专题08整式的加减及探索与表达规律知题通关讲义(核心重点+高频易错+题型精讲+拔高练习)2026-2027学年北师大版七年级数学上册

专题08整式的加减及探索与表达规律知题通关讲义 知识点 01 同类项 知识点02：两大运算法则 1.合并同类项 定义：把多项式中所有同类项合并成一项 法则：同类项系数相加，字母和字母的指数保持不变 理论依据：乘法分配律逆运算 ax+bx=(a+b)x 完整步骤： 标记式子中所有同类项； 同类项系数相加； 字母部分原样抄写； 不同类项保留，不能合并。 示例：3x2-5x+2x2+x=(3+2)x2+(-5+1)x=5x2-4x 2.去括号法则（分 3 类详细） （1）括号前是 “+” 号 去掉括号和正号，括号内每一项符号不变 公式：a+(m-n+p)=a+m-n+p （2）括号前是 “-” 号 去掉括号和负号，括号内每一项全部变号 公式：a-(m-n+p)=a-m+n-p （2）括号前存在数字因数（必考难点） 先用乘法分配律，数字乘括号内每一项，再去括号，严禁漏乘 公式：2(3x-4)=6x-8；-3(x+2)=-3x-6 知识点03：整式加减标准运算步骤 1.有括号先去括号； 2.准确找出全部同类项； 3.合并同类项； 4.最终结果化为最简整式（无括号、无同类项）。 知识点04：常考题型 1.单纯合并同类项基础计算； 2.求两个整式的和、差：列式时多项式必须整体添加括号； 例：求3a-2与a+6的差，列式为(3a-2)-(a+6) 3.化简求值题型：先化简代数式，再代入数值计算，减少计算量。 知识点05：探索与表达规律 一.通用解题思想：由特殊到一般 固定解题五步流程： 1.列举前 3 组特殊数字 / 图形数量； 2.观察、对比，寻找数量变化关系； 3.猜想通用规律，用含正整数n的代数式表示； 4.利用整式加减化简代数式； 5.代入n=1、2、3验证式子是否符合已知数据。 二．三大必考规律题型 三、数字游戏类题型解题要点 两位数表示：十位数字a，个位数字b，两位数写作10a+b； 三位数表示：百位a、十位b、个位c，写作100a+10b+c； 解题关键：先用字母表示多位数，再通过整式加减化简，解释固定运算结果的数学原理 1. 判定同类项时，忽略相同字母指数相等条件 提醒：同类项需同时满足：所含字母相同、相同字母的指数分别相同；与系数大小、字母排列顺序无关。 2. 合并同类项时，改动字母或字母指数 提醒：合并同类项仅对系数做加减运算，字母与字母指数保持不变。 3. 合并同类项时遗漏系数为1、‑1的项 提醒：单独字母项系数为1，‑a这类项系数为‑1，运算中必须参与计算，不可舍弃。 4. 负号去括号仅改变括号内首项符号 提醒：括号前为负号，去括号后括号内所有项全部变号；括号前为正号，各项符号不变。 5. 括号外有数因数，去括号漏乘部分项 提醒：括号外数因数需与括号内每一项依次相乘，不得漏乘任意一项。 6. 多项式减法未对减式整体加括号 提醒：多项式相减时，减数多项式需整体添加括号，再去括号化简，避免符号错误。 7. 对非同类项强行合并运算 提醒：仅同类项可合并，非同类项不能运算，直接保留在结果中。 8. 代入求值时，负数、分数未加括号 提醒：字母代入负数或分数参与乘方、乘法运算时，必须添加括号，规避运算顺序与符号错误。 9. 确定多项式系数时遗漏负号 提醒：多项式各项自带前置符号，系数包含符号，不可只取数字部分。 10. 仅凭两组数据直接确定通用规律 提醒：两组数据具有偶然性，需三组及以上数据验证，方可推导通用代数式。 11. 规律表达式混淆序号与对应数值 提醒：通项公式为关于序号n的代数式，不可代入固定常数替代变量。 12. 奇偶项变化不同，仍使用统一公式表达 提醒：数列奇偶项变化规律不一致时，需分段书写规律，不可强行统一表达式。 13. 图形规律计数重复或遗漏固定结构 提醒：图形规律需拆分固定部分、变化部分，仅对随序号变化的部分列式计算。 14. 规律代数式未化简为最简整式 提醒：最终表达式需完成去括号、合并同类项，保留最简形式。 15. 循环规律错误解读余数意义 提醒：先确定循环周期，用总数除以周期；余数不为0对应周期内对应位置，余数为0对应周期最后一项。 16. 文字转代数式颠倒运算顺序 提醒：列式严格遵循文字语序，优先倍数运算，再进行加减运算，不可颠倒层级。 17. 只用单一代入数值验证规律正确性 提醒：推导规律后，需代入多个不同序号验算，确认规律通用成立。 题型 考察方向 难度 题型一 同类项的判断 ★ 题型二 已知同类项求指数中字母或代数式的值 ★★ 题型三 合并同类项 ★ 题型四 去括号 ★ 题型五 添括号 ★★ 题型六 整式的加减运算 ★★ 题型七 整式的加减中的化简求值 ★★ 题型八 整式加减中的无关型问题 ★★★ 题型九 整式加减的应用 ★★ 题型十 带有字母的绝对值化简问题 ★★★ 题型十一 数字类规律探索 ★★★ 题型十二 图形类规律探索 ★★★ 拔高题 6题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难题★★★★★压轴 题型一 同类项的判断 1．下列选项中是同类项的是（     ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【分析】同类项需满足所含字母相同，且相同字母的指数也分别相同，据此逐一判断即可． 【详解】解：A、与所含字母相同，但是字母的指数不同，二者不是同类项，故此选项不符合题意； B、与所含字母相同，但是相同字母的指数不同，二者不是同类项，故此选项不符合题意； C、与所含字母均为，且的指数均为1，是同类项，故此选项符合题意； D、与所含字母相同，但是相同字母的指数不同，二者不是同类项，故此选项不符合题意． 2．下列单项式中，与是同类项的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了同类项的定义：含有字母相同，相同字母的指数也相同的单项式叫做同类项． 根据同类项的定义进行判断即可． 【详解】解：A、与中字母指数不同，故错误； B、与是同类项，故正确； C、与中字母指数不同，故C错误； D、与中字母的指数不同，故D错误； 故选：B 3．如果与是同类项，那么m、n的值分别为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题主要考查同类项的定义，熟练掌握同类项的定义是解题的关键．根据同类项的定义即可得到答案． 【详解】解：与是同类项， ， 解得． 故选C． 题型二 已知同类项求指数中字母或代数式的值 4．若与是同类项，则的值是________． 【答案】4 【详解】∵与是同类项， ∴相同字母的指数相等， ∴，， ∴， ∴． 5．若所得的差是单项式，则_____． 【答案】5 【分析】根据差是单项式，可知两个单项式为同类项，因此相同字母的指数相等根据同类项的定义求出的值，即可得答案． 本题考查了同类项的定义，解题关键是熟练掌握所含字母相同，且相同字母的指数相同的两个单项式是同类项． 【详解】解：∵的差是单项式， ∴与是同类项， ∴，， ∴； 故答案为：5． 6．若单项式与是同类项，则的值是（    ） A．0 B．1 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查根据同类项，求参数的值，根据字母相同，相同字母的指数也相同的项叫做同类项，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴， ∴； 故选：C． 7．已知单项式：，其中为正整数．例如：，．下列说法： ①若，则； ②若化简结果为单项式，则满足条件的有序数对共有个； ③，，，四个数可以相同也可以不同，若，则化简结果共有种． 其中正确的个数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】依次判断三个说法的正误，根据单项式和同类项的定义，结合正整数的性质枚举计算，得到正确说法的个数． 【详解】由题知 ， 为正整数． ①：，，解得 ，故①错误． ②：，化简结果为单项式，说明合并后只有一项，分情况讨论： 情况1：，此时 ，剩余 为单项式，整理得 ， 为正整数，可得有序对 ，共4个； 情况2：，此时 ，剩余 为单项式，整理得 ，可得有序对 ，共4个； 情况3：，代入得 ，无正整数解； 综上，共有 个有序对，故②正确． ③： 为正整数，，按从小到大枚举不同的不计顺序的分拆，可得：，共5种不同的化简结果，故③错误． 综上，正确的说法只有1个． 题型三 合并同类项 8．计算：______． 【答案】 【详解】解：原式. 9．下列运算，结果正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据合并同类项计算并判断即可． 【详解】解：A选项，，运算错误.； B选项，与不是同类项，无法合并，运算错误； C选项，，运算错误； D选项，，运算正确． 10．口算： （1）__________；    （2）__________；    （3）__________； （4）__________；    （5）__________；    （6）__________． 【答案】 【分析】（1）根据有理数的减法运算法则计算即可； （2）根据有理数的加法运算法则计算即可； （3）根据有理数的乘法运算法则计算即可； （4）根据有理数的除法运算法则计算即可； （5）根据合并同类项法则计算即可； （6）根据合并同类项法则计算即可； 此题考查有理数的运算法则和合并同类项法则，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】（1）；     （2）；     （3）； （4）；     （5）；     （6）． 故答案为：，，，，， 11．下列计算中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了去括号，合并同类项，根据去括号及合并同类项的法则进行运算即可求解，掌握去括号及合并同类项的法则是解题的关键． 【详解】解：、，故该选项错误，不合题意； 、与不是同类项，不能合并，故该选项错误，不合题意； 、，故该选项正确，符合题意； 、，故该选项错误，不合题意； 故选：． 题型四 去括号 12．化简：______． 【答案】 【分析】本题考查了去括号和合并同类项的法则，准确的计算是解决本题的关键． 先去括号，再合并同类项即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 13．定义一种新运算：，例如：，则化简后的结果是___________． 【答案】/ 【分析】本题为新定义运算，根据新运算的定义，将和代入公式进行计算即可求解﹒ 【详解】解：﹒ 14．把写成省略加号的和的形式______． 【答案】 【分析】直接利用去括号法则计算即可． 【详解】解：． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了有理数的加减混合运算，掌握去括号法则是解答本题的关键． 15．下列去括号正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据去括号的法则，依次计算，即可求解， 本题考查了去括号的法则，解题的关键是：熟练掌握去括号法则． 【详解】解：A、，该选项错误，不符合题意， B、，该选项错误，不符合题意， C、，该选项错误，不符合题意， D、，该选项正确，符合题意， 故选：D． 题型五 添括号 16．( ) 【答案】 【分析】本题考查添括号，根据添括号的法则，括号前面是“”，添加括号时，括号里的每一项都要变号，据此进行求解即可． 【详解】解：； 故答案为：． 17．下列添括号正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了添括号．熟知添括号法则是解本题的关键．添括号时，若括号前是“+”，添括号后，括号里的各项都不改变符号；若括号前是“-”，添括号后，括号里的各项都改变符号． 根据添括号法则求解判断即可． 【详解】解：A． ，A不正确； B． ，B不正确； C．，C正确； D．，D不正确． 故选：C． 18．已知，则的值为_____． 【答案】 【分析】先把变形为，然后把代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴ ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了求代数式的值，运用整体思想把代入计算是解题的关键． 19．下列代数式添括号正确的是(   ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了添括号，根据添括号法则：若括号前是“”，添括号后，括号里的各项都不改变符号；若括号前是“”，添括号后，括号里的各项都改变符号；进行运算即可判断求解，掌握添括号法则是解题的关键． 【详解】解：A、，故该选项错误，不合题意； B、，故该选项错误，不合题意； C、，故该选项正确，符合题意； D、，故该选项错误，不合题意； 故选：C． 题型六 整式的加减运算 20．计算： _________． 【答案】 【分析】本题考查了整式的加减混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 先去括号，再合并同类项，即可求解． 【详解】解： ． 故答案为：． 21．下列运算结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查整式的加减运算，核心知识点为同类项的概念、合并同类项法则及去括号法则． 【详解】解：与不是同类项，不能合并，选项A错误； 与所含字母不同，不是同类项，不能合并，选项B错误； ，选项C错误； ，选项D正确； 故选：D． 22．一个整式与的和是，则这个整式与的和为______． 【答案】 【分析】本题考查了整式的加减运算，设未知整式为A，根据和的关系求出A，再计算A与给定多项式的和． 【详解】解：设这个整式为A，则， ∴， 然后计算． 故答案为：． 23．已知整式M：，其中，，，…，为自然数，n，为正整数，且．下列说法： ①满足条件的单项式M的乘积为； ②当时，满足条件的所有整式M的和为； ③满足条件的整式M共有14个． 其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据题意逐项分析，进行分类讨论，即可求解． 【详解】解：①若是单项式，则所有非最高次项系数为，条件简化为， 所有满足条件的单项式为：， 乘积为，故①正确； ②当时，，， 所有满足条件的为：， 求和得：，故②正确； ③按分类计算整式总数：时，，，共4个不同整式； 时，，，共6个不同整式； 时，，，共4个不同整式； 时，，，共1个不同整式； 总数为，故③错误； 综上，正确的说法有2个． 题型七 整式的加减中的化简求值 24．当时，式子 的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，解题关键是熟练掌握去括号法则、合并同类项法则和等式的基本性质． 根据去括号法则和合并同类项法则，把所求式子进行化简，再化成含有的形式，整体代入进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴原式=， 故选：A． 25．已知，且，则________． 【答案】 【分析】本题主要考查了平方和绝对值的非负性，整式的化简，代数式求值，解题的关键是掌握非负性． 根据平方和绝对值的非负性求出的值，然后进行整式的化简，最后求代数式的值即可． 【详解】解：∵， ∴， 解得，， ， 将，，代入上式得， 原式， 故答案为：． 26．若当x＝2时，，则当x＝－2时，求多项式的值为（    ） A．－5 B．－2 C．2 D．5 【答案】B 【分析】将x＝2代入，得，进而得，将x＝－2代入，得代数式，利用整体思想代入即可求解． 【详解】解：将x＝2代入，得 ∴ 将x＝－2代入，得=1-3=-2 故选：B． 【点睛】本题主要考查了整式中的整体思想，根据已知条件找出含字母部分的倍分关系是解题的关键． 题型八 整式加减中的无关型问题 27．要使多项式中不含项，则m的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了整式的加减—无关题型，要使多项式不含项，需使所有项的系数之和为零，合并同类项，令其系数为零即可，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：， ∵多项式中不含项， ∴， ∴， 故选：B． 28．已知，，若的值与的取值无关，则的值为___________． 【答案】 【分析】本题考查了整式的运算，整式无关值的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 由的值与无关，可知含的项系数为零，通过计算并合并同类项，令和的系数为零，解出和的值，再代入计算即可． 【详解】已知，， 则， ∴， ∵的值与的取值无关， ∴含的项系数为零，即且， 解得：，， 代入可得：， 故答案为：． 29．已知多项式合并同类项后不含x的三次项和一次项，则的值为（   ） A．48 B．49 C．50 D．51 【答案】A 【分析】本题考查整式加减中的无关型问题，合并同类项后，根据不含三次项和一次项的条件，令对应系数为零，求出a和b的值，再代入表达式计算． 【详解】解：∵多项式合并同类项后为，且不含的三次项和一次项， ∴和， 解得，， ∴， 故选：A． 题型九 整式加减的应用 30．王老师收藏了一幅长为，宽为的长方形名画，他想在该画的四周镶上宽为2cm的边框（接头处不重叠），如图所示，则他镶嵌该名画需用的边框长度是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了列代数式，整式的加法运算，先理解题意，根据长为，宽为的长方形名画，四周镶上宽为的边框（接头处不重叠），进行列式表示，即可作答． 【详解】解：依题意，， ∴他镶嵌完该名画需用的边框长度是， 故选：C． 31．“洛书”是古老华夏智慧的数学结晶（如图1），是世界上最早的“幻方”．把9个数填入方格中，使其任意一行，任意一列及两条对角线上的数之和都相等，这样便构成了一个“三阶幻方”，图2是仅可以看到部分数值的“三阶幻方”，则其中之间的关系为__________． 【答案】 【分析】设中心格内的数为，根据三阶幻方的性质，任意一行、一列及对角线上的数之和都相等，且和为，利用这一性质表示出相关位置的数，通过列方程即可得出之间的关系． 【详解】解：设中心格内的数为， ∵ 任意一行，任意一列及两条对角线上的数之和都相等， ∴幻和为， ∴第二行第一列的数为， 第一行第二列的数为， 设第一行第三列的数为，则， 解得； 设第三行第三列的数为，则，即， 解得， 又∵主对角线上的数之和为， ∴，即， ∴， ∴． 32．“铺地锦”是我国古代一种乘法运算方法，可将多位数乘法运算转化为一位数乘法和简单的加法运算．淇淇受其启发，设计了如图1所示的“表格算法”，图1表示132×23，运算结果为3036．图2表示一个三位数与一个两位数相乘，表格中部分数据被墨迹覆盖，根据图2中现有数据进行推断，正确的是（   ） A．“2”上边的数是16 B．“5”右边的“□”表示5 C．运算结果小于5000 D．运算结果可以表示为 【答案】D 【分析】设一个三位数与一个两位数分别为和，则，即，可确定时，则，由题意可判断A、B选项，根据题意可得运算结果可以表示为：，故可判断C、D选项． 【详解】解：设一个三位数与一个两位数分别为和， 如图： 则由题意得： ， ∴，即， ∴当时，不是正整数，不符合题意，故舍； 当时，则，如图： ， ∴A、“2”上边的数是，故本选项不符合题意； B、“5”右边的“□”表示1，故本选项不符合题意； ∴上面的数应为，如图： ∴运算结果可以表示为：， ∴D选项符合题意， 当时，计算的结果大于6000，故C选项不符合题意． 题型十 带有字母的绝对值化简问题 33．若，化简______________．（     ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【分析】根据a的取值范围判断绝对值内式子的正负，去绝对值后合并化简，即可求解． 【详解】解：∵， ∴，， ∴原式． 34．如果为有理数，则代数式的最小值为_________． 【答案】 【分析】的几何意义是数轴上表示的点到表示的点的距离，将代数式转化为距离和，分区间去绝对值符号后化简，即可求出最小值． 【详解】解：表示数轴上表示的点，分别到表示，，，的点的距离之和，分情况讨论： 1．当时，原式，该式随增大而减小，当时，原式取得最小值． 2．当时，原式，该式随增大而减小，当时，原式取得最小值． 3．当时，原式，此时原式恒等于． 4．当时，原式，该式随增大而增大，此时原式． 5．当时，原式，该式随增大而增大，此时原式． 综上，代数式的最小值为． 35．已知是有理数，且，下列结论： ①；②；③；④若，是有理数，且满足，则或2． 其中正确个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查了化简绝对值，有理数乘除法计算，有理数加减法计算，灵活运用所学知识是解题的关键． 【详解】解：∵ ∴， ∴①，故①错误； ②正确； ③，故③错误； ④∵，则 ；，则 ∴或2，故正确； 故选：B． 题型十一 数字类规律探索 36．按一定规律排列的代数式．第个代数式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据所给的代数式排列列举出来，再进行推论，推出第个代数式即可． 【详解】解：第1个代数式为； 第2个代数式为； 第3个代数式为； 第4个代数式为； 第5个代数式为； ∴第个代数式为． 37．如图，填在各正方形中的四个数中间都有相同的规律，根据这种规律，m的值是________． 【答案】2 【分析】由前三个正方形可看出规律为，从左上到左下再到左上为三个连续奇数，且右上角的数乘以左下角的数减去左上角的数等于右下角的数． 【详解】解：由规律补齐空缺为， 即左下为，右上为， ． 38．的值在以下两数之间（     ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】观察算式各项的结构，每一项的分子比分母大1，可将每一项拆为整数1与一个分子为1的分数的和，再利用裂项相消法计算，拆分公式为，消去中间项得到结果后即可判断结果所在范围． 【详解】解： ， 又， 则原式在之间． 题型十二 图形类规律探索 39．观察下列图形： 它们是按一定规律排列的，依照此规律，第18个图形共有___________枚五角星． 【答案】 【分析】根据观察可以发现，每增加1个图形，就增加3个五角星，所以可以得到五角星数量与图形序号的关系：五角星数量图形序号，代入图形序号为18，即可求出第18个图形的五角星数量． 【详解】解：根据观察，可得五角星数量与图形序号的关系：五角星数量图形序号， 所以假设图形序号为，则五角星数量， 当时，五角星数量（枚）． 40．观察下列“蜂窝图”，按照这样的规律，则第17个图案中的“”的个数是______个． 【答案】 【分析】通过观察前4个图案中六边形的个数，发现后一个图案比前一个图案多3个六边形，从而归纳出第个图案中六边形个数的通项公式，代入求解即可． 【详解】解：观察图形可知：第1个图案中六边形的个数为； 第2个图案中六边形的个数为； 第3个图案中六边形的个数为； 第4个图案中六边形的个数为； …… ∴第个图案中六边形的个数为； 当时，六边形的个数为． 41．如图，正五边形，有一颗跳棋放在图中的A号位置上，现按顺时针方向，第一次跳三步到D号位置上，第二次跳三步跳到B号位置上，每次跳三步，一直进行下去．第56次跳到（     ）号位置上． A．A B．B C．C D．D 【答案】D 【分析】根据题意，依次求出每次跳动后跳棋所在位置，发现规律即可解决问题． 【详解】解：由所给跳动方式可知， 第1次跳到D号位置上，第2次跳到B号位置上，第3次跳到E号位置上，第4次跳到C号位置上，第5次跳到A号位置上，…， 由此可知，从第1次跳动开始，每跳动5次，跳棋所在位置按D，B，E，C，A循环． 因为， 所以第56次跳到D号位置上． 解答题 1．合并同类项： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 2．（1）化简：； （2）当，满足等式时，求（1）中代数式的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了整式的化简和非负数的性质． （1）将原式去括号后再合并同类项即可得到最简结果； （2）先利用非负数的性质求出与的值，代入计算即可求值． 【详解】解：（1）原式 ； （2）， ，， 原式． 3．已知， (1)化简： (2)在计算“当的值”时，小聪同学把“”错抄成“”，但他计算的结果也是正确的，试说明理由，并求出这个结果． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据整式的加减运算可进行求解； （2）先对整式进行化简运算，然后再进行求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴ ； （2）解：∵， ∴ ； ∵的计算结果中不含有x的项， ∴的计算结果就与x的取值无关， ∴小聪同学把“”错抄成“”，但他计算的结果也是正确的， 正确的结果为：把代入得：原式． 4．已知点、在数轴上分别表示有理数、，、两点之间的距离表示为． (1)数轴上表示2和的两点之间的距离是 　 　 ； (2)数轴上表示a和的两点和之间的距离是 　 　 ； (3)若数轴上三个有理数a、b、c满足，，则的值为 　 　 ； (4)当　 　 时，的值最小，最小值是 　 　． 【答案】(1)5 (2) (3)6或8 (4)1；7 【分析】（1）根据计算即可； （2）根据计算即可； （3）根据、、三点的位置分类讨论，求解即可； （4）根据，，，，对的范围进行分类讨论，再化简绝对值，即可得解； 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：设， 当时，，， ； 当时，，， ； 综上，的值为6或8． （4）解：当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 由上可知，时，即时，的值最小，最小值是7． 5．完成下列小题 (1)观察下面图中小圆圈的排列方式，你发现了什么规律？ (2)根据（1）中的规律猜想： __________． (3)一般地，你能得到什么猜想？请用代数式表示． 【答案】(1)解：由图可得，图1由1个小圆圈组成，图2由4个小圆圈组成，图3由9个小圆圈组成，图4由16个小圆圈组成，…，图n由个小圆圈组成； 还可以发现图1由1个小圆圈组成，图2由个小圆圈组成，图3由个小圆圈组成，图4由个小圆圈组成，…，图n由个小圆圈组成； (2) (3)(n为正整数） 【分析】（1）根据图形的变化寻找规律进行求解即可； （2）由（1）求解即可； （3）由（1）求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）可得：， ∴， ∴； （3）解：由（1）可得：(n为正整数）． 6．某学校数学俱乐部组织了“数字变化引擎”设计大赛．引擎的核心是一个运算程序：输入一个数，按一定的运算规则进行运算后，输出结果． 【理解与思考】 (1)理解“循环—判断” 小福设计的“数字变化引擎”程序如下： 规定：程序每运行到“”为一次运行． ①若输入，则输出的值为________； ②若该程序第一次运行后就直接输出值，则可以为________（写出一个满足条件的整数）． 【迁移与应用】 (2)利用“循环—判断”进行程序设计 在进一步探究中，小田发现“循环—判断”可以使程序重复执行一段运算，直到满足指定条件为止．于是他设计了一个运算程序，该程序输入一个任意的两位数，输出结果为一个定值．程序流程如图： ①若输入的两位数是23，请根据小田设计的运算程序，写出输出结果和找到结果的过程． ②若输入的两位数十位数字用表示，个位数字用表示，试结合代数式解释：任意输入一个两位数，该运算程序的结果总是固定的值． 【答案】(1)①16；②6 (2)①输出的结果为6．过程如下： 23的十位数字为2，个位数字为3，第一次运算后得到 ， 因为12不是个位数，所以重复操作； 12的十位数字为1，个位数字为2，第二次运算后得到 ， 因为6是个位数，所以输出结果为6； ②因为十位数字为a，个位数字为b， 所以，，． 当时，为个位数，输出为定值6， 当时，为6的倍数，即每一次运行都能得到结果为6的倍数， 又因为只有个位数时才输出结果， 所以最后输出的结果为定值6． 【分析】（1）①将代入程序计算结果，再将代入程序可得答案；②根据程序得出不等式，求出解集可得答案； （2）①根据程序要求计算，再次计算可得答案；②根据程序要求说明即可． 【详解】（1）解：①当时，； 当时，， 所以输出的； ②根据题意，得， 解得， 所以的值可以为6（答案不唯一）； （2）①略 ②略 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $专题08整式的加减及探索与表达规律知题通关讲义 1 知识梳理 合并同类项 同类项 定义：所含字母相同，并且相同字母的指数他相同 的项叫作同类项. 判断同类项主要看三点：①都是单项式；②所含字母相同；③ 相同字母的指数相同。 合并同类项 概念：根据运算律把多项式中的同类项合并成一项叫作合并同类项. 合并同类项法则：同类项的系数相加，所得的结果作为系 整式的加减 数，字母和字母的指数不变.其实质是逆用乘法的分配律 步骤：(1)发现同类项；(2)确定各同类项系数；(3)合并同类项 去括号 括号前面是“+”号，把括号和它前面的“+“号去掉，括号 里各项的符号都不改变， 括号前面是“””号，把括号和它前面的”。”号去掉，括号 里各项的符号都要改变 整式的加减 实质 整式加减的实质就是合并同类项，若有括号，就要先用去括号法则 去掉括号，然后合并同类项. 步骤 (1)如果有括号，那么先去括 (2)找出同类项，合并同类项 (3)没有同类项的项照写. 知识点01同类项 分类 详细完整内容 标准定义 所含字母完全相同，并且相同字母对应的指数也分别相等的项； 所有常数项（不含字母的数字）都互为同类项。 1.只看字母种类与对应指数，和项前面的系数正负、大小无关： 四条判定细则 2.和字母书写先后顺序无关，如3xy与-2yx是同类项： 3.只要有一组相同字母指数不相等，就不是同类项； 4.单独数字之间，无论正负都是同类项。 正确举例（同类 项) 1.7ab和-5ab;2.-12和8； 3.xy和号xy 反例（非同类 1.x和x2(字母相同，指数不同)； 项) 2.2ab和3ac(所含字母不一样)； 3.mn和mn相同字母指数不对应) 试卷第1页（共3页） 知识点02：两大运算法则 1.合并同类项 定义：把多项式中所有同类项合并成一项 法则：同类项系数相加，字母和字母的指数保持不变 理论依据：乘法分配律逆运算ax+bx=(a+b)x 完整步骤： 标记式子中所有同类项： 同类项系数相加： 字母部分原样抄写： 不同类项保留，不能合并。 示例：3x2-5x+2x2+x=(3+2)x2+-5+1)x=5x2-4x 2.去括号法则（分3类详细） (1)括号前是“+”号去掉括号和正号，括号内每一项符号不变 公式：a+(m-n+p)=a+m-n+p (2)括号前是“”号去掉括号和负号，括号内每一项全部变号 公式：a-(m-ntp=a-mtn-p 试卷第2页（共3页） (2)括号前存在数字因数（必考难点） 先用乘法分配律，数字乘括号内每一项，再去括号，严禁漏乘 公式：2(3x-4)=6x-8;-3(x+2)=-3×6 知识点03：整式加减标准运算步骤 1.有括号先去括号： 2准确找出全部同类项； 3.合并同类项； 4最终结果化为最简整式（无括号、无同类项）。 知识点04：常考题型 1.单纯合并同类项基础计算； 2.求两个整式的和、差：列式时多项式必须整体添加括号： 例：求3a-2与a+6的差，列式为(3a-2)-(a+6) 3化简求值题型：先化简代数式，再代入数值计算，减少计算量。 知识点05：探索与表达规律 试卷第3页（共3页） 一通用解题思想：由特殊到一般 固定解题五步流程： 1.列举前3组特殊数字/图形数量： 2观察、对比，寻找数量变化关系； 3.猜想通用规律，用含正整数n的代数式表示： 4.利用整式加减化简代数式： 5.代入n=1、2、3验证式子是否符合已知数据。 二.三大必考规律题型 题型分类 常见特征 解题方法 典型结论 列出前3组数字，找相邻 数列数字规 等差、等比、 数字差值/倍数关系， 写1,3,5,7…第n项：2n-1 律 平方型数列 出第n项 横向相邻数差 设中间数字为x,其余数字 十字框5数和=中间 日历数字规 1,纵向上下数用含x代数式表示，整式 数×5；3×3九宫格9 律 差7 求和 数和=中间数×9 第1、2、3个数出每组图形数量，转化 图形排列规 摆小棒、点阵、正方形 图形对应数量 为数列规律，用n表示第n 律 拼接类题目通用 依次变化 个图形总数 三、数字游戏类题型解题要点 两位数表示：十位数字a,个位数字b,两位数写作10a+b: 试卷第4页（共3页） 三位数表示：百位a、十位b、个位c,写作100a+10b+c: 解题关键：先用字母表示多位数，再通过整式加减化简，解释固定运算 结果的数学原理 高频易错点 1. 判定同类项时，忽略相同字母指数相等条件 提醒：同类项需同时满足：所含字母相同、相同字母的指数分别相同： 与系数大小、字母排列顺序无关。 2. 合并同类项时，改动字母或字母指数 提醒：合并同类项仅对系数做加减运算，字母与字母指数保持不变。 3. 合并同类项时遗漏系数为1、-1的项 提醒：单独字母项系数为1，-a这类项系数为-1，运算中必须参与计 算，不可舍弃。 4. 负号去括号仅改变括号内首项符号 提醒：括号前为负号，去括号后括号内所有项全部变号；括号前为正 号，各项符号不变。 5. 括号外有数因数，去括号漏乘部分项 提醒：括号外数因数需与括号内每一项依次相乘，不得漏乘任意一项。 6. 多项式减法未对减式整体加括号 提醒：多项式相减时，减数多项式需整体添加括号，再去括号化简，避 试卷第5页（共3页） 免符号错误。 7.对非同类项强行合并运算 提醒：仅同类项可合并，非同类项不能运算，直接保留在结果中。 8. 代入求值时，负数、分数未加括号 提醒：字母代入负数或分数参与乘方、乘法运算时，必须添加括号，规 避运算顺序与符号错误。 9. 确定多项式系数时遗漏负号 提醒：多项式各项自带前置符号，系数包含符号，不可只取数字部分。 10. 仅凭两组数据直接确定通用规律 提醒：两组数据具有偶然性，需三组及以上数据验证，方可推导通用代 数式。 11.规律表达式混淆序号与对应数值 提醒：通项公式为关于序号的代数式，不可代入固定常数替代变量。 12.奇偶项变化不同，仍使用统一公式表达 提醒：数列奇偶项变化规律不一致时，需分段书写规律，不可强行统一 表达式。 13. 图形规律计数重复或遗漏固定结构 提醒：图形规律需拆分固定部分、变化部分，仅对随序号变化的部分列 式计算。 14.规律代数式未化简为最简整式 提醒：最终表达式需完成去括号、合并同类项，保留最简形式。 试卷第6页（共3页） 15. 循环规律错误解读余数意义 提醒：先确定循环周期，用总数除以周期：余数不为0对应周期内对应 位置，余数为0对应周期最后一项。 16.文字转代数式颠倒运算顺序 提醒：列式严格遵循文字语序，优先倍数运算，再进行加减运算，不可 颠倒层级。 17.只用单一代入数值验证规律正确性 提醒：推导规律后，需代入多个不同序号验算，确认规律通用成立。 3 题型通关 题型 考察方向 难度 题型一 同类项的判断 ★★ 题型二 已知同类项求指数中字母或代数式的值 题型三 合并同类项 题型四 去括号 ★★ 题型五 添括号 ★★ 题型六 整式的加减运算 ★★ 题型七 整式的加减中的化简求值 ★★★ 题型八 整式加减中的无关型问题 ★★ 题型九 整式加减的应用 试卷第7页（共3页） ★★★ 题型十 带有字母的绝对值化简问题 ★★★ 题型十一 数字类规律探索 ★★★ 题型十二 图形类规律探索 拔高题 6题 星级说明：★基础：★★中档：★★★提升：★★★★难题★★★★★压轴 分题型精讲 题型一同类项的判断 1.下列选项中是同类项的是() A.2ab与a2b B.b与 C.x与2x D.a2b3与4a3b2 2.下列单项式中，与b是同类项的是() A.ab B.2a2b C.3ab2 D.6a2b2 2x2ym4-3xy2m 3.如果 与 是同类项，那么m、n的值分别为() A.m=-2,n=3 B.m=2,n=3 C.m=4,n=4 D.m=3,n=2 题型二已知同类项求指数中字母或代数式的值 1 4.若3y“与2xy是同类项，则m+n的值是 5.若3a2b”-5a"b所得的差是单项式，则m+n=一 6.若单项式3y"与2ay是同类顶，则m-川的值是《) 试卷第8页（共3页） A.0 B.1 C.-1 D.-2025 7.已知单项武。女，其中为正整数。例如：4=，M=1 .下列说法： ①若M2=2,则x=1: ②若M。+M。-M化简结果为单项式，则满足条件的有序数对 ,b 共有8个： ③a,b,c,d四个数可以相同也可以不同，若a+b+c+d=8,则M。+M,+M。+Ma化 简结果共有6种。 其中正确的个数是() A.0 B.1 C.2 D.3 题型三合并同类项 8.计算：5a-3a= 9.下列运算，结果正确的是() A.m2+m2=m B.2a+2b=2ab C.-x-x=0D. -a2+(-3)a2=-4a2 10.口算： (1)-13-3= (2)2+(-3)= (3)-4×(-2)= (5)2x-4x= (6)m-n+m= 11.下列计算中，正确的是() -2(a+b)=-2a+2b B 6ab-b=6a C.-ab+2ab=ab D.a2+2a2=3a 试卷第9页（共3页） 题型四去括号 12.化简： 32--2x+ 13.定义一种新运算：a8h=a-2b,例如：2@3=2-2x3=4,则x®(-2化简后的 结果是 14.把)+(2)+(-3)4)+-5)写成省略知号的和的形式 15.下列去括号正确的是（) A.-(a+b)=-a+b B.-(a-b)=a+b c.-2(a+b)=-2a+b D.-2(a-b)=-2a+2b 题型五添括号 16.3a2+5a-7=3a2-( 17.下列添括号正确的是() A.a-2b+3c=a-(2b+30) B.a-b+c=a-(b+c) C.-a+b-c=-(a-b+c) D.c+2a-b=c+2(a-b) 18.己知x+y=2,则3x+3y+4的值为 19.下列代数式添括号正确的是() A.a+b+1=a+(b-1) B.a-b-1=a-(b-1) C.a-b+1=a-(b-) D.a+b-1=a+(b+1) 试卷第10页（共3页） 题型六整式的加减运算 20.计算：(4r-5+3y）-(3x2-2gy+2y)= 21.下列运算结果正确的是（) A.6a2-4a=2a B.a+2b=3ab c.-3(y-x=-3y-3x D.-m2n3+2m2n3=m2n3 22.一个整式与 5x2-6xy-1, 是2x-”,则这个整式与 x2-3xy+5 的和是 的和为 23.已知整武M,4+a+a+++a.其中“，8，凸，，a为自然 数，m,0为正整数，且” ,n+a+a+…+an=5 .下列说法： ①满足条件的单项式M的乘积为24x°： ②当n=3时，满足条件的所有整式M的和为5x3+x2+x+1: ③满足条件的整式M共有14个. 其中正确的个数是() A.0 B.1 C.2 D.3 题型七整式的加减中的化简求值 24.当0+h-3时，式子2(a+2b)-(3a+5b)+5 的值为() A.2 B.3 C.4 D.5 25.已知4=4ab-2-dB=36-2a+5ab,且a+h-+1b-2非0，则3B-41= 26若当-2时，成++3=5测当=-2、求多项式2--3的性为() A.-5 B.-2 C.2 D.5 试卷第11页（共3页） 题型八整式加减中的无关型问题 27.要使多项式2- 2m四+7少+y+2中不含y项，则m的值为() A.1 B.2 C.3 D.4 28.已 A=32+4c+6y.B=b-6x+5y-6,若2M-B的值与的取值无关，则 12a+b的值为 29.已知多项式6x-4x2+3x-am-x2+2x2+bx+4合并同类项后不含x的三次项和一次 项，则7a-2b的值为() A.48 B.49 C.50 D.51 题型九整式加减的应用 30.王老师收藏了一幅长为acm,宽为bcm的长方形名画，他想在该画的四周镶上宽为 2cm的边框（接头处不重叠），如图所示，则他镶嵌该名画需用的边框长度是() bcm acm A.(2a+2b+16)cmB.(a+2b+16)cm C.(2a+2b+8)cmD. (2a+b+8)cm 31.“洛书”是古老华夏智慧的数学结晶（如图1），是世界上最早的“幻方”.把9个 数填入3×3方格中，使其任意一行，任意一列及两条对角线上的数之和都相等，这样便构 成了一个“三阶幻方”，图2是仅可以看到部分数值的“三阶幻方”，则其中a,b,C之间的 关系为 试卷第12页（共3页） 洛书 000000000 8 0 图1 图2 32.“铺地锦”是我国古代一种乘法运算方法，可将多位数乘法运算转化为一位数乘法和 简单的加法运算.淇淇受其启发，设计了如图1所示的“表格算法”，图1表示132×23， 运算结果为3036.图2表示一个三位数与一个两位数相乘，表格中部分数据被墨迹覆盖， 根据图2中现有数据进行推断，正确的是() 小方格中的数据是由其 3 所对的两个数相乘得到 的，如：2=1×2 6 41 2 20 4+9=13 满十进 6 2 5 0 2←-9-13 6 0 3 6 图1 图2 A.“2”上边的数是16 B.“5右边的“☐”表示5 C.运算结果小于5000 D.运算结果可以表示为4100a+1025 题型十带有字母的绝对值化简问题 33.若2<a<3,化简a-2+a-3= () A.1 B.2a-5 c.-1 D.5-2a 34,如果m为有理数，则代数式m-+m-3+m+5+m+6的最小值为 a,b a<0,ab<0,a+b<0 35.已知是有理数，且 下列结论： b士a=回，④若a-b=5,e是有理数，且满足 ①b(a+b)>0;②b<-a;③bla-b-a=1 试卷第13页（共3页） h-d3,则a-d=8 2 其中正确个数有() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 题型十一数字类规律探索 2481632 36.按一定规律排列的代数式.xxx7x第n个代数式是（) 2n 2" 2” 2n A.x2m+T B.x2n+T C.x2m可 D.x2n-T 37.如图，填在各正方形中的四个数中间都有相同的规律，根据这种规律，的值是 5 9 -3 32 58 m 3.7.13 2008×2009+1 38.2612 2008×2009 的值在以下两数之间()， A,2007~2008 B.2008~2009 C.2009~2010 D.2010~2011 题型十二图形类规律探索 39.观察下列图形： ☆☆☆ ☆☆☆☆☆ ☆☆☆☆☆☆☆ ☆ ☆ 女 女 第1个图形 第2个图形 第3个图形 它们是按一定规律排列的，依照此规律，第18个图形共有 枚五角星. 40。观察下列“蜂窝图”，按照这样的规律，则第17个图案中的《， 的个数是 个 试卷第14页（共3页) 第1个 第2个 第3个 第4个 41.如图，正五边形ABCDE,有一颗跳棋放在图中的A号位置上，现按顺时针方向，第 一次跳三步到D号位置上，第二次跳三步跳到B号位置上，每次跳三步，一直进行下去. 第56次跳到()号位置上. (D A.A B.B C.c D.D 解答题 1.合并同类项： (1)-3a+5a-6a: 2a-3ar'-7ar 2x2+1-3x+7-3x2+5x (3) ④7y-2+2x2-5y-3x2 2.)化简：5+3wy-[5y-(2y-3g2+y+4y], (2)当x,y满足等式x-++20时，求（中代数式的值. =2x3+3x2y-2xy2+1,B=-2x3+2xy2-3x2y-y3 3.已知 (1)化简：2A-B =-2024,y=-2,求A+B (2)在计算“当 的值”时，小聪同学把。x=-2024。错抄成 x=2024”,但他计算的结果也是正确的，试说明理由，并求出这个结果， 试卷第15页（共3页） 4.已知点A、B在数轴上分别表示有理数a、b,A、B两点之间的距离表示为 AB=a-b (1)数轴上表示2和-3的两点之间的距离是 (2)数轴上表示a和-5的两点A和B之间的距离是 )若数镇上三个有理数A6、c满足a--1,a-d7,则h-的值为一： (4)当a= a+3+a-1+a-4 时， 的值最小，最小值是 5.完成下列小题 ① ② ③ (1)观察下面图中小圆圈的排列方式，你发现了什么规律？ (2)根据(1)中的规律猜想：1+3+5+7+..+99= (3)一般地，你能得到什么猜想？请用代数式表示。 6.某学校数学俱乐部组织了“数字变化引擎”设计大赛.引擎的核心是一个运算程序：输 入一个数，按一定的运算规则进行运算后，输出结果， 【理解与思考】 (1)理解“循环一判断” 小福设计的“数字变化引擎”程序如下： 是 开始 输入x 乘以3 减去5 >10 输出y 结束 否 规定：程序每运行到 为一次运行」 ①若输入x=4,则输出y的值为 ②若该程序第一次运行后就直接输出y值，则x可以为 一（写出一个满足条件的整 数) 【迁移与应用】 (2)利用“循环一判断”进行程序设计 在进一步探究中，小田发现“循环一判断”可以使程序重复执行一段运算，直到满足指定 试卷第16页（共3页） 条件为止.于是他设计了一个运算程序，该程序输入一个任意的两位数，输出结果为一个 定值，程序流程如图： 十位数字乘以7 得到新数 加上个位数字 m 输入一个 计算 是否 是 开始 个位数 输出了→结束 两位数 m-n 位数字加 得到新数 个位数字 n 否 ①若输入的两位数是23，请根据小田设计的运算程序， 写出输出结果和找到结果的过程！ ②若输入的两位数十位数字用a表示，个位数字用b表示，试结合代数式解释：任意输入 一个两位数，该运算程序的结果总是固定的值。 试卷第17页（共3页）