专题07 一元二次方程的计算专项训练（8大题型）2026-2027学年苏科版九年级数学上册

专题07 一元二次方程的计算 题型01 利用直接开平方法解一元二次方程 题型02 利用配方法解一元二次方程 题型03 利用公式法解一元二次方程 题型04 利用因式分解法解一元二次方程 题型05 选择合适的方法解一元二次方程 题型06 利用换元法解一元二次方程 题型07 利用十字相乘法解一元二次方程 题型08 新定义问题 ▌题型01 利用直接开平方法解一元二次方程 【典例1】解下列方程： (1)． (2)． 【变式1-1】利用直接开平方法解下列方程： (1)； (2)． 【变式1-2】用直接开平方法解方程： (1)； (2)． 【变式1-3】解方程： (1)． (2)． (3)． (4)． ▌题型02 利用配方法解一元二次方程 【典例1】用配方法解一元二次方程： (1)； (2)． 【变式1-1】用配方法解下列方程 (1) (2) 【变式1-2】解方程： (1)（用配方法） (2)（用配方法） 【变式1-3】用配方法解下列方程： （1）x2+12x+25＝0； （2）x2+4x＝10； （3）x2﹣6x＝11； （4）x2﹣9x+19＝0； （5）6x2﹣7x+1＝0； （6）5x2﹣18＝9x； （7）4x2﹣3x＝52； （8）5x2＝4﹣2x． ▌题型03 利用公式法解一元二次方程 【典例1】用公式法解下列方程： （1）﹣3x2+5x+2＝0； （2）2x2﹣5x+1＝0． 【变式1-1】解方程： （1）x2+2x﹣4＝0（公式法）． （2）x2+3x+1＝4（用公式法）． 【变式1-2】用公式法解方程： （1）2x2﹣9x+8＝0 （2）9x2+6x+1＝0 【变式1-3】用公式法解方程： （1）x2+4x+2＝0． （2）16x2+8x＝3 （3）x（x﹣3）+5＝0． ▌题型04 利用因式分解法解一元二次方程 【典例1】用因式分解法解下列方程： （1）（3x﹣2）2+（2﹣3x）＝0； （2）3x+15＝﹣2x2﹣10x． 【变式1-1】解方程： （1）x（2x﹣7）＝2x； （2）4x2+9＝12x． 【变式1-2】解方程： （1）x2﹣4x+1＝0； （2）（x+3）2＝2x+6． 【变式1-3】解方程： （1）x2﹣4x+3＝0； （2）2（x﹣1）2＝x﹣1． ▌题型05 选择合适的方法解一元二次方程 【典例1】选择合适的方法解下列方程： （1）x2+3x＝0； （2）5x2﹣4x﹣1＝0； （3）x2+4x＝3． 【变式1-1】用合适的方法解下列方程． （1）x2+2x﹣4＝0； （2）2x（x﹣3）+x﹣3＝0． 【变式1-2】用合适的方法解方程： （1）x2﹣8x﹣11＝0． （2）（y﹣1）2+2y（1﹣y）＝0． （3）2x2﹣7x+1＝0． 【变式1-3】用合适的方法解方程： （1）2x2﹣5x﹣1＝0； （2）6x2﹣3x﹣1＝2x﹣2； （3）2x（x﹣3）＝（x﹣3）； （4）（2x﹣3）2＝（3x+5）2． ▌题型06 利用换元法解一元二次方程 【典例1】阅读下列材料： 已知实数m、n满足（2m2+n2+1）（2m2+n2﹣1）＝80，试求2m2+n2的值． 解：设2m2+n2＝y， 则原方程可化为（y+1）（y﹣1）＝80，即y2＝81； 解得y＝±9． ∵2m2+n2≥0， ∴2m2+n2＝9． 上面这种方法称为“换元法”，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化．根据以上阅读材料为内容，解决下列问题： （1）若四个连续正整数的积为360，直接写出这四个连续的正整数为 　 　 ． （2）已知实数x、y满足（2x2+2y2+3）（2x2+2y2﹣3）＝27，求x2+y2的值． （3）解方程x2﹣3|x|+2＝0． 【变式1-1】真正的学习是自学的，下面是小诗同学的数学笔记，请认真学习笔记内容． 解方程：x2﹣2|x|﹣3＝0． 解：设|x|＝a（a≥0），则原方程化为a2﹣2a﹣3＝0， 解得a1＝3，a2＝﹣1（舍去）． 当a＝3时，|x|＝3， 解得x1＝3，x2＝﹣3． 总结：①解方程的过程中，设|x|＝a（a≥0），用到了换元法，把|x|看作一个整体a，先解关于a的一元二次方程a2﹣2a﹣3＝0． ②注意取值范围，舍去不符合条件的a的值，再求出x的值． 根据小诗同学笔记本上的内容，解方程：（x﹣2）2﹣|x﹣2|﹣6＝0． 【变式1-2】阅读下列材料： 解方程（x2﹣1）2﹣5（x2﹣1）+6＝0， 解：设x2﹣1＝y，则原方程化为y2﹣5y+6＝0， 解得y1＝2，y2＝3． 当y＝2时，x2﹣1＝2，解得：； 当y＝3时，x2﹣1＝3，解得x＝±2． ∴原方程的解为：，，x3＝2，x4＝﹣2． 以上解一元二次方程的方法叫做换元法，通过换元法达到了降次或者简化方程的目的，这体现了数学中的转化思想． （1）请用上述方法解下列方程：（2x﹣5）2﹣4（2x﹣5）+3＝0； （2）已知实数x，y满足（x2+y2+3）2﹣7x2﹣7y2﹣21＝8，求x2+y2的值． 【变式1-3】阅读感悟： 已知方程x2+2x﹣1＝0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍． 解：设所求方程的根为y，则y＝2x．所以． 把代入已知方程，得． 化简，得y2+4y﹣4＝0， 故所求方程为y2+4y﹣4＝0． 这种利用方程的代换求新方程的方法，我们称为“换元法”． 请用阅读材料提供的“换元法”求新方程（要求：把所求方程化为一般形式． 解决问题： （1）已知方程x2﹣x﹣3＝0，求一个一元二次方程，使它的根分别比已知方程的根大1．（要求：化未知数是y，为一般形式）； （2）已知方程ax2+bx+c＝0（a≠0，c≠0，b2﹣4ac≥0），求一个一元二次方程，使它的根与已知方程方程的两个根互为倒数；（要求：未知数是y，化为一般形式）． （3）已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个实数根分别为1和，直接写出关于y的一元二次方程c（y﹣2024）2+b（y﹣4）＝2020b﹣a（c≠0）的两个实数根． ▌题型07 利用十字相乘法解一元二次方程 【典例1】分解因式有一种很重要的方法叫“十字相乘法”，常用于二次三项式的分解因式，实质是逆用多项式的乘法过程：acx2+（ad+bc）x+bd＝（ax+b）（cx+d），这个方法的关键是把二次项系数和常数项分别都拆成两个因数的积，并使这两组因数交叉相乘后相加等于一次项系数． 例如： 参考以上方法解方程： （1）x2+2x﹣35＝0； （2）4x2﹣16x+15＝0． 【变式1-1】我们知道可用公式x2+（p+q）x+pq＝（x+p）（x+q）分解因式（十字相乘法）．例如： （1）x2+6x+8＝0，方程左边分解因式得　 　 ＝0． （2）x2﹣7x﹣30＝0，方程左边分解因式得　 　 ＝0． 爱钻研的小明同学发现二次项系数不是1的方程也可以借助此方法求解． 如：3x2﹣7x+2＝0． 解：方程左边分解因式，得（x﹣2）（3x﹣1）＝0，从而可以快速求出方程的解． （3）请你用此方法解方程：4x2﹣8x﹣5＝0． 【变式1-2】【阅读与理解】将x2+2x﹣35分解因式，我们可以按下面方法： ①竖分二次项与常数项：x2＝x•x，﹣35＝（﹣5）×（+7）． ②交叉相乘，验中项（交叉相乘后的结果相加，其结果须等于多项式中的一次项）： ③横向写出两因式：x2+2x﹣35＝（x+7）（x﹣5）． 我们把这种用十字相乘分解因式的方法叫“十字相乘法”． 根据乘法原理：若ab＝0，则a＝0或b＝0．所以方程x2+2x﹣35＝0可以这样求解：方程左边因式分解得（x+7）（x﹣5）＝0，所以原方程的解为x1＝﹣7，x2＝5． 【解决问题】 （1）试用上述方法和原理解下列方程： ①x2﹣10x+21＝0； ②x2+5x+4＝0； ③x2﹣6x﹣7＝0． （2）解方程2024x2+2019x﹣5＝0． 【变式1-3】将x2+2x﹣35分解因式，我们可以按下面方法： ①竖分二次项与常数项：x2＝x•x，﹣35＝（﹣5）×（+7）． ②交叉相乘，验中项（交叉相乘后的结果相加，其结果须等于多项式中的一次项）： ③横向写出两因式：x2+2x﹣35＝（x+7）（x﹣5）． 我们把这种用十字相乘分解因式的方法叫“十字相乘法”． 根据乘法原理：若ab＝0，则a＝0或b＝0．所以方程x2+2x﹣35＝0可以这样求解：方程左边因式分解得（x+7）（x﹣5）＝0，所以原方程的解为x1＝﹣7，x2＝5． 【解决问题】 （1）分解因式：x2+5x+4＝（x+　　 ）（x+　　 ）； （2）试用上述方法和原理解下列方程： ①x2﹣10x+21＝0； ②2024x2+2019x﹣5＝0． ▌题型08 新定义问题 【典例1】定义：如果x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个根，且|x1﹣x2|＝1，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如：一元二次方程x2﹣3x+2＝0的两个根是x1＝1，x2＝2，此时|x1﹣x2|＝|1﹣2|＝1，则方程x2﹣3x+2＝0是“邻根方程”．（1）下列方程中，属于“邻根方程”的是　 　 （填序号）． ①x2＝1；②x2+4x+4＝0；③x2﹣x＝0． （2）已知方程（x﹣k）（x﹣3）＝0是“邻根方程”，求k的值． （3）若方程x2﹣bx+c＝0是“邻根方程”，求证：b+2c+1≥0． 【变式1-1】已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个实数根x1，x2，若满足|x1﹣x2|＝1，则此类方程叫做“差根方程”．根据“差根方程”的定义，解决下列问题： （1）下列是“差根方程”的是　　 ；（填写序号） ①x2﹣x＝0；②x2﹣4x﹣5＝0． （2）已知关于x的方程x2+2ax＝0是“差根方程”，求a的值； （3）已知△ABC是直角三角形，斜边BC的长为，若△ABC的两边AB、AC的长是一个二次项系数为1的“差根方程”的两个实数根，求出这个“差根方程”． 【变式1-2】【情景再现】 某次数学活动课上，遇到这样的题目：解下列方程：．经过思考，下面是一个学习小组的对话过程． 估计还是用因式分解法、公式法来解决． 可是，第一步的因式分解该如何入手呢？ 我观察发现，是该方程的一个解，因此就应该是其中一个因式，不妨设，由于前后方程式一样的，采用待定系数法，我们就可以求出、、的值，这样后续就简单了． 【理解运用】 （1）请你按照上述对话的思路，求出、、的值； （2）请求出方程的解； 【方法迁移】 （3）若点在函数上，求点的坐标． 【变式1-3】在人类用智慧架设的无数条从已知通向未知的道路中，方程求解是其中重要的一段路程．虽然今天我们可以从教科书中了解各种各样方程的解法，但这一切却经历了相当漫长的岁月．我们熟悉的求一元二次方程的解，既可以利用二次函数的图象估算近似解，也可以用配方法、公式法、因式分解法等方法求出精确解．现以方程举例简述估算和精确计算分别是如何操作的： (1)【估算】我们通过下列步骤估计方程的根所在的大致范围． 第一步：问题转化：方程 的根即为函数与x轴的交点横坐标； 第二步：由以往的学习经验可以判断出函数 的图象是一条连续不断的曲线； 第三步：因为当 时，，当时，，所以图象与x轴的一个公共点的横坐标在0，1 之间，所以可确定方程 的一个根所在的范围是； 第四步：仿照第三步，可以估计 的另一个根所在的大致范围． 回答问题：请完成第四步，估计 的另一个根在哪两个连续的整数之间； (2)【精算】：请你选用配方法、公式法、因式分解法中的一种方法求出 的精确解； (3)已知函数的图象是一条连续不断的曲线，且与x轴有三个交点，其中两个交点在x轴的正半轴上，一个交点在x轴的负半轴上，请你仿照上面材料中的【估算】方法，估算方程：的负根在哪两个连续整数之间． 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【变式1-1】用配方法解下列方程 (1) (2) 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查用配方法解一元二次方程．先将方程整理为标准形式，第二题先将二次项系数化为1，再通过配方将方程化为完全平方等于常数的形式，最后用直接开平方法求解即可． 【详解】（1）解： 移项得 配方，方程两边同时加16得 整理得 开方得 解得，． （2）解： 移项得 二次项系数化为1得 配方，方程两边同时加得 整理得 解得． 【变式1-2】解方程： (1)（用配方法） (2)（用配方法） 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）将常数项移到等号右侧，再给等式两边同时加上一次项系数一半的平方，将左侧配成完全平方式，再开方求解即可； （2）先展开左侧并整理成一元二次方程的一般形式，后续按照配方法的步骤，移常数项、配方、开方求解即可． 【详解】（1）解：原方程化为， ， ，即， ，； （2）解：原方程化为， ， ， ，即， ，； 【变式1-3】用配方法解下列方程： （1）x2+12x+25＝0； （2）x2+4x＝10； （3）x2﹣6x＝11； （4）x2﹣9x+19＝0； （5）6x2﹣7x+1＝0； （6）5x2﹣18＝9x； （7）4x2﹣3x＝52； （8）5x2＝4﹣2x． 【答案】（1），； （2），； （3），； （4），； （5）x1＝1，； （6）x1＝3，； （7）x1＝4，； （8），． 【分析】（1）利用配方法解方程即可； （2）利用配方法解方程即可； （3）利用配方法解方程即可； （4）利用配方法解方程即可； （5）利用配方法解方程即可； （6）利用配方法解方程即可； （7）利用配方法解方程即可； （8）利用配方法解方程即可． 【解答】解：（1）x2+12x+25＝0， x2+12x＝﹣25， x2+12x+36＝﹣25+36， （x+6）2＝11， x+6， ∴，； （2）x2+4x＝10， x2+4x+4＝10+4， （x+2）2＝14， x+2， ∴，； （3）x2﹣6x＝11， x2﹣6x+9＝11+9， （x﹣3）2＝20， x﹣3， ∴，； （4）x2﹣9x+19＝0， x2﹣9x＝﹣19， x2﹣9x19， ， ， ∴，； （5）6x2﹣7x+1＝0， 6x2﹣7x＝﹣1， ， ， ， ， ∴x1＝1，； （6）5x2﹣18＝9x， 5x2﹣9x＝18， ， ， ， ， ∴x1＝3，； （7）4x2﹣3x＝52， ， ， ， ， ∴x1＝4，； （8）5x2＝4﹣2x， 5x2+2x＝4， ， ， ， ， ∴，． ▌题型03 利用公式法解一元二次方程 【典例1】用公式法解下列方程： （1）﹣3x2+5x+2＝0； （2）2x2﹣5x+1＝0． 【答案】（1），x2＝2； （2），． 【分析】（1）用公式法解一元二次方程即可； （2）用公式法解一元二次方程即可． 【解答】解：（1）﹣3x2+5x+2＝0， 3x2﹣5x﹣2＝0， ∵a＝3，b＝﹣5，c＝﹣2， ∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣5）2﹣4×3×（﹣2）＝49＞0， ∴， ∴，x2＝2； （2）2x2﹣5x+1＝0， ∵a＝2，b＝﹣5，c＝1， ∴b2﹣4ac＝（﹣5）2﹣4×2×1＝17＞0， ∴， ∴，． 【变式1-1】解方程： （1）x2+2x﹣4＝0（公式法）． （2）x2+3x+1＝4（用公式法）． 【答案】（1）x1＝﹣1，x2＝﹣1． （2）x1，x2． 【分析】（1）根据公式法解一元二次方程的步骤求解即可． （2）根据公式法解一元二次方程的步骤求解即可． 【解答】（1）解：x2+2x﹣4＝0， 这里a＝1，b＝2，c＝﹣4， ∴Δ＝b2﹣4ac＝22﹣4×1×（﹣4）＝20＞0， ∴x1±， ∴x1＝﹣1，x2＝﹣1． （2）解：x2+3x+1＝4， 整理得：x2+3x﹣3＝0， ∵Δ＝32﹣4×1×（﹣3）＝9+12＝21＞0， ∴x， ∴x1，x2． 【变式1-2】用公式法解方程： （1）2x2﹣9x+8＝0 （2）9x2+6x+1＝0 【分析】（1）求出b2﹣4ac的值，再代入公式求出即可； （2）先根据完全平方公式变形，再开方，即可求出方程的解． 【解答】解：（1）2x2﹣9x+8＝0， Δ＝（﹣9）2﹣4×2×8＝17， x， x1，x2； （2）9x2+6x+1＝0， Δ＝36﹣36＝0 ∴x 即x1＝x2； 【变式1-3】用公式法解方程： （1）x2+4x+2＝0． （2）16x2+8x＝3 （3）x（x﹣3）+5＝0． 【分析】（1）（2）（3）先找出a，b，c，再求出b2﹣4ac，然后根据求根公式进行解答即可． 【解答】解：（1）x2+4x+2＝0， ∵a＝1，b＝4，c＝2， ∴b2﹣4ac ＝42﹣4×1×2 ＝16﹣8 ＝8， ， ，． （2）16x2+8x＝3， Δ＝64+64×3＝256 x x1，x2； （3）x（x﹣3）+5＝0， x2﹣3x+5＝0， Δ＝（﹣3）2﹣4×1×5＜0， ∴方程没有实数根 ▌题型04 利用因式分解法解一元二次方程 【典例1】用因式分解法解下列方程： （1）（3x﹣2）2+（2﹣3x）＝0； （2）3x+15＝﹣2x2﹣10x． 【分析】（1）利用因式分解法进行求解即可； （2）利用因式分解法进行求解即可． 【解答】解：（1）（3x﹣2）2+（2﹣3x）＝0， （3x﹣2）2﹣（3x﹣2）＝0， （3x﹣2）（3x﹣3）＝0， 则3x﹣2＝0或3x﹣3＝0， 所以，x2＝1； （2）3x+15＝﹣2x2﹣10x 2x2+13x+15＝0， （2x+3）（x+5）＝0， 则2x+3＝0或x+5＝0， 所以，x2＝﹣5． 【变式1-1】解方程： （1）x（2x﹣7）＝2x； （2）4x2+9＝12x． 【分析】（1）先移项，再利用因式分解法解答即可； （2）先移项，再利用因式分解法解答即可． 【解答】解：（1）x（2x﹣7）＝2x， x（2x﹣7）﹣2x＝0， x（2x﹣7﹣2）＝0， x（2x﹣9）＝0， x＝0或2x﹣9＝0， 解得x1＝0，； （2）4x2+9＝12x， 4x2﹣12x+9＝0， （2x﹣3）2＝0， 解得． 【变式1-2】解方程： （1）x2﹣4x+1＝0； （2）（x+3）2＝2x+6． 【分析】（1）利用公式法求解即可； （2）利用因式分解法求解即可； 【解答】解：（1）x2﹣4x+1＝0， ∵Δ＝（﹣4）2﹣4×1×1＝12＞0， ∴， ∴，； （2）（x+3）2＝2x+6， ∴（x+3）2﹣2（x+3）＝0， ∴（x+3﹣2）（x+3）＝0， ∴x+3﹣2＝0或x+3＝0， 解得：x1＝﹣1，x2＝﹣3． 【变式1-3】解方程： （1）x2﹣4x+3＝0； （2）2（x﹣1）2＝x﹣1． 【分析】（1）利用十字相乘法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x的一元一次方程，再进一步求解即可； （2）先移项，再利用提公因式法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x的一元一次方程，再进一步求解即可． 【解答】解：（1）∵x2﹣4x+3＝0， ∴（x﹣1）（x﹣3）＝0， 则x﹣1＝0或x﹣3＝0， 解得x1＝1，x2＝3； （2）∵2（x﹣1）2＝x﹣1， ∴2（x﹣1）2﹣（x﹣1）＝0， 则（x﹣1）（2x﹣3）＝0， ∴x﹣1＝0或2x﹣3＝0， 解得x1＝1，x2＝1.5． ▌题型05 选择合适的方法解一元二次方程 【典例1】选择合适的方法解下列方程： （1）x2+3x＝0； （2）5x2﹣4x﹣1＝0； （3）x2+4x＝3． 【分析】（1）利用因式分解法进行求解即可； （2）利用因式分解法进行求解即可； （3）利用配方法进行求解即可． 【解答】解：（1）x2+3x＝0， x（x+3）＝0， 则x＝0或x+3＝0， 所以x1＝0，x2＝﹣3； （2）5x2﹣4x﹣1＝0， （x﹣1）（5x+1）＝0， 则x﹣1＝0或5x+1＝0， 所以； （3）x2+4x＝3， x2+4x+4＝3+4， （x+2）2＝7， 则x+2， 所以． 【变式1-1】用合适的方法解下列方程． （1）x2+2x﹣4＝0； （2）2x（x﹣3）+x﹣3＝0． 【分析】（1）利用配方法对所给一元二次方程进行求解即可； （2）利用因式分解法对所给一元二次方程进行求解即可． 【解答】解：（1）x2+2x﹣4＝0， x2+2x+1＝4+1， （x+1）2＝5， 则x+1， 所以； （2）2x（x﹣3）+x﹣3＝0， （x﹣3）（2x+1）＝0， 则x﹣3＝0或2x+1＝0， 所以． 【变式1-2】用合适的方法解方程： （1）x2﹣8x﹣11＝0． （2）（y﹣1）2+2y（1﹣y）＝0． （3）2x2﹣7x+1＝0． 【分析】（1）利用配方法解一元二次方程即可； （2）利用因式分解法解一元二次方程即可； （3）利用公式法解一元二次方程即可． 【解答】解：（1）x2﹣8x﹣11＝0， x2﹣8x+16＝16+11， （x﹣4）2＝27， ， ； （2）（y﹣1）2+2y（1﹣y）＝0， （y﹣1）（y﹣1﹣2y）＝0， （y﹣1）（﹣1﹣y）＝0， y﹣1＝0或﹣1﹣y＝0， y1＝1，y2＝﹣1； （3）2x2﹣7x+1＝0， ∵Δ＝b2﹣4ac＝（﹣7）2﹣4×2×1＝41＞0． ∴． ∴． 【变式1-3】用合适的方法解方程： （1）2x2﹣5x﹣1＝0； （2）6x2﹣3x﹣1＝2x﹣2； （3）2x（x﹣3）＝（x﹣3）； （4）（2x﹣3）2＝（3x+5）2． 【分析】（1）用求根公式法解一元二次方程即可； （2）用分解因式法解一元二次方程即可； （3）用分解因式法解一元二次方程即可； （4）用分解因式法解一元二次方程即可． 【解答】解：（1）a＝2，b＝﹣5，c＝﹣1， Δ＝b2﹣4ac＝（﹣5）2﹣4×2×（﹣1）＝25+8＝33＞0， ∴方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：，； （2）原方程整理可得：6x2﹣5x+1＝0， 分解因式可得：（3x﹣1）（2x﹣1）＝0， 可得：3x﹣1＝0或2x﹣1＝0， 解得：，； （3）原方程移项得：2x（x﹣3）﹣（x﹣3）＝0， 提公因式得：（x﹣3）（2x﹣1）＝0， 可得：x﹣3＝0或2x﹣1＝0， 解得：x1＝3，； （4）原方程移项得：（2x﹣3）2﹣（3x+5）2＝0， 分解因式得：[（2x﹣3）+（3x+5）][（2x﹣3）﹣（3x+5）]＝0， 整理得：（5x+2）（﹣x﹣8）＝0， 可得：5x+2＝0，﹣x﹣8＝0， 解得：，x2＝﹣8． ▌题型06 利用换元法解一元二次方程 【典例1】阅读下列材料： 已知实数m、n满足（2m2+n2+1）（2m2+n2﹣1）＝80，试求2m2+n2的值． 解：设2m2+n2＝y， 则原方程可化为（y+1）（y﹣1）＝80，即y2＝81； 解得y＝±9． ∵2m2+n2≥0， ∴2m2+n2＝9． 上面这种方法称为“换元法”，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化．根据以上阅读材料为内容，解决下列问题： （1）若四个连续正整数的积为360，直接写出这四个连续的正整数为 　3，4，5，6　 ． （2）已知实数x、y满足（2x2+2y2+3）（2x2+2y2﹣3）＝27，求x2+y2的值． （3）解方程x2﹣3|x|+2＝0． 【分析】（1）根据题意设最小数为x，列出关系式，进而利用换元法即可求解． （2）由已知等式得出（2x2+2y2）2＝36，结合2x2+2y2≥0可得答案； （3）设|x|＝t，则t≥0，可得t2﹣3t+2＝（t﹣1）（t﹣2）＝0，求出t的值，再根据绝对值的性质得出答案． 【解答】解：（1）设最小数为x，则x（x+1）（x+2）（x+3）＝360， 即：（x2+3x）（x2+3x+2）＝360， 设x2+3x＝y，则y2+2y﹣360＝0， ∴y1＝18，y2＝﹣20， ∵x为正整数， ∴y＝x2+3x＝18， ∴x1＝3，x2＝﹣6＜0（舍去）， ∴这四个整数为3，4，5，6． 故答案为：3，4，5，6． （2）设2x2+2y2＝t． ∵（2x2+2y2+3）（2x2+2y2﹣3）＝27， ∴t2﹣9＝27， ∴t2＝36， ∵t≥0， ∴t＝6， ∴2x2+2y2＝6， ∴x2+y2＝3； （3）x2﹣3|x|+2＝0， |x|2﹣3|x|+2＝0， 设|x|＝t，则t≥0， ∴t2﹣3t+2＝（t﹣1）（t﹣2）＝0， ∴t﹣1＝0或t﹣2＝0， ∴t1＝1，t2＝2， ∴|x|＝1或|x|＝2， ∴x1＝﹣1，x2＝1，x3＝﹣2，x4＝2； 【变式1-1】【变式1-1】真正的学习是自学的，下面是小诗同学的数学笔记，请认真学习笔记内容． 解方程：x2﹣2|x|﹣3＝0． 解：设|x|＝a（a≥0），则原方程化为a2﹣2a﹣3＝0， 解得a1＝3，a2＝﹣1（舍去）． 当a＝3时，|x|＝3， 解得x1＝3，x2＝﹣3． 总结：①解方程的过程中，设|x|＝a（a≥0），用到了换元法，把|x|看作一个整体a，先解关于a的一元二次方程a2﹣2a﹣3＝0． ②注意取值范围，舍去不符合条件的a的值，再求出x的值． 根据小诗同学笔记本上的内容，解方程：（x﹣2）2﹣|x﹣2|﹣6＝0． 【分析】根据学习笔记内容设|x﹣2|＝a（a≥0），则原方程化为a2﹣a﹣6＝0，进一步计算，求出方程的解即可． 【解答】解：根据学习笔记内容可设|x﹣2|＝a（a≥0），则a2﹣a﹣6＝0， （x﹣3）（x+2）＝0， 解得a1＝3，a2＝﹣2（舍去）． 当a＝3时，|x﹣2|＝3， 解得x1＝5，x2＝﹣1． 【变式1-2】阅读下列材料： 解方程（x2﹣1）2﹣5（x2﹣1）+6＝0， 解：设x2﹣1＝y，则原方程化为y2﹣5y+6＝0， 解得y1＝2，y2＝3． 当y＝2时，x2﹣1＝2，解得：； 当y＝3时，x2﹣1＝3，解得x＝±2． ∴原方程的解为：，，x3＝2，x4＝﹣2． 以上解一元二次方程的方法叫做换元法，通过换元法达到了降次或者简化方程的目的，这体现了数学中的转化思想． （1）请用上述方法解下列方程：（2x﹣5）2﹣4（2x﹣5）+3＝0； （2）已知实数x，y满足（x2+y2+3）2﹣7x2﹣7y2﹣21＝8，求x2+y2的值． 【分析】（1）设2x﹣5＝a，则原方程可化为a2﹣4a+3＝0，利用因式分解法求出未知数a的值，从而把一元二次方程转化为两个一元一次主程，通过解一元一次方程求出原方程的解； （2）设x2+y2＝b，则原方程化为（b+3）2﹣7b﹣21＝8，通过解一元二次方程求出b的值，即可得到x2+y2的值，根据平方的非负性把不符合条件的解舍去． 【解答】解：（1）设2x﹣5＝a，则原方程可化为a2﹣4a+3＝0， 分解因式可得：（a﹣1）（a﹣3）＝0， 解得：a1＝1，a2＝3， 当a＝1时，可得：2x﹣5＝1， 解得：x＝3， 当a＝3时，可得：2x﹣5＝3， 解得：x＝4， ∴原方程的解为x1＝3，x2＝4； （2）原方程整理得：（x2+y2+3）2﹣7（x2+y2）﹣21＝8， 设x2+y2＝b， 则原方程化为（b+3）2﹣7b﹣21＝8， 整理得：b2﹣b﹣20＝0， 分解因式可得：（b﹣5）（b+4）＝0， 解得：b1＝5，b2＝﹣4， 当b＝5时，x2+y2＝5， 当b＝﹣4时，x2+y2＝﹣4（不符合题意，舍去）， ∴x2+y2＝5． 【变式1-3】阅读感悟： 已知方程x2+2x﹣1＝0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍． 解：设所求方程的根为y，则y＝2x．所以． 把代入已知方程，得． 化简，得y2+4y﹣4＝0， 故所求方程为y2+4y﹣4＝0． 这种利用方程的代换求新方程的方法，我们称为“换元法”． 请用阅读材料提供的“换元法”求新方程（要求：把所求方程化为一般形式． 解决问题： （1）已知方程x2﹣x﹣3＝0，求一个一元二次方程，使它的根分别比已知方程的根大1．（要求：化未知数是y，为一般形式）； （2）已知方程ax2+bx+c＝0（a≠0，c≠0，b2﹣4ac≥0），求一个一元二次方程，使它的根与已知方程方程的两个根互为倒数；（要求：未知数是y，化为一般形式）． （3）已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个实数根分别为1和，直接写出关于y的一元二次方程c（y﹣2024）2+b（y﹣4）＝2020b﹣a（c≠0）的两个实数根． 【分析】（1）根据“新根y比原根x大1”，设y＝x+1，则x＝y﹣1；将x＝y﹣1代入原方程x2﹣x﹣3＝0，展开并化简为y的一元二次方程一般形式； （2）根据“新根y与原根x互为倒数”，设（因原方程c≠0，根不为0，故y≠0），则；将代入原方程ax2+bx+c＝0，两边乘y2消分母，化简为y的一般形式； （3）先将方程c（y﹣2024）2+b（y﹣4）＝2020b﹣a整理为c（y﹣2024）2+b（y﹣2024）+a＝0；结合（2）结论（原方程ax2+bx+c＝0与cy2+by+a＝0的根互为倒数），利用原方程根为1和，得y﹣2024为原根的倒数，进而求解y． 【解答】解：（1）方程x2﹣x﹣3＝0，求一个一元二次方程，使它的根分别比已知方程的根大1．则： 设所求方程的根为y， 则y＝x+1， ∴x＝y﹣1， 把x＝y﹣1代入已知方程得：（y﹣1）2﹣（y﹣1）﹣3＝0， 化简得：y2﹣3y﹣1＝0． （2）设所求方程的根为y，则， ∴， 把代入已知方程得：， 化简得：cy2+by+a＝0． （3）∵c（y﹣2024）2+b（y﹣4）＝2020b﹣a（c≠0）， ∴c（y﹣2024）2+b（y﹣2024）+a＝0， 由（2）可得：关于x的一元二次方程的根与关于y﹣2024的一元二次方程的根互为倒数， ∴， ∵关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个实数根分别为1和， ∴关于﹣2024的一元二次方程c（y﹣2024）2+b（y﹣2024）+a＝0的两个实数根分别为1和2， ∴y﹣2024＝1或y﹣2024＝2， 解得：y＝2025或y＝2026， ∴两个实数根分别为2025和2026． ▌题型07 利用十字相乘法解一元二次方程 【典例1】分解因式有一种很重要的方法叫“十字相乘法”，常用于二次三项式的分解因式，实质是逆用多项式的乘法过程：acx2+（ad+bc）x+bd＝（ax+b）（cx+d），这个方法的关键是把二次项系数和常数项分别都拆成两个因数的积，并使这两组因数交叉相乘后相加等于一次项系数． 例如： 参考以上方法解方程： （1）x2+2x﹣35＝0； （2）4x2﹣16x+15＝0． 【分析】（1）利用因式分解法把方程转化为x+7＝0或x﹣5＝0，然后解两个一次方程即可； （2）利用因式分解法把方程转化为2x﹣5＝0或2x﹣3＝0，然后解两个一次方程即可． 【解答】解：（1）x2+2x﹣35＝0， （x+7）（x﹣5）＝0， x+7＝0或x﹣5＝0， 所以x1＝﹣7，x2＝5； （2）4x2﹣16x+15＝0， （2x﹣5）（2x﹣3）＝0， 2x﹣5＝0或2x﹣3＝0， 所以x1，x2． 【变式1-1】我们知道可用公式x2+（p+q）x+pq＝（x+p）（x+q）分解因式（十字相乘法）．例如： （1）x2+6x+8＝0，方程左边分解因式得　（x+2）（x+4）　 ＝0． （2）x2﹣7x﹣30＝0，方程左边分解因式得　（x﹣10）（x+3）　 ＝0． 爱钻研的小明同学发现二次项系数不是1的方程也可以借助此方法求解． 如：3x2﹣7x+2＝0． 解：方程左边分解因式，得（x﹣2）（3x﹣1）＝0，从而可以快速求出方程的解． （3）请你用此方法解方程：4x2﹣8x﹣5＝0． 【分析】（1）根据所给十字相乘法进行求解即可； （2）根据所给十字相乘法进行求解即可； （3）根据所给十字相乘法进行求解即可． 【解答】解：（1）由题知， 因为2×4＝8且2+4＝6， 所以方程左边分解因式得（x+2）（x+4）＝0． 故答案为：（x+2）（x+4）； （2）由题知， 因为﹣10×3＝﹣30且﹣10+3＝﹣7， 所以方程左边分解因式得（x﹣10）（x+3）＝0． 故答案为：（x﹣10）（x+3）； （3）由题知， 所以方程4x2﹣8x﹣5＝0可变形为（2x﹣5）（2x+1）＝0， 则2x﹣5＝0或2x+1＝0， 所以． 【变式1-2】【阅读与理解】将x2+2x﹣35分解因式，我们可以按下面方法： ①竖分二次项与常数项：x2＝x•x，﹣35＝（﹣5）×（+7）． ②交叉相乘，验中项（交叉相乘后的结果相加，其结果须等于多项式中的一次项）： ③横向写出两因式：x2+2x﹣35＝（x+7）（x﹣5）． 我们把这种用十字相乘分解因式的方法叫“十字相乘法”． 根据乘法原理：若ab＝0，则a＝0或b＝0．所以方程x2+2x﹣35＝0可以这样求解：方程左边因式分解得（x+7）（x﹣5）＝0，所以原方程的解为x1＝﹣7，x2＝5． 【解决问题】 （1）试用上述方法和原理解下列方程： ①x2﹣10x+21＝0； ②x2+5x+4＝0； ③x2﹣6x﹣7＝0． （2）解方程2024x2+2019x﹣5＝0． 【分析】（1）依据题意，根据“十字相乘法”逐个计算即可得解； （2）依据题意，根据“十字相乘法”进行计算即可得解． 【解答】解：（1）试用上述方法和原理解下列方程： ①x2﹣10x+21＝0， ∴（x﹣7）（x﹣3）＝0， ∴原方程的解为x1＝7，x2＝3． ②x2+5x+4＝0， ∴（x+1）（x+4）＝0， ∴原方程的解为x1＝﹣1，x2＝﹣4． ③x2﹣6x﹣7＝0， ∴（x﹣7）（x+1）＝0， ∴原方程的解为x1＝7，x2＝﹣1． （2）解：2024x2+2019x﹣5＝0， ∴（2024x﹣5）（x+1）＝0， ∴原方程的解为x1，x2＝﹣1． 【变式1-3】将x2+2x﹣35分解因式，我们可以按下面方法： ①竖分二次项与常数项：x2＝x•x，﹣35＝（﹣5）×（+7）． ②交叉相乘，验中项（交叉相乘后的结果相加，其结果须等于多项式中的一次项）： ③横向写出两因式：x2+2x﹣35＝（x+7）（x﹣5）． 我们把这种用十字相乘分解因式的方法叫“十字相乘法”． 根据乘法原理：若ab＝0，则a＝0或b＝0．所以方程x2+2x﹣35＝0可以这样求解：方程左边因式分解得（x+7）（x﹣5）＝0，所以原方程的解为x1＝﹣7，x2＝5． 【解决问题】 （1）分解因式：x2+5x+4＝（x+　1　 ）（x+　4　 ）； （2）试用上述方法和原理解下列方程： ①x2﹣10x+21＝0； ②2024x2+2019x﹣5＝0． 【分析】（1）根据十字相乘法分解即可； （2）根据十字相乘法求解即可． 【解答】解：（1）x2+5x+4＝（x+1）（x+4）， 故答案为：1，4； （2）①x2﹣10x+21＝0， ∴（x﹣7）（x﹣3）＝0， ∴原方程的解为x1＝7，x2＝3； ②2024x2+2019x﹣5＝0， ∴（2024x﹣5）（x+1）＝0， ∴，x2＝﹣1． ▌题型08 新定义问题 【典例1】定义：如果x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个根，且|x1﹣x2|＝1，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如：一元二次方程x2﹣3x+2＝0的两个根是x1＝1，x2＝2，此时|x1﹣x2|＝|1﹣2|＝1，则方程x2﹣3x+2＝0是“邻根方程”．（1）下列方程中，属于“邻根方程”的是　③　 （填序号）． ①x2＝1；②x2+4x+4＝0；③x2﹣x＝0． （2）已知方程（x﹣k）（x﹣3）＝0是“邻根方程”，求k的值． （3）若方程x2﹣bx+c＝0是“邻根方程”，求证：b+2c+1≥0． 【分析】（1）根据“邻根方程”的定义，计算判断即可． （2）根据方程（x﹣k）（x﹣3）＝0，得到x1＝k，x2＝3，根据“邻根方程”的定义，得|k﹣3|＝1，求解即可． （3）设方程x2﹣bx+c＝0的两个根为x1，x2，则x1+x2＝b，x1x2＝c，根据题意，得方程x2﹣bx+c＝0是“邻根方程”，得到，利用完全平方，实数的非负性证明即可． 【解答】（1）解：一元二次方程x2＝1的两个根是x1＝1，x2＝﹣1，此时|x1﹣x2|＝|﹣1﹣1|＝2≠1，故方程x2＝1不是“邻根方程”； 一元二次方程x2+4x+4＝0的两个根是x1＝﹣2，x2＝﹣2，此时|x1﹣x2|＝|﹣2﹣（﹣2）|＝0≠1，故方程x2+4x+4＝0不是“邻根方程”； 一元二次方程x2﹣x＝0的两个根是x1＝1，x2＝0，此时|x1﹣x2|＝|1﹣0|＝1，故方程x2﹣x＝0是“邻根方程”； 故答案为：③； （2）解：解方程（x﹣k）（x﹣3）＝0，得x1＝k，x2＝3， 方程（x﹣k）（x﹣3）＝0是“邻根方程”， ∴|k﹣3|＝1， ∴k﹣3＝1或k﹣3＝﹣1， 解得k＝2或k＝4． （3）证明：设方程x2﹣bx+c＝0的两个根为x1，x2， 则x1+x2＝b，x1x2＝c，且Δ＝（﹣b）2﹣4×1×c＝b2﹣4c≥0， ∵方程x2﹣bx+c＝0是“邻根方程”， ∴|x1﹣x2|＝1， ∴， ∴， ∴b2﹣4c＝1， ∴， ∴ ， 而（b+1）2≥0， ∴， 故b+2c+1≥0． 【变式1-1】已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个实数根x1，x2，若满足|x1﹣x2|＝1，则此类方程叫做“差根方程”．根据“差根方程”的定义，解决下列问题： （1）下列是“差根方程”的是　①　 ；（填写序号） ①x2﹣x＝0；②x2﹣4x﹣5＝0． （2）已知关于x的方程x2+2ax＝0是“差根方程”，求a的值； （3）已知△ABC是直角三角形，斜边BC的长为，若△ABC的两边AB、AC的长是一个二次项系数为1的“差根方程”的两个实数根，求出这个“差根方程”． 【分析】（1）根据所给“差根方程”的定义进行判断即可； （2）根据所给“差根方程”的定义进行计算即可； （3）根据所给“差根方程”的定义及一元二次方程根与系数的关系进行计算即可． 【解答】解：（1）解方程①得， x1＝0，x2＝1． 因为|1﹣0|＝1， 所以方程①符合题意； 解方程②得， x1＝﹣1，x2＝5． 因为|﹣1﹣5|＝6≠1， 所以方程②不符合题意， 故答案为：①； （2）由x2+2ax＝0得， x1＝0，x2＝﹣2a． 因为此方程为“差根方程”， 所以|﹣2a﹣0|＝1， 解得； （3）令AB＝m，AC＝n， 则m2+n2＝BC2＝7． 又因为|m﹣n|＝1， 则（m﹣n）2＝1， 所以m2+n2﹣2mn＝1， 则mn＝3． 因为（m+n）2＝m2+n2+2mn＝7+6＝13， 所以m+n（舍负）， 所以这个“差根方程”为． 【变式1-2】【情景再现】 某次数学活动课上，遇到这样的题目：解下列方程：．经过思考，下面是一个学习小组的对话过程． 估计还是用因式分解法、公式法来解决． 可是，第一步的因式分解该如何入手呢？ 我观察发现，是该方程的一个解，因此就应该是其中一个因式，不妨设，由于前后方程式一样的，采用待定系数法，我们就可以求出、、的值，这样后续就简单了． 【理解运用】 （1）请你按照上述对话的思路，求出、、的值； （2）请求出方程的解； 【方法迁移】 （3）若点在函数上，求点的坐标． 【答案】（1）（2）（3）点P的坐标为或或． 【分析】本题考查因式分解，一元二次方程的解法，反比例函数，掌握知识点是解题的关键． （1）将方程去括号，化简为，可列出方程组，即可解答； （2）将方程化为，可得，即可解答． （3）由点在函数上，得等，即 ，根据（1）的解题思路，即可解答． 【详解】解：（1）， ∵方程可化为， ∴，解得． （2）由（1）可得 方程可化为， 将代入，得 ， ∴， 解得． （3）∵点在函数上， ∴，即， ∴， ∵是该方程的一个解，因此就应该是其中一个因式，设，则 即， ∴，解得， ∴方程可化为， 即， 解得． 当时； 当时，； 当时，． ∴点P的坐标为或或． 【变式1-3】在人类用智慧架设的无数条从已知通向未知的道路中，方程求解是其中重要的一段路程．虽然今天我们可以从教科书中了解各种各样方程的解法，但这一切却经历了相当漫长的岁月．我们熟悉的求一元二次方程的解，既可以利用二次函数的图象估算近似解，也可以用配方法、公式法、因式分解法等方法求出精确解．现以方程举例简述估算和精确计算分别是如何操作的： (1)【估算】我们通过下列步骤估计方程的根所在的大致范围． 第一步：问题转化：方程 的根即为函数与x轴的交点横坐标； 第二步：由以往的学习经验可以判断出函数 的图象是一条连续不断的曲线； 第三步：因为当 时，，当时，，所以图象与x轴的一个公共点的横坐标在0，1 之间，所以可确定方程 的一个根所在的范围是； 第四步：仿照第三步，可以估计 的另一个根所在的大致范围． 回答问题：请完成第四步，估计 的另一个根在哪两个连续的整数之间； (2)【精算】：请你选用配方法、公式法、因式分解法中的一种方法求出 的精确解； (3)已知函数的图象是一条连续不断的曲线，且与x轴有三个交点，其中两个交点在x轴的正半轴上，一个交点在x轴的负半轴上，请你仿照上面材料中的【估算】方法，估算方程：的负根在哪两个连续整数之间． 【答案】(1)在之间 (2) (3)在之间 【分析】本题为阅读理解题，主要考查利用图象法求一元二次方程的近似值、二次函数图象上的点的坐标等知识的综合应用．在解题时注意对题目中所给知识的正确理解，考查了阅读所给材料的理解和运用的能力，运用类比的方法，有一定的难度，注意数形结合． （1）根据题意，通过计算时，，当时，即可下结论； （2）根据配方法求方程的根即可； （3）根据题意，通过计算时，，当时，即可下结论． 【详解】（1）解：时，， 时，， 所以的另一个根在之间． （2）解：采用配方法：， ， ， ， ． （3）解：时，， 时，， ∴的负根在之间． 1 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $