精品解析：四川省泸州市泸县第五中学2025-2026学年九年级上学期10月月考数学试题

2025秋期九年级10月定时练习卷 数学 考试范围：一元二次方法，二次函数；考试时间：120分钟； 第I卷（选择题 36分） 一、单选题 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的概念，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2． 【详解】解：A. 是二元一次方程，不符合题意； B. 是一元二次方程，符合题意； C. 是二元二次方程，不符合题意； D. 是分式方程，不符合题意； 故选：B． 2. 方程的根是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．运用直接开方法求解即可． 【详解】解：， 移项，得， 直接开方，得． 故选：B 3. 一元二次方程的根是（ ） A. B. C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，利用因式分解法进行计算即可． 【详解】解：， 或， 解得，； 故选C． 4. 关于x的一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（ ） A. 1，，7 B. 1，6， C. 1，6，7 D. 1，， 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次方程的一般形式为的定义解答即可． 本题考查了一元二次方程的一般形式，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：由， 得， ∴一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别为1，，， 故选：D． 5. 关于一元二次方程根的情况，下列说法正确的是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 无实数根 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了根据判别式判断一元二次方程根的情况，解题关键是掌握根据判别式判断一元二次方程根的情况． 先分别写出各项系数，，，再求出，根据其符号判断根的情况． 【详解】解：， ，，， ， ∴一元二次方程有两个不相等的实数根， 故选：A． 6. 已知一元二次方程有两个实数根，则的值为（ ） A. 1 B. C. 3 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据根与系数的关系得． 【详解】解：根据根与系数的关系得， 故选：C． 【点睛】本题考查了根与系数的关系：若是一元二次方程的两根时，． 7. 抛物线可由抛物线平移得到，正确的平移过程应该是 （ ） A. 先向左平移个单位，再向上平移个单位 B. 先向右平移个单位，再向下平移个单位 C. 先向右平移1个单位，再向上平移个单位 D. 先向右平移个单位，再向下平移个单位 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，根据“左加右减，上加下减”的规则进行解答即可，掌握二次函数图象的平移规则是解题的关键． 【详解】解：由“左加右减”的原则可知，将抛物线向右平移个单位得到抛物线； 由“上加下减”的原则可知，将抛物线向上平移个单位得到抛物线， ∴平移过程为：先向右平移个单位，再向上平移2个单位， 故选：． 8. 关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（　　） A. 且 B. C. 且 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查根的判别式，根据方程有实数根得到，结合二次项的系数不为0，进行求解即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有实数根， ∴且， ∴且； 故选C． 9. 下列函数中，当时，随的增大而减小的是( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与一次函数的性质，根据二次函数的性质和一次函数的性质即可求解． 【详解】解：A. ，，对称轴为轴，开口向下，当时，随的增大而减小，故该选项正确，符合题意； B. ，，随的增大而增大，故该选项不正确，不符合题意； C. ，，对称轴为轴，开口向上，当时，随的增大而增大，故该选项不正确，不符合题意； D. ，，随的增大而增大，故该选项不正确，不符合题意； 故选：A． 10. 为了宣传环保，小明写了一篇倡议书，决定用微博转发的方式传播，他设计了如下的传播规则：将倡议书发表在自己的微博上，再邀请 个好友转发倡议书，每个好友转发倡议书之后，又邀请个互不相同的好友转发倡议书．以此类推，已知经过两轮传播后，共有人参与了传播活动，则的值是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了列一元二次方程解实际问题的运用，分析实际问题中的数量关系，利用其中的相等关系列出方程，找到“等量关系”列方程是解决问题的关键． 第一轮传播了个人，第二轮传播了个人，根据两轮传播后，共有111人参与列出方程求解即可． 【详解】解：由题意得， ， 解得，（舍去），， 的值是， 故选：C． 11. 已知抛物线，当时，的最小值为，最大值为，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的最值以及二次函数图象上点的坐标特征，利用二次函数图象的特征找出的取值范围是解题的关键．根据一元二次函数的顶点式可知，当时，取得最小值，最小值为，由，可得当或时，，最后结合题意即可得解． 【详解】， 当时，取得最小值，最小值为， 当时，有， 解得，，， 当或时，， 当时，的最小值为，最大值为， 结合图象可知，． 故选：C． 12. 如图，二次函数的图象经过点，对称轴是直线，下列结论：，，，中，其中正确结论的个数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，解决本题的关键是根据抛物线的开口方向、对称轴、与坐标轴的交点确定、、之间的关系，再根据、、之间的关系判断各式是否成立． 【详解】解：抛物线开口向下， ， 抛物线的对称轴是， ， ， 抛物线与轴交点在轴正半轴， ， ， 故正确； 抛物线与轴有两个不相等的实数根， 一元二次方程有两个不相等的实数根， ， 故正确； 抛物线的对称轴是， ， ， ， 故正确； 由图象可知抛物线与轴交于点， ， ， ， ， ， 故错误； 综上所述，正确结论的个数是． 故选：C． 第II卷（非选择题 84分） 二、填空题 13. 抛物线的顶点坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数顶点式的特征，根据二次函数的顶点式直接写出顶点坐标即可． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是． 故答案为：． 14. 若是关于的一元二次方程的一个根，则的值为___________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，解一元一次方程，解题关键是熟练掌握一元二次方程解的定义．把代入关于x的一元二次方程，得到关于k的方程，解方程即可． 【详解】解：∵是关于的一元二次方程的一个根， ∴， ∴， 故答案为：． 15. 某县为发展教育事业，加强了对教育经费的投入，年投入亿元，预计年投入亿元．设教育经费的年平均增长率为，根据题意可列出方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用中的增长率问题，解题关键是找准等量关系． 根据“年投入亿元，预计年投入亿元”，列出方程． 【详解】解：设教育经费的年平均增长率为， 可列方程： 故答案为：． 16. 设a，b是方程的两个不相等的实数根，则的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，根与系数的关系等知识，根据一元二次方程的解及根与系数的关系得到，，代入求解即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵a，b是方程的两个不相等的实数根， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 三、本大题共3个小题，每小题6分，共18分． 17. 用配方法解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，通过配成完全平方式（）的方法得到一元二次方程的根，这种解一元二次方程的方法称为配方法．掌握配方法解一元二次方程是解题的关键．根据配方法解一元二次方程即可求解． 【详解】解：两边都加，得： ， 即， 两边开平方，得：， 即或 解得：，． 18. 解方程： 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的求解，通过因式分解求解即可． 【详解】解：原方程变形为：， 即：， ，， 解得，． 19. 用公式法解一元二次方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了利用公式法解一元二次方程，准确计算是解题的关键． 准确利用公式法的解题步骤求解即可． 【详解】解:， ，，， ， ， ，． 四、本大题共2个小题，每小题7分，共14分． 20. 已知关于的二次函数的图象的顶点坐标为，且图象过点，求这个二次函数的解析式． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，得出的值是解题关键．直接利用顶点式设出二次函数解析式，进而代入求出即可． 【详解】解：二次函数的图象的顶点坐标为， 设解析式为：， 将代入得出：， 解得：． 故这个二次函数的解析式为：． 21. 已知：二次函数的图象经过点． （1）求b的值； （2）求出该二次函数图象的顶点坐标和对称轴； 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，求二次函数的对称轴和顶点坐标，解题的关键在于能够熟练掌握求二次函数解析式的方法． （1）直接把点代入到二次函数解析式中进行求解即可； （2）根据（1）所求把二次函数化成顶点式进行求解即可． 【小问1详解】 解：∵二次函数的图象经过点， ∴， ∴； 【小问2详解】 ∵， ∴二次函数解析式为， ∴二次函数的顶点坐标为，对称轴为直线． 五、本大题共2个小题，每小题8分，共16分． 22. 某租赁公司拥有汽车100辆．据统计，每辆车的月租金为4000元时，可全部租出，每辆车的月租金每增加100元，未租出的车将增加1辆，租出的车每辆每月的维护费为500元，未租出的车辆每月只需维护费100元． （1）当每辆车的月租金为4800元时，能租出多少辆？并计算此时租赁公司的月收益（租金收入扣除维护费）是多少万元？ （2）规定每辆车月租金不能超过7200元，当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益（租金收入扣除维护费）可达到40.4万元？ 【答案】（1）当每辆车的月租金为4800元时，能租出92辆，此时租赁公司的月收益是39.48万元；（2）每辆车的月租金定为5000元时，租赁公司的月收益可达到40.4万元 【解析】 【分析】（1）由月租金比全部租出多4800−4000＝800元，得出未租出车的数量，从而根据每辆车的租金减去500元，乘以租出的车的数量，减去100乘以未租出的车的数量，等于租金收益即可； （2）设上涨x个100元，根据租赁公司的月收益可达到40.4万元，列方程并求解即可． 【详解】（1）（辆）， （元）， 394800元万元． 答：当每辆车的月租金为4800元时，能租出92辆，此时租赁公司的月收益是39.48万元． （2）40.4万元元 设上涨个100元，由题意得： 整理得： 解得：， 规定每辆车月租金不能超过7200元， 取，则（元） 答：每辆车的月租金定为5000元时，租赁公司的月收益可达到40.4万元． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 23. 已知关于x的一元二次方程 （1）若该方程有一个根是，求k的值． （2）若该方程的两个实数根满足， 求k的值． 【答案】（1）或； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解、根的判别式、根与系数的关系等知识点，掌握根与系数的关系是解题的关键． （1）把代入方程求出k的值即可； （2）根据方程有两个实数根得到，求解可得k的取值范围；根据根与系数的关系可得，再整理并将整体代入得到关于k的一元二次方程求解即可； 【小问1详解】 解：把代入方程得： 解得：或； 【小问2详解】 解：∵方程的两个实数根 ∴，解得：； ∴， ∴ ， 解得：或（不合题意，舍去）． ∴． 六、本大题共2个小题，每小题12分，共24分． 24. 如图，已知抛物线经过点． （1）求出此抛物线的顶点坐标； （2）当时，直接写出的取值范围． 【答案】（1）抛物线的顶点坐标为 （2）或 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式和二次函数的性质． （1）把点代入得到关于m的方程，再解方程可确定抛物线解析式，再化为顶点式求顶点坐标； （2）分别确定时x对应的函数值，然后结合函数图象和二次函数的性质求解． 【小问1详解】 把代入得： ， 解得， ∴， ∴抛物线的顶点坐标为； 【小问2详解】 ∵， ∴抛物线开口向下，有最大值4， ∵当时，或， ∴当时，x的取值范围是或． 25. 如图，已知抛物线与一直线相交于两点，与y轴交于点N．其顶点为D． （1）求抛物线及直线的函数关系式； （2）设点，求使的值最小时t的值； （3）若P是抛物线上位于直线上方的一个动点，求的面积的最大值． 【答案】（1）抛物线解析式为；直线解析式为 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）用待定系数法即可求得抛物线与直线的解析式； （2）易知点M在y轴左边，距y轴3个单位且与y轴平行的直线l上；作点N关于直线l的对称点F，分别连接，交直线l于点E；则，由，当M与E重合时，取得最小值，求出直线解析式，可求得t的值； （3）过点P作轴于H，交直线于G；设，则得点G的坐标，求得；由转化为二次函数，即可求得面积的最大值． 【小问1详解】 解：∵抛物线与一直线相交于两点， ∴， 解得：， ∴抛物线解析式为； 设直线解析式为，把A、C两点坐标分别代入得： 解得：， ∴直线解析式为； 【小问2详解】 解：∵， ∴点M在y轴左边，距y轴3个单位且与y轴平行的直线l上； 如图，作点N关于直线l的对称点F，分别连接，交直线l于点E； 由对称知：， ∵， ∴当M与E重合时，取得最小值； 对于，令，则； ∴， ∴； ∵， ∴抛物线顶点D坐标为； 设直线解析式为，把F、D的坐标分别代入得：， 解得：， ∴直线解析式为， 上式中令，则； 【小问3详解】 解：如图，过点P作轴于H，交直线于G； 设， ∵点G在直线上， ∴， ∴； ∴ ； 当时，有最大值． 【点睛】本题是二次函数的综合，考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图像与性质，二次函数与面积的综合，对称问题等知识，有一定的运算量，计算要细心． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025秋期九年级10月定时练习卷 数学 考试范围：一元二次方法，二次函数；考试时间：120分钟； 第I卷（选择题 36分） 一、单选题 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 方程的根是（ ） A. B. C. D. 3. 一元二次方程的根是（ ） A. B. C. ， D. ， 4. 关于x的一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（ ） A. 1，，7 B. 1，6， C. 1，6，7 D. 1，， 5. 关于一元二次方程根的情况，下列说法正确的是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 无实数根 D. 无法确定 6. 已知一元二次方程有两个实数根，则的值为（ ） A. 1 B. C. 3 D. 7. 抛物线可由抛物线平移得到，正确的平移过程应该是 （ ） A. 先向左平移个单位，再向上平移个单位 B. 先向右平移个单位，再向下平移个单位 C. 先向右平移1个单位，再向上平移个单位 D. 先向右平移个单位，再向下平移个单位 8. 关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（　　） A. 且 B. C. 且 D. 9. 下列函数中，当时，随的增大而减小的是( ) A. B. C. D. 10. 为了宣传环保，小明写了一篇倡议书，决定用微博转发的方式传播，他设计了如下的传播规则：将倡议书发表在自己的微博上，再邀请 个好友转发倡议书，每个好友转发倡议书之后，又邀请个互不相同的好友转发倡议书．以此类推，已知经过两轮传播后，共有人参与了传播活动，则的值是（ ）． A. B. C. D. 11. 已知抛物线，当时，的最小值为，最大值为，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 12. 如图，二次函数的图象经过点，对称轴是直线，下列结论：，，，中，其中正确结论的个数是（ ） A. B. C. D. 第II卷（非选择题 84分） 二、填空题 13. 抛物线的顶点坐标是______． 14. 若是关于的一元二次方程的一个根，则的值为___________ 15. 某县为发展教育事业，加强了对教育经费的投入，年投入亿元，预计年投入亿元．设教育经费的年平均增长率为，根据题意可列出方程为______． 16. 设a，b是方程的两个不相等的实数根，则的值为_____． 三、本大题共3个小题，每小题6分，共18分． 17. 用配方法解方程：． 18. 解方程： 19. 用公式法解一元二次方程：． 四、本大题共2个小题，每小题7分，共14分． 20. 已知关于的二次函数的图象的顶点坐标为，且图象过点，求这个二次函数的解析式． 21. 已知：二次函数的图象经过点． （1）求b的值； （2）求出该二次函数图象的顶点坐标和对称轴； 五、本大题共2个小题，每小题8分，共16分． 22. 某租赁公司拥有汽车100辆．据统计，每辆车的月租金为4000元时，可全部租出，每辆车的月租金每增加100元，未租出的车将增加1辆，租出的车每辆每月的维护费为500元，未租出的车辆每月只需维护费100元． （1）当每辆车的月租金为4800元时，能租出多少辆？并计算此时租赁公司的月收益（租金收入扣除维护费）是多少万元？ （2）规定每辆车月租金不能超过7200元，当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益（租金收入扣除维护费）可达到40.4万元？ 23. 已知关于x的一元二次方程 （1）若该方程有一个根是，求k的值． （2）若该方程的两个实数根满足， 求k的值． 六、本大题共2个小题，每小题12分，共24分． 24. 如图，已知抛物线经过点． （1）求出此抛物线的顶点坐标； （2）当时，直接写出的取值范围． 25. 如图，已知抛物线与一直线相交于两点，与y轴交于点N．其顶点为D． （1）求抛物线及直线的函数关系式； （2）设点，求使的值最小时t的值； （3）若P是抛物线上位于直线上方的一个动点，求的面积的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $