专题06反比例函数知题通关讲义(核心重点+高频易错+题型精讲+拔高练习)2026-2027学年人教版九年级数学上册

专题06反比例函数知题通关讲义 知识点01:反比例函数基础定义与三种表达式 1. 定义 一般地，如果两个变量x、y的乘积等于一个非零常数k（k为常数，k≠0），即xy=k，那么称y是x的反比例函数。 2. 三种等价表达式 取值范围 自变量 x：x0（分母不能为 0） 函数值 y：y0 4. 判断反比例函数核心要点 (1)x、y次数必须为-1； (2)常数项k不能等于 0； (3)不能出现y=这类分母含一次多项式的形式（不属于反比例函数）。 5.正反比例函数对比表 知识点02:反比例函数解析式的确定 1.方法：待定系数法（仅需 1 组 x,y 对应值） 2.步骤 知识点03:反比例函数的图像画法（描点法） 图象基础特征 图象名称：双曲线，由左右完全分离的两支曲线组成； 渐近特点：两支曲线无限向 x 轴、y 轴靠近，但永远不与坐标轴相交（因为 x≠0，y≠0）； 画法：描点法，取点时必须分正负两组取值（正 x 一组，负 x 一组），分别画出两支，不能连为一条曲线。 知识点04:反比例函数的性质（核心考点） 知识点05:比例系数 k 的几何意义 1.过 y=(k0) 图象上任意一点向两坐标轴作垂线，与两坐标轴围成的矩形的面积等于 ∣k∣。 2.连接 y=(k0) 图象上任意一点与原点，并从该点向 x 轴、y 轴作垂线，可得两个直角三角形，这两个直角三角形的面积都等于 。 3.若过反比例函数图象上的点向两坐标轴作垂线，已知两条垂线与两坐标轴围成图形的面积，则可得到 ∣k∣ 的值，进而确定函数表达式。 知识点06:反比例函数与一次函数综合 1. 交点求解方法 联立两个函数解析式，组成方程组，消元得到一元二次方程，方程的解对应交点横、纵坐标。 2. 交点核心性质 (1)若有两个交点，则两点关于原点中心对称； (2)联立方程判别式Δ>0：2 个交点；Δ=0：1 个交点；Δ<0：无交点。 3. 图像综合应用 (1)比较函数值大小：同一竖直线x=a，观察图像上下位置，上方函数值更大； (2)解不等式>mx+n：直接看图像，双曲线在直线上方对应的x取值范围 知识点07:反比例函数的实际应用 （一）常见建模固定场景（总量恒定，两变量乘积不变） 行程问题：路程 s 固定，速度 v=； 工程问题：工作总量 W 固定，工作效率 P=； 几何面积：矩形、三角形面积固定，底与高、长与宽成反比例； 物理场景：压强、电阻、密度等定量公式。 （二）标准解题完整步骤 审题：找出题目中固定不变的总量； 设元：设出自变量 x 和因变量 y； 建模：根据 “总量 = 变量 1× 变量 2” 列出反比例关系式 y=； 定范围：结合实际意义限定自变量取值（时间、速度、长度均为正数，x>0）； 求解：根据题干要求求对应数值； 作答：检验结果是否符合现实，规范写出答案。 （三）图像应用特点 实际问题中自变量 (x>0)，因此图像只有双曲线第一象限单支，不存在二、三、四象限部分。 ①误判反比例函数的标准形式，遗漏 k≠0 提醒：只有可化为 y=（k 为常数，k≠0）的函数才是反比例函数；xy=k(k≠0) 同样是它的等价形式；y=、y=不属于反比例函数，不可忽略 k≠0 的限制。 ② 忽略反比例函数自变量 x≠0，误认为 x 可取 0 提醒：分母不能为零，因此 y=(k≠0) 中 x≠0，y≠0，图像永远不与x轴、y轴相交。 ③ 去掉“在每一个象限内”，错误描述增减性 提醒：k>0 时，在每一个象限内，y 随 x 的增大而减小；k<0 时，在每一个象限内，y 随 x 的增大而增大；不能在整个定义域上直接使用增减性，跨象限不成立。 ④ 比较函数值大小时，直接套用增减性，未判断点所在象限 提醒：利用增减性比较函数值，前提是各点位于同一象限；若点分布在不同象限，应先根据 y 的正负直接比较，不可强行使用增减性。 ⑤ 利用 k 的几何意义求参数，忘记取绝对值，符号处理错误 提醒：双曲线上任一点向两坐标轴作垂线，围成矩形面积为 |k|，直角三角形面积为 ；面积恒为正数，但 k 可正可负，不能直接把面积当作 k 的值。 ⑥ 误认为双曲线无限靠近坐标轴，就可以与坐标轴相交 提醒：双曲线只是无限趋近x轴、y轴，由于 x≠0、y≠0，图像与坐标轴不存在交点。 ⑦ 记错反比例函数图像的对称关系 提醒：双曲线关于原点中心对称，关于直线 y=x、y=-x 轴对称；不关于x轴、y轴对称，这是典型易错点。 ⑧ 待定系数法求 k 时，坐标负号运算出错 提醒：反比例函数只需一组非零对应值，即可由 k=xy 求出系数；代入含负号的坐标时，不可丢失负号，求出 k 后可回代解析式核验。 ⑨ 联立一次函数与反比例函数，只用判别式判断交点，忽略 x≠0 提醒：联立解析式得到方程后，可借助判别式初步判断解的个数；但必须检验解是否满足 x≠0，有可能代数上有解，但在函数中无对应交点。 ⑩ 反比例函数实际应用，直接使用 x≠0，忽略自变量实际范围 提醒：实际问题中，长度、时间、产量等变量通常取正值；函数图像只画出双曲线对应的一部分，不可画出完整双曲线。 ⑪ 混淆“A与B成反比例”和 y 是 x 的反比例函数 提醒：若 y+2 与 x-1 成反比例，应写成 y+2=(k≠0)；不能变形为 y=，此时 y 并不是 x 的反比例函数 题型 考察方向 难度 题型一 用反比例函数描述数量关系 ★ 题型二 根据定义判断是否是反比例函数 ★ 题型三 根据反比例函数的定义求参数 ★ 题型四 求反比例函数值 ★ 题型五 由反比例函数值求自变量 ★ 题型六 判断（画）反比例函数图象 ★ 题型七 已知反比例函数的图象，判断其解析式 ★★ 题型八 由反比例函数图象的对称性求点的坐标 ★★ 题型九 已知双曲线分布的象限，求参数范围 ★★ 题型十 判断反比例函数的增减性 ★★ 题型十一 判断反比例函数图象所在象限 ★★ 题型十二 已知反比例函数的增减性求参数 ★★ 题型十三 比较反比例函数值或自变量的大小 ★★★ 题型十四 已知比例系数求特殊图形的面积 ★★★ 题型十五 根据图形面积求比例系数 ★★★ 题型十六 求反比例函数解析式 ★★★ 题型十七 反比例函数与几何综合 ★★★★ 题型十八 反比例函数、二次函数图象综合判断 ★★★★ 题型十九 一次函数与反比例函数图象综合判断 ★★★★ 题型二十 一次函数与反比例函数的交点问题 ★★★★ 题型二十一 一次函数与反比例函数的实际应用 ★★★★ 题型二十二 实际问题与反比例函数 ★★★★ 拔高题 9题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★压轴 题型一 用反比例函数描述数量关系 1．下列数量关系中，成反比例关系的是（     ） A．橘子的单价一定，购买橘子的数量与总价 B．圆柱的体积一定，它的底面积与高 C．学校计划种植500棵树，已植的棵数与未植的棵数 D．速度一定，路程与时间 【答案】B 【分析】成反比例关系的两种量乘积为定值，据此筛选选项． 【详解】解：∵橘子单价一定时，总价数量定值；速度一定时，路程时间定值，即两组量的比值均为定值， ∴选项A、D中的两种量均成正比例关系，不符合题意； ∵圆柱的体积一定，即底面积高定值， ∴它的底面积与高成反比例关系，B符合题意； ∵计划种植总棵数为，即已植棵数未植棵数定值， ∴已植的棵数与未植的棵数不成比例关系，C不符合题意． 2．下列各点中，在函数的图像上的是 （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查反比例函数，掌握反比例函数自变量函数值的计算是关键． 函数的图像上的点满足，因此只需计算各点横纵坐标的积，判断是否等于． 【详解】解：∵ 在函数中，有， ∴A、，，故该点不在图像上； B、，，在图像上； C、，，故该点不在图像上； D、，，故该点不在图像上； 故选：B． 3．如图的电路图中，用电器的电阻是可调节的，其范围为，已知电压，下列描述中错误的是（    ） A．与成反比例： B．与成反比例： C．电阻越大，功率越小 D．用电器的功率的范围为 【答案】A 【分析】根据功率判断即可． 【详解】∵， ∴， ∴A选项错误 故选：A． 【点睛】本题考查物理的电功率公式，熟记物理公式是解题的关键． 题型二 根据定义判断是否是反比例函数 4．下列函数图像是双曲线的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】只需判断各选项的函数类型，根据反比例函数的图像是双曲线即可得到答案． 【详解】解：选项A、是正比例函数，图像为过原点的直线，不符合要求.； 选项B 、是常函数，图像为平行于轴的直线，不符合要求； 选项C、是正比例函数，图像为过原点的直线，不符合要求； 选项D、可变形为，属于反比例函数，反比例函数的图像是双曲线，符合要求． 5．把化为的形式：_______，其中_____； 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的定义，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 根据反比例函数的形式变形即可． 【详解】解：由得，所以， 故答案为：，． 6．下列函数：，，，，其中，是的反比例函数的有（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数，根据反比例函数的定义：把形如的函数叫反比例函数，即可求解，掌握反比例函数的定义是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，故是反比例函数； ∵， ∴，故是反比例函数； ∵， ∴，故是反比例函数； 不是反比例函数； ∴是的反比例函数有， 故选：． 题型三 根据反比例函数的定义求参数 7．反比例函数中，比例系数_______． 【答案】 【分析】将给定函数整理为反比例函数标准形式，即可得到比例系数． 【详解】解：把变形为标准反比例函数形式，得，对比标准形式，可得比例系数． 8．若点在反比例函数的图象上，则代数式的值为（   ） A．0 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数解析式，根据反比例函数图象上点的坐标特征，得出的值，再代入代数式计算即可． 【详解】解：点在反比例函数的图象上， ，即． 将代入代数式，得：． 故选：D 9．如图，反比例函数与一次函数交于点，若，则_____． 【答案】8 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题以及两点间距离公式的应用，解题关键是熟练掌握一次函数的性质及两点间距离公式。 由一次函数的性质可知，其图象上点的横、纵坐标相等，设，然后根据两点间距离公式，得到点坐标，然后代入反比例函数即可解答。 【详解】∵反比例函数与一次函数交于点A， ∴直线上的点的横、纵坐标相等， ∵点A在第一象限， ∴设点的坐标为． ∵原点和点， ∴． ∵， ∴，． ∵ ， ∴， 解得， ∴点的坐标为． 将点的坐标代入反比例函数得 ． 故答案为：8． 题型四 求反比例函数值 10．若函数的图象经过点，则________． 【答案】 【分析】函数图象上的点的坐标满足函数解析式，将点代入反比例函数解析式，即可求出的值． 【详解】解：函数的图象经过点， 将，代入得：． 11．反比例函数的图象一定经过的点是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】对于反比例函数，图象上任意点的横纵坐标乘积等于，只需计算各选项点的横纵坐标乘积，判断是否等于本题的即可． 【详解】解：∵反比例函数解析式为， ∴函数图象上的点满足， 验证选项： 选项A：，不满足条件； 选项B：，满足条件； 选项C：，不满足条件； 选项D：，不满足条件． 12．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数图象与直线，，，，（且为整数）分别交于点，，，，，则____________________． 【答案】 【分析】根据直线与反比例函数的交点坐标规律，得出，进而得到通项，利用裂项相消法进行求和计算． 【详解】解： 由题意可知，，，，，， 点在反比例函数的图象上， ， ， 原式 ． 13．已知反比例函数的图象经过点，，且，则下列选项正确的是（   ） A．当时， B．当， C．当时， D．当时， 【答案】A 【分析】本题先利用反比例函数图象上点的坐标特征，将，用表示，再结合得到 ，分别计算和的符号，结合的取值范围判断选项正误． 【详解】解：∵点，在反比例函数的图象上， ∴，，即，， 又∵， ∴ ， ∴， ∴，， 分情况讨论： 当时，，， ∴ ，得 ， ，故A正确，C错误； 当时，，， ∴ ，得 ， ，故B，D错误． 题型五 由反比例函数值求自变量 14．已知点在反比例函数的图象上，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将点坐标代入解析式即可计算出的值． 【详解】解：点在反比例函数的图象上， ，解得． 15．一定质量的二氧化碳的体积和压强成反比例函数关系，当体积为时，压强为；当体积为时，压强为____________． 【答案】 【分析】设体积为时，压强为，利用反比例函数的定义列出方程，求解即可． 【详解】解：设体积为时，压强为， ∵该二氧化碳的体积与压强成反比例函数关系， ∴， 解得． 16．在平面直角坐标系中，若函数的图象经过点和，则的值为________． 【答案】4 【分析】先将代入中，求出k的值，即可求出函数的表达式，再将代入函数表达式中，即可求出m的值． 【详解】将代入中，得 ， 解得， ∴若函数的表达式为． 把代入中，得 ， 解得． 故答案为：4． 【点睛】本题主要考查了利用待定系数法求反比例函数的表达式，熟练掌握待定系数法是解题的关键． 17．已知反比例函数，当时，自变量的取值范围是（     ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】分和两种情况讨论，根据反比例函数的增减性，结合求解即可． 【详解】解：反比例函数中，， ∴ 函数图象位于第一、三象限，且， 分两种情况讨论： （1） 当时，，显然满足，因此所有都符合条件； （2）当时，令，， 解得， 在第三象限，y随着x的增大而减小， 时， 综上，自变量的取值范围是或． 题型六 判断（画）反比例函数图象 18．函数的图像大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查反比例函数的定义及性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题关键． 根据函数解析式确定该函数是反比例函数，根据反比例函数的性质即可得答案． 【详解】解：∵函数解析式为， ∴该函数为反比例函数，图像为双曲线， ∵， ∴图像在一、三象限， ∴四个选项中，只有B选项符合题意， 故选：B． 19．反比例函数与两条坐标轴的正半轴所夹的开放区域内（不含边界）只有8个整点（横、纵坐标均为整数），则的取值范围为______． 【答案】 【分析】画出图象，找到临界状态，会发现，当时，是8个整点，满足条件． 【详解】解：如图， 当时，是5个整点，当时，是8个整点． ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数图象的性质，画出函数图象是解题的关键． 20．已知抛物线与轴没有交点，则函数的大致图象是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数的图象，二次函数性质，求m的取值范围是本题的关键．由抛物线与轴没有交点可求得，即可求解． 【详解】∵抛物线与轴没有交点， ∴没有实数根， ∴ ∴ ∴函数的图象在第一、第三象限， 故选：A． 题型七 已知反比例函数的图象，判断其解析式 21．在平面直角坐标系中，反比例函数 的图象如图所示，则k的值可能是（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的图象，解题的关键是掌握反比例函数图象离坐标轴越远，k的绝对值越大． 根据点A和点C的坐标，得出k的取值范围，即可解答． 【详解】解：∵该反比例函数位于第一象限的图象低于点， ∴， ∵该反比例函数位于第三象限的图象低于点， ∴， ∴， ∴k的值可能是3， 故选：C． 22．如图为反比例函数的图象，请写出满足图象的一个的值______．    【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，根据图象可得比例系数的坐标在和之间，即可得，据此即可求解，掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】解：由图象可得，比例系数的坐标在和之间， ∴，即， ∴满足图象的一个的值可以为， 故答案为：． 23．在平面直角坐标系中，反比例函数的图象如图所示，则的值可以为（   ） A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】根据函数图象确定k的取值范围． 【详解】解：如图所示， 反比例函数的图象位于第二、四象限，则． 又，即． 观察选项，只有选项合题意． 故选：． 【点睛】考查了反比例函数的图象，根据函数图象确定k的符号以及k的取值范围是解题的难点． 题型八 由反比例函数图象的对称性求点的坐标 24．下列各点中，在双曲线的图象上的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数图像上点的坐标特征，掌握所有在反比例函数图像上的点的纵横坐标的积，应等于比例系数是解答本题的关键． 将选项中点的纵横坐标相乘，结果是比例系数的，就在双曲线的图象上． 【详解】解：反比例函数中，比例系数， 将选项中点的纵横坐标相乘： A选项，符合题意； B选项，不符合题意； C选项，不符合题意； D选项，不符合题意， 故选A． 25．如图所示，已知函数和的图像交于点，，过点A作垂直于x轴于点E，，则的值是________． 【答案】16 【分析】本题考查了反比例函数图象的对称性，待定系数法求函数解析式，能够根据反比例函数图象关于原点对称的性质求出点坐标是解题关键． 根据反比例函数图象关于原点对称的性质，可得，利用勾股定理求出的长，进而得出A点坐标，代入解析式求出的值后相乘即可． 【详解】解：由题得， 轴， ， ， 把代入和得 ， 解得， ． 故答案为：16． 26．若一次函数的图像与反比例函数的图像的一个交点的横坐标为2，则另一个交点的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由两函数图象的一个交点横坐标为2，将代入正比例求得，则正比例函数与反比例函数交点，利用反比例函数的中心对称性即可求得另一个交点的坐标． 【详解】解： 一个交点的横坐标为2， 将代入得：， 交点为， 反比例函数与正比例函数的图象的一个交点为， 另一个交点为． 故选：B． 【点睛】此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，以及反比例函数的图象与性质，求得第一个交点坐标是解题的关键． 题型九 已知双曲线分布的象限，求参数范围 27．已知反比例函数的图象如图所示，的值可以是（     ） A． B． C．0 D．1 【答案】D 【分析】根据反比例函数图象经过的象限，即可得出结论. 【详解】解：∵反比例函数的图象过一，三象限， ∴， ∴的值可以是. 28．反比例函数的图象在第二、四象限，则点在第________象限． 【答案】 三 【分析】根据反比例函数图象所在象限确定比例系数的符号，求出的取值范围，再根据点的横纵坐标符号判断点所在象限. 【详解】解：反比例函数的图象在第二、四象限， ， 解得， 点的横坐标，纵坐标， 点位于第三象限. 29．反比例函数，在同一坐标系中的图象如图所示，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查反比例函数图像与性质，熟记反比例函数图像与性质，利用数形结合的思想是解决问题的关键． 由图象推出，再取时，推出的大小，即可解题． 【详解】解：由图知，在第四象限，在第三象限， ， 如图，当时，， ； 故选：B． 题型十 判断反比例函数的增减性 30．反比例函数的图象如图所示，随着值的增大，的值（     ）． A．减小 B．增大 C．不变 D．先减小后不变 【答案】A 【分析】根据反比例函数图象的性质判断即可． 【详解】反比例函数，观察函数图象在第一象限，在第一象限内，随着值的增大，的值随之减小． 31．如图，若机器狗的最快速度是载重后总质量的反比例函数，当该机器狗载重后总质量时，最快速度，则当该机器狗载重后总质量不超过时，最快速度不低于______． 【答案】4 【分析】本题考查了反比例函数的应用，反比例函数的性质，利用待定系数法求出反比例函数解析式，再将代入计算即可，待定系数法求反比例函数解析式是解题的关键． 【详解】解：设， 当该机器狗载重后总质量时，最快速度， ， ， ， ， 时，随的增大而减小， 当时，， 当该机器狗载重后总质量不超过时，最快速度不低于． 故答案为：4． 32．已知，，三点都在反比例函数的图象上，则下列结论正确的是（     ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】B 【分析】先根据反比例函数系数判断图象位置和增减性，再结合m的范围确定三个点横坐标的范围，结合增减性比较y的大小即可得到结果． 【详解】解：∵反比例函数中，， ∴函数图象位于第二、四象限，且在每个象限内，随的增大而增大， A、当时，可得，三点都在第二象限，根据增减性得，即，故该选项不符合题意； B、当时，可得，A、B在第二象限，C在第四象限，可得，且，，，即，故该选项符合题意； C、当时，可得，点A在第二象限，点B、C在第四象限，根据增减性得，故该选项不符合题意； D、当时，可得，三点都在第四象限，根据增减性得，故该选项不符合题意； 题型十一 判断反比例函数图象所在象限 33．反比例函数的图象分别位于（     ） A．第一、第三象限 B．第一、第四象限 C．第二、第三象限 D．第二、第四象限 【答案】D 【分析】根据反比例函数比例系数的符号即可判断图象所在象限． 【详解】解：中，， ∴ 反比例函数的图象位于第二、第四象限． 34．已知a，b互为相反数，且，则反比例函数y=的图象所在的象限为（     ） A．第二、四象限 B．第二、三象限 C．第一、三象限 D．第一、二象限 【答案】A 【分析】根据题意，得到a，b异号，进而得到，根据反比例函数的性质，即可得出结果. 【详解】解：∵a，b互为相反数，且， ∴， ∴反比例函数的图象所在的象限为第二、四象限. 35．y关于x的函数的图象可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据反比例函数的性质得出函数的图象位于一、三象限，根据函数图象的平移规律即可得出答案. 【详解】解：∵， ∴函数的图象位于一、三象限， ∵， ∴函数的图象向右平移个单位得到函数的图象， ∴函数的图象为 . 题型十二 已知反比例函数的增减性求参数 36．已知反比例函数，当时，随的增大而增大，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：反比例函数，当时，随的增大而增大， 说明在第四象限内随的增大而增大， ． 37．选一个数作为m的值，使关于x的函数的图象在每个象限y随x的增大而增大，则m的值为________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据反比例函数的性质得到，确定的取值范围后任选一个符合条件的值即可． 【详解】解：∵函数的图象在每个象限随的增大而增大， ∴反比例函数的比例系数小于，即，解得，取，符合条件． 38．已知点，都在反比例函数的图象上，则下列结论一定正确的是（   ） A． B． C．当时， D．当时， 【答案】C 【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征解答即可． 【详解】解：∵， ∴反比例函数图象分布在第一三象限，在每个象限内随的增大而减小， A、若两点在不同分支上，∵，故，原说法错误，不符合题意； B、若两点在同一分支上，∵，故，原说法错误，不符合题意； C、当时，两点都在第一象限，，原说法正确，符合题意； D、当时，两点都在第一象限，，原说法错误，不符合题意； 题型十三 比较反比例函数值或自变量的大小 39．已知点，都在反比例函数的图象上，且，则，的关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据反比例函数的图像与性质确定的取值范围，即可获得答案． 【详解】解：∵， ∴反比例函数的图象分布在第二、四象限， 当时，图象位于第二象限，对应； 当时，图象位于第四象限，对应． ∵，则点在第四象限， ∴， ∵，则点在第二象限， ∴， ∴． 40．在平面直角坐标系中，若点，在反比例函数的图象上，则______（填“”“”或“”） 【答案】 【详解】解： ∵， ∴该反比例函数图象在第二象限和第四象限，且在每个象限内，随着增加而增加， ∵，在该反比例函数图象上， ∴点、在第四象限，且， ∴． 41．已知点和点均在反比例函数（k是常数，）的图象上，若，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．无法确定与之间的关系 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数图象的中心对称性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据反比例函数图象的中心对称性质及反比例函数图象上点的坐标特征解答即可． 【详解】解：∵， ∴反比例函数图象分布在第二、四象限，在每个象限内随的增大而增大， ∵， ∴在第二象限，点在第四象限， ∴，， ∵点关于原点的对称点， ∵, ∴， ∵函数在第四象限是增函数， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：A ． 题型十四 已知比例系数求特殊图形的面积 42．反比例函数如图，则矩形的面积是（　　） A．6 B． C．3 D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数的比例系数k的几何意义．直接设点P的坐标，表示出和，再计算矩形的面积即可． 过双曲线上任意一点向x轴、y轴引垂线，所得矩形面积为．据此解答． 【详解】解：设， ∴，， ∴． 故选：A． 43．如图，反比例函数的图象经过斜边上的中点A，与边交于点D，分别连接，，则的面积为_________． 【答案】9 【分析】过点A作于点E，设，求得，，得到，于是得到结论． 【详解】解：过点A作于点E，设． ， ∵点A是的中点， ， ∵   的图象经过点A， ， ． ∵点D在反比例函数的图象上， ， ， ． 44．反比例函数和在第一象限的图象如图所示，点在函数图象上，点在函数图象上，轴，点是y轴上的一个动点，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线间的距离，反比例函数比例系数的几何意义，延长交轴于点，连接，，根据平行线间的距离得，又，从而求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，延长交轴于点，连接，， ∵轴， ∴轴，， ∵， ∴， 故选：． 题型十五 根据图形面积求比例系数 45．如图，过反比例函数的图象上一点A作轴于点B，连接，若，则k的值为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，熟练掌握过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S是个定值，即，是解题的关键．根据反比例函数系数k的几何意义解答即可． 【详解】解：∵点A是反比例函数图象上一点， ∴， ∴， ∵函数图象位于第一象限， ∴． 故选：A． 46．如图，点在反比例函数的图象上，点是上一点，过点作轴于点，连结．若，的面积为，则的值为____________ 【答案】 【分析】设点的坐标是，可得：，根据，可得：，即可求出的值． 【详解】解：设点的坐标是， 则，， ， ， ， , ， ． 47．如图，已知A、B是函数图象上的两点，点B位于点A的左侧，，均垂直于x轴，垂足为点M、N，连接，交于点．若，四边形的面积为3，则k的值为（     ） A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【分析】先设点坐标为，用、表示出的面积，再根据四边形的面积列方程求得的值便可． 【详解】解：设点坐标为，则，，， ， ， ， 轴于， ， 四边形的面积为3， ， 解得． 题型十六 求反比例函数解析式 48．已知与成反比例关系，且当时，，则关于的函数解析式为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设与的函数解析式为，根据已知的、值求出值即可． 【详解】解：设与的函数解析式为，将，代入解析式，得，解得， ∴与的函数解析式为． 49．如图，在菱形中，点在轴正半轴上，边与轴平行，，点的坐标为，若点在反比例函数的图象上，则的值为______． 【答案】 【分析】根据点在轴上及得出点坐标，构造直角三角形利用勾股定理求出菱形边长，根据菱形性质得出及的长度与位置关系，进而求出点的坐标，最后代入反比例函数解析式求． 【详解】解：点在轴正半轴上，， 点的坐标为， 点的坐标为， 过点作轴于点，则，， ， 在中，由勾股定理得， 四边形是菱形， ，， 边与轴平行， 边与轴平行， 点的纵坐标与点的纵坐标相同，为． 由图象可知点在点的右侧， 点的横坐标为． 点的坐标为． 点在反比例函数的图象上， ． 50．如图，在平面直角坐标系中，线段的端点A、B的坐标分别为、，动点C在双曲线上，且满足，当长度最小时，k的值为（     ） A．2 B．3 C．4.5 D．6 【答案】B 【分析】取的中点D，连接，求出点坐标，斜边上的中线求出的长，根据，得到当O，C，D三点共线时，取得最小值，求出的解析式，设点C坐标为，根据两点间距离公式列出方程求出点坐标，即可得出结果． 【详解】解：取的中点D，连接，如图所示： ∵线段的端点A、B的坐标分别为， ∴点D坐标为，， ∵， ∴， ∵， ∴当O，C，D三点共线时，取得最小值， 设直线的解析式为，代入点，得， 解得， ∴直线的解析式为， 设点C坐标为， ∴， 解得或（舍去）， ∴点C坐标为， 将C点坐标代入双曲线，得． 题型十七 反比例函数与几何综合 51．如图，在平面直角坐标系中，点A在函数的图象上，点B在函数的图象上，轴于点C．若，则k的值为（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】C 【分析】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，表示出点B的坐标是解题的关键．设A的横坐标为a，则纵坐标为，根据题意得出点B的坐标为，代入即可求得k的值． 【详解】解：设A的横坐标为a，则纵坐标为， ∵，轴， ∴B的横坐标为，轴， ∴， ∵点B在函数的图象上， ∴， 故选：C． 52．双曲线、在第一象限的图象如图所示，，过上的任意一点作轴的平行线交于点，交轴于点，如果，那么的函数表达式是______． 【答案】 【分析】设双曲线的解析式为，由轴，可得，再根据反比例函数比例系数的几何意义可得，，则，由此即可得到答案． 【详解】解：设双曲线的解析式为， 轴， ， 在双曲线上，在双曲线上， ，， ， ， 双曲线的解析式为． 53．如图，在平面直角坐标系中，轴于点，，双曲线过点，交于点，连接，．若，，则的值为（     ） A．4 B．6 C．8 D．12 【答案】C 【分析】延长，交轴于点，设，则，先求出，，，，的长，再根据列式计算即可． 【详解】解：如图，延长，交轴于点， ∵， ∴设，则， ∵轴，轴轴，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，，， ∴， 将代入函数得：， ∴， ∴， 将代入函数得：， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， 解得． 题型十八 反比例函数、二次函数图象综合判断 54．二次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系内的图象可能是（   ） A．B．C．D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数与反比例函数图象的性质，掌握二次函数与反比例函数的图象和性质是解题的关键． 根据二次函数中二次项系数、一次项系数的分析得到二次函数图象，从而判断反比例函数图象即可求解． 【详解】解：二次函数，对称轴直线为， 当时，二次函数图象开口向上，则反比例函数的图象经过第一、三象限； 当时，二次函数图象开口向下，则反比例函数的图象经过第二、四象限； 只有B选项符合题意， 故选：B ． 55．在同一坐标系中，函数与的图象大致为（   ） A． B．C．D． 【答案】A 【分析】该题主要考查二次函数和反比例函数图象的有关性质．根据的符号，对函数的图象位置和的图象进行判断，逐一判断即可． 【详解】解：当时，函数的图象在一，三象限，此时同号， A．函数的图象，开口向上，对称轴，故，该选项符合题意； B．函数的图象，开口向下，对称轴，故，该选项不符合题意； C．函数的图象，开口向上，对称轴，故，该选项不符合题意； 当时，函数的图象在二，四象限，此时异号， D．函数的图象，开口向下，对称轴，故，该选项不符合题意； 故选：A． 56．已知在同一平面直角坐标系中，二次函数和反比例函数的图象如图所示，则一次函数的图象所经过的象限是（   ） A．第一、二、三象限 B．第二、三、四象限 C．第一、三、四象限 D．第一、二、四象限 【答案】D 【分析】本题主要考查了一次函数图象，反比例函数图象，二次函数图象的综合．根据反比例函数的函数图象在一、三象限，得到，根二次函数开口向下，对称轴在y轴右侧，得到，，则，由此即可得到答案． 【详解】解：∵反比例函数的函数图象在二、四象限， ∴， ∵二次函数开口向上，对称轴在y轴右侧， ∴，， ∴， ∴，， ∴一次函数经过一、二、四象限， 故选：D． 题型十九 一次函数与反比例函数图象综合判断 57．函数与（k为常数，且）的图象大致是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查反比例函数与一次函数图象的综合判断，根据一次函数的图象和性质和反比例函数的图象和性质，进行判断即可． 【详解】解：∵ 函数与， ∴当时，，一次函数的图象过一，三，四象限，双曲线过一，三象限； 当时，，一次函数的图象过一，二，三象限，双曲线过二，四象限； 故满足题意的只有选项A； 故选：A． 58．在同一平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图像可能是（    ） A． B． C．D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了反比例函数及一次函数图像，掌握反比例函数、一次函数图像与系数的关系是解题的关键． 分别根据k的符号判断反比例函数和一次函数的图像即可解答． 【详解】解：A．对于反比例函数图像在二、四象限，即；对于一次函数，y随x的增大而减小，即；但函数图像与y轴的交点在y轴的负半轴，即，即，与矛盾，不符合题意； B．对于反比例函数图像在一、三象限，即；对于一次函数，y随x的增大而减小，即与矛盾，不符合题意； C．对于反比例函数图像在二、四象限，即；对于一次函数，y随x的增大而增大，即与矛盾，不符合题意； D．对于反比例函数图像在一、三象限，即；对于一次函数，y随x的增大而增大，即；但函数图像与y轴的交点在y轴的负半轴，即，即，符合题意． 故选：D． 59．若点，，三点在同一函数图象上，则该函数图象可能是（  ） A． B．C．D． 【答案】D 【分析】本题考查正比例函数、反比例函数、二次函数的图象和性质．由点，的坐标特点，可知函数图象关于y轴对称，再根据，的特点和函数的性质，可知在对称轴右侧y随x的增大而增大，由此得出答案． 【详解】解：∵点，， ∴点A与点B关于y轴对称； 由于选项A、B的图象关于原点对称，因此选项A、B不符合题意； ， 由，可知，在对称轴的右侧，y随x的增大而增大， 观察选项C、D，只有D选项的图象在对称轴的右侧，y随x的增大而增大， 故选：D． 题型二十 一次函数与反比例函数的交点问题 60．如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于A，B两点，点B的横坐标为4，当时，x的取值范围是（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟练掌握交点坐标满足两个函数解析式是关键．首先求出点的横坐标为，然后根据图象求解即可． 【详解】解：正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点，点的横坐标为4， 点的横坐标为． 根据函数图象可知：当时，的取值范围是或． 故选：B． 61．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于两点，当时，的取值范围是______． 【答案】 或 【分析】直接利用图象法找到直线在双曲线上方时的自变量的范围即可. 【详解】解：由图象可知，当时，的取值范围是 或 . 62．如图，一次函数的图象过点，若反比例函数的图象与线段只有一个交点，则的值不可能为（     ） A． B． C．3 D．4 【答案】A 【分析】根据题意得出，，进而求得的坐标，分情况讨论，①当且反比例函数图象过点时，②当且反比例函数图象过点时，分别代入反比例函数解析式，求得的值，进而根据，得出的范围，即可求解． 【详解】解：∵一次函数的图象过点，， ，， ，． 反比例函数的图象与线段只有一个交点， ∴分两种情况讨论，①当且反比例函数图象过点时，此时， 当反比例函数的图象与线段只有一个交点时； ②当且反比例函数图象过点，此时， 当反比例函数的图象与线段只有一个交点时， ， ，， 不可能为，故选A． 题型二十一 一次函数与反比例函数的实际应用 63．饮水机接通电源会自动加热，加热时水温每分钟上升，温度到停止加热．然后水温开始下降，此时水温与时间成反比例函数关系，水温降至时，饮水机重复上述程序开始加热，加热时水温与时间的关系如图所示．水温从开始加热至，然后下降至这一过程中，水温不低于的时间为________．    【答案】12 【分析】本题考查了一次函数，反比例函数的应用．首先求得两个函数的解析式，然后将代入两个函数求得两个时间相减即可确定答案． 【详解】解：设一次函数关系式为：， 将，代入，得， 解得， ， 设反比例函数关系式为：， 将代入，得， ， 中， 令，解得； 反比例函数中，令，解得：， （min）， 水温不低于的时间为min． 故答案为：． 64．如图，反比例函数（k≠0）与正比例函数y＝mx（m≠0）的图像交于点A，点B．AC⊥x轴于点C，BD⊥x轴于点D，，则k＝__． 【答案】-2 【分析】首先由题意可得点A和点B关于原点对称，再根据三角形全等可得，最后根据k的几何意义可得答案． 【详解】解：∵点A、B是反比例函数与正比例函数的交点， ∴点A和点B关于原点对称， ∴OA＝OB， 在△AOC和△BOD中， ， ∴△AOC≌△BOD（AAS）， ∵， ∴， ∵反比例函数图像位于第二象限， ∴k＝-2． 故答案为：-2． 【点睛】 本题考查了一次函数与反比例函数的综合应用，熟练掌握函数的性质和解析式与面积的关系是解题的关键． 65．某药品研究所开发一种抗菌新药，临床实验中测得成人服药后血液中药物浓度y（微克/毫升）与服药时间x（小时）之间的函数关系图象由一条线段和一段曲线组成，如图（当时，y与x成反比例）．则血液中药物浓度不低于4微克/毫升的持续时间为（    ）    A．4小时 B．6小时 C．8小时 D．10小时 【答案】B 【分析】分别求出线段与曲线的函数解析式，再求出函数值为4时对应的自变量x的值，即可求得此时持续时间． 【详解】解：时，设线段的解析式为， 由于线段过点，则有， 解得：， 即线段解析式为； 当时，设，把点代入中，得， 即， 当时，，得；当时，，得； ∴血液中药物浓度不低于4微克/毫升的持续时间为（小时）； 故选：B． 【点睛】本题是正比例函数与反比例函数的综合，考查了求函数解析式，已知函数值求自变量值，其中待定系数法求函数解析式是关键，注意数形结合． 题型二十二 实际问题与反比例函数 66．某闭合电路中，电源的电压为定值，电流与电阻成反比例．图中表示的是该电路中电流I与电阻R之间函数关系的图象，当电阻为时，电流I的值为（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】先求出反比例函数表达式，再代入求解即可． 【详解】解：由题意设，则代入，得， ∴， 当电阻为时，． 67．在温度不变的条件下，通过对汽缸顶部活塞加压，加压气体后汽缸壁所产生的压强与汽缸内气体的体积成反比例，p关于V的函数图象如图所示．当汽缸壁所产生的压强为时，汽缸内气体的体积为________． 【答案】50 【分析】设p关于V的函数关系式为，利用待定系数法求出函数关系式，再求出时对应的自变量值即可． 【详解】解：设p关于V的函数关系式为， 由题意可知，点在反比例函数图象上， 则， 解得：， 则p关于V的函数关系式为， 当时，汽缸内气体的体积． 68．某智能电饭煲煮饭过程如下：先开机加热，锅内温度从匀速升至，加热时间为10分钟；然后自动转为恒温沸腾模式，保持持续2分钟；之后自动断电，温度开始自然下降．下降过程中，锅内温度与启动加热后通电时间成反比例函数关系（从断电时刻开始计为反比例的起点）．当温度降至时，自动启动保温功能．如图是开始启动加热过程中，锅内温度与通电时间的函数关系图象，则下列说法中错误的是（     ） A．启动后5分钟时，锅内温度为 B．加热阶段，与的函数关系式为 C．启动后15分钟时，锅内温度为 D．从启动到启动保温功能，锅内温度不低于的总时长为8分钟 【答案】D 【分析】根据题意分别求出加热阶段一次函数解析式、恒温阶段常数、降温阶段反比例函数解析式，再逐一判断各选项即可． 【详解】解：由题意可知，加热阶段图象过点和， 设加热阶段函数解析式为， 则， 解得， 加热阶段解析式为，故B选项说法正确，不符合题意； 当时，，故A选项说法正确，不符合题意； 恒温阶段时间为10至12分钟，温度为； 降温阶段，y与x成反比例，设，断电时刻为第12分钟，此时温度为， 图象过点 ∴， ∴降温阶段解析式为， 当时，则，故C选项说法正确，不符合题意； 对于D选项，求温度不低于的时长， 在加热阶段，令，解得，时长为， 在恒温阶段，，时长为； 降温阶段，令，解得，时长为， 总时长为；故D选项说法错误．符合题意. 解答题 1．写出下列函数解析式，指出其中的正比例函数和反比例函数． (1)火车从北海驶往相距约的南宁，若火车的平均速度为，求火车距北海的距离与行驶的时间之间的函数解析式； (2)某中学现有存煤，如果平均每天烧煤，共烧了y天，求y与x之间的函数解析式； (3)俊俊想存钱购买一套售价为6000元的户外活动设备，若他目前已有存款2000元，后期每个月计划存相同金额，求他存够买设备的钱所需月数y与每个月存款额x元之间的函数解析式． 【答案】(1) 解：由题意，得，是正比例函数 (2) 解：由题意，得，是反比例函数 (3) 解：由题意，得，即，是反比例函数 【分析】根据题意写出函数关系式并判断，即可解答. 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 2．如图，某校园艺社计划利用已有的一面长为的墙，用篱笆围一个面积为的矩形园子．设矩形园子的相邻两边长分别为． (1)y关于x的函数解析式为______（不用写自变量的取值范围）； (2)当相邻两边中一条边的长为时，求另一条边的长． 【答案】(1) (2)当一条边长为时，另一条边的长度为 【分析】（1）利用矩形的面积计算公式，可得出，进而可得出y； （2）利用反比例函数图象上点的坐标特征，可求出另一边的长度． 【详解】（1）解：依题意得：， ∴． （2）解：当时，； 当时，， 解得． ∴当一条边长为时，另一条边的长度为． 3．如图是8个台阶的示意图，每个台阶的高和宽分别是1和2，每个台阶凸出的角的顶点记作为的整数）．反比例函数的图象为曲线．    (1)若过点，求反比例函数的解析式； (2)若过点，则它必定还过另一点，求的坐标； (3)若曲线使得这些点分布在它的两侧，每侧各4个点，求出所有满足条件的整数． 【答案】(1) (2) (3)，，，，，，． 【分析】（1）由题意可求这些点的坐标，将点的坐标代入解析式可求解； （2）将点的坐标代入解析式可求的值，将点代入可求解； （3）由曲线使得这些点分布在它的两侧，每侧各4个点，可得，，，与，，，在曲线的两侧，即可求解． 【详解】（1）解：每个台阶的高和宽分别是1和2， ，，，，，，，， 过点， ， 反比例函数的解析式为； （2）过点， ， 反比例函数解析式为， 当时，， 在反比例函数图象上， 的坐标为； （3）若曲线过点，时，， 若曲线过点，时，， 若曲线过点，时，， 若曲线过点，时，， 曲线使得这些点分布在它的两侧，每侧各4个点， ， 所有满足条件的整数，，，，，，． 【点睛】本题考查了反比例函数的应用，求出各点的坐标是解决问题的关键． 4．如图，反比例函数的图象与直线相交于，两点，点的坐标为． (1)求的值； (2)根据图象，直接写出关于的不等式的解集； (3)将直线向上平移3个单位长度得到直线，直线与反比例函数的图象交于，两点，若是直线上的动点，求的面积． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）根据反比例函数的对称性可知，，观察函数图象即可求解； （3）直线与x轴、y轴分别交于点E、F，连接、，联立直线与反比例函数解析式求出，两点的坐标，再由平移得到，则，即可求解． 【详解】（1）解：∵点在反比例函数上， ∴，即， ∴在直线上， ∴， 解得； （2）解：∵反比例函数的图象与直线相交于，两点，， ∴A、B关于原点对称， ∴， 观察函数图象，可知：当或时，正比例函数的图象在反比例函数的图象上方， ∴不等式的解集为或； （3）解：∵将直线向上平移3个单位长度得到直线， ∴直线的解析式为， 联立， 解得或， ∴，， 如图，直线与x轴、y轴分别交于点E、F，连接、， 当时，； 当时，； ∴，， ∵将直线向上平移3个单位长度得到直线， ∴， ∴． 5．已知反比例函数的图象的一支位于第一象限． (1)判断该函数图象的另一支所在的象限，并求m的取值范围； (2)如图，O为坐标原点，点A在该反比例函数位于第一象限的图象上，点B与点A关于x轴对称，若的面积为6，求反比例函数的解析式． 【答案】(1)该函数图象的另一支在第三象限， (2) 【分析】本题考查反比例函数与几何的综合应用： （1）根据反比例函数的图象和性质，进行求解即可； （2）根据值的几何意义，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：根据反比例函数的图象关于原点对称可知，该函数图象的另一支在第三象限，且， 则； （2）设与x轴交于点C． ∵点B与点A关于x轴对称， ∴轴， ∵的面积为6， ∴的面积为3， ∴， 解得， ∴反比例函数的解析式为． 6．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A，C在坐标轴上，顶点B在反比例函数的图象上，已知矩形的长和宽分别为4，3． (1)求反比例函数的表达式； (2)若点P在该反比例函数的图象上，且在的上方，过点P分别作x轴，y轴的垂线，垂足分别为E，F，与交于点G．若矩形与矩形不重合部分的面积为6，求点P的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据反比例函数k的几何意义求解即可； （2）设，根据矩形与矩形不重合部分的面积为6列方程求解即可． 【详解】（1）解：矩形的长和宽分别为4，3， ， 点B在反比例函数的图象上， ， 反比例函数的表达式为； （2）解：设， 则，， ，， 矩形与矩形不重合部分的面积为6， ， 解得， ， 点P的坐标为． 7．如图，点、在反比例函数的图象上，当时，过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足为点A，B；过点Q分别作x轴、y轴的垂线，垂足为点C，D，交于点E．四边形的面积为S． (1)求这个反比例函数的表达式； (2)求S与n的函数关系式． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）先根据反比例函数的性质得到，，，再证明四边形是矩形，利用矩形的面积公式求解即可． 【详解】（1）解：∵点在反比例函数的图象上， ， ∴反比例函数的表达式为； （2）解：∵点，在反比例函数图象上，， ，，，． ∵，垂直于y轴，，垂直于x轴， ∴四边形是矩形， ， ∴S与n的函数关系式为． 8．智能饮水机接通电源后开始自动加热，水温每分钟上升，加热到时，饮水机自动停止加热，水温开始下降．在水温开始下降的过程中，水温（）与通电时间（）成反比例关系．当水温降至室温时，饮水机再次自动加热，重复上述过程．设某天水温和室温均为，接通电源后，水温（）与通电时间（）之间的关系如图所示． (1)当时，求与之间的函数关系式（写出的取值范围）； (2)加热一次，求水温不低于的时间． 【答案】(1) (2)加热一次，水温不低于的时间为 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的综合应用． （1）待定系数法求出反比例函数的解析式，再求出的值，即可； （2）先求出时，与之间的函数表达式，再求出时，的值，即可求解． 【详解】（1）解：当时，设与之间的函数关系式为， 将点代入，得， ∴与之间的函数关系式为， 当时，， ， ∴与之间的函数关系式为． （2）解：当时，设一次函数的表达式为， 将点代入一次函数的表达式，得， 解得：， ∴一次函数的表达式为， 令，则； 在降温过程中，当水温为时，有，则， ∵， ∴加热一次，水温不低于的时间为． 9．心理学家研究发现，一般情况下，一节课40分钟，学生的注意力随教师讲课时间的变化而变化．学生的注意力指数y随时间（分）的变化规律如图所示（其中、为线段，为双曲线的一部分）． (1)上课后的第6分钟与第30分钟相比较，第______分钟时学生的注意力更集中． (2)分别求出线段和双曲线的函数关系式． (3)一道数学题，需要讲15分钟，为了学生听课效果较好，要求学生的注意力指数不低于40，那么经过适当的时间安排，教师能否在学生注意力达到所需状态下讲完这道题？ 【答案】(1)6 (2)线段的函数关系式为，双曲线的函数关系式为 (3)教师能在学生注意力达到所需状态下讲完这道题 【分析】本题结合分段函数的图像性质分步求解，先根据图像给出的特殊点坐标求出各段函数解析式，再通过等式计算即可． （1）分别计算第6分钟和第30分钟对应的注意力指数数值，比较两个数值的大小即可； （2）根据待定系数法即可求得一次函数和反比例函数的解析式； （3）分别在段和段计算注意力指数的时间点，再求得时长，将该时长与需要讲题的15分钟进行比较即可． 【详解】（1）解：设线段的函数关系式为， 将点代入，得， 解得， 线段的函数关系式为， 设双曲线的函数关系式为， 将点代入，得， 解得， 双曲线的函数关系式为， 把代入，得， 把代入，得， ， 第6分钟时学生的注意力更集中； （2）解：设线段的函数关系式为， 将点代入，得， 解得， 线段的函数关系式为， 设双曲线的函数关系式为， 将点代入，得， 解得， 双曲线的函数关系式为； （3）解：由题意得， 在线段段时，， 解得， 在双曲线段，， 解得， 注意力指数不低于40的总时长为（分钟）， ， 教师能在学生注意力达到所需状态下讲完这道题． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06反比例函数知题通关讲义 知识点01:反比例函数基础定义与三种表达式 1. 定义 一般地，如果两个变量x、y的乘积等于一个非零常数k（k为常数，k≠0），即xy=k，那么称y是x的反比例函数。 2. 三种等价表达式 取值范围 自变量 x：x0（分母不能为 0） 函数值 y：y0 4. 判断反比例函数核心要点 (1)x、y次数必须为-1； (2)常数项k不能等于 0； (3)不能出现y=这类分母含一次多项式的形式（不属于反比例函数）。 5.正反比例函数对比表 知识点02:反比例函数解析式的确定 1.方法：待定系数法（仅需 1 组 x,y 对应值） 2.步骤 知识点03:反比例函数的图像画法（描点法） 图象基础特征 图象名称：双曲线，由左右完全分离的两支曲线组成； 渐近特点：两支曲线无限向 x 轴、y 轴靠近，但永远不与坐标轴相交（因为 x≠0，y≠0）； 画法：描点法，取点时必须分正负两组取值（正 x 一组，负 x 一组），分别画出两支，不能连为一条曲线。 知识点04:反比例函数的性质（核心考点） 知识点05:比例系数 k 的几何意义 1.过 y=(k0) 图象上任意一点向两坐标轴作垂线，与两坐标轴围成的矩形的面积等于 ∣k∣。 2.连接 y=(k0) 图象上任意一点与原点，并从该点向 x 轴、y 轴作垂线，可得两个直角三角形，这两个直角三角形的面积都等于 。 3.若过反比例函数图象上的点向两坐标轴作垂线，已知两条垂线与两坐标轴围成图形的面积，则可得到 ∣k∣ 的值，进而确定函数表达式。 知识点06:反比例函数与一次函数综合 1. 交点求解方法 联立两个函数解析式，组成方程组，消元得到一元二次方程，方程的解对应交点横、纵坐标。 2. 交点核心性质 (1)若有两个交点，则两点关于原点中心对称； (2)联立方程判别式Δ>0：2 个交点；Δ=0：1 个交点；Δ<0：无交点。 3. 图像综合应用 (1)比较函数值大小：同一竖直线x=a，观察图像上下位置，上方函数值更大； (2)解不等式>mx+n：直接看图像，双曲线在直线上方对应的x取值范围 知识点07:反比例函数的实际应用 （一）常见建模固定场景（总量恒定，两变量乘积不变） 行程问题：路程 s 固定，速度 v=； 工程问题：工作总量 W 固定，工作效率 P=； 几何面积：矩形、三角形面积固定，底与高、长与宽成反比例； 物理场景：压强、电阻、密度等定量公式。 （二）标准解题完整步骤 审题：找出题目中固定不变的总量； 设元：设出自变量 x 和因变量 y； 建模：根据 “总量 = 变量 1× 变量 2” 列出反比例关系式 y=； 定范围：结合实际意义限定自变量取值（时间、速度、长度均为正数，x>0）； 求解：根据题干要求求对应数值； 作答：检验结果是否符合现实，规范写出答案。 （三）图像应用特点 实际问题中自变量 (x>0)，因此图像只有双曲线第一象限单支，不存在二、三、四象限部分。 ①误判反比例函数的标准形式，遗漏 k≠0 提醒：只有可化为 y=（k 为常数，k≠0）的函数才是反比例函数；xy=k(k≠0) 同样是它的等价形式；y=、y=不属于反比例函数，不可忽略 k≠0 的限制。 ② 忽略反比例函数自变量 x≠0，误认为 x 可取 0 提醒：分母不能为零，因此 y=(k≠0) 中 x≠0，y≠0，图像永远不与x轴、y轴相交。 ③ 去掉“在每一个象限内”，错误描述增减性 提醒：k>0 时，在每一个象限内，y 随 x 的增大而减小；k<0 时，在每一个象限内，y 随 x 的增大而增大；不能在整个定义域上直接使用增减性，跨象限不成立。 ④ 比较函数值大小时，直接套用增减性，未判断点所在象限 提醒：利用增减性比较函数值，前提是各点位于同一象限；若点分布在不同象限，应先根据 y 的正负直接比较，不可强行使用增减性。 ⑤ 利用 k 的几何意义求参数，忘记取绝对值，符号处理错误 提醒：双曲线上任一点向两坐标轴作垂线，围成矩形面积为 |k|，直角三角形面积为 ；面积恒为正数，但 k 可正可负，不能直接把面积当作 k 的值。 ⑥ 误认为双曲线无限靠近坐标轴，就可以与坐标轴相交 提醒：双曲线只是无限趋近x轴、y轴，由于 x≠0、y≠0，图像与坐标轴不存在交点。 ⑦ 记错反比例函数图像的对称关系 提醒：双曲线关于原点中心对称，关于直线 y=x、y=-x 轴对称；不关于x轴、y轴对称，这是典型易错点。 ⑧ 待定系数法求 k 时，坐标负号运算出错 提醒：反比例函数只需一组非零对应值，即可由 k=xy 求出系数；代入含负号的坐标时，不可丢失负号，求出 k 后可回代解析式核验。 ⑨ 联立一次函数与反比例函数，只用判别式判断交点，忽略 x≠0 提醒：联立解析式得到方程后，可借助判别式初步判断解的个数；但必须检验解是否满足 x≠0，有可能代数上有解，但在函数中无对应交点。 ⑩ 反比例函数实际应用，直接使用 x≠0，忽略自变量实际范围 提醒：实际问题中，长度、时间、产量等变量通常取正值；函数图像只画出双曲线对应的一部分，不可画出完整双曲线。 ⑪ 混淆“A与B成反比例”和 y 是 x 的反比例函数 提醒：若 y+2 与 x-1 成反比例，应写成 y+2=(k≠0)；不能变形为 y=，此时 y 并不是 x 的反比例函数 题型 考察方向 难度 题型一 用反比例函数描述数量关系 ★ 题型二 根据定义判断是否是反比例函数 ★ 题型三 根据反比例函数的定义求参数 ★ 题型四 求反比例函数值 ★ 题型五 由反比例函数值求自变量 ★ 题型六 判断（画）反比例函数图象 ★ 题型七 已知反比例函数的图象，判断其解析式 ★★ 题型八 由反比例函数图象的对称性求点的坐标 ★★ 题型九 已知双曲线分布的象限，求参数范围 ★★ 题型十 判断反比例函数的增减性 ★★ 题型十一 判断反比例函数图象所在象限 ★★ 题型十二 已知反比例函数的增减性求参数 ★★ 题型十三 比较反比例函数值或自变量的大小 ★★★ 题型十四 已知比例系数求特殊图形的面积 ★★★ 题型十五 根据图形面积求比例系数 ★★★ 题型十六 求反比例函数解析式 ★★★ 题型十七 反比例函数与几何综合 ★★★★ 题型十八 反比例函数、二次函数图象综合判断 ★★★★ 题型十九 一次函数与反比例函数图象综合判断 ★★★★ 题型二十 一次函数与反比例函数的交点问题 ★★★★ 题型二十一 一次函数与反比例函数的实际应用 ★★★★ 题型二十二 实际问题与反比例函数 ★★★★ 拔高题 9题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★压轴 题型一 用反比例函数描述数量关系 1．下列数量关系中，成反比例关系的是（     ） A．橘子的单价一定，购买橘子的数量与总价 B．圆柱的体积一定，它的底面积与高 C．学校计划种植500棵树，已植的棵数与未植的棵数 D．速度一定，路程与时间 2．下列各点中，在函数的图像上的是 （    ） A． B． C． D． 3．如图的电路图中，用电器的电阻是可调节的，其范围为，已知电压，下列描述中错误的是（    ） A．与成反比例： B．与成反比例： C．电阻越大，功率越小 D．用电器的功率的范围为 题型二 根据定义判断是否是反比例函数 4．下列函数图像是双曲线的是（     ） A． B． C． D． 5．把化为的形式：_______，其中_____； 6．下列函数：，，，，其中，是的反比例函数的有（　　） A． B． C． D． 题型三 根据反比例函数的定义求参数 7．反比例函数中，比例系数_______． 8．若点在反比例函数的图象上，则代数式的值为（   ） A．0 B． C．2 D． 9．如图，反比例函数与一次函数交于点，若，则_____． 题型四 求反比例函数值 10．若函数的图象经过点，则________． 11．反比例函数的图象一定经过的点是（    ） A． B． C． D． 12．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数图象与直线，，，，（且为整数）分别交于点，，，，，则____________________． 13．已知反比例函数的图象经过点，，且，则下列选项正确的是（   ） A．当时， B．当， C．当时， D．当时， 题型五 由反比例函数值求自变量 14．已知点在反比例函数的图象上，则的值为（   ） A． B． C． D． 15．一定质量的二氧化碳的体积和压强成反比例函数关系，当体积为时，压强为；当体积为时，压强为____________． 16．在平面直角坐标系中，若函数的图象经过点和，则的值为________． 17．已知反比例函数，当时，自变量的取值范围是（     ） A． B．或 C． D．或 题型六 判断（画）反比例函数图象 18．函数的图像大致是（   ） A． B． C． D． 19．反比例函数与两条坐标轴的正半轴所夹的开放区域内（不含边界）只有8个整点（横、纵坐标均为整数），则的取值范围为______． 20．已知抛物线与轴没有交点，则函数的大致图象是（  ） A． B． C． D． 题型七 已知反比例函数的图象，判断其解析式 21．在平面直角坐标系中，反比例函数 的图象如图所示，则k的值可能是（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 22．如图为反比例函数的图象，请写出满足图象的一个的值______．    23．在平面直角坐标系中，反比例函数的图象如图所示，则的值可以为（   ） A． B． C． D．2 题型八 由反比例函数图象的对称性求点的坐标 24．下列各点中，在双曲线的图象上的是（　　） A． B． C． D． 25．如图所示，已知函数和的图像交于点，，过点A作垂直于x轴于点E，，则的值是________． 26．若一次函数的图像与反比例函数的图像的一个交点的横坐标为2，则另一个交点的坐标为（　　） A． B． C． D． 题型九 已知双曲线分布的象限，求参数范围 27．已知反比例函数的图象如图所示，的值可以是（     ） A． B． C．0 D．1 28．反比例函数的图象在第二、四象限，则点在第________象限． 29．反比例函数，在同一坐标系中的图象如图所示，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 题型十 判断反比例函数的增减性 30．反比例函数的图象如图所示，随着值的增大，的值（     ）． A．减小 B．增大 C．不变 D．先减小后不变 31．如图，若机器狗的最快速度是载重后总质量的反比例函数，当该机器狗载重后总质量时，最快速度，则当该机器狗载重后总质量不超过时，最快速度不低于______． 32．已知，，三点都在反比例函数的图象上，则下列结论正确的是（     ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 题型十一 判断反比例函数图象所在象限 33．反比例函数的图象分别位于（     ） A．第一、第三象限 B．第一、第四象限 C．第二、第三象限 D．第二、第四象限 34．已知a，b互为相反数，且，则反比例函数y=的图象所在的象限为（     ） A．第二、四象限 B．第二、三象限 C．第一、三象限 D．第一、二象限 35．y关于x的函数的图象可能是（     ） A． B． C． D． 题型十二 已知反比例函数的增减性求参数 36．已知反比例函数，当时，随的增大而增大，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 37．选一个数作为m的值，使关于x的函数的图象在每个象限y随x的增大而增大，则m的值为________． 38．已知点，都在反比例函数的图象上，则下列结论一定正确的是（   ） A． B． C．当时， D．当时， 题型十三 比较反比例函数值或自变量的大小 39．已知点，都在反比例函数的图象上，且，则，的关系是（   ） A． B． C． D． 40．在平面直角坐标系中，若点，在反比例函数的图象上，则______（填“”“”或“”） 41．已知点和点均在反比例函数（k是常数，）的图象上，若，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．无法确定与之间的关系 题型十四 已知比例系数求特殊图形的面积 42．反比例函数如图，则矩形的面积是（　　） A．6 B． C．3 D． 43．如图，反比例函数的图象经过斜边上的中点A，与边交于点D，分别连接，，则的面积为_________． 44．反比例函数和在第一象限的图象如图所示，点在函数图象上，点在函数图象上，轴，点是y轴上的一个动点，则的面积为（    ） A． B． C． D． 题型十五 根据图形面积求比例系数 45．如图，过反比例函数的图象上一点A作轴于点B，连接，若，则k的值为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 46．如图，点在反比例函数的图象上，点是上一点，过点作轴于点，连结．若，的面积为，则的值为____________ 47．如图，已知A、B是函数图象上的两点，点B位于点A的左侧，，均垂直于x轴，垂足为点M、N，连接，交于点．若，四边形的面积为3，则k的值为（     ） A．3 B．4 C．6 D．8 题型十六 求反比例函数解析式 48．已知与成反比例关系，且当时，，则关于的函数解析式为（     ） A． B． C． D． 49．如图，在菱形中，点在轴正半轴上，边与轴平行，，点的坐标为，若点在反比例函数的图象上，则的值为______． 50．如图，在平面直角坐标系中，线段的端点A、B的坐标分别为、，动点C在双曲线上，且满足，当长度最小时，k的值为（     ） A．2 B．3 C．4.5 D．6 题型十七 反比例函数与几何综合 51．如图，在平面直角坐标系中，点A在函数的图象上，点B在函数的图象上，轴于点C．若，则k的值为（   ） A． B．1 C． D．2 52．双曲线、在第一象限的图象如图所示，，过上的任意一点作轴的平行线交于点，交轴于点，如果，那么的函数表达式是______． 53．如图，在平面直角坐标系中，轴于点，，双曲线过点，交于点，连接，．若，，则的值为（     ） A．4 B．6 C．8 D．12 题型十八 反比例函数、二次函数图象综合判断 54．二次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系内的图象可能是（   ） A．B．C．D． 55．在同一坐标系中，函数与的图象大致为（   ） A． B．C．D． 56．已知在同一平面直角坐标系中，二次函数和反比例函数的图象如图所示，则一次函数的图象所经过的象限是（   ） A．第一、二、三象限 B．第二、三、四象限 C．第一、三、四象限 D．第一、二、四象限 题型十九 一次函数与反比例函数图象综合判断 57．函数与（k为常数，且）的图象大致是（　　） A． B． C． D． 58．在同一平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图像可能是（    ） A． B． C．D． 59．若点，，三点在同一函数图象上，则该函数图象可能是（  ） A． B．C．D． 题型二十 一次函数与反比例函数的交点问题 60．如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于A，B两点，点B的横坐标为4，当时，x的取值范围是（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 61．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于两点，当时，的取值范围是______． 62．如图，一次函数的图象过点，若反比例函数的图象与线段只有一个交点，则的值不可能为（     ） A． B． C．3 D．4 题型二十一 一次函数与反比例函数的实际应用 63．饮水机接通电源会自动加热，加热时水温每分钟上升，温度到停止加热．然后水温开始下降，此时水温与时间成反比例函数关系，水温降至时，饮水机重复上述程序开始加热，加热时水温与时间的关系如图所示．水温从开始加热至，然后下降至这一过程中，水温不低于的时间为________．    64．如图，反比例函数（k≠0）与正比例函数y＝mx（m≠0）的图像交于点A，点B．AC⊥x轴于点C，BD⊥x轴于点D，，则k＝__． 65．某药品研究所开发一种抗菌新药，临床实验中测得成人服药后血液中药物浓度y（微克/毫升）与服药时间x（小时）之间的函数关系图象由一条线段和一段曲线组成，如图（当时，y与x成反比例）．则血液中药物浓度不低于4微克/毫升的持续时间为（    ）    A．4小时 B．6小时 C．8小时 D．10小时 题型二十二 实际问题与反比例函数 66．某闭合电路中，电源的电压为定值，电流与电阻成反比例．图中表示的是该电路中电流I与电阻R之间函数关系的图象，当电阻为时，电流I的值为（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 67．在温度不变的条件下，通过对汽缸顶部活塞加压，加压气体后汽缸壁所产生的压强与汽缸内气体的体积成反比例，p关于V的函数图象如图所示．当汽缸壁所产生的压强为时，汽缸内气体的体积为________． 68．某智能电饭煲煮饭过程如下：先开机加热，锅内温度从匀速升至，加热时间为10分钟；然后自动转为恒温沸腾模式，保持持续2分钟；之后自动断电，温度开始自然下降．下降过程中，锅内温度与启动加热后通电时间成反比例函数关系（从断电时刻开始计为反比例的起点）．当温度降至时，自动启动保温功能．如图是开始启动加热过程中，锅内温度与通电时间的函数关系图象，则下列说法中错误的是（     ） A．启动后5分钟时，锅内温度为 B．加热阶段，与的函数关系式为 C．启动后15分钟时，锅内温度为 D．从启动到启动保温功能，锅内温度不低于的总时长为8分钟 解答题 1．写出下列函数解析式，指出其中的正比例函数和反比例函数． (1)火车从北海驶往相距约的南宁，若火车的平均速度为，求火车距北海的距离与行驶的时间之间的函数解析式； (2)某中学现有存煤，如果平均每天烧煤，共烧了y天，求y与x之间的函数解析式； (3)俊俊想存钱购买一套售价为6000元的户外活动设备，若他目前已有存款2000元，后期每个月计划存相同金额，求他存够买设备的钱所需月数y与每个月存款额x元之间的函数解析式． 2．如图，某校园艺社计划利用已有的一面长为的墙，用篱笆围一个面积为的矩形园子．设矩形园子的相邻两边长分别为． (1)y关于x的函数解析式为______（不用写自变量的取值范围）； (2)当相邻两边中一条边的长为时，求另一条边的长． 3．如图是8个台阶的示意图，每个台阶的高和宽分别是1和2，每个台阶凸出的角的顶点记作为的整数）．反比例函数的图象为曲线．    (1)若过点，求反比例函数的解析式； (2)若过点，则它必定还过另一点，求的坐标； (3)若曲线使得这些点分布在它的两侧，每侧各4个点，求出所有满足条件的整数． 4．如图，反比例函数的图象与直线相交于，两点，点的坐标为． (1)求的值； (2)根据图象，直接写出关于的不等式的解集； (3)将直线向上平移3个单位长度得到直线，直线与反比例函数的图象交于，两点，若是直线上的动点，求的面积． 5．已知反比例函数的图象的一支位于第一象限． (1)判断该函数图象的另一支所在的象限，并求m的取值范围； (2)如图，O为坐标原点，点A在该反比例函数位于第一象限的图象上，点B与点A关于x轴对称，若的面积为6，求反比例函数的解析式． 6．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A，C在坐标轴上，顶点B在反比例函数的图象上，已知矩形的长和宽分别为4，3． (1)求反比例函数的表达式； (2)若点P在该反比例函数的图象上，且在的上方，过点P分别作x轴，y轴的垂线，垂足分别为E，F，与交于点G．若矩形与矩形不重合部分的面积为6，求点P的坐标． 7．如图，点、在反比例函数的图象上，当时，过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足为点A，B；过点Q分别作x轴、y轴的垂线，垂足为点C，D，交于点E．四边形的面积为S． (1)求这个反比例函数的表达式； (2)求S与n的函数关系式． 8．智能饮水机接通电源后开始自动加热，水温每分钟上升，加热到时，饮水机自动停止加热，水温开始下降．在水温开始下降的过程中，水温（）与通电时间（）成反比例关系．当水温降至室温时，饮水机再次自动加热，重复上述过程．设某天水温和室温均为，接通电源后，水温（）与通电时间（）之间的关系如图所示． (1)当时，求与之间的函数关系式（写出的取值范围）； (2)加热一次，求水温不低于的时间． 9．心理学家研究发现，一般情况下，一节课40分钟，学生的注意力随教师讲课时间的变化而变化．学生的注意力指数y随时间（分）的变化规律如图所示（其中、为线段，为双曲线的一部分）． (1)上课后的第6分钟与第30分钟相比较，第______分钟时学生的注意力更集中． (2)分别求出线段和双曲线的函数关系式． (3)一道数学题，需要讲15分钟，为了学生听课效果较好，要求学生的注意力指数不低于40，那么经过适当的时间安排，教师能否在学生注意力达到所需状态下讲完这道题？ 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $