精品解析：四川达州市达川区万家初级中学2026-2027学年九年级上学期9月学情自测数学试题

达州市万家初级中学2026-2027学年九年级上学期9月月考数学试题 （全卷满分150分，考试时间120分钟） A卷（共100分） 一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分） 1. 菱形具有而矩形不具有的性质是（ ） A. 对角线相等 B. 四边相等 C. 对角线互相平分 D. 邻边互相垂直 【答案】B 【解析】 【分析】根据菱形和矩形的性质进行逐一判定即可 【详解】解：菱形具有而矩形不具有的性质是：四边相等 故选：B 【点睛】本题考查了菱形和矩形的性质，熟练掌握相关的性质是解题的关键 2. 下列方程是关于的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. （为常数） 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是含有一个未知数且未知数的最高次数是是解题关键．根据一元二次方程的定义，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程进行分析即可． 【详解】解：A、整理得，未知数的最高次数是1，不是一元二次方程，故此选项不符合题意； B、含有两个未知数，不是一元二次方程，故此选项不符合题意； C、不是整式方程，不是一元二次方程，故此选项不符合题意； D、是一元二次方程，故此选项符合题意； 故选：D 3. 如图，在矩形中，，对角线与相交于点，，垂足为，若，则的长是（ ） A. 6 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质、等腰三角形的性质、勾股定了，由矩形的性质得出，由等腰三角形的性质得出，推出，最后由勾股定理计算即可得解． 【详解】解：四边形是矩形， ，，，， ， ，，即垂直平分， ， ， ， ， 故选D． 4. 用配方法解一元二次方程，配方后得到的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】方程两边同时加上一次项系数一半的平方即计算即可． 【详解】∵， ∴， ∴， ∴， 故选D． 【点睛】本题考查了配方法，熟练掌握配方法的基本步骤是解题的关键． 5. 如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为，宽为．停车场内车道的宽都相等，若停车位的占地面积为．求车道的宽度（单位：）．设停车场内车道的宽度为，根据题意所列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：若设停车场内车道的宽度为，则停车位通过平移可合成长为，宽为的矩形， 根据题意得：． 6. 如图，点E在正方形的对角线上，且，的两直角边，分别交，于点M，N．若正方形的边长为3，则重叠部分（即四边形）的面积为（ ） A. 3 B. 4 C. 8 D. 【答案】B 【解析】 【分析】过点E作于点P，于点Q，由正方形的性质得到，，，根据勾股定理求得，从而得到，证明四边形是正方形，得到，，，进而证得，得到，从而，根据勾股定理求出，即可解答． 【详解】解：过点E作于点P，于点Q， ∵正方形的边长为3， ∴，，， ∴在中，， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴四边形是矩形， ∵，， ∴， ∴， ∴矩形是正方形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 在中，，， 又， ∴， 解得（负值舍去）， ∴， ∴． 7. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ） A. B. 且 C. 且 D. 且 【答案】C 【解析】 【分析】需同时满足二次项系数非零、二次根式被开方数非负、判别式大于0三个条件，取公共部分求解． 【详解】解：∵方程是关于x的一元二次方程， ∴，即． ∵二次根式有意义， ∴，即． ∵方程有两个不相等的实数根， ∴， 即， 解得． 综上，的取值范围是且． 8. 在菱形中，，，点在上，，若点是菱形四条边上异于点的一点，，则以下长度中，不可能是的长度的是（ ） A. B. 4 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分点位于边上、位于边上、位于边上三种情况讨论，利用含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理求解即可． 【详解】解：当点位于边上时，如图所示： 菱形中，，， ，， ； 当点位于边上时，如图所示： 菱形中，，， 是等边三角形， 过点作于点， ， 由勾股定理得， ， 点与点重合， ； 当点位于边上时， ，，， ， ， 由勾股定理得． 综上，的长为或4或． 故选：C． 【点睛】本题考查了菱形的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理等，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 9. 若方程是关于x的一元二次方程，则a的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义，即得到关于的不等式，解之即可． 【详解】解：根据题意得：， 解得：， 故答案为：． 10. 已知是方程的一个根，则__________． 【答案】7 【解析】 【分析】一元二次方程的根就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立． 【详解】解：把x＝1代入方程得即a＝7． 故答案是：7． 【点睛】本题主要考查了方程的解的定义，把求未知系数的问题转化为方程求解的问题． 11. 如图，四边形是菱形，对角线，相交于点，于点，连接，若，则的度数是______． 【答案】##24度 【解析】 【分析】利用菱形性质得出，可知为斜边中线，结合等腰三角形的性质求出，利用外角即可求出的值． 【详解】解：四边形是菱形， ，，， ， ， ， ，， ， ， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了菱形的性质，直角三角形斜边中线等于斜边一半，等边对等角，三角形外角性质等知识，根据菱形性质判断出为斜边中线是解题关键． 12. 关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是______________． 【答案】且##且 【解析】 【分析】需满足两个条件，一是一元二次方程要求二次项系数不为0，二是方程有两个不相等实数根要求根的判别式大于0，据此列不等式求解． 【详解】解：∵该方程是关于x的一元二次方程， ∴， ∵方程有两个不相等的实数根， ∴根的判别式计算得， ∴， 解得， 综上，m的取值范围是且． 13. 如图，E，F，G，H分别为矩形各边的中点．若，，则四边形的周长为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是矩形的性质，勾股定理的应用，先证明，，，再进一步利用勾股定理计算即可． 【详解】解：∵矩形，，， ∴，，， ∵E，F，G，H分别是矩形各边的中点， ，． ∴， 同理可得：， ∴四边形的周长为； 故答案为： 三、解答题（本大题共5个小题，共48分） 14. 解方程： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，解题的关键在于正确掌握因式分解法与公式法． （1）利用因式分解法求解，即可解题； （2）利用公式法求解，即可解题． 【小问1详解】 解： 解得． 【小问2详解】 解： 有， ∴． ∴方程有两个不相等的实数根． ∴． 解得． 15. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求k的取值范围； （2）设，是原方程的两个实数根．若k为正整数，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据方程有两个不相等的实数根，可得，进一步求解即可； （2）根据，结合k为正整数，再进一步求解即可． 【小问1详解】 解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴ ， 解得，， ∴的取值范围为； 【小问2详解】 解：∵，是原方程的两个实数根，， ∵k为正整数， ∴， ∴方程为， ∴． 16. 如图，菱形的对角线相交于点O，过点B作，过点C作，与相交于点E． （1）求证：四边形是矩形； （2）连接，若，求的长． 【答案】（1） 证明：∵， ∴四边形是平行四边形. ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴平行四边形是矩形； （2） 【解析】 【分析】对于（1），先说明四边形是平行四边形，再根据菱形的性质得，即可得出答案； 对于（2）根据菱形得性质得，再根据勾股定理得，进而得出，然后根据矩形的性质，结合勾股定理求出答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图， ∵四边形是菱形，， ∴， ∴， ∴. ∵四边形是矩形， ∴. 在中，由勾股定理得：. 【点睛】本题主要考查了矩形的性质和判定，菱形的性质，勾股定理，理解特殊平行四边形之间的关系是解题的关键，勾股定理是求线段长的常用方法． 17. 某驻村工作队，为带动群众增收致富，巩固脱贫攻坚成效，决定在该村山脚下，围一块矩形试验茶园，便于成功后大面积推广．如图所示，茶园一面靠墙，墙长，另外三面用长的篱笆围成，其中一边开有一扇宽的门（不包括篱笆）． （1）若矩形面积为，求这个茶园的长和宽． （2）当，分别为多少米时，茶园的面积最大？最大面积是多少？ 【答案】（1）这个茶园的长为，宽为 （2）当，时，茶园的面积最大，最大面积是 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用及二次函数的应用，解题的关键是理解题意； （1）设这个茶园的宽为，则长为，由题意可得方程，进而求解即可； （2）设，则有，茶园的面积为，由题意易得，然后可得，进而根据二次函数的性质可进行求解． 【小问1详解】 解：设这个茶园的宽为，则长为，由题意得： ， 解得：， ∵墙长， ∴，且， 解得：， ∴， ∴长为； 答：这个茶园的长为，宽为 【小问2详解】 解：设，则有，茶园的面积为， 由题意得：， 由（1）可知：， ∵， ∴当时，茶园的面积为取得最大值，最大值为； 答：当，时，茶园的面积最大，最大面积是． 18. 如图，的对角线相交于点O，过点D作且，连接． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，求证：四边形为菱形； （3）在（2）的条件下，若，求的长． 【答案】（1） 证明：四边形为平行四边形， ， ，， 且， 四边形是平行四边形； （2） 证明：由（1）知四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形， ， ， 平行四边形为菱形； （3） 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质，矩形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理等，能够综合应用上述知识是解题的关键． （1）由平行四边形对角线互相平分，可得，结合，，可得且，即可证明四边形是平行四边形； （2）先证四边形是矩形，推出，即可证明四边形为菱形； （3）先证是等边三角形，再用勾股定理解求出，由四边形是矩形可得，再用勾股定理解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：菱形中， ，， 是等边三角形， ， ， 菱形中， ， 由（2）知四边形是矩形， ，， ． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 19. 若关于的一元二次方程的一个实数根是，则的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了由一元二次方程的解求参数，熟练掌握一元二次方程的解的定义是解题的关键：使方程左、右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根；根据一元二次方程的解的定义可得，进而可得答案． 【详解】解：关于的一元二次方程的一个实数根是， ， ， 的值是， 故答案为：． 20. 中国结寓意团圆、美满，以独特的东方神韵体现中国人民的智慧和深厚的文化底蕴，小明家有一个菱形中国结装饰．测得，，则该菱形的面积为______． 【答案】96 【解析】 【分析】根据菱形的面积等于其对角线长的乘积的一半求解即可． 【详解】解：∵在菱形中，，， ∴该菱形的面积为． 21. 如图，点在矩形的边上，将矩形沿翻折，点恰好落在边的点处，如果，那么的值等于______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的翻折问题，勾股定理，等腰三角形的判定，熟练掌握以上知识点是是解题的关键． 根据矩形的性质得到，，再根据翻折的性质和等角对等边证明，，然后设，利用勾股定理表示出和即可求解． 【详解】解：四边形是矩形， ，， 由折叠可得：，，， ， ∴， ， ， ∴， ， 设， 在中，， ∴， ， 在中，， ， ． 故答案为：． 22. 若关于的一元二次方程（）有一个实数根为，则一元二次方程必有一个实数根为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可得，设，可得关于的一元二次方程（）有一个实数根为，则，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴， 设， 则方程可化为 ∵关于的一元二次方程（）有一个实数根为， ∴关于的一元二次方程（）有一个实数根为， ∴， ∴， ∴一元二次方程必有一个实数根为． 23. 如图，点是正方形的边上一点，把绕点顺时针旋转到的位置．过点作于点，连接，若，，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质，旋转的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，直角三角形斜边上中线的性质，综合运用相关知识是解题的关键． 由正方形的性质得到，，，由旋转得到，，进而根据“三线合一”得到点是的中点，运用勾股定理在中，求得，进而根据直角三角形斜边上中线的性质即可解答． 【详解】解：四边形是正方形， ，， ， 由旋转得到， ，， ， 点是的中点， ，， ， ， 点是的中点， 故答案为： 二、解答题（本大题共3个小题，共30分） 24. 如图，在正方形中，为对角线上一点，连接，．过点作，交边于点，以为邻边作矩形． （1）求证：； （2）连接，若，求出的长． 【答案】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴，，， ∵， ∴， ∴． 过点E作于点M，于点N，则， 四边形是正方形， ，， 四边形是矩形， ， 即， ， ∴， 即， ， ，，， ， ， ， ， ∴． （2） 【解析】 【分析】（1）先由正方形的性质有，，即可证明，得到．过点E作于点M，于点N，先根据正方形的性质证明四边形是矩形，进一步证明，可得，即可得出结论； （2）连接，先证明矩形是正方形，进而可得，从而，并求得的长，进一步证明，并求得的长，再利用勾股定理可求得的长，最后在中，根据勾股定理即可求得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接， ∵， ∴矩形是正方形， ∴，． ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ， ， ， ，， ． ∵在正方形中，，， ， ， ∴在中，． ∵在正方形中，，， ∴， ． 25. 已知关于x的一元二次方程有两个实数根，，若满足，则此类方程叫做“差根方程”．根据“差根方程”的定义，解决下列问题： （1）下列是“差根方程”的是________；（填写序号） ①；② （2）已知关于x的方程是“差根方程”，求a的值． （3）已知是直角三角形，斜边的长为，若的两边、的长是一个二次项系数为1的“差根方程”的两个实数根，求出这个“差根方程”． 【答案】（1）① （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查新定义“差根方程”，一元二次方程的求解、完全平方公式和勾股定理的应用，熟练掌握相关知识，正确理解新的定义是解题的关键． （1）先求解两个方程，再根据“差根方程”定义判断即可； （2）先求解方程得到两个根，根据“差根方程”定义列方程求解即可； （3）利用勾股定理和“差根方程”的定义，结合完全平方公式求出两根之和与两根之积，再写出二次项系数为1的方程即可． 【小问1详解】 解：① 解得：或， ， 是“差根方程”； ② 解得：，， ， ②不是“差根方程”； 【小问2详解】 解：方程 因式分解得：， 解得：，， 方程是“差根方程”， ， ， 或， 解得：或； 【小问3详解】 解： 设、， 是直角三角形，斜边的长为， ， ， 、是“差根方程”的两个实数根， ， ， ， ， ， ， 、是三角形的边长，均为正数， ， 方程二次项系数为1， 所求差根方程为． 26. 定义：在中，如果有一条对角线的长等于其中一条边的长，则称这个平行四边形为“字平行四边形”． （1）下面的图形中是“字平行四边形”的有：_________； A．正方形 B．矩形 C．有一个角是的菱形 D．有一个角是的平行四边形 E．有一个角是的平行四边形 （2）在“字平行四边形”中，，，则_________． （3）如图，在“字平行四边形”中，，，点是边上一点，，与的延长线交于点，若为“字平行四边形”，求的值； （4）如图，在矩形中，点、分别是边和边上的点，四边形为“字平行四边形”，若，求的值． 【答案】（1）C （2） （3） （4）或 【解析】 【分析】（1）根据“字平行四边形”的定义逐一判断即可； （2）由平行四边形是“字平行四边形”， ，可得，推出，得到，推出，即可求解； （3）连接，，由在字中，，，可得，，由可得，，则，由大角对大边可得，，若为“字平行四边形”，分两种情况：①当时，②当时，分别求解即可； （4）过点作于点，过点作于点，两种情况：①当时，②当时，结合相关知识求解即可． 【小问1详解】 解：A．正方形的对角线为边长的倍，故不满足； B、矩形的对角线长不等于其中一条边的长，故不满足； C、有一个角是的菱形，有一条对角线的长等于其中一条边的长，故满足； D、有一个角是的平行四边形的对角线，不等于其中一条边的长，故不满足； E．有一个角是的平行四边形，不等于其中一条边的长，故不满足； 故 答 案 为：C； 【小问2详解】 如图，平行四边形是“字平行四边形”， ， ， ， ， ， ， 故答案为：； 【小问3详解】 证明：连接，， 在字中，，， ，， ， ， ， 由大角对大边可得，， 若为“字平行四边形”，只能分为以下几种情况 ①当时，， 过点作于点， 可得点为的中点，，， 又， ， ，； ②当时，， 此时，，矛盾； 综上，若为字平行四边形，； 【小问4详解】 过点作于点，过点作于点， 四边形为矩形， ，，， 四边形为平行四边形， ，， ，， 即． 四边形为字平行四边形， 又，． 有以下两种情况： ①当时， ， 为的中点， ． 在矩形中，， 又， ， ， ， ； ②当时， ， 为的中点， ， 设， 则，，． ， ． ， ， ， ， 由可得． ， ． 综上，或． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，矩形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的性质，解题的关键是掌握相关知识，并分类讨论． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 达州市万家初级中学2026-2027学年九年级上学期9月月考数学试题 （全卷满分150分，考试时间120分钟） A卷（共100分） 一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分） 1. 菱形具有而矩形不具有的性质是（ ） A. 对角线相等 B. 四边相等 C. 对角线互相平分 D. 邻边互相垂直 2. 下列方程是关于的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. （为常数） 3. 如图，在矩形中，，对角线与相交于点，，垂足为，若，则的长是（ ） A. 6 B. C. D. 4. 用配方法解一元二次方程，配方后得到的方程是（ ） A. B. C. D. 5. 如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为，宽为．停车场内车道的宽都相等，若停车位的占地面积为．求车道的宽度（单位：）．设停车场内车道的宽度为，根据题意所列方程为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，点E在正方形的对角线上，且，的两直角边，分别交，于点M，N．若正方形的边长为3，则重叠部分（即四边形）的面积为（ ） A. 3 B. 4 C. 8 D. 7. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ） A. B. 且 C. 且 D. 且 8. 在菱形中，，，点在上，，若点是菱形四条边上异于点的一点，，则以下长度中，不可能是的长度的是（ ） A. B. 4 C. D. 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 9. 若方程是关于x的一元二次方程，则a的取值范围是________． 10. 已知是方程的一个根，则__________． 11. 如图，四边形是菱形，对角线，相交于点，于点，连接，若，则的度数是______． 12. 关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是______________． 13. 如图，E，F，G，H分别为矩形各边的中点．若，，则四边形的周长为_______． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分） 14. 解方程： （1） （2） 15. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求k的取值范围； （2）设，是原方程的两个实数根．若k为正整数，求的值． 16. 如图，菱形的对角线相交于点O，过点B作，过点C作，与相交于点E． （1）求证：四边形是矩形； （2）连接，若，求的长． 17. 某驻村工作队，为带动群众增收致富，巩固脱贫攻坚成效，决定在该村山脚下，围一块矩形试验茶园，便于成功后大面积推广．如图所示，茶园一面靠墙，墙长，另外三面用长的篱笆围成，其中一边开有一扇宽的门（不包括篱笆）． （1）若矩形面积为，求这个茶园的长和宽． （2）当，分别为多少米时，茶园的面积最大？最大面积是多少？ 18. 如图，的对角线相交于点O，过点D作且，连接． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，求证：四边形为菱形； （3）在（2）的条件下，若，求的长． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 19. 若关于的一元二次方程的一个实数根是，则的值是______． 20. 中国结寓意团圆、美满，以独特的东方神韵体现中国人民的智慧和深厚的文化底蕴，小明家有一个菱形中国结装饰．测得，，则该菱形的面积为______． 21. 如图，点在矩形的边上，将矩形沿翻折，点恰好落在边的点处，如果，那么的值等于______． 22. 若关于的一元二次方程（）有一个实数根为，则一元二次方程必有一个实数根为___________． 23. 如图，点是正方形的边上一点，把绕点顺时针旋转到的位置．过点作于点，连接，若，，则的长为______． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分） 24. 如图，在正方形中，为对角线上一点，连接，．过点作，交边于点，以为邻边作矩形． （1）求证：； （2）连接，若，求出的长． 25. 已知关于x的一元二次方程有两个实数根，，若满足，则此类方程叫做“差根方程”．根据“差根方程”的定义，解决下列问题： （1）下列是“差根方程”的是________；（填写序号） ①；② （2）已知关于x的方程是“差根方程”，求a的值． （3）已知是直角三角形，斜边的长为，若的两边、的长是一个二次项系数为1的“差根方程”的两个实数根，求出这个“差根方程”． 26. 定义：在中，如果有一条对角线的长等于其中一条边的长，则称这个平行四边形为“字平行四边形”． （1）下面的图形中是“字平行四边形”的有：_________； A．正方形 B．矩形 C．有一个角是的菱形 D．有一个角是的平行四边形 E．有一个角是的平行四边形 （2）在“字平行四边形”中，，，则_________． （3）如图，在“字平行四边形”中，，，点是边上一点，，与的延长线交于点，若为“字平行四边形”，求的值； （4）如图，在矩形中，点、分别是边和边上的点，四边形为“字平行四边形”，若，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $