专题09圆的有关概念知题通关讲义(核心重点+高频易错+题型精讲+拔高练习)2026-2027学年人教版九年级数学上册

专题09圆的有关概念知题通关讲义 知识点 1：圆的两种定义（核心基础，填空选择必考）. 1. 动态定义（操作理解，画图用） 在同一平面内，一条线段绕它固定的一个端点旋转一周，另一个端点运动所形成的封闭曲线叫做圆。 固定端点：圆心，用大写字母O表示； 线段定长：半径，用字母r表示； 关键限制：必须强调同一平面；空间旋转形成球面，不是平面圆。 2. 静态（集合）定义（考试核心考点） 平面内到定点的距离等于定长的所有点的集合叫做圆。 定点：圆心O；定长：半径r； 几何记作：以O为圆心的圆，写作⊙ O； 核心区分易错： ⊙ O仅指圆周（外围曲线），不含内部； 圆面 = 圆周 + 圆内部所有区域；做题看清题干描述是 “圆” 还是 “圆面”。 补充拓展概念 同心圆：圆心相同，半径不相等的多个圆； 等圆：半径相等，圆心不同的圆；等圆能够完全重合。 确定圆的条件：圆心、半径，二者缺一不可。 知识点 2：点与圆的三种位置关系（本章重难点，计算、大题高频） 点和圆的位置关系有三种：点在圆内，点在圆上，点在圆外. 若 ⊙O的半径为r，点P到圆心O的距离为d， 那么： 点P在圆内 d < r；点P在圆上 d = r；点P在圆外 d > r. “” 读作 “等价于”，它表示从左端可以推出右端，从右端也可以推出左端 要点：点在圆上是指点在圆周上，而不是点在圆面上； 注意： 圆指的是 “圆周”，即一条封闭的曲线，而不是 “圆面”。 “圆上的点” 指的是圆周上的点，圆心不在圆周上。 确定一个圆需要两个要素：一是定点，即圆心；二是定长，即半径。圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小。只有圆心和半径都确定了，圆才能被唯一确定。 知识点 03：圆相关基础概念（背诵专用，区分易混概念） . 配套推论（学生必背） 1.直径长度 = 2× 半径，d=2r，r=； 2.同一个圆内，直径是长度最大的弦，不存在更长的弦； 3.一条非直径弦对应 1 条劣弧、1 条优弧；直径对应两条相等半圆。 1. 复述圆的定义时，遗漏“同一平面内”条件 提醒：圆的定义：在同一平面内，到定点的距离等于定长的所有点所组成的图形；若去掉“同一平面内”，对应的是球面，并非平面中的圆。 2. 误把圆理解为圆周连同圆内的区域 提醒：圆特指圆周这条封闭曲线，不包含内部；到圆心距离 d>r 为圆外，d=r 为圆上，d<r 为圆内。 3. 颠倒弦与直径的包含关系 提醒：连接圆上两点的线段叫作弦；经过圆心的弦叫作直径；直径属于最长的弦，但弦不一定是直径。 4. 将弧误认为圆上两点间的线段 提醒：弧是圆上两点之间的曲线部分；两点之间的线段是弦，二者图形类型不同。 5. 优弧、劣弧的记法使用错误 提醒：劣弧（小于半圆）用两个端点字母表示；优弧（大于半圆）必须用三个字母表示，避免同两点对应两段弧时产生歧义；半圆两种记法均可。 6. 仅依据弧的长度相等判定为等弧 提醒：等弧定义为：在同圆或等圆中，能够完全重合的弧；长度相等的弧，弯曲程度未必相同，不一定是等弧。 7. 错误将半圆归为优弧或劣弧 提醒：直径把圆分成两条半圆；半圆既不属于优弧，也不属于劣弧；劣弧长度＜半圆，优弧长度＞半圆。 8. 判断点与圆位置关系时，错用点到圆周的距离比较 提醒：应比较点到圆心的距离 d 与半径 r：d>r 点在圆外，d=r 点在圆上，d<r 点在圆内，不能使用点到圆周的距离。 9. 把同心圆误认为等圆 提醒：圆心相同、半径不等的圆是同心圆；半径相等、圆心可不同的圆才是等圆。 10. 混淆同圆、等圆、同心圆的概念 提醒：同圆指同一个圆，圆心、半径均唯一；等圆仅要求半径相等；同心圆仅要求圆心相同；三者定义不能混用。 11. 误认为经过两点仅可作一个圆 提醒：经过两点可以作无数个圆，所有圆心落在这两点连线的垂直平分线上；不在同一直线上的三点，确定唯一的圆。 题型 考察方向 难度 题型一 圆的基本概念辨析 ★ 题型二 求圆中弦的条数 ★ 题型三 求过圆内一点的最长弦 ★ 题型四 圆的周长和面积问题 ★ 题型五 求小圆绕某图形一圈自转的圈数 ★★ 题型六 判断点与圆的位置关系 ★★ 题型七 利用点与圆的位置关系求半径 ★★ 题型八 已知半径和圆上两点作圆 ★★ 题型九 点与圆上一点的最值问题 ★★★ 拔高题 4题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★压轴 题型一 圆的基本概念辨析 1．如图，在中，弦有________，直径有________，劣弧有________，优弧有________． 2．下列说法正确的是（　　） A．直径是弦，弦是直径 B．过圆心的线段是直径 C．圆中最长的弦是直径 D．圆是轴对称图形，但不是中心对称图形 3．如图，的直径的延长线与弦的延长线交于点C．若，则的度数为______． 4．如图，三点在上，若，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 题型二 求圆中弦的条数 5．如图，在中，点A、O、D和点B、O、C分别在一条直线上，图中共有_______条弦，它们分别是_____________． 6．如图，在中，弦的条数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．以上均不正确 7．如图，已知的半径为4，M是内一点，且，则过点M的所有弦中，弦长是整数的共有 _____ 条． 题型三 求过圆内一点的最长弦 8．是内任意一点．若圆的半径为1，则经过点的弦的长度可以是__________．（写一种即可） 9．已知的半径为5，则中弦的长度不可能是（    ） A．1 B．5 C．10 D．11 10．在平面直角坐标系中，以点为圆心，半径为作，直线交于、两点，若，则的值为__________． 11．如图，坐标平面内圆，已知圆的半径为2，圆心，下列直线中，与圆相交，且被圆所截得的弦最长的是（    ） A． B． C． D． 题型四 圆的周长和面积问题 12．用圆规画一个周长是9.42厘米的圆，圆规两脚间的距离约是（   ） A．3厘米 B．1.5厘米 C．4.71厘米 D．9.42厘米 13．如图，一个圆柱的侧面展开图是一个长为，宽为的长方形，则这个圆柱的底面积是（    ） A． B． C．或 D． 14．一块长方形铁皮按右图方式进行裁剪，刚好能做成一个圆柱形油桶（接头处、铁皮厚度忽略不计）．油桶的底面直径是( )，油桶高( )，这个油桶的容积是( )． 15．如图，正方形是由四个边长为2的小正方形拼成的，连接和，分别以为圆心，的长为半径画弧，两弧交于正方形的中心处，图中阴影部分的面积是（     ） A．4 B．6 C． D． 题型五 求小圆绕某图形一圈自转的圈数 16．如图，与在同一平面内，其半径都是r．将固定，让从上的一点P出发，沿的边缘滚动一周，回到原来的位置．下列说法：①滚动过程中的圆心形成的轨迹与是同心圆；②的圆心经过的路程是；③在滚动中自身转了2周．其中正确的是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 17．自行车是绿色环保的交通工具，图①是某自行车的传动结构，图②是该结构的示意图，其中的半径是，的半径是，．当顺时针转动1周时，上的点随之旋转，则的值为______． 18．如图，已知等边三角形的一条边长和与它一边相切的圆的周长相等，当这个圆按箭头方向从某一位置沿该三角形作无滑动旋转，直至回到出发位置时，该圆自转了圈，则（   ） A． B． C． D． 题型六 判断点与圆的位置关系 19．已知的半径为．若点P到圆心O的距离为，则（   ） A．点P在上 B．点P在内 C．点P在外 D．无法判断 20．如图，在中，，，，点为的中点，若以点为圆心，5为半径作，则下列判断正确的是（   ） A．点在外 B．点在上 C．点在内 D．无法判断 21．如图，A，B，C是小区内的三栋楼，现准备在B，C的中点D处建造一个基站，若其覆盖范围是一个半径为的圆，则这三栋楼在该基站覆盖范围内的是（     ） A．只有B B．只有A、B C．只有B、C D．A、B、C 题型七 利用点与圆的位置关系求半径 22．同一平面内，内一点到圆上的最大距离为，最小距离为，则的半径为______． 23．如图，在中，，，，P为边上的一点，以P为圆心，长为半径作圆，则当点C在圆内，点A在圆外时，线段的取值范围为（   ） A． B． C． D． 24．如图，在中，，，，点是上一点，且，点为上一动点，将沿翻折得到，连接，则的最小值为___________ 25．如图，已知是线段上的两点，，以A为中心顺时针旋转点M，以B为中心逆时针旋转点N，使两点重合成一点C，构成，设，若以点B为圆心，为半径作，使点M和点N都在外，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 题型八 已知半径和圆上两点作圆 26．已知线段，经过、两点且半径为5的圆有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个 27．已知AB＝12 cm，过A，B两点画半径为8 cm的圆，则能画的圆的个数为(   ) A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个 28．如图，已知点，和线段，．用直尺和圆规作，使过点，，且半径为，则这样的圆可以作（   ） A．1个 B．2个 C．4个 D．无数个 题型九 点与圆上一点的最值问题 29．如图，已知空间站A与星球B距离为a，信号飞船C在星球B附近沿圆形轨道行驶，B，C之间的距离为b．数据S表示飞船C与空间站A的实时距离，那么S的最小值是（    ） A．a B． C． D．b 30．如图，的圆心与正方形的中心重合，已知的半径和正方形的边长都为2，则圆上任意一点到正方形边上任意一点距离的最小值为______________． 31．如图，已知A、B两点的坐标分别为、，的圆心坐标为，原点在上，E是上的一动点，则面积的最小值为（    ） A．1 B． C． D． 32．图1是传统的手工推磨工具，根据它的原理设计了如图2所示的机械设备，磨盘半径，用长为的连杆将点Q与动力装置P相连（大小可变），点P在轨道上滑动，并带动磨盘绕点O转动， ．在磨盘转动过程中，的最大值为______．最小值为______． 解答题 1．在中，点C，D在弦上，且． (1)如图（1），弦经过圆心O，求证：； (2)如图（2），弦不经过圆心O，与是否仍相等？说明理由． 2．一条隧道的截面如图所示，它的上部是一个以为直径的半圆O，下部是一个矩形． (1)当米时，求隧道截面上部半圆O的面积； (2)已知矩形相邻两边之和为8米，半圆O的半径为r米． ①求隧道截面的面积关于半径的函数关系式（不要求写出r的取值范围）； ②若2米3米，利用函数图象求隧道截面的面积S的最大值（取3）． 3．如图，在矩形中，，，点从点出发沿以的速度向点移动；同时，点从点出发沿以的速度向点移动． (1)几秒钟后的面积等于； (2)在运动过程中，是否存在这样的时刻，使点D恰好落在以点Q为圆心，为半径的圆上？若存在，求出运动时间；若不存在，请说明理由． 4．在平面直角坐标系中，点A在半径为1的上，B，C为平面内不重合的两点，对于与直线给出如下定义：称点A到直线的距离为与直线关于点A的理想距离，记为，特别地，点A在直线上时，． (1)已知，． ①若，则________，若，则________； ②若点C在直线上，则的取值范围是________； (2)若点，且，点B在函数的图象上，对于每一个点B，记的最大值为d，直接写出d的取值范围以及d最小时点C的坐标． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09圆的有关概念知题通关讲义 知识点 1：圆的两种定义（核心基础，填空选择必考）. 1. 动态定义（操作理解，画图用） 在同一平面内，一条线段绕它固定的一个端点旋转一周，另一个端点运动所形成的封闭曲线叫做圆。 固定端点：圆心，用大写字母O表示； 线段定长：半径，用字母r表示； 关键限制：必须强调同一平面；空间旋转形成球面，不是平面圆。 2. 静态（集合）定义（考试核心考点） 平面内到定点的距离等于定长的所有点的集合叫做圆。 定点：圆心O；定长：半径r； 几何记作：以O为圆心的圆，写作⊙ O； 核心区分易错： ⊙ O仅指圆周（外围曲线），不含内部； 圆面 = 圆周 + 圆内部所有区域；做题看清题干描述是 “圆” 还是 “圆面”。 补充拓展概念 同心圆：圆心相同，半径不相等的多个圆； 等圆：半径相等，圆心不同的圆；等圆能够完全重合。 确定圆的条件：圆心、半径，二者缺一不可。 知识点 2：点与圆的三种位置关系（本章重难点，计算、大题高频） 点和圆的位置关系有三种：点在圆内，点在圆上，点在圆外. 若 ⊙O的半径为r，点P到圆心O的距离为d， 那么： 点P在圆内 d < r；点P在圆上 d = r；点P在圆外 d > r. “” 读作 “等价于”，它表示从左端可以推出右端，从右端也可以推出左端 要点：点在圆上是指点在圆周上，而不是点在圆面上； 注意： 圆指的是 “圆周”，即一条封闭的曲线，而不是 “圆面”。 “圆上的点” 指的是圆周上的点，圆心不在圆周上。 确定一个圆需要两个要素：一是定点，即圆心；二是定长，即半径。圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小。只有圆心和半径都确定了，圆才能被唯一确定。 知识点 03：圆相关基础概念（背诵专用，区分易混概念） . 配套推论（学生必背） 1.直径长度 = 2× 半径，d=2r，r=； 2.同一个圆内，直径是长度最大的弦，不存在更长的弦； 3.一条非直径弦对应 1 条劣弧、1 条优弧；直径对应两条相等半圆。 1. 复述圆的定义时，遗漏“同一平面内”条件 提醒：圆的定义：在同一平面内，到定点的距离等于定长的所有点所组成的图形；若去掉“同一平面内”，对应的是球面，并非平面中的圆。 2. 误把圆理解为圆周连同圆内的区域 提醒：圆特指圆周这条封闭曲线，不包含内部；到圆心距离 d>r 为圆外，d=r 为圆上，d<r 为圆内。 3. 颠倒弦与直径的包含关系 提醒：连接圆上两点的线段叫作弦；经过圆心的弦叫作直径；直径属于最长的弦，但弦不一定是直径。 4. 将弧误认为圆上两点间的线段 提醒：弧是圆上两点之间的曲线部分；两点之间的线段是弦，二者图形类型不同。 5. 优弧、劣弧的记法使用错误 提醒：劣弧（小于半圆）用两个端点字母表示；优弧（大于半圆）必须用三个字母表示，避免同两点对应两段弧时产生歧义；半圆两种记法均可。 6. 仅依据弧的长度相等判定为等弧 提醒：等弧定义为：在同圆或等圆中，能够完全重合的弧；长度相等的弧，弯曲程度未必相同，不一定是等弧。 7. 错误将半圆归为优弧或劣弧 提醒：直径把圆分成两条半圆；半圆既不属于优弧，也不属于劣弧；劣弧长度＜半圆，优弧长度＞半圆。 8. 判断点与圆位置关系时，错用点到圆周的距离比较 提醒：应比较点到圆心的距离 d 与半径 r：d>r 点在圆外，d=r 点在圆上，d<r 点在圆内，不能使用点到圆周的距离。 9. 把同心圆误认为等圆 提醒：圆心相同、半径不等的圆是同心圆；半径相等、圆心可不同的圆才是等圆。 10. 混淆同圆、等圆、同心圆的概念 提醒：同圆指同一个圆，圆心、半径均唯一；等圆仅要求半径相等；同心圆仅要求圆心相同；三者定义不能混用。 11. 误认为经过两点仅可作一个圆 提醒：经过两点可以作无数个圆，所有圆心落在这两点连线的垂直平分线上；不在同一直线上的三点，确定唯一的圆。 题型 考察方向 难度 题型一 圆的基本概念辨析 ★ 题型二 求圆中弦的条数 ★ 题型三 求过圆内一点的最长弦 ★ 题型四 圆的周长和面积问题 ★ 题型五 求小圆绕某图形一圈自转的圈数 ★★ 题型六 判断点与圆的位置关系 ★★ 题型七 利用点与圆的位置关系求半径 ★★ 题型八 已知半径和圆上两点作圆 ★★ 题型九 点与圆上一点的最值问题 ★★★ 拔高题 4题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★压轴 题型一 圆的基本概念辨析 1．如图，在中，弦有________，直径有________，劣弧有________，优弧有________． 【答案】 AB，AC AC ， ， 【分析】本题考查了圆的弦、直径、劣弧、优弧，掌握这些定义是解题的关键． 本题根据弦的定义：连接圆上任意两点的线段；直径的定义：经过圆心的弦；劣弧的定义：小于半圆的弧；优弧的定义：大于半圆的弧即可解决问题． 【详解】解：∵弦是连接圆上任意两点的线段， ∴图中的弦有：； ∵直径是经过圆心的弦， ∴图中的直径有：； ∵劣弧是小于半圆的弧， ∴图中的劣弧有：， ∵优弧是大于半圆的弧， ∴图中的优弧有：，． 故答案为：；；，；，． 2．下列说法正确的是（　　） A．直径是弦，弦是直径 B．过圆心的线段是直径 C．圆中最长的弦是直径 D．圆是轴对称图形，但不是中心对称图形 【答案】C 【分析】本题考查圆的基本性质，包括弦、直径的定义以及圆的对称性，掌握相关知识是解决问题的关键． 直径是经过圆心的弦，且是圆中最长的弦；圆既是轴对称图形也是中心对称图形． 【详解】解：A：直径是弦，但弦不一定是直径（如非直径的弦），故A错误； B：过圆心的线段必须连接圆上两点才是直径，否则不是，故B错误； C： 直径是经过圆心的弦，且是圆中最长的弦，故C正确； D：圆有无数条对称轴（任何直径所在直线），且以圆心为中心对称点，故是中心对称图形，故D错误． 故选：C． 3．如图，的直径的延长线与弦的延长线交于点C．若，则的度数为______． 【答案】 【分析】本题考查等腰三角形的性质，三角形外角，圆的半径相等，掌握相关知识是解决问题的关键．连接，由已知可得，设，，则由根据三角形外角性质列方程即可求解． 【详解】解：连接， ， ， 设， 则， ， ， ， ， 则的度数为． 故答案为：． 4．如图，三点在上，若，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是圆与三角形综合，熟练掌握圆的基本性质，等腰三角形性质，是解题的关键 连接，由圆的半径相等得，由平行线性质得，由等腰三角形性质即得． 【详解】解：连接， ∵，且， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 故选：A． 题型二 求圆中弦的条数 5．如图，在中，点A、O、D和点B、O、C分别在一条直线上，图中共有_______条弦，它们分别是_____________． 【答案】 三/3 ，， 【分析】根据连接圆上任意两点的线段叫弦回答即可． 【详解】解：图中的弦有，，共三条． 故答案为：三；，，． 【点睛】本题主要考查圆的基本性质，熟练掌握弦的概念是解题的关键． 6．如图，在中，弦的条数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．以上均不正确 【答案】C 【分析】本题主要考查了圆的弦．熟练掌握弦的定义是解决问题的关键．弦的定义：连接圆上任意两点的线段叫做弦． 根据圆的弦的定义解答． 【详解】在中，有弦、弦、弦、弦， 共有4条弦． 故选：C． 7．如图，已知的半径为4，M是内一点，且，则过点M的所有弦中，弦长是整数的共有 _____ 条． 【答案】3 【分析】过点M作交于点A、B，连接，根据勾股定理求出，根据垂径定理求出，进而得到答案． 【详解】解：过点M作交于点A、B，连接， 则， 在中，， ∴， 则过点M的所有弦， ，且 ， 则弦长是整数的共有长度为7的两条，长度为8的一条，共3条． 题型三 求过圆内一点的最长弦 8．是内任意一点．若圆的半径为1，则经过点的弦的长度可以是__________．（写一种即可） 【答案】1（答案不唯一） 【分析】本题考查了弦的性质，由是内任意一点，圆的半径为1，可得经过点的弦长的取值范围，即可得出答案，注意答案不唯一． 【详解】解：∵是内任意一点，圆的半径为1， ∴经过点的弦的长， ∴经过点的弦的长度可以是1（答案不唯一）， 故答案为：1（答案不唯一）． 9．已知的半径为5，则中弦的长度不可能是（    ） A．1 B．5 C．10 D．11 【答案】D 【分析】本题考查了圆的性质中弦长的性质，根据圆的弦的性质，弦的长度不能超过直径，半径为5，直径为10，因此弦长不可能大于10． 【详解】解：∵的半径为5， ∴直径长为10， ∵弦的长度满足， ∴的长度不可能为11， 故选：D． 10．在平面直角坐标系中，以点为圆心，半径为作，直线交于、两点，若，则的值为__________． 【答案】 【分析】本题考查了圆中直径是最长的弦，待定系数法求一次函数解析式，因为弦，所以是圆的直径，从而过点，将，代入得， 【详解】解：，的半径为， 是的直径， 直线过点， 将，代入得，． 故答案为：． 11．如图，坐标平面内圆，已知圆的半径为2，圆心，下列直线中，与圆相交，且被圆所截得的弦最长的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据圆中最长的弦是直径，可得经过圆心的直线被圆所截得的弦最长，判断选项中哪条直线经过圆心即可． 【详解】解：A、在直线中，当时，，∴直线不经过圆心，故此选项错误； B、在直线中，当时，，∴直线不经过圆心，故此选项错误； C、在直线中，当时，，∴直线经过圆心，故此选项正确； D、在直线中，当时，，∴直线不经过圆心，故此选项错误． 题型四 圆的周长和面积问题 12．用圆规画一个周长是9.42厘米的圆，圆规两脚间的距离约是（   ） A．3厘米 B．1.5厘米 C．4.71厘米 D．9.42厘米 【答案】B 【分析】圆规两脚间的距离是所画圆的半径，根据圆的周长公式计算半径即可得到答案，π取3.14． 【详解】解：∵圆规两脚间的距离等于 厘米． 13．如图，一个圆柱的侧面展开图是一个长为，宽为的长方形，则这个圆柱的底面积是（    ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查圆的周长公式、面积公式及圆柱的展开图，理解题意，列出式子是解题关键． 分两种情况进行讨论：当以长为底面圆的周长时；当以为底面圆的周长时；根据圆的周长公式和面积公式求解即可． 【详解】解：当以长为底面圆的周长时， 底面圆的半径为：， 此时底面圆的面积为：； 当以长为底面圆的周长时， 底面圆的半径为：， 此时底面圆的面积为：； 综上，底面圆的面积为或． 故选：C． 14．一块长方形铁皮按右图方式进行裁剪，刚好能做成一个圆柱形油桶（接头处、铁皮厚度忽略不计）．油桶的底面直径是( )，油桶高( )，这个油桶的容积是( )． 【答案】 【分析】设底面直径为，由题意可得，求出底面直径再根据油桶高进行计算，再根据底面积乘以高计算出容积． 【详解】解：设底面直径为，由题意可得， 即， 解得， 油桶高：， 油桶的容积：L． 15．如图，正方形是由四个边长为2的小正方形拼成的，连接和，分别以为圆心，的长为半径画弧，两弧交于正方形的中心处，图中阴影部分的面积是（     ） A．4 B．6 C． D． 【答案】C 【分析】先根据角角边分别证明和，从而证明和，通过等量转化即可推出阴影部分的面积就是半圆的面积，利用圆的面积公式即可求出阴影部分的面积． 【详解】解：设与的交点为，设与的交点为，如图所示， 由题意可知，， 在和中， ， ， 在和中， ， ， 根据和， 观察图可知，图中阴影部分的面积为即是以为半径的半圆的面积． ， 半圆的面积为， 阴影部分的面积为． 题型五 求小圆绕某图形一圈自转的圈数 16．如图，与在同一平面内，其半径都是r．将固定，让从上的一点P出发，沿的边缘滚动一周，回到原来的位置．下列说法：①滚动过程中的圆心形成的轨迹与是同心圆；②的圆心经过的路程是；③在滚动中自身转了2周．其中正确的是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】B 【分析】本题考查了轨迹问题，掌握上的点P运动的路径长点运动的路径长是本题的关键． 根据题意可得，的圆心是以为圆心，为半径运动，即可解答． 【详解】解：根据题意可得，的圆心是以为圆心，为半径运动，即的圆心形成的轨迹与是同心圆；故①正确； ，则的圆心经过的路程是，故②错误； 根据题意可得点P运动的路径长， 的周长， 即在滚动中自身转了2周，故③正确； 故选：B． 17．自行车是绿色环保的交通工具，图①是某自行车的传动结构，图②是该结构的示意图，其中的半径是，的半径是，．当顺时针转动1周时，上的点随之旋转，则的值为______． 【答案】144 【分析】由顺时针转动1周，转动的长度是，上的点随之旋转，点转动的长度是，得到，即可求解． 【详解】解：顺时针转动1周，转动的长度是， ∵上的点随之旋转， ∴点转动的长度是， ∵， ∴， ∵顺时针转动1周转动的长度等于上的点旋转转动的长度， ∴， 解得，． 18．如图，已知等边三角形的一条边长和与它一边相切的圆的周长相等，当这个圆按箭头方向从某一位置沿该三角形作无滑动旋转，直至回到出发位置时，该圆自转了圈，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了弧长公式，设等边三角形的边长为，圆的半径为，求出圆心转动过的路程进而即可求解，理解题意是解题的关键． 【详解】解：设等边三角形的边长为，圆的半径为， ∵等边三角形的一条边长和与它一边相切的圆的周长相等， ∴， ∴， ∴圆心经过的路径长为， ∴ 故选：． 题型六 判断点与圆的位置关系 19．已知的半径为．若点P到圆心O的距离为，则（   ） A．点P在上 B．点P在内 C．点P在外 D．无法判断 【答案】C 【分析】通过比较点到圆心的距离与圆的半径的大小，即可判断点的位置． 【详解】解：设的半径为，点到圆心的距离为， ∵由题意得 ，， ∴ ，即 ， 根据点与圆的位置关系判定规则：当时，点在圆外， ∴点在外． 20．如图，在中，，，，点为的中点，若以点为圆心，5为半径作，则下列判断正确的是（   ） A．点在外 B．点在上 C．点在内 D．无法判断 【答案】B 【分析】本题考查了点与圆的位置关系以及直角三角形斜边上的中线，连接，根据在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半可得，则点C到圆心的距离等于半径，判断点C在上． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∵点O为的中点， ∴， ∵的半径为5， ∴点C在上． 故选：B． 21．如图，A，B，C是小区内的三栋楼，现准备在B，C的中点D处建造一个基站，若其覆盖范围是一个半径为的圆，则这三栋楼在该基站覆盖范围内的是（     ） A．只有B B．只有A、B C．只有B、C D．A、B、C 【答案】C 【分析】由题意画出图形，根据勾股定理的逆定理求出，再利用勾股定理求出，进一步即可得出答案． 【详解】解：如图，点O是的中点， ∴， ∵，，， 而， ∴， 在中，，， ∴ 即， 又∵， ∴点B、点C在圆的内部，点A在圆的外部． 题型七 利用点与圆的位置关系求半径 22．同一平面内，内一点到圆上的最大距离为，最小距离为，则的半径为______． 【答案】4 【分析】本题考查了点与圆上各点的距离的最大值与最小值的含义． 【详解】解：∵点P在圆内时，的直径长为，半径为； 的半径长为 ． 故答案为：4． 23．如图，在中，，，，P为边上的一点，以P为圆心，长为半径作圆，则当点C在圆内，点A在圆外时，线段的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是点与圆的位置关系、勾股定理，解题的关键是掌握点与圆的三种位置关系，如设的半径为，点到圆心的距离，则有：①点在圆外；②点在圆上；③点在圆内．当点C在圆内，则，当经过点A时，则，，要使得点A在圆外，则，即可求解． 【详解】解：当点C在圆内， ∴， 当经过点A时，则， ∵， ∴此时， ∴要使得点A在圆外，则， ∴满足题意时，， 故选：A． 24．如图，在中，，，，点是上一点，且，点为上一动点，将沿翻折得到，连接，则的最小值为___________ 【答案】6 【分析】本题主要考查最短距离问题，连接，由勾股定理求出，由折叠得，当三点共线时，值最小，从而可求出的最小值为6， 【详解】解：连接，如图， ∵，， ∴， 在中，， 根据折叠得，， ∴点在以为圆心，为半径的圆上， ∴当三点共线时，值最小， ∴的最小值为， 故答案为：6 25．如图，已知是线段上的两点，，以A为中心顺时针旋转点M，以B为中心逆时针旋转点N，使两点重合成一点C，构成，设，若以点B为圆心，为半径作，使点M和点N都在外，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形的三边关系、点与圆的位置关系、不等式组，比较基础．利用三角形的三边关系、点到圆心的距离与半径的关系分别列不等式，再求解即可． 【详解】解：在中， ， ， 解得：； ∵以点为圆心，为半径作圆，使点和点都在外， 且， ， ∴的取值范围是， 故选：B． 题型八 已知半径和圆上两点作圆 26．已知线段，经过、两点且半径为5的圆有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个 【答案】C 【分析】本题考查的是确定圆的条件，熟记圆心的确定方法是解题的关键． 经过两点、的圆的圆心在线段的垂直平分线上，且圆心到、的距离等于半径，利用勾股定理计算圆心到中点的距离，判断是否存在这样的圆． 【详解】解：如图， 分别以、为圆心、5为半径作圆，两圆相交于点C、D， 然后分别以C、D为圆心，5为半径作圆，则和为所求． 故选：C． 27．已知AB＝12 cm，过A，B两点画半径为8 cm的圆，则能画的圆的个数为(   ) A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个 【答案】C 【分析】根据题意分别以A、B为圆心，以8cm为半径画弧，两弧交于C、D，以点C和点D为圆心的两个圆满足题意． 【详解】分别以A、B为圆心，以8cm为半径画弧，两弧交于 C、D，如下图， 得以C为圆心，以8cm为半径的圆经过点A和点B， 以D为圆心，以8cm为半径的圆经过点A和点B， 即能画的圆的个数是2个． 故选：C． 【点睛】本题考查了两圆相交的性质，能找出圆的圆心是解此题的关键． 28．如图，已知点，和线段，．用直尺和圆规作，使过点，，且半径为，则这样的圆可以作（   ） A．1个 B．2个 C．4个 D．无数个 【答案】B 【分析】本题考查作图-复杂作图、确定圆的条件，熟练掌握与圆有关的性质是解答本题的关键．连接，作线段的垂直平分线，以点（或）为圆心，线段的长为半径画弧，交线段的垂直平分线于点，分别以为圆心，线段的长为半径画圆即可． 【详解】解：如图，满足题意． 这样的圆可以作2个． 故选：B． 题型九 点与圆上一点的最值问题 29．如图，已知空间站A与星球B距离为a，信号飞船C在星球B附近沿圆形轨道行驶，B，C之间的距离为b．数据S表示飞船C与空间站A的实时距离，那么S的最小值是（    ） A．a B． C． D．b 【答案】B 【分析】此题主要考查线段长度的最值， 只有空间站A与星球B、飞船C在同一直线上，且点C在之间时，S取到最小值，据此求解即可． 【详解】解：空间站A与星球B、飞船C在同一直线上时，S取到最小值． 故选：B． 30．如图，的圆心与正方形的中心重合，已知的半径和正方形的边长都为2，则圆上任意一点到正方形边上任意一点距离的最小值为______________． 【答案】/ 【分析】本题主要考查正方形的性质、利用三角形三边关系求最值问题，由三角形三边关系分析可得当O、A、B三点共线时，圆上任意一点到正方形边上任意一点距离有最小值，最小值为，以此即可求解． 【详解】解：如图，点B为上一点，点D为正方形上一点，连接，， 由三角形三边关系可得，，是圆的半径，为定值，当点D在A时，取得最小值， ∴当O、A、B三点共线时，圆上任意一点到正方形边上任意一点距离有最小值，最小值为， 由题意可得，，， ∵点O为正方形的中心， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴圆上任意一点到正方形边上任意一点距离的最小值为． 故答案为：． 31．如图，已知A、B两点的坐标分别为、，的圆心坐标为，原点在上，E是上的一动点，则面积的最小值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】过点C作，交于E，此时面积的最小值（是定值，只要圆上一点E到直线的距离最小即可），求出，得到，根据三角形面积公式即可求出答案． 此题考查了勾股定理、三角形面积公式等知识，准确找到点E的位置是关键． 【详解】解：如图，过点C作，交于E，连接，此时面积的最小值（是定值，只要圆上一点E到直线的距离最小即可）， ∵A、B两点的坐标分别为、，， ∴ ∵的圆心坐标为，原点在上， ∴， ∴， ∵ ∴ ∴ ∴ 故选：B. 32．图1是传统的手工推磨工具，根据它的原理设计了如图2所示的机械设备，磨盘半径，用长为的连杆将点Q与动力装置P相连（大小可变），点P在轨道上滑动，并带动磨盘绕点O转动， ．在磨盘转动过程中，的最大值为______．最小值为______． 【答案】 12 【分析】先根据当点Q运动到点时，点P运动在上距离点A最远，再根据勾股定理解答；然后结合当点Q运动到点时，点P运动在上距离点A最近，最后根据勾股定理解答即可． 【详解】解：当点Q运动到点时，点P运动在上距离点A最远， 在中，， ∴； 当点Q运动到点时，点P运动在上距离点A最近， 在中，， ∴． 解答题 1．在中，点C，D在弦上，且． (1)如图（1），弦经过圆心O，求证：； (2)如图（2），弦不经过圆心O，与是否仍相等？说明理由． 【答案】(1)∵ 过圆心O， ∴． 又∵， ∴， 也就是． (2)与仍然相等，理由如下： 连接，，则． ∴，又， ∴， ∴． 【分析】（1）因为是过圆心的弦，所以，再结合的条件，通过线段的和与差运算推导与的关系． （2）连接，，利用等腰三角形的性质得到，进而证明，根据全等三角形的对应边相等可得结论． 【详解】（1）略． （2）略． 2．一条隧道的截面如图所示，它的上部是一个以为直径的半圆O，下部是一个矩形． (1)当米时，求隧道截面上部半圆O的面积； (2)已知矩形相邻两边之和为8米，半圆O的半径为r米． ①求隧道截面的面积关于半径的函数关系式（不要求写出r的取值范围）； ②若2米3米，利用函数图象求隧道截面的面积S的最大值（取3）． 【答案】(1)平方米 (2)①；②平方米 【分析】本题主要考查圆形面积，二次函数的性质等知识，解题的关键是先利用几何图形的面积公式，写出图形的面积与边长之间的关系，再用配方法求顶点坐标，结合二次函数性质与自变量的取值范围确定最大面积． （1）根据面积公式计算即可； （2）①根据几何图形的面积公式可求关于面积的函数解析式； ②利用二次函数的有关性质，在自变量的取值范围内确定面积的最大值． 【详解】（1）， 隧道截面上部半圆O的半径， 隧道截面上部半圆O的面积为（平方米）； （2）①，， ， ； ②由①知，， 又23， ， ． 由①知，， ， 函数图象为开口向下的抛物线，函数图象对称轴， 又，由函数图象知，在对称轴左侧S随r的增大而增大， 故当时，S有最大值，最大值为平方米． 3．如图，在矩形中，，，点从点出发沿以的速度向点移动；同时，点从点出发沿以的速度向点移动． (1)几秒钟后的面积等于； (2)在运动过程中，是否存在这样的时刻，使点D恰好落在以点Q为圆心，为半径的圆上？若存在，求出运动时间；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)2秒或4秒 (2)存在，秒 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用、勾股定理以及割补法求三角形面积，本题关键在于设未知数，找出等量关系，列方程求解． （1）设运动秒钟后的面积为，利用割补法将的面积用含x的式子表式出来，列方程，解出x即可． （2）为半径的圆正好经过点即为，即，根据勾股定理将、分别用x表示出来，列方程求出x的值即可． 【详解】（1）解：设运动秒钟后的面积为， 则，，，， ， ， ， ，解得：，． 答：运动2秒或4秒后的面积为． （2）假设运动开始后第秒时，满足条件，则：， ∵， ， ∴， 整理，得：，解得：， ∵， ∴运动开始后第秒时，点D恰好落在以点Q为圆心，为半径的圆上． 4．在平面直角坐标系中，点A在半径为1的上，B，C为平面内不重合的两点，对于与直线给出如下定义：称点A到直线的距离为与直线关于点A的理想距离，记为，特别地，点A在直线上时，． (1)已知，． ①若，则________，若，则________； ②若点C在直线上，则的取值范围是________； (2)若点，且，点B在函数的图象上，对于每一个点B，记的最大值为d，直接写出d的取值范围以及d最小时点C的坐标． 【答案】(1)①1，2；② (2)d的取值范围是，点C的坐标为或 【分析】（1）①根据题中定义即可求得点A到的距离为，点A到的距离为； ②根据题意求出点C的运动轨迹，直线是绕点B旋转的直线，当时，A到直线的距离最大，此时，当直线过点A时，，进而得出取值范围； （2）分析A，B，C的运动情况，作对应的辅助线分析d的最值，并求得d的取值范围，再设点C坐标为，根据勾股定理列出方程求得m的值，进而求得点C的坐标． 【详解】（1）解：①如图，由定义可知，点A到的距离为， 点A到的距离为, 故答案为：1，2； ②∵当时，直线为过点的水平线，当时，直线且与平行， 又∵点C是直线上一点， ∴如图，当时，点C的轨迹是射线，射线组成的区域和射线，射线组成的区域， ∵直线是绕点B旋转的直线， ∴当时，A到直线的距离最大，此时， 当直线过点A时，， ∴取值范围是， 故答案为：． （2）解：由题意知，令点A为动点，则点B、C为定点， 如图，在上取一点B，在取一点， ∵点A是上的动点， ∴过点A作直线的垂线，当时，点A到直线距离最大值为， 再令点B为定点，点C为动点， ∴当时，取得最大值，点A到直线的距离最大值为， ∴的最大值为，此时， ∵当点B和点A同时移动时，如图，直线时，d取得最小值， ∴， ， ∵，点B不能在x轴上， ∴d的取值范围是， ∵当d取得最小值时，， ∴点C在直线上， 设点C坐标为， ∵， ∴， 解得：， ∴，． 【点睛】本题考查了新定义问题的理解与应用，圆的性质，线段最值等知识点，解答时注意利用数形结合的方法． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $