3.3 幂函数教学设计-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

3.3 幂函数

课程：高中数学

教材：高中数学人教A版必修 第一册

章节：3.3 幂函数

教材分析

本节课通过五个生活与几何实例抽象出幂函数 的定义，引导学生观察解析式共性，归纳出幂函数的基本形式，并聚焦 五类典型情形，借助图象探究其定义域、值域、单调性、奇偶性及变化趋势。教学过程以实例引入、观察归纳、作图验证、性质探究为主线，体现从具体到抽象、数形结合的认知路径。该节内容承接函数概念与基本性质的学习，为后续研究一般幂函数、对数函数及函数综合应用奠定基础；通过多角度分析图象特征，提升学生直观想象、逻辑推理与数学抽象能力。

学情分析

学生在初中已学习了正比例函数 、反比例函数 、二次函数 等具体函数，掌握了描点作图、观察图象归纳性质的基本方法，具备函数概念、定义域、单调性、奇偶性等初步认知；进入高中后，学生抽象思维能力逐步提升，但对含分数指数、负指数的幂函数如 、 的定义域限制（如根式要求非负、分式要求分母不为零）及图象特征仍易出现理解偏差，数形结合分析能力尚在发展；本节课要求学生通过五个典型实例抽象出幂函数共性，准确识别 形式，结合图象归纳定义域、值域、单调性与奇偶性规律，从而深化函数模型意识，提升由特殊到一般的归纳能力和分类讨论思想。

教学目标

1. 理解幂函数的概念，能从具体实例中抽象出 的一般形式，达到数学抽象核心素养水平一的要求。
2. 能画出五个幂函数的图象，观察图象并归纳公共点、奇偶性、单调性等性质，达到直观想象与逻辑推理核心素养水平一的要求。
3. 能利用图象和解析式研究幂函数的定义域、值域及变化趋势，达到数学运算核心素养水平一的要求。

重点难点

教学重点：幂函数 的定义、常见幂函数的图象与性质（定义域、值域、单调性、奇偶性），及公共点 的识别。
教学难点：依据指数 的取值差异，准确判断定义域、奇偶性与单调区间，特别是 时的定义域限制与图象特征。

课堂导入

课堂导入

同学们，我们先来看几个生活问题：

1. 买单价1元的蔬菜，买x千克的花费y是多少？
2. 边长为x的正方形，面积y怎么表示？
3. 棱长为x的立方体，体积y是多少？
4. 面积为x的正方形，边长y如何表达？
5. 骑车1千米用了x秒，平均速度y是多少？

请大家写出这五个问题对应的函数解析式，仔细观察这些式子，它们在形式上有什么共同特点？今天我们就来深入研究这种特殊的函数——幂函数，一起探索它的图象与性质。

幂函数

探究新知

（一）知识精讲
观察教材中给出的五个实际问题所对应的函数关系：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ；
(5) 。

这些函数的解析式都具有统一的形式：以自变量为底数、以常数为指数的幂的形式，即形如 ，其中 是自变量， 是常数。

一般地，函数 叫做幂函数（power function），其中 是自变量， 是常数。

注意：幂函数的结构特征有三点：

• 底数是自变量 ；
• 指数 是常数（可以是整数、分数或负数）；
• 系数为 1（即不含其他系数，如 不是幂函数）。

教材中重点研究以下五类幂函数：