2.5.2 圆与圆的位置关系（分层作业练知识）高二数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 本练习以“分层递进+素养导向”为特色，通过A/B/C组及高考拓展的四级梯度设计，实现从单一知识点巩固到综合思维提升的完整路径，培养数学抽象与逻辑推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A组|10个基础知识点（位置关系判断、交点坐标等）|题型为选择填空，聚焦概念理解与基本运算，如位置关系判定题直接对应几何法应用| |B组|综合应用（参数范围、公切线方程等）|含解答题与多选题，强化知识迁移，如结合圆与圆位置关系求参数范围| |C组|复杂问题（圆系方程、动点轨迹等）|以新定义、数学建模题为主，提升逻辑推理，如“共生点”问题融合多知识点| |拓展|高考真题对接|精选高考原题，如2026全国二卷多选题，衔接升学需求|

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 分层作业 2.5.2 圆与圆的位置关系 目录 A组巩固过关 知识点01判断圆与圆的位置关系 知识，点02求两圆的交点坐标 知识，点03由圆与圆的位置关系求参数的范围 知识，点04由圆与圆的位置关系求圆的方程（重点） 知识，点05：求两圆的公共弦方程（重点） 知识点06求两圆的公共弦长（重点) 知识点07两圆的公切线条数（重点） 知识点08求圆的公切线方程 知识点09求圆的公切线长度 知识点10圆系方程及其应用（难，点) B组能力进阶 C组思维拔高 拓展链接高考 A组 巩固过关 知识点01 判断圆与圆的位置关系 知识点速记： 位置关系的判断方法： 联立两圆方程，消元得一元二次方程，则方程组解的个数与两圆的位置关系如下： 方程组解的个数 2组 1组 0组 1/16 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 两圆的公共点个数 2个 1个 0个 两圆的位置关系 相交 外切或内切 外离或内含 (2)几何法：若两圆的半径分别为，乃，两圆圆心的距离为d,则两圆的位置关系如下： 位置关系 外离 外切 相交 内切 内含 图示 d与5,2的关 系 d>方+2 d=1+2 5-5<d<r+5 d=h-2 d<h-5 题型巩固练： 1.(25-26高二下·上海黄浦期中)圆C:x2+y2=4与圆C,:2+y2-2x+4y=0的位置关系为() A.内含 B.外切 C.相交 D.内切 2.(25-26高二下上海闵行期中)圆C:（-2)+(y+3}=8与圆C,:(x-3)+(y+2=2的位置关系 是() A.外离 B.外切 C.相交 D.内切 3.(25-26高二上安徽安庆期末)已知圆E:x2+y-4x-6y+9=0,圆F:x2+y2-8x-10y+37=0, 则这两圆的位置关系为() A.内含 B.内切 C.相交 D.外切 4.(25-26高二上广东湛江期末)圆Cx2+y+2x-6y-26=0与C2x2+y-4x+2y+4=0的位置关系 是() A.内切 B.相交 C.外切 D.内含 知识点02 求两圆的交点坐标 知识点速记： 求两圆的交点坐标：①两圆方程相减得到一条直线方程；②把公共弦方程代入其中一个圆，解出 x,y。 题型巩固练： 2/16 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 5.(25-26高二上全国期中)圆x2+y2-10x-10y=0和圆x2+y2-6x+2y-40=0的交点坐标是() A.(10,-2)和(0,4) B.(10,0)和(-2,4) c.(0,-2)和(10,4) D.(4,-2)和(0,10) 6.(25-26高二上安徽合肥期末)设圆2+y2-2x-3=0与圆x2+y2+2x-4y-4=0的交点为4、B,则 线段AB的垂直平分线的方程是() A.x+y-1=0 B.2x-y+1=0 C.x-2y+1=0 D.4x-4y-1=0 7.(25-26高二上江苏宿迁期末)在平面直角坐标系中，圆0：x+y=1与圆C:2+y-4x+1=0相交于 A,B两点，则四边形OACB的面积为() A. 3 2 B.5 C.1 知识点03 由两圆位置关系求参数（范围） 知识点速记： 由两圆的位置关系求参数（范围）核心将几何位置关系转化为圆心距d与两圆半径，乃之间的数 量关系，从而建立方程或不等式求解。 题型巩固练： 8.(2526高二下湖南长沙阶段检测)己知圆C:x+y+8x-6y+9=0,圆 C2:(x+1)+(y+1)=a2(a>0),若圆C与圆C,内切，则实数a的值为() A.1 B.2 c.9 D.10 9.(25-26高二下浙江开学考试)在平面直角坐标系中，圆C:x2+y=1与圆D:(cx-a)+y2=4有公共 点，则实数a的取值范围是() A.[-3,-U[,3) B.[-1,3] C.（-o0,-1)U(3,+o∞） D.[-3,刂 10.(25-26高二上陕西渭南期未)己知G:(x-1)+y2=4与圆C,:x2+(0y-m=9外切，则m的取值为 () A.2V6 B.+26 C.±3 D.3 3/16 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 11.(2026-陕西榆林三模)已知直线y=2x-1平分圆C:x2+y2-mx-2y+1=0的面积，圆C与圆C2: x2+y2+4x+y-3=0外切，则n=() A.-4 B.-2 C.6 D.7 12.(25-26高二上江苏常州期末)已知圆C:(x+2)+(y+3)=r2(>0)与圆C:(x-1)+(y-1)=1有且 只有一个公共点，则”的值为. 知识点04 由圆与圆的位置关系求圆的方程 知识点速记： 由两圆的位置关系求圆的方程核心在于利用圆心距与半径的数量关系来确定未知参数（如半径或圆 心坐标)，进而写出方程。 解题步骤为： ①确定位置关系判定式；②构建方程求解参数；③写出最终方程。 题型巩固练： 13.(23-24高二上河南南阳阶段检测)以(3，-4)为圆心，且与圆x2+y2=1相外切的圆C的方程为 () A.(x+3)2+(y+4)2=4 B.(x-3)+(y+4)2=16 c.(x-3)+(y-4)2=16 D.(x-3)+(y+4)}=4 14.(2024甘肃张掖一模)己知圆C:x2+y-2x=3,半径为3的圆C与圆C外切，则点C的轨迹方程 是() A.x2+y2+2x=4 B.x2+y2+2x=24 C.x2+y2-2x=24 D.x2+y2-2x=0 15.己知半径为1的动圆与圆(x-5+(0y+7)=16相切，则动圆圆心的轨迹方程是() A.(x-5)+(y-7)2=25 B.(x-5+(y-7)=17或(x-5)2+(y+7)2=15 C.(x-5)+(y-7)2=9 D.(x-5)+(y+7)}=25或(x-5}+y+7}=9 16.(23-24高二下·上海期末)与圆x2+y2-6x-8y+21=0外切且圆心在原点的圆的标准方程为 17.(23-24高二上河北邢台期中)已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，圆C与圆M:(x+2+y2=4外 切，写出一个圆C的标准方程： 4/16 画学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 18.经过点M(3,-),且与圆C:x2+y2+2x-6y+5=0相切于点N(1,2)的圆的方程为. 19.(23-24高二下·上海期中)己知圆C:2+y-4x-6y=0 (1)求直线y=2x被圆截得弦长： (2)已知圆M过点(4,0)且与圆C:x2+y2-4x-6y=0相切于原点，求圆M的方程. 知识点05 求两圆的公共弦方程 知识点速记： 圆C:x2+y2+D,x+Ey+F=0与圆C2:x2+y2+Dx+E2y+F2=0相交，将两圆方程相减 得到公共弦方程(D-D2x+(E,-E2少+F-F=0。 题型巩固练： 20.(25-26高二下广东东莞期末)若圆C:x2+y2=1与圆E:x2+y-6x-6y+7=0交于M,N两点， 则直线MN的倾斜角为() 3元 3π A.4 B.4 C. D.-4 21.(25-26高二下陕西咸阳期末)己知圆C:x2+y=4与圆C,:x2+y2+6x+4y+4=0的交点为P, ,则直线P的方程为() A.3x+2y+4=0B.3x+2y-4=0 C.3x+2y+2=0D.3x+2y-2=0 22.(25-26高二上湖南岳阳期末)已知圆C:x2+y+4x-6y-3=0与圆C,:x+y-2x+2y-2=0相交， 则公共弦所在直线方程为() A.6x-8y-1=0B.3x+4y-1=0 C.6x-8y-5=0D.3x+4y-5=0 知识点06 求两圆的公共弦长 知识点速记： 求两圆公共弦长的方法： ①通过两圆方程作差得到公共弦所在直线方程； ②利用点到直线距离公式求出圆心到公共弦的距离： ③结合垂径定理与勾股定理计算出公共弦长 5/16 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型巩固练： 23.(2026河南洛阳模拟预测) 圆x2+y2=20与圆x+y2-6x-8y+20=0的公共弦长为() A.2 B.4V5 C.2W5 D.4 24.(24-25高二上陕西咸阳期末)己知圆C:x2+y2-4=0与圆C2:x2+y2-4x+4y-12=0交于M、N 两点，则MN=() A.2√2 B.√ c.2v5 D.5 25.(25-26高二上山西朔州期末)圆x+y-2y-4=0与圆x2+y+2x-12=0的公共弦的长为 26.(24-25高二上重庆阶段检测)已知：圆C:x+y=1与圆C2:x2+y2-6x-8y+m=0 (1)当m=8时，判断两圆是否相交.并说明理由，如果相交，求公共弦所在直线的方程， (2)当两圆外切时， ①求m的值： ②某直线I分别与圆C和圆C相切于相异的AB两点，求AB, 知识点07 两圆的公切线条数 知识点速记： 两圆的公切线条数： 若两圆相离，则有4条公切线： 若两圆外切，则有3条公切线： 若两圆相交，则有2条公切线： 若两圆内切，则有1条公切线： 若两圆内含，则有0条公切线： 题型巩固练： 27.(25-26高二下安徽马鞍山期中)若圆C:x2+(y+2)=4与圆D:(x+4)+(y-1)2=9的公切线条数为 () A.1 B.2 C.3 D.4 28. (25-26高二上安徽六安期末)圆0：2+y-6y+8=0与圆0：x2+y2-8x+7=0的公切线条数为 () A.4 B.3 C.2 D.1 6/16 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 29.(25-26高二上江苏苏州期末)在平面直角坐标系x0y中，圆0：x2+y2=4与圆C: x2+y2+2x+6y+8=0的公切线条数为() A.1 B.2 C.3 D.4 30. (2026河北模拟预测)己知圆G:x-2+0-)2=1与圆C,(x-a)'+(0y-2)}=4有3条公切线，则实 数a的值为() A.0或4 B.1或3 C.2W2或-22D.2+2W2或2-22 31.(25-26高二上新疆和田期末)已知圆C,:x+y-4x+2y+1=0与圆C2:x2+y2+2a+2y+a2=0有 四条公切线，则实数a的取值范围是() A.(L,+o) B.(-00,-5) C.（-0,-5)U(1,+0）D.（-3,-1) 知识点08 两圆的公切线方程 知识点速记： 求两圆的公切线方程的方法： (I)确定两圆的位置关系： (2)①若两圆相离或外切或相交，可设公切线方程，利用圆心到直线的距离等于半径求得参数，得到 切线方程（注意斜率不存在的情况）： ②若两圆内切，两圆方程相减即得切线方程。 题型巩固练： 32.(24-25高二上广西南宁期中)已知圆C:x-1+y=1,圆C2:(x-4+y2=16,则两圆公切线的 方程为 33.(24-25高二上山东潍坊阶段检测)已知圆C:r2+2-2ar+2ay+2a2-25=0(a>0)与圆0：x2+y2=4有 且仅有一条公切线，则该公切线方程为 34.(2024河北张家口三模)圆C:(-1)2+y=1与圆C,:(x-5+0y-3)2=36的公切线的方程为 35.(24-25高二上广东阶段检测)己知圆G:x2+y2=1,圆C2(x-2)+y=1,则C,C2的公切线方程 为」 (写出一条即可) 36.(24-25高二上江苏苏州期中)圆0：x2+y2=1与圆C关于直线x+y-2=0对称，写出两圆的一条公 切线： 7/16 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 知识点09 两圆的公切线长度 知识点速记： 两圆的公切线分为外公切线和内公切线： 外公切线长：L=Vd2-(R-r}: 内公切线长：L=Vd2-(R+r},其中d为两圆的圆心距，R,r为两圆半径，且R>r。 题型巩固练： 37.(24-25高二上湖南阶段检测)圆C:(x+1+(y+2=1与圆C:(x-2)+(y-2)=4的内公切线 长为() A.3 B.5 C.V26 D.4 38.(24-25高二上广西百色期末)已知圆0：x2+y2-2x=0和圆0：2+y+2x-4y+1=0,则（) A.圆O与圆O相切 B.两圆公共弦所在直线的方程为x-y+1=0 C.两圆的公切线段长为3 D.有且仅有一个点P,使得过点P能作两条与两圆都相切的直线 39.(25-26高二下广东期未)已知圆C:(c+1)+y2=1和圆C2:(x-2+y2=m(m>0),直线 I:x+2W2y+n=0与C,C均相切，切点分别为M,N,则MN=() A.3 B.2√2 C.4 D.23 40. (2024河南模拟预测)己知圆G:x+y+4x-4y-1=0,圆C2:+y-2x-6y+9=0,直线1分别 与圆C和圆C,切于M,N两点，则线段MN的长度为 知识点10 圆系方程及其应用 知识点速记： 圆系方程分为： (①)过两圆交点的圆系：若圆C:x2+y2+D,x+Ey+E=0与圆 C:x2+y2+Dx+E2y+E=0相交，过它们交点的所有圆（除C2外）可表示为 x2+y2+Dx+Ey+F+x2+y2+Dx+E2y+F2)=0: 8/16 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2)过直线与圆交点的圆系：若直线A+By+C=0与圆C2:x2+y2+Dx+Ey+F=0相交，过 它们交点的圆系方程为x2+y2+D,x+Ey+E+(Ax+By+C)=0: 题型巩固练： 41.(22-23高二上：黑龙江齐齐哈尔期中)圆心在直线x-y-4=0上，且经过圆x2+y2-4x-6=0与圆 x2+y2-4y-6=0的交点的圆的方程为 42.(25-26高二上江苏南通阶段检测)经过点(2，-2)以及圆x2+y2-6x=0与圆x2+y2=4交点的圆的圆 心坐标为() A.（-3,0) B C.(0,3) 43.(2016高二辽宁·学业考试)过圆C:x2+y2-4x+2y=0和圆C2:x2+y-2y-4=0的交点，且圆心 在直线：2x+4y=1上的圆的方程是 44.(陕西省西安高新第一中学2025-2026学年高二上学期第一次月考数学试卷)经过两圆 (x+3)'+y2=13和x2+(y+3=37的交点，且圆心在直线x-y-4=0上的圆的方程 45.求过两圆C:x2+y2-2x-4y+2=0,C2:x2+y+3x-2y+1=0的交点，且过坐标原点的圆的方程. 46.若圆A:x2+y2+Dx+Ey+F=0与圆B:x+y+Dx+Ey+F=0相交，我们把经过圆A和圆B交点 的圆称为圆A、圆B的圆系方程，其方程可设为 x2+y2+D,x+Ey+F+(x2+y2+D,x+E,y+F)=0(1≠-1).根据以上信息，解决如下问题：已知圆 C,:x2+y2+2x-3=0与C2:x2+y2-4x-5=0交于M,N两点，则以MN为直径的圆的一般方程为 47.(24-25高二上·辽宁葫芦岛阶段检测)圆C经过点(0,1)，且经过两圆Cx+y-4x-3=0和圆 C2:x2+y2-4y-3=0的交点，则圆C的方程为 48.经过圆x+y+8x-6y+21=0与直线x-y+5=0的交点，且在y轴上的弦长为2√33的圆的方程是 B组 能力进阶 1.(2526高二下内蒙古期末)己知4(2,0)，若圆(c-1)+0-V5)2=r2(>0)上存在点P,使得 9/16 面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 PA=1,则r的取值范围为() A.[l,+o) B.(0,3] c.(0,小[3，+o)D.[,3] 2.(25-26高二上广东深圳阶段检测)已知两圆G:x2+y2-2ax+4y+a2-5=0和 C2:x2+y2+2x-2ay+a2-3=0有2条公切线，则a的取值范围为（) A.（-o,-2)U(-1,+∞) B.（-0,-5)U(2,+0) c.（-5,-2)(-1,2) D.(（-5,2) 3.(2026陕西西安·模拟预测)若圆C:(x+)+0y-1)=4与C:(x-2}+0+3)=25交于M,N两点，则四 边形MCNC2的面积为() A.4V6 B.8V6 c.26 D.6 4.(25-26高二下湖北襄阳期中)已知m,n∈R,若两圆x2+y2-4mx+4m2-1=0和 x2+y2-2y-4+n2=0外切，则2m+n的最大值为() A号 B.2 C.22 D.32 5.(25-26高二上广西玉林期末)己知点4(0，-15)，若圆x-a)2+(0y-a-1)=4上存在点P,使得 1PA仁4|PO|(O为坐标原点)，则实数a的取值范围为() A.,3] B.(-∞，1]U[3,+o) c.[2,32] D.-32,-V2]U[2,32] 6.(多选)(25-26高二上湖北武汉阶段检测)已知圆0：x2+y+2x-3=0与圆0，：2+y2-2y-1=0, 则() A.点(1，-)在圆O2内 B.两圆相交，公共弦的方程为x+y-1=0 C.圆O与圆O有三条公切线 D.圆O平分圆02的周长 7.(多选)(25-26高二下福建厦门期中)记圆M:(x-1)2+y2=a2,圆N:(x-2}2+0y-1)2=4a2, 则() A.MN=2 B.若坐标原点在圆M上，则点(0，)在圆N上 C.若圆M与圆N内切，则a=2 10/16 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D.当a=1时，圆M与圆N的相交弦方程为2x+2y-1=0 8.(多选)(25-26高二下山西期末)已知点P在圆C:x+y=4上，点9在圆 C2:x2+y2-6x+8y+9=0上，则() A.两圆只有一个公共点 B.圆C2与x轴相切 C.PO的取值范围为3，] D.△PCC2面积的最大值为5 9.(多选)(25-26高二下河南周口期未)己知圆0：x+y=1,则下列说法正确的有() 34 A.圆0在点-55处的切线方程为3x-4y+5=0 B.直线y=x-1与圆O相切 C.直线x=2截圆0所得的弦长为2 D.圆C:(x-3+(0y-4=8与圆0外离 10.(多选)(25-26高二上贵州遵义期末)（多选）已知圆0：x+y=4与圆 C:x2+y2-2x+4y+4=0相交于A,B两点，直线I:x-2y+5=0,点P为直线l上一动点，过P作圆0的 切线PM,PN,(M,N为切点)，则说法正确的是() 4V5 A,直线4B的方程为x-2y+4=0 B.线段4AB的长为 48 C.直线MN过定点5'5 D.PM的最小值是2 11.(25-26高二上陕西咸阳期末)若圆(x+3)}2+y2=1与圆x2+y2-8y+16-m=0相切，则实数m的一 个取值为 12.(25-26高二上广东深圳期中)已知P是直线：x-y+3=0上一动点，过点P作圆C:x2+y2-2x=0 的两条切线，切点分别为A、B,则四边形PACB面积的最小值为： 13.(25-26高二上江苏南通阶段检测)两圆C:x+y+4x+1=0及C2:x+y+2x+2y+1=0的公共弦 所在直线方程为 一，以该公共弦为直径的圆的标准方程为 14.(25-26高二下广东深圳期末)己知圆0：2+y2=4与圆M:(x-2}+(y-2=r2(r>0)相交于4，B 两点，且MAMB=0,则r= 15.(25-26高二上江苏期末)已知过原点0的直线与圆C:+(y-4=6交于A,B两点，弦AB的中 11/16 面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 点为P,则点P的轨迹与圆C的公共弦长为 16.(25-26高二下河南开封开学考试)己知圆C:x2+y2-4x-6y+9=0. (1)过点P(3,5)作圆C的切线L,求1的方程： (2)若圆C,:x2+y+2x-4y-4=0与圆C1相交于A、B两点，求公共弦AB所在直线的方程及公共弦A8的 长， 17.(25-26高二上河南平顶山期末)已知圆C:x+y+4+3=0与圆C3:x+y++by-11=0的公共 弦所在的直线I为4x+y+7=0 (1)求a,b的值： (2)若I与C1交于A,B两点，求四边形ACBC2的面积. 18.(25-26高二上四川资阳期末)已知圆C经过点A(2,2),半径小于5，圆心在直线x+y-1=0上，直 线1：3x-4y+5=0与C相切：圆C与圆C关于直线y=x对称. (1)求圆C的方程： (2)求圆C与圆C的公切线的条数，并求公切线段的长度. 19.(25-26高二上江苏准安期中)在平面直角坐标系x0y中，己知点P(-1,),圆 C:x2+y2+2x-6y+9=0, (1)若a=2, ①直线I过点P且被圆C截得弦的弦长为5，求直线I的方程； ②设圆N与x轴相切，与圆C外切于点P,求圆N的方程： (2)斜率为1的直线m过点P,若直线m上存在点M,以M为圆心且半径为1的圆与圆C有公共点，求实 数a的取值范围. C组 思维拔高 1.【知识融合】（多选）(25-26高二下辽宁·开学考试)已知集合 A={《x,y2+y2=r2},B={（xy(x-a}+(0-b=r},且AnB={《,),(s,y},则下列选项正确 的是() A.0<a2+b2<2r2 B.a(x-2)+b(y-y2)=0 12/16 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 C.a2+b2 2ax +2by D.x2+yy2=ax,+by,-r2 2.【含参问题】（多选）(2025高二上安徽竞赛)己知k为正整数，⊙M的方程为 x2+y2-46-2+42=0,则下列结论正确的有() A.对任意正整数k,直线y=2x平分⊙M,的面积 4 B.对任意正整数k,直线y=3x与⊙M相切 C.存在正整数k,使得直线y=2x与OM相交 D.对任意正整数k,⊙M与⊙M1相交 3.【数学运算】(25-26高二下湖南期末)己知圆C:(x-3)+(0y+3}=18,C2:(x-4)}+(y-4)}=32, 圆C与圆C,相交于点M(:,),N(:,),x<x,过点M的直线1与圆C,圆C,分别交于P,O两点， 则错误的结论是() A.x=乃=0 B.直线MW的方程是x+7y=0 C.四边形MC,NC2的面积是48 D.Pg的最大值是10W2 4.【数学抽象】(25-26高二下河南平顶山期末)己知圆0：x2+y2=9与圆C:(x-3+y2=9,若以 直线x+y=m上任意一点P为圆心，以点P到圆O的切线长为半径作圆，该圆始终与圆C有公共点，则实 数m的最小值为() 9 9 A.32 B.2 C.4 D.6 5.【动点问题】（多选）(25-26高二上江苏无锡期末)己知直线1：x-V2y+4=0,圆 C:x2+y2-4x+1=0,点P为直线l上的动点，点Q为圆C上的动点，过点P作圆C的两条切线，切点分别 为M,N,则下列说法正确的是() 5√3 A.若p为(4,0)，则直线P0斜率的取值范围为 6’6 B.△PCW面积的最小值为3V5 C.存在点P,使得∠MPN=60° D.若点P与点C到某直线m的距离分别为1和V5，,当P运动时，这样的直线m有4条 6.【逻辑推理】（多选）(25-26高二上重庆长寿期末)己知圆C:x+y=4与圆 13/16 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 C2:x2+y2+2x-a=0相交于A,B两个不同的点，则下列说法正确的是() A.实数a的取值范围为[0,8] B.当a=2时，两圆的公共弦长AB=2W5 C.当a=4时，SaG,4B=2 D.若SG=2SGB,则a=6 7.【逻辑推理】(25-26高二上北京昌平期末)在平面直角坐标系x0少中，给定一个圆系 I:(x-k+(0-k2)=2k2,其中k∈Z,k≠0.给出下列四个结论： ①圆T2与圆2的公共弦长为4： ②该圆系中所有圆的圆心都在某条抛物线上： ③对于任意的meN,圆Tm与圆Tm+都外切： ④存在直线与所有圆都相切. 其中所有正确结论的序号是 8.【数学建模】(25-26高二上吉林阶段检测)已知圆C经过点(0,2)，且与圆x2+y2+6x+8=0相切于 点(-2,0). (1)求圆C的方程： (2)过(，0)的直线1与圆C交于A,B两点，点M的坐标为(4,0). (i)证明：∠CMA=∠CMB: (i)求△MAB外接圆圆心Q的横坐标. 9.【新定义问题】(25-26高二上江苏无锡期中)定义：M是圆C上一动点，N是圆C外一点，记MN川 的最大值为m,|MN的最小值为儿，若m=3,则称N为圆C的“伴随点”：若G同时是圆E和圆F的 “件随点，则称G为丽“E-F”的“共生点”，已知圆4-+0--子，P为酒4的“什随 点”， (1)求点P所在曲线的方程： (2)已知圆B:(x+2}+(y-2)=3,P,Q均为圆“A-B”的“共生点”. (i)求直线PQ的方程： (i)若圆H是以线段PQ为直径的圆，过点I,0)且斜率不为0的直线I与圆H交于J、K两点，是否存在 x轴上的定点W(,O),使得WJ小WK|为定值？若存在，求出所有这样的W点坐标；若不存在，请说明理 由. 14/16 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 拓展 链接高考 1.(多选)(2026全国二卷高考真题)已知⊙0：x2+y2=1,⊙A:x2+y2-6x-8y+k=0,则() A.点A的坐标为(-3，-4) B.当k=9时，⊙A与x轴相切 C.当k=-11时，⊙0与⊙A相切 D.当⊙0与OA相交时，两个交点所在直线的方程为6r+8y-k-2=0 2.(2022上海高考真题)在平面直角坐标系中，已知关于点集Q={(x,yx-+(0y-=4,k∈Z 的两个结论： ①存在直线L,使得集合2中不存在点在直线1上，而存在点在1的两侧： ②存在直线1，使得集合2中存在无数个点在直线上 则下列判断正确的是() A.①成立，②成立 B.①成立，②不成立 C.①不成立，②成立 D.①不成立，②不成立 3.(2004湖北高考真题)圆C:x2+y+2x+2y-2=0与圆C2:x2+y-4x-2y+1=0的公切线有且仅 有() A.1条 B.2条 C.3条 D.4条 4.(2011全国卷高考真题)设两圆C、C2都和两坐标轴相切，且都过点(4,1)，则两圆心的距离 CC= A.4 B.4V2 C.8 D.82 5.(2016山东高考真题)已知圆M:x+y-2ay=0(a>0)截直线x+y=0所得线段的长度是2√2，则 圆M与圆N:(x-)+(y-)=1的位置关系是 A.内切 B.相交 C.外切 D.相离 6.(2014湖南高考真题)若圆C1:x2+y2=1与圆C,:x2+少2-6x-8y+m=0外切，则m= A.21 B.19 C.9 D.-11 7.(2013重庆高考真题)己知圆C:C-2)+0y-3=1和圆C2:(x-32+0y-4)=9,M,N分别是圆 15/16 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 C,C2上的动点，P为x轴上的动点，则PM+PN的最小值为() A.52-4 B.√17-1 c.6-22 D.17 8.(2022新高考全国I卷高考真题)写出与圆x2+y2=1和(x-3)》+0-4)=16都相切的一条直线的方 程 9.(2009四川高考真题)若⊙0：x2+y2=5与⊙0：(x-m)2+y2=20(m∈R)相交于A、B两点，且两圆 在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长度是 10.(2007-山东高考真题)与直线x+y-2=0和曲线x2+y-12x-12y+54=0都相切的半径最小的圆的 标准方程是 11.(2001全国高考真题)己知两个圆：①x2+y2=1,②x2+(y-3)=1,则由①式减去②式可得两圆 的对称轴的方程，将上述命题在曲线仍为圆的情况下加以推广，即要求得到一个更一般的命题，且已知命 题应成为所推广命题的一个特例，则推广命题为 12.(2014湖北高考真题)已知圆0：x2+y2=1和点A(-2,0),若定点B(b,0)b≠-2)和常数1满足： 对圆0上那个任意一点M,都有MB=MA,则： (1)b= (2)2= 13.(2012江苏高考真题)在平面直角坐标系x0少中，圆C的方程为x+y-8x+15=0,若直线y=a-2 上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值为 16/16 分层作业 2.5.2 圆与圆的位置关系 参考答案 判断圆与圆的位置关系知识点01 1．C； 2．D； 3．C； 4．A； 求两圆的交点坐标知识点02 5．B； 6．A； 7．B； 由两圆位置关系求参数（范围）知识点03 8．C； 9．A； 10．B； 11．C； 12．4或6； 由圆与圆的位置关系求圆的方程知识点04 13． B； 14．C； 15．D； 16.； 17．（答案不唯一，只要方程满足即可）； 18. 19.【答案】(1)；(2) 【详解】（1）由可得，圆心为，半径为， 圆心到直线的距离为， 所以直线被圆截得弦长为. （2）设， 则，解得，； 因为圆与圆相切于原点，且圆过点， 所以，， 两边平方整理可得，平方可求， 代入可得，所以圆的方程为. 求两圆的公共弦方程知识点05 20. B； 21．A； 22．A； 求两圆的公共弦长知识点06 23．D； 24．A； 25．； 26.【答案】(1)两圆相交，理由见解析；；(2)①，②4. 【详解】（1）由圆与圆， 可知两圆圆心分别为，半径，则， 当时，，则，， 所以，故两圆相交． 两圆方程相减得，即两圆公共弦所在直线的方程为． （2）①若两圆外切，则，即，解得． ②因为，所以. 两圆的公切线条数知识点07 27.C； 28．A； 29．B； 30．D； 31．C； 两圆的公切线方程知识点08 32. ； 33．； 34．； 35．，，； 36．答案不唯一； 两圆的公切线长度知识点09 37.D； 38．D； 39．B； 40．； 圆系方程及其应用知识点10 41. （或）； 42．B； 43．； 44． ； 45．； 46.； 47．； 48．或； 复数和向量中的隐圆知识点09 41.D； 42．C； 43．B； 44．； 1．D； 2．C； 3．A； 4．D； 5．D； 6．BD ； 7.BD ； 8.BD； 9． AD； 10．BC； 11.或 12．； 13． , ； 14．2； 15．； 16．【答案】(1)或；(2)， 【详解】（1），， ， ，， 在圆的外部， 当切线不存在斜率时，切线方程为， 此时圆心到直线的距离为， 则直线不是圆的切线； 当切线存在斜率时，设切线方程为， 即， 圆心到直线的距离为， 解得或， 当时，切线方程为，即； 当时，切线方程为，即； 综上可得，切线的方程为或. （2）①， ②， ①②这两个等式相减，得到，即， 则公共弦所在直线的方程为； 圆心到直线的距离为， 则 即公共弦的长为. 17．【答案】(1)，；(2) 【详解】（1）圆与圆, 两圆方程作差可得，即， 因为圆与圆的公共弦所在的直线为， 所以，解得，所以，. 经检验当，时，两圆相交，符合题意. （2）圆即，所以圆心为，半径， 则到直线的距离，所以； 由（1）可得圆，即， 所以圆心为，半径， 所以到直线的距离， 所以. 18．【答案】(1)；(2)条， 【详解】（1）设圆的圆心为，由题意可列方程：，解得或（舍）. 所以圆的圆心为，半径.圆的圆心关于直线对称点为. 因此，圆的方程为： （2）圆心距，因为，所以两圆相交，有2条公切线. 对于半径相等的两圆，外公切线段长度公式为：，代入得， 故有2条公切线，且公切线段长度为. 19．【答案】(1)①或；② (2) 【分析】（1）①先对的斜率进行分类讨论，再结合勾股定理与点到直线的距离公式建立方程，求解参数，最后得到直线方程，②作出符合题意的图形，利用圆与圆的位置关系得到三点共线，进而确定，再代入求解参数，最后得到圆的方程即可. （2）结合题意转化为点到直线距离问题，进而建立不等式，求解参数范围即可. 【详解】（1）对于①：当时，， 将圆化为标准方程，可得， 可得，，由题意得过点， 当的斜率不存在时，的方程为，令，解得或， 则弦长为2，与题意不符，故排除， 当的斜率存在时，设的方程为，即， 设圆心到直线的距离为，且弦长为， 则由勾股定理得， 由点到直线的距离公式得， 得到，解得或， 则直线的方程为或. 对于②：如图，作出符合题意的图形，设， 因为圆与轴相切，所以， 因为圆与圆外切于点，所以三点共线， 可得，即，圆的方程为， 将代入，可得，解得， 则圆的方程为. （2）因为斜率为的直线过点， 所以直线的方程为，即， 因为圆与圆有公共点，所以， 设点到直线的距离为， 因为在直线上存在点，所以， 由，则，解得， 则实数的取值范围为. 1． BCD； 2．ABD； 3. C ； 4.B； 5.CD； 6．BC； 7.①②③ 8. 【答案】(1)；(2)（i）证明见解析；（ii）. 【分析】（1）设圆C的标准方程，根据题意列出方程，求解即可； （2）易知点在圆C内，所以直线与圆相交.（i）分直线的斜率存在与否两种情形分析，根据直线与直线的斜率互为相反数，可得两直线关于轴对称，即；（ii）求出线段的垂直平分线与线段的垂直平分线的交点的横坐标，即可求得外接圆圆心为的横坐标. 【详解】（1）设圆的半径为，圆心为则圆的方程为. 由题可得，解得. 所以圆的方程为:. （2）（i）由（1）知，. 记，因为，所以点N在圆C内. 当直线的斜率不存在时，直线方程为， 两点的坐标分别为，关于轴对称，所以； 当直线的斜率存在时，设直线方程为，代入圆的方程，得， 化简得. 设，则. 设直线的斜率为，直线的斜率为. 由，得. 因为，所以. 所以直线与直线关于轴对称，所以； 综上，. （ii）当直线的斜率为零时，三点共线，不能构成三角形，所以直线与直线的斜率均不为零. 由（i）知，当直线的斜率不存在时，两点的坐标分别为. 线段的中点为，直线的斜率为，所以线段的垂直平分线的斜率为. 所以线段的垂直平分线为. 线段的垂直平分线与线段的垂直平分线（轴）的交点为， 即外接圆圆心坐标为，其横坐标为. 当直线的斜率存在时，线段的中点为， 直线的斜率，所以线段的垂直平分线的斜率为. 线段的垂直平分线为. 线段的中点为， 直线的斜率，所以线段的垂直平分线的斜率为. 线段的垂直平分线为. 由，得. 整理得，， 即， 所以. 因为，且. 所以. 即线段的垂直平分线与线段的垂直平分线的交点的横坐标为， 即外接圆圆心的横坐标为. 综上，外接圆圆心的横坐标为.    9.【详解】（1）易知圆的圆心为，半径为, 因为点为圆的“伴随点”，所以， 可得， 因此点的轨迹是以为圆心，为半径的圆， 故点所在曲线的方程为. （2）（i）易知圆的圆心为，半径为， 因为点为圆的“伴随点”，所以， 可得， 因此点的轨迹是以为圆心，为半径的圆， 所以点所在曲线的方程为； 可得点为圆与圆的交点； 因为P，Q均为圆“”的“共生点”， 所以直线的方程即为圆与圆的公共弦所在直线， 两圆方程相减可得， 因此直线的方程为. （ii）存在点为或或时，取定值，理由如下： 易知直线与圆和圆的交点为； 因此线段的中点为，且，因此圆H的方程为； 依题意直线的斜率存在，设其方程为，,如下图： 联立，整理可得， 易知,； 此时 , 令，解得或或 易知时,取定值为4，时,取定值为12， 当时,取定值为3； 综上可知，存在x轴上的定点，使得为定值， 当点的坐标为时，取定值为4； 当点的坐标为时，取定值为12； 当点的坐标为时，取定值为3； 1． BC； 2．B； 3.B； 4.C； 5．B； 6.C； 7.A； 8．或或； 9.4； 10．； 11.； 12.,5 13. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 2.5.2 圆与圆的位置关系 目 录 A组 巩固过关 知识点01 判断圆与圆的位置关系 知识点02 求两圆的交点坐标 知识点03 由圆与圆的位置关系求参数的范围 知识点04 由圆与圆的位置关系求圆的方程（重点） 知识点05 求两圆的公共弦方程（重点） 知识点06 求两圆的公共弦长（重点） 知识点07 两圆的公切线条数（重点） 知识点08 求圆的公切线方程 知识点09 求圆的公切线长度 知识点10 圆系方程及其应用（难点） B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接高考 判断圆与圆的位置关系知识点01 知识点速记： 位置关系的判断方法： （1）代数法： 联立两圆方程，消元得一元二次方程，则方程组解的个数与两圆的位置关系如下： 方程组解的个数 2组 1组 0组 两圆的公共点个数 2个 1个 0个 两圆的位置关系 相交 外切或内切 外离或内含 （2）几何法：若两圆的半径分别为，，两圆圆心的距离为，则两圆的位置关系如下： 位置关系 外离 外切 相交 内切 内含 图示 与，的关系 题型巩固练： 1．（25-26高二下·上海黄浦·期中）圆：与圆：的位置关系为（   ） A．内含 B．外切 C．相交 D．内切 【答案】C 【详解】圆的圆心为，半径， 圆，圆心，半径， 圆心距，所以， 所以两圆相交. 2．（25-26高二下·上海闵行·期中）圆：与圆：的位置关系是（   ） A．外离 B．外切 C．相交 D．内切 【答案】D 【详解】圆的圆心，半径， 圆的圆心，半径， 而， 所以圆与圆内切. 3．（25-26高二上·安徽安庆·期末）已知圆：，圆：，则这两圆的位置关系为（   ） A．内含 B．内切 C．相交 D．外切 【答案】C 【详解】化简，则其圆心，半径， 化简，则其圆心，半径， 则，而， 则，故两圆相交. 4．（25-26高二上·广东湛江·期末）圆与的位置关系是（    ） A．内切 B．相交 C．外切 D．内含 【答案】A 【详解】由，得， 所以圆的圆心，半径， 由，得， 所以圆的圆心，半径， 所以， 所以两圆内切， 故选：A 求两圆的交点坐标知识点02 知识点速记： 求两圆的交点坐标：①两圆方程相减得到一条直线方程；②把公共弦方程代入其中一个圆，解出。 题型巩固练： 5．（25-26高二上·全国·期中）圆和圆的交点坐标是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】B 【详解】圆和圆, 两圆方程相减可得公共弦方程为， 联立方程，解得或， 可得两圆的交点坐标为和， 故选：B． 6．（25-26高二上·安徽合肥·期末）设圆与圆的交点为，则线段的垂直平分线的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】圆的圆心为，圆的圆心为，两圆的相交弦的垂直平分线即为直线， 所以直线方程为，即， 故选：A. 7．（25-26高二上·江苏宿迁·期末）在平面直角坐标系中，圆与圆相交于A，B两点，则四边形OACB的面积为（   ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【详解】联立可得或， 故, 又, 故四边形OACB的面积为, 故选：B    由两圆位置关系求参数（范围）知识点03 知识点速记： 由两圆的位置关系求参数（范围）核心将几何位置关系转化为圆心距与两圆半径之间的数量关系，从而建立方程或不等式求解。 题型巩固练： 8．（25-26高二下·湖南长沙·阶段检测）已知圆，圆，若圆与圆内切，则实数a的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由题知： 圆方程可化为：，所以圆心为，半径， 由圆的方程可知，圆心为，半径， 所以圆心距. 因为圆与圆内切，所以圆心距，即，所以或，而，因此. 9．（25-26高二下·浙江·开学考试）在平面直角坐标系中，圆与圆有公共点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】依题意，两圆有公共点，则， 即，解得． 10．（25-26高二上·陕西渭南·期末）已知与圆外切，则的取值为（   ） A． B． C． D．3 【答案】B 【详解】由题意可知，，半径；，半径， 因为两圆外切，所以，得. 故选：B 11．（2026·陕西榆林·三模）已知直线平分圆：的面积，圆与圆：外切，则（   ） A． B． C．6 D．7 【答案】C 【详解】由题意知，圆的圆心在直线上，则，解得， 所以圆的标准方程为，圆心为，半径为1. 又圆的标准方程为，圆心为，半径为， 因为圆与外切，所以，解得. 12．（25-26高二上·江苏常州·期末）已知圆与圆有且只有一个公共点，则的值为___________． 【答案】4或6 【详解】由题意得圆的圆心坐标为，半径为； 圆的圆心坐标为，半径为1， 则， 因为两圆有且仅有一个公共点，所以两圆的位置关系为外切或内切， 即或，则解得或6. 由圆与圆的位置关系求圆的方程知识点04 知识点速记： 由两圆的位置关系求圆的方程核心在于利用圆心距与半径的数量关系来确定未知参数（如半径或圆心坐标），进而写出方程。 解题步骤为： ①确定位置关系判定式；②构建方程求解参数；③写出最终方程。 题型巩固练： 13．（23-24高二上·河南南阳·阶段检测）以为圆心，且与圆相外切的圆C的方程为（    ） A． B． C．=16 D． 【答案】B 【详解】由题意可知，两圆的圆心距为5，设圆的半径为， 因为两圆相外切，则，得， 所以圆的方程为. 故选：B 14．（2024·甘肃张掖·一模）已知圆，半径为3的圆与圆外切，则点的轨迹方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】圆的标准方程为，所以圆的圆心为，半径． 因为圆与圆外切，且半径为3，所以点与点的距离． 设，则，化简得， 故选:C. 15．已知半径为1的动圆与圆相切，则动圆圆心的轨迹方程是（   ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【详解】由，圆心为，半径为4， 设动圆圆心为，若动圆与已知圆外切，则， 即； 若动圆与已知圆内切，则， 即. 综上所述，动圆圆心的轨迹方程是或. 故选：D. 16．（23-24高二下·上海·期末）与圆外切且圆心在原点的圆的标准方程为________. 【答案】 【详解】因为，即， 可知圆心，半径， 则， 由题意可得圆的半径， 所以圆的标准方程为. 故答案为：. 17．（23-24高二上·河北邢台·期中）已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，圆C与圆外切，写出一个圆C的标准方程：______． 【答案】（答案不唯一，只要方程满足即可） 【详解】由题意， 在中，圆心，半径， 因为圆C的圆心在x轴的正半轴上，且圆C与圆M：外切， 设半径为，则圆心 所以圆C的方程为． ∴一个圆C的标准方程： 故答案为：. 18．经过点，且与圆相切于点的圆的方程为______． 【答案】 【详解】设所求圆方程为， 圆即的圆心为，半径为， 由题意得，所以，解得， 所以 所以所求圆的方程为． 19．（23-24高二下·上海·期中）已知圆． (1)求直线被圆截得弦长； (2)已知圆过点且与圆相切于原点，求圆的方程． 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）由可得，圆心为，半径为， 圆心到直线的距离为， 所以直线被圆截得弦长为. （2）设， 则，解得，； 因为圆与圆相切于原点，且圆过点， 所以，， 两边平方整理可得，平方可求， 代入可得，所以圆的方程为. 求两圆的公共弦方程知识点05 知识点速记： 圆与圆相交，将两圆方程相减得到公共弦方程。 题型巩固练： 20．（25-26高二下·广东东莞·期末）若圆与圆交于，两点，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】已知圆，即 ① ， 圆 ② ， ①②消去二次项得： ，化简得直线的方程为 ， 因此直线斜率，又 ，由，可得. 21．（25-26高二下·陕西咸阳·期末）已知圆：与圆：的交点为，，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】已知：，：， 则直线的直线方程为：， 整理得：. 22．（25-26高二上·湖南岳阳·期末）已知圆与圆相交，则公共弦所在直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】两圆方程相减得公共弦所在直线方程： ; 两式相减可得公共弦方程：. 即. 求两圆的公共弦长知识点06 知识点速记： 求两圆公共弦长的方法： ①通过两圆方程作差得到公共弦所在直线方程； ②利用点到直线距离公式求出圆心到公共弦的距离； ③结合垂径定理与勾股定理计算出公共弦长. 题型巩固练： 23．（2026·河南洛阳·模拟预测）圆与圆的公共弦长为（    ） A．2 B． C． D．4 【答案】D 【详解】已知两圆方程：圆，圆心，半径，圆 ， 将两圆方程相减消去二次项，得到公共弦方程， 化简得：. 根据点到直线的距离公式，圆心到公共弦的距离：， 根据垂径定理，公共弦长. 【点睛】本题考查两圆公共弦长的计算，核心方法是两圆方程作差得公共弦方程，结合垂径定理求解弦长，是圆中弦长问题的常规解法. 24．（24-25高二上·陕西咸阳·期末）已知圆与圆交于、两点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】圆，即的圆心，半径； 圆，即的圆心，半径， 而，，则两圆相交，其公共弦所在方程为， 点到的距离， 所以. 故选：A 25．（25-26高二上·山西朔州·期末）圆与圆的公共弦的长为__________. 【答案】 【详解】两圆为① ，② ， ②-①可得，即两圆的公共弦所在直线的方程为. 圆的圆心为点，半径为， 圆心到公共弦的距离为公共弦的长为. 26．（24-25高二上·重庆·阶段检测）已知：圆与圆． (1)当时，判断两圆是否相交．并说明理由．如果相交，求公共弦所在直线的方程． (2)当两圆外切时， ①求的值； ②某直线分别与圆和圆相切于相异的两点，求． 【答案】(1)两圆相交，理由见解析；；(2)①，②4. 【详解】（1）由圆与圆， 可知两圆圆心分别为，半径，则， 当时，，则，， 所以，故两圆相交． 两圆方程相减得，即两圆公共弦所在直线的方程为． （2）①若两圆外切，则，即，解得． ②因为，所以. 两圆的公切线条数知识点07 知识点速记： 两圆的公切线条数： 若两圆相离，则有4条公切线； 若两圆外切，则有3条公切线； 若两圆相交，则有2条公切线； 若两圆内切，则有1条公切线； 若两圆内含，则有0条公切线； 题型巩固练： 27．（25-26高二下·安徽马鞍山·期中）若圆与圆的公切线条数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】圆的圆心，半径， 圆的圆心，半径， 而，因此圆与圆外切， 所以圆与圆的公切线条数为3. 28．（25-26高二上·安徽六安·期末）圆与圆的公切线条数为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【详解】圆，圆， 则，半径为；，半径为， 则， 则两圆相离，故公切线条数为. 故选：A 29．（25-26高二上·江苏苏州·期末）在平面直角坐标系中，圆：与圆：的公切线条数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】圆心，半径， ，故圆心，半径． 圆心距， 所以两圆相交，有两条公切线． 故选：B． 30．（2026·河北·模拟预测）已知圆与圆有3条公切线，则实数的值为（   ） A．0或4 B．1或3 C．或 D．或 【答案】D 【详解】圆的圆心，半径，圆的圆心，半径， 圆与圆恰有3条公切线，圆和圆外切， ，即，解得或. 故选：D. 31．（25-26高二上·新疆和田·期末）已知圆与圆有四条公切线，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由圆，即，得圆心，半径. 再由圆，即，得圆心，半径. 又因为两个圆有四条公切线，所以两个圆相离，所以， 即，解得或，所以实数的取值范围. 故选：C 两圆的公切线方程知识点08 知识点速记： 求两圆的公切线方程的方法： ⑴确定两圆的位置关系； ⑵①若两圆相离或外切或相交，可设公切线方程，利用圆心到直线的距离等于半径求得参数，得到切线方程（注意斜率不存在的情况）； ②若两圆内切，两圆方程相减即得切线方程。 题型巩固练： 32．（24-25高二上·广西南宁·期中）已知圆，圆，则两圆公切线的方程为______. 【答案】 【详解】由，圆心为，半径为， 由，圆心为，半径为， 显然，即两圆内切，且切点为， 所以两圆公切线的方程为. 33．（24-25高二上·山东潍坊·阶段检测）已知圆与圆有且仅有一条公切线，则该公切线方程为______. 【答案】 【详解】因为圆：，则，半径为， 由可得圆心为原点，半径为， 因为圆与圆有且只有一条公切线，所以两圆内切. 所以，又，所以. 所以圆：即. 所以两圆方程相减可得圆与圆的公切线为：即. 故答案为： 34．（2024·河北张家口·三模）圆与圆的公切线的方程为__________． 【答案】 【详解】圆的圆心为，半径为1，圆的圆心为，半径为6， 因为，所以两圆内切，只有一条公切线， 将圆化为一般式得： ，， 两式相减得，即， 所以圆的公切线的方程为. 故答案为： 35．（24-25高二上·广东·阶段检测）已知圆，圆，则的公切线方程为______．（写出一条即可） 【详解】因为，的半径均为1，则外切，结合图像可知，的公切线方程为，，． 故答案为：，， 36．（24-25高二上·江苏苏州·期中）圆与圆C关于直线对称，写出两圆的一条公切线：__________. 【答案】答案不唯一 【详解】设关于直线对称点的坐标为， 则，解得， 圆C的方程是，其圆心坐标为，半径为1， 两圆的圆心距， 所以两圆外离，且， 设与OC平行的公切线方程为，即， 则由O到直线的距离，可得，解得， 所以两圆的一条公切线为或， 另外，根据对称性可知，，也为两圆的公切线. 两圆的公切线长度知识点09 知识点速记： 两圆的公切线分为外公切线和内公切线： 外公切线长：； 内公切线长：，其中为两圆的圆心距，为两圆半径，且。 题型巩固练： 37．（24-25高二上·湖南·阶段检测）圆：与圆：的内公切线长为（   ） A．3 B．5 C． D．4 【答案】D 【详解】如图： 由图可知圆与圆的内公切线有一条为轴， 则公切线的长为， 方法二：， 所以内公切线的长为： 故选：D 38．（24-25高二上·广西百色·期末）已知圆和圆，则（    ） A．圆与圆相切 B．两圆公共弦所在直线的方程为 C．两圆的公切线段长为3 D．有且仅有一个点P，使得过点P能作两条与两圆都相切的直线 【答案】D 【详解】解：由题可得圆的圆心为，半径， 圆的圆心为，半径 对于A，显然，圆与圆相交，故A错误; 对于B，易知两圆相交，将方程与相减， 得公共弦所在直线的方程为，故B错误; 对于C，因为，， 所以公切线段长为，故C错误; 对于D，因为两圆相交，所以两圆的公切线只有两条， 又因为两圆半径不相等，所以公切线交于一点P， 即过点P可以作出两条与两圆都相切的直线，故D正确; 故选：D. 39．（25-26高二下·广东·期末）已知圆和圆，直线与，均相切，切点分别为，，则（    ） A．3 B． C．4 D． 【答案】B 【详解】由圆与相切，则圆心到直线l的距离，则或， 若，由圆与相切，则圆心到直线l的距离，不合题意； 若，由圆与相切，则， 由于圆心距（分别为两圆半径），此时两个圆外切， 如图，过点作，则,，    于是. 40．（2024·河南·模拟预测）已知圆，圆，直线分别与圆和圆切于两点，则线段的长度为__________． 【答案】 【详解】圆，圆心，半径， 圆，圆心，半径， 圆心距，由，    所以两圆相交，则. 圆系方程及其应用知识点10 知识点速记： 圆系方程分为： ⑴过两圆交点的圆系：若圆与圆 相交，过它们交点的所有圆（除外）可表示为； ⑵过直线与圆交点的圆系：若直线与圆相交，过它们交点的圆系方程为； 题型巩固练： 41．（22-23高二上·黑龙江齐齐哈尔·期中）圆心在直线上，且经过圆与圆的交点的圆的方程为________. 【答案】（或） 【详解】法一：由， 解得或者， 所以圆与圆的交点分别为， 则线段AB的垂直平分线的方程为. 由，解得， 所以所求圆的圆心坐标为，半径为， 所以所求圆的方程为. 法二：同法一求得， 设所求圆的方程为， 由，解得， 所以所求圆的方程为. 法三：设所求圆的方程为，其中， 化简可得，圆心坐标为. 又圆心在直线上， 所以，解得， 所以所求圆的方程为. 故答案为：（或） 42．（25-26高二上·江苏南通·阶段检测）经过点以及圆与圆交点的圆的圆心坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设经过两圆与交点的圆的方程为， 因为该圆经过点， 所以，解得， 所以，故圆心坐标为 故选：B. 43．（2016高二·辽宁·学业考试）过圆和圆的交点，且圆心在直线上的圆的方程是______________. 【答案】 【详解】因为所求的圆过已知两圆的交点，故可表示为：，（*） 即（*），可得其圆心坐标为. 因为圆心在直线上，代入可得，解得. 代入（*），可得， 整理得即为所求圆的方程. 44．（陕西省西安高新第一中学2025-2026学年高二上学期第一次月考数学试卷）经过两圆和的交点，且圆心在直线上的圆的方程__________. 【答案】 【详解】因为所求的圆经过两圆和的交点， 所以设所求的圆的方程为， 即， 配方得，所以其圆心为， 又圆心在直线上，代入得， 解得，故所求圆的方程为. 45．求过两圆，的交点，且过坐标原点的圆的方程． 【答案】 【详解】设过圆两交点的圆方程为， 因为圆过原点，所以，得， 所以． 所以圆的方程为． 46．若圆与圆相交，我们把经过圆和圆交点的圆称为圆、圆的圆系方程，其方程可设为．根据以上信息，解决如下问题：已知圆与交于两点，则以为直径的圆的一般方程为______． 【答案】 【详解】由题意可设经过点的圆的方程为， 整理得，则圆心为． 圆①，圆②， 由①-②得，，即直线的方程为． 因为为直径，圆心在直线上，所以，解得， 故以为直径的圆的方程为． 47．（24-25高二上·辽宁葫芦岛·阶段检测）圆经过点，且经过两圆和圆的交点，则圆的方程为____________． 【答案】 【详解】设圆的方程为：， 整理得到：， 因为圆过，代入该点得到：即， 故圆的方程为：即， 故答案为：. 48．经过圆与直线的交点，且在轴上的弦长为的圆的方程是______． 【答案】或 【详解】方法一： 设所求圆的方程为，该圆与轴的交点坐标分别为，． 在圆方程中，令得，则，，则． 联立，解得或则点，在所求圆上， 所以解得或 故所求圆的方程为或． 方法二： 设所求圆的方程为， 且与轴交点的纵坐标为， 令得，化简得， 所以，， 由两边平方得，所以， 化简得，解得或． 检验知两个值都符合题意， 所以所求圆的方程为， 或， 即或． 1．（25-26高二下·内蒙古·期末）已知，若圆上存在点，使得，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】圆的圆心，半径为， 依题意，以点为圆心，1为半径的圆与圆有公共点，则， 而，因此，解得， 所以的取值范围为. 2．（25-26高二上·广东深圳·阶段检测）已知两圆和有2条公切线，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对，可化为，圆心，半径 对，可化为，圆心，半径 圆心距的平方 因为两圆有2条公切线，所以得，平方得 左不等式： ，解得或 右不等式： ，解得 综上 3．（2026·陕西西安·模拟预测）若圆与交于两点，则四边形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】如图所示，连接交于点，则， 联立，则直线方程为， ，，， 则. 4．（25-26高二下·湖北襄阳·期中）已知，若两圆和外切，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意得圆， 整理得，则圆心为，半径为1， 圆，整理得， 则圆心为，半径为2，由题意得两圆外切，即圆心距等于半径和， 所以，解得，     令，则，代入， 得，展开得， 因为，所以，解得. 所以的最大值为，故D正确. 5．（25-26高二上·广西玉林·期末）已知点，若圆上存在点，使得（为坐标原点），则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设点，由点及，得， 整理得，因此点的轨迹是以为圆心，4为半径的圆， 而圆的圆心为，半径为2，又点在此圆上， 即两圆有公共点，则，即， 所以实数的取值范围为. 故选：D    6．（多选）（25-26高二上·湖北武汉·阶段检测）已知圆与圆，则（    ） A．点在圆内 B．两圆相交，公共弦的方程为 C．圆与圆有三条公切线 D．圆平分圆的周长 【答案】BD 【详解】圆， 则圆的圆心坐标为，半径为. 圆， 则圆的圆心坐标为，半径为. A：因为， 所以点在圆外，因此本选项说法不正确； B：, 因为， 所以两圆相交， ， 所以本选项说法正确； C：由上可知两圆相交，故公切线有两条，所以本选项说法不正确； D：因为， 所以圆心在圆上， 又因为， 所以圆心在公共弦所在直线上， 因此圆平分圆的周长，所以本选项说法正确， 故选：BD 7．（多选）（25-26高二下·福建厦门·期中）记圆：，圆：，则（   ） A． B．若坐标原点在圆上，则点在圆上 C．若圆与圆内切，则 D．当时，圆与圆的相交弦方程为 【答案】BD 【详解】对A：易知，，所以，故A错误； 对B：因为坐标原点在圆上，所以，所以圆：，由，所以点在圆上，故B正确； 对C：若圆与圆内切，则，故C错误； 对D：当时，圆：，圆：，两圆相交， 所以圆与圆的相交弦方程为， 化简得，故D正确. 8．（多选）（25-26高二下·山西·期末）已知点在圆上，点在圆上，则（    ） A．两圆只有一个公共点 B．圆与轴相切 C．的取值范围为 D．面积的最大值为5 【答案】BD 【详解】由题知圆的圆心，半径， 圆可化为16，故圆的圆心，半径， 则，所以两圆相交，故A错误； 因为圆心到x轴的距离，所以圆与x轴相切，故B正确； 由圆的性质可得，且， 所以的取值范围为，故C错误； 由圆的性质可知点到直线的距离最大值为， 所以面积的最大值为，故D正确； 9．（多选）（25-26高二下·河南周口·期末）已知圆O：，则下列说法正确的有（     ） A．圆在点处的切线方程为 B．直线与圆相切 C．直线截圆所得的弦长为 D．圆C：与圆外离 【答案】AD 【详解】对于A，易得在圆O上，且在A点处切线与垂直.，则切线斜率为，切线方程为：，故A正确； 对于B，圆心到直线的距离为，该距离小于圆O半径1，故直线与圆O相交，故B错误； 对于C，直线到圆心距离为，则直线截圆O所得的弦长为：，故C错误； 对于D，两圆圆心距为，两圆半径和为，从而两圆外离，故D正确. 10．（多选）（25-26高二上·贵州遵义·期末）（多选）已知圆：与圆相交于，两点，直线，点为直线上一动点，过作圆的切线，，（，为切点），则说法正确的是（    ） A．直线的方程为 B．线段的长为 C．直线过定点 D．的最小值是 【答案】BC 【分析】利用两圆方程相减即可得到公共弦所在直线方程来判断选项A；联立两圆方程，求出公共点坐标，即可求出线段的长，判断选项B；设，，可得直线方程和直线的方程，用点坐标表示出直线的方程，即可求出定点坐标判断选项C；当最小时，最小，利用点到直线距离公式和勾股定理求解即可判断选项D. 【详解】对于A选项，联立两式相减，得到即为直线的方程， 故A错误； 对于B选项，联立，可得联立或， 则，故B正确； 对于C选项，设，，因为，为圆的切点， 所以直线的方程为， 直线的方程为，设，则， 所以直线的方程为， 又因为，所以， 由，得到， 即直线过定点，故C正确； 对于D选项，因为，所以当最小时，最小， 且的最小值为，此时，故D错误. 11．（25-26高二上·陕西咸阳·期末）若圆与圆相切，则实数的一个取值为__________. 【答案】或 【详解】圆的圆心为，半径； 圆，即，圆心为，半径； 又点与点的距离， 因为两圆相切， 若两圆相外切，则，即，解得； 若两圆相内切，则，即，解得； 综上可得或. 12．（25-26高二上·广东深圳·期中）已知是直线上一动点，过点作圆的两条切线，切点分别为、，则四边形面积的最小值为_____________. 【答案】 【详解】将圆的方程化为标准方程得，圆心，半径， 连接，如下图所示： 由圆的切线的几何性质可知，， 又因为，，所以， 所以， 故当取最小值时，四边形的面积取最小值， 而为直线上一点与圆心之间的距离， 所以的最小值为点到直线的距离，为， 所以四边形面积的最小值为. 13．（25-26高二上·江苏南通·阶段检测）两圆及的公共弦所在直线方程为____________，以该公共弦为直径的圆的标准方程为___________________________. 【答案】 【详解】根据题意，圆及圆， 则联立方程组，消去二次项，变形可得：， 即两圆的公共弦所在的直线方程为； 联立方程组， 解得交点坐标为， 所以公共弦的中点为， 以公共弦为直径的圆的半径， 所以以公共弦为直径的圆的标准方程为. 14．（25-26高二下·广东深圳·期末）已知圆与圆相交于两点，且，则___________． 【答案】2 【详解】由圆，得圆心为，半径， 由圆，得圆心为，半径为， 所以两圆的圆心距， 两圆方程相减，得公共弦的方程：， 化简得，则到直线的距离为， 要使两圆相交，需使,解得， ，可得，因，则， 由，解得，满足， 因此的值为. 15．（25-26高二上·江苏·期末）已知过原点O的直线与圆C：交于A，B两点，弦的中点为P，则点P的轨迹与圆C的公共弦长为______. 【答案】 【详解】圆的方程为，圆心，半径， 设弦的中点，则，， 则，即. 联立两圆，解得：， 故所求弦长为：. 故答案为： 16．（25-26高二下·河南开封·开学考试）已知圆. (1)过点作圆的切线，求的方程； (2)若圆与圆相交于、两点，求公共弦所在直线的方程及公共弦的长. 【答案】(1)或；(2)， 【详解】（1），， ， ，， 在圆的外部， 当切线不存在斜率时，切线方程为， 此时圆心到直线的距离为， 则直线不是圆的切线； 当切线存在斜率时，设切线方程为， 即， 圆心到直线的距离为， 解得或， 当时，切线方程为，即； 当时，切线方程为，即； 综上可得，切线的方程为或. （2）①， ②， ①②这两个等式相减，得到，即， 则公共弦所在直线的方程为； 圆心到直线的距离为， 则 即公共弦的长为. 17．（25-26高二上·河南平顶山·期末）已知圆与圆的公共弦所在的直线为． (1)求，的值； (2)若与交于，两点，求四边形的面积． 【答案】(1)，；(2) 【详解】（1）圆与圆, 两圆方程作差可得，即， 因为圆与圆的公共弦所在的直线为， 所以，解得，所以，. 经检验当，时，两圆相交，符合题意. （2）圆即，所以圆心为，半径， 则到直线的距离，所以； 由（1）可得圆，即， 所以圆心为，半径， 所以到直线的距离， 所以. 18．（25-26高二上·四川资阳·期末）已知圆经过点，半径小于5，圆心在直线上，直线与相切；圆与圆关于直线对称． (1)求圆的方程； (2)求圆与圆的公切线的条数，并求公切线段的长度． 【答案】(1)；(2)条， 【详解】（1）设圆的圆心为，由题意可列方程：，解得或（舍）. 所以圆的圆心为，半径.圆的圆心关于直线对称点为. 因此，圆的方程为： （2）圆心距，因为，所以两圆相交，有2条公切线. 对于半径相等的两圆，外公切线段长度公式为：，代入得， 故有2条公切线，且公切线段长度为. 19．（25-26高二上·江苏淮安·期中）在平面直角坐标系中，已知点，圆． (1)若． ①直线过点且被圆截得弦的弦长为，求直线的方程； ②设圆与轴相切，与圆外切于点，求圆的方程； (2)斜率为的直线过点，若直线上存在点，以为圆心且半径为1的圆与圆有公共点，求实数的取值范围． 【答案】(1)①或；② (2) 【分析】（1）①先对的斜率进行分类讨论，再结合勾股定理与点到直线的距离公式建立方程，求解参数，最后得到直线方程，②作出符合题意的图形，利用圆与圆的位置关系得到三点共线，进而确定，再代入求解参数，最后得到圆的方程即可. （2）结合题意转化为点到直线距离问题，进而建立不等式，求解参数范围即可. 【详解】（1）对于①：当时，， 将圆化为标准方程，可得， 可得，，由题意得过点， 当的斜率不存在时，的方程为，令，解得或， 则弦长为2，与题意不符，故排除， 当的斜率存在时，设的方程为，即， 设圆心到直线的距离为，且弦长为， 则由勾股定理得， 由点到直线的距离公式得， 得到，解得或， 则直线的方程为或. 对于②：如图，作出符合题意的图形，设， 因为圆与轴相切，所以， 因为圆与圆外切于点，所以三点共线， 可得，即，圆的方程为， 将代入，可得，解得， 则圆的方程为. （2）因为斜率为的直线过点， 所以直线的方程为，即， 因为圆与圆有公共点，所以， 设点到直线的距离为， 因为在直线上存在点，所以， 由，则，解得， 则实数的取值范围为. 1．【知识融合】（多选）（25-26高二下·辽宁·开学考试）已知集合，且，则下列选项正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【详解】圆的圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径为， 作图如下，设． 对于A项，两圆相交，有，即，A项错误； 对于B项，，， ，B项正确； 对于C项，将两个圆的方程作差，可得所在直线的方程为， 根据点在该直线上，可得，C项正确； 对于D项，线段与线段互相平分，于是， 则两式相加得， 由C项及圆的方程得，即，D项正确． 2．【含参问题】（多选）（2025高二上·安徽·竞赛）已知为正整数，的方程为，则下列结论正确的有（    ） A．对任意正整数，直线平分的面积 B．对任意正整数，直线与相切 C．存在正整数，使得直线与相交 D．对任意正整数与相交 【答案】ABD 【详解】对于A，将的方程化简得，所以圆心坐标为. 可知直线经过的圆心，所以对任意正整数，直线平分的面积，A正确； 将的方程化简得， 可知圆心到直线的距离为，与轴相切， 故直线关于直线的对称直线也与相切，所以B正确； 结合B选项可知圆心到直线的距离，所以直线与相离，所以C错误； 将的方程化简得，其圆心坐标为，半径为. 的方程为，化简为，其圆心坐标为，半径为. 所以与的圆心距始终为，而对任意正整数与的半径之和， 对任意正整数有，半径之差，所以对任意正整数与相交，D正确. 3．【数学运算】（25-26高二下·湖南·期末）已知圆，，圆与圆相交于点，，，过点M的直线l与圆，圆分别交于P，Q两点，则错误的结论是（     ） A． B．直线的方程是 C．四边形的面积是48 D．的最大值是 【答案】C 【分析】对于A，B选项，联立，化简即可求解，对于C，分别求出，，由四边形的面积等于即可求解；对于D，分斜率存在和不存在两种情况讨论，当斜率存在时，利用圆的弦长公式化简可得，结合向量数量积不等式即可求出最大值. 【详解】对于A：若，代入，即点点在圆上， 联立，化简得：， 所以直线的方程是，故B正确； 联立，解得：，或， 由于，所以，，所以A正确； 圆心距， 公共弦长， 由于，所以四边形的面积是，故C错误； 当直线斜率不存在时，，，此时， 当直线斜率存在时，设方程为， 所以点到直线的距离为，此时， 点到直线的距离为，此时 所以， 当时，， 设，， 所以由，可得：， 所以，当且仅当，即时取等号，此时 的最大值是， 当时，， 设，， 所以由，可得：， 所以，当且仅当，即时取等号，此时 的最大值是， 当时，， 设，， 所以由，可得：， 所以，当且仅当，即时取等号，不满足，此时， 综上的最大值是，故D正确. 4．【数学抽象】（25-26高二下·河南平顶山·期末）已知圆：与圆C：，若以直线上任意一点P为圆心，以点P到圆的切线长为半径作圆，该圆始终与圆C有公共点，则实数m的最小值为（   ） A． B． C． D．6 【答案】B 【分析】先设直线上点，由切线长公式写出以为圆心的圆半径平方；两圆有公共点等价于，化简发现恒成立，只需保证对任意成立，整理得到含根号的不等式，分与讨论，平方后转化为开口向上的二次函数在恒非负，由判别式求得，即最小值为． 【详解】设，记， 点P到圆O的切线长为，则， 圆C的半径为3，所作圆与圆C有公共点等价于， 因为， 所以. 又，所以，所以恒成立， 由，得，整理得， 即①对任意实数成立， 当时，①式成立； 当时，①式两边平方，得， 即，也即②， 若，则②式成立，且圆心到直线的距离为，满足题意； 若，取，此时，②式不成立， 综上所述，实数的最小值为． 5．【动点问题】（多选）（25-26高二上·江苏无锡·期末）已知直线，圆，点为直线上的动点，点为圆上的动点，过点作圆的两条切线，切点分别为，，则下列说法正确的是（    ） A．若为，则直线斜率的取值范围为 B．面积的最小值为 C．存在点，使得 D．若点与点到某直线的距离分别为1和，当运动时，这样的直线有4条 【答案】CD 【分析】借助点到直线距离公式计算可得A；借助切线性质及切线长定理计算可得B；由切线长定理可得，则可借助、的关系得到最小值，即可得范围，即可得C；利用圆与圆的位置关系与公切线条数的关系计算可得D. 【详解】由可得，故、； 对A：由为，则与圆相切或相交， 故有，解得，故A错误； 对B：，， 则， 故面积的最小值为，故B错误； 对C：由切线长定理可得，又, 故， 又，故，当且仅当， 即时，等号成立，故存在点，使得，故C正确； 对D：由，故直线与圆相切， 则直线为圆与以为圆心，半径为的圆的公切线， 由，故以为圆心，半径为的圆与圆外离， 故两圆恒有条公切线，即这样的直线有4条，故D正确. 故选：CD. 6．【逻辑推理】（多选）（25-26高二上·重庆长寿·期末）已知圆与圆相交于A，B两个不同的点，则下列说法正确的是（　　） A．实数的取值范围为 B．当时，两圆的公共弦长 C．当时， D．若，则 【答案】BC 【分析】根据圆与圆的位置关系可判断A；根据公共弦方程以及弦长公式可判断B；根据公共弦方程，弦长公式以及面积公式可判断C；根据公共弦方程以及两三角形有公共底边得出可判断D. 【详解】圆，圆心，半径， 圆，配方得， 圆心，半径， 两圆相交，圆心距离，满足， 即， 解不等式，故A错误； 当时，圆，两圆方程相减得公共弦方程为， 圆心到直线的距离， 所以公共弦长，故B正确； 当时，圆圆心，半径， 两圆方程相减得公共弦方程为, 圆心到直线的距离， 所以公共弦长， ，故C正确； 两圆方程相减得公共弦方程为， 圆心到直线的距离， 圆心到直线的距离， 因为且两三角形有公共底， 所以，即，解得或，故D错误. 故选：BC 7．【逻辑推理】（25-26高二上·北京昌平·期末）在平面直角坐标系中，给定一个圆系，其中．给出下列四个结论： ①圆与圆的公共弦长为4； ②该圆系中所有圆的圆心都在某条抛物线上； ③对于任意的，圆与圆都外切； ④存在直线与所有圆都相切． 其中所有正确结论的序号是__________． 【答案】①②③ 【分析】两圆方程相减求出公共弦的直线方程，然后由弦长公式计算可判断①；由圆心横纵坐标的关系可判断②；利用圆心之间的距离和半径关系可判断③；求出和的公切线，然后验证圆心到切线距离等于半径是否恒成立可判断④. 【详解】圆的圆心，半径为. 对①，圆的方程为，即， 圆的方程为，即， 两圆方程相减得公共弦所在直线的方程为， 圆心到直线的距离为2，半径， 所以公共弦长为，正确； 对②，圆心的坐标都满足抛物线方程，正确； 对③，圆的圆心为，半径， 圆的圆心为，半径， 因为，所以， ， 所以，两圆外切，正确； 对④，由①知，圆和相交，且圆心纵坐标和半径都相等， 所以圆和有两条公切线，分别为和， 所以若存在直线与所有圆都相切，则直线只能是或， 对于圆，圆心到直线的距离为， 若圆与直线相切，则，显然不恒成立； 圆心到直线的距离为， 若圆与直线相切，则，显然不恒成立. 综上，不存在直线与所有圆都相切，错误. 8．【数学建模】（25-26高二上·吉林·阶段检测）已知圆经过点，且与圆相切于点． (1)求圆的方程； (2)过的直线与圆交于两点，点的坐标为． （i）证明：； （ii）求外接圆圆心的横坐标． 【答案】(1)；(2)（i）证明见解析；（ii）. 【分析】（1）设圆C的标准方程，根据题意列出方程，求解即可； （2）易知点在圆C内，所以直线与圆相交.（i）分直线的斜率存在与否两种情形分析，根据直线与直线的斜率互为相反数，可得两直线关于轴对称，即；（ii）求出线段的垂直平分线与线段的垂直平分线的交点的横坐标，即可求得外接圆圆心为的横坐标. 【详解】（1）设圆的半径为，圆心为则圆的方程为. 由题可得，解得. 所以圆的方程为:. （2）（i）由（1）知，. 记，因为，所以点N在圆C内. 当直线的斜率不存在时，直线方程为， 两点的坐标分别为，关于轴对称，所以； 当直线的斜率存在时，设直线方程为，代入圆的方程，得， 化简得. 设，则. 设直线的斜率为，直线的斜率为. 由，得. 因为，所以. 所以直线与直线关于轴对称，所以； 综上，. （ii）当直线的斜率为零时，三点共线，不能构成三角形，所以直线与直线的斜率均不为零. 由（i）知，当直线的斜率不存在时，两点的坐标分别为. 线段的中点为，直线的斜率为，所以线段的垂直平分线的斜率为. 所以线段的垂直平分线为. 线段的垂直平分线与线段的垂直平分线（轴）的交点为， 即外接圆圆心坐标为，其横坐标为. 当直线的斜率存在时，线段的中点为， 直线的斜率，所以线段的垂直平分线的斜率为. 线段的垂直平分线为. 线段的中点为， 直线的斜率，所以线段的垂直平分线的斜率为. 线段的垂直平分线为. 由，得. 整理得，， 即， 所以. 因为，且. 所以. 即线段的垂直平分线与线段的垂直平分线的交点的横坐标为， 即外接圆圆心的横坐标为. 综上，外接圆圆心的横坐标为.    9．【新定义问题】（25-26高二上·江苏无锡·期中）定义：M是圆C上一动点，N是圆C外一点，记的最大值为m，的最小值为n，若，则称N为圆C的“伴随点”；若G同时是圆E和圆F的“伴随点”，则称G为圆“”的“共生点”．已知圆，P为圆A的“伴随点”． (1)求点P所在曲线的方程； (2)已知圆，P，Q均为圆“”的“共生点”． （i）求直线的方程； （ii）若圆H是以线段为直径的圆，过点且斜率不为0的直线l与圆H交于J、K两点，是否存在x轴上的定点，使得为定值？若存在，求出所有这样的W点坐标；若不存在，请说明理由． 【详解】（1）易知圆的圆心为，半径为, 因为点为圆的“伴随点”，所以， 可得， 因此点的轨迹是以为圆心，为半径的圆， 故点所在曲线的方程为. （2）（i）易知圆的圆心为，半径为， 因为点为圆的“伴随点”，所以， 可得， 因此点的轨迹是以为圆心，为半径的圆， 所以点所在曲线的方程为； 可得点为圆与圆的交点； 因为P，Q均为圆“”的“共生点”， 所以直线的方程即为圆与圆的公共弦所在直线， 两圆方程相减可得， 因此直线的方程为. （ii）存在点为或或时，取定值，理由如下： 易知直线与圆和圆的交点为； 因此线段的中点为，且，因此圆H的方程为； 依题意直线的斜率存在，设其方程为，,如下图： 联立，整理可得， 易知,； 此时 , 令，解得或或 易知时,取定值为4，时,取定值为12， 当时,取定值为3； 综上可知，存在x轴上的定点，使得为定值， 当点的坐标为时，取定值为4； 当点的坐标为时，取定值为12； 当点的坐标为时，取定值为3； 1．（多选）（2026·全国二卷·高考真题）已知：，：，则（     ） A．点的坐标为 B．当时，与轴相切 C．当时，与相切 D．当与相交时，两个交点所在直线的方程为 【答案】BC 【详解】由：，化简可得， 所以，的圆心，半径，故A错误； 对于B，由，得的半径，所以圆心到轴的距离，即与轴相切，故B正确； 对于C，由，得的半径，由于的圆心为，半径，所以，则与内切，故C正确； 对于D，由，化简得：， 所以与两个交点所在直线的方程为，故D错误. 2．（2022·上海·高考真题）在平面直角坐标系中，已知关于点集的两个结论： ①存在直线l，使得集合中不存在点在直线l上，而存在点在l的两侧； ②存在直线l，使得集合中存在无数个点在直线上. 则下列判断正确的是（    ） A．①成立，②成立 B．①成立，②不成立 C．①不成立，②成立 D．①不成立，②不成立 【答案】B 【详解】对于①，取直线, 则对于任意的，有， 故圆均在直线的下方， 而对任意的，有， 故圆均在直线的上方， 而当时，表示原点，它在直线的下方， 故此时集合中所有的点均不在直线上，且存在点在直线的两侧. 所以①成立. 对于②，设直线的方程为，则圆心到直线的距离为 当时所以直线只能与有限个圆相交，所以②不成立. 故选：B 3．（2004·湖北·高考真题）圆：与圆：的公切线有且仅有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】B 【详解】解：圆，则圆心，半径， 圆，则圆心，半径， 得两圆的圆心距为：， 则， 得两圆相交，得两圆的公切线有且仅有2条． 故选：B 4．（2011·全国卷·高考真题）设两圆、都和两坐标轴相切，且都过点（4，1），则两圆心的距离= A．4 B． C．8 D． 【答案】C 【详解】试题分析：依题意设两圆方程分别为，分别将代入得，所以，圆心距. 考点：圆与圆的位置关系. 5．（2016·山东·高考真题）已知圆截直线所得线段的长度是，则圆与圆的位置关系是 A．内切 B．相交 C．外切 D．相离 【答案】B 【详解】化简圆到直线的距离 ， 又 两圆相交. 选B 6．（2014·湖南·高考真题）若圆与圆外切，则 A．21 B．19 C．9 D．-11 【答案】C 【详解】试题分析：因为,所以且圆的圆心为,半径为,根据圆与圆外切的判定(圆心距离等于半径和)可得 ,故选C. 7．（2013·重庆·高考真题）已知圆和圆，分别是圆上的动点，为轴上的动点，则的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】圆关于轴的对称圆的圆心坐标，半径为1，圆的圆心坐标为，半径为3， ∴若与关于x轴对称，则，即， 由图易知，当三点共线时取得最小值， ∴的最小值为圆与圆的圆心距减去两个圆的半径和， ∴. 故选：A. 8．（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）写出与圆和都相切的一条直线的方程________________． 【答案】或或 【详解】[方法一]： 显然直线的斜率不为0，不妨设直线方程为， 于是， 故①，于是或， 再结合①解得或或， 所以直线方程有三条，分别为，， 填一条即可 [方法二]： 设圆的圆心，半径为， 圆的圆心，半径， 则，因此两圆外切， 由图像可知，共有三条直线符合条件，显然符合题意； 又由方程和相减可得方程， 即为过两圆公共切点的切线方程， 又易知两圆圆心所在直线OC的方程为， 直线OC与直线的交点为， 设过该点的直线为，则，解得， 从而该切线的方程为填一条即可 [方法三]： 圆的圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径为， 两圆圆心距为，等于两圆半径之和，故两圆外切， 如图， 当切线为l时，因为，所以，设方程为 O到l的距离，解得，所以l的方程为， 当切线为m时，设直线方程为，其中，， 由题意，解得， 当切线为n时，易知切线方程为， 故答案为：或或. 9．（2009·四川·高考真题）若⊙与⊙相交于A、B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长度是_________． 【答案】4 【详解】依题意得OO1＝＝5，且△OO1A是直角三角形，S△OO1A＝··OO1＝·OA·AO1，因此AB＝＝4. 10．（2007·山东·高考真题）与直线和曲线都相切的半径最小的圆的标准方程是_________. 【答案】 【详解】曲线化为， 其圆心到直线的距离为 所求的最小圆的圆心在直线上，其到直线的距离为，圆心坐标为 标准方程为． 11．（2001·全国·高考真题）已知两个圆：①；②，则由①式减去②式可得两圆的对称轴的方程，将上述命题在曲线仍为圆的情况下加以推广，即要求得到一个更一般的命题，且已知命题应成为所推广命题的一个特例，则推广命题为__________. 【答案】已知两个圆：①；②，则由①式减去②式可得两圆的对称轴方程为. 【详解】两方程，对应相减，得， 整理得： 12．（2014·湖北·高考真题）已知圆 和点 ，若定点 和常数 满足：对圆 上那个任意一点M，都有 ，则: （1） ________； （2） _________. 【答案】 5 【详解】试题分析：设 ，因为 ， ， 所以 ， 整理得 ， 配方得 ， 因为对圆O上那个任意一点M，都有成立， 所以 ，解得 或 （舍去）， 13．（2012·江苏·高考真题）在平面直角坐标系中，圆的方程为，若直线上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆有公共点，则的最大值为__________． 【答案】 【详解】∵圆C的方程为x2+y2-8x+15=0，整理得：（x-4）2+y2=1，即圆C是以（4，0）为圆心，1为半径的圆；又直线y=kx-2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，∴只需圆C′：（x-4）2+y2=4与直线y=kx-2有公共点即可．设圆心C（4，0）到直线y=kx-2的距离为d，即3k2≤4k，∴0≤k≤，故可知参数k的最大值为. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $