 9．已知直线：，若直线与连接，两点的线段总有公共点，则的倾斜角范围为（   ） A． B． C． D． 10．点在函数的图象上，当时，可能等于（    ） A．或 B．或 C．或 D．0 考点二 求直线方程 题型1 求直线方程 11．已知直线l过原点O，将直线l绕点O顺时针旋转后，恰与y轴重合，则直线l的方程为（   ） A． B． C． D． 12．已知O为坐标原点，点O到直线l的距离为2，并且x轴正半轴与直线l的垂线的倾斜角为，则直线l的方程是（    ）. A． B． C． D． 13．过点且与直线垂直的直线的方程是（   ） A． B． C． D． 14．已知直线过点，且与直线及轴围成等腰三角形，则的方程为（    ） A．或 B．或 C． D． 15．已知的三个顶点是，，，求下列直线的方程（用一般式表示）. (1)边上的中线所在直线的方程； (2)边上的高所在直线的方程； (3)边上的垂直平分线所在直线的方程. 16．已知直线过点． (1)若直线在轴上的截距、在轴上的截距的满足，求直线的方程； (2)若直线与两坐标轴的正半轴分别交于，两点，为坐标原点，当的面积最小时，求直线的方程． 考点三 直线的位置关系求参数 题型1 两直线的位置关系求参数 17．已知直线，直线，则“”是“”的（   ） A．充分条件但不是必要条件 B．必要条件但不是充分条件 C．充要条件 D．既不是充分条件也不是必要条件 18．已知直线与，则“”是“”的（    ） A．充分且不必要条件 B．必要且不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 19．若直线与直线垂直，则（     ） A． B． C． D． 20．已知直线：，：，若，则实数的值为（     ） A．0 B．1 C．0或1 D．1或2 21．（多选）已知直线，，则下列说法正确的是（   ） A．当时，直线的倾斜角为 B．若，则 C．若，则 D．直线的纵截距为 22．（多选）已知直线和直线，下列说法正确的是（    ） A．始终过定点 B．若，则 C．若，则或2 D．当时，始终不过第三象限 考点四 距离问题 题型1 两点距离公式及点到直线的距离公式应用 23．已知，两点到直线l：的距离相等，则a的值为（    ） A． B． C．或 D．或 24．若直线与直线平行，那么这两条直线之间的距离为（   ） A． B． C． D． 25．已知直线l过点且倾斜角为，则点到直线l的距离为（    ） A． B． C． D． 26．已知直线经过定点且与直线垂直．若点和点到直线的距离相等，则实数的值为（   ） A．1或 B．1或 C． D．1 27．已知点，向量，若与直线垂直，则到直线的距离等于（    ） A．1 B． C．2 D． 考点五 对称问题 题型1 关于点对称问题 28．与直线关于坐标原点对称的直线的方程为（    ） A． B． C． D． 29．直线l：关于点对称的直线方程为（   ） A． B． C． D． 30．已知直线与直线关于点对称，则实数（　　） A．2 B．1 C． D． 31．（多选）已知点， 直线的方程为，则下列说法正确的是（     ） A．过P点与直线平行的直线为 B．过P点与直线垂直的直线为 C．点P 关于直线对称的点为 D．直线关于点P的对称的直线方程为 题型2 关于直线对称问题 32．点关于直线的对称点坐标为（    ） A． B． C． D． 33．（多选）已知直线，下列说法正确的是：（    ） A．点关于的对称点的坐标是； B．直线关于的对称直线的方程是； C．直线关于点的对称直线的方程是； D．过点，垂直于直线的直线的方程是 34．直线关于直线：对称的直线方程为（   ） A． B． C． D． 35．下列说法正确的是（    ） A．直线与两坐标轴围成的三角形的面积是4 B．点关于直线的对称点为 C．直线关于直线的对称直线的方程为 D．直线关于点的对称直线的方程为 36．直线关于直线对称的直线方程为（    ） A． B． C． D． 37．已知直线l：与直线关于直线对称，则的方程为（    ） A． B． C． D． 38．直线关于直线对称的直线方程是（   ） A． B． C． D． 39．已知直线，点.求: (1)点A关于直线l的对称点的坐标; (2)直线关于直线l的对称直线m'的方程; (3)直线l关于点对称的直线l'的方程. 考点六 直线有关最值问题 题型1 两点距离及点到直线的最值 40．已知，则的最小值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 41．已知点为直线上任意一点，则的最小值是（    ） A．2 B． C． D． 42．点到直线（为任意实数）距离的最大值为（   ） A． B．1 C． D．2 43．已知直线和的交点为，则点到直线的距离的取值范围是（   ） A． B． C． D． 题型2 将军饮马及三角形三边关系求最值 44．函数的最小值为（   ） A．5 B． C． D． 45．著名数学家华罗庚曾说过，“数无形时少直觉，形少数时难入微”，事实上，很多代数问题都可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点与点的距离．结合上述观点，可得函数的最小值为（    ） A． B． C．7 D． 46．（多选）已知直线和两点.在直线l上有一点P，则的最小值和的最值为（   ） A．的最小值为12 B．的最小值为6 C．的最小值为 D．的最大值为2 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1．将一张画有直角坐标系的图纸折叠一次，使得点与点重合，若此时轴与直线也正好重合，则（    ）. A． B． C． D． 2．数学家欧拉于1765年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线.已知的顶点为、、，则其欧拉线的一般式方程为（    ） A． B． C． D． 3．已知点在直线，点在直线上，且，的最小值为（    ） A． B． C． D．5 4．已知，若过定点的动直线：和过定点的动直线：交于点（与，不重合），则以下说法错误的是（    ） A．点的坐标为 B． C． D．的最大值为5 5．设、为不同的两点，直线，，以下命题中不正确的为（ ） A．存在实数，使得点在直线上； B．若，则过的直线与直线平行； C．若，则直线经过的中点； D．若，则点在直线l的同侧且直线l与线段的延长线相交； 6．人脸识别，是基于人的脸部特征信息进行身份识别的一种生物识别技术，在人脸识别中，主要应用距离测试检测样本之间的相似度，常用测量距离的方式有曼哈顿距离和余弦距离.设，则曼哈顿距离，余弦距离（为坐标原点）.已知，则的最大近似值为（    ）（参考数据：） A．0.052 B．0.104 C．0.896 D．0.948 二、填空题 7．直线与直线的夹角大小为_______． 8．已知是直线上的两点，若，求__________. 9．已知直线经过点，且与轴、轴分别交于点、点，当取最小值时，直线的方程为______． 10．已知，，，不能构成三角形，则______． 11．对于一个平面图形，如果存在一个圆能完全覆盖住这个平面图形，则称这个图形被这个圆能够完全覆盖，其中我们把能覆盖平面图形的最小圆称为最小覆盖圆．则曲线的最小覆盖圆的面积为________． 12．已知点分别在直线上移动.若为原点，，则直线斜率的取值范围是__________. 三、解答题 13．已知直线. (1)证明：直线恒过定点，并求该点坐标. (2)若直线与轴的交点的横坐标与其在轴上的截距相等，求的值； (3)若直线交轴的负半轴于点，交轴的正半轴于点，为坐标原点，设三角形的面积为，求的最小值及此时直线的方程. 14．已知点分别是两射线和上的点，点. (1)若点是线段的中点，求线段的长. (2)设点在直线上，为坐标原点. ①若直线垂直于轴，求的面积； ②求面积的最小值，并求取到最小值时直线的方程. 15．在平面直角坐标系xOy中，定义：为，两点之间的“折线距离”. (1)已知，动点满足，求动点M所围成的图形的面积; (2)已知Q是直线上的动点，对于任意点，求证：的最小值为 (3)已知E是函数上的动点，F为函数上的动点，求的最小值. 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 直线方程 常考题型·精准突破 考点一 直线倾斜角、斜率关系 题型1 直线倾斜角、斜率求参 1．【答案】C 2．【答案】B 3【答案】B 4．【答案】C 5．【答案】A 题型2 直线倾斜角、斜率关系求参数范围 6．【答案】B 7【答案】B 8．【答案】C 9．【答案】D 10．【答案】C 考点二 求直线方程 题型1 求直线方程 11．【答案】D 12．【答案】A 13．【答案】D 14．【答案】A 15．【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）由已知，得的中点的坐标为，又因为AB上的中线过， 所以直线的方程为，即. （2）边所在直线的斜率， 因为边上的高与垂直，所以边上的高所在直线的斜率为， 又边上的高经过点，所以边上的高所在的直线方程为， 即. （3）由已知，得直线AC的斜率为，的中点的坐标为， 所以边AC上的垂直平分线所在直线斜率为， 所以边AC上的垂直平分线所在直线方程为，即. 16． 【答案】(1)或(2) 【详解】（1）根据题意：直线在轴上的截距是在轴上的截距的3倍， 当直线不过原点时，设直线为， 将代入可得， 所以直线的方程为； 当直线过原点时，直线的斜率为， 所以直线的方程为即． 综上，直线的方程为或； （2）设直线的方程为， 所以，， 所以， 当且仅当时，，（舍）， 所以直线的方程为即． 考点三 直线的位置关系求参数 题型1 两直线的位置关系求参数 17．【答案】B 18．【答案】C 19．【答案】C 20．【答案】C 21．【答案】BD 22．【答案】ACD 考点四 距离问题 题型1 两点距离公式及点到直线的距离公式应用 23.【答案】C 24【答案】D 25．【答案】C 26．【答案】A 27．【答案】B 考点五 对称问题 题型1 关于点对称问题 28． 【答案】D 29．【答案】A 30．【答案】C 31．【答案】ACD 题型2 关于直线对称问题 32．【答案】B 33．【答案】ABC 34．【答案】B 35．【答案】D 36【答案】D 37．【答案】A 38．【答案】C 39．【答案】(1).(2).(3) 【详解】（1）设，由已知条件得，解得所以. （2）在直线m上取一点，则关于直线l的对称点M'必在直线m'上.设对称点， 则解得故. 设直线m与直线l的交点为N，则由解得即. 又因为m'经过点，所以由两点式得直线m'的方程为. （3）设为上任意一点， 则关于点的对称点为， 因为在直线上，所以，即. 考点六 直线有关最值问题 题型1 两点距离及点到直线的最值 40． 【答案】D 41．【答案】D 42．【答案】C 43．【答案】C 题型2 将军饮马及三角形三边关系求最值 44．【答案】B 45．【答案】D 46．【答案】AC 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1．【答案】D 2．【答案】C 3．【答案】D 4．【答案】D 5．【答案】A 6．【答案】B 二、填空题 7．【答案】/ 8．【答案】 9．【答案】或， 10．【答案】/ 11．【答案】 12．【答案】 三、解答题 13．【答案】(1)证明:直线l的方程可化为，所以直线l恒过定点. (2)或(3)的最小值为16，此时直线的方程为 【详解】（1）证明略，定点为. （2）当时，直线的方程为，与轴无交点，不符合题意； 当时，直线的方程为， 令，则， 令，则， 由题意得，即， 即，解得或，经检验，均成立. 所以的值为或. （3）由题意可知，由（2）知，， 故， 当且仅当，即时，取等号， 故的最小值为16，此时直线的方程为. 14． 【答案】(1)(2)①；②最小值6， 【详解】（1）方法一：若直线的斜率不存在，即的方程为，易得，， 此时的中点坐标为，与点不符，不合题意. 可知直线的斜率存在，不妨设为，依题意得或， 此时直线的方程为， 由可得， 由可得， 因为的中点为，所以 解得， 则， 则； 方法二：设， 由是线段的中点可得 所以， 所以， 则. （2）方法一：①当直线的斜率不存在时，由（1）的结论， 可得. ②当直线的斜率存在时，设为，依题意得或， 则直线的方程为， 由（1）可得. . 设，则且，令， 则且，即且， 可得且不等于， 因为，所以当，即时，取得最小值6， 此时直线的方程为. 方法二：①当直线的斜率不存在时，由①的结论， 可得. ②设， 由三点共线可得，即， 整理得，即， 所以， 当且仅当时取到等号. ， 即时，取得最小值6， 此时直线的方程为. 15．【答案】(1)(2)证明：当时， ， 当且仅当时取等号， （由图1，，（图中与相应坐标轴垂直）， ，，） 当时， ， 当且仅当时取等号； （由图2，，（图中与相应坐标轴垂直）， ，） 综上，的最小值为 (3) 【详解】（1）， 则图形为正方形,其中，， 所以面积为 ； （2）略 （3）设，，， 当且仅当时有最小值， 为单调递减函数， 所以 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 直线方程 常考题型·精准突破 考点一 ：直线倾斜角、斜率关系 题型1 直线倾斜角、斜率求参（重） 题型2直线倾斜角、斜率关系求参数范围（难） 考点二：求直线方程 题型1 求直线方程 考点三：两直线的位置关系求参数 题型1 两直线的位置关系求参数（高频） 考点四：距离问题 题型1 两点距离公式及点到直线的距离公式应用（重） 考点五 对称问题 题型1 关于点对称问题 题型2 关于直线对称问题 考点六 直线有关最值问题 题型1 两点距离及点到直线的最值 题型2 将军饮马及三角形三边关系求最值 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 直线倾斜角、斜率关系 题型1 直线倾斜角、斜率求参 1．直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直线的方程可得其斜率，利用倾斜角与斜率间的关系即可求解. 【详解】依题意，设直线的倾斜角为，由直线可得直线的斜率为； 又，所以，即直线的倾斜角为； 故选：C. 2．过两点的直线的倾斜角为135°，则的值为（    ）. A．或 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据斜率和倾斜角的关系，列出等式求解即可． 【详解】由题知，直线的斜率存在，所以A点和B点的横坐标不一样，即， 则，所以，解得或， 又，所以． 故选：B． 3．直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据倾斜角的概念即可得到答案. 【详解】直线的倾斜角为. 故选：B. 4．已知两点，若直线的倾斜角为，则的值为（   ） A． B．6 C． D．4 【答案】C 【分析】由题意可知直线的斜率，再结合斜率公式运算求解. 【详解】因为直线的倾斜角为，则直线的斜率， 又因为，则，解得. 故选：C. 5．已知直线的倾斜角为，方向向量．则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据直线的倾斜角可得直线斜率，再根据方向向量可得直线斜率，即可求解. 【详解】直线的倾斜角为，所以， 方向向量，则，. 故选：A. 题型2 直线倾斜角、斜率关系求参数范围 6．若过点，的直线的倾斜角的取值范围是，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合倾斜角与斜率的关系，分斜率不存在与斜率存在计算即可得. 【详解】当时，直线的斜率不存在，两点横坐标相等，即； 当时，直线的斜率存在， 则或，解得或； 综上所述，实数的取值范围是. 故选：B. 7．直线的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据直线方程求出斜率的取值范围，结合正切函数图象及性质求解即可. 【详解】设直线的倾斜角为，， 因为的斜率为，即， 由正切函数的图象及性质得， 所以直线的倾斜角的取值范围是. 故选：B. 8．已知、，若斜率存在的直线l经过点，且与线段AB有交点，则l的斜率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用直线的斜率公式计算，；再结合图形，利用直线与线段有交点的条件建立不等式，即可得出结果. 【详解】由直线的斜率公式可得： ；. 结合图形，要使直线l经过点，且与线段AB有交点，l的斜率需满足或. 故选：C. 9．已知直线：，若直线与连接，两点的线段总有公共点，则的倾斜角范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出直线所过定点的坐标，数形结合可求出直线的斜率的取值范围，即可得出直线的倾斜角的取值范围． 【详解】直线的方程可化为，由，可得， 所以，直线过定点， 设直线的斜率为，直线的倾斜角为，则 因为直线的斜率为，直线的斜率为， 因为直线经过点，且与线段总有公共点， 将代入方程： 可得：不成立，不在直线上， 所以，即， 因为所以或 故直线的倾斜角的取值范围是． 故选：D． 10．点在函数的图象上，当时，可能等于（    ） A．或 B．或 C．或 D．0 【答案】C 【分析】先画出指数函数图象再结合斜率公式数形结合得出范围. 【详解】表示点与点所成直线的斜率k， 又是在部分图象上的动点， 如图，当接近时， 当为时，，则，只有C满足. 故选：C. 考点二 求直线方程 题型1 求直线方程 11．已知直线l过原点O，将直线l绕点O顺时针旋转后，恰与y轴重合，则直线l的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据倾斜角求出直线斜率得解. 【详解】因为y轴的倾斜角为， 所以直线l的倾斜角为，直线斜率， 所以直线l的方程为， 故选：D 12．已知O为坐标原点，点O到直线l的距离为2，并且x轴正半轴与直线l的垂线的倾斜角为，则直线l的方程是（    ）. A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据x轴正半轴与直线l的垂线的倾斜角为，得出直线的倾斜角及斜率，再结合点到直线距离公式计算即可得出选项. 【详解】因为x轴正半轴与直线l的垂线的倾斜角为， ∴直线的倾斜角为， 所以直线的斜率为， 对于B：的斜率为，B选项错误； 对于C：的斜率为，C选项错误； 对于D：的斜率为，D选项错误； 对于A：点O到直线l的距离为，A选项正确； 故选：A. 13．过点且与直线垂直的直线的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据垂直求出直线的斜率，再由点斜式方程可得答案. 【详解】直线的斜率为， 因为直线与直线垂直， 所以直线的斜率为， 又直线过点，所以直线的方程为， 即. 故选：D. 14．已知直线过点，且与直线及轴围成等腰三角形，则的方程为（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】A 【分析】根据直线所过点、倾斜角以及等腰三角形等知识求得正确答案. 【详解】如图，设，直线过和.      ①当直线为时，直线、直线与轴围成的三角形是，不是等腰三角形，所以直线的斜率存在． ②当直线的斜率为负时，设关于轴的对称点为，当直线过两点时，是等腰三角形， 又，所以为等边三角形，满足题意，因为，所以此时直线的方程为． ③当直线的斜率为正时，设直线与轴负半轴相交于点，则，由直线AB的斜率为，倾斜角为，可得， 所以直线，也即直线的斜率为，对应方程为． 综上，直线的方程为或． 故选：A. 15．已知的三个顶点是，，，求下列直线的方程（用一般式表示）. (1)边上的中线所在直线的方程； (2)边上的高所在直线的方程； (3)边上的垂直平分线所在直线的方程. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先求出AB的中点坐标，再结合直线的两点式方程，即可求解. （2）根据已知条件，结合直线垂直的性质，以及直线的点斜式方程，即可求解. （3）根据已知条件，结合垂直的性质，先求出垂直平分线的斜率，结合AC的中点，列点斜式方程，即可求解. 【详解】（1）由已知，得的中点的坐标为，又因为AB上的中线过， 所以直线的方程为，即. （2）边所在直线的斜率， 因为边上的高与垂直，所以边上的高所在直线的斜率为， 又边上的高经过点，所以边上的高所在的直线方程为， 即. （3）由已知，得直线AC的斜率为，的中点的坐标为， 所以边AC上的垂直平分线所在直线斜率为， 所以边AC上的垂直平分线所在直线方程为，即. 16．已知直线过点． (1)若直线在轴上的截距、在轴上的截距的满足，求直线的方程； (2)若直线与两坐标轴的正半轴分别交于，两点，为坐标原点，当的面积最小时，求直线的方程． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）分直线过原点和不过原点，利用截距式直线方程解题即可； （2）利用点斜式直线方程以及基本不等式解题即可. 【详解】（1）根据题意：直线在轴上的截距是在轴上的截距的3倍， 当直线不过原点时，设直线为， 将代入可得， 所以直线的方程为； 当直线过原点时，直线的斜率为， 所以直线的方程为即． 综上，直线的方程为或； （2）设直线的方程为， 所以，， 所以， 当且仅当时，，（舍）， 所以直线的方程为即． 考点三 直线的位置关系求参数 题型1 两直线的位置关系求参数 17．已知直线，直线，则“”是“”的（   ） A．充分条件但不是必要条件 B．必要条件但不是充分条件 C．充要条件 D．既不是充分条件也不是必要条件 【答案】B 【分析】根据求出，再由必要但不充分条件定义判断可得答案. 【详解】若，则，解得，或， 当时，，，，符合题意， 当时，，，，符合题意， 所以若“”，则“，或”， 则“”是“” 必要条件但不是充分条件. 故选：B. 18．已知直线与，则“”是“”的（    ） A．充分且不必要条件 B．必要且不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】C 【分析】借助直线平行的性质及充分条件与必要条件定义计算即可得. 【详解】若，则，解得或， 当时，，两直线重合，不符； 当时，，符合题意； 所以，即“”是“” 的充要条件. 19．若直线与直线垂直，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由于直线与垂直，故，解得． 20．已知直线：，：，若，则实数的值为（     ） A．0 B．1 C．0或1 D．1或2 【答案】C 【详解】已知直线：，：，若， 则有， 化简方程得：， 解得或，C正确. 21．已知直线，，则下列说法正确的是（   ） A．当时，直线的倾斜角为 B．若，则 C．若，则 D．直线的纵截距为 【答案】BD 【分析】本题给了两条含参的直线方程，通过不同条件判断直线的性质或已知直线性质求参数范围. 【详解】对于A，当时，直线，斜率，则倾斜角为，故A错误； 对于B，，等价于，解得，故B正确； 对于C，若，则，故，故C错误； 对于D，，当时，，所以直线的纵截距为，故D正确． 故选BD． 22．已知直线和直线，下列说法正确的是（    ） A．始终过定点 B．若，则 C．若，则或2 D．当时，始终不过第三象限 【答案】ACD 【分析】根据定点判断A，根据直线垂直及重合求参判断B，结合直线的定点及斜率判断D. 【详解】过定点，故选项A正确； 当时，重合，故选项B错误； 由，得或2，故选项C正确； 当时，始终过，斜率为负，不会过第三象限，故选项D正确. 故选：ACD. 考点四 距离问题 题型1 两点距离公式及点到直线的距离公式应用 23．已知，两点到直线l：的距离相等，则a的值为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】法一：由点线距离公式列方程求参数值；法二：两点到直线的距离相等，则直线与两定点所在直线平行，或直线过以两定点为端点的线段的中点，列方程求参数值. 【详解】法一：因为点，到直线l：的距离相等， 所以，即， 化简得，解得或； 法二：若，由，，得直线AB的斜率为，又直线l的斜率为，故； 若在两侧，线段AB的中点，代入直线l：，得，则． 经检验，或均符合题意. 故选：C 24．若直线与直线平行，那么这两条直线之间的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据两直线平行可得参数，进而确定平行线间距离. 【详解】有已知直线与直线平行， 则，即， 此时直线与直线，即满足平行， 则两直线间距离， 故选：D. 25．已知直线l过点且倾斜角为，则点到直线l的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用直线的点斜式方程求出直线的方程，再代入点到直线距离公式即可. 【详解】易知直线的斜率为，又过点， 所以其方程为，即， 可得点到直线l的距离为. 故选：C 26．已知直线经过定点且与直线垂直．若点和点到直线的距离相等，则实数的值为（   ） A．1或 B．1或 C． D．1 【答案】A 【分析】设直线的方程为，根据所过的点得，再根据点到直线的距离公式求出或. 【详解】设直线的方程为，因为直线经过定点， 故即，故直线的方程为， 而点和点到直线的距离相等，故， 所以，所以或，A正确. 27．已知点，向量，若与直线垂直，则到直线的距离等于（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】根据直线的方向向量与垂直求出，再由点到直线的距离求解. 【详解】因为直线的一个方向向量为， 又与直线垂直，所以， 解得，所以直线， 所以到直线的距离为. 考点五 对称问题 题型1 关于点对称问题 28．与直线关于坐标原点对称的直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设出所求对称直线上的点的坐标，求出关于原点的对称点坐标，代入已知直线方程，即可. 【详解】设直线上一点关于坐标原点对称的点为， 则，，解得，， 代入，得， 即所求直线的方程为． 故选：D． 29．直线l：关于点对称的直线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据直线关于点的对称直线平行，设出所求直线，利用点到直线距离求解. 【详解】因为不在直线l：上， 所以可设直线l：关于点对称的直线方程为， 则，解得或（舍去）， 故所求直线方程为：. 故选：A 30．已知直线与直线关于点对称，则实数（　　） A．2 B．1 C． D． 【答案】C 【分析】根据题意得到直线与直线平行，从而得到，再根据直线上取一点，得到关于点的对称点，代入直线即可得到答案. 【详解】因为不在直线上， 且直线与直线关于点对称， 所以直线与直线平行， 即，解得. 在直线上取一点， 关于点的对称点为, 将代入直线，解得. 故选：C 31．已知点， 直线的方程为，则下列说法正确的是（     ） A．过P点与直线平行的直线为 B．过P点与直线垂直的直线为 C．点P 关于直线对称的点为 D．直线关于点P的对称的直线方程为 【答案】ACD 【分析】A选项，设过P点与直线平行的直线方程，待定系数法求出直线方程；B选项，设过P点与直线垂直的直线方程，待定系数法求出直线方程；C选项，设出点P 关于直线对称的点为，利用中点坐标和斜率列出方程组，求出答案；D选项，由几何关系得到直线关于点P的对称的直线与直线平行，再求出上一点关于对称的点的坐标，求出答案. 【详解】A选项，设过P点与直线平行的直线为，将代入， ，解得，故过P点与直线平行的直线为，A正确； B选项，设过P点与直线垂直的直线为，将代入， ，解得，故过P点与直线垂直的直线为，B错误； C选项，设点P 关于直线对称的点为， 故，解得， 故点P 关于直线对称的点为，C正确； D选项，因为，故P点不在直线上， 故直线关于点P的对称的直线与直线平行， 设上一点关于对称的点为， 则，解得，故， 故设直线关于点P的对称的直线方程为， 将代入，，解得， 故直线关于点P的对称的直线方程为，D正确. 故选：ACD 题型2 关于直线对称问题 32．点关于直线的对称点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据斜率关系以及中点关系，即可列方程求解. 【详解】设关于直线的对称点坐标为， 则，解得，故对称点坐标为， 故选：B 33．已知直线，下列说法正确的是：（    ） A．点关于的对称点的坐标是； B．直线关于的对称直线的方程是； C．直线关于点的对称直线的方程是； D．过点，垂直于直线的直线的方程是 【答案】ABC 【分析】A：利用两点连线与对称轴垂直、中点在对称轴上两个条件联立求解对称点坐标；B：先求出两条直线交点，再在已知直线上任取一点算出其对称点，通过两点求出对称直线方程； C：直线关于定点对称后斜率不变，求出原直线上一点的对称点，代入斜截式得到对应直线方程；D：根据垂直直线斜率关系写出垂线点斜式，代入已知点验证. 【详解】A：设点关于直线的对称点为，则线段的中点在直线上，且直线垂直于直线， 即，解得， 所以点的坐标为，A正确. B：解方程组得，则点在所求直线上. 在直线上任取一点，设点关于直线的对称点为， 则，解得，则点也在所求直线上， 由两点式得直线方程为，化简得，故所求直线的方程，B正确. C：在直线上取两点、， 则、关于点的对称点分别为、. 因为点、在所求直线上，所以由两点式得所求直线方程为，即C正确. D：直线斜率为3，故垂直于的直线斜率为，过点的垂线正确方程为， 整理得，故过点垂直于直线的直线的方程是，故D错误. 34．直线关于直线：对称的直线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求两直线的交点，再在直线取点，求点关于直线的对称点，依据两点，，可得所求直线的方程. 【详解】联立，解得.则交点坐标为. 取直线上一点，设点关于直线：的对称点为， 则由，且线段的中点在直线上， 得，解得. 故所求直线过点，. 所以所求直线方程为：，即. 故选：B 35．下列说法正确的是（    ） A．直线与两坐标轴围成的三角形的面积是4 B．点关于直线的对称点为 C．直线关于直线的对称直线的方程为 D．直线关于点的对称直线的方程为 【答案】D 【分析】求出三角形的面积判断A；求出两点的中点坐标判断B；在直线上取点，求出对称点判断C；求出关于点的对称直线的方程判断D. 【详解】对于A，直线与两坐标轴交于，则所求三角形面积为，A错误； 对于B，点和的中点不在直线上，则点关于直线的对称点不是，B错误； 对于C，在直线上取点，设其关于直线的对称点为， 则，解得，而点不在直线上，C错误； 对于D，在所求方程的直线上任取点，则该点关于点的对称点为在直线上， 于是，即，因此所求的直线方程为，D正确. 故选：D 36．直线关于直线对称的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】解方程组求出两条直线的交点坐标，再求出直线上的点关于直线的对称点即可求解. 【详解】由，解得，则直线与直线交于点， 在直线上取点，设点关于直线的对称点， 依题意，，整理得，解得，即点， 直线的方程为，即， 所以直线关于直线对称的直线方程为. 故选：D 37．已知直线l：与直线关于直线对称，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据对称性的性质，用代，以代进行求解即可. 【详解】因为直线l：与直线关于直线对称， 所以在方程中，用代，以代，得， 化简，得， 故选：A 38．直线关于直线对称的直线方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】在直线上任取一点，设其关于直线的对称点为，然后根据对称关系列方程可表示出，再代入中化简可得答案. 【详解】在直线上任取一点，设点关于直线的对称点为， 则，解得，即， 因为点在直线上， 所以，即， 所以所求直线方程为， 故选：C. 39．已知直线，点.求: (1)点A关于直线l的对称点的坐标; (2)直线关于直线l的对称直线m'的方程; (3)直线l关于点对称的直线l'的方程. 【答案】(1). (2). (3) 【分析】（1）根据中点和斜率列方程组来求得对称点的坐标. （2）在直线上取一点，并求其关于直线的对称点，然后结合直线与直线的交点来求得对称直线的方程. （3）利用相关点代入法来求得对称直线的方程. 【详解】（1）设，由已知条件得，解得所以. （2）在直线m上取一点，则关于直线l的对称点M'必在直线m'上.设对称点， 则解得故. 设直线m与直线l的交点为N，则由解得即. 又因为m'经过点，所以由两点式得直线m'的方程为. （3）设为上任意一点， 则关于点的对称点为， 因为在直线上，所以，即. 考点六 直线有关最值问题 题型1 两点距离及点到直线的最值 40．已知，则的最小值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】可以看作是点到点的距离的平方；已知，那么点在直线上，所以求的最小值，就是求点到直线的距离的平方. 【详解】因为， 所以问题可转化为求直线上的点到点的距离的最小值， 故求点到直线的距离即可，因为距离， 所以． 故选：D. 41．已知点为直线上任意一点，则的最小值是（    ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】利用两点之间的距离公式理解所求式，将问题转化成点到直线上的点的距离最小问题，即当时，由点到直线的距离公式即可求得. 【详解】可理解为动点到定点的距离， 而动点在直线上， 故当且仅当时，取得最小值， 即，故的最小值是. 故选：D. 42．点到直线（为任意实数）距离的最大值为（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】C 【分析】法一：写出点到直线的距离的表达式，换元，利用对勾函数的性质即可求解；法二：利用几何法即可求出最值. 【详解】法一：点到直线的距离为， ， 令，当时，， 当时，，由对勾函数的性质可知， 所以，所以， 所以. 法二：易知直线过定点，则点到直线的距离最大值为定点到的距离，即. 故选：C. 43．已知直线和的交点为，则点到直线的距离的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】联立直线方程求得点的坐标，对的取值分情况讨论，并结合点到直线的距离公式，进而求得点到直线的距离的取值范围. 【详解】联立，解得，即点的坐标为， 点到直线的距离， 当时，， 当时，，恒有，于是， 综上，点到直线的距离的取值范围是. 故选：C. 题型2 将军饮马及三角形三边关系求最值 44．函数的最小值为（   ） A．5 B． C． D． 【答案】B 【分析】由，则可以看作是x轴上的动点分别与两点，的距离之和，结合图形分析即可求解. 【详解】由题可得的定义域为，又，所以可以看作是x轴上的动点分别与两点，的距离之和，如图，点关于x轴对称的点为，则当与，三点共线时，距离之和最小，则． 故选：B 45．著名数学家华罗庚曾说过，“数无形时少直觉，形少数时难入微”，事实上，很多代数问题都可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点与点的距离．结合上述观点，可得函数的最小值为（    ） A． B． C．7 D． 【答案】D 【分析】本题考查点关于直线对称、两点间距离的问题，利用数形结合，将函数转化为轴上动点到两定点距离之和，借助将军饮马模型求距离和最小值。 【详解】的几何意义为点到两定点与的距离之和，进而可得结果． 的几何意义为点到两定点与的距离之和． 设点关于轴的对称点为，则的坐标为． 要求的最小值，可转化为求的最小值， 利用对称可知 ， 即的最小值为． 46．已知直线和两点.在直线l上有一点P，则的最小值和的最值为（   ） A．的最小值为12 B．的最小值为6 C．的最小值为 D．的最大值为2 【答案】AC 【分析】应用点关于直线对称，结合饮马模型求的最小值，利用三角形的三边关系及点线位置关系求的最值，即可得答案. 【详解】令是关于的对称点，则， 所以，即，为与的交点， 如下图，则， 当且仅当共线且在线段上时取等号，即的最小值为12； 由图知（直线与直线的交点离点更近），即， 当且仅当共线且在射线上时取最小值，但无最大值，即最小值是，为. 故选：AC 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1．将一张画有直角坐标系的图纸折叠一次，使得点与点重合，若此时轴与直线也正好重合，则（    ）. A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求图纸的折痕所在的直线方程，由题意得点在直线上，得，又直线与直线以及轴相交于点，即可求，进而求解. 【详解】由题意有：，点的中点， 所以图纸的折痕所在的直线方程为，即，令，得，即， 又由轴与直线也正好重合，则点在直线上， 所以， 又因为直线与直线以及轴相交与点， 所以，代入，解得， 所以， 故选：D. 2．数学家欧拉于1765年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线.已知的顶点为、、，则其欧拉线的一般式方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出的重心和外心后可得欧拉线的方程. 【详解】的重心坐标为即， 中垂线的方程为：，中垂线的方程为：， 故外心坐标为，故欧拉线的方程为：， 整理得到：， 故选：C. 3．已知点在直线，点在直线上，且，的最小值为（    ） A． B． C． D．5 【答案】D 【分析】根据两点距离公式将目标函数转化为点到点的距离与点到点的距离和，过点作，垂足为，证明，由 求目标函数最小值. 【详解】由已知表示点到点的距离， 表示点到点的距离， 所以， 过点作，垂足为， 因为直线的方程为，， 所以， 又直线与直线平行，， 所以，所以， 所以四边形为平行四边形，所以， 所以， 又，当且仅当三点共线时等号成立， 所以当点为线段与直线的交点时， 取最小值，最小值为， 因为过点与直线垂直的直线的方程为， 联立，可得， 所以点的坐标为，所以， 所以的最小值为， 故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键在于根据两点距离公式将目标函数转化为求线段的距离和问题，进一步结合图形将问题转化为两点之间的距离问题. 4．已知，若过定点的动直线：和过定点的动直线：交于点（与，不重合），则以下说法错误的是（    ） A．点的坐标为 B． C． D．的最大值为5 【答案】D 【分析】根据定点判断方法、直线垂直关系、勾股定理、三角函数辅助角求最值即可得解. 【详解】因为可以转化为， 故直线恒过定点A，故A选项正确； 又因为：即恒过定点B， 由 和 , 满足 ， 所以 , 可得 , 故B选项正确； 所以 , 故C选项正确; 因为 , 设为锐角, 则, 所以, 所以当 时, 取最大值 , 故选项D错误. 故选：D. 5．设、为不同的两点，直线，，以下命题中不正确的为（ ） A．存在实数，使得点在直线上； B．若，则过的直线与直线平行； C．若，则直线经过的中点； D．若，则点在直线l的同侧且直线l与线段的延长线相交； 【答案】A 【分析】由分母不为0可判断A；分和两种情况讨论可得两直线的位置关系判断B；由已知可得，可判断C；由已知可得，且，进而可判断D. 【详解】对于A选项，若点在直线上则， 不存在实数，使点在直线上，故A不正确； 对于B选项，当时，若，则，整理得， 此时直线垂直于轴，直线也垂直于轴，由于不在直线上， 故过、两点的直线与直线平行； 当时，若，则，整理得， 此时若成立，则，与、为不同的两点矛盾， 故，所以， 即， 所以过、两点的直线与直线平行，综合可知，B正确； 对于C选项，若，则 即，， 直线经过线段的中点，即C正确； 对于D选项，若，则， 或， 所以，且， 所以点在直线的同一侧且到直线的距离不相等， 所以直线与线段不平行．故D正确． 故选：A． 6．人脸识别，是基于人的脸部特征信息进行身份识别的一种生物识别技术，在人脸识别中，主要应用距离测试检测样本之间的相似度，常用测量距离的方式有曼哈顿距离和余弦距离.设，则曼哈顿距离，余弦距离（为坐标原点）.已知，则的最大近似值为（    ）（参考数据：） A．0.052 B．0.104 C．0.896 D．0.948 【答案】B 【分析】根据题意分析可得在正方形的边上运动，结合图象分析的最大值，即可得结果. 【详解】设， 由题意可得：，即， 可知表示正方形，其中， 即点在正方形的边上运动，其中三点共线， 因为，由图可知： 当取到最小值，即最大，点有如下两种可能： ①点为点A，则，可得； ②点在线段上运动时，此时与同向，不妨取， 则； 因为，所以的最大值为. 故选：B. 【点睛】方法定睛：在处理代数问题时，常把代数转化为几何图形，数形结合处理问题. 二、填空题 7．直线与直线的夹角大小为_______． 【答案】/ 【分析】先由斜率的定义求出两直线的倾斜角，然后再利用两角差的正切展开式计算出夹角的正切值，最后求出结果. 【详解】设直线与直线的倾斜角分别为， 则，且， 所以， 因为， 所以，即两条直线的夹角为， 故答案为：. 8．已知是直线上的两点，若，求__________. 【答案】 【分析】根据题设条件先求出，再利用两点间的距离公式计算即得. 【详解】因为，在直线l上，所以，. 由已知，得， 由两点间的距离公式，得. 故答案为：. 9．已知直线经过点，且与轴、轴分别交于点、点，当取最小值时，直线的方程为______． 【答案】或， 【分析】表达出，得到，，由基本不等式得到的最小值，得到，即可得到直线方程. 【详解】因为直线与轴、轴分别交于点、点， 所以直线的斜率存在，可设直线的方程为， 所以，，所以，， 所以， 当且仅当时取等号，此时， 此时直线的方程为或， 故答案为：或， 10．已知，，，不能构成三角形，则______． 【答案】/ 【分析】根据已知分析出三点共线且斜率存在，应用斜率两点式列方程得，整理变形即可得. 【详解】三点不能构成三角形的情况，即三点共线， 因为斜率存在，所以，即，即, 因为，所以，即. 故答案为： 11．对于一个平面图形，如果存在一个圆能完全覆盖住这个平面图形，则称这个图形被这个圆能够完全覆盖，其中我们把能覆盖平面图形的最小圆称为最小覆盖圆．则曲线的最小覆盖圆的面积为________． 【答案】 【分析】先分析曲线对称性，再求曲线上点到原点距离最大值，即得结果. 【详解】由成立可得该曲线关于原点中心对称，所以该曲线的最小覆盖圆的圆心位于坐标原点， 由可得， 即，所以， 当且仅当时等号成立，所以该曲线的最小覆盖圆的面积为. 故答案为：. 12．已知点分别在直线上移动.若为原点，，则直线斜率的取值范围是__________. 【答案】 【分析】将点坐标代入到直线方程得到等式，将两个等式相减得到与的等式，由直线斜率公式得到直线的斜率，由利用函数单调性求出斜率的取值范围. 【详解】因为点分别在直线上移动， 所以， 两式相减得 所以直线的斜率， 因为，所以，所以， 即直线斜率的取值范围是. 故答案为： 三、解答题 13．已知直线. (1)证明：直线恒过定点，并求该点坐标. (2)若直线与轴的交点的横坐标与其在轴上的截距相等，求的值； (3)若直线交轴的负半轴于点，交轴的正半轴于点，为坐标原点，设三角形的面积为，求的最小值及此时直线的方程. 【答案】(1)证明: 直线l的方程可化为，所以直线l恒过定点. (2)或 (3)的最小值为16，此时直线的方程为 【分析】（1）将直线方程化为的形式，从而确定定点； （2）先分别求出直线与轴交点的横坐标和在轴上的截距，再根据二者相等列方程求解的值； （3）先求出两点的坐标，进而得到的面积表达式，然后利用基本不等式求出面积的最小值，最后根据面积取最小值时的值确定直线l的方程． 【详解】（1）证明略，定点为. （2）当时，直线的方程为，与轴无交点，不符合题意； 当时，直线的方程为， 令，则， 令，则， 由题意得，即， 即，解得或，经检验，均成立. 所以的值为或. （3）由题意可知，由（2）知，， 故， 当且仅当，即时，取等号， 故的最小值为16，此时直线的方程为. 14．已知点分别是两射线和上的点，点. (1)若点是线段的中点，求线段的长. (2)设点在直线上，为坐标原点. ①若直线垂直于轴，求的面积； ②求面积的最小值，并求取到最小值时直线的方程. 【答案】(1) (2)①；②最小值6， 【分析】（1）方法一：先考虑直线的斜率不存在，不合要求，再考虑直线的斜率存在，直线的方程为，联立求出两点的坐标，得到方程组，求出，得到，求出答案； 方法二：设，根据是线段的中点得到方程，求出，所以，求出答案. （2）方法一：①在（1）基础上，得到； ②在（1）基础上，得到，换元后，由函数单调性得到面积最小值为6，因为，所以最小值为6，此时直线的方程为. 方法二：①在（1）基础上，得到； ②设，由三点共线得到，由基本不等式“1”的妙用求出，从而得到，求出此时直线的方程. 【详解】（1）方法一：若直线的斜率不存在，即的方程为，易得，， 此时的中点坐标为，与点不符，不合题意. 可知直线的斜率存在，不妨设为，依题意得或， 此时直线的方程为， 由可得， 由可得， 因为的中点为，所以 解得， 则， 则； 方法二：设， 由是线段的中点可得 所以， 所以， 则. （2）方法一：①当直线的斜率不存在时，由（1）的结论， 可得. ②当直线的斜率存在时，设为，依题意得或， 则直线的方程为， 由（1）可得. . 设，则且，令， 则且，即且， 可得且不等于， 因为，所以当，即时，取得最小值6， 此时直线的方程为. 方法二：①当直线的斜率不存在时，由①的结论， 可得. ②设， 由三点共线可得，即， 整理得，即， 所以， 当且仅当时取到等号. ， 即时，取得最小值6， 此时直线的方程为. 15．在平面直角坐标系xOy中，定义：为，两点之间的“折线距离”. (1)已知，动点满足，求动点M所围成的图形的面积; (2)已知Q是直线上的动点，对于任意点，求证：的最小值为 (3)已知E是函数上的动点，F为函数上的动点，求的最小值. 【答案】(1) (2)证明：当时， ， 当且仅当时取等号， （由图1，，（图中与相应坐标轴垂直）， ，，） 当时， ， 当且仅当时取等号； （由图2，，（图中与相应坐标轴垂直）， ，） 综上，的最小值为 (3) 【分析】，根据新定义求解即可； 分类讨论当时，当时，结合图象求解； 设，，，得到根据为单调递减函数求解. 【详解】（1）， 则图形为正方形,其中，， 所以面积为 ； （2）略 （3）设，，， 当且仅当时有最小值， 为单调递减函数， 所以 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $