第二单元函数与导数过关测验-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 聚焦函数与导数核心模块，以分类讨论、导数工具、性质综合为方法主线，构建从概念到创新应用的知识逻辑链，培养数学思维与问题解决能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础概念|4|定义辨析与定义域求解|函数三要素→性质基础| |函数性质|5|奇偶性与单调性综合判断|性质判定→关系推导| |导数应用|6|导数分析单调性与极值|导数工具→动态变化研究| |综合创新|4|新定义转化与跨模块整合|概念迁移→问题解决|

一轮复习第二单元过关测 <函数、导数与单调性> 考试时间：120分钟 满分：150分 第I卷（选择题58分） 1． 单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.下列函数与是相等函数的是（    ） A． B． C．（且） D．（且） 2.已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A． B． C． D． 3.已知偶函数的定义域为R，则“在R上有最小值”是“在上单调递增”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4.函数的部分图象大致是（    ） A．B．C．D． 5．若函数在区间上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．定义在上的函数满足：①的图象关于直线对称；②对任意的，当时，不等式成立．令，，，则下列不等式成立的是（ ） A． B． C． D． 7.费马数列是以数学家皮埃尔·德·费马（PierredeFermat，1601~1665年）命名的数列，其中，例如．因为，所以的整数部分是1位数；因为，所以的整数部分是2位数；…；则的整数部分位数最接近于（）（    ） A．240 B．600 C．900 D．1200 8.不等式对任意恒成立，则的最小值为（    ） A. B. C. 2 D. 2． 多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9.已知为定义在上的奇函数，在上单调递增，，则下列说法正确的是（   ） A．为奇函数 B．的减区间为 C． D．函数的零点个数为8 10.已知函数 在 处取得极大值, 的导函数为 ,则 A. B. 有两个极值点 C. D. 当 时, 11.若 满足 满足 ,则下列说法正确的是 A. B. C. D. 第II卷（非选择题92分） 3. 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12.已知是定义在上的奇函数，且当时，，则_______. 13.黎曼函数是一个特殊的函数，由德国数学家波恩哈德·黎曼发现并提出，在高等数学中有着广泛的应用.黎曼函数定义在上，其解析式为若函数是定义在上的奇函数，且对任意都有 , 当 时， ，则 _______. 14．已知，关于的方程有6个不相等的实数根，则实数的取值范围为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）已知幂函数，且在上单调递增． (1)求实数的值； (2)若，求实数的取值范围． 16．已知函数（）． (1)讨论函数的单调性； (2)若，在上单调递增，求实数的取值范围． 17．已知函数. (1)讨论的单调性； (2)令.若曲线与存在公切线，求实数的取值范围. 18．已知函数是偶函数． (1)求实数的值； (2)若函数存在零点，求实数的取值范围； (3)设函数，若函数与的图象有且只有一个公共点，求实数的取值范围． 19．若函数满足：对任意，，都有，则称函数具有性质． (1)设，分别判断与是否具有性质？并说明理由； (2)已知定义在上的奇函数具有性质，求关于的不等式的解； (3)已知函数具有性质，且图像是一条连续曲线，若在上是严格增函数，求证：是奇函数． 一轮复习第二单元过关测答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 D C B B A D D B AD ABC ACD 15.（1）由幂函数的定义得，解得或， ①当时，，此时函数在区间上单调递减，不合题意，舍去， ②当时，，此时函数在区间上单调递增，符合题意， 由上知； （2）由（1）知，此时函数的增区间为，减区间为，且函数为偶函数，图象关于轴对称，又由，若，则，所以或， 解得或，故实数的取值范围为． 16（1）由题意得， ①当时，，在单调递减； ②当时，令；解得：或，令，解得：， 故在递增，在递减，在递增； 综上：时，在单调递减； 时，在递增，在递减，在递增； （2）在上单调递增， 则对恒成立， 令，，则 令，解得：，令，解得：， 故在递增，在递减，故，故， 即实数m的取值范围为. 17.（1）， ①当时，的定义域为，令，即得，所以， 因为，解得：；令，解得：， ②当时，的定义域为，令，即得，所以， 因为，解得：，令，解得：， 综上， 当时，的单调递增区间为，单调递减区间为； 当时，的单调递减区间为，单调递增区间为. （2）由题意知：设的切点横坐标，则在处的切线方程为.③ 设的切点横坐标，则在处的切线方程为.④ 联立③④，得，当时，，代入方程组，不成立， 所以消去得. 设函数且. 令，得或.令，解得且；令，解得或， 所以在和上单调递减，在和上单调递增， 因为， 结合图象可知，当时，方程有解， 从而当时，曲线与存在公切线. 18.（1）因为是偶函数，所以对任意恒成立，                     即，   因为， 即，所以对任意恒成立，解得； （2）由（1）得：，所以，因为函数存在零点，所以，即方程有解，，因为，所以的取值范围为， 则的值域为，故实数a的取值范围是； （3）函数与的图象有且只有一个公共点，即方程有且只有一个解， 化简得：，即；                                                           令，则方程可化为，且方程有且只有一个正根，     ①当，即时，方程可化为，解得，不合题意，舍去                                               ②当时，则方程为关于的一元二次方程. （i）若方程有两个相等的正根，则由，解得， 此时方程为,方程的根为,不合题意，舍去，                              （ii）若方程有一个正根和一个负根，则由且，解得，                 综上所述，实数b的取值范围是． 19（1）不具有性质， 理由：取，，，所以不具有性质. 具有性质，理由：对任意，，当时，，因为为上的增函数，所以，即，所以， 当时，，所以，即， 所以，综上，对任意，，有，所以具有性质. （2）因为是奇函数，所以可化为， 因为具有性质，所以对任意，，都有， 因为是奇函数，所以， 所以，即是上的增函数， 故，解得，所以不等式的解集为. （3）由具有性质知：当时，当时， 因为函数的图象是一条连续曲线，所以，即. 下面用反证法证明是奇函数， 假设存在使得，不妨设，则由在上是严格增函数有， 若，则构造函数， ， ， 由零点存在定理知，存在，使得，即； 因为在上是严格增函数，所以， 从而有， 与具有性质矛盾． 若，构造函数，同理也可推出与具有性质矛盾． 综合上述，存在使得的假设不能成立，即对任意都有，故是奇函数． 1 学科网（北京）股份有限公司 $