3.2.1函数的单调性与最大（小）值（第1课时）（教学设计）高一数学人教A版必修第一册

3.2.1函数的单调性与最大（小）值（第1课时） 年级 高一 学科 数学 课型 新授课 教材 人教A版必修第一册 教学目标 1.理解函数单调性、最值的概念，能利用定义判断简单函数单调性，会求函数的单调区间与最值。 2.经历从图像直观到代数符号证明的过程，体会数形结合思想，提升逻辑推理能力。 3.感受数学严谨性，体会数形转化的魅力，养成严谨论证、主动探究的学习习惯。 教学重点 函数单调性概念的形成，用定义判断和证明函数的单调性。 教学难点 用符号语言“任意 ”刻画单调性，理解“任意”所代表的无限性； 在证明过程中对 进行合理变形并确定符号。 教材分析 本节教学内容源于人教 A 版必修第一册第三章第二节《函数的单调性与最大（小）值》（第 1 课时），是在学生掌握函数概念与函数表示法基础上，首次系统学习函数的性质，是函数研究的核心起始课，对整个高中函数模块的学习有着奠基性的意义。 依照新课标要求，教材将内容划分为图象直观感知、单调性概念抽象、定义辨析、简单证明四个模块，从熟悉函数图象情境引入，通过观察图象升降变化，逐步抽象增函数、减函数的符号化定义，符合高一学生从直观到严谨的认知发展逻辑。教材以 “如何用数学语言刻画函数增减变化” 的逻辑线推进，实现从图象直观到代数严谨证明的跨越。本节为后续研究幂函数、指数、对数函数性质提供通用研究范式，落实直观想象、逻辑推理核心素养，很好落实课标要求，突出 “数形结合研究函数性质” 的核心观点。 学情分析 学生已学习过函数的概念、定义域、值域及函数的三种表示法，初中阶段也接触过一次函数、二次函数、反比例函数图象的直观“上升”“下降”特征，具备从图象感知变化趋势的认知基础。但高一学生仍习惯于直观描述和特殊值验证，对用“任意”抽象刻画函数的整体变化规律存在一定困难，容易以个别取值代替一般情况；同时，用定义证明函数单调性需要较强的代数变形能力，如作差、因式分解、通分等，部分学生在符号判断和逻辑表达上不够严密。教学难点：从图象直观到符号定义的抽象过程，以及利用定义证明单调性时“变形—定号”的逻辑推理。 教学过程 教学内容 设计意图 课堂导入 【创设情景，引入新课】 展示两幅函数图象，提出如下问题： （1）它们是函数图象吗？ （2）通过下列图象，你能得到什么信息？ （3）你能说一说这些图象的变化特点吗？ 【师生活动】 学生观察图象，描述图象从左到右“上升”“下降”“有增有减”等变化趋势； 教师点明：函数图象的变化趋势反映了函数的重要性质——单调性，从而引出课题。 从直观图象入手，激发学生对函数变化趋势的观察兴趣，明确本课研究“函数的单调性”的方向。 探究点1：函数单调性的概念形成 【问题1】 你能画出下列函数图象，并描述函数有何变化趋势吗？ （1）； （2）。 【师生活动】 学生画图并口答： 的图象从左到右保持上升； 的图象在 上下降，在 上上升。 【问题2】 以 为例，如何用“符号语言”描述它在 上“ 随 的增大而增大”？ 追问1：函数的表示方法有哪些？ 答：图象法、列表法、解析式法。 追问2：我们已经用图象法研究了函数的变化趋势，能否再从列表法、解析法的角度去研究？ 【师生活动】教师引导学生列表取值，比较函数值大小。 【问题3】 在下表中任取一些自变量的值，比较函数值大小，你能发现什么结论？ 追问1：列表法能把 内所有的数都比较完吗？ 答：不能。 追问2：如何才能把 内所有的数都比较完呢？ 教师总结：列表法只能实现“有限”个自变量和函数值大小的比较，因此用字母表示数，实现从“数字表示”到“字母表示”的过渡：当 时，有 。 追问3：这里对 有什么要求？只取 上的某些 ，满足 时，有 ，是否可以？ 答：必须是区间上的任意 ，只有某些满足不可以。 追问4：你能用符号语言描述 在 上随 的增大而增大这一规律了吗？ ，当 时，都有 ，则称 在区间 上单调递增。 追问5：对任一函数而言，若在定义域 的某个区间 上任意取两个数 ，当 时，都有 ，能说明函数是上升的吗？ 追问6：由这个结论你能尝试写出单调递增的定义吗？ 【新知导出】 一般地，设函数 的定义域为 ，区间 ，如果 ，当 时，都有 ，那么就称函数 在区间 上单调递增。特别地，当函数 在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数。如果函数在区间 上单调递增，那么就说函数在这一区间具有（严格的）单调性，区间 叫做 的单调递增区间。 【问题4】 你能类比函数单调递增的定义，描述函数单调递减的定义吗？ 一般地，设函数 的定义域为 ，区间 ，如果 ，当 时，都有 ，那么就称函数 在区间 上单调递减。特别地，当函数 在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数。如果函数在区间 上单调递减，那么就说函数在这一区间具有（严格的）单调性，区间 叫做 的单调递减区间。 【总结】 ① 当函数在其定义域上单调递增（减）时，则称 是增（减）函数，单调性是局部性质； ② 若 在区间 上单调递增（减），则称 在区间 具有严格的单调性，常数函数不具有严格的单调性。 通过“图象直观→列表有限比较→字母任意表示”的递进，让学生经历从图形语言到符号语言的抽象过程，理解“任意性”是单调性定义的核心，培养逻辑推理素养。 探究点2：单调性的理解与单调区间 【问题引入】 单调递增、单调递减定义中，哪些关键词体现了“严格的单调性”？“任意”二字能否省略？单调性与单调区间有什么关系？ 【辨析1】 函数 ，各有怎样的单调性？ 在 上单调递减，在 上单调递增； 在 上单调递增，在 上单调递减。 【辨析2】 判断下列说法是否正确： （1）已知 ，则 单调递增。 错，仅凭有限个值不能说明任意 时都有 。 （2）已知 ，都有 ，则 单调递增。 错，相邻两点满足不能保证任意两点满足。 （3）已知 ，当 时，都有 ，则 单调递增。 错，严格的单调递增要求 ，常数函数不满足严格单调递增。 （4）函数在区间 和 都是增函数，则函数在区间 上一定也是增函数吗？ 不一定，还需看在 处两侧函数值的大小关系是否满足整体递增。 【辨析3】 反比例函数 在整个定义域上是减函数吗？ 解： 在 上单调递减，在 上也单调递减，但在整个定义域内不具备统一的单调性，所以反比例函数 不是减函数。 的单调区间是 和 。 【注意】两个单调递减区间要用“和”或“，”连接，不能写成并集形式。 通过辨析和图象训练，强化对单调性定义中“任意性”“严格性”“局部性”的理解，掌握用图象法确定单调区间的方法，克服常见认知误区。 探究点3：用定义证明函数的单调性 【问题引入】 如何用单调性的定义严格证明一个函数在区间 上的单调性？ 【例1】 根据定义，研究函数 的单调性。 解：函数 的定义域是R。，且 ，则 由 ，得 ，所以： ① 当 时，<0，于是 ，即 。这时， 是增函数。 ② 当 时，>0，于是 ，即 。这时， 是减函数。 【例2】 物理学中的玻意耳定律 （ 为正常数）告诉我们，对于一定量气体，当其体积 减小时，压强 将增大。试对此用函数的单调性证明。 解：，且 ，则 由 ，得 ；由 ，得 ，即 。 又 ，于是 ，即 。 所以，根据函数单调性的定义，函数 ， 是减函数。也就是说，当体积 减小时，压强 将增大。 【例3】根据定义证明函数 在区间 上单调递增。 证明：，且 ，有 由 ，得 ，，所以 ，。 又由 ，得 。 于是，即 。 所以，函数 在区间 上单调递增。 【师生活动】 学生观察例1、例2的解答，小组讨论归纳用定义证明函数单调性的基本步骤，教师点拨“作差变形”的技巧。 【步骤归纳】 用定义证明函数的单调性的步骤： 取值：设 是某个区间上任意两个值，且 ； 作差：作差 ； 变形：将差式分解为若干可以直接确定符号的式子，一般化为积或商的形式； 定号：确定 的符号； 结论：确定函数的增减性。 通过例1、例2、例3及巩固训练，让学生掌握用定义证明函数单调性的“五步法”，体会从具体到一般的归纳过程，提升逻辑推理与数学运算素养。 探究点4：单调性的应用（求参数范围） 【问题引入】 已知函数单调性，如何求解析式或定义域中的参数范围？注意“函数在区间上单调”和“函数的单调区间是”有何区别？ 【例4】已知函数 （1）若 在 上是增函数，求 的范围； （2）若 的单调区间是 ，求 的范围。 解：（1） 由二次函数的性质知， 在 上单调递增。 若 在 上是增函数，则 ，即 。 （2）若 的单调区间是 ，则 ，即 。 关键思路： 第（1）问中 是单调递增区间的子集； 第（2）问中 就是单调递增区间本身。 【技巧点拨】 函数单调性定义的“双向性”：利用定义可以判断、证明函数的单调性；反过来，若已知函数的单调性可以确定函数中参数的取值范围。 若一个函数在区间 上是单调的，则此函数在这一单调区间内的任意子集上也是单调的。 含参数问题需要根据参数的符号对差式符号进行讨论，帮助学生体会分类讨论思想，同时巩固单调性定义的符号判定过程。 课堂小结 板书设计 3.2.1函数的单调性与最大（小）值（第1课时） 一、函数单调性的定义 单调递增：，当 时，都有 。 单调递减：，当 时，都有 。 二、符号语言与图形语言对照 图象上升 ⇔ 单调递增 图象下降 ⇔ 单调递减 三、用定义证明函数单调性的步骤 ①取值：任取 ，且 ； ②作差：； ③变形：因式分解、通分、配方等； ④定号：判断差的符号； ⑤结论：指出函数的单调性。 四、注意事项 ①单调性是在区间上的局部性质； ②反比例函数 的单调区间不能用并集表示； ③常数函数不具有严格的单调性。 5、 典型例题 例1：一次函数 的单调性； 例2：玻意耳定律 的单调性证明； 例3：证明 在 上单调递增。 随堂练习 题型1 图象法判断函数的单调性 1.下图是定义在区间[−5,5]上的函数y=f(x)，根据函数图象说出函数的单调区间.并说明在该区间上的单调性 . 【答案】：在[−5，−2]和[1,3]上单调递减，在 (−2,1)和(3，5]上单调递增 2.函数y＝f(x)的图象如图所示，其增区间是________． 【答案】：[−3，1] 3、函数f(x)＝－x2－2x的单调递增区间是________． 【答案】：(−∞，−1] 4、画出函数f(x)=−x^2+2|x|+3 的图象，并指出函数的单调区间. 解：函数图象如图所示： 由图知，函数的增区间为：（−∞，−1]，[0，1] 函数的减区间为：[−1，0]，[1，+∞） 5、画出函数f(x)=|−x2+2x+3|的图象，并指出函数的单调区间. 解：函数图象如图所示： 由图知，函数的增区间为： [−1，1]，[3，+∞] 函数的减区间为：（−∞，−1]，[1，3] 题型2 利用定义判断或证明函数的单调性 1、根据定义，研究函数f(x)=kx+b(k≠0)的单调性. 解：函数f(x)=kx+b(k≠0)的定义域是R. ∀x1，x2∈R，且x1<x2，则f(x1)−f(x2)=(kx1+b)−(kx2+b)=k(x1−x2). 由x1<x2，得x1−x2<0，所以 ①当k>0时，k(x1−x2)<0.于是f(x1)−f(x2)<0，即f(x1)<f(x2). 这时，f(x)=kx+b是增函数. ②当k<0时，k(x1−x2)>0.于是f(x1)−f(x2)>0，即f(x1)>f(x2). 这时，f(x)=kx+b是减函数. 2、根据定义证明函数y=−x2+4x在区间(2,+∞)上单调递减. 证明：∀x1，x2∈(2,+∞)，且x1<x2，有 y1−y2=(−x12+4x1)−(−x22+4x2)=(x22−x12)+4(x1−x2)=(x2−x1)(x1+x2)+4(x1−x2)=(x2−x1) (x1+x2−4). 由x1，x2∈(2,+∞)，得x1>2，x2>2. 所以x1+x2>4，x1+x2−4>0. 又由x1<x2，得x2−x1>0. 于是(x2−x1)(x1+x2−4)>0，即y1>y2 所以，函数y=−x2+4x在区间(2,+∞)上单调递减. 题型3 根据单调性求参数取值范围 1、若y＝(2k－1)x＋b是R上的减函数，则k的取值范围为______________，b的取值范围为________． 【答案】：(−∞，)；R 2、已知f(x)是定义在[−1,1]上增函数，且f(x−1)<f(1−3x).求x的取值范围。 解：∵ f(x)是定义在[−1,1]上的增函数，且f(x−1)<f(1−3x) ∴ 解得0≤x< ∴ x的取值范围为[0，) 3、已知y=f(x)在定义域(−1,1)上是减函数，且f(1−a)<f(a2−1)，则a的取值范围为_______________。 【答案】(0,1) 4、 已知函数f(x)对任意 x1 ，x2∈R,都有<0,且 f(2−2m)>f(1+m)，则实数m的取值范围是 ____________。 【答案】(，+∞) 教学反思 本课时教学目标基本达成：学生能借助图象直观判断单调性，并能用符号语言初步描述单调性，对定义中“任意”的理解比预期更顺利。通过反比例函数等辨析题，学生较好掌握了“单调性为区间局部性质”这一难点。 但仍有不足：部分学生在用定义证明时，作差后变形方向不明确，需教师引导才能完成因式分解或通分；还有学生对“单调区间不能用并集连接”记忆不牢，需后续反复强调。 改进方向：可增加小组合作探究环节，让学生相互讲解“任意取值”的必要性；在例题教学中进一步强化“变形”的常用技巧，并设计与单调性有关的开放性问题，提升学生逻辑推理的严密性。 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $