精品解析：四川达州市渠县崇德实验学校2026-2027学年九年级上学期9月学情自测数学试题

渠县崇德实验学校2026-2027学年九年级上学期9月学情自测数学试题 全卷分A卷和B卷，A卷100分，B卷50分，全卷总分150分 A卷（共100分） 第Ⅰ卷（选择题，共32分） 一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求） 1. 菱形具有而平行四边形不一定具有的性质是（ ） A. 对边平行且相等 B. 对角线互相平分 C. 对角线互相垂直 D. 对角相等 2. 下列方程中，一定是关于x的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在菱形中，，，过点作于点，连接，则的长为（ ） A. B. 2 C. D. 4 4. 若关于的一元二次方程的一个根是，则的值为（ ） A. 2 B. C. 2或 D. 5. 如图，在矩形中，，连接，，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在正方形中，点E为对角线边上一点，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 已知，是一元二次方程的两个根，则的值是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 15 8. 如图，矩形中，，点是边上一点，连接，把沿折叠，使点落在点处，当为直角三角形时，的长为（ ） A. 3 B. C. 2或3 D. 3或 第Ⅱ卷（非选择题，共68分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 9. 把方程化为一般形式是__________． 10. 已知一元二次方程的两个根是菱形的两条对角线长，则这个菱形的周长______． 11. 如图，四边形是菱形，，对角线，相交于点O，于H，连接，则＝______度． 12. 若关于的一元二次方程有一个根为，则的值为______． 13. 如图，在中，，，，为边上（不与、重合）的动点，过点分别作于点，于点，则线段的最小值是________． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分） 14. 解方程： （1） （2） 15. 已知关于的方程有两个实数根． （1）求实数的取值范围； （2）若，试求的值． 16. 如图，菱形的对角线相交于点O，延长至点E，使，连接． （1）求证：． （2）求证：． 17. 定义：如果关于的一元二次方程（，，均为常数，）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，则称这样的方程为“邻根方程”． （1）下列方程中，按上述定义 （填序号）是“邻根方程”． ①；②；③． （2）若是“邻根方程”，求的值． （3）若一元二次方程（，，均为常数，）为“邻根方程”，求出，，应满足的数量关系． 18. 在正方形中，F是边上一点，，且． （1）如图1，过点P作于点E，求证：； （2）如图2，连接交于点G，求证：； （3）在（2）的条件下，若，，请直接写出的长． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 19. 关于x的方程有两个相等的实数根，那么m的值为___________ 20. 如图所示，直线l过正方形的顶点B，点A、C到直线l的距离分别是3和5，则正方形的边长为______． 21. 已知实数，，满足，，则的值为________． 22. 如图，在矩形ABCD中，，，P是AD上一个动点，于E，于F，则的值为______． 23. 对于实数a，b，定义运算“”，例如，因为，所以．若是一元二次方程的两个根，则_________． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分） 24. 随着气温的降低，某电器商场销售一批电暖器，平均每天可售出30台，每台可盈利50元，经调查发现，如果每降价1元，商场平均每天可多售出2台．为了增大利润，商场决定采取适当的降价措施． （1）商场每天要盈利2100元，每台电暖器应降价多少元？ （2）该商场平均每天盈利能达到2500元吗？如果能，求出此时应降价多少；如果不能，请说明理由． 25. 请阅读下列材料，并按要求完成相应的任务：一元二次方程及其解法最早出现在公元前两千年左右的古巴比伦人的《泥板文书》中．到了中世纪，阿拉伯数学家花拉子米在他的代表作《代数学》中给出了一元二次方程的一般解法，并用几何法进行了证明．我国古代三国时期的数学家赵爽也给出了类似的几何解法．赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了解方程，即的方法．首先构造了如图1所示的图形，图中的大正方形面积是，其中四个全等的小矩形面积分别为，中间的小正方形面积为，所以大正方形的面积又可表示为，据此易得原方程的正数解为． 任务： （1）参照上述图解一元二次方程的方法，请在三个构图中选择能够说明方程，解法的正确构图是______（从序号①②③中选择）． （2）请你通过上述问题的学习，在图2的网格中设计正确的构图，用几何法求方程的正数解（写出必要的思考过程，图2中的网格不要求全部使用） （3）一般地对于形如的一元二次方程可以构造图3来解，已知图3由个相同矩形构成，这个矩形的总面积为，中间围成的正方形边长为．那么______，______． 26. 已知，如图，O为坐标原点，四边形为矩形，，点是的中点，动点在线段上以每秒2个单位长的速度由点C向B运动．设动点P的运动时间为t秒． （1）当t为何值时，四边形是平行四边形； （2）在直线上是否存在一点Q，使得O、D、Q、P四点为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接求出t的值，并直接写出此时Q点坐标；若不存在，请说明理由； （3）在线段上有一点M且，当P运动______秒时，四边形的周长最小值为______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 渠县崇德实验学校2026-2027学年九年级上学期9月学情自测数学试题 全卷分A卷和B卷，A卷100分，B卷50分，全卷总分150分 A卷（共100分） 第Ⅰ卷（选择题，共32分） 一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求） 1. 菱形具有而平行四边形不一定具有的性质是（ ） A. 对边平行且相等 B. 对角线互相平分 C. 对角线互相垂直 D. 对角相等 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质和平行四边形的性质，根据菱形的性质和平行四边形的性质对每个选项进行判断即可，掌握菱形的性质和平行四边形的性质是解题的关键． 【详解】解：、对边平行且相等菱形和平行四边形都具有； 、对角线互相平分菱形和平行四边形都具有； 、对角线互相垂直，菱形具有，平行四边形不具有； 、对角相等菱形和平行四边形都具有； 故选：． 2. 下列方程中，一定是关于x的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义进行判断即可． 【详解】解：A、方程含，两个未知数，不符合一元二次方程的定义，故选项不符合题意； B、方程含分式，不是整式方程，不符合一元二次方程的定义，故选项不符合题意； C、当时，方程为，是一元一次方程，不是一元二次方程，故选项不符合题意； D、整理方程得，符合一元二次方程的定义，故选项符合题意． 3. 如图，在菱形中，，，过点作于点，连接，则的长为（ ） A. B. 2 C. D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】作交的延长线于点，利用平行四边形的性质求得，，再利用直角三角形的性质结合勾股定理求得，，，在中，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：作交的延长线于点， ∵菱形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， 在中，由勾股定理得． 4. 若关于的一元二次方程的一个根是，则的值为（ ） A. 2 B. C. 2或 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的定义和一元二次方程的解，二次项系数不为．由一元二次方程的定义，可知；一根是，代入可得，即可求答案． 【详解】解：是关于的一元二次方程， ，即 由一个根，代入， 可得，解之得； 由得； 故选A 5. 如图，在矩形中，，连接，，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用矩形的性质得出 ，，再根据含角的直角三角形性质求出的长，即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形 ， ∴，． 在中，，， ， ∴． 6. 如图，在正方形中，点E为对角线边上一点，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了正方形的性质、三角形外角的性质、等腰三角形的判定和性质.求出，根据三角形外角的性质即可求出答案. 【详解】解：在正方形中，点E为对角线边上一点， ∴， ∴ ∵，是的一个外角， ∴， 故选：D 7. 已知，是一元二次方程的两个根，则的值是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 15 【答案】B 【解析】 【分析】本题利用一元二次方程根的定义对所求代数式降次，再结合根与系数的关系代入计算即可． 【详解】解：∵是一元二次方程的根， ∴，即， ∵，是方程的两个根， ∴由根与系数的关系可得，， ∴ ． 8. 如图，矩形中，，点是边上一点，连接，把沿折叠，使点落在点处，当为直角三角形时，的长为（ ） A. 3 B. C. 2或3 D. 3或 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形与折叠问题，勾股定理，先利用勾股定理求出，再分为两种情况，当和时，将图形画出，利用折叠性质和勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，当时， 矩形中，， ∴， 由折叠性质可得：， ∴， 设，则： 在中，由勾股定理可得：， 解得：， ∴， 如图，当时， ∴， 由折叠性质可得：， ∴四边形为正方形， ∴， 综上，或， 故选．D． 第Ⅱ卷（非选择题，共68分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 9. 把方程化为一般形式是__________． 【答案】 【解析】 【分析】先展开方程左边两个一次式的乘积，再合并同类项，整理为一元二次方程的一般形式即可． 【详解】解： ， 原方程化为一般形式为． 10. 已知一元二次方程的两个根是菱形的两条对角线长，则这个菱形的周长______． 【答案】20 【解析】 【分析】求出一元二次方程的两个根，根据菱形的对角线互相垂直平分，利用勾股定理可得答案． 【详解】解：， 则x1=6，x2=8，即菱形的两条对角线长分别为6和8， 则菱形的边长为， 故菱形的周长为5×4=20， 故答案为20 【点睛】本题考查解一元二次方程，菱形的性质，周长的求法，正确掌握一元二次方程的解法、菱形的性质，是解题的关键． 11. 如图，四边形是菱形，，对角线，相交于点O，于H，连接，则＝______度． 【答案】25 【解析】 【分析】先根据菱形的性质得，，再根据直角三角形的性质得，进而得出，根据平行线的性质得，然后根据直角三角形的两个锐角互余得出答案. 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，. ∵， ∴， ∴. 又∵， ∴. 在中，， 在中，， ∴. 故答案为：25． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，直角三角形的性质，平行线的性质等，弄清各角之间的数量关系是解题的关键． 12. 若关于的一元二次方程有一个根为，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】将代入方程得到关于的方程，结合一元二次方程二次项系数不为的条件，筛选得到符合要求的值即可． 【详解】解：∵原方程是关于的一元二次方程， ∴二次项系数满足 ，即 ， ∵原方程有一个根为， ∴将代入原方程，得 ， 解得或 ， ∵， ∴． 13. 如图，在中，，，，为边上（不与、重合）的动点，过点分别作于点，于点，则线段的最小值是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理、矩形的判定与性质、垂线段最短，熟练掌握矩形的判定与性质是解题关键． 连接，先利用勾股定理可得，再证出四边形是矩形，根据矩形的性质可得，然后根据垂线段最短可得当时，的值最小，即的值最小，利用三角形的面积公式求解即可得． 【详解】解：如图，连接， ∵在中，，，， ∴， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴， 由垂线段最短可知，当时，的值最小，即的值最小， ∴此时有， ∴， 即线段的最小值是， 故答案为：． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分） 14. 解方程： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用配方法解方程即可． （2）利用公式法解方程即可． 【小问1详解】 解：， ， ， 即，， ， ； 【小问2详解】 解：原方程整理，得，， ， ， ， ． 15. 已知关于的方程有两个实数根． （1）求实数的取值范围； （2）若，试求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据一元二次方程判别式与根的个数的关系，列出不等式，求解即可； （2）由一元二次方程根与系数的关系可得，，，代入可得关于的一元二次方程，求解并结合，舍去不符合条件的根即可． 【小问1详解】 解：∵方程有实数根， ∴， 整理，得， 解得； 【小问2详解】 解：， 根据根与系数的关系可得，，， ∵， ∴， ∴， 整理，得， 解得或， 由（1）可知，， ∴． 16. 如图，菱形的对角线相交于点O，延长至点E，使，连接． （1）求证：． （2）求证：． 【答案】（1）证明：∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴； （2）证明：设点到的距离为，则，， ∵， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）由菱形的性质可得，，再证明四边形为平行四边形，即可得证； （2）设点到的距离为，则，，再结合即可得证． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 略． 17. 定义：如果关于的一元二次方程（，，均为常数，）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，则称这样的方程为“邻根方程”． （1）下列方程中，按上述定义 （填序号）是“邻根方程”． ①；②；③． （2）若是“邻根方程”，求的值． （3）若一元二次方程（，，均为常数，）为“邻根方程”，求出，，应满足的数量关系． 【答案】（1）①③ （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）分别求得①②③中方程的两个根，再根据“邻根方程”的定义判断即可； （2）先求出方程的两个根，再根据“邻根方程”的定义列出关于的一元一次方程，求解即可； （3）设方程的两个根为、，根据“邻根方程”的定义得，利用根与系数的关系，结合完全平方公式即可得到，，的数量关系． 【小问1详解】 解：①解方程得，， ， 方程是“邻根方程”； ②解方程得， ， 方程不是“邻根方程”； ③解方程得，， ， 方程是“邻根方程”． 综上可知，“邻根方程”为：①③． 【小问2详解】 解：解方程得：，， 该方程是“邻根方程”， 或， 解得：或． 【小问3详解】 解：一元二次方程为“邻根方程”， ∴， 设方程的两个根为、，则，，， ∴， ∴， ∴． 18. 在正方形中，F是边上一点，，且． （1）如图1，过点P作于点E，求证：； （2）如图2，连接交于点G，求证：； （3）在（2）的条件下，若，，请直接写出的长． 【答案】（1）证明：∵正方形，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）证明：如图，连接，过点P作于点E， 由（1）得：， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）根据正方形的性质证明，即可得证； （2）连接，过点P作于点E，根据正方形的性质证明，即可得证； （3）连接，过点G作于点M，作于点N，根据正方形的判定与性质，勾股定理，即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，连接，过点G作于点M，作于点N， 由（2）得，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴四边形为矩形；， ∴， ∴四边形为正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 19. 关于x的方程有两个相等的实数根，那么m的值为___________ 【答案】或 【解析】 【分析】若一元二次方程有两个相等的实数根，则跟的判别式，建立关于m的方程，求出m的值． 【详解】解：∵方程有两个相等的实数根， ∴， 解得，， 故答案为：或． 【点睛】本题考查跟的判别式，一元二次方程的根与如下关系：当时，方程有两个不相等的两个实数根；当时，方程有两个相等的两个实数根；当时，方程无实数根，熟练掌握判别式的意义是解题的关键． 20. 如图所示，直线l过正方形的顶点B，点A、C到直线l的距离分别是3和5，则正方形的边长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质、勾股定理及三角形全等的性质应用，根据点A、C到直线l的距离分别是3和5，得到，，即可得到，从而得到，结合勾股定理求解即可得到答案． 【详解】解：∵点A、C到直线l的距离分别是3和5， ∴， 又， ∴, 又， ∴ ∵四边形是正方形， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 21. 已知实数，，满足，，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】由，知，，为方程的两实根，然后通过根的判别式即可求解． 【详解】解：∵，， ∴，为方程的的两实根， ∴， ∴，，， ∴，即，解得：， ∴， ∴． 22. 如图，在矩形ABCD中，，，P是AD上一个动点，于E，于F，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】连接，由矩形的性质得到，，则可求出，利用勾股定理求出，则可得到，再根据列式求解即可． 【详解】解：如图所示，连接， ∵矩形中， ∴，， ∵，， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 23. 对于实数a，b，定义运算“”，例如，因为，所以．若是一元二次方程的两个根，则_________． 【答案】0 【解析】 【分析】求出的解，代入新定义对应的表达式即可求解． 【详解】解：， 解得：， 即， 则， 故答案为：0． 【点睛】此题主要考查了根与系数的关系，对新定义的正确理解是解题的关键． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分） 24. 随着气温的降低，某电器商场销售一批电暖器，平均每天可售出30台，每台可盈利50元，经调查发现，如果每降价1元，商场平均每天可多售出2台．为了增大利润，商场决定采取适当的降价措施． （1）商场每天要盈利2100元，每台电暖器应降价多少元？ （2）该商场平均每天盈利能达到2500元吗？如果能，求出此时应降价多少；如果不能，请说明理由． 【答案】（1）每台电暖器应降价15元或20元 （2）不能．理由如下： 设每台电暖器降价元．根据题意，得 ， 整理，得． ∵， ∴该方程无实数根． ∴该商场平均每天盈利不能达到2500元． 【解析】 【分析】（1）设每台电暖器降价元，则每台盈利元，每天可以售出台，利用总利润=每台的利润×销售数量，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出x的值； （2）由根的判别式可得出该方程无实数根，进而可得出商场平均每天盈利不能达到2500元． 【小问1详解】 解：设每台电暖器降价元．根据题意，得 ， 解得． 答：每台电暖器应降价15元或20元． 【小问2详解】 略 25. 请阅读下列材料，并按要求完成相应的任务：一元二次方程及其解法最早出现在公元前两千年左右的古巴比伦人的《泥板文书》中．到了中世纪，阿拉伯数学家花拉子米在他的代表作《代数学》中给出了一元二次方程的一般解法，并用几何法进行了证明．我国古代三国时期的数学家赵爽也给出了类似的几何解法．赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了解方程，即的方法．首先构造了如图1所示的图形，图中的大正方形面积是，其中四个全等的小矩形面积分别为，中间的小正方形面积为，所以大正方形的面积又可表示为，据此易得原方程的正数解为． 任务： （1）参照上述图解一元二次方程的方法，请在三个构图中选择能够说明方程，解法的正确构图是______（从序号①②③中选择）． （2）请你通过上述问题的学习，在图2的网格中设计正确的构图，用几何法求方程的正数解（写出必要的思考过程，图2中的网格不要求全部使用） （3）一般地对于形如的一元二次方程可以构造图3来解，已知图3由个相同矩形构成，这个矩形的总面积为，中间围成的正方形边长为．那么______，______． 【答案】（1）② （2）如图： （3）； 【解析】 【分析】本题考查构造图形解一元二次方程，解题的关键是读懂材料中提供的构图方法，并能正确构图解一元二次方程，运用了数形结合的思想． （1）仿照阅读材料构造图形，即可判断出构图方法； （2）仿照阅读材料构造大正方形面积是，其中四个全等的小矩形面积分别为，中间的小正方形面积为，即可解决问题； （3）根据个矩形的总面积为，知，即；而中间围成的正方形边长为，可得解． 【小问1详解】 解：∵应构造面积是的大正方形，其中四个全等的小矩形面积分别为，中间的小正方形面积为， ∴大正方形的面积又可表示为， ∴大正方形的边长为， ∴， ∴， ∴解法正确的构图是②， 故答案为：②； 【小问2详解】 首先构造了如图2所示的图形， 图中的大正方形面积是，其中四个全等的小矩形面积分别为，中间的小正方形面积为， ∴大正方形的面积又可表示为， ∴大正方形的边长为， ∴， 解得：， ∴方程的正数解是； 【小问3详解】 如图：∵， ∴， ∵个矩形的总面积为， ∴， ∴， 解得：， ∵中间围成的正方形边长为， ∴， ∵，表示边长， ∴， 解得：， 故答案为：；． 26. 已知，如图，O为坐标原点，四边形为矩形，，点是的中点，动点在线段上以每秒2个单位长的速度由点C向B运动．设动点P的运动时间为t秒． （1）当t为何值时，四边形是平行四边形； （2）在直线上是否存在一点Q，使得O、D、Q、P四点为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接求出t的值，并直接写出此时Q点坐标；若不存在，请说明理由； （3）在线段上有一点M且，当P运动______秒时，四边形的周长最小值为______． 【答案】（1）2.5； （2）存在，时，；时，；时， （3）； 【解析】 【分析】（1）先求出，进而求出，再由运动知，进而由平行四边形的性质建立方程即可得出结论； （2）根据题意，分三种情况讨论，利用菱形的性质和勾股定理即可得出结论； （3）先判断出四边形周长最小，得出最小，即可确定出点的位置，进而勾股定理，即可得出结论． 【小问1详解】 解：∵四边形为矩形，， ， ∵点是的中点， ∴， 由运动知，， ， ∵四边形是平行四边形， ， ， ； 【小问2详解】 解：存在，①当点在的右边时，如图所示： ∵四边形为菱形， ， ∴在中，由勾股定理得：， ，解得， ， ； ②当点在的左边且在线段上时，如图所示： ∵四边形为菱形， ， ∴在中，由勾股定理得：， ， ，解得， ， ； ③当点在的左边且在的延长线上时，如图所示： ∵四边形为菱形， ， ∴在中，由勾股定理得：， ， ，解得， ， ； 综上所述，时，；时，；时，； 【小问3详解】 解：由（1）知，， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形的周长为， 最小时，四边形的周长最小， 作点A关于的对称点E，连接交于M，如图， ， ， 两点之间线段最短， 此时最小，即最小， ， 的最小值为， 四边形的周长最小值为， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵由对称得， ∴为的中位线， ， ， ， 故答案为：，． 【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了矩形的性质、菱形性质、平行四边形的性质、勾股定理、轴对称的性质，三角形的中位线定理，坐标与图形，解（1）的关键是求出的值，解（2）的关键时分类讨论的思想，解（3）的关键是找出点的位置． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $