专题04 数列的通项公式及求和八种热点题型（8大常考题型）（高效培优专项训练）数学苏教版2019高二选择性必修第一册

专题04 数列的通项公式及求和八种热点题型 题型一：累加、累乘法 题型二：待定系数法与构造法 题型三：同除法与取倒数法 题型四：利用an与Sn关系求通项 题型五：裂项相消法 题型六：分组求和与并项求和法 题型七：错位相减法 题型八：数列的公共项问题 题型一：累加、累乘法 1.已知数列中，，（，且），则通项公式（　　） A． B． C． D． 2.在数列中，，，则等于（　　） A． B． C． D． 3.在数列中，，（），则（　　） A． B． C． D． 4.（多选）已知数列满足，，的前项和为，则（　　） A． B． C． D． 5.已知数列满足，，则数列的通项公式是 6.若数列满足，（，），则的最小值是 . 7.已知数列满足，且，则 . 8.已知数列满足，则的最小值为 ． 题型二：待定系数法与构造法 9.若数列的首项，且满足，则数列的通项公式为（　　） A． B． C． D． 10.已知为数列的前n项和，若，则的通项公式为（　　） A． B． C． D． 11.知数列满足，，，则数列的通项公式为 ． 12.（多选）已知数列满足，，，则（　　） A．的个位数为 B．的个位数为 C．对任意实数，数列都不是等比数列 D．的前项和大于数列的前项 13.在数列中，已知，且，则该数列的通项公式为 . 14.已知：，时，，则的通项公式为 15.已知数列满足，，，则数列的通项公式为 ． 题型三：同除法与取倒数法 16.已知数列满足，且，则（　　） A． B． C． D． 17.已知数列的前项和为，则（　　） A． B．为等比数列 C． D． 18.数列满足，则数列的通项公式为 . 19.数列中，则 . 20.已知数列中，，若，则正整数的值为 . 21.已知数列满足，则的最小值为 . 22.已知数列中，，则=_____________． 题型四：利用an与Sn关系求通项 23.数列的前项和为，则（　　） A． B． C． D． 24.已知数列的前项和为，若，则的最大值为（　　） A． B． C． D．1 25.已知数列的前项和为，且满足，，则数列的通项公式为 ． 26.已知数列的前项和，且满足. (1)求的通项公式； (2)记数列的前项乘积为，求的最小值. 题型五：裂项相消法 27.设数列的前项和为 ，，，，则数列的前项和为 （　　） A． B． C． D． 28.数列满足，则数列的前9项和为（　　） A． B． C． D． 29.定义“等方差数列”：如果一个数列从第二项起，每一项的平方与它的前一项的平方的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等方差数列，这个常数叫做该数列的方公差．设数列是由正数组成的等方差数列，且方公差为2，，则数列的前项和（　　） A． B． C． D． 30.已知对任意正整数n都有，则 . 31.已知是等差数列，，数列的前项和为且满足. (1)求数列和的通项公式； (2)设，当取得最大值时，求的值. 32.设是等差数列，是等比数列，且，其中与的前n项和为和． (1)求与的通项公式； (2)若，求数列的前n项和； (3)当时，若对任意的恒成立，求实数的最大值． 33.已知正项数列的前项和为，且． (1)求数列的通项公式； (2)设，数列的前项和为，求证：； (3)若不等式对任意的都成立，求实数的取值范围． 题型六：分组求和与并项求和法 34.已知数列满足，前项和为 ，则等于（　　） A． B． C． D． 35.已知等差数列，，，则数列的前n项和为（　　） A． B． C． D． 36.已知数列满足，，是数列的前项和，对任意，有 (1)求数列的通项公式； (2)设，求的前100项的和. 37.已知等差数列的公差为，且，设为的前项和，数列满足. (1)若，，且，求； (2)若数列也是公差为的等差数列 ①求数列的通项公式； ②求数列的前项和. 38.已知等差数列的前n项和为，且满足， ，数列满足，， (1)证明:数列是等比数列，并求，的通项公式; (2)已知数列满足，求的前2n项和 39.已知数列中，． (1)计算的值； (2)令，求证：数列是等比数列； (3)求数列的通项公式和它的前n项和． 40.在数列中，已知，且当为奇数时，；当为偶数时，． (1)求的通项公式； (2)求的前项和． 41.已知递增的等差数列满足，，令，数列的前项和为. (1)求数列的通项公式及数列的前项和； (2)若对任意，恒成立，求实数的取值范围. (3)是否存在正整数，（），使得，，成等比数列？若存在，求出所有，的值. 题型七：错位相减法 42.数列满足，，数列的前n项和为（　　） A． B． C． D． 43.已知数列的通项公式为：，，则数列的前100项之和为（　　） A． B． C． D． 44.（多选）已知数列的前项和为，则（　　） A． B．为等比数列 C． D． 45.已知等差数列的公差，前项和为，若. (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，求数列的前项和. 46.已知正项数列的前项和为，满足. (1)求数列的通项公式； (2)设为数列的前项和.若对任意的恒成立，求k的取值范围. 47.已知是等差数列，其前项和为，是等比数列，已知，，，是和的等比中项. (1)求和的通项公式； (2)对任意的正整数，设求数列的前项和. (3)若对于恒成立，求实数的取值范围. 题型八：数列的公共项问题 48.已知，，数列和的公共项由小到大排列组成数列，则不正确的是（　　） A． B．为等比数列 C．数列的前项和 D．、、不是任一等差数列的三项 49.已知数列通项公式为，将数列的公共项从小到大排列得到数列，设数列的前项和为，则（　　） A． B． C． D． 50.已知数列的前n项积为，数列满足，（，）． (1)求数列，的通项公式； (2)将数列，中的公共项从小到大排列构成新数列，求数列的通项公式． 51.记为公比不为1的等比数列的前项和，，． (1)求的通项公式； (2)设，若由与的公共项从小到大组成数列，求数列的前项和． 52.知数列是等差数列，且，数列满足，，且. (1)求数列的通项公式； (2)将数列的所有公共项按从小到大的顺序组成一个新的数列，求数列的通项公式； (3)设数列的前项和为，证明：. 53.数列是等差数列，数列是等比数列，满足：，． (1)求数列和的通项公式； (2)数列和的公共项组成的数列记为，求的通项公式； (3)记数列的前项和为，证明： 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 数列的通项公式及求和八种热点题型 题型一：累加、累乘法 题型二：待定系数法与构造法 题型三：同除法与取倒数法 题型四：利用an与Sn关系求通项 题型五：裂项相消法 题型六：分组求和与并项求和法 题型七：错位相减法 题型八：数列的公共项问题 题型一：累加、累乘法 1.已知数列中，，（，且），则通项公式（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用累加法，结合等差数列前n项和公式求出通项公式. 【解析】当时，，即，而， 所以 ，满足上式， 所以所求通项公式为. 故选：C 2.在数列中，，，则等于（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由，可以采用累加法进行求解. 【解析】由，则 ， ， ， ， … ， 以上各式累加得． 所以． 因为也适合上式， 所以． 故选：B. 3.在数列中，，（），则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合递推关系，利用累乘法求数列的通项公式，再利用裂项相消法求结论. 【解析】因为（，）， 所以当，时，， 则，…，，， 以上个式子左右两边分别相乘得， 即，所以（，）， 又，所以， 所以. 故选：A. 4.（多选）已知数列满足，，的前项和为，则（　　） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】累乘法可计算出数列的通项公式，再使用错位相减法计算出即可得. 【解析】，则、、、， 累乘得：， 又，故，故B正确； 则，故A正确； ， 则， 有 ， 即，故D错误； ，故C正确. 故选：ABC. 5.已知数列满足，，则数列的通项公式是 【答案】 【分析】根据题意可得，再利用累乘法求解． 【解析】，，即， ， 满足上式，所以. 故答案为：． 6.若数列满足，（，），则的最小值是 . 【答案】6 【分析】利用累加法求得，计算，由对勾函数的性质求最小值，注意是正整数. 【解析】由已知，，…，，， 所以，， 又也满足上式，所以， 设，由对勾函数性质知在上单调递减，在递增， 因此在时递减，在时递增， 又，， 所以的最小值是6， 故答案为：6. 7.已知数列满足，且，则 . 【答案】 【分析】由题意结合累加法求出即可求解. 【解析】由题得 ， 当时，符合题意， 所以， 故答案为：. 8.已知数列满足，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】由题意可得数列是首项为，公比为的等比数列，由累乘法求出，结合指数函数和二次函数的性质求即可得出答案. 【解析】因为，所以， 所以，因此数列是首项为，公比为的等比数列， 所以， 当时，， 因为时，，所以， 因此当或时，取得最小值，为. 故答案为：. 题型二：待定系数法与构造法 9.若数列的首项，且满足，则数列的通项公式为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用构造法可得数列是以为首项，以为公比的等比数列，根据等比数列的通项公式可得结果. 【解析】∵， ∴，即， ∴数列是以为首项，以为公比的等比数列， ∴， ∴. 故选：A. 10.已知为数列的前n项和，若，则的通项公式为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先由题设求出，再通过构造得，由等比数列的通项公式即可求解. 【解析】令可得，又，解得，又， 则，，即是以2为首项，2为公比的等比数列，则，. 故选：B. 11.知数列满足，，，则数列的通项公式为 ． 【答案】 【分析】将两边同时加，结合等比数列的定义证明可得，再构造数列，求解首项分析即可； 【解析】由可得，且， 故是以2为首项，3为公比的等比数列，故， 所以，又， 故，即. 故答案为： 12.（多选）已知数列满足，，，则（　　） A．的个位数为 B．的个位数为 C．对任意实数，数列都不是等比数列 D．的前项和大于数列的前项 【答案】AB 【分析】利用构造法求出数列的通项公式，结合数列个位数的周期性可判断AB选项；取，结合等比数列的定义可判断C选项；利用作差法可判断D选项. 【解析】因为数列满足，，， 则，且， 所以，数列是首项为，公比为的等比数列， 所以，①， 又因为，且， 所以，数列是每项的值都为的常数列，故②， 联立①②可得， 设数列的个位数字构成数列，则，，，，， 以此类推可知，， 所以，的个位数为，A对； 的个位数为，B对； 当时，，此时，， 故当时，数列是公比为的等比数列，C错； 的前项和为， 数列数列的前项为， 因为，故D错. 故选：AB. 13.在数列中，已知，且，则该数列的通项公式为 . 【答案】 【解析】令， 则， 由条件得，解得， 即， 故数列是首项为，公比为4的等比数列， 从而，故. 故答案为：. 14.已知：，时，，则的通项公式为 【答案】 【分析】利用待定系数法构造等比数列求解 【解析】设，所以， ∴ ，解得：， 又 ，∴ 是以3为首项， 为公比的等比数列， ∴ ，∴ ． 15.已知数列满足，，，则数列的通项公式为 ． 【答案】(1) 【分析】将两边同时加，结合等比数列的定义证明可得，再构造数列，求解首项分析即可； 【解析】由可得，且， 故是以2为首项，3为公比的等比数列，故， 所以，又， 故，即. 题型三：同除法与取倒数法 16.已知数列满足，且，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由递推关系证明数列是等比数列从而得，代入即可求解. 【解析】易知，从而由题意，即， 也就是数列是以为首项，为公比的等比数列， 从而，所以，解得. 故选：A. 17.已知数列的前项和为，则（　　） A． B．为等比数列 C． D． 【答案】ACD 【分析】选项A，代入递推关系可得；选项B，递推关系变形可得，从而可得为等差数列；选项C，由错位相减法数列求和得，可得；选项D，将代入可得，令可求. 【解析】选项A，由题意得，A正确； 选项B，将两边同时除以， 得，即， 则是首项为，公差为的等差数列，不是等比数列，错误； 选项C，由， 得， 所以①， 则②， ①-②得，， ， 即，则，C正确； 选项D，因为， 所以，D正确. 故选：ACD. 18.数列满足，则数列的通项公式为 . 【答案】 【分析】根据给定的递推公式，利用构造法，结合等比数列通项求解即得. 【解析】数列中，由，得，即， 而，，于是数列是首项为3，公比为的等比数列， 因此，即， 所以数列的通项公式为. 故答案为： 19.数列中，则 . 【答案】 【分析】对两边取到数可得，从而可得数列是等差数列，求出数列的通项公式，即可求出. 【解析】因为，所以，即，又， 所以数列是以为首项，2为公差的等差数列， 所以，所以. 故答案为： 20.已知数列中，，若，则正整数的值为 . 【答案】8 【分析】推导出数列为等差数列，确定该数列的首项和公差，可求得数列的通项公式，进而可得，解方程即可得解 【解析】因为，可得， 因为，则，即，可得， 对任意的，所以，等式两边取倒数可得，则， 所以，数列为等差数列，且其首项为，公差为1， 所以，故， 由可得. 故答案为：8. 21.已知数列满足，则的最小值为 . 【答案】 【分析】利用数列递推式，可得数列是以10为首项，1为公差的等差数列，可得数列的通项，再利用函数的单调性，即可求的最小值． 【解析】解： ， 数列是以10为首项，1为公差的等差数列 在上单调递减，在上单调递增 时，取得最小值为 故答案为： 22.已知数列中，，则=_____________． 【答案】 【分析】由已知可得，令，可得，从而得数列是等比数列，求得，即有，即可得是等比数列，求出其首项和公比，可得，即可得． 【解析】因为， 所以， 令， 则， 所以， 所以数列是等比数列，首项为，公比为， 所以， 所以， 所以，， 所以， 所以数列是等比数列，首项为，公比为， 所以， 所以， 即， 所以． 故答案为： 题型四：利用an与Sn关系求通项 23.数列的前项和为，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分析题目条件利用Sn与an间递推关系求通项 【解析】因为，所以，时，， 两式相减得，，即，， 因为，即， 所以数列是以1为首项，以为公比的等比数列， 则． 故选：B． 24.已知数列的前项和为，若，则的最大值为（　　） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】根据数列递推式，采用两式相减的方法推出，结合等比数列通项公式求出表达式，结合单调性，即可求得答案. 【解析】由题意知，故时，， 当时，，，则， 即，故，又， 所以为首项是，公比为的等比数列， 故， 随n的增大而减小，且数列的奇数项均为负值，偶数项为正值， 故时，取最大值，最大值为 25.已知数列的前项和为，且满足，，则数列的通项公式为 ． 【答案】 【分析】先求得，当时，根据，可得，最后由等比数列的定义求解即可. 【解析】当时，则有，解得， 当时， 则有， 所以， 即， 所以， 所以数列是等比数列，其首项为，公比， 所以. 当时也符合，所以. 故答案为：. 26.已知数列的前项和，且满足. (1)求的通项公式； (2)记数列的前项乘积为，求的最小值. 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据数列递推式，采用两式相减的方法推出（），结合等比数列通项公式求出表达式；（2）利用二次函数求最小值。 【解析】（1）因为. 所以当时， 当时，， 两式相减得 所以数列是首项为，公比为的等比数列， 则数列通项公式为 （2）记数列的前项乘积为， 所以，由（1）可知 则 令，开口向上且对称轴为， 所以或8时，取最小值且最小值为. 所以的最小值为. 题型五：裂项相消法 27.设数列的前项和为 ，，，，则数列的前项和为 （　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知条件构造为常数列，求出，再利用裂项相消法求和即可. 【解析】，且， ，即 ，， 故数列为常数列，且， ，则， 故数列的前项和. 故选：D. 28.数列满足，则数列的前9项和为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据已知条件求出数列的通项公式，再得到数列的通项公式，最后利用裂项相消法求出其前项和. 【解析】数列满足①, 当时，； 当时，②， ①②得，， 又因为，不满足上式， 故， 当时，， 设数列的前9项和为, 则 ， 故选：A. 29.定义“等方差数列”：如果一个数列从第二项起，每一项的平方与它的前一项的平方的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等方差数列，这个常数叫做该数列的方公差．设数列是由正数组成的等方差数列，且方公差为2，，则数列的前项和（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】借助所给新定义与等差数列定义可得数列的通项公式，再利用裂项相消法计算即可得解. 【解析】由题意可得，则数列是以为首项，为公差的等差数列， 则，由，故，即（负值舍去）， 故，故， 则 ， 故. 故选：A. 30.已知对任意正整数n都有，则 . 【答案】 【分析】先根据数列的前项和求数列的通项公式，再利用裂项求和法求和. 【解析】当时， 当时，，， 两式相减得： 时，上式也成立， 所以，. 所以. 当时， 所以 . 故答案为：. 31.已知是等差数列，，数列的前项和为且满足. (1)求数列和的通项公式； (2)设，当取得最大值时，求的值. 【答案】(1)，；(2) 【分析】（1）分与两类讨论，易得不合题意，当时，结合裂项相消求和，得出，即可解得，从而得解通项公式；利用关系式即可求得的通项公式； （2）由（1）得出数列的通项公式，得出的单调性情况，从而可以根据单调性求出最大项. 【解析】（1）设等差数列的公差为， 当时，则，与矛盾，不合题意； 当时， ， 解得，所以， 即. 当时，，得， 当时，  ①，   ②， ①-②得，即，即， 所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列，所以. 即； （2），则， 所以， 令，则， ， 则 所以，得出 即， 所以数列中，最大，故. 32.设是等差数列，是等比数列，且，其中与的前n项和为和． (1)求与的通项公式； (2)若，求数列的前n项和； (3)当时，若对任意的恒成立，求实数的最大值． 【答案】(1)，；(2)；(3) 【分析】（1）设数列的公差为，数列的公比为，结合等差、等比数列通项公式代入已知条件解出，从而得到与的通项公式； （2）由（1），利用裂项相消法求数列的前n项和； （3）由（1）求，，条件可转化为对任意的恒成立，利用不等式法求数列的最小值，由此可得结论. 【解析】（1）设的公差为，的公比为，则， 由， 可得，解得（舍去）， 所以，. （2）由（1）知，可得， 则， 所以数列的前项和． （3）由（1），， 由，，则，即对任意的恒成立， 当时，， 当时，设数列在第项取得最小值，则 解得，而，则，此时取得最小值， 由于，则数列在时取最小值， 所以，则实数的最大值为． 33.已知正项数列的前项和为，且． (1)求数列的通项公式； (2)设，数列的前项和为，求证：； (3)若不等式对任意的都成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)；(2)证明见解析；(3) 【分析】（1）通过与的关系，消去，推导出数列的递推关系，确定数列类型，进而求出通项公式． （2）先对通项进行裂项，再利用裂项相消法求出和，最后通过放缩即可证明不等式． （3）构造函数，分析其单调性求出最值，将不等式恒成立问题转化为最值问题，进而求出参数范围． 【解析】（1）因为，所以①， 当时，②， 则得，， 整理得， 又数列为正项数列，即， 所以，即，即公差； 当时，有，又，则，解得. 综上，数列是以1为首项，以2为公差的等差数列，其通项公式为. （2）证明：由（1）可知，则， 所以， 综上，. （3）由（1）可知，令， 则， 所以 ， 所以，即在上递减， 所以， 所以，即，解得. 综上，实数的取值范围为. 题型六：分组求和与并项求和法 34.已知数列满足，前项和为 ，则等于（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知递推式得数列是以1为首项，2为公比的等比数列，数列是以2为首项，2为公比的等比数列，再应用分组求和、等比数列前n项和公式求． 【解析】由，，得，所以 ，则有， 因此数列是以1为首项，2为公比的等比数列，数列是以2为首项，2为公比的等比数列， 所以 . 故选：D. 35.已知等差数列，，，则数列的前n项和为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由已知求出等差数列的公差，得到通项，利用分组求和，结合等差等比数列的求和公式求数列的前n项和. 【解析】设等差数列公差为，由，得，则， 所以，， 则数列的前n项和为 . 故选：D. 36.已知数列满足，，是数列的前项和，对任意，有 (1)求数列的通项公式； (2)设，求的前100项的和. 【答案】(1)；(2)-25 【分析】（1）由，， 两式相减即可得到通项公式. （2）求出，利用并项求和得到答案. 【解析】（1）由，， 两式相减得，即， 因为，所以，即， 故是首项为，公差为的等差数列， 所以； （2）由（1）知， 所以， 记，则， 37.已知等差数列的公差为，且，设为的前项和，数列满足. (1)若，，且，求； (2)若数列也是公差为的等差数列 ①求数列的通项公式； ②求数列的前项和. 【答案】(1)(2)①；② 【分析】（1）根据给定条件，依次求出，列出不等式求解即得. （2）①设，由已知借助恒成立求出，进而求出；②利用分组求和法求解即可. 【解析】（1）依题意，，， 则，由，得，解得， 而，所以. （2）①由数列是公差为的等差数列，设， 又， 于是对任意恒成立， 即对任意恒成立， 则，又，解得，所以，从而； ②由①知， 故 . 38.已知等差数列的前n项和为，且满足， ，数列满足，， (1)证明:数列是等比数列，并求，的通项公式; (2)已知数列满足，求的前2n项和 【答案】(1)证明见解析，；(2) 【分析】（1）通过已知条件和联立方程组可求出和，进而得到的通项公式. 对于数列，根据，通过变形得到，可证明是等比数列，进而求出的通项公式. （2）根据的分段定义，根据分组求和，分别计算奇数项和偶数项的和，从而求出. 【解析】（1）依题意，设数列的公差为， 因为，所以，则 因为所以 所以，所以         所以，所以， 又因为，所以， 故数列是首项为2，公比为2的等比数列，              所以，所以． （2）由（1）知，，可得 所以 = = 39.已知数列中，． (1)计算的值； (2)令，求证：数列是等比数列； (3)求数列的通项公式和它的前n项和． 【答案】(1)，；(2)证明见解析；(3)， 【分析】（1）根据给定的递推关系式，令得，再令得. （2）根据给定的递推关系式得，从而根据等比数列定义即可证明. （3）先利用累加法求得，然后结合等差数列和等比数列求和公式，利用分组求和法求解即可. 【解析】（1）由题意，， 又，所以，解得． 因为，所以. （2）因为， 所以， 又，又， 则. 所以数列是以为首项，为公比的等比数列． （3）由（2）知，所以， 所以 ， 所以. 40.在数列中，已知，且当为奇数时，；当为偶数时，． (1)求的通项公式； (2)求的前项和． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）求为奇数时的通项公式，再代入条件求为偶数时的通项公式，并分段表示出. （2）根据（1）的结论，利用并项求和法及等比数列前项和公式求解即得. 【解析】（1）依题意，， 当为偶数时，，则数列的奇数项是首项为2，公比为2的等比数列， 于是，即当为奇数时，，当为偶数时，， 所以的通项公式是. （2）由（1）知，， . 41.已知递增的等差数列满足，，令，数列的前项和为. (1)求数列的通项公式及数列的前项和； (2)若对任意，恒成立，求实数的取值范围. (3)是否存在正整数，（），使得，，成等比数列？若存在，求出所有，的值. 【答案】(1)；(2)；(3)存在. 【分析】（1）由已知条件求，进而求得；由裂项相消法求； （2）分离参数，分奇偶讨论求范围； （3）假设存在，由三项成等比列等式，分离，讨论取值. 【解析】（1）设等差数列公差为，则，由得， 由得，所以，所以， 所以数列的通项公式为； 所以， 所以， （2）由可得， 若为奇数，则恒成立， 因为函数与函数在单调递增， 所以函数在单调递增， 所以，所以； 若为偶数，则恒成立， 因为函数在满足，当且仅当时取等号， 所以，所以， 综上，实数的取值范围为. （3）假设存在正整数，使得成等比数列， 则，整理得， 当时，；当时，，不合题意. 所以存在满足条件. 题型七：错位相减法 42.数列满足，，数列的前n项和为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用累乘法求出通项公式，再由错位相减法求和即可. 【解析】由可得， 累乘可得， 即，所以，也符合该式，故. 所以，① ，② ①②可得， 因此，. 故选：D. 43.已知数列的通项公式为：，，则数列的前100项之和为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用错位相减法求和作答. 【解析】令数列的前n项和为，因为， 则， 则有 两式相减得：， 因此，有， 所以数列的前100项之和为. 故选：B. 44.（多选）已知数列的前项和为，则（　　） A． B．为等比数列 C． D． 【答案】ACD 【分析】选项A，代入递推关系可得；选项B，递推关系变形可得，从而可得为等差数列；选项C，由错位相减法数列求和得，可得；选项D，将代入可得，令可求. 【解析】选项A，由题意得，A正确； 选项B，将两边同时除以， 得，即， 则是首项为，公差为的等差数列，不是等比数列，错误； 选项C，由， 得， 所以①， 则②， ①-②得，， ， 即，则，C正确； 选项D，因为， 所以，D正确. 故选：ACD. 45.已知等差数列的公差，前项和为，若. (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，求数列的前项和. 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）根据等差数列通项公式得到关于、的方程组，解得即可； （2）首先表示出，从而得到，再由错位相减法求和即可. 【解析】（1）因为，，又， 所以，解得， 所以； （2）因为，即，所以， 所以， 所以， 则， 所以 ， 所以. 46.已知正项数列的前项和为，满足. (1)求数列的通项公式； (2)设为数列的前项和.若对任意的恒成立，求k的取值范围. 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）运用公式，已知求即可； （2）求出，后运用错位相减求出，后结合函数单调性可解． 【解析】（1）①，且， 当时，代入①得； 当时，.② ①-②得，整理得， 因为，所以，所以数列为等差数列，公差为1，所以. （2），，③ ，④ ③-④得， 所以，所以，且，化简得， 令，所以， 所以的最大值为，所以. 所以的取值范围为. 47.已知是等差数列，其前项和为，是等比数列，已知，，，是和的等比中项. (1)求和的通项公式； (2)对任意的正整数，设求数列的前项和. (3)若对于恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)；；(2)；(3) 【分析】（1）利用及求出，再结合，是和的等比中项可求出； （2）利用错位相减法即可求出； （3）由题可得对于恒成立，令，当时，， 当时，单调递减，又，从而可得. 【解析】（1）由，，解得， 所以；则， 由是和的等比中项，则，解得， 又由，所以，所以. （2）由（1）可得， 则， ， 将两式相减得：， 化简得. （3）若对于恒成立， 即对于恒成立， 化简得对于恒成立，令， 则，当时，； 所以当时，， 所以当时，单调递减，当时，， 所以，所以. 故实数的取值范围为. 题型八：数列的公共项问题 48.已知，，数列和的公共项由小到大排列组成数列，则不正确的是（　　） A． B．为等比数列 C．数列的前项和 D．、、不是任一等差数列的三项 【答案】A 【解析】设的第n项与的第m项相等，即， 当时，， 当时，， 当时，，故A错； 令，即， ，不是中的项，即不是的项， ，是中的项，即不是的项， 所以，则，即为等比数列，故B对； 由， 得， 两式相减得， 所以，且，所以单调递增，所以，故C对； 设、、是等差数列的第i、j、p项，的首项为，公差为d， ， 因为是有理数，是无理数 所以原假设不成立，即、、不是任一等差数列的三项 故选：A 49.已知数列通项公式为，将数列的公共项从小到大排列得到数列，设数列的前项和为，则（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为数列是以1为首项，以2为公差的等差数列， 数列是以1首项，以3为公差的等差数列， 所以这两个数列的公共项所构成的新数列是以1为首项，以6为公差的等差数列， 即 所以的前项和. 故选：D. 50.已知数列的前n项积为，数列满足，（，）． (1)求数列，的通项公式； (2)将数列，中的公共项从小到大排列构成新数列，求数列的通项公式． 【答案】(1)， (2) 【解析】（1），， 当时，， 当时，，即， 而，满足上式， 所以数列的通项公式为； 若数列满足，（，）， 则， 从而数列的通项公式为； （2）令，解得，这表明， 从而只能， 所以， 所以数列的通项公式为. 51.记为公比不为1的等比数列的前项和，，． (1)求的通项公式； (2)设，若由与的公共项从小到大组成数列，求数列的前项和． 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）设等比数列的公比为， 因为，即，即，所以， 又，即，解得， 所以. （2）由（1）可得， 则数列为、、、、，偶数组成的数列， 又，令，则为正偶数， 所以，，，，， 所以为以为首项，为公比的等比数列， 所以. 52.知数列是等差数列，且，数列满足，，且. (1)求数列的通项公式； (2)将数列的所有公共项按从小到大的顺序组成一个新的数列，求数列的通项公式； (3)设数列的前项和为，证明：. 【答案】(1)；(2)；(3)证明过程见解析 【解析】（1）由题意可知，即，故， 由，可得， 所以数列的公差，所以， 由， 叠加可得， 整理可得，当时，满足上式， 所以； （2）不妨设，即，可得， 当时，，不合题意， 当时，， 所以在数列中均存在公共项， 又因为，所以. （3）当时，，结论成立， 当时，， 所以， 综上所述，. 53.数列是等差数列，数列是等比数列，满足：，． (1)求数列和的通项公式； (2)数列和的公共项组成的数列记为，求的通项公式； (3)记数列的前项和为，证明： 【答案】(1)；(2)；(3)证明见解析； 【解析】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为， 由可得，易知，所以，解得； 又可得，可得； 由可得，即； 因此可得，； 所以数列和的通项公式为. （2）数列和的公共项需满足， 可得，即是4的整数倍， 可知， 由二项式定理可知若是4的倍数，则为正数，即； 所以可得， 即的通项公式为 （3）易知，显然对于都成立， 所以对于都成立， 即 ， 即可得. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $