精品解析：湖南省衡阳市衡阳县第五中学2026-2027学年高二上学期9月月考数学试卷

衡阳县五中2026年秋9月月考试卷 高二数学 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在空间直角坐标系中，点关于y轴的对称点为（ ） A. B. C. D. 2. 已知过原点的直线与圆相交，则直线的斜率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 已知是直线的方向向量，直线经过点，则点到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 4. 设，两直线与垂直，则的最大值为（ ） A. B. C. 1 D. 2 5. 已知向量，，则（ ） A. B. C. D. 6. 在平面直角坐标系中，已知点，圆.若圆上存在点，使得，则实数的值不可能是（ ） A. B. 0 C. D. 7. 如图，在圆锥中，点A，B在底面圆周上，点C，D分别是母线的中点，，记，则（ ） A. B. C. D. 8. 在四棱锥中，底面为正方形，底面分别为的中点，则直线与平面所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知向量，，则下列结论中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 不存在实数，使得 D. 若，则 10. 已知圆，圆，则（ ） A. 无论k取何值，圆心始终在直线上 B. 若圆O与圆有公共点，则实数k的取值范围为 C. 若圆O与圆的公共弦长为，则或 D. 与两个圆都相切的直线叫做这两个圆的公切线，如果两个圆在公切线的同侧，则这条公切线叫做这两个圆的外公切线，当时，两圆的外公切线长为 11. 如图，平面，，则（ ） A. B. 平面 C. 平面与平面夹角的余弦值为 D. 直线与平面所成角的正弦值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知圆：（）与圆：没有公共点，则r的取值范围是______. 13. 设点，若直线关于对称的直线与圆有公共点，则a的取值范围是________． 14. 如图，棱长为3的正方体的顶点在平面上，三条棱都在平面的同侧，若顶点到平面的距离分别为，，则顶点到平面的距离是______. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知圆:，点坐标为，为圆上动点，中点为. （1）当点在圆上动时，求点的轨迹方程； （2）过点的直线与的轨迹相交于两点，且，求直线的方程. 16. 已知直线的方程为，若直线在轴上的截距为，且． （1）求直线和的交点坐标； （2）已知直线经过与的交点，且与两坐标轴的正半轴围成的三角形的面积为，求直线的方程． 17. 如图，在直三棱柱中，，，点、分别为棱、的中点． （1）求证：平面； （2）求直线与直线的夹角的余弦值； （3）求点到平面的距离． 18. 如图，在底面为平行四边形的四棱锥中，平面，且，点是的中点. （1）求证：； （2）求二面角的大小. 19. 如图，在三棱柱中，平面，，，，点D，E分别在棱和棱上，且，，M为棱的中点． （1）求证：； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）在线段上是否存在点H，使得平面与平面所成角的余弦值为？若存在，求出的长度；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 衡阳县五中2026年秋9月月考试卷 高二数学 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在空间直角坐标系中，点关于y轴的对称点为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据关于谁对称谁不变这一结论直接写结论即可. 【详解】根据关于y轴对称的对称点的坐标的特点， 可得点关于y轴的对称点为. 故选：A. 2. 已知过原点的直线与圆相交，则直线的斜率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先设直线方程，然后利用直线与圆的位置关系建立不等式求解即可. 【详解】设直线方程为，由题可知圆心到直线的距离小于半径， 圆圆心为，半径， 所以有 故选：C 3. 已知是直线的方向向量，直线经过点，则点到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由点到线的距离公式即可求解； 【详解】由题意直线的方向向量，，则， ，，所以点到直线的距离为 ， 故选：B. 4. 设，两直线与垂直，则的最大值为（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】依题意可得，再代入，利用基本不等式计算可得. 【详解】因为直线与垂直， 所以，即， 所以， 当且仅当，即，时取等号. 故选：A 5. 已知向量，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由，， 可得，， 则，， 所以， 所以． 6. 在平面直角坐标系中，已知点，圆.若圆上存在点，使得，则实数的值不可能是（ ） A. B. 0 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据条件及两点距离公式计算M的轨迹，利用两圆的位置关系计算即可. 【详解】设，由题意可知， 即是圆与圆的交点， 由两圆位置关系可知圆心距满足：， 即. 故选：D 7. 如图，在圆锥中，点A，B在底面圆周上，点C，D分别是母线的中点，，记，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用空间向量运算法则计算即可判断结果. 【详解】由题可知, 由得, 因为点C，D分别是母线的中点， 所以， 则 . 故选：D 8. 在四棱锥中，底面为正方形，底面分别为的中点，则直线与平面所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，建立空间直角坐标系，得出直线方向向量，利用线面角公式计算即可得. 【详解】建立如图所示空间直角坐标系，设， 则，，，， 由分别为的中点，则，， 则，，, 设平面的法向量为， 则，设，则， 所以平面的法向量为， 设直线与平面所成角为， . 故选：C. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知向量，，则下列结论中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 不存在实数，使得 D. 若，则 【答案】ACD 【解析】 【详解】对于A，由，可得，解得，故A正确； 对于B，由，可得， 解得，故B错误； 对于C，假设存在实数，使得，则，方程组无解， 所以不存在实数，使得，故C正确； 对于D，由，可得，解得， 所以，故D正确． 10. 已知圆，圆，则（ ） A. 无论k取何值，圆心始终在直线上 B. 若圆O与圆有公共点，则实数k的取值范围为 C. 若圆O与圆的公共弦长为，则或 D. 与两个圆都相切的直线叫做这两个圆的公切线，如果两个圆在公切线的同侧，则这条公切线叫做这两个圆的外公切线，当时，两圆的外公切线长为 【答案】ACD 【解析】 【分析】求出圆Ck的圆心坐标即可判断选项A；根据两圆有公共点的条件求出的范围即可判断选项B；求出公共弦所在直线方程，结合公共弦长和垂径定理求出的值即可判断选项C；根据的值求出圆Ck的半径，利用两圆的半径求出外公切线长即可判断选项D. 【详解】圆Ck的圆心坐标为，在直线上，A项正确； 若圆O与圆Ck有公共点，则1≤|OCk|≤3，所以，解得或，B项错误； 将圆O与圆Ck的方程作差可得公共弦所在直线的方程为，则圆心O到直线的距离，则，解得或，C项正确； 当时，圆O与圆Ck外切，圆心距为3，半径差为1，则外公切线长为，D项正确． 故选：ACD． 11. 如图，平面，，则（ ） A. B. 平面 C. 平面与平面夹角的余弦值为 D. 直线与平面所成角的正弦值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量研究位置关系与线面夹角，面面夹角即可. 【详解】根据题意可知两两垂直，不妨以A为原点建立空间直角坐标系，如图所示， 可得， 则，， 所以，所以，不垂直，故A错误； 依题意，是平面的法向量， 又，可得，则， 又因为直线平面，所以平面，故B正确； 设为平面的一个法向量，则， 令，可得， 而即底面的一个法向量，设平面与平面夹角， 则,故C正确； 设直线与平面所成角为，， 则，故D正确. 故选：BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知圆：（）与圆：没有公共点，则r的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】根据两圆无公共点，可知两圆外离或者内含，根据圆心距和两圆半径的关系即可求解. 【详解】圆的圆心坐标为，半径为； 圆的圆心坐标为，半径为1，则， 因为两圆没有公共点，所以两圆的位置关系为外离或内含， 若外离：；若内含：， 综上：. 故答案为：. 13. 设点，若直线关于对称的直线与圆有公共点，则a的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】首先求出点关于对称点的坐标，即可得到直线的方程，根据圆心到直线的距离小于等于半径得到不等式，解得即可； 【详解】解：关于对称的点的坐标为，在直线上， 所以所在直线即为直线，所以直线为，即； 圆，圆心，半径， 依题意圆心到直线的距离， 即，解得，即； 故答案为： 14. 如图，棱长为3的正方体的顶点在平面上，三条棱都在平面的同侧，若顶点到平面的距离分别为，，则顶点到平面的距离是______. 【答案】 【解析】 【分析】求点到平面的距离，建立空间直角坐标系，由顶点到平面的距离分别为，，利用空间点到平面距离公式，求出平面的法向量，即可求出结论. 【详解】如图，以为坐标原点，建立空间直角坐标系， 则， 所以， 设平面的一个法向量为， 则点到平面距离为，① 点到平面距离为，② 由①②可得， 所以到平面的距离为. 故答案为:. 【点睛】本题考查点到平面的距离，利用空间直角坐标系解题时，正确建立空间坐标系是关键，属于较难题. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知圆:，点坐标为，为圆上动点，中点为. （1）当点在圆上动时，求点的轨迹方程； （2）过点的直线与的轨迹相交于两点，且，求直线的方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）设，利用代入法求得点的轨迹方程. （2）对直线的斜率是否存在进行分类讨论，结合求得直线的方程. 【小问1详解】 ，所以在圆外. 设，由于的中点是，所以， 所以， 整理得， 所以点的轨迹方程为. 【小问2详解】 点的轨迹方程为，所以是以为圆心，半径为的圆， 当直线的斜率不存在时，直线的方程为， 由，解得或，满足. 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即， 由于，，， 所以圆心到直线的距离为， 即，解得，所以直线的方程为， 即. 综上所述，直线的方程为或. 16. 已知直线的方程为，若直线在轴上的截距为，且． （1）求直线和的交点坐标； （2）已知直线经过与的交点，且与两坐标轴的正半轴围成的三角形的面积为，求直线的方程． 【答案】（1）； （2）或. 【解析】 【分析】（1）由，可得直线的斜率，从而可得，联立方程组即可求得交点； （2）由题意知的斜率k存在，设，求得与坐标轴的交点坐标，再结合面积公式即可求解. 【小问1详解】 （1）因为，又直线的斜率, 所以直线的斜率,则. 由 所以直线和的交点坐标为. 【小问2详解】 由题意知的斜率k存在，设 令得，令得， 因为直线与两坐标轴的正半轴相交，所以，解得， ，解得或， 即或. 17. 如图，在直三棱柱中，，，点、分别为棱、的中点． （1）求证：平面； （2）求直线与直线的夹角的余弦值； （3）求点到平面的距离． 【答案】（1） 在直三棱柱中，且，则四边形为平行四边形， 所以，且， 因为、分别为、的中点，则且， 所以，四边形为平行四边形，所以，， 因为平面，平面，因此，平面. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）证明出四边形为平行四边形，可得出，再利用线面平行的判定定理可证得结论成立； （2）以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得直线与直线的夹角的余弦值； （3）利用空间向量法可求得点到平面的距离. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为平面，， 以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 因为，则、、、， 所以，，， ， 所以，直线与直线的夹角的余弦值为. 【小问3详解】 易知，，， 设平面的法向量为， 则，取，可得， 且，所以，点到平面的距离为. 18. 如图，在底面为平行四边形的四棱锥中，平面，且，点是的中点. （1）求证：； （2）求二面角的大小. 【答案】（1）证明：法一：平面且平面， 又因为且平面PAB，平面， 平面. 法二：由题意可知平面， 以为坐标原点，以方向为轴，方向为轴，方向为轴建立空间直角坐标系， AI 因为，所以， 所以， 即， 因此，故可知. （2） 【解析】 【分析】（1）法一：根据线面垂直的判定定理证明平面，由此可证明；法二：建立合适空间直角坐标系，然后分别表示出的坐标，根据完成证明； （2）先分别求解出平面和平面的一个法向量，然后根据法向量夹角的余弦值确定出法向量的夹角，再结合图形求解出二面角的大小. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为底面为平行四边形，所以，故， 因为点是的中点，故，所以， 设平面的法向量为， 所以，所以， 取，可得，所以平面的一个法向量为， 由题意可知，平面的一个法向量为， 因此，故两法向量的夹角为， 经观察，二面角为钝角，所以二面角的大小为. 19. 如图，在三棱柱中，平面，，，，点D，E分别在棱和棱上，且，，M为棱的中点． （1）求证：； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）在线段上是否存在点H，使得平面与平面所成角的余弦值为？若存在，求出的长度；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）证明如下： 由题意知在三棱柱中，平面，平面， 则，，又，建立如图空间直角坐标系， 则，，，，， ∴，， 得，所以． （2） （3）存在； 【解析】 【分析】（1）根据，，，建立空间直角坐标系，由证明； （2）求得平面的一个法向量为，设直线与平面所成的角为θ，由求解； （3）假设存在满足题意的点，设，求得平面的一个法向量为，又平面的一个法向量为，由求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵，，，，． ∴，，， 设平面的一个法向量为， 则，令，得，所以， 设直线与平面所成的角为θ， 则， ∴与平面所成角的正弦值为． 【小问3详解】 由（1）（2）知：，，，， 假设存在满足题意的点，设， 则， 得，解得， 即，所以， 设平面的一个法向量为， 则， 令解得： 所以 又∵平面的一个法向量为 ∴． 整理得，由，得． 即当点H为的中点时，平面与平面所成角的余弦值为， 此时，即． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $