精品解析：四川省泸县第五中学2026-2027学年九年级上学期9月阶段检测数学试题

泸县五中2026年秋期初三年级第一次定时训练 数学试题 一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分） 1. 下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义．根据一元二次方程的定义（只含一个未知数，且最高次数为2的整式方程），分析各选项是否符合条件，即可作答． 【详解】解：A、，含有两个未知数，不是一元二次方程，故该选项不符合题意； B、不是整式方程，不是一元二次方程，故该选项不符合题意； C、把整理得，是一元二次方程，故该选项符合题意； D、把整理得，不是一元二次方程，故该选项不符合题意； 故选：C 2. 一元二次方程的二次项系数和一次项系数分别为（ ） A. 3，-1 B. 3，-4 C. 3，4 D. ， 【答案】B 【解析】 【详解】解：一元二次方程3x2－4x－1=0的二次项系数是3，一次项系数是-4， 故选B． 3. 如果是方程的一个根，则的值为（ ） A. 3 B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，将代入方程，求解即可． 【详解】解：根据题意得：， ， 故选：C． 4. 是下列哪个一元二次方程的根（　 　） A. 2x2+4x+1=0 B. 2x2﹣4x+1=0 C. 2x2﹣4x﹣1=0 D. 2x2+4x﹣1=0 【答案】A 【解析】 【分析】用公式法解一元二次方程的一般步骤为：①把方程化成一般形式，进而确定a，b，c的值；②求出b2−4ac的值(若b2−4ac<0，方程无实数根)；③在b2−4ac⩾0的前提下，把a、b、c的值代入公式进行计算求出方程的根． 【详解】A. 2x2+4x+1=0中，符合题意； B. 2x2﹣4x+1=0中，不符合题意； C. 2x2﹣4x﹣1=0中，不符合题意； D. 2x2+4x﹣1=0中，不符合题意； 故选：A. 【点睛】本题考查用公式法解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的求根公式． 5. 用配方法解方程时，原方程应变形为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】按照配方法的步骤，先移项，再在方程两边同时加上一次项系数一半的平方，将左边配成完全平方式即可得到结果． 【详解】解：， 移项得 等式两边同时加上一次项系数一半的平方 得： 配方得． 6. 已知三角形两边的长是和，第三边的长是方程的根，则该三角形的周长是（ ） A. 或 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出方程的根后，需结合三角形三边关系筛选符合条件的第三边长，再计算周长． 【详解】解：， ， 或， 当第三边长为时，，不能构成三角形，舍去； 当第三边长为时，，能构成三角形，周长为． 7. 若x1、x2是方程的两个实数根，则代数式的值等于（ ） A. 2020 B. 2019 C. 2029 D. 2028 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次方程的解的概念和根与系数的关系得出，，再将代入原式变形为，代入计算可得． 【详解】解：，是方程的两个实数根， ，，即， 则 ． 故选：D． 【点睛】本题主要考查根与系数的关系，解题的关键是掌握，是一元二次方程的两根时，，． 8. 如图，二次函数过点，长方形的顶点A、B在x轴上，C、D恰好在二次函数的图象上，B点的横坐标为2，求图中阴影部分的面积之和（ ） A. 16 B. 8 C. 14 D. 9 【答案】A 【解析】 【分析】利用抛物线和长方形的轴对称性，将轴左侧的阴影部分对称变换到轴右侧，发现阴影部分面积之和等于轴右侧长方形的面积. 【详解】解：二次函数的图象关于轴对称，长方形的顶点、在轴上，、在图象上， 长方形关于轴对称， 点的横坐标为， 点的横坐标为，当时，， 点的坐标为， ，， 根据对称性，轴左侧阴影部分的面积等于轴右侧抛物线与轴、围成的空白部分的面积， 阴影部分的面积之和等于矩形（即轴右侧长方形部分）的面积，  .  9. 九年级某班在期中考试前，每个同学都向全班其他同学各送一张写有祝福的卡片，全班共送了1980张卡片，设全班有x名学生，根据题意列出方程为（　　） A. x（x﹣1）＝1980 B. x（x+1）＝1980 C. x（x+1）＝1980 D. x（x﹣1）＝1980 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意得：有x个人，每人要赠送（x-1）张卡片，然后根据送的总卡片数可列出方程． 【详解】解：∵有x个人，每人要赠送（x-1）张卡片， ∴可列方程（x-1）x=1980， 故选D． 【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是明确题意，找到合适的等量关系． 10. 某超市一月份的营业额为万元，一月、二月、三月的营业额共万元，如果平均月增长率为，则由题意得方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：二月份营业额为万元，三月份营业额在二月份基础上增长，为万元， 一月、二月、三月营业额共万元， 列方程为． 11. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围为（） A. B. C. 且 D. 且 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程的定义与根的判别式，根据一元二次方程的定义和Δ的意义得到且，即，然后解不等式即可得到k的取值范围． 【详解】解：∵方程为一元二次方程， ∴。 又∵有两个不相等的实数根， ∴判别式， 解得。 综上，且。 故选：C． 12. 定义新运算“a※b”：对于任意实数a、b，都有a※b＝（a+b）（a﹣b）﹣1，例4※2＝（4+2）（4﹣2）﹣1＝12﹣1＝11．则方程x※1＝x的根的情况为（　　） A. 无实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 只有一个实数根 【答案】C 【解析】 【分析】利用新定义得到(x+1)(x﹣1)﹣1＝x，再把方程化为一般形式后利用>0可判断方程根的情况． 【详解】解：由新定义得(x+1)(x﹣1)﹣1＝x， 整理得x2﹣x﹣2＝0， ∵＝(﹣1)2﹣4×1×(﹣2)＝9＞0， ∴方程有两个不相等的实数根． 故选：C． 【点睛】本题考查了根的判别式．对于一元二次方程的根与有如下关系：当>0时，方程有两个不相等的实数根；当=0时，方程有两个相等的实数根；当<0时，方程没有实数根． 二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分） 13. 当时，二次函数的值是___________． 【答案】 【解析】 【分析】将代入二次函数解析式计算即可得到结果． 【详解】解：把代入，得 ． 14. 如果抛物线的开口向上，那么m的取值范围是________． 【答案】m＞1 【解析】 【分析】根据二次函数的性质，求解即可． 【详解】解：由题意可得：，解得． 故答案为： 【点睛】此题考查了二次函数的性质，掌握二次函数的有关性质是解题的关键． 15. 已知关于x的方程（k﹣1）x2﹣2kx+k﹣3=0有两个相等的实根，则k的值是_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次项系数非零及根的判别式△=0，即可得出关于k的一元一次不等式及一元一次方程，解之即可得出k的值． 【详解】∵关于x的方程（k-1）x2-2kx+k-3=0有两个相等的实根， ∴， 解得：k=． 故答案为． 【点睛】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，牢记“当△=0时，方程有两个相等的实数根”是解题的关键． 16. 如图，有一块长，宽的矩形纸片，在每个角上截去相同的小正方形，再折起来做成一个无盖的盒子，已知盒子的底面积是原纸片面积的一半，若设盒子的高为，则根据题意，可得方程：__________________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可得盒子底面长为：，盒子底面宽为：，再根据“盒子的底面积是原纸片面积的一半”，即可列出方程． 【详解】解：根据题意可得： 盒子底面长为：，盒子底面宽为： ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，解题的关键是正确理解题意，根据题意找出等量关系，列出方程． 三、解答题（本大题2个小题，共26分．） 17. 用指定的方法解下列方程： （1）（直接开方法） （2）（用配方法） （3）（公式法） （4）（因式分解法） 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】（1）直接开平方法：先把平方项的系数化为，再直接开平方求解； （2）配方法：先移项，再配方，将方程化为完全平方式后开方求解； （3）公式法：先确定，计算判别式，再代入求根公式计算； （4）因式分解法：移项，提取公因式，转化为两个一次因式乘积等于的形式求解． 【小问1详解】 解： 解得：； 【小问2详解】 解： 解得：； 【小问3详解】 解： 解得：； 【小问4详解】 解： 解得：． 18. 用适当的方法解下列方程： （1） （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】（1）将原方程化简整理后，运用配方法即可求解； （2）方程的左右两边都是完全平方的形式，可直接采用开平方的方法求解． 【小问1详解】 解：将原方程化为：， ， ， ， ∴，． 【小问2详解】 解： 可得：， 即或， 或， 或， ∴，． 四、解答题（本大题共7个小题，共60分） 19. 已知y=是二次函数且其图象开口向上，求m的值和函数解析式． 【答案】m=1，y= 【解析】 【分析】根据二次函数的定义，得m2+m=2且m+1>0，确定m的值，然后把m的值代入函数式即可得到答案． 【详解】解：∵函数是二次函数且其图象开口向上， ∴， 解得：m=1， ∴二次函数的解析式为：y=． 【点睛】本题考查了二次函数的定义及性质，二次函数y=ax2+bx+c的定义条件是： a、b、c为常数且a≠0，自变量最高次数为2．当a<0时，二次函数图象开口向下；当a＞0时，二次函数图象开口向上． 20. 阅读下面的材料并解答后面的问题 小力：能求出的最小值吗？如果能，其最小值是多少？ 小强：能．求解过程如下：因为，而，所以的最小值是． 问题： （1）小强的求解过程正确吗？ （2）你能否求出的最小值？如果能，写出你的求解过程． 【答案】（1） 小强的求解过程正确． （2） 能，的最小值为， 求解过程如下： ∵， ∴当时，原式取得最小值. 【解析】 【分析】（1）验证配方法变形的正确性与最值推导逻辑的合理性. （2）通过配方法变形原式，结合平方的非负性求代数式的最小值.  【小问1详解】 解：对于求的最小值，小强的做法是通过配方． ， 因为， 当时，即时，取得最小值． 所以小强的求解过程是正确的． 【小问2详解】 略 21. 已知等腰三角形的三边长分别为a、b、4，且a、b是关于x的一元二次方程x2﹣12x+m+2＝0的两根，求m的值． 【答案】m=34 【解析】 【分析】分三种情况讨论，①当a=4时，②当b=4时，③当a=b时；结合根据系数的关系即可求解． 【详解】解：当a=4时，b＜8， ∵a、b是关于x的一元二次方程x2-12x+m+2=0的两根， ∴4+b=12， ∴b=8不符合； 当b=4时，a＜8， ∵a、b是关于x的一元二次方程x2-12x+m+2=0的两根， ∴4+a=12， ∴a=8不符合； 当a=b时， ∵a、b是关于x的一元二次方程x2-12x+m+2=0的两根， ∴12=2a=2b， ∴a=b=6， ∴m+2=36， ∴m=34． 【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，等腰三角形的定义，以及分类讨论的数学思想，结合根与系数的关系和三角形三边关系进行解题是关键． 22. 已知：关于x的一元二次方程mx2﹣（2m﹣2）x+m=0有实根． （1）求m的取值范围； （2）若原方程两个实数根为x1，x2，是否存在实数m，使得=1？请说明理由． 【答案】（1）m≤且m≠0； （2）=-2=1， x1+x2= ，x1x2=1， 把x1+x2=，x1x2=1代入-2=1得： =3， 解得：m=4±2， ∵m的取值范围为：m≤且m≠0， ∴m=4±2不合题意， 即不存在实数m，使得=1． 【解析】 【分析】（1）根据“关于x的一元二次方程mx2-（2m-2）x+m=0有实根”，判别式△≥0，得到关于m的一元一次方程，解之即可;（2）根据“=1”，通过整理变形，根据根与系数的关系，得到关于m的一元二次方程，解之，结合（1）的结果，即可得到答案． 【详解】：（1）∵方程mx2-（2m-2）x+m=0是一元二次方程， ∴m≠0， △=（2m-2）2-4m2 =4m2-8m+4-4m2 =4-8m≥0， 解得：m≤， 即m的取值范围为：m≤且m≠0； （2）略 【点睛】本题考查了根与系数的关系，一元二次方程的定义和根的判别式，解题的关键：（1）根据判别式△≥0，列出关于m的一元一次方程，（2）正确掌握根与系数的关系，列出一元二次方程． 23. 如图，某校劳动实践基地用总长为的栅栏，围成一块一边靠墙的矩形实验田，墙长为．栅栏在安装过程中不重叠、无损耗． （1）如果围成矩形的面积为，求矩形的长和宽； （2）能否使围成矩形的面积为，如果能，试求矩形的长和宽，如果不能，请说明理由． 【答案】（1）矩形实验田的长为，宽为； （2）解：不能使围成矩形的面积为． 设矩形实验田的宽为，与墙平行的一边长， 根据题意，， 整理得， ， ∴不能使围成矩形的面积为． 【解析】 【分析】（1）设矩形实验田的宽为，与墙平行的一边长，根据题意，列出一元二次方程，据此求解即可； （2）设矩形实验田的宽为，与墙平行的一边长，根据题意，列出一元二次方程，据此求解即可． 【小问1详解】 解：设矩形实验田的宽为，与墙平行的一边长， 根据题意，， 解得：． ， ， ， ， 此时矩形实验田的长为，宽为； 【小问2详解】 略 24. 某商城在年国庆节期间促销某品牌冰箱，每台进价为元，标价为元． （1）商城举行了“新老用户总是情”摸奖活动，将冰箱价格连续两次下调，每次降价的百分率相同，最后以每台元的价格卖给中奖者，求每次降价的百分率； （2）经市场调研表明：当每台冰箱的售价为元时，平均每天能售出台，当售价每降低元时，平均每天能多售出台．若商城要想使该品牌冰箱平均每天的销售利润为元，则每台冰箱的售价应定为多少元？ 【答案】（1） 每次降价的百分率为 （2） 每台冰箱的售价应定为元 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，找准等量关系，正确地列出方程是解题的关键． （1）设每次降价的百分率为，根据标价为元，最后以每台元的价格卖给中奖者，列出方程进行求解即可； （2）设每台冰箱的售价应定为元，根据总利润等于单件利润乘以销量，列出方程进行求解即可． 【小问1详解】 解：设每次降价的百分率为， 由题意，得：， 解得：或（舍去）； 答：每次降价的百分率为； 【小问2详解】 解：设每台冰箱的售价应定为元， 由题意，得：， 解得：, 答：每台冰箱的售价应定为元． 25. 如图，已知A、B、C、D为矩形的四个顶点，厘米，厘米．动点P、Q分别从A、C同时出发，点P以2厘米/秒的速度向点B移动，点Q以1厘米/秒的速度向点D移动，当点P到达点B时，两动点同时停止．问： （1）两动点经过几秒时，使得； （2）两动点经过几秒时，使得四边形面积是矩形面积的； （3）连接，两动点经过几秒，使很是等腰三角形． 【答案】（1）两动点经过秒时，使得； （2）两动点经过秒时，使得四边形面积是矩形面积的； （3）当两动点经过秒或4秒或秒时，使得是等腰三角形． 【解析】 【分析】（1）等量关系为：，即； （2）四边形为直角梯形，则有直角梯形的面积公式求得动点P、Q的运动时间； （3）需要分类讨论：和三种情况． 【小问1详解】 解：设两动点经过t秒时，使得． 则， 解得． 答：两动点经过秒时，使得； 【小问2详解】 解：设两动点经过x秒时，使得四边形面积是矩形面积的． 则，即， 解得． 答：两动点经过秒时，使得四边形面积是矩形面积的； 【小问3详解】 解：两动点经过秒，使得是等腰三角形 ①当时，过点Q作于点H． 则， 所以， 整理得， 解得，； ②当时，． 则， 整理得． 解得（舍去），； ③当时，， 即， 整理得，， 解得，（与点B重合，舍去）． 综上所述，当两动点经过秒或4秒或秒时，使得是等腰三角形． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用．解关于动点问题时，一定要分类讨论，以防漏解或错解． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 泸县五中2026年秋期初三年级第一次定时训练 数学试题 一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分） 1. 下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 一元二次方程的二次项系数和一次项系数分别为（ ） A. 3，-1 B. 3，-4 C. 3，4 D. ， 3. 如果是方程的一个根，则的值为（ ） A. 3 B. 2 C. D. 4. 是下列哪个一元二次方程的根（　 　） A. 2x2+4x+1=0 B. 2x2﹣4x+1=0 C. 2x2﹣4x﹣1=0 D. 2x2+4x﹣1=0 5. 用配方法解方程时，原方程应变形为（ ） A. B. C. D. 6. 已知三角形两边的长是和，第三边的长是方程的根，则该三角形的周长是（ ） A. 或 B. C. D. 7. 若x1、x2是方程的两个实数根，则代数式的值等于（ ） A. 2020 B. 2019 C. 2029 D. 2028 8. 如图，二次函数过点，长方形的顶点A、B在x轴上，C、D恰好在二次函数的图象上，B点的横坐标为2，求图中阴影部分的面积之和（ ） A. 16 B. 8 C. 14 D. 9 9. 九年级某班在期中考试前，每个同学都向全班其他同学各送一张写有祝福的卡片，全班共送了1980张卡片，设全班有x名学生，根据题意列出方程为（　　） A. x（x﹣1）＝1980 B. x（x+1）＝1980 C. x（x+1）＝1980 D. x（x﹣1）＝1980 10. 某超市一月份的营业额为万元，一月、二月、三月的营业额共万元，如果平均月增长率为，则由题意得方程为（ ） A. B. C. D. 11. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围为（） A. B. C. 且 D. 且 12. 定义新运算“a※b”：对于任意实数a、b，都有a※b＝（a+b）（a﹣b）﹣1，例4※2＝（4+2）（4﹣2）﹣1＝12﹣1＝11．则方程x※1＝x的根的情况为（　　） A. 无实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 只有一个实数根 二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分） 13. 当时，二次函数的值是___________． 14. 如果抛物线的开口向上，那么m的取值范围是________． 15. 已知关于x的方程（k﹣1）x2﹣2kx+k﹣3=0有两个相等的实根，则k的值是_____． 16. 如图，有一块长，宽的矩形纸片，在每个角上截去相同的小正方形，再折起来做成一个无盖的盒子，已知盒子的底面积是原纸片面积的一半，若设盒子的高为，则根据题意，可得方程：__________________． 三、解答题（本大题2个小题，共26分．） 17. 用指定的方法解下列方程： （1）（直接开方法） （2）（用配方法） （3）（公式法） （4）（因式分解法） 18. 用适当的方法解下列方程： （1） （2） 四、解答题（本大题共7个小题，共60分） 19. 已知y=是二次函数且其图象开口向上，求m的值和函数解析式． 20. 阅读下面的材料并解答后面的问题 小力：能求出的最小值吗？如果能，其最小值是多少？ 小强：能．求解过程如下：因为，而，所以的最小值是． 问题： （1）小强的求解过程正确吗？ （2）你能否求出的最小值？如果能，写出你的求解过程． 21. 已知等腰三角形的三边长分别为a、b、4，且a、b是关于x的一元二次方程x2﹣12x+m+2＝0的两根，求m的值． 22. 已知：关于x的一元二次方程mx2﹣（2m﹣2）x+m=0有实根． （1）求m的取值范围； （2）若原方程两个实数根为x1，x2，是否存在实数m，使得=1？请说明理由． 23. 如图，某校劳动实践基地用总长为的栅栏，围成一块一边靠墙的矩形实验田，墙长为．栅栏在安装过程中不重叠、无损耗． （1）如果围成矩形的面积为，求矩形的长和宽； （2）能否使围成矩形的面积为，如果能，试求矩形的长和宽，如果不能，请说明理由． 24. 某商城在年国庆节期间促销某品牌冰箱，每台进价为元，标价为元． （1）商城举行了“新老用户总是情”摸奖活动，将冰箱价格连续两次下调，每次降价的百分率相同，最后以每台元的价格卖给中奖者，求每次降价的百分率； （2）经市场调研表明：当每台冰箱的售价为元时，平均每天能售出台，当售价每降低元时，平均每天能多售出台．若商城要想使该品牌冰箱平均每天的销售利润为元，则每台冰箱的售价应定为多少元？ 25. 如图，已知A、B、C、D为矩形的四个顶点，厘米，厘米．动点P、Q分别从A、C同时出发，点P以2厘米/秒的速度向点B移动，点Q以1厘米/秒的速度向点D移动，当点P到达点B时，两动点同时停止．问： （1）两动点经过几秒时，使得； （2）两动点经过几秒时，使得四边形面积是矩形面积的； （3）连接，两动点经过几秒，使很是等腰三角形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $