解答题01 函数与导数（7大题型专项训练）（上海专用）2027年高考数学一轮复习讲练测

**基本信息** 以三年高考真题为载体，构建“基础-中档-压轴”三层梯度训练体系，提炼七类核心题型标准化解题流程，强化知识逻辑与方法迁移。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |切线问题|1典例+3变式|过点切线四步解法，严格区分“在点”与“过点”|从导数几何意义到公切线综合应用| |单调区间极值|1典例+4变式|四步解题流程，含参分类三层逻辑|定义域→导数→单调性→极值判定链条| |极值求参数|1典例+4变式|变号零点判定，临界探路法|极值存在条件与参数范围互推| |恒成立问题|2典例+6变式|分离参数优先，构造函数求最值|不等式与函数最值转化| |零点个数|2典例+4变式|三步解题法，极值正负定零点|函数图像走势与零点存在定理结合| |不等式证明|1典例+2变式|作差构造-导数判单调-最值证不等|导数工具证明不等式逻辑| |新定义综合|1典例+4变式|四步翻译法，反证法证唯一性|新定义转化与导数工具综合应用|

解答题 函数与导数 年份 题号 分值 核心函数/考点载体 三层设问梯度&核心考查内容 2024 T18 14 对数函数 (1) 基础：求解析式、解对数不等式； (2) 提升：结合等差中项，利用单调性求参数范围。 2024 T21 18 指数函数+距离新定义 (1) 基础：导数求距离最小值； (2) 提升：切线垂直判定、零点存在性判断； (3) 拔高：隐零点结合恒成立证明。 2025 T19 14 含参多项式函数+指数函数 (1) 基础：求解函数切线方程； (2) 提升：依据极大值存在性求参数； (3) 拔高：闭区间恒成立问题，参变分离求解。 2025 T21 18 指数、对数综合函数（侧重零点与奇偶性） (1) 基础：利用函数奇偶性解题； (2) 提升：判断函数零点与方程根的个数； (3) 拔高：导数综合分析零点与参数关系。 2026 T19 14 基础初等函数（导数几何意义、单调性与极值最值） (1) 基础：求曲线定点处切线斜率与方程； (2) 提升：导数判断单调性、求解极值； (3) 拔高：综合单调性与极值求函数最值。 2026 T21 18 指对混合函数+排列衍生新定义 (1) 基础：翻译新定义，导数判断单调性； (2) 提升：求解含参函数参数范围； (3) 拔高：反证法结合确界思想，证明多变量唯一性。 三年统一高频核心考点（2024–2026 必考） 1. 基础必拿分（每道导数大题第 1 问固定考查） 导数几何意义：曲线在定点切线方程、已知切线求参数；三年连续考查，零间断； 简单求导、不含参单调区间、基础极值计算； 基本初等函数性质：指数、对数、分段、奇偶性。 2. 中档区分考点（第 2 问核心） 含参函数单调性完整分类讨论（参数分界点寻找是核心）； 极值存在条件、已知极值 / 最值反向求参数范围； 恒成立、能成立问题：分离参数、构造新函数求最值； 零点个数简单分析（零点存在定理 + 单调性）。 3. 压轴难题考点（第 3 问，区分 130 + 高分段） 隐零点代换（2024 核心，2025–2026 持续弱化但保留）； 不等式证明：单变量构造、简单切线放缩； 新定义函数翻译：把陌生文字定义转化为导数可处理的代数式； 逻辑证明：存在性、唯一性，反证法、先猜后证； 跨模块综合：导数 + 数列、导数 + 三角函数、导数 + 离散组合； 多变量消元、主元法。 三年明确弱化 / 几乎不考内容 复杂极值点偏移、双变量对称构造（全国卷热门，上海极少）； 高阶导数、洛必达法则（阅卷不认可，命题刻意规避）； 竞赛级复杂放缩、超纲不等式； 纯机械大量联立计算，强调 “多想少算”。 题型一 ： 导数几何意义 —— 切线问题 【典例1】已知函数． (1)求在区间上的平均变化率； (2)求曲线在处的切线． 1. 考法细分 分为在点切线、过点切线、公切线/切线平行三类，以基础切线求解为主。 2. 标准满分步骤 优先书写函数定义域； 求解函数一阶导数，明确切线斜率表达式； 代入切点横坐标，求切线斜率与切点纵坐标； 利用点斜式列切线方程，整理为标准整式方程。 3. 重难点：过点切线通用解法 若已知点不在曲线上，设切点为，写出切线方程，代入已知定点，求解关于的方程，方程实根个数即为切线条数。 4. 高频避坑点 严格区分“在点切线”和“过点切线”；对数函数定义域，切点横坐标必须满足定义域要求，杜绝无效根。 【变式1-1】设 . (1)求函数的定义域； (2)当时，求函数在点处的切线方程 【变式1-2】若函数和图象有公共点，且各自在点的切线和重合，则称重合的切线为两函数在点处的公切线． (1)分别求和在交点处的切线方程； (2)若和在点处存在公切线，求的值及点的坐标． 【变式1-3】已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程. (2)曲线上是否存在两个不同的点关于y轴对称？若存在，求出此时a的值：若不存在，说明理由. 题型二：单调区间、极值、最值（基础核心，必考） 【典例2】已知函数． (1)当时，求在处的切线方程； (2)若在上单调递增，求实数的取值范围； (3)若存在极大值和极小值，且极大值小于极小值，求实数的取值范围． 1. 通用四步解题流程（阅卷标准得分模板） 定义域优先（必写步骤，漏写直接扣分）； 求一阶导数，通分、因式分解，化简为最简乘积形式； 令导函数为0，求解驻点，含参函数需找准参数分类临界； 列表分析：区间划分→导数符号→函数单调性→极值判定。 2. 含参单调性分类讨论核心技能 导函数分子为一次函数：核心分界点为一次项系数是否为0； 导函数分子为二次函数：三层分类逻辑：二次项系数是否为0、判别式正负、方程两根与定义域边界的大小关系。 3. 极值判定核心规则（上海高频考点） 某点为极值点的充要条件：该点导数值为0，且左右两侧导数符号发生改变；导函数左正右负为极大值点，左负右正为极小值点；驻点两侧导数同号，无极值。 4. 闭区间最值解法 求出区间内所有极值点，联立区间两个端点，将所有对应点函数值对比，最大为最大值、最小为最小值。 【变式2-1】已知函数，，为自然常数． (1)当时，求函数在处的切线方程； (2)若函数在区间上有最小值，求实数的值． 【变式2-2】设函数，． (1)若，求函数的所有单调区间； (2)若方程有两个虚根和，且．求的值． 【变式2-3】已知，． (1)若函数是定义在R上的奇函数，求常数的值； (2)若，求函数在的极值． 【变式2-4】已知函数（且）． (1)当时，求函数的极值； (2)若直线是曲线的一条切线，求的值和切点的坐标； (3)若函数的图像与的图像相交于相异两点和，求的取值范围． 题型三：已知极值存在 / 极值点个数，求参数范围 【典例3】已知. (1)当时，解方程； (2)若函数在上有唯一的极值点，求的取值范围，并判断这个极值点是极大值点还是极小值点. 1. 核心解题逻辑 函数存在极值<=> 导函数在定义域内存在变号零点，单纯驻点无法判定极值，必须验证符号变化。 2. 精准判定条件 一次型导函数：方程根落在定义域内，即可产生单调变化，存在极值； 二次型导函数：需满足，且至少一个根落在定义域内，保证导数符号改变。 3. 临界探路法（满分通用） 先锁定参数临界值（判别式为0、方程根与定义域边界重合、两根相等），再分段验证每一段参数下导函数的符号变化，确定最终参数范围。 【变式3-1】已知． (1)求函数的最小正周期与单调增区间； (2)将函数的图象上的所有点沿向量平移，得到的图象．若同时满足：①图象关于点对称；②有且仅有个极大值点在区间上．求的取值范围． 【变式3-2】已知 (1)若，求函数在处的切线方程； (2)令，若函数在处有极值，且关于的方程有3个不同的实根，求实数的值和实数的取值范围. 【变式3-3】设，，其中. (1)若函数的最小正周期为，求的值和函数的图象对称中心的坐标； (2)是否存在，使得函数在区间上恰有个极值点?若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由. 【变式3-4】已知，且关于的函数． (1)已知函数，且满足，解不等式； (2)若，为单位向量，讨论函数的单调性； (3)若函数在上有极值，求与夹角的取值范围． 题型四：恒成立 / 存在性求参数范围 【典例4-1】已知函数. (1)设为的导函数，分析的单调性； (2)若存在，满足，求实数的取值范围. 【典例4-2】设，已知． (1)若，求曲线在处的切线方程； (2)若当时，不等式恒成立，求的取值范围． 1. 优先解法：分离参数法（计算最简、正确率最高） 对不等式等价变形，将参数单独分离至不等式一侧； 另一侧构造全新单变量函数，利用导数求解函数值域与最值； 转化为最值不等式求解参数： 恒成立 存在性 2. 备选解法：分类讨论法 当分离参数时分母正负不确定、无法分离参数时使用，直接分类讨论参数范围，研究原函数单调性与最值，令最值满足不等式条件，求解参数范围。 3. 上海卷命题特点 19题恒成立题目均可轻松分离参数，极少出现复杂结构，优先使用分离参数法可大幅节省解题时间。 【变式4-1】已知函数 (1)求出函数的单调区间； (2)若方程在有解，求实数的取值范围. 【变式4-2】设，已知函数，其中． (1)若，当时，讨论的单调性，并求使存在零点的的取值范围； (2)当时，若对任意的，恒成立，求实数的取值范围． 【变式4-3】设． (1)解不等式：； (2)若恒成立，求实数的取值范围． 【变式4-4】记（）． (1)若，解不等式：； (2)若恒成立，求实数的取值范围． 【变式4-5】已知函数，，. (1)求函数在区间上的最小值； (2)若存在，使得成立，求实数的取值范围； (3)对于任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围. 【变式4-6】设． (1)当时，求函数的单调区间； (2)若曲线在点处的切线与曲线也相切，求的值； (3)若函数的图像恒在函数的图像的上方，求的取值范围． 题型五：零点个数、方程解的个数问题 【典例5-1】已知函数（）. (1)当时，求函数的单调区间和极值； (2)若函数在区间上有且只有一个零点，求实数的取值范围. 【典例5-2】已知函数的定义域为，且，． (1)，求A与； (2)证明：函数是偶函数且是周期函数； (3)若的周期为T，在上是减函数，记的正的零点从小到大依次为，，，…，证明在区间上有个零点，且是等差数列． 1. 万能三步解题法 求导分析函数整体单调性、极值、最值，确定函数图像走势； 代入特殊点（）判断函数极限与函数值正负； 结合零点存在定理：单调区间内函数值异号，则区间内有且仅有一个零点。 2. 零点个数对应参数范围逻辑 两个零点：函数极大值>0，极小值<0； 一个零点：函数极值全正/全负，或极值恰好等于0； 无零点：函数恒正或恒负。 【变式5-1】已知函数，其中 . (1)若，求的值； (2)若方程在区间上恰有两个不同的零点，求实数的取值范围及的值. 【变式5-2】已知． (1)当时，求函数的定义域及不等式的解集； (2)若函数只有一个零点，求实数的取值范围． 【变式5-3】已知函数，若在区间内有且只有一个实数，使得成立，则称函数在区间内具有唯一零点． (1)判断函数在区间内是否具有唯一零点，并说明理由； (2)已知向量，，，证明在区间内具有唯一零点； (3)若函数在区间内具有唯一零点，求实数的取值范围． 【变式5-4】设二次函数，且函数图象与轴交于. (1)求函数的解析式； (2)求的图象在点处的切线方程； (3)若函数在区间上有两个不同的零点，求实数的取值范围； 题型六：导数不等式证明 【典例6】已知函数，其中． (1)任取，若，证明：； (2)若存在，使得方程存在三个不等实根，且； （i）求的取值范围； （ii）证明：． 所有导数不等式证明，统一固定模板：作差构造→导数判单调→最值证不等 证明 ： 构造差函数：，必写定义域（上海阅卷硬性得分点） 求导 ，分析单调性；一阶导符号不明则用二阶导辅助 求 ，证 （严格不等）或 （宽松不等） 【变式6-1】已知函数，正常数，记． (1)当时，试判断函数在区间上的单调性，并说明理由； (2)若函数既存在极小值也存在极大值，求实数a的取值范围； (3)求证：对于任意正整数n，都有． 【变式6-2】已知函数，. (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)若在R上单调递增，求实数的取值范围； (3)求证：当时，存在唯一极小值点，且. 题型七：新定义函数综合压轴 【典例7】已知函数与函数的定义域均为，且在上的导函数分别为和.若存在常数，使得对任意实数恒成立，则称是的“调整函数”，并称为调整系数. (1)设.求证：是的“2-调整函数”； (2)设.若存在实数，使得是的“调整函数”，求调整系数的取值范围； (3)已知是的“1-调整函数”，函数的值域是一个闭区间，记作集合，函数的值域记作集合.若，判断是否一定是常值函数，并说明理由. 标准化解题四步法（专门适配上海卷） 翻译定义：把题干陌生文字定义，翻译成函数等式 / 不等式 / 单调约束； 基础性质预判：判断自定义函数奇偶、单调、周期性； 导数工具介入：若涉及最值、极值、变化快慢，求导分析； 逻辑证明（反证法必考）：证明 “存在”“唯一”“任意”，假设结论不成立，推出矛盾。 【变式7-1】已知函数，的导函数为，其中，若对于任意的，都有，则称函数，满足“性质”. (1)设，求曲线在点处切线的方程； (2)设，，若函数，满足“性质”，求的取值范围； (3)如果正数满足：对于任意满足“性质”的函数，，都有，求的取值集合. 【变式7-2】已知函数及其导函数的定义域都为．若对任意，有，则称为“卓越函数”． (1)判断是否为“卓越函数”？ (2)已知为“卓越函数”，求实数的取值范围； (3)已知为“卓越函数”，且存在唯一正实数，使得，求实数的取值范围． 【变式7-3】若函数满足：对任意，，都有，则称函数具有性质． (1)设，分别判断与是否具有性质？并说明理由； (2)已知定义在上的奇函数具有性质，求关于的不等式的解； (3)已知函数具有性质，且图像是一条连续曲线，若在上是严格增函数，求证：是奇函数． 【变式7-4】设，若对任意的，且，函数与满足关系，则称函数是函数在区间上的级控制函数． (1)判断函数是否是函数在区间上的1级控制函数，并说明理由； (2)若函数是函数在区间上的级控制函数，求实数的最大值； (3)若函数是函数在区间上的2026级控制函数，且函数在区间上存在两个零点，求两零点之积的取值范围． 42．已知函数． (1)判断函数的奇偶性并说明理由； (2)当时，若存在，使得成立，求实数t的取值范围； 46．已知（且）． (1)若，解方程； (2)若，求的取值范围． 54．(25-26高三下·上海浦东新区·)已知 (1)若函数在区间上的最大值比最小值大3，求实数的值； (2)若，函数与函数恰有两个不同交点，求实数的取值范围． 一、解答题 1．已知， (1)设，求解:的值域; (2)的最小正周期为，若在上恰有3个零点，求的取值范围. 2．已知． (1)若，求不等式的解集； (2)若函数满足在上存在极大值，求m的取值范围； 3．已知函数． (1)若函数的图象经过点，求解不等式； (2)若存在，使得、、依次成等差数列，求的取值范围． 4．已知，函数，． (1)已知，求的解集； (2)已知，是在点处的切线，是过点且垂直于的直线，与、在第一象限内均无公共点，求的取值范围． 5．已知函数. (1)当，，求函数在处的切线方程； (2)若函数的最小正周期为，且在上恰好有1351个解，求的取值范围. 6．已知函数的定义域是．对于，定义集合． (1)，求； (2)对于集合，若对任意都有，则称是对称集．若是对称集，证明：“函数是偶函数”的充要条件是“对任意，是对称集”； (3)若，．求的取值范围，使得对于任意，都有． 7．已知函数的定义域为．对于正实数a，定义集合． (1)若，判断是否是中的元素，请说明理由； (2)若，求a的取值范围； (3)若是偶函数，当时，，且对任意，均有．写出，解析式，并证明：对任意实数c，函数在上至多有9个零点． 8．记 (1)若，求和; (2)若，求证:对于任意，都有，且存在，使得. (3)已知定义在上有最小值，求证"是偶函数"的充要条件是“对于任意正实数，均有”. 9．对于一个函数和一个点，令，若在时取得最小值的点，则称是的“最近点”. (1)对于函数，求证：对于点，存在点，使得点是的“最近点”； (2)对于函数，，请判断是否存在一个点，使它是的“最近点”，且直线与曲线在点处的切线垂直？ (3)已知函数可导，函数在上恒成立，对于点与点，若对任意实数，均存在点同时为点与点的“最近点”，说明的单调性. 10．设是定义在上的函数.定义性质：若对任意，当时，，则称函数具有“性质”. (1)判断函数是否具有“性质”； (2)若分段函数具有“性质”，求所有满足条件的实数和的解； (3)已知的值域为，且在上是严格增函数，证明：是偶函数的充要条件是：具有“性质”. 11．已知是，，的一个排列，若函数，，，对任意，都有且，则称是关于，，的一个排列，则关于，，的排列总数记为． (1)已知，，，，判断是否为排列； (2)对，，，满足条件的，求的取值范围； (3)对，且对任意，，令，，，，证明：若严格减，则存在，使；若严格增，则存在，． 6 / 15 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 解答题 函数与导数 年份 题号 分值 核心函数/考点载体 三层设问梯度&核心考查内容 2024 T18 14 对数函数 (1) 基础：求解析式、解对数不等式； (2) 提升：结合等差中项，利用单调性求参数范围。 2024 T21 18 指数函数+距离新定义 (1) 基础：导数求距离最小值； (2) 提升：切线垂直判定、零点存在性判断； (3) 拔高：隐零点结合恒成立证明。 2025 T19 14 含参多项式函数+指数函数 (1) 基础：求解函数切线方程； (2) 提升：依据极大值存在性求参数； (3) 拔高：闭区间恒成立问题，参变分离求解。 2025 T21 18 指数、对数综合函数（侧重零点与奇偶性） (1) 基础：利用函数奇偶性解题； (2) 提升：判断函数零点与方程根的个数； (3) 拔高：导数综合分析零点与参数关系。 2026 T19 14 基础初等函数（导数几何意义、单调性与极值最值） (1) 基础：求曲线定点处切线斜率与方程； (2) 提升：导数判断单调性、求解极值； (3) 拔高：综合单调性与极值求函数最值。 2026 T21 18 指对混合函数+排列衍生新定义 (1) 基础：翻译新定义，导数判断单调性； (2) 提升：求解含参函数参数范围； (3) 拔高：反证法结合确界思想，证明多变量唯一性。 三年统一高频核心考点（2024–2026 必考） 1. 基础必拿分（每道导数大题第 1 问固定考查） 导数几何意义：曲线在定点切线方程、已知切线求参数；三年连续考查，零间断； 简单求导、不含参单调区间、基础极值计算； 基本初等函数性质：指数、对数、分段、奇偶性。 2. 中档区分考点（第 2 问核心） 含参函数单调性完整分类讨论（参数分界点寻找是核心）； 极值存在条件、已知极值 / 最值反向求参数范围； 恒成立、能成立问题：分离参数、构造新函数求最值； 零点个数简单分析（零点存在定理 + 单调性）。 3. 压轴难题考点（第 3 问，区分 130 + 高分段） 隐零点代换（2024 核心，2025–2026 持续弱化但保留）； 不等式证明：单变量构造、简单切线放缩； 新定义函数翻译：把陌生文字定义转化为导数可处理的代数式； 逻辑证明：存在性、唯一性，反证法、先猜后证； 跨模块综合：导数 + 数列、导数 + 三角函数、导数 + 离散组合； 多变量消元、主元法。 三年明确弱化 / 几乎不考内容 复杂极值点偏移、双变量对称构造（全国卷热门，上海极少）； 高阶导数、洛必达法则（阅卷不认可，命题刻意规避）； 竞赛级复杂放缩、超纲不等式； 纯机械大量联立计算，强调 “多想少算”。 题型一 ： 导数几何意义 —— 切线问题 【典例1】已知函数． (1)求在区间上的平均变化率； (2)求曲线在处的切线． 【来源】上海市华东师范大学附属周浦中学2024-2025学年高二下学期期中考试数学试题 【详解】（1）因为，所以，， 所以在区间上的平均变化率为； （2）因为，所以， 所以， 所以切点为，切线的斜率， 所以曲线在处的切线为，即. 1. 考法细分 分为在点切线、过点切线、公切线/切线平行三类，以基础切线求解为主。 2. 标准满分步骤 优先书写函数定义域； 求解函数一阶导数，明确切线斜率表达式； 代入切点横坐标，求切线斜率与切点纵坐标； 利用点斜式列切线方程，整理为标准整式方程。 3. 重难点：过点切线通用解法 若已知点不在曲线上，设切点为，写出切线方程，代入已知定点，求解关于的方程，方程实根个数即为切线条数。 4. 高频避坑点 严格区分“在点切线”和“过点切线”；对数函数定义域，切点横坐标必须满足定义域要求，杜绝无效根。 【变式1-1】设 . (1)求函数的定义域； (2)当时，求函数在点处的切线方程 【来源】上海市华东师范大学第一附属中学2025-2026学年高三上学期期中考试数学试卷 【详解】（1）要使函数有意义，须满足真数， 所以函数的定义域为； （2）当时，，则， 所以，又， 所以函数在点处的切线方程为. 【变式1-2】若函数和图象有公共点，且各自在点的切线和重合，则称重合的切线为两函数在点处的公切线． (1)分别求和在交点处的切线方程； (2)若和在点处存在公切线，求的值及点的坐标． 【来源】上海市行知中学2025-2026学年高二上学期期中考试数学试卷 【详解】（1）联立，解得或（舍去），所以交点坐标为． 对求导，可得，将代入，得切线斜率． 切线方程，即. 对求导，，将，得切线斜率． 切线方程，即. 所以交点处的切线方程为，. （2）设公切点． 对求导，根据求导公式，可得，则在点处的切线斜率． 对求导，可得，则在点处的切线斜率. 因为两函数在点处存在公切线，所以，即①． 又因为点在两函数图象上，所以②． 由①得，将其代入②可得：，即，解得. 将代入（1）得：，解得. 将代入得. 所以，点的坐标为． 【变式1-3】已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程. (2)曲线上是否存在两个不同的点关于y轴对称？若存在，求出此时a的值：若不存在，说明理由. 【来源】上海市华东师范大学第二附属中学2025-2026学年高三上学期期中考试数学试题 【详解】（1），，， 所以曲线在点处的切线方程为. （2）不存在，理由如下. 假定曲线上存在两个不同的点关于y轴对称，设其坐标分别为，，， 则有，即， 化简得. 令，则， 由知函数在上单调递增， 由得，即，这与矛盾， 所以曲线上不存在两个不同的点关于y轴对称. 题型二：单调区间、极值、最值（基础核心，必考） 【典例2】已知函数． (1)当时，求在处的切线方程； (2)若在上单调递增，求实数的取值范围； (3)若存在极大值和极小值，且极大值小于极小值，求实数的取值范围． 【来源】上海市洋泾中学2024届高三上学期期中数学试题 【详解】（1）当时，，则， 又， 在处的切线方程为． （2）即对恒成立， ， 即对恒成立， 且，解得． （3）， ①当时，，此时函数定义域为， 其中，对恒成立， 在上单调递增，不存在极值，不符题意． ②当时，，此时函数定义域为，， 令得， 当时，在上单调递增， 当时，在上单调递减， 当时，在上单调递增． 存在极大值，极小值，但不符题意． ③当时，，此时函数定义域为，令得， 当时，在上单调递减， 当时，在上单调递增． 不存在极大值，不符题意． ④当时，的定义域为， 令得， 当时，在上单调递增， 当时，在上单调递减， 当时，在上单调递减， 当时，在上单调递增． 存在极大值，极小值， ， ， ，即，符合题意． 综上，． 1. 通用四步解题流程（阅卷标准得分模板） 定义域优先（必写步骤，漏写直接扣分）； 求一阶导数，通分、因式分解，化简为最简乘积形式； 令导函数为0，求解驻点，含参函数需找准参数分类临界； 列表分析：区间划分→导数符号→函数单调性→极值判定。 2. 含参单调性分类讨论核心技能 导函数分子为一次函数：核心分界点为一次项系数是否为0； 导函数分子为二次函数：三层分类逻辑：二次项系数是否为0、判别式正负、方程两根与定义域边界的大小关系。 3. 极值判定核心规则（上海高频考点） 某点为极值点的充要条件：该点导数值为0，且左右两侧导数符号发生改变；导函数左正右负为极大值点，左负右正为极小值点；驻点两侧导数同号，无极值。 4. 闭区间最值解法 求出区间内所有极值点，联立区间两个端点，将所有对应点函数值对比，最大为最大值、最小为最小值。 【变式2-1】已知函数，，为自然常数． (1)当时，求函数在处的切线方程； (2)若函数在区间上有最小值，求实数的值． 【来源】上海复旦大学附属复兴中学2025-2026学年第二学期高三年级数学摸底考试题 【详解】（1）当时，，则， 所以，又， 所以函数在处的切线方程为， 即. （2）， 易得当时，，在上单调递减， 所以； 当时，令， 若，则在上单调递增， 所以，矛盾舍去； 若，即，则在上单调递减， 所以，矛盾舍去； 若，即，则在上单调递减，在上递增， ，矛盾舍去. 综上. 【变式2-2】设函数，． (1)若，求函数的所有单调区间； (2)若方程有两个虚根和，且．求的值． 【来源】上海市华东师范大学第二附属中学2025-2026学年高三下学期6月高考全真模拟数学试卷 【详解】（1）当时，，则，定义域为. 求导得. 令得. 当时，，故；当时，. 因此在上单调递减，在上单调递增. （2）方程有两个虚根，故判别式， 整理得，解得或. 设两根为，则，. ，解得或. 因为或，所以排除，即. 【变式2-3】已知，． (1)若函数是定义在R上的奇函数，求常数的值； (2)若，求函数在的极值． 【来源】上海市浦东新区2025-2026学年下学期期中考试高三数学试卷 【详解】（1）函数， 因为是定义在上的奇函数， 所以，即， 化简可得，因为，解得， 代入可得， ，为奇函数. （2），， 令， ， 所以， 令，即， ，解得和， 因为当，，单调递增， 当，，单调递减， 当，，单调递增， 所以当时，的极大值为， 当时，的极小值为. 【变式2-4】已知函数（且）． (1)当时，求函数的极值； (2)若直线是曲线的一条切线，求的值和切点的坐标； (3)若函数的图像与的图像相交于相异两点和，求的取值范围． 【来源】上海市静安区2025-2026学年度高三第二学期教学质量调研数学试卷 【详解】（1）当时，，的定义域为， ， 令，得， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减． 所以在处取极大值，无极小值． （2）， 设切点为，切线的斜率为，所以①， 因为切点同时在曲线和切线上，所以②， 由①得③，由②得④， ③④得⑤， 将⑤代入②中得，即⑥， 设，， 令， 由，得，单调递增， 又， 所以时，，单调递减， 时，，单调递增， 又， 所以是的唯一零点， 即方程⑥的根，代入⑤得，切点坐标为． （3）令，即，整理得， 问题转化为在有个不同正根， 令， ， 若，则，在单调递增，最多个零点，不符合题意， 若，令，得， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 要使有个不同零点，需满足极小值小于（当和时，满足题意）， 所以，解得， 所以的取值范围． 题型三：已知极值存在 / 极值点个数，求参数范围 【典例3】已知. (1)当时，解方程； (2)若函数在上有唯一的极值点，求的取值范围，并判断这个极值点是极大值点还是极小值点. 【来源】上海市闵行区2025-2026学年高三下学期学业质量调研（二模）数学试卷 【详解】（1）当时，， 令，得，即，，解得, 故方程的解集为. （2）由题意得， 在区间上，，， 令，则， 在上单调递增，且， 若函数在上有唯一的极值点，则在该区间有唯一解， 即有唯一解，故的取值范围为， 设为该极值点， 当时，，单调递增；当时，，单调递减， 所以极值点为极大值点. 1. 核心解题逻辑 函数存在极值<=> 导函数在定义域内存在变号零点，单纯驻点无法判定极值，必须验证符号变化。 2. 精准判定条件 一次型导函数：方程根落在定义域内，即可产生单调变化，存在极值； 二次型导函数：需满足，且至少一个根落在定义域内，保证导数符号改变。 3. 临界探路法（满分通用） 先锁定参数临界值（判别式为0、方程根与定义域边界重合、两根相等），再分段验证每一段参数下导函数的符号变化，确定最终参数范围。 【变式3-1】已知． (1)求函数的最小正周期与单调增区间； (2)将函数的图象上的所有点沿向量平移，得到的图象．若同时满足：①图象关于点对称；②有且仅有个极大值点在区间上．求的取值范围． 【来源】上海市黄浦区2026届高三二模考试数学试卷 【详解】（1）因为， 所以函数的最小正周期为， 由，可得， 所以函数的单调增区间为． （2）由（1）知， 将函数的图象上的所有点沿向量平移，得到的图象， 所以， 由的图象关于点对称，可得， 所以，解得， 又，可知，故， 当时，， 由②知，解得， 故的取值范围是． 【变式3-2】已知 (1)若，求函数在处的切线方程； (2)令，若函数在处有极值，且关于的方程有3个不同的实根，求实数的值和实数的取值范围. 【详解】（1）当时，，则， 则， 故函数在处的切线方程为， 即. （2）依题意，在处有极值， 因， 由，解得， 则，， 由可得或， 由，可得， 故函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 则在时取得极大值为， 在时，取得极小值为， 当时，，当时，. 由图可知，若关于的方程有3个不同的实根， 则必有，即， 故实数的值为，实数的取值范围为. 【变式3-3】设，，其中. (1)若函数的最小正周期为，求的值和函数的图象对称中心的坐标； (2)是否存在，使得函数在区间上恰有个极值点?若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由. 【来源】上海市杨浦区复旦大学附属中学2025-2026学年高三上学期11月期中考试数学试题 【知识点】根据极值点求参数、求正弦（型）函数的对称轴及对称中心、求正弦（型）函数的最小正周期 【详解】（1）函数的最小正周期为，可得，此时. 令解得， 所以图象的对称中心为，. （2）不存在，理由如下： 极值点满足， 即，而. 考虑在附近的极值点、、， 需要，无解， 故不存在，使得函数在区间上恰有个极值点. 【变式3-4】已知，且关于的函数． (1)已知函数，且满足，解不等式； (2)若，为单位向量，讨论函数的单调性； (3)若函数在上有极值，求与夹角的取值范围． 【来源】上海海洋大学附属大团高级中学2025-2026学年高三上学期期中考试数学试卷 【详解】（1）由题意，又， 所以的图像关于对称， 则，即，得到， 由，所以，解得或， 故不等式的解集为或． （2）因为，所以， 因为为单位向量，所以，， 题意有，由， 令，可得，令，可得， 则在上单调递增，在上单调递减， 故递增区间为和，递减区间为． （3）设与的夹角为θ． ∵，∴， ∵函数在R上有两个极值，∴方程有两个不同的实数根， 即，∴， 又，∴， 即，又，∴． 题型四：恒成立 / 存在性求参数范围 【典例4-1】已知函数. (1)设为的导函数，分析的单调性； (2)若存在，满足，求实数的取值范围. 【详解】（1）由题意知，则.              . 令，解得，                  . 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减. （2）存在，满足，等价于 由（1）可知在上单调递增，在上单调递减， 又， 故方程有一个根为0，另一个根在区间内，             . 故当时，，即函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增，  . 又因为，                  . 所以在区间内，， 所以， 即的取值范围是. 【典例4-2】设，已知． (1)若，求曲线在处的切线方程； (2)若当时，不等式恒成立，求的取值范围． 【来源】上海市南洋模范中学2025-2026学年第二学期高三阶段练习数学试卷 【详解】（1）的定义域为. 若，则， 整理得，所以. 所以. ，所以. . 所以曲线在处的切线方程为. （2）的定义域为. . 因为，所以. 又， 所以当时，，单调递减；当时，，单调递增. 所以函数在处取得极小值，即最小值，最小值为. 因为当时，不等式恒成立，所以. 令，则. 因为与均为减函数，所以是减函数. 因为，，所以在上存在唯一零点，记作，即，即. 所以当时，，单调递增；当时，，单调递减. 因为当时，，即当时，，且， 所以当且仅当时，，即. 所以的取值范围是． 1. 优先解法：分离参数法（计算最简、正确率最高） 对不等式等价变形，将参数单独分离至不等式一侧； 另一侧构造全新单变量函数，利用导数求解函数值域与最值； 转化为最值不等式求解参数： 恒成立 存在性 2. 备选解法：分类讨论法 当分离参数时分母正负不确定、无法分离参数时使用，直接分类讨论参数范围，研究原函数单调性与最值，令最值满足不等式条件，求解参数范围。 3. 上海卷命题特点 19题恒成立题目均可轻松分离参数，极少出现复杂结构，优先使用分离参数法可大幅节省解题时间。 【变式4-1】已知函数 (1)求出函数的单调区间； (2)若方程在有解，求实数的取值范围. 【来源】上海市行知中学2025-2026学年高二上学期10月月考数学试题 【详解】（1）定义域为R，， 令得或，令得， 故单调递增区间为，，单调递减区间为； （2）等价于在有解， 由（1）知，在，上单调递增，在上单调递减， 其中，，， ，故， 在有解，故. 【变式4-2】设，已知函数，其中． (1)若，当时，讨论的单调性，并求使存在零点的的取值范围； (2)当时，若对任意的，恒成立，求实数的取值范围． 【来源】上海市黄浦区2025-2026学年第二学期高三5月模拟数学试卷 【详解】（1）当时，， 其定义域为，且. 令，则， 所以在上单调递增，所以在上是增函数， 而，所以当时，，单调递减； 当时，，单调递增. 综上，在上单调递减，在上单调递增. 因为在处连续，由上知在处取得极小值，也是最小值，为. 当（从右侧趋于）时，； 当时，且的增长速度比快很多，所以. 由存在零点知的图象与直线有交点， 由上知，即实数的取值范围是. （2）令， 则，令， 则. 因为，，所以，所以，即在上单调递增， 所以. （i）当，即时，，在上单调递增， 所以，即，满足题意； （ii）当，即时，，， 若，则，在上单调递减， 所以，即，不满足题意； 若，则，使得，当时，，单调递减， 所以，即，不满足题意. 综上，实数的取值范围是. 【变式4-3】设． (1)解不等式：； (2)若恒成立，求实数的取值范围． 【来源】上海市虹口区2025-2026学年第二学期期末学生学习能力诊断测试高三数学试题 【详解】（1）的定义域为且在单调递增. ，，解得. 故不等式的解集为. （2）. 恒成立等价于恒成立，，. 令，. 令，则，在单调递减. 又，时，，即，在单调递增，时，，即，在单调递减. ，，即的取值范围是 【变式4-4】记（）． (1)若，解不等式：； (2)若恒成立，求实数的取值范围． 【来源】上海市华东师范大学第一附属中学2025-2026学年第二学期高三年级3月调研数学试题 【详解】（1）当时，. 因此， 等价转化为，即，解得. 故原不等式的解集为. （2）将代入得. 故，其中. 令，则在上是严格增函数， 故不等式转化为. 从而，即对于恒成立. 令，故，. + 0 - 严格增 极大值 严格减 所以在上为严格增函数，在上为严格减函数. 因此，在上的极大值也是最大值为. 故的取值范围是. 【变式4-5】已知函数，，. (1)求函数在区间上的最小值； (2)若存在，使得成立，求实数的取值范围； (3)对于任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围. 【来源】上海市浦东新区2025-2026学年高三上学期期中考试数学试卷 【详解】（1）由题意知：； 与在上均为增函数，在上单调递增， . （2）当时，由得：， 若存在，使得成立，则； 令，则， 当时，，在上单调递增，， ，即实数的取值范围为. （3）由得：， 若对于任意的，总存在，使得成立，则； 在上单调递增，，，， 当时，，； 令，则， 当时，；当时，； 在上单调递减，在上单调递增，， ，即实数的取值范围为. 【变式4-6】设． (1)当时，求函数的单调区间； (2)若曲线在点处的切线与曲线也相切，求的值； (3)若函数的图像恒在函数的图像的上方，求的取值范围． 【详解】（1）当时，， 其定义域为，且， 令，即，解得， 当时，，函数在上单调递减； 当时，，函数在上单调递增. （2）因， 故曲线在点处切线的方程为． 设直线与曲线相切于点，且， 则，且，解得． （3）由题意得，化简得． 设，则． 令，即，解得， 当时，，函数在上单调递增； 当时，，函数在上单调递减； 函数在处取得极大值，也是上的最大值，可知． 因此a的取值范围为． 题型五：零点个数、方程解的个数问题 【典例5-1】已知函数（）. (1)当时，求函数的单调区间和极值； (2)若函数在区间上有且只有一个零点，求实数的取值范围. 【详解】（1）当时，，定义域为. 求导：. 令，解得（舍去，因）. 当时，，单调递增；当时，，单调递减. 故的单调递增区间为，单调递减区间为； 极大值为，无极小值. （2），， ①当时，， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以， 此图像恒在轴下方，没有零点，故不符合题意， ②当时，因为，所以恒成立， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以， 若即，其最大值小于0，无零点，不符合题意， 若即，其最大值为，此时有且仅有这一个零点，符合题意， 若即，其最大值大于0， 由于时，时， 由零点存在性定理，函数在和上各有一个零点，共两个零点，不合题意. ③当时，令，解得， ，时，因为二次项系数，所以， ③-①当即时，此时，在上单调递增， 且当时，时， 由零点存在性定理，函数在上仅有1个零点，符合题意， ③-②当即， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 因此是极大值点，，说明在恒负，没有零点， 在上，单调递增，且时， 由零点存在性定理，函数在上仅有1个零点，共有1个零点，符合题意， ③-③当即时， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 因此是极小值点，是极大值点，， 且时， 由零点存在性定理，函数在上仅有1个零点， ， 因为，所以，从而，且， 所以极大值，则在上没有零点， 则此时仅有1个零点，符合题意. 即当时符合题意， 综上，的取值范围是. 【典例5-2】已知函数的定义域为，且，． (1)，求A与； (2)证明：函数是偶函数且是周期函数； (3)若的周期为T，在上是减函数，记的正的零点从小到大依次为，，，…，证明在区间上有个零点，且是等差数列． 【来源】上海市金山中学2026届高三上学期11月学科素养数学试题 【详解】（1）， 令，，可得， ，， ， ，解得． 由得，即，解得， ，，． （2）由（1）得，， ，令，可得，即， 已知函数的定义域为， 函数为偶函数； 令，， ①， 把替换为得，②， 式①加②得， 把替换为得， ，即． 函数是一个周期为的周期函数． （3）由(1)得，， 在中， 令，可得，解得， 在上是减函数， ，，故， 在上有且仅有一个零点． 在中， 令，则，解得． 在区间上有且仅有一个零点， 又是偶函数， 在上有且仅有一个零点， 在一个周期内有且仅有2个零点． ， 在内的零点为和， ，，， 对任意，在上有且仅有两个零点： ，． 在上有个零点： ，，，，…，，， 其中， 是等差数列． 1. 万能三步解题法 求导分析函数整体单调性、极值、最值，确定函数图像走势； 代入特殊点（）判断函数极限与函数值正负； 结合零点存在定理：单调区间内函数值异号，则区间内有且仅有一个零点。 2. 零点个数对应参数范围逻辑 两个零点：函数极大值>0，极小值<0； 一个零点：函数极值全正/全负，或极值恰好等于0； 无零点：函数恒正或恒负。 【变式5-1】已知函数，其中 . (1)若，求的值； (2)若方程在区间上恰有两个不同的零点，求实数的取值范围及的值. 【来源】上海市青浦区2025-2026学年第二学期高三期中质量调研（二模）数学试卷 【详解】（1） ， ，， 所以，，可得， 所以， 则 （2）因为，，令， 函数与直线在区间上恰有两个不同的零点， 在区间的图象特征： 函数与直线恰有两个不同的交点，所以， 即在区间和各有一个交点，且关于对称， ，即，可得. 【变式5-2】已知． (1)当时，求函数的定义域及不等式的解集； (2)若函数只有一个零点，求实数的取值范围． 【来源】上海市莘庄中学2025-2026学年高三上学期期中考试数学试题 【详解】（1），，，， ，的定义域，中，， 的定义域. ，，，，， 不等式的解集为. （2）， ， 函数只有一个零点， 只有一解，，， ，，， ，恒成立，关于的方程只有一个正根， 当时，转化为，符合题意； 当时，若有两个相等的实数根，则，解得， 此时方程的根为，符合题意； 当时，若有两个相异的实数根，则，解得， 此时设方程的两个根为，则有， 方程的两个根只能异号，，，此时方程只有一个正根，符合题意. 综上可知，实数的取值范围为或. 【变式5-3】已知函数，若在区间内有且只有一个实数，使得成立，则称函数在区间内具有唯一零点． (1)判断函数在区间内是否具有唯一零点，并说明理由； (2)已知向量，，，证明在区间内具有唯一零点； (3)若函数在区间内具有唯一零点，求实数的取值范围． 【来源】上海市嘉定区第一中学2024-2025学年高二下学期期中考试数学试题 【详解】（1）函数在区间内具有唯一零点，理由如下： 当时，有，当时，有； 当时，是增函数，有， 故函数在区间内具有唯一零点． （2）由向量，，， 所以，， 令，解得， 所以函数在区间内具有唯一零点，使得， 故函数在区间内具有唯一零点． （3），即：，， 当时，左边，右边，显然不成立； 当时，变量分离：    即：， 令，令 由；；； 结合图像可知：或 或 ∴或或； 综上所述：实数的取值范围为． 【变式5-4】设二次函数，且函数图象与轴交于. (1)求函数的解析式； (2)求的图象在点处的切线方程； (3)若函数在区间上有两个不同的零点，求实数的取值范围； 【来源】上海市浦东新区2025-2026学年高三上学期期中考试数学试卷 【详解】（1）由函数的图象与轴交于可得， 由可得，解得， 所以函数； （2）由（1）可知， 求导可得， 所以函数在点切线斜率为， 故切线方程为； （3），在上有两个不同零点， 需满足：① 判别式；② 对称轴在区间内；③ 区间端点函数值非负； 所以，解得或； 对称轴为，故，即； （恒成立）；，解得； 综上， 题型六：导数不等式证明 【典例6】已知函数，其中． (1)任取，若，证明：； (2)若存在，使得方程存在三个不等实根，且； （i）求的取值范围； （ii）证明：． 【来源】上海市建平中学2025-2026学年高三下学期3月月考数学试题 【详解】（1）由于，不妨设（当时证明类似），令，则， 将代入不等式左边得，不等式右边得，因此原不等式等价于证明，两边除以，得，整理为， 令，则，因此在上单调递增，且，故在上恒成立，即，从而. （2）（i）将方程整理为， 令，， 对求导得， 令，则两根分别为，， 因为存在时方程有三个不等实根， 所以要有两个极值点，且极值点均为正数，并且极小值 因此，解得. 当，即时，在递减，递增，递减，极小值，代入得 令，则，代入得 令，则求导得，因此在上单调递增，故，即，符合条件， 当，即时，由于在递减，递增，递减，极小值，不符合条件， 综上所述，的取值范围为. （ii）由于方程的三个不等实数根满足，由（i）得， 由（1）的结论，对于，有. 而，即，整理得，代入不等式，得：，化简得，即， 由于，且，因此解出不等式得，即. 由于，所以，而，因此. 所有导数不等式证明，统一固定模板：作差构造→导数判单调→最值证不等 证明 ： 构造差函数：，必写定义域（上海阅卷硬性得分点） 求导 ，分析单调性；一阶导符号不明则用二阶导辅助 求 ，证 （严格不等）或 （宽松不等） 【变式6-1】已知函数，正常数，记． (1)当时，试判断函数在区间上的单调性，并说明理由； (2)若函数既存在极小值也存在极大值，求实数a的取值范围； (3)求证：对于任意正整数n，都有． 【来源】上海市松江区2025-2026学年高三上学期期末数学试题 【详解】(1)函数在区间上单调递增，理由如下： 当时，，定义域为，则， ，且， ，当且仅当时取等号， 函数在区间上单调递增； （2），定义域为， 则，设， ，的符号由分子决定， 函数既存在极小值也存在极大值等价于方程在上有两个不同的正实数根， ，解得， 实数a的取值范围是； (3)由（1）知，当时，，即， 令， 则，即， 将到累加得，， 即， ，得证. 【变式6-2】已知函数，. (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)若在R上单调递增，求实数的取值范围； (3)求证：当时，存在唯一极小值点，且. 【详解】（1）当时，，， ，，即切点为. 故切线方程为，整理得：. （2），由恒成立得对任意恒成立， ，则， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 故在处取得最小值，即， 由恒成立，得. （3）当时，，， 设，则， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； ， 当时，，结合在上单调递减， 可得在上恒有， 在上单调递增，且， 所以是的唯一零点， 则当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以存在唯一极小值点， 且，即. 题型七：新定义函数综合压轴 【典例7】已知函数与函数的定义域均为，且在上的导函数分别为和.若存在常数，使得对任意实数恒成立，则称是的“调整函数”，并称为调整系数. (1)设.求证：是的“2-调整函数”； (2)设.若存在实数，使得是的“调整函数”，求调整系数的取值范围； (3)已知是的“1-调整函数”，函数的值域是一个闭区间，记作集合，函数的值域记作集合.若，判断是否一定是常值函数，并说明理由. 【来源】上海市徐汇区2025-2026学年第二学期学习能力诊断高三数学试卷 【详解】(1)因为， 所以. 所以 所以是的“2-调整函数”； （2）由，得. 由于是的“调整函数”，那么存在常数，使得恒成立， 即，即. 因为存在实数，满足上式，所以，即. 1)若，则成立； 2)若，则，所以，且. 设，则在单调递增. 当时，因为， 所以存在，当时，，单调递增， 所以当时， ，不满足题意； 当时，，，所以，在上单调递减， 所以恒成立. 3)当时，对，恒成立. 综上，调整系数的取值范围是. (3)不一定是常值函数. 例：令，， ，. 此时函数的值域是一个闭区间，为集合，函数的值域为集合，满足. 又，满足对任意实数恒成立，即满足是的“调整函数”， 此时不是常值函数. 标准化解题四步法（专门适配上海卷） 翻译定义：把题干陌生文字定义，翻译成函数等式 / 不等式 / 单调约束； 基础性质预判：判断自定义函数奇偶、单调、周期性； 导数工具介入：若涉及最值、极值、变化快慢，求导分析； 逻辑证明（反证法必考）：证明 “存在”“唯一”“任意”，假设结论不成立，推出矛盾。 【变式7-1】已知函数，的导函数为，其中，若对于任意的，都有，则称函数，满足“性质”. (1)设，求曲线在点处切线的方程； (2)设，，若函数，满足“性质”，求的取值范围； (3)如果正数满足：对于任意满足“性质”的函数，，都有，求的取值集合. 【来源】上海市杨浦区复旦大学附属中学2025-2026学年高三上学期11月期中考试数学试题 【详解】（1）因为，则，所以， 所以曲线在点处切线的方程为，即； （2）因为，所以， 因为函数，满足“性质”， 所以在上恒成立， 即在上恒成立. 当时，此时，不符合题意； 当时， 函数开口向上，当时， 则，不符合题意； 当时，此时由，解得， 所以当时恒成立，即符合题意； 当时，即在上恒成立， 即在上恒成立， 若在上恒成立， 令，则，解得， 所以当时恒成立， 综上所述，的取值范围为. （3）①当时，在上是增函数. 由于，满足性质， 即，与在上是增函数矛盾， 故时函数，都不具有性质. ②当时，若函数，具有性质，则不等式 即对任意恒成立，整理得. 当时，，不满足； 说明对任意的且都成立， 两边取对数得恒成立. 令，则，说明是的极大值点. 而，所以解得. 当时，， 当时，则在上严格增， 当时，则在上严格减， 所以恒成立. 所以的取值集合为. 【变式7-2】已知函数及其导函数的定义域都为．若对任意，有，则称为“卓越函数”． (1)判断是否为“卓越函数”？ (2)已知为“卓越函数”，求实数的取值范围； (3)已知为“卓越函数”，且存在唯一正实数，使得，求实数的取值范围． 【来源】上海市华东师范大学第二附属中学2025-2026学年高三10月质量测试数学试题 【详解】（1）， 则， 则当时，有， 故不是“卓越函数”； （2）， 则， 故在上恒成立， 即有在上恒成立， 令，， 当时，，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减， 故，故； （3）由为“卓越函数”，则定义域为， 且对任意，有， 则，有则， 设函数，则， ， 故在上单调递增，故， 即存在唯一正实数，使得， 令，，， 当时，，故在上单调递增， 又时，，时，， 故存在唯一正实数，使得，符合题意； 当时，当时，，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减， 则， 又时，，时，， 故当时，有唯一正实数解， 由关于的函数在上单调递增， 且当时，有， 故当时，有唯一正实数解； 综上所述：实数的取值范围为或. 【变式7-3】若函数满足：对任意，，都有，则称函数具有性质． (1)设，分别判断与是否具有性质？并说明理由； (2)已知定义在上的奇函数具有性质，求关于的不等式的解； (3)已知函数具有性质，且图像是一条连续曲线，若在上是严格增函数，求证：是奇函数． 【来源】上海市行知中学2025-2026学年高三下学期5月月考数学试卷 【详解】（1）不具有性质， 理由：取，，，所以不具有性质. 具有性质， 理由：对任意，， 当时，，因为为上的增函数， 所以，即，所以， 当时，，所以，即， 所以， 综上，对任意，，有， 所以具有性质. （2）因为是奇函数，所以可化为， 因为具有性质，所以对任意，，都有， 因为是奇函数，所以， 所以，即是上的增函数， 故，解得，所以不等式的解集为. （3）由具有性质知：当时，当时， 因为函数的图象是一条连续曲线，所以，即. 下面用反证法证明是奇函数， 假设存在使得，不妨设，则由在上是严格增函数有， 若，则构造函数， ， ， 由零点存在定理知，存在，使得，即； 因为在上是严格增函数，所以， 从而有， 与具有性质矛盾． 若，构造函数，同理也可推出与具有性质矛盾． 综合上述，存在使得的假设不能成立，即对任意都有，故是奇函数． 【变式7-4】设，若对任意的，且，函数与满足关系，则称函数是函数在区间上的级控制函数． (1)判断函数是否是函数在区间上的1级控制函数，并说明理由； (2)若函数是函数在区间上的级控制函数，求实数的最大值； (3)若函数是函数在区间上的2026级控制函数，且函数在区间上存在两个零点，求两零点之积的取值范围． 【来源】上海金山中学、闵行中学、嘉定一中、青浦高级四校2025-2026学年高二第二学期阶段练习数学试卷 【详解】（1）由于， 故． 所以函数不是函数在区间上的1级控制函数． （2）由函数是函数在区间上的m级控制函数， 得， ， 从而， 即在上恒成立. 令，则在上恒成立， 即在上为增函数， 故在上恒成立. 即， 在恒成立，即． 记，则， 故在上单调递减，在上单调递增， 从而，故实数m的最大值为e． （3）因为函数在区间上存在两个零点， 不妨设，且， 因为函数是在区间上的2026级控制函数， 所以，即， 所以， 即． 又函数在上单调递增，故有， 从而，即． 令， 则． 令，则， 从而， 即的取值范围是． 42．已知函数． (1)判断函数的奇偶性并说明理由； (2)当时，若存在，使得成立，求实数t的取值范围； 【答案】(1)当时，为偶函数； 当时，为奇函数； 当时，既不是奇函数也不是偶函数. (2) 【来源】上海市敬业中学2026届高三年级5月考前自测数学试题 【知识点】由指数函数的单调性解不等式、由奇偶性求参数、求指数型复合函数的值域、函数奇偶性的定义与判断 【分析】（1）利用奇函数，偶函数的基本性质进行判断，分类讨论参数的取值即可求解； （2）通过参变分离，构建辅助函数，将参数的取值范围转化为函数的值域从而进行求解. 【详解】（1），所以， 当时，，为偶函数， 当时，，为奇函数， 当时，，所以既不是奇函数也不是偶函数. （2）当时，，存在，使得成立， 化简可得，即在上有解， 令，因为，所以，即在上有解， 故实数的取值范围为函数的值域， ，因为，所以， 即实数的取值范围为. 46．已知（且）． (1)若，解方程； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1)或 (2) 【来源】上海师范大学附属中学2026届高三下学期6月模拟数学试卷 【知识点】对数的运算性质的应用、由对数函数的单调性解不等式 【分析】（1）将代入函数，再代入方程中，结合对数函数的运算化简即可得关于的方程,解方程即可求解； （2）根据对数函数的性质，分和两种情况讨论，由单调性解不等式即可求得的取值范围. 【详解】（1）当时，则， 因为， 所以， 化简可得， 即， 化简得， 所以， 所以或，解得或； （2）由，且， 若，则，， 若，则，， 综上，的取值范围是． 54．(25-26高三下·上海浦东新区·)已知 (1)若函数在区间上的最大值比最小值大3，求实数的值； (2)若，函数与函数恰有两个不同交点，求实数的取值范围． 【答案】(1)2 (2)． 【来源】上海市浦东新区2025-2026学年高三下学期数学考前综合练习 【知识点】根据对数函数的最值求参数或范围、根据函数零点的个数求参数范围 【分析】（1）根据函数在区间上是严格增函数，由求解； （2）转化为方程在有两个不同的实数解求解. 【详解】（1）因为函数在区间上是严格增函数， 所以其最大值在右端点处取到，其最小值在左端点处取到， 即， 化简得，即， 解得． 因此，实数的值为2． （2）由题意得；即关于的方程在有两个不同的实数解， 即关于的方程在有两个不同的实数解， 因为， 因此． 由题意得，即 综上，实数的取值范围为． 一、解答题 1．已知， (1)设，求解:的值域; (2)的最小正周期为，若在上恰有3个零点，求的取值范围. 【来源】2024年上海春季高考 【详解】（1）因为，所以， 因为，所以令， 由正弦函数性质得在上单调递增，在上单调递减， 所以，故， （2）由题意得，所以，可得， 当时，，，即，， 当时，，不符合题意， 当时，，符合题意， 当时，，符合题意， 当时，，符合题意， 所以， 即，故. 2．已知． (1)若，求不等式的解集； (2)若函数满足在上存在极大值，求m的取值范围； 【来源】2025年上海秋季高考数学真题 【详解】（1）因为，故，故，故， 故即为， 设，则，故在上为增函数， 而即为，故， 故原不等式的解为. （2）在有极大值即为有极大值点. ， 若，则时，，时，， 故为的极小值点，无极大值点，故舍； 若即，则时，， 时，， 故为的极大值点，符合题设要求； 若，则时，，无极值点，舍； 若即，则时，， 时，， 故为的极大值点，符合题设要求； 综上，且. 3．已知函数． (1)若函数的图象经过点，求解不等式； (2)若存在，使得、、依次成等差数列，求的取值范围． 【来源】2024年上海秋季高考数学试题 【详解】（1），则， ，，， ，定义域为， 要解不等式，则，． 又在定义域内是严格增函数， 由，则，解得． 综上所述，不等式的解集为． （2）的定义域为，存在，使得、、依次成等差数列， 则在方程中，应满足， 由，解得，问题转化为时，方程有实数解． 又，则， 即． 为严格单调函数， ， ，两边同除以得，． 令，由，则， 在有解． 又在上是严格增函数， ，即， 又，则. 4．已知，函数，． (1)已知，求的解集； (2)已知，是在点处的切线，是过点且垂直于的直线，与、在第一象限内均无公共点，求的取值范围． 【来源】2026年高考上海卷数学高考真题 【详解】（1）由题意，.在与中， ，解得，∴， ∵， ∴，解得或或， ∴不等式的解集为. （2）由题意知，由，得， ∴. ∵直线为在点的切线， ∴直线的方程为，即， ∵是过点且垂直于的直线， ∴直线的方程为：，即， 对于函数，，曲线与、在第一象限内均无公共点， ∴与无正实数解， 分离参数得，，， ∴直线与与曲线在内均无交点， 而， 当时，解得（舍）或， ∴当即时，函数单调递减， 当即时，函数单调递增， ∴在处取最小值，. 当时，，当时，， ∴且，即或， ∴实数的取值范围为. 5．已知函数. (1)当，，求函数在处的切线方程； (2)若函数的最小正周期为，且在上恰好有1351个解，求的取值范围. 【来源】2026年上海市春季招生统一文化考试（春季高考） 【详解】（1）当时，则， 根据可得，故，故， 由于，故，故， ，则， 故函数在处的切线方程为，故， （2）函数的最小正周期为，故，所以， 令，当，则， 令，则或， 当时，要使得有1351个实数根，则，解得， 当时，要使得有1351个实数根，则，解得， 当时，要使得有1351个实数根，则，无解， 综上可得或. 6．已知函数的定义域是．对于，定义集合． (1)，求； (2)对于集合，若对任意都有，则称是对称集．若是对称集，证明：“函数是偶函数”的充要条件是“对任意，是对称集”； (3)若，．求的取值范围，使得对于任意，都有． 【来源】2025年上海春季高考 【详解】（1）由定义得，. （2）证明： 必要性：因为函数是偶函数，所以对任意，， 对任意，若，即，则， 所以，所以对任意，是对称集. 充分性：若对任意，是对称集， 因为对任意，，所以，即①， 又，所以，即②. 由①②得，对任意，， 所以函数是偶函数. 综上，“函数是偶函数”的充要条件是“对任意，是对称集”，得证. （3）因为对于任意，都有， 所以若，则，即若，则， 所以，所以在上单调不减， 所以对任意，恒成立. 当时，显然成立，； 当时，恒成立，令，， 所以在单调递减，单调递增，所以； 当时，恒成立，此时 因为在上单调递减，当时，， 时，， 所以； 综上，. 7．已知函数的定义域为．对于正实数a，定义集合． (1)若，判断是否是中的元素，请说明理由； (2)若，求a的取值范围； (3)若是偶函数，当时，，且对任意，均有．写出，解析式，并证明：对任意实数c，函数在上至多有9个零点． 【来源】2025年上海秋季高考数学真题 【详解】（1）（1），，则不是中的元素. （2）法一：因为，则存在实数使得，且， 当时，，其在上严格单调递增， 当时，，其在上也严格单调递增， 则，则， 令，解得，则， 则. 法二：作出该函数图象，则由题意知直线与该函数有两个交点， 由图知，假设交点分别为，， 联立方程组得 （3）对任意，因为其是偶函数， 则，而， 所以， 所以，因为，则， 所以，所以， 所以当时，，，则， ，则， 而，， 则，则， 所以当时，，而为偶函数，画出函数图象如下： 其中，但其对应的值均未知. 首先说明， 若，则，易知此时， 则，所以，而时，， 所以，与矛盾，所以，即， 令，则， 当时，即使让，此时最多7个零点， 当时，若，此时有5个零点， 故此时最多5个零点； 当时，若，此时有5个零点， 故此时最多5个零点； 当时，若，此时有3个零点， 若，则，易知此时， 则，所以，而时，， 所以，与矛盾，所以， 则最多在之间取得6个零点， 以及在处成为零点，故不超过9个零点. 综上，零点不超过9个. 8．记 (1)若，求和; (2)若，求证:对于任意，都有，且存在，使得. (3)已知定义在上有最小值，求证"是偶函数"的充要条件是“对于任意正实数，均有”. 【详解】（1）由题意得:； (2)由题意知，记，有或2， 0 2 正 0 负 0 正 极大值 极小值 现对分类讨论: 当，有为严格增函数，因为，此时，符合条件; 当时，，先减后增，， 因为取等号)，所以， 此时，符合条件，且时，； 当时，，在严格增，在严格减，在严格增， ，因为， 此时，，则，则成立; 综上可知，对于任意，都有，且存在，使得. (3)必要性:若为偶函数，则， 当，因为，故; 充分性：若对于任意正实数，均有，其中， 因为有最小值，不妨设， 由于任意，令，则， 故最小元素为，中最小元素为， 又 则对任意成立，则 ， 若，则对任意成立是偶函数， 若，此后取， ， 综上，任意，即是偶函数. 故"是偶函数"的充要条件是“对于任意正实数，均有”. 【来源】2024年上海春季高考 9．对于一个函数和一个点，令，若在时取得最小值的点，则称是的“最近点”. (1)对于函数，求证：对于点，存在点，使得点是的“最近点”； (2)对于函数，，请判断是否存在一个点，使它是的“最近点”，且直线与曲线在点处的切线垂直？ (3)已知函数可导，函数在上恒成立，对于点与点，若对任意实数，均存在点同时为点与点的“最近点”，说明的单调性. 【来源】2024年上海秋季高考数学试题 【详解】（1）当时，， 当且仅当即时取等号， 故对于点，存在点，使得该点是在的“最近点”． （2）由题设可得， 则， 因为均为上单调递增函数， 则在上为严格增函数， 而，故当时，，当时，， 故，此时， 而， 故在点处的切线方程为. 而，故， 故直线与在点处的切线垂直． （3）设， ， 而， ， 若对任意的，存在点同时是在的“最近点”， 设，则既是的最小值点，也是的最小值点， 因为两函数的定义域均为，则也是两函数的极小值点， 则存在,使得， 即① ② 由①②相等得，即， 即，又因为函数在定义域上恒正， 则恒成立， 接下来证明， 因为既是的最小值点，也是的最小值点， 则， 即，③ ，④ ③+④得 即，因为 则，解得， 则恒成立，因为的任意性，则严格单调递减. 10．设是定义在上的函数.定义性质：若对任意，当时，，则称函数具有“性质”. (1)判断函数是否具有“性质”； (2)若分段函数具有“性质”，求所有满足条件的实数和的解； (3)已知的值域为，且在上是严格增函数，证明：是偶函数的充要条件是：具有“性质”. 【来源】2026年上海市春季招生统一文化考试（春季高考） 【分析】（1）运用特例法，结合指数函数的单调性进行判断即可； （2）根据一次函数的单调性，结合“性质”的特性进行求解即可； （3）根据充要条件的定义，结合偶函数的性质、“性质”的特性进行运算证明即可. 【详解】（1）函数不具有“性质”，理由如下： 例如当时，显然成立， ，根据指数函数的单调性可知， 所以有，这与“性质”矛盾，故函数不具有“性质”； （2）因为函数具有“性质”，所以取，有， 于是有， 当时，由， 当时，由， 若，若，则有， 取， 此时，但是，不符合“性质”，所以不符合题意， 故，此时， 若时，则， 由， 若时，则， 由， 因此， 综上所述：当且仅当时，满足条件； （3）充分性：若具有“性质”，则是偶函数. 若存在，，不妨设， 记，即， 因为函数的值域为， 所以， 若，则有， 若，则有， 故对任意，，这与的值域为矛盾， 所以不成立，则有，因此函数是偶函数； 必要性：若是偶函数，则具有“性质”. 当时，因为在上是严格增函数， 所以， 又因为函数是偶函数， 所以由，因此具有“性质”. 所以是偶函数的充要条件是：具有“性质”. 11．已知是，，的一个排列，若函数，，，对任意，都有且，则称是关于，，的一个排列，则关于，，的排列总数记为． (1)已知，，，，判断是否为排列； (2)对，，，满足条件的，求的取值范围； (3)对，且对任意，，令，，，，证明：若严格减，则存在，使；若严格增，则存在，． 【详解】（1）由题意得， 则当，， 则恒成立， ， 则恒成立， 故是为排列. （2）若，则1，2，3的全排列均满足题意， ①，则有：，此时两个不等式显然成立． ②，则有：，即. ③，则有：，即. ④，则有：，即. ⑤，则有：． ⑥，则有：，即. 则上述不等式均要成立，取它们的交集有， 即，即对恒成立， 分离参数得，因为当时，， 所以. (3)首先证明第1个结论， 观察（2）问的6个情况，若和在上同时成立， 那么排列都将是排列，此时至少为4． 当时，即， 因为是定义在上的函数，且严格单调递减，实数， 则恒成立， 又因为函数在上单调递增， 则在区间上，，. 若恒成立，则， 则只需，即，因为对任意的，， 则，则，则解得， 当时，即， 因为严格递减，所以且， ， 只要，就有， 则可取即可满足题意． 即存在，使得. 再证明第2个结论. 假设对于任意的，都有， 因为（2）中①排列始终满足条件， 则在剩下的5种排列中，只有唯一的一个是排列． 首先，我们证明不可能恒成立： 假设对于某个，在上恒有． 即， 即， 取．由于严格递增， 令， 则， 于是对任意正整数： ， 当时，，这与矛盾！ 因此，不可能恒成立．则排列③排列和④排列永远不可能是排列． 接下来只剩②排列，其需满足， ⑤排列，其需满足， ⑥排列，其需满足， 下面证明：对于任意在上恒成立＂与＂在上恒成立＂这两个命题，必须有且只有一个为真． （i）若对任意，都有，即都有， 对于任意和， 则， 当且仅当时等号成立，又因为，故等号无法取到， 所以恒成立， 则对所有的恒成立. 则此时②排列，⑤排列，⑥排列均成立， 则，与假设矛盾！ （ii）并非对于所有都有，即， 则必定存在，使得， 设， 因为是严格单调递增的连续函数， 则对于已知的，总可以找到，使得， 即，即， 同时，因为严格递增且，必有． 即， 即，即， 则可取充分小的使得，即存在，使得， 所以＂恒成立＂这个命题是假的． 既然为假，那么＂恒成立＂必须为真． 即除①排列外剩余的5个排列中，只有②排列成立，此时满足， 则对于，在时都有： ， 即， 取，则对于任意： ， 因为严格递增，则． 则 又因为， 则 即，对任意都成立． 取，因为，则， 则对于内的任意，都满足， 因为，故有， 但是，之前我们得到， 即，则， 则有：， 这与我们的假设相矛盾． 综上，原命题成立，必然存在，使得． 【来源】2026年高考上海卷数学高考真题 6 / 15 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $