湖南省长沙市2026-2027学年高二上学期第一次月考数学自编卷01（必修一、必修二、选择性必修一第1-2章）

湖南省长沙市2026-2027学年高二上学期第一次月考自编卷01 数学试题（解析版） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C C C A B A D B ACD BCD 题号 11 答案 AD 1．C 【分析】由已知条件，求出及，然后利用向量的夹角公式即可求解. 【详解】解：因为，，， 所以， ， 所以， 故选：C. 2．C 【分析】直接求出方程组的解，再用列举法表示即可. 【详解】由，消去得，解得，所以方程组的解为或， 所以方程组的解集. 故选：C 3．C 【分析】利用三角函数图象的平移变换，得到y＝sin，然后根据得到的图象对应函数为g（x）＝cos，由sin＝cos求解. 【详解】将函数f（x）＝sin（2x＋φ）（0＜φ<π）的图象向左平移个单位后， 得到y＝sin＝sin的图象． 又因为所得到的图象对应函数为g（x）＝cos， ∴sin＝cos， ∵0＜φ＜π， ∴2x＋＝－， 得φ＝. 故选：C 4．A 【分析】根据奇偶性、单调性排除选项求解 【详解】由图可知，关于原点中心对称，且不是上的单调函数； 对于B，是偶函数，不符合，排除B； 对于C， 的定义域不含，不符合，排除C； 对于D，由复合函数的单调性知是单调递增函数，排除D； 所以A正确. 5．B 【分析】设，把转化成，再结合函数的奇偶性，把不等式转化成，再结合的单调性，得到，分离参数，根据二次函数的性质，可求实数的取值范围. 【详解】令，则， 由，可得， 即，. 因为是定义在上的减函数，所以也是定义在上的减函数， 故，即. 因为，所以，即实数的取值范围是. 故选：B 6．A 【分析】根据已知条件，将变换为，利用基本不等式乘1法，即可求得其最小值. 【详解】∵， ∴ ， 当且仅当， 联立，解得，时取等号. 则的最小值为. 故选：A 7．D 【分析】先根据锥体体积公式表示出；再根据内切球的特点，利用分割法表示出，建立关于的等式；最后利用函数的单调性即可求解. 【详解】    取棱中点，记为. 由题意得：，，. 因为，平面，平面. 所以平面. 则. 设，四面体PABC内切球的半径为. 因为AP，AB，AC两两垂直，.， 则，. 所以在中，，. 则的面积为， 因为 . 所以四面体PABC内切球的半径. 因为是关于的增函数，， 所以的解集为. 故选：D 【点睛】关键点点睛：本题考查几何体内切球问题及锥体的体积公式.解题关键在于根据内切球的特点，利用分割法及锥体体积公式两种方法表示出，建立关于内切球半径的等式，再利用函数的单调性求解. 8．B 【分析】对于A，进行三次赋值，，，即可判断；对于B，讨论，，结合条件，即可判断；对于C，分别令即可判断；对于D，由的奇偶性和对称性进行赋值，可得周期性，即可判断. 【详解】对于A，令，则， 令，则，所以， 因为，所以， 令，则，故A正确； 对于B，结合选项A可得，所以或， 若，则， 所以，此时与矛盾，舍去； 若，则，解得， 因为，所以，故B错误； 对于C，令则， 因为，，所以，所以为偶函数， 令，则， 所以，令，则， 即，故C正确； 对于D，由为偶函数，得， 则，则， 所以，故D正确. 故选：B. 【点睛】方法点睛：抽象函数求值问题，一般是通过赋值法，即在已知等式中让自变量取特殊值求得一些特殊的函数值，解题时注意所要求函数值的变量值与已知的量之间的关系，通过赋值还可能得出函数的奇偶性、周期性，这样对规律性求值起到决定性的作用． 9．ACD 【分析】根据空间向量共面的判定定理，结合基底的概念，对每个选项逐一分析向量是否共面，即可得出结果. 【详解】因为是空间的一个基底，所以不共面. 对于A，因为向量分别与向量共线，所以不共面，故A正确； 对于B，因为，所以共面，故B错误； 对于C，若共面，则存在唯一的实数对， 使得， 则，方程组无解，故矛盾， 所以不共面，故C正确； 对于D，若共面，则存在唯一的实数对， 使得， 则，方程组无解，故矛盾， 所以不共面，故D正确. 故选：ACD. 10．BCD 【分析】A选项先利用，再按照数量积运算即可；B选项由平行四边形法则即可判断；C选项通过解方程组即可；D选项先表示出，再结合余弦函数的范围求出最小值. 【详解】，A错误； 由知，，结合， 故在的平分线上，而，故E为弧的中点， 又，由平行四边形法则可知则，故，B正确. 由知，， 设，则 解得故，C正确. ，， 所以当时，取得最小值，D正确. 11．AD 【分析】首先可证平面，即可得到点在平面上（包括边界）， 通过证明平面平面判断A，利用特殊位置判断B，先证明平面，即可判断C，利用空间向量法判断D； 【详解】解：在正方体中，，平面，平面， 所以，又，平面， 所以平面， 又，所以点在平面上（包括边界）， 又，平面，平面，所以平面， 同理可得平面，，平面， 所以平面平面， 因为平面，平面，所以平面， 又平面平面，所以，即位于正方体的表面，故A正确； 对于B，设到平面的距离为，则 显然当和（不包括点）时不一样，则三棱锥的体积不一样，故B错误； 如图建立空间直角坐标系，令正方体的棱长为，则，，，，， 所以，，， 所以，，即，， ，平面， 所以平面， 若平面，则，显然在平面上（包括边界）不存在点，使得，故C错误； 因为设，，，所以，即， 又，所以，，， 设 所以，的夹角为，则， 当时，， 当时，因为，所以， 所以，所以，因为，所以， 综上可得，故D正确； 故选：AD 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是确定点所在位置，再结合空间向量法运算； 12． 8 【解析】先判断和，再根据基本不等式求的最小值即可. 【详解】解：因为，所以，， 所以 当且仅当即时，取等号， 所以的最小值是8. 故答案为：①8；② 13． ； 【分析】将不等式整理得，①将代入即可求解；②利用恰有2个整数解可得或，接着分和时进行讨论即可 【详解】由可得， ①将代入可得，解得， 故不等式的解集为； ②由题意可得恰有2个整数解， ，即或， 当时，不等式解为， ，恰有两个整数解为1，2， ，解得； 当时，不等式解为，，恰有两个整数解为， ，解得， 综上，的取值范围为. 故答案为：； 14． 【分析】作出辅助线，根据，得到方程，求出，，的最小正周期，分和，分别求出，，，求出函数解析式，代入求值，得到答案. 【详解】如图，连接CD，OD，作DE垂直轴于点E， 因为，所以四边形OBCD为平行四边形， ，， 又，解得，， 由对称性得，的最小正周期， 若，则， 由点在图象上，可知， 故，，解得，， 由得，，，解得， 所以，， 故； 若，则， 由点在图象上，可知， 故，，解得，， 由得，，，解得， 所以，， 故. 故答案为： 15．(1)2 (2) (3) 【分析】（1）根据任意角三角函数的定义可得. （2）根据诱导公式及同角三角函数关系式化简，然后代入的值可求得的值；或利用诱导公式化简后，直接由定义求得，代入求值即可. （3）利用，构建同角正、余弦的齐次分式，化简后代入的值可求得的值；或直接由定义求得，代入求值即可. 【详解】（1）根据任意角三角函数的定义可得 （2）由（1）知. 因为，且， 所以. 所以的值为. 方法二： 根据任意角三角函数的定义可得. 所以. 所以的值为. （3）由（1）知. 因为，，且， 所以. 所以的值为. 方法二： 由（2）知，. 所以. 所以的值为. 16．（1）见解析；（2）变换过程见解析. 【详解】试题分析：（1）令分别去 ，分别求出对应的纵横坐标，然后列表、描点，平滑曲线连接即可；（2）首先，横坐标不变纵坐标变为原来的三分之一，然后纵坐标不变横坐标变为原来的2倍，最后向左平移个单位即可. 试题解析：（1）①列表 ②描点，连线 （2）. 将函数图象上各点横坐标不变纵坐标变为原来的三分之一，得到函数的图象；的图象上各点纵坐标不变横坐标变为原来的2倍，得到函数的图象；的图象上各点向左平移个单位，得到的图象. 17．（1）证明见解析；（2）. 【分析】（1）本题可连结交于点，连接，然后根据为中点、点是中点得出，最后根据线面平行的判定即可证得结论； （2）本题可通过依次求出、、、得出结果. 【详解】（1）如图，连结交于点，连接， 因为底面是矩形，所以为中点， 因为点是中点，所以， 因为平面，平面，所以平面. （2）因为底面，、平面， 所以，，， 易知，， 因为，，， 所以为直角三角形，， 因为， 所以. 18．(1)海里 (2)巡逻艇应该沿北偏东的方向去追 【分析】（1）利用余弦定理即可求解； （2）设经过小时巡逻艇追上走私船，利用正弦定理列式进行求解. 【详解】（1）根据题意得：，， 所以为等边三角形，所以， 又，所以， ， 在中，由余弦定理得：， 所以， 解得（海里）； （2）因为，所以， 根据正弦定理可得，即， 解得，即， ， 因为，所以， 设经过小时巡逻艇追上走私船，所以， 根据正弦定理可得，即， 解得，即， ，该方向与正东方向夹角为， 因此北偏东，即巡逻艇应该沿北偏东的方向去追，才能最快追上走私船. 19．(1); (2) 【详解】试题分析： (1) 利用两角和与差的三角函数公式及二倍角公式将函数式化成的形式,然后再用公式求周期; (2)根据(1)的结果,先求出角的范围,再根据三角函数的性质求的取值范围. 试题解析：．解: (1)因为 4分 6分 故的最小正周期为 8分 (2)当时, 10分 故所求的值域为 12分 考点：1、三角函数的性质及应用；2、两角和与差的三角函数公式及二倍角公式. 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖南省长沙市2026-2027学年高二上学期第一次月考自编卷01 数学试题 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.考试范围：人教A版必修上册、必修下册、选择性必修上册第1-2单元。 一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知向量、满足，，，设与的夹角为，则（    ） A． B． C． D． 2．方程组的解集是（    ） A． B． C． D． 3．将函数f（x）＝sin（2x＋φ）（0＜φ<π）的图象向左平移个单位后得到函数g（x）＝cos的图象，则φ的值为（　　） A．－ B．－ C． D． 4．已知函数的部分图象如图，则的解析式可能为：（    ） A． B． C． D． 5．已知函数是定义在上的减函数，且为奇函数，对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．已知实数，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 7．在四面体PABC中，AP，AB，AC两两垂直，，若四面体PABC内切球的半径不小于，则AC的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．已知函数满足：对，都有，且，则以下选项错误的是（    ） A． B． C． D． 二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，至少有两项符合题目要求，若全部选对得6分，部分选对得部分分，选错或不选得0分 9．若是空间的一个基底，则下列各组向量不共面的有（    ） A． B． C． D． 10．折扇又名“撒扇”“纸扇”，是一种用竹木等做扇骨，韧纸或绫绢做扇面的能折叠的扇子，如图1，其平面图是如图2的扇形，其中，点在弧（含端点）上.下列说法正确的是（    ） A． B．若，则 C．若，则 D．的最小值为-2 11．已知点P为正方体内及表面一点，若，则（    ） A．若平面时，则点P位于正方体的表面 B．若点P位于正方体的表面，则三棱锥的体积不变 C．存在点P，使得平面 D．，的夹角 三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分） 12．若则的最小值为_____________，此时_________． 13．关于的不等式 ①当时，不等式的解集为______ ②若不等式恰有个整数解，则实数的取值范围是_________ 14．已知函数的部分图象如图所示，O为坐标原点，B，C为图象与坐标轴的交点，D为图象上的点且满足，，，则______. 四、解答题（本大题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．已知角的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，为角α终边上一点， (1)求tanα； (2)求的值； (3)求的值. 16．已知函数， （1）请用“五点作图法”作出函数的图象； （2）的图象经过怎样的图象变换，可以得到的图象.（请写出具体的变换过程） 17．在四棱锥中，底面是矩形，底面，点是中点. （1）求证：平面； （2）若，，求三棱锥的表面积. 18．如图所示，某巡逻艇在处发现北偏东相距 3 海里的处有一艘走私船，正沿东南方向以 2 海里/小时的速度向我海岸行驶， 巡逻艇立即以 3 海里/小时的速度沿着正东方向直线追去，1 小时后，巡逻艇到达处，走私船到达处，此时走私船才发现了巡逻艇，立即改变航向，以 3 海里/小时的速度向正东方向逃窜，巡逻艇立即加速以 4 海里/小时的速度沿着直线追击． (1)当走私船发现了巡逻艇时，两船相距多少海里？(结果精确到 0.1 海里） (2)问巡逻艇应该沿什么方向去追，才能最快追上走私船？(结果精确到 ) 19．已知函数. (1)求函数的最小正周期； (2)求函数在区间上的函数值的取值范围. 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $