3.4 函数的应用（一）讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

本讲义聚焦函数模型的应用这一核心知识点，系统梳理用函数解决实际问题的四步骤（审题、建模、求模、还原）及建模方法（待定系数法、归纳法、方程法），并分述一次、二次、分段、幂函数模型的具体应用，构建从理论到实践的学习支架。 该资料以实际情境为载体，如印刷费用计算、商品利润分析等实例，引导学生用数学眼光观察现实世界，通过建模方法培养数学思维，多样例题助力用数学语言表达问题。课中辅助教师高效授课，课后帮助学生强化练习，查漏补缺。

§3.4 函数的应用（一） 目录 题型1：一次函数模型的应用 3 题型2：二次函数模型的应用 7 题型3：分段函数模型的应用 10 题型4：幂函数模型的应用 16 1. 用函数模型解决实际问题的方法和步骤 第一步：审题：认真读题，确切理解题意，明确问题的实际背景，寻找各量之间的内在联系，及关键的等量关系． 第二步：建模：通过抽象概括，引进数学符号，利用已有知识建立相应的数学模型，要注明符合实际意义的定义域； 建立函数模型求解析式的方法 (1) 待定系数法。已知条件中给出了含参数的函数解析式或根据已知条件可确定函数模型，此种情形下应用待定系数法求出函数解析式中的相关参数(未知系数)的值，就可以确定函数的解析式。 (2) 归纳法。先让自变量x取一些特殊值,计算出相对应的函数值，从中发现规律,再推广到一般情形,从而得到函数的解析式。 (3) 方程法。用x表示自变量或其他相关的量,根据问题的实际意义,运用已掌握的数学、物理等方面的知识,列出函数的解析式，此种方法形式上和列方程解应用题相仿,故称为方程法,实际上函数的解析式就是含的二元方程。 第三步：求模：根据实际问题所需要解决的目标及函数式的结构特征正确求得函数模型的解； 第四步：还原：将所求得的数学结果，还原到实际问题中去． 以上过程用框图表示如下： 2. 函数模型 函数模型 函数解析式 一次函数模型 ，(为常数,) 二次函数模型 ，(为常数,) 分段函数模型 幂函数模型 ，(为常数，) 题型1：一次函数模型的应用 方法提炼 应用一次函数模型解决实际问题的注意点 (1) 一次函数模型的突出特点是其图象是一条直线，解一次函数模型时，注意待定系数法的应用，主要步骤是：设元、列式、求解. (2) 当一次项系数为正时，一次函数为增函数；当一次项系数为负时，一次函数为减函数. 【例1.1.】 （多选）某工厂生产的产品分正品和次品，正品每个重10g，次品每个重9g，正品次品分别装袋，每袋装50个产品.现有10袋产品，其中有且只有一袋次品，为找出哪一袋是次品，质检员设计了如下方法：将10袋产品从1~10编号，从第i袋中取出i个产品（如：从第1袋取出1个产品），并将取出的所有产品一起用秤称出其重量为wg.设次品袋的编号为n，则下列选项正确的是（    ） A．w是n的函数 B．时， C．w的最小值为540 D．时，第1袋为次品袋 【答案】ACD 【难度】0.85 【知识点】一次函数的图像和性质、利用给定函数模型解决实际问题 【分析】根据已知可得且，再结合各项描述及函数单调性判断正误即可. 【详解】由题意且，即w是n的函数，A对； 当时，，B错； 由于递减，故w的最小值为，C对； 令，D对. 故选：ACD 【例1.2.】 （多选）某单位准备印制一批证书，现有两个印刷厂可供选择，甲厂费用分为制版费和印刷费两部分，先收取固定的制版费，再按印刷数量收取印刷费，乙厂直接按印刷数量收取印刷费，甲厂的总费用（千元）乙厂的总费用（千元）与印制证书数量x（千个）的函数关系图分别如图中甲、乙所示，则（    ） A．甲厂的制版费为1千元，印刷费平均每个为0.5元 B．甲厂的费用与证书数量x之间的函数关系式为 C．若该单位需印制证书数量为8千个，则该单位选择甲厂更节省费用 D．当印制证书数量超过2千个时，乙厂的总费用与证书数量x之间的函数关系式为 【答案】ABD 【难度】0.85 【知识点】一次函数的图像和性质、利用给定函数模型解决实际问题 【分析】结合图象，求得甲厂、乙厂总费用的函数关系式，然后对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】过点， 设，则，所以，B选项正确， 当时，，所以甲厂的制版费为1千元；根据可知： 甲厂印刷费平均每个为0.5元，A选项正确. 根据图象可知：该单位需印制证书数量为8千个，则该单位选择乙厂更节省费用，C选项错误. 当时，过点， 设，则，所以，D选项正确. 故选：ABD 【例1.3.】 某校高一（1）班共有学生50人,据统计原来每人每年用于购买饮料的平均支出是元,经测算和市场调查,若该班学生集体改饮某品牌的桶装纯净水,则年总费用由两部分组成：一部分是购买纯净水的费用,另一部分是其他费用780元,其中纯净水的销售价（元/桶）与年购买总量（桶）之间满足如图所示的关系. （Ⅰ）求与的函数关系； （Ⅱ）当为120时,若该班每年需要纯净水380桶,请你根据提供的信息分析一下：该班学生集体改饮桶装纯净水与个人买饮料相比,哪一种花钱更少？ 【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）该班学生集体改饮桶装纯净水花钱更少. 【难度】0.65 【知识点】一次函数的图像和性质、利用给定函数模型解决实际问题 【解析】(Ⅰ)根据题意设出直线方程,再代入图示数据,即可得出与的函数关系; (Ⅱ)分别求出两种情形下的年花费费用,进行比较即可. 【详解】(Ⅰ)根据题意,可设, 时,;时,, ,解得, 所以与的函数关系为:; (Ⅱ)该班学生购买饮料的年费用为(元), 由(Ⅰ)知,当时,, 故该班学生购买纯净水的年费用为:(元),比购买饮料花费少, 故该班学生集体改饮桶装纯净水花钱更少. 【例1.4.】 为了改善学校办公环境，某校计划购买两种型号的笔记本电脑共15台，已知A型笔记本电脑每台5200元，B型笔记本电脑每台6400元，设购买A型笔记本电脑台，购买两种型号的笔记本电脑共需要费用元． (1)求出关于的函数解析式． (2)若因为经费有限，学校预算不超过9万元，且购买A型笔记本电脑的数量不得比B型笔记本电脑数量的2倍还要多，请问：学校共有几种购买方案？哪种方案费用最少？求出费用最少的方案所需费用． 【答案】(1) (2)学校共有6种购买方案，购买A型电脑10台、B型电脑5台时费用最少，该方案所需费用为84000元． 【难度】0.65 【知识点】一次函数的图像和性质、利用给定函数模型解决实际问题 【分析】（1）根据题意,构造等量关系式,求出函数关系式; （2）先求出自变量取值范围,再根据函数单调性求解即可. 【详解】（1）因为购买A型笔记本电脑台，所以购买B型笔记本电脑（）台， 所以， 所以关于的函数解析式为． （2）因为学校预算不超过9万元，购买A型笔记本电脑的数量不得比B型笔记本电脑数量的2倍还要多， 所以解得， 而为整数，故可取，学校共有6种购买方案． 由，因为，所以函数单调递减， 又且为整数，所以当时，有最小值， 最小值，此时． 故学校共有6种购买方案，购买A型电脑10台、B型电脑5台时费用最少，该方案所需费用为84000元． 题型2：二次函数模型的应用 方法提炼 利用二次函数求最值的方法及注意点 (1) 方法：根据实际问题建立二次函数模型解析式后，可结合实际问题确定定义域，利用配方法、换元法以及函数的单调性等方法求最值，从而解决实际问题中的利润最大、用料最省等最值问题. (2) 注意点：取得最值时的自变量与实际意义是否相符. 【例2.1.】 某企业年初花费49万元购进一台新的设备，并立即投入使用.该设备使用后，每年的总收入预计为40万元，设备使用 年后该设备的总维修保养费用为 万元，盈利总额为万元. (1)求 关于 的函数关系式； (2)求该设备使用几年后的年平均盈利额最大？最大值为多少万元？（年平均盈利额 = 盈利总额 ÷ 使用年数） 【答案】(1) (2)使用7年后年平均盈利额最大，最大值为22万元 【难度】0.72 【知识点】利用二次函数模型解决实际问题、基本（均值）不等式的应用 【分析】（1）根据给定条件，直接求出y关于x的函数关系式； （2）求出年平均盈利额的表达式，再利用基本不等式求得最大值. 【详解】（1）根据题意：， 故y关于x的函数关系式为. （2）由（1）知盈利总额为， 则年平均盈利额为， 因为，当且仅当时等号成立，即， 所以， 故第年年平均盈利额取得最大值，最大值为万元. 【例2.2.】 某商品每件成本价为80元，售价为100元，每天售出100件．若售价降低x成（1成），售出商品数量就增加成．要求售价不能低于成本价． (1)设该商店一天的营业额为y，试求y与x之间的函数关系式，并写出定义域； (2)若再要求该商品一天营业额至少为10260元，求x的取值范围． 【答案】(1)，定义域为 (2) 【难度】0.78 【知识点】利用二次函数模型解决实际问题、解不含参数的一元二次不等式、一元二次不等式的实际应用 【分析】（1）求出售价降低成后每件售价的价钱，销售量增加成后售出商品的数量，列出关于的函数，利用售价不能低于成本价得到的不等式，从而得到函数的定义域. （2）列出关于的不等式，计算得解. 【详解】（1）售价降低成后，每件售价为元， 销售量增加成后售出商品的数量为件， 则． 因为售价不能低于成本价，所以． 所以，定义域为． （2）由题意得，化简得， 解得，所以的取值范围是． 【例2.3.】 红灯笼，象征着阖家团圆，红红火火，挂灯笼成为我国的一种传统文化．小明在春节前购进甲、乙两种红灯笼，用元购进甲灯笼与用元购进乙灯笼的数量相同，已知乙灯笼每对进价比甲灯笼每对进价多元． (1)求甲、乙两种灯笼每对的进价； (2)经市场调查发现，乙灯笼每对售价元时，每天可售出98对，售价每提高1元，则每天少售出2对．销售部门规定其销售单价不高于每对65元，设乙灯笼每对涨价为元，小明一天通过乙灯笼获得利润元． ①求出与之间的函数解析式； ②乙种灯笼的销售单价为多少元时，一天获得利润最大？ 【答案】(1)甲种灯笼26元，乙种灯笼35元 (2)①；②乙种灯笼的销售单价为65元时，一天获得利润最大 【难度】0.65 【知识点】利用二次函数模型解决实际问题、等式的性质与方程的解集 【分析】（1）设每对甲种灯笼的进价x元，每对乙种灯笼的进价元，根据用元购进甲灯笼与用元购进乙灯笼的数量相同，列分式方程可解； （2）①利用总利润等于每对灯笼的利润乘以卖出的灯笼的实际数量，可以列出函数的解析式； ②由函数为开口向下的二次函数，可知有最大值，结合问题的实际意义，可得答案． 【详解】（1）设每对甲种灯笼的进价x元，每对乙种灯笼的进价元， 所以 两边同乘得：， 解得：， 经检验：为该分式方程的解，且符合题意． 所以甲种灯笼元，乙种灯笼元； （2）①由题意， 故与的函数解析式为 ②由①知，函数开口向下 函数在对称轴处有最大值． 因为销售部门规定其销售单价不高于每对元 所以， 所以乙种灯笼的销售单价为元时，一天获得利润最大． 【例2.4.】 如图，用一段长为的篱笆围成一个多边形菜园，地块矩形，矩形为水塘．已知，设（单位：），（单位：），多边形形菜园的面积为（单位：）． (1)写出用表示的关系式； (2)求的最大值． 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】求二次函数的值域或最值、利用二次函数模型解决实际问题、利用给定函数模型解决实际问题 【分析】（1）结合图形，根据已知多边形周长列出关于的方程，得出表示的关系式； （2）利用（1）中的关系式，结合多边形图形列出面积的表达式，再利用二次函数的性质求出的最大值． 【详解】（1），多边形周长为， 设， ，则， ． （2）， ， 当时，取最大值． 题型3：分段函数模型的应用 方法提炼 应用分段函数时的三个注意点 (1) 分段函数的“段”一定要分得合理，不重不漏. (2) 分段函数的定义域为对应每一段自变量取值范围的并集. (3) 分段函数的值域或最值求法：逐段求函数值的范围，最后比较再下结论. 【例3.1.】 为了节约用电，某城市对居民生活用电实行“阶梯电价”，其计费方法如下：每户每月用电量不超过200度时，按0.5元/度计费；超过200度但不超过400度时，超过200度的部分按0.7元/度计费；超过400度时，超过400度的部分按0.9元/度计费.若某户居民本月缴纳电费为元，则该户居民本月用电量为（　　） A．400度 B．420度 C．440度 D．460度 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】分段函数模型的应用 【分析】根据计费方法，结合已知数据，即可直接求得结果. 【详解】设用电量为度，电费为元. 当时，，该档位下的最大电费为100元； 当时，， 当时，元，即该档位下的最大电费为元； 当时，. ，解得. 故选：C. 【例3.2.】 （多选）小菲在学校选修课中了解到艾宾浩斯遗忘曲线，为了解自己记忆一组单词的情况，她记录了随后一个月的有关数据，绘制图象，拟合了记忆保持量与时间（天）之间的函数关系，则下列说法正确的是（　　） A．随着时间的增加，小菲的单词记忆保持量降低 B．第一天小菲的单词记忆保持量下降最多 C．9天后，小菲的单词记忆保持量低于 D．26天后，小菲的单词记忆保持量不足 【答案】ABC 【难度】0.65 【知识点】分段函数模型的应用 【分析】结合函数性质与图象逐项分析即可得. 【详解】由函数及在定义域内都为减函数， 且，故随着的增加而减少，故A正确； 结合图象及指数函数的性质可得第一天小菲的单词记忆保持量下降最多，故B正确； 当时，，则， 即9天后，小菲的单词记忆保持量低于，故C正确； ，故D错误． 故选：ABC. 【例3.3.】 为响应国家提出的“大众创业，万众创新”的号召，小王同学大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业.经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本万元，每生产万件，需另投入流动成本万元.在年产量不足万件时，（万元）；在年产量不小于万件时，（万元）.每件产品售价为元. 假设小王生产的产品当年全部售完. (1)写出年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式； （注：年利润年销售收入固定成本流动成本） (2)年产量为多少万件时，小王在这一产品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)年产量为万件时，所获利润最大，最大利润为（万元） 【难度】0.72 【知识点】利用二次函数模型解决实际问题、分段函数模型的应用、基本（均值）不等式的应用 【分析】（1）直接根据题中所给的利润关系及相应成本可得函数解析式； （2）根据分段函数的性质，分别求出函数在两段上的最大值，再比较可得最大利润. 【详解】（1）因为年产量（万件），年销售收入为万元，固定成本为万元， 且年利润年销售收入固定成本流动成本， 当时，流动成本， 所以； 当时，流动成本， 所以. 因此，年利润的函数解析式为. （2）分当时，由基本不等式，当且仅当，​即时取等号，满足， 因此，（万元） 当时，是开口向下的二次函数， 对称轴为，且在定义域内，所以当时，利润函数取得最大值. 比较得，因此当年产量为万件时，利润最大，最大利润为（万元）. 【例3.4.】 有一种新型的洗衣液，去污速度特别快，已知每投放（，）个单位的该洗衣液在一定量水的洗衣机中，它在水中释放的浓度（克/升）随着时间（分钟）变化的函数关系式近似为，其中，若多次投放，则某一时刻水中的洗衣液浓度为每次投放的洗衣液在相应时刻所释放的浓度之和，根据经验，当水中洗衣液的浓度不低于6（克/升）时，它才能起到有效去污的作用. (1)若只投放一次个单位的洗衣液，当3分钟时水中洗衣液的浓度为2.5克/升，求的值； (2)若只投放一次6个单位的洗衣液，则有效去污时间可达几分钟？ (3)若第一次投放3个单位的洗衣液，9分钟后再投放3个单位的洗衣液，问能否使接下来的6分钟内持续有效去污？说明理由. 【答案】(1) (2)12分钟 (3)能持续有效去污，理由如下： 则当时， ， 当且仅当时，等号成立， 即9分钟后再投放3个单位的洗衣液能使接下来的6分钟内持续有效去污. 【难度】0.65 【知识点】分段函数模型的应用、利用给定函数模型解决实际问题、基本（均值）不等式的应用 【分析】（1）利用所给函数，令，解出即可得； （2）分及讨论即可得； （3）当时，计算的最小值是否大于即可得. 【详解】（1）由， 则当3分钟时水中洗衣液的浓度为2.5克/升时， 可得，即，解得； （2）由题意可得，则， 则当时，由，解得，即， 当时，由，解得，即， 综上所述，得，即有效去污时间可达12分钟； （3）9分钟后再投放3个单位的洗衣液能使接下来的6分钟内持续有效去污，理由略. 【例3.5.】 某AI公司为提高经济效益，大力进行新产品研发，现计划投入100万元，全部用于甲、乙两种产品的研发，每种产品至少要投入10万元，对市场进行调研分析后发现，甲产品的利润，乙产品的利润与研发投入（单位：万元）分别满足，设甲产品的投入为（单位：万元），两种产品的总利润为（单位：万元）. (1)求的表达式； (2)试问如何安排甲、乙两种产品的研发投入，才能使总利润最大，最大利润是多少万元？ 【答案】(1) (2)甲投入万元，乙投入 万元时，利润最大是 万元 【难度】0.65 【知识点】利用二次函数模型解决实际问题、分段函数模型的应用、基本（均值）不等式的应用 【分析】（1）根据题意，分情况列出关系式，写成分段函数形式即可； （2）分情况求出各段的最大值，利用换元法结合二次函数的性质、基本不等式计算最值并比较即可. 【详解】（1）甲产品的投入为（单位：万元），则乙产品的投入为（单位：万元）， 则乙产品的利润 当时，， 所以， 当时，， 所以， 综上所述，. （2）当时，令，则，， 则， 当时，函数有最大值， 即当时，函数有最大值. 当时， ， 当且仅当，即 因为. 所以当甲投入万元，乙投入 万元时，才能使总利润最大，最大利润是 万元. 题型4：幂函数模型的应用 【例4.1.】 一种新型电子产品计划投产两年后，使成本降36%，那么平均每年应降低成本（    ） A．18% B．20% C．24% D．36% 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】幂函数模型的应用 【分析】设平均每年降低成本x，由题意可列方程(1－x)2＝0.64，解方程可得答案 【详解】设平均每年降低成本x， 解得或（舍去）， 故选：B 【例4.2.】 异速生长规律描述生物的体重与其它生理属性之间的非线性数量关系通常以幂函数形式表示．比如，某类动物的新陈代谢率与其体重满足，其中和为正常数，该类动物某一个体在生长发育过程中，其体重增长到初始状态的16倍时，其新陈代谢率仅提高到初始状态的8倍，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】幂函数模型的应用 【分析】初始状态设为，变化后为，根据，的关系代入后可求解． 【详解】设初始状态为，则，， 又，，即， ，，，，． 故选：D． 【例4.3.】 近年来，某公司已成功研发A、B两种芯片，研发芯片前期已经耗费资金3千万元，现在准备投入资金进行生产.经市场调查与预测，生产A芯片的净收入与投入的资金成正比，已知每投入1千万元，公司获得净收入0.2千万元；生产B芯片的净收入y（千万元）是关于投入的资金x（千万元）的幂函数，其图象如图所示.    (1)试分别求出生产A、B两种芯片的净收入y（千万元）与投入的资金x（千万元）的函数关系式； (2)现在公司准备投入5亿元资金同时生产A、B两种芯片.设投入x千万元生产B芯片，用表示公司所获利润，求公司最大利润及此时生产B芯片投入的资金.（利润＝A芯片净收入＋B芯片净收入－研发耗费资金） 【答案】(1)， (2)最大利润，生产B投入 【难度】0.65 【知识点】幂函数模型的应用、利用给定函数模型解决实际问题 【分析】（1）结合已知条件和图像分别求解即可； （2）根据已知条件写出的解析式，并利用二次函数性质求解即可. 【详解】（1）不妨设生产芯片的净收入（千万元）与投入的资金（千万元）的函数关系式为：， 从而，故； 芯片的净收入（千万元）与投入的资金（千万元）的函数关系式， 由图像可知，的图像过点，即，解得， 故所求函数关系式为. （2）由题意可知，，， 由二次函数性质可知，当时，即时，有最大值. 即投入千万时，利润最大，最大值为千万. 【例4.4.】 众所周知，大包装商品的成本要比小包装商品的成本低.某种品牌的饼干，其100克装的售价为1.6元，其400克装的售价为4.8元，假定该商品的售价由三部分组成：生产成本、包装成本、利润.生产成本与饼干质量成正比且系数为，包装成本与饼干质量的算术平方根成正比且系数为，利润率为，则该种饼干900克装的合理售价为______元. 【答案】9.6 【难度】0.65 【知识点】幂函数模型的应用 【分析】首先根据题中的关系建立模型，然后根据已知数据求解模型中的参数，再得结论. 【详解】设饼干的质量为克，则其售价（单位：元）与之间的函数解析式为. 由题意得， 即①， ， 即②. 由①②解得，. ∴. 当时，. 故这种饼干900克装的售价为9.6元. 故答案为：9.6 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ §3.4 函数的应用（一） 目录 题型1：一次函数模型的应用 3 题型2：二次函数模型的应用 4 题型3：分段函数模型的应用 6 题型4：幂函数模型的应用 8 1. 用函数模型解决实际问题的方法和步骤 第一步：审题：认真读题，确切理解题意，明确问题的实际背景，寻找各量之间的内在联系，及关键的等量关系． 第二步：建模：通过抽象概括，引进数学符号，利用已有知识建立相应的数学模型，要注明符合实际意义的定义域； 建立函数模型求解析式的方法 (1) 待定系数法。已知条件中给出了含参数的函数解析式或根据已知条件可确定函数模型，此种情形下应用待定系数法求出函数解析式中的相关参数(未知系数)的值，就可以确定函数的解析式。 (2) 归纳法。先让自变量x取一些特殊值,计算出相对应的函数值，从中发现规律,再推广到一般情形,从而得到函数的解析式。 (3) 方程法。用x表示自变量或其他相关的量,根据问题的实际意义,运用已掌握的数学、物理等方面的知识,列出函数的解析式，此种方法形式上和列方程解应用题相仿,故称为方程法,实际上函数的解析式就是含的二元方程。 第三步：求模：根据实际问题所需要解决的目标及函数式的结构特征正确求得函数模型的解； 第四步：还原：将所求得的数学结果，还原到实际问题中去． 以上过程用框图表示如下： 2. 函数模型 函数模型 函数解析式 一次函数模型 ，(为常数,) 二次函数模型 ，(为常数,) 分段函数模型 幂函数模型 ，(为常数，) 题型1：一次函数模型的应用 方法提炼 应用一次函数模型解决实际问题的注意点 (1) 一次函数模型的突出特点是其图象是一条直线，解一次函数模型时，注意待定系数法的应用，主要步骤是：设元、列式、求解. (2) 当一次项系数为正时，一次函数为增函数；当一次项系数为负时，一次函数为减函数. 【例1.1.】 （多选）某工厂生产的产品分正品和次品，正品每个重10g，次品每个重9g，正品次品分别装袋，每袋装50个产品.现有10袋产品，其中有且只有一袋次品，为找出哪一袋是次品，质检员设计了如下方法：将10袋产品从1~10编号，从第i袋中取出i个产品（如：从第1袋取出1个产品），并将取出的所有产品一起用秤称出其重量为wg.设次品袋的编号为n，则下列选项正确的是（    ） A．w是n的函数 B．时， C．w的最小值为540 D．时，第1袋为次品袋 【例1.2.】 （多选）某单位准备印制一批证书，现有两个印刷厂可供选择，甲厂费用分为制版费和印刷费两部分，先收取固定的制版费，再按印刷数量收取印刷费，乙厂直接按印刷数量收取印刷费，甲厂的总费用（千元）乙厂的总费用（千元）与印制证书数量x（千个）的函数关系图分别如图中甲、乙所示，则（    ） A．甲厂的制版费为1千元，印刷费平均每个为0.5元 B．甲厂的费用与证书数量x之间的函数关系式为 C．若该单位需印制证书数量为8千个，则该单位选择甲厂更节省费用 D．当印制证书数量超过2千个时，乙厂的总费用与证书数量x之间的函数关系式为 【例1.3.】 某校高一（1）班共有学生50人,据统计原来每人每年用于购买饮料的平均支出是元,经测算和市场调查,若该班学生集体改饮某品牌的桶装纯净水,则年总费用由两部分组成：一部分是购买纯净水的费用,另一部分是其他费用780元,其中纯净水的销售价（元/桶）与年购买总量（桶）之间满足如图所示的关系. （Ⅰ）求与的函数关系； （Ⅱ）当为120时,若该班每年需要纯净水380桶,请你根据提供的信息分析一下：该班学生集体改饮桶装纯净水与个人买饮料相比,哪一种花钱更少？ 【例1.4.】 为了改善学校办公环境，某校计划购买两种型号的笔记本电脑共15台，已知A型笔记本电脑每台5200元，B型笔记本电脑每台6400元，设购买A型笔记本电脑台，购买两种型号的笔记本电脑共需要费用元． (1)求出关于的函数解析式． (2)若因为经费有限，学校预算不超过9万元，且购买A型笔记本电脑的数量不得比B型笔记本电脑数量的2倍还要多，请问：学校共有几种购买方案？哪种方案费用最少？求出费用最少的方案所需费用． 题型2：二次函数模型的应用 方法提炼 利用二次函数求最值的方法及注意点 (1) 方法：根据实际问题建立二次函数模型解析式后，可结合实际问题确定定义域，利用配方法、换元法以及函数的单调性等方法求最值，从而解决实际问题中的利润最大、用料最省等最值问题. (2) 注意点：取得最值时的自变量与实际意义是否相符. 【例2.1.】 某企业年初花费49万元购进一台新的设备，并立即投入使用.该设备使用后，每年的总收入预计为40万元，设备使用 年后该设备的总维修保养费用为 万元，盈利总额为万元. (1)求 关于 的函数关系式； (2)求该设备使用几年后的年平均盈利额最大？最大值为多少万元？（年平均盈利额 = 盈利总额 ÷ 使用年数） 【例2.2.】 某商品每件成本价为80元，售价为100元，每天售出100件．若售价降低x成（1成），售出商品数量就增加成．要求售价不能低于成本价． (1)设该商店一天的营业额为y，试求y与x之间的函数关系式，并写出定义域； (2)若再要求该商品一天营业额至少为10260元，求x的取值范围． 【例2.3.】 红灯笼，象征着阖家团圆，红红火火，挂灯笼成为我国的一种传统文化．小明在春节前购进甲、乙两种红灯笼，用元购进甲灯笼与用元购进乙灯笼的数量相同，已知乙灯笼每对进价比甲灯笼每对进价多元． (1)求甲、乙两种灯笼每对的进价； (2)经市场调查发现，乙灯笼每对售价元时，每天可售出98对，售价每提高1元，则每天少售出2对．销售部门规定其销售单价不高于每对65元，设乙灯笼每对涨价为元，小明一天通过乙灯笼获得利润元． ①求出与之间的函数解析式； ②乙种灯笼的销售单价为多少元时，一天获得利润最大？ 【例2.4.】 如图，用一段长为的篱笆围成一个多边形菜园，地块矩形，矩形为水塘．已知，设（单位：），（单位：），多边形形菜园的面积为（单位：）． (1)写出用表示的关系式； (2)求的最大值． 题型3：分段函数模型的应用 方法提炼 应用分段函数时的三个注意点 (1) 分段函数的“段”一定要分得合理，不重不漏. (2) 分段函数的定义域为对应每一段自变量取值范围的并集. (3) 分段函数的值域或最值求法：逐段求函数值的范围，最后比较再下结论. 【例3.1.】 为了节约用电，某城市对居民生活用电实行“阶梯电价”，其计费方法如下：每户每月用电量不超过200度时，按0.5元/度计费；超过200度但不超过400度时，超过200度的部分按0.7元/度计费；超过400度时，超过400度的部分按0.9元/度计费.若某户居民本月缴纳电费为元，则该户居民本月用电量为（　　） A．400度 B．420度 C．440度 D．460度 【例3.2.】 （多选）小菲在学校选修课中了解到艾宾浩斯遗忘曲线，为了解自己记忆一组单词的情况，她记录了随后一个月的有关数据，绘制图象，拟合了记忆保持量与时间（天）之间的函数关系，则下列说法正确的是（　　） A．随着时间的增加，小菲的单词记忆保持量降低 B．第一天小菲的单词记忆保持量下降最多 C．9天后，小菲的单词记忆保持量低于 D．26天后，小菲的单词记忆保持量不足 【例3.3.】 为响应国家提出的“大众创业，万众创新”的号召，小王同学大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业.经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本万元，每生产万件，需另投入流动成本万元.在年产量不足万件时，（万元）；在年产量不小于万件时，（万元）.每件产品售价为元. 假设小王生产的产品当年全部售完. (1)写出年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式； （注：年利润年销售收入固定成本流动成本） (2)年产量为多少万件时，小王在这一产品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？ 【例3.4.】 有一种新型的洗衣液，去污速度特别快，已知每投放（，）个单位的该洗衣液在一定量水的洗衣机中，它在水中释放的浓度（克/升）随着时间（分钟）变化的函数关系式近似为，其中，若多次投放，则某一时刻水中的洗衣液浓度为每次投放的洗衣液在相应时刻所释放的浓度之和，根据经验，当水中洗衣液的浓度不低于6（克/升）时，它才能起到有效去污的作用. (1)若只投放一次个单位的洗衣液，当3分钟时水中洗衣液的浓度为2.5克/升，求的值； (2)若只投放一次6个单位的洗衣液，则有效去污时间可达几分钟？ (3)若第一次投放3个单位的洗衣液，9分钟后再投放3个单位的洗衣液，问能否使接下来的6分钟内持续有效去污？说明理由. 【例3.5.】 某AI公司为提高经济效益，大力进行新产品研发，现计划投入100万元，全部用于甲、乙两种产品的研发，每种产品至少要投入10万元，对市场进行调研分析后发现，甲产品的利润，乙产品的利润与研发投入（单位：万元）分别满足，设甲产品的投入为（单位：万元），两种产品的总利润为（单位：万元）. (1)求的表达式； (2)试问如何安排甲、乙两种产品的研发投入，才能使总利润最大，最大利润是多少万元？ 题型4：幂函数模型的应用 【例4.1.】 一种新型电子产品计划投产两年后，使成本降36%，那么平均每年应降低成本（    ） A．18% B．20% C．24% D．36% 【例4.2.】 异速生长规律描述生物的体重与其它生理属性之间的非线性数量关系通常以幂函数形式表示．比如，某类动物的新陈代谢率与其体重满足，其中和为正常数，该类动物某一个体在生长发育过程中，其体重增长到初始状态的16倍时，其新陈代谢率仅提高到初始状态的8倍，则为（    ） A． B． C． D． 【例4.3.】 近年来，某公司已成功研发A、B两种芯片，研发芯片前期已经耗费资金3千万元，现在准备投入资金进行生产.经市场调查与预测，生产A芯片的净收入与投入的资金成正比，已知每投入1千万元，公司获得净收入0.2千万元；生产B芯片的净收入y（千万元）是关于投入的资金x（千万元）的幂函数，其图象如图所示.    (1)试分别求出生产A、B两种芯片的净收入y（千万元）与投入的资金x（千万元）的函数关系式； (2)现在公司准备投入5亿元资金同时生产A、B两种芯片.设投入x千万元生产B芯片，用表示公司所获利润，求公司最大利润及此时生产B芯片投入的资金.（利润＝A芯片净收入＋B芯片净收入－研发耗费资金） 【例4.4.】 众所周知，大包装商品的成本要比小包装商品的成本低.某种品牌的饼干，其100克装的售价为1.6元，其400克装的售价为4.8元，假定该商品的售价由三部分组成：生产成本、包装成本、利润.生产成本与饼干质量成正比且系数为，包装成本与饼干质量的算术平方根成正比且系数为，利润率为，则该种饼干900克装的合理售价为______元. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $