精品解析：江苏省锡山高级中学锡西分校2026-2027学年高二上学期9月阶段检测数学试题

江苏省锡山高级中学锡西分校高二数学 （本试卷满分150分，考试时间120分钟） 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．） 1. 如图所示，在正方体 中，下列各式中运算结果为 的有（ ） ①； ②； ③． A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 2. 已知点关于x轴的对称点为，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知，若不能构成空间的一个基底，则（ ） A. 3 B. 1 C. 5 D. 7 4. 已知空间中三点，则点到直线的距离为（　　） A. B. C. D. 5. 在正方体中，点是的中点，且，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 6. 若正四面体的棱，的中点分别为，，则直线与所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知正方体的棱长为2，点满足，且，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 8. 棱长为的正方体中，，分别为，的中点，点在正方体的表面上运动，若，则的最大值为（ ） A. 4 B. 6 C. D. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．） 9. 已知向量，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 的最小值为 D. 的最大值为4 10. 如图，在棱长为2的正方体中，E为的中点，F为的中点，如图所示建立空间直角坐标系，则下列说法正确的是（ ） A. B. 向量与所成角的余弦值为 C. 平面AEF的一个法向量是 D. 点D到平面AEF的距离为 11. 在直三棱柱中，，，为棱的中点，是侧面内一点（含边界），，则（ ） A. B. 点到平面的距离为 C. 直线与平面所成角的正弦值为 D. 点的轨迹长度为 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 在空间直角坐标系中，若，，，四点共面，则______. 13. 在空间直角坐标系中，直线l的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则直线l与平面所成的角为_________．（用弧度表示） 14. 如图，在棱长为9的正四面体中，是的重心，是棱的中点，点在线段上，且有，则线段的长度为_______________. 四、解答题（本题共5小题，共77分．） 15. 已知向量， （1）求与的夹角； （2）若与垂直，求实数t的值． 16. 在长方体中，已知，以点为原点，分别以所在的直线为轴、轴、轴，建立如图的空间直角坐标系，点是线段上靠近点的一个三等分点，点，设． （1）求证：； （2）在图中标出点的位置，连接，请用含有，，的表达式表示向量； （3）求的面积． 17. 如图，在平行六面体中，底面是边长为2的正方形，且，. （1）求线段的长度； （2）求直线和夹角的余弦值. 18. 如图，在直三棱柱中，是棱的中点，. （1）证明：平面平面； （2）求二面角的正弦值. 19. 如图，在棱长为2的正方体中，分别为棱的中点． （1）求证：∥平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）线段上是否存在一点，使得二面角的余弦值为？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省锡山高级中学锡西分校高二数学 （本试卷满分150分，考试时间120分钟） 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．） 1. 如图所示，在正方体 中，下列各式中运算结果为 的有（ ） ①； ②； ③． A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】D 【解析】 【详解】对于①：，①正确； 对于②：，②正确； 对于③：，③正确. 所以运算结果为的有个. 2. 已知点关于x轴的对称点为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据点关于某坐标轴对称的点的特征以及两点距离公式即可求解． 【详解】由点关于x轴的对称点为， 所以． 3. 已知，若不能构成空间的一个基底，则（ ） A. 3 B. 1 C. 5 D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】直接利用基底的定义和共面向量求出结果. 【详解】若不能构成空间的一个基底， 共面， 存在，使， 即， 解得， 故选：. 4. 已知空间中三点，则点到直线的距离为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据空间中点到直线的距离的向量公式求解. 【详解】因为 依题意得，， 则点到直线的距离为. 故选：A. 5. 在正方体中，点是的中点，且，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 化简得到，得到，，得到答案. 【详解】， 故，，. 故选：. 【点睛】本题考查了空间向量的运算，意在考查学生的计算能力和空间想象能力. 6. 若正四面体的棱，的中点分别为，，则直线与所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】取为基底，不妨设，用基底表示出，，最后利用空间向量的数量积求得到直线与所成角的正弦值. 【详解】取为基底，不妨设，则由题意知， ，， 又，， 所以， 设直线与所成角为（）， 则， 直线与所成角的正弦值为. 7. 已知正方体的棱长为2，点满足，且，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由和结合共面向量定理得四点共面， 即点在平面上，则的最小值为点到平面的距离． 以为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则， 所以， 设平面的法向量，则， 取，点到平面的距离． 8. 棱长为的正方体中，，分别为，的中点，点在正方体的表面上运动，若，则的最大值为（ ） A. 4 B. 6 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先证平面，再证据平面平面，由此有平面，又因为平面经过的中点，由已知可得点轨迹为四边形的边界（不包括内部和点），所以当点位于点时，取最大值，求即可. 【详解】 如图，取的中点的中点，连接，，， 因为，，所以四边形为平行四边形， 所以，又因为平面，所以平面， 平面，所以； ，，，所以， 所以，，， 所以；’ 可证，所以平面， 取中点，中点，的四等分点满足， 的四等分点满足，，， 四边形为平行四边形，，平面， 平面，平面； 由已知有：，， 所以，， ，， 所以，所以，平面， 平面，平面； 平面，平面，可证平面平面， 所以平面，又因为平面经过的中点， 由已知可得点轨迹为四边形的边界（不包括内部和点）， 所以当点位于点时，取最大值，为。 故选：C． 【点睛】根据条件将问题转化为找到过点且与垂直的平面. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．） 9. 已知向量，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 的最小值为 D. 的最大值为4 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A，利用共线定理列方程求解判断，对于B，由，得求解，对于CD，表示出后利用二次函数性质求最值判断. 【详解】对于A，若，且， 则存在唯一实数使得，即， 则，解得，故A正确； 对于B，若，则，即， 化简得，因为，所以无实数解，故B错误； 对于CD，，故当时，取得最小值为，无最大值，故C正确，D错误. 故选：AC. 10. 如图，在棱长为2的正方体中，E为的中点，F为的中点，如图所示建立空间直角坐标系，则下列说法正确的是（ ） A. B. 向量与所成角的余弦值为 C. 平面AEF的一个法向量是 D. 点D到平面AEF的距离为 【答案】BCD 【解析】 【分析】A选项，利用空间向量表示出，进而求出；B选项，利用空间向量夹角公式求解；C选项，利用数量积为0进行证明线线垂直，进而得到答案；D选项，利用点到直线的空间向量公式进行求解. 【详解】对于A，正方体中，，， ，所以，故A错误； 对于B，，， ，故B正确； 对于C，设，则，，而， 所以平面的一个法向量是，故C正确； 对于D，，则点D到平面AEF的距离为，故D正确． 故选：BCD 11. 在直三棱柱中，，，为棱的中点，是侧面内一点（含边界），，则（ ） A. B. 点到平面的距离为 C. 直线与平面所成角的正弦值为 D. 点的轨迹长度为 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用空间直角坐标系，将几何条件转化为坐标运算.通过向量数量积判断异面直线垂直，借助平面法向量求解点到平面距离、直线与平面所成角；把动点Q约束在侧面上，将空间距离条件转化为平面圆方程，结合侧面边界确定圆弧轨迹并计算弧长. 【详解】以为原点，分别以，，为，，轴建立空间直角坐标系， 由题得各点坐标： ，是的中点，故. 对于选项，向量，，故 . 因此，即，正确. 对于选项，， 设平面的一个法向量，则 解得，令，则. 因为 ，所以点到平面的距离为，正确. 对于选项，向量，设直线与平面所成角为， 则，错误. 对于选项，侧面​内的点满足.设，由得：  ，化简得. 该圆半径为，在矩形​（）内的部分是圆心角为的圆弧， 所以轨迹长度为，正确. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 在空间直角坐标系中，若，，，四点共面，则______. 【答案】 【解析】 【分析】计算出相关向量，利用共面向量定理列方程，坐标对应相等解方程组即可. 【详解】，，， 四点共面等价于向量、、共面，根据共面向量定理知存在实数，使得： ，即， 所以，则. 13. 在空间直角坐标系中，直线l的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则直线l与平面所成的角为_________．（用弧度表示） 【答案】## 【解析】 【分析】应用向量夹角的坐标表示求线面角的正弦值，即可得其大小. 【详解】设直线l与平面所成的角为， 依题意，可得，所以， 即直线l与平面所成的角为. 14. 如图，在棱长为9的正四面体中，是的重心，是棱的中点，点在线段上，且有，则线段的长度为_______________. 【答案】 【解析】 【分析】选取作为空间向量的一组基底，利用重心和线段比例关系将用基底表示，再通过数量积运算求模长. 【详解】设， 因为是棱长为的正四面体， 所以，且两两夹角为， 则，, 因为是的重心，所以， 因为是棱的中点，所以， 所以, 因为点在线段上，且，所以， 则， 所以     ， 所以，即线段的长度为. 四、解答题（本题共5小题，共77分．） 15. 已知向量， （1）求与的夹角； （2）若与垂直，求实数t的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】(1)结合向量数量积性质夹角公式的坐标表示即可求解； (2)由向量垂直的坐标表示即可求解. 【小问1详解】 ，， ，， ， 令与的夹角为， 则， 则与的夹角为. 【小问2详解】 ，， 又与垂直，， 即，解得. 16. 在长方体中，已知，以点为原点，分别以所在的直线为轴、轴、轴，建立如图的空间直角坐标系，点是线段上靠近点的一个三等分点，点，设． （1）求证：； （2）在图中标出点的位置，连接，请用含有，，的表达式表示向量； （3）求的面积． 【答案】（1）证明：由点是线段上靠近点的一个三等分点得， 由题意得， 因此， 而，因此，即； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用给定的空间直角坐标系，求出相关点的坐标，再利用空间向量数量积计算得证. （2）确定点的位置，再利用空间向量的线性运算求解. （3）利用空间向量的夹角公式及三角形面积公式求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 点的位置如图所示，则点为的中点， 连接，由题意得 ， 所以. 【小问3详解】 设，由（1）得， 则， 因此，， 所以的面积 17. 如图，在平行六面体中，底面是边长为2的正方形，且，. （1）求线段的长度； （2）求直线和夹角的余弦值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据空间向量线性运算法则，将表示成，利用空间向量数量积的运算性质及向量模的求法求解即可； （2）根据异面直线所成角的向量求法求解即可. 【小问1详解】 由题可知，，， . 在平行六面体中，. 所以，. 所以，. 即线段的长度为. 【小问2详解】 因为，， 所以， ， 所以. 所以直线和夹角的余弦值为. 18. 如图，在直三棱柱中，是棱的中点，. （1）证明：平面平面； （2）求二面角的正弦值. 【答案】（1）因为是棱的中点， 故,则，同理， 由于,所以,故， 又，平面， 故平面， 平面，因此平面平面 （2） 【解析】 【分析】（1）根据线线垂直可证明平面，即可由面面垂直的判定求解， （2）建立空间直角坐标系，求解两个平面的法向量，即可根据向量的夹角求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知：平面，平面，故, 又平面, 故平面,平面, 故, 以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则 设平面的一个法向量为 则，令，故 设平面的一个法向量为 则，令，故， 所以，则， 故二面角的正弦值为 【点睛】 19. 如图，在棱长为2的正方体中，分别为棱的中点． （1）求证：∥平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）线段上是否存在一点，使得二面角的余弦值为？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）证明：在棱长为2的正方体中,以点为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系， 则，， 设平面的法向量为， 则，即， 令，则，得， 又，则， 因此，又平面，所以平面. （2） （3）存在； 【解析】 【分析】（1）以点为坐标原点建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用空间位置关系的向量证明推理得证. （2）由（1）中信息，利用线面角的向量法求解. （3）假定存在并求出平面的法向量，利用面面角的向量法列式求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知，， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 【小问3详解】 设线段上存在点使得二面角的余弦值为， 当点与点重合时，显然二面角为钝角，余弦值小于0，不符合题意； 过作于点，取，则， 由（1）可知，，平面的法向量， 设平面的法向量为， 则，即， 令，则，，所以， 则，解得，符合题意， 因此线段上存在点，使得二面角的余弦值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $