2026-2027学年北师大版九年级上学期数学期中考试常考题型考前强化训练卷

2026—2027学年北师大版九年级上学期数学期中考试常考题型考前强化训练卷 一、选择题（每题只有一个正确选项，每小题3分，满分30分） 1．下列方程中，属于一元二次方程的是（  ） A． B． C． D． 2．已知是一元二次方程的一个实数根，则m的值为（    ） A． B．0 C．1 D．2 3．如图，要使平行四边形成为矩形，需要增加的一个条件可以是（   ） A． B． C． D． 4．用配方法解方程，配方后方程变形为（   ） A． B． C． D． 5．如图，点E是的边上的一点，且，连接并延长交的延长线于点F，则为（    ） A． B． C． D．无法确定 6．如下表是某同学求代数式（a，b为常数）的值的情况．根据表格中数据，可知关于的方程的实数根是（　　） x … 0 1 2 … … 6 2 0 0 2 … A．， B．， C．， D．， 7．如图，在中，，，，将沿图中的虚线剪开，剪下的阴影三角形．原三角形不相似的是（   ） A． B． C． D． 8．为加强劳动教育，增加学生实践机会，某校拟用总长为5米的篱笆，在两边都足够长的直角围墙的一角，围出一块6平方米的矩形菜地作为实践基地，如图所示．设矩形的一边长为x米，根据题意可列方程（    ） A． B． C． D． 9．下列描述正确的是（   ） A．对角线垂直的四边形一定是菱形 B．匡衡“凿壁偷光”借灯光读书的影子是平行投影 C．若点C是线段的黄金分割点，，则 D．两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例 10．如图，平行四边形的对角线与相交于点O，，在的延长线上取一点E，使，连接交于点F，且，则的长为（    ）    A．5 B．6 C．6.5 D．7 二、填空题（每小题3分，满分18分） 11．若，则______． 12．在一次综合实践课上，小华测得旗杆的影子长为12米，同时测得旗杆顶端到其影子顶端的距离为13米，如果此时附近一座纪念塔的影子长为60米，那么这座纪念塔的高度为______米． 13．中国结寓意团圆美满，以独特的东方神韵体现中国人民的智慧和深厚的文化底蕴．如图是一个中国结装饰，可以近似看作菱形，测得，，则菱形周长为______． 14．如图，正方形中，，分别在边，上，，相交于点，若，，则的值是_____． 15．如图，在矩形中，点在边上，点是的中点，，，，则的长为_______． 16．如图，等腰三角形，，，，过点D作交延长线于点E，若，则______． 三、解答题:（17、18、19、20、21题每题8分，22、23每题10分，24题12分，共计72分，解答题要有必要的文字说明） 17．解方程． (1)； (2)． 18．平面直角坐标系中，点A的坐标是，点B的坐x标是． (1)将绕点A逆时针旋转90度得到．点O、B的对应点分别是点E、F．请在图中画出． (2)连接，以为位似中心，将缩小得到，且位似比为，请在x轴下方作出图形． (3)请在x轴上找一个点P，使的值最小，并直接写出P点的坐标． 19．如图，在平行四边形中，连接，是边上一点，连接并延长，交的延长线于，且． (1)求证：； (2)如果，，求的长． 20．在矩形中，连接，延长至E，使，过点E作交延长线于点F． (1)求证：四边形是菱形； (2)连接，若，，求线段的长． 21．深圳湾文化广场凭借“”造型建筑成为网红打卡地，某商家推出以其建筑轮廓为原型的金属纪念徽章．运营数据显示：每个徽章的进货成本为30元，若每个徽章定价60元，平均每天可售出20个；当每个徽章的售价每降低5元，平均每天的销售量就会增加10个． (1)当每个徽章的售价降低20元时，该商家平均每天可售出 个徽章，每天销售徽章的利润可达到 元； (2)为让顾客得到实惠，每个徽章的售价降低多少元时，商家每天销售徽章的利润可达到750元？ 22．材料1：规定：如果实数、、满足，那么称一元二次方程为“等差”二次方程． 材料2：韦达定理：若一元二次方程的两根分别为、，则， (1)【概念辨析】问题1：下列方程是“等差”二次方程的有_____ ①；②；③；④ (2)【特例感知】问题2：若“等差”二次方程的一个根为2，求这个方程的另一个根． (3)【结论归纳】问题3：若、是“等差”二次方程的两个根，请写出、的数量关系，并说明理由． (4)【综合运用】问题4：在（3）的条件下，若，求的值． 23．综合与实践 图形的旋转变换是研究数学相关问题的重要手段之一，在研究三角形的旋转过程中，发现下列问题： 【观察猜想】 （1）如图1，在中，，点是平面内不与点重合的任意一点．连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接．的值是 ，直线与直线相交所成的较小角的度数是 ． 【类比探究】 （2）如图2，点是线段上的动点，分别以、为边在的同侧作正方形与正方形，连接分别交线段于点． ①求的度数； ②连接交于点，若，则的值为 ； 【拓展延伸】 （3）如图3，在中，，，点、分别是、的中点，连接，如图4，将绕着点顺时针旋转角度，直线交于点，连接，若射线将分成的两个角度之比是，则的值为多少？请直接写出答案． 24．（1）模型感知： ①如图1，在菱形中，，在和上分别取点F和点E，使且，此时________，和的数量关系是________． ②如图2，在菱形中，，在和上分别取点F和点E，使， 证明：． （2）深入探究： 如图3，在菱形中，，在上取点F，连接，在和上分别取点M和点E，使，延长与交于点N，当时，求的值． （3）拓展延伸 在平行四边形中，在直线上取一点F，连接，已知，，在上取点M，使得，直线与直线交于点E，且，此时的值为________（直接写出结果）． 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A C D C B B D C D B 11． 【详解】解：由，两边同时除以（其中），得：， 简化得：， 所以． 故答案为：． 12．25 【详解】由题意，旗杆顶端到其影子顶端的距离为13米，影子长为12米， ∴旗杆高度为（米）． 设纪念塔的高度为h米， 根据题意得，物体高度与影长成比例， ∴， 解得． 故答案为：25． 13．40 【详解】解：四边形为菱形，且，， ，，，， ， 在中，由勾股定理得：， 此菱形的周长． 故答案为：40． 14． 【详解】解：延长交于点， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∵ ∴， 设，则， ∴， ∴， 故答案为：． 15． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∵点是的中点， ∴， ∴， 设，则， ∵，， ∴， 在中， ， ∴， 解得，即． 故答案为：． 16． 17．【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， 解得； （2）解：∵， 则 ， ． 18．(1) 如图，为所作； (2)如图，为所作； （3）解：作出点E关于x轴对称点，连接与x轴的交点即为点P，点为所作， ， ， 设直线的函数关系式为，由题意得： ，解得：， 直线的函数关系式为， 令，则，解得：， 19．(1)证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 20．(1)证明：由矩形可得， ， 四边形是平行四边形， ， 平行四边形是菱形； （2）解：在矩形中，，，， 在中，， 由（1）得四边形是菱形， ， ， 在中，． 21．【详解】（1）（个）， ∴当每个徽章的售价降低20元时，该商家平均每天可售出60个徽章， （元）， ∴每天销售徽章的利润可达到600元； （2）设每个徽章的售价降低元， ， 解得：，． 为了让顾客得到实惠， ， 答：每个徽章的售价降低15元时，该商家每天销售徽章的利润可达到750元． 22．【详解】（1）解：①中，，，则，，故，属于“等差”二次方程； ②中，，，则，，故，不属于“等差”二次方程； ③中，，，则，，故，属于“等差”二次方程； ④中，，，则，，故，不属于“等差”二次方程； 故答案为：①③； （2）解：当时，代入原方程得：， 由得， 代入得，即， 由材料2可知，； (3)； 理由：由材料2可得：，， ， ， ； （4）解：由得， 将代入得 即， 解得，． 23．【详解】（1）解：∵， ∴为等边三角形， ∵线段绕点逆时针旋转得到线段， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴直线与直线相交所成的较小角的度数是：． 故答案为：，． （2）①如图，连接， ∵四边形是正方形， ∴，且，， ∴， ∴， ∴， ∴． ②解：连接交于点，如图所示： ∵是正方形的对角线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． （3）解：连接，如图所示： ∵，点、分别是、的中点， ∴是的中位线，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵射线将分成的两个角度之比是， ∴可将分成，两个角， 旋转后，直线交于点，交于点，直线交于点，当，，如图所示： ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 旋转后，直线交于点，直线交于点，过点作垂线，垂足为，直线交于点，连接，当，，如图所示： ∵， ∴， 又∵，，，， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 设，则，，， ∵ ∴， 又∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴，即， 解得：，（舍）， ， 综上可得：的值为或． 24．【详解】（1）①解：∵在菱形中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 故答案为：；相等． ②证明：如图，连接，过点A作于点M，于点N， 由①可知，，， ∵，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． （2）过点作交于点，延长交于点，如图所示：              ， 由（1）可知，当时，， 四边形是菱形， ， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， ； （3）延长交于点，如图所示： ，， ， ， ，， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ，， ，， ，即， ， ， ， ，则． 故的值为． 学科网（北京）股份有限公司 $