5.4 二次函数与一元二次方程第1课时课件 2026-2027学年北师大版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦二次函数与一元二次方程的关系，通过竖直上抛小球的实际问题导入，以“求落地时间”引出h=0时的方程求解，搭建从现实情境到数学模型的学习支架，衔接函数图象与方程根的联系。 其亮点在于以情境导入激发兴趣，通过观察三个二次函数图象与x轴交点的探究活动，培养数学眼光中的几何直观和抽象能力，结合判别式推理培养数学思维，应用举例强化数学语言的模型意识。学生能在实践中理解知识联系，教师可借助实例提升教学效率。

第5章 二次函数 4　二次函数与一元二次方程 第1课时 二次函数与一元二次方程 北师大版（2024） 九年级 数学（上） 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 导入新课 竖直上抛物体的高度h(m)与运动时间t(s)的关系可以近似地用公式h＝－5t2＋v0t＋h0表示，其中h0(m)是抛出时的高度，v0(m/s)是抛出 时的速度。一个小球从地面被以 40 m/s的速度竖直向上抛起，小 球距离地面的高度h(m)与运动时 间t(s)的关系如图所示。 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 (1)h与t的关系式是什么？ (2)小球经过多少秒后落地？你有几种求解方法？与同伴进行交流。 解：(1)将点(0，0)，(8，0)代入可得h＝－5t2＋40t； (2)当h＝0时，t1＝0，t2＝8， ∴小球经过8 s落地。 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 探究新知 二次函数y=x2+2x，y=x2-2x+1，y=x2-2x+2的图象如图所示. 【探究1】 观察·思考 （1） （2） （3） 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 (1)每个图象与x轴有几个交点？ 两个交点 一个交点 y=x2+2x y=x2-2x+1 y=x2-2x+2 没有交点 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 (2)一元二次方程x2＋2x＝0，x2－2x＋1＝0有几个实数根？用判别式验证一下。 解：x²+2x=0 两个根 x（x+2）=0 x=0或x+2=0 x1=0, x2=-2 两个相同的根 x²-2x+1=0 （x-1）²=0 x-1=0 ∴x1 = x2 =1 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 解：∵ △＝b²-4ac 一元二次方程x2－2x＋2＝0有实数根吗？ ＝（-2）²-4×1×2 ＝-4＜0 ∴原方程无实数根 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 (3)二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交点的坐标和一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根有什么关系？ 抛物线y=ax2+bx+c与x轴 ax2+bx+c = 0 的根 △= b2 – 4ac 有两个交点 有两个不同实根 △ > 0 有一个交点 有两个相同实根 △ = 0 没有交点 没有根 △ < 0 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和x轴交点的横坐标即为一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根。 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 归纳总结 Δ＝b2－4ac＞0时，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴有两个交点，交点的横坐标即为一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两个根； Δ＝0时，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴有一个交点，交点的横坐标即为一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根； Δ＜0时，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴无交点。 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 h=－5t2＋40t 何时小球的高度是60 m？你是如何知道的？ 【方法指导】已知h＝－5t2＋40t， 把h＝60代入即可求出时间． 解：由－5t2＋40t＝60， 【探究2】 观察·思考 解得t1＝2，t2＝6. 即当小球经过2 s和6 s时小球离地面60 m. 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 应用举例 【例1】若二次函数y＝2(k－1)x2－4kx＋2(k－1)的图象与x轴有两个交点，求k的取值范围。　　　　　 【方法指导】由题意知该函数为二次函数，则2(k－1)≠0，又与x轴有两个交点，则说明当y＝0时，2(k－1)x2－4kx＋2(k－1)＝0有两个不同的实数根，即b2－4ac＞0。 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 解：由题意，得 解得k＞且k≠1， ∴当k＞且k≠1时，二次函数的图象与x轴有两个交点。 2（k-1） b²-4ac 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 【例2】画出二次函数y＝x2－2x－3的图象，根据图象解答下列问题： (1)图象与x轴的交点的坐标是什么？ (2)当x取何值时y＝0？这里x的值与方程x2－2x－3＝0有何关系？ (3)你能从中得到什么启示？ 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 【方法指导】∵y＝x2－2x－3＝(x－1)2－4，∴顶点坐标是(1，4)，列表取值时，x取－2，－1，0，1，2，3，4，求出相应的y值，即可描点、连线，画出二次函数的图象，得到二次函数的图象与x轴的交点坐标，这时再求出方程x2－2x－3＝0的解，即二次函数的图象与x轴两个交点的横坐标。 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 解：二次函数y＝x2－2x－3的图象如图。 (1)图象与x轴的交点坐标是 (－1，0)，(3，0)； y x 1 2 1 2 3 -1 -2 -1 -2 -3 -4 O (2)当x＝－1或x＝3时，y＝0，这里x的值是方程x2－2x－3＝0的两个根； 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 (3)二次函数y＝x2－2x－3的图象与x轴交点的横坐标是一元二次方程x2－2x－3＝0的两个根； 二次函数图象与x轴交点的横坐标即为对应的一元二次方程的两根。 y x 1 2 1 2 3 -1 -2 -1 -2 -3 -4 O 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 随堂练习 1.一个小球被从地面向上弹出，它的高度h(单位:m)可以用公式h=-4.9t²+19.6t来表示，其中t(单位:s)表示小球被弹出后经过的时间。 （1）出函数h=-4.9t²+19.6t 的图象； （2）当t =1，2时，小球的高度分别是多少？ （2）当t=1时， h=-4.9+19.6=14.7（m） 当t=2时， h=-4.9×2²+19.6×2=19.6 （m） 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 (3)方程-4.9t²+19.6t=0和方程-4.9t ² +19.6t=14.7的根的实际意义分别是什么?你能在图象上表示出来吗? 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 2. 二次函数y=x2+bx-1(b为常数)的图象与x轴相交吗? 如果相交，有几个交点? 解:二元一次方程x2+bx-1=0中， △=b2+4 ∴二次函数y=x2+bx-1与x轴有两个交点. 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 解:一元二次方程x2-6x+4=1的根是二次函数y=x2-6x+4的图象与直线y=1的交点的横坐标. x … 0 1 2 3 4 5 6 … y … 4 -1 -4 -5 -4 -1 4 … 3. 一元二次方程x2－6x+4=1的根与二次函数y=x2－6x+4的图象有什么关系?试把方程的根在图象上表示出来. 以下作函数y=x2-6x+4的图象. 列表： 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 描点、连线,图象简图如图所示,方程两根为点A,B的横坐标. 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 4. 二次函数y=－x2+3x+4的图象与一次函数y=2x－1的图象相交吗？如果相交，请求出它们的交点坐标？ 解：由题意得－x2+3x+4=2x－1， 即x2 － x － 5=0， ∵△=b2－4ac=1+20=21＞0， ∴x1 =, x2 =. ∴交点坐标为(, ) 或. ∴y1 =, y2 = － 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 课堂小结 二次函数与一元二次方程 二次函数与一元二次方程的关系 y=ax2+bx+c(a ≠0)，当y取定值时就成了一元二次方程；ax2+bx+c=0(a ≠0),右边换成y时就成了二次函数. 二次函数与一元二次方程根的情况 二次函数与x轴的交点个数 判别式 的符号 一元二次方程根的情况 Δ 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 $