专题03认识有理数知题通关讲义(核心重点+高频易错+题型精讲+拔高练习)2026-2027学年北师大版七年级数学上册

专题03认识有理数知题通关讲义 知识点01:正数与负数的概念 1. 正数 定义：像3、0.5、、+7这样大于 0的数叫做正数。 书写规则：正数前面的 “+”（正号）可以省略不写，如+5可直接写作5。 读法：+5读作 “正五”，省略正号的5直接读 “五”。 2. 负数 定义：在正数前面添上符号 “-”（负号）得到的数叫做负数，如-3、-0.2。 书写规则：负数前面的 “-”绝对不能省略，省略后就变成正数。 读法：-6读作 “负六”，不能读作 “减六”。 3. 数字 0（本节重中之重，易考填空） (1)0既不是正数，也不是负数，是正数与负数的分界； (2)0不只有 “没有” 一层含义，还可表示基准、标准： 温度0C：水结冰的标准温度，不是没有温度； 海拔0米：海平面的基准高度，不是没有高度。 4.概念区分对比表 知识点 02 具有相反意义的量 定义：在日常生活中，人们常用正数、负数来表示一对具有相反意义的量。 表示方法：一般地，对于具有相反意义的量，我们可以把其中一种意义的量规定为正的，并用正数来表示，把与它意义相反的量规定为负的，并用负数来表示。 例如：若规定海平面的海拔高度为0m，珠穆朗玛峰高于海平面 8848.86m，记作 +8848.86m。 知识点03:有理数. 1. 有理数整体划分 有理数分为两大类：整数、分数 (1）整数：正整数、0、负整数； (2）分数：正分数、负分数（有限小数、无限循环小数都属于分数）。 2. 两种分类标准对比表 知识点04:数轴的定义 规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴。 原点、正方向、单位长度称为数轴三要素，三者缺一不可。 1. 三要素详解 原点：在直线上任取一点，表示数字 0；原点是正数、负数的分界点。 正方向：一般规定直线向右为正方向，画上箭头；向左为负方向，无箭头。 单位长度：选取适当长度作为统一标准，原点左右每隔相同长度代表 1 个单位；同一数轴单位长度必须一致。 2.画数轴标准步骤 ① 画一条水平直线； ② 在直线中间标出原点，标注数字 0； ③ 向右画出箭头，规定正方向； ④ 从原点向左、右截取相等线段，依次标注整数：(..,-3,-2,-1,0,1,2,3,..)。 3. 画图常见错误 缺少箭头、无原点、单位长度长短不一； 原点左右数字标注顺序颠倒。 4. 判断数轴对错核心标准 只要缺少任意一个要素、单位长度不统一、无向右箭头，都不是规范数轴。 知识点05数轴上的点与有理数之间的关系 1. 一一对应关系 每个有理数都可以用数轴上的唯一一点来表示； 也可以说，每个有理数都对应数轴上的唯一一点。 说明： 所有有理数（整数、分数、有限小数、无限循环小数）都能在数轴上找到对应的点； 数轴上的点不仅能表示有理数，还能表示无理数（如π、），但本节课只研究有理数部分。 2. 正负数在数轴上的位置规律 设a是一个正数，则： 表示数a的点在数轴的正半轴（原点右侧），与原点的距离是a个单位长度； 表示数-a的点在数轴的负半轴（原点左侧），与原点的距离是a个单位长度。 知识点06:利用数轴比较有理数大小（核心应用） 基本规律：数轴上右边的数总大于左边的数。 大小关系推论： 正数＞0，负数＜0； 正数一定大于负数； 多个数比较：从左到右依次从小到大排列。 知识点07:数轴上点的移动问题（本节难点，考试高频） 1.移动规则 (1)点向右移动：数字变大，做加法； (2)点向左移动：数字变小，做减法。 2.通用计算公式 原数 + 向右移动单位长度 -向左移动单位长度 = 移动后对应的数 典型例题 数轴上点 A 表示-2，先向右移动 3 个单位，再向左移动 5 个单位，终点表示多少？ 解：-2 + 3 - 5 = -4，终点数字为-4。 拓展反向题型 已知点移动后的数字，求原来的数：反向移动，右移变减，左移变加。 知识点08:数轴上两点间的距离 定义：数轴上两点之间线段的长度，距离一定是非负数。 计算方法：两点所表示数字大数 − 小数 例：表示-2和3两点距离：3-(-2)=5。 特殊：一个数到原点的距离，就是这个数去掉正负号后的数值，为后续绝对值铺垫。 知识点09:绝对值 1.定义 数轴上表示一个数的点与原点的距离，叫做这个数的绝对值。 记作：|a|，a为任意有理数。 关键点：距离不可能是负数，因此任意数的绝对值一定是非负数，即 |a|0。 举例：数轴上表示-4的点到原点距离为 4，则|-4|=4；表示0的点就在原点，|0|=0。 2,绝对值代数法则（去绝对值核心） 3:绝对值五大核心性质 1.非负性（最重要） 任意有理数的绝对值|a|0； 推论：若干个绝对值相加等于 0，则每一个绝对值内部都为 0。 例：|x-2|+|y+3|=0，则x-2=0，y+3=0，得x=2，y=-3。 2.互为相反数的两数绝对值相等：|a|=|-a|。 3.若|x|=m(m>0)，则x=m 或 x=-m（一正一负两个解）。 例：|x|=5，x=5或x=-5； 补充：若|x|=0，仅有唯一解x=0。 4.绝对值的乘积、商性质： 5.|a-b|几何含义：数轴上表示a、b两点之间的距离。 知识点10:相反数 (一）两层定义 几何定义：数轴上分别在原点两侧，到原点距离相等的两个点所表示的数，互为相反数，两点关于原点对称。 代数定义：只有符号不同的两个数互为相反数。 补充规定：0 的相反数是 0，0 是唯一相反数等于自身的数。 (二）求相反数的方法 数a的相反数记作-a，即在这个整体前面添加负号。 正数：5的相反数是-5； 负数：-3.2的相反数是-(-3.2)=3.2； 字母、代数式：x的相反数-x；a-b的相反数-(a-b)。 (三）多重符号化简规则 负号个数决定最终符号，口诀：奇负偶正 式子中所有正号可以直接去掉，不影响结果； 数清楚负号总个数：负号为偶数，结果为正；负号为奇数，结果为负。 例： -[-(+7)]，2 个负号，偶数，结果7； -[-(-5)]，3 个负号，奇数，结果-5。 (四）相反数核心等量关系 若a、b互为相反数，则 a+b=0； 反之，若a+b=0，则a、b互为相反数。 1. 仅凭带有“−”号，就判定该数为负数 提醒：-a 不一定是负数；若 a 为负数或0，则 -a 不是负数；判断正负，不能只观察表面符号，应以化简后的结果为准。 2. 将0判定为正数或负数 提醒：0既不是正数，也不是负数；0是正、负数的分界，属于整数、有理数。 3. 把性质符号“负”与运算符号“减”混淆，将−5读作“减5” 提醒：当“−”作为数的性质符号时，−5读作“负5”；“减”用于减法运算，二者意义不同，不可混用。 4. 见到分数形式，就判定该数是分数 提醒：有理数中的分数，必须是两个整数相除且分母不为0； 虽为分数形式，但π是无限不循环小数，它不属于分数，也不是有理数。 5. 认为所有小数都属于分数 提醒：有限小数、无限循环小数可以化为分数，属于有理数；无限不循环小数不能化为分数，不是有理数，也不是分数。 6. 对整数分类时，遗漏0 提醒：整数包含正整数、0、负整数；分类题中常只写出正整数与负整数，忽略0。 7. 误认为有理数就是正数和负数 提醒：有理数分为正有理数、0、负有理数；正数、负数中还包含无限不循环小数（如π），它们不属于有理数。 8. 将非正数等同于负数，将非负数等同于正数 提醒：非正数是负数与0；非负数是正数与0；“非正”“非负”均包含0，不可漏掉。 9. 仅凭带有“+”号，就判定该数为正数 提醒：带有“+”号不代表一定是正数，例如 +(-3)=-3；必须化简之后，才能判定数的正负。 10. 在数集填空时，重复填入同一个数 提醒：一个数可以具备多重属性，但在同一个集合内只能填写一次，不可重复录入。 11. 误认为一个有理数只能属于一个数集 提醒：数的分类依据不同标准；例如0，既是整数，又是非负数；一个数可以同时属于多个不同集合，并不矛盾。 12. 误认为“非正整数”就是非正数与整数简单合并 提醒：非正整数指0和全部负整数；不包含负分数，不能理解为“所有非正数”。 题型 考察方向 难度 题型一 正负数的定义 ★ 题型二 相反意义的量 ★ 题型三 正负数的实际应用 ★ 题型四 有理数的定义 ★ 题型五 有理数的分类 ★ 题型六 带 “非” 字的有理数 ★★ 题型七 数轴的三要素及其画法 ★ 题型八 用数轴上的点表示有理数 ★ 题型九 利用数轴比较有理数的大小 ★★ 题型十 数轴上点的平移 ★★★ 题型十一 数轴上找原点 ★★ 题型十二 数轴上整点覆盖问题 ★★★ 题型十三 数轴上的规律探究 ★★★★ 题型十四 相反数的定义 ★ 题型十五 化简多重符号 ★ 题型十六 相反数的应用 ★★ 题型十七 绝对值的几何意义 ★★ 题型十八 求一个数的绝对值 ★ 题型十九 绝对值非负性 ★★★ 题型二十 绝对值的其他应用 ★★★ 题型二十一 有理数大小比较 ★★ 题型二十二 有理数大小比较的实际应用 ★★ 拔高题 6题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★压轴 题型一 正负数的定义 1．下列四个数中，是负数的是（     ） A． B．0 C．1 D． 2．在下列数：，，，，，，中，正数有______个． 3．算筹是我国古代的计算工具之一，摆法有纵式和横式两种，如下表所示．古人在个位数上划上斜线以表示负数，如“”表示-723，则“”所表示的数是________． 题型二 相反意义的量 4．小满为了记录自己对零花钱的积攒和消费情况，建立了专属小账本，如果积攒100元记作元，那么“元”表示小满（     ） A．积攒80元 B．积攒120元 C．消费80元 D．消费20元 5．如果小明向南走 80 米，记作 米，那么小华从同一地点向北走 50 米，记作________米，这时他们两人相距________米． 6．《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是：今有两数，若其意义相反，则分别叫作正数与负数，如果向东走5米记为米，那么向西走3米记为________米； 7．向东走，记为，那么走，表示（    ） A．向南走 B．向东走 C．向西走 D．向北走 题型三 正负数的实际应用 8．下表记录了桐乡、浦江、富阳、长兴四地的平均海拔（以海拔米为基准，超过记为正，不足记为负）． 桐乡 浦江 富阳 长兴 米 米 米 米 以上四地中平均海拔最低的是（     ） A．桐乡 B．浦江 C．富阳 D．长兴 9．某次数学检测，以分为基准，老师公布的成绩如下：周扬分，王宇分，张江分，则他们三人的实际平均得分为______分． 10．一批食品，标准质量为每袋．现随机抽取个样品进行检测，把超过标准质量的克数用正数表示，不足的克数用负数表示，具体如下表（单位：）． 样品编号 质量 那么，最接近标准质量的样品编号为（   ） A． B． C． D． 题型四 有理数的定义 11．在中，有理数的个数有（   ） A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 12．在下列各数中选出符合条件的数填入相应的集合内： ，0，，，，． 13．有下列说法：①一个有理数不是正数就是负数；②整数和分数统称为有理数；③零是最小的有理数；④绝对值等于它本身的有理数是正数；⑤一定是负数．其中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 题型五 有理数的分类 14．下列关于有理数的分类，正确的是（     ）． A．有理数分为正数和负数 B．有理数分为整数和分数 C．有理数分为正整数、负整数和零 D．有理数分为正有理数和负有理数 15．给出下列各数：，，，，，，，．其中负分数有_______个． 16．下列各数：，，，0，，，11，，其中负分数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型六 带 “非” 字的有理数 17．在，0，，6这四个有理数中，非负数有___________个． 18．在，，0，，，，中，非负整数有（    ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 19．下列说法：是非负整数；非正数包括和负数；非负数就是正整数和；正整数、正分数和都属于非负有理数．其中正确的个数是（    ） A． B． C． D． 题型七 数轴的三要素及其画法 20．下列关于数轴的说法正确的是（     ） A．数轴有原点、正方向，但单位长度不统一 B．数轴有原点、正方向、单位长度，三要素齐全 C．数轴有原点、单位长度，但没有标明正方向 D．数轴有正方向、单位长度，但没有原点 21．如图，下列是四位同学所画的数轴，其中正确的是（    ） A． B． C． D． 22．关于数轴下列作法最准确的是（    ） A．  B     C．   D．   题型八 用数轴上的点表示有理数 23．如图，数轴上的某数，被墨水遮盖，则该数可能是（     ） A． B． C． D． 24．在数轴上表示数a、b、c的结果如图所示，把、、按照由小到大的顺序排列，并用“<”连接_____． 25．如图，将一把损坏的刻度尺贴放在数轴上，刻度尺上的“0”和“2”分别对应数轴上的和0，则数轴上x的值最有可能是（   ） A． B． C． D． 题型九 利用数轴比较有理数的大小 26．在数轴上的位置如图所示，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 27．有理数在数轴上表示的点如图所示，则的大小关系是(    ) A． B． C． D． ∴． 故选：D． 28．已知有理数，，的位置如图，则下列选项中大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 题型十 数轴上点的平移 29．如图，点A表示的数是1．若将点A向左移动2个单位长度得到点，则点表示的数为（   ） A． B． C．2 D．4 30．在数轴上，一点从点A出发，先向正方向移动3个单位长度，再向负方向移动5个单位长度到达点B．若点B表示的数为，则点A表示的数为（   ） A． B． C．5 D． 31．数轴上的点A 、B 、C 、D所表示的数如图所示，点M 为线段的中点，线段沿数轴以每秒2个单位长度向右平移，同时，点D沿数轴以每秒m 个单位长度向左平移．当点M 和点C 重合时同时停止运动．若在运动过程中始终满足，则m 的值为（   ） A．2 B． C．4 D．5 题型十一 数轴上找原点 32．如图，在一条不完整的数轴上，标出A、B、C、D四点，若B点表示的数为正数，则可以是原点的为（     ） A．点A B．点C C．点D D．点A或点C 33．如图，数轴上有三个点，其中是线段的中点，则原点的位置（ ） A．位于线段上，且靠近点 B．位于线段上，且靠近点 C．位于线段上，且靠近点 D．位于线段上，且靠近点 34．有理数，在一条隐藏原点的数轴上，对应点，的位置如图所示，且，下列推断正确的是（     ）． A．原点一定在点左侧 B．不能确定原点的位置 C．原点一定在中点左侧 D．原点一定在中点右侧 题型十二 数轴上整点覆盖问题 35．数轴上表示整数的点称为整点，某数轴的单位长度为，若在数轴上画出一条长的线段，则盖住的整点个数是（　　） A．2023或2024 B．2022或2023 C．2024 D．2023 36．如图所示，小明在写作业时不慎将墨水滴在数轴上，根据图中的数值，墨迹盖住的整数共有（   ）个． A．5 B．6 C．7 D．8 37．数轴上表示整数的点为整点，某数轴的单位长度是1厘米，若在这个数轴上随意放上一根长为整数厘米的火柴棒，该火柴棒能盖住3个整点，则这根火柴棒的长度为_____厘米． 题型十三 数轴上的规律探究 38．三边相等的三角形在数轴上的位置如图所示，点对应的数分别是0，．若三角形绕右下角的顶点沿顺时针方向连续翻转，翻转1次后点对应的数是1，则翻转2025次后，点对应的数是（   ） A．不对应任何数 B．2023 C．2024 D．2025 39．如图，圆的周长为个单位长度，在该圆的四等分点处分别标上数字，，，，先让圆周上表示数字的点与数轴上表示的点重合，再将圆沿着数轴向右滚动，则数轴上表示的点与圆周上表示________的点重合． 40．正六边形（六条边相等）在数轴上的位置如图所示，点A，F对应的数分别为1和0，若正六边形绕顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点B所对应的数为2……按此规律继续翻转下去，数轴上数2026所对应的顶点是（     ） A．点A B．点B C．点C D．点D 题型十四 相反数的定义 41．的相反数是（    ） A． B． C． D． 42．下列各对数中，互为相反数的有（     ） A．与 B．与 C．与 D．与 43．如图是一个正方体的展开图，若相对面上的两个数互为相反数，则等于（    ）    A． B．1 C．7 D． 题型十五 化简多重符号 44．（1）化简_______； （2）化简_______； （3）化简_______． 45．下列化简错误的是（    ） A． B． C． D． 46．下列各式中化简错误的是（    ） A． B． C． D． 题型十六 相反数的应用 47．如果两个有理数的和为0，则这两个有理数的关系是（    ） A．互为倒数 B．互为相反数 C．相等 D．都为0 48．用“”，“”定义新运算：对于任意有理数，都有和．例如，，，则______． 49．桌子上有6只杯口朝上的茶杯，每次翻转其中的4只，经过次翻转可使这6只杯子的杯口全部朝下，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 题型十七 绝对值的几何意义 50．式子取最小值时，等于______． 51．如图，如果有理数a的绝对值是b的绝对值的3倍，那么数轴的原点是A，B，C，D中的哪个点?（ ） A．A点 B．B点 C．C点或D点 D．C点或A点 52．当取得最小值时，x的值为_______． 53．已知，，则的值为（    ） A．2 B．3 C．1或3 D．2或3 题型十八 求一个数的绝对值 54．下列各式中，正确的是（     ） A． B． C． D． 55．比较大小：___________（填“”或“”）． 56．如果一个量的实际值为a，测量值为b，我们把称为绝对误差，称为相对误差．若有一种零件实际长度为5.0cm，测量得4.8cm，则测量所产生的绝对误差是_____cm，相对误差是_____cm． 57．若a≠0，则的值为（　　） A．2 B．0 C．±1 D．0或2 题型十九 绝对值非负性 58．若，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 59．如果是有理数，则的最小值为（　　） A． B． C． D．不存在 60．已知x，y为有理数，且，则的值为__________． 61．若，则的值一定是（    ） A．0 B．负数 C．非负数 D．非正数 题型二十 绝对值的其他应用 62．检测某种零件的质量，将超过标准长度的毫米数记为正数．抽查4个零件的长度记录如下表所示，其中长度最接近标准长度的零件的编号是（） 零件编号 1号 2号 3号 4号 长度/mm A．1号 B．2号 C．3号 D．4号 63．已知：，且abc＞0，a+b+c＝0，m的最大值是x，最小值为y，则x+y＝___． 64．若、为有理数，，，且，那么，，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 题型二十一 有理数大小比较 65．比较的大小，下列判断正确的是（     ） A． B． C． D． 66．a代表有理数，那么，a和的大小关系是（     ） A．a大于 B．a小于 C．a大于或a小于 D．a不一定大于 67．用表示有理数中较大的数，用表示有理数中较小的数，则__________ 68．下列有理数的大小比较，错误的是（   ） A． B． C． D． 题型二十二 有理数大小比较的实际应用 69．下列数据是临沧市某天四个时刻的气温记录．将这四个气温从低到高排列，正确的是（     ） 凌晨6时：  上午10时：  下午2时：   晚上8时： A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 70．如图，记录了三个城市某年一月份的平均气温，其中平均气温最低的城市是 ______． 城市 北京 上海 天津 平均气温 71．下表记录了四个地区的最低海拔，其中海拔最低的地区是（   ） 死海 吐鲁番 乌鲁木齐 青岛 A．死海 B．吐鲁番 C．乌鲁木齐 D．青岛 解答题 1．把下列各数填在相应的集合里： ，，，，，，，，，． 正有理数集合：{______________________…} 负有理数集合：{______________________…}． 整数集合：{______________________…}． 非负整数集合：{______________________…}． 2．如图所示为一个不完整的数轴． (1)请将该数轴补充完整，并将数表示在数轴上； (2)将（1）中的各数按从小到大的顺序用“”连接起来． 3．阅读与思考：认识绝对值 【阅读理解】如下图：两辆巡护车从长治市太行街中点同时出发，一辆向东行驶千米，另一辆向西行驶千米．规定向东为正方向，向西为负方向，则向东记作千米，向西记作千米．我们发现：它们的行驶方向不同，行驶的路程不同，离出发点的距离也不同，分别是千米和千米． 数轴上表示一个数的点到原点的距离，叫做这个数的绝对值，记作“”． 例如：，， 【思考提升】 (1)填空： ①________②________③________④________ 我们发现：正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是去掉负号后的数；的绝对值是． 绝对值永远不会是_____________．（填“正数”“”“负数”） (2)长治市太行街道路巡护车从市政府（原点）出发巡查，向东为正方向，向西为负方向，当天行驶记录如下：，，，（单位：千米） ①请你先填写每次行驶路程的绝对值，再求出巡护车当天总共行驶了多少千米？ 次序 第一次 第二次 第三次 第四次 路程（千米） 绝对值 ②如果巡护车每行驶千米耗油升，当天巡护车耗油多少升？ ③道路巡护车巡查结束后，会停在什么位置？ 4．【信息提取】学习了绝对值的概念后，我们知道：一个非负数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，即当时，；当时，，对于含绝对值的算式，在有些情况下，可以不需要计算出结果就能将绝对值符号去掉，例如：；；，． (1)根据上面的规律，把下列各式写成去掉绝对值符号的形式（不用写出计算结果）： ①_________；②_________． 【拓广应用】 (2)用合适的方法计算：_________________． (3)请利用你探究的结论计算： 5．先阅读下面的材料，然后解答问题： 在一条直线上有依次排列的n（）台机床工作，我们要设置一个零件供应站P，使这n台机床到供应站P的距离总和最小，要解决这个问题先“退”到比较简单的情形． 如图（1），如果直线上有2台机床时，很明显设在和之间的任何地方都行，因为甲和乙所走的距离之和等于和的距离． 如图（2），如果直线上有3台机床时，不难判断，供应站设在中间一台机床，处最合适，因为如果P不放在处，甲和丙所走的距离之和恰好是到的距离，可是乙还得走从到P的这一段，这是多出来的，因此P放在处最佳选择． 不难知道，如果直线上有4台机床，P应设在第二台与第3台之间的任何地方，有5台机床，P应设在第3台位置．问题： (1)有n台机床时，P应设在何处？ (2)根据（1）的结论，求的最小值． 6．如图，在数轴上点表示的数是8，若动点从原点出发，以2个单位/秒的速度向左运动，同时另一动点从点出发，以4个单位/秒的速度也向左运动，到达原点后立即以原来的速度返回，向右运动，设运动的时间为t秒． (1)当时，求点到原点的距离； (2)当时，求点到原点的距离； 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03认识有理数知题通关讲义 知识点01:正数与负数的概念 1. 正数 定义：像3、0.5、、+7这样大于 0的数叫做正数。 书写规则：正数前面的 “+”（正号）可以省略不写，如+5可直接写作5。 读法：+5读作 “正五”，省略正号的5直接读 “五”。 2. 负数 定义：在正数前面添上符号 “-”（负号）得到的数叫做负数，如-3、-0.2。 书写规则：负数前面的 “-”绝对不能省略，省略后就变成正数。 读法：-6读作 “负六”，不能读作 “减六”。 3. 数字 0（本节重中之重，易考填空） (1)0既不是正数，也不是负数，是正数与负数的分界； (2)0不只有 “没有” 一层含义，还可表示基准、标准： 温度0C：水结冰的标准温度，不是没有温度； 海拔0米：海平面的基准高度，不是没有高度。 4.概念区分对比表 知识点 02 具有相反意义的量 定义：在日常生活中，人们常用正数、负数来表示一对具有相反意义的量。 表示方法：一般地，对于具有相反意义的量，我们可以把其中一种意义的量规定为正的，并用正数来表示，把与它意义相反的量规定为负的，并用负数来表示。 例如：若规定海平面的海拔高度为0m，珠穆朗玛峰高于海平面 8848.86m，记作 +8848.86m。 知识点03:有理数. 1. 有理数整体划分 有理数分为两大类：整数、分数 (1）整数：正整数、0、负整数； (2）分数：正分数、负分数（有限小数、无限循环小数都属于分数）。 2. 两种分类标准对比表 知识点04:数轴的定义 规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴。 原点、正方向、单位长度称为数轴三要素，三者缺一不可。 1. 三要素详解 原点：在直线上任取一点，表示数字 0；原点是正数、负数的分界点。 正方向：一般规定直线向右为正方向，画上箭头；向左为负方向，无箭头。 单位长度：选取适当长度作为统一标准，原点左右每隔相同长度代表 1 个单位；同一数轴单位长度必须一致。 2.画数轴标准步骤 ① 画一条水平直线； ② 在直线中间标出原点，标注数字 0； ③ 向右画出箭头，规定正方向； ④ 从原点向左、右截取相等线段，依次标注整数：(..,-3,-2,-1,0,1,2,3,..)。 3. 画图常见错误 缺少箭头、无原点、单位长度长短不一； 原点左右数字标注顺序颠倒。 4. 判断数轴对错核心标准 只要缺少任意一个要素、单位长度不统一、无向右箭头，都不是规范数轴。 知识点05数轴上的点与有理数之间的关系 1. 一一对应关系 每个有理数都可以用数轴上的唯一一点来表示； 也可以说，每个有理数都对应数轴上的唯一一点。 说明： 所有有理数（整数、分数、有限小数、无限循环小数）都能在数轴上找到对应的点； 数轴上的点不仅能表示有理数，还能表示无理数（如π、），但本节课只研究有理数部分。 2. 正负数在数轴上的位置规律 设a是一个正数，则： 表示数a的点在数轴的正半轴（原点右侧），与原点的距离是a个单位长度； 表示数-a的点在数轴的负半轴（原点左侧），与原点的距离是a个单位长度。 知识点06:利用数轴比较有理数大小（核心应用） 基本规律：数轴上右边的数总大于左边的数。 大小关系推论： 正数＞0，负数＜0； 正数一定大于负数； 多个数比较：从左到右依次从小到大排列。 知识点07:数轴上点的移动问题（本节难点，考试高频） 1.移动规则 (1)点向右移动：数字变大，做加法； (2)点向左移动：数字变小，做减法。 2.通用计算公式 原数 + 向右移动单位长度 -向左移动单位长度 = 移动后对应的数 典型例题 数轴上点 A 表示-2，先向右移动 3 个单位，再向左移动 5 个单位，终点表示多少？ 解：-2 + 3 - 5 = -4，终点数字为-4。 拓展反向题型 已知点移动后的数字，求原来的数：反向移动，右移变减，左移变加。 知识点08:数轴上两点间的距离 定义：数轴上两点之间线段的长度，距离一定是非负数。 计算方法：两点所表示数字大数 − 小数 例：表示-2和3两点距离：3-(-2)=5。 特殊：一个数到原点的距离，就是这个数去掉正负号后的数值，为后续绝对值铺垫。 知识点09:绝对值 1.定义 数轴上表示一个数的点与原点的距离，叫做这个数的绝对值。 记作：|a|，a为任意有理数。 关键点：距离不可能是负数，因此任意数的绝对值一定是非负数，即 |a|0。 举例：数轴上表示-4的点到原点距离为 4，则|-4|=4；表示0的点就在原点，|0|=0。 2,绝对值代数法则（去绝对值核心） 3:绝对值五大核心性质 1.非负性（最重要） 任意有理数的绝对值|a|0； 推论：若干个绝对值相加等于 0，则每一个绝对值内部都为 0。 例：|x-2|+|y+3|=0，则x-2=0，y+3=0，得x=2，y=-3。 2.互为相反数的两数绝对值相等：|a|=|-a|。 3.若|x|=m(m>0)，则x=m 或 x=-m（一正一负两个解）。 例：|x|=5，x=5或x=-5； 补充：若|x|=0，仅有唯一解x=0。 4.绝对值的乘积、商性质： 5.|a-b|几何含义：数轴上表示a、b两点之间的距离。 知识点10:相反数 (一）两层定义 几何定义：数轴上分别在原点两侧，到原点距离相等的两个点所表示的数，互为相反数，两点关于原点对称。 代数定义：只有符号不同的两个数互为相反数。 补充规定：0 的相反数是 0，0 是唯一相反数等于自身的数。 (二）求相反数的方法 数a的相反数记作-a，即在这个整体前面添加负号。 正数：5的相反数是-5； 负数：-3.2的相反数是-(-3.2)=3.2； 字母、代数式：x的相反数-x；a-b的相反数-(a-b)。 (三）多重符号化简规则 负号个数决定最终符号，口诀：奇负偶正 式子中所有正号可以直接去掉，不影响结果； 数清楚负号总个数：负号为偶数，结果为正；负号为奇数，结果为负。 例： -[-(+7)]，2 个负号，偶数，结果7； -[-(-5)]，3 个负号，奇数，结果-5。 (四）相反数核心等量关系 若a、b互为相反数，则 a+b=0； 反之，若a+b=0，则a、b互为相反数。 1. 仅凭带有“−”号，就判定该数为负数 提醒：-a 不一定是负数；若 a 为负数或0，则 -a 不是负数；判断正负，不能只观察表面符号，应以化简后的结果为准。 2. 将0判定为正数或负数 提醒：0既不是正数，也不是负数；0是正、负数的分界，属于整数、有理数。 3. 把性质符号“负”与运算符号“减”混淆，将−5读作“减5” 提醒：当“−”作为数的性质符号时，−5读作“负5”；“减”用于减法运算，二者意义不同，不可混用。 4. 见到分数形式，就判定该数是分数 提醒：有理数中的分数，必须是两个整数相除且分母不为0； 虽为分数形式，但π是无限不循环小数，它不属于分数，也不是有理数。 5. 认为所有小数都属于分数 提醒：有限小数、无限循环小数可以化为分数，属于有理数；无限不循环小数不能化为分数，不是有理数，也不是分数。 6. 对整数分类时，遗漏0 提醒：整数包含正整数、0、负整数；分类题中常只写出正整数与负整数，忽略0。 7. 误认为有理数就是正数和负数 提醒：有理数分为正有理数、0、负有理数；正数、负数中还包含无限不循环小数（如π），它们不属于有理数。 8. 将非正数等同于负数，将非负数等同于正数 提醒：非正数是负数与0；非负数是正数与0；“非正”“非负”均包含0，不可漏掉。 9. 仅凭带有“+”号，就判定该数为正数 提醒：带有“+”号不代表一定是正数，例如 +(-3)=-3；必须化简之后，才能判定数的正负。 10. 在数集填空时，重复填入同一个数 提醒：一个数可以具备多重属性，但在同一个集合内只能填写一次，不可重复录入。 11. 误认为一个有理数只能属于一个数集 提醒：数的分类依据不同标准；例如0，既是整数，又是非负数；一个数可以同时属于多个不同集合，并不矛盾。 12. 误认为“非正整数”就是非正数与整数简单合并 提醒：非正整数指0和全部负整数；不包含负分数，不能理解为“所有非正数”。 题型 考察方向 难度 题型一 正负数的定义 ★ 题型二 相反意义的量 ★ 题型三 正负数的实际应用 ★ 题型四 有理数的定义 ★ 题型五 有理数的分类 ★ 题型六 带 “非” 字的有理数 ★★ 题型七 数轴的三要素及其画法 ★ 题型八 用数轴上的点表示有理数 ★ 题型九 利用数轴比较有理数的大小 ★★ 题型十 数轴上点的平移 ★★★ 题型十一 数轴上找原点 ★★ 题型十二 数轴上整点覆盖问题 ★★★ 题型十三 数轴上的规律探究 ★★★★ 题型十四 相反数的定义 ★ 题型十五 化简多重符号 ★ 题型十六 相反数的应用 ★★ 题型十七 绝对值的几何意义 ★★ 题型十八 求一个数的绝对值 ★ 题型十九 绝对值非负性 ★★★ 题型二十 绝对值的其他应用 ★★★ 题型二十一 有理数大小比较 ★★ 题型二十二 有理数大小比较的实际应用 ★★ 拔高题 6题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★压轴 题型一 正负数的定义 1．下列四个数中，是负数的是（     ） A． B．0 C．1 D． 【答案】A 【详解】解：是负数． 2．在下列数：，，，，，，中，正数有______个． 【答案】 【分析】本题考查了正负数定义，利用正负数的定义进行解答即可，解题的关键是正确理解既不是正数也不是负数．是正负数的分界点，正数是大于的数，负数是小于的数． 【详解】解：，是正数； ，是正数； ，不是正数； ，不是正数； ，是正数； 既不是正数也不是负数； ，不是正数。 因此正数有个， 故答案为：． 3．算筹是我国古代的计算工具之一，摆法有纵式和横式两种，如下表所示．古人在个位数上划上斜线以表示负数，如“”表示-723，则“”所表示的数是________． 【答案】 【分析】本题考查古代数学问题，读懂题意是解决问题的关键． 由算筹与数字的对应表，以及在个位数上划上斜线以表示负数即可得到答案． 【详解】 解：由算筹与数字的对应表，以及在个位数上划上斜线以表示负数，可知，“”所表示的数是， 故答案为：． 题型二 相反意义的量 4．小满为了记录自己对零花钱的积攒和消费情况，建立了专属小账本，如果积攒100元记作元，那么“元”表示小满（     ） A．积攒80元 B．积攒120元 C．消费80元 D．消费20元 【答案】D 【详解】解：∵积攒100元记作元，即积攒记为正， ∴与积攒意义相反的消费记为负， ∴元表示消费20元． 5．如果小明向南走 80 米，记作 米，那么小华从同一地点向北走 50 米，记作________米，这时他们两人相距________米． 【答案】 130 【分析】根据正负数的意义，题目规定向南走为正，则与南方向相反的向北走记为负，两人行走方向相反，两人的距离为两人行走路程的和，据此分析求解． 【详解】由正负数表示相反意义的量可得，向北走50米记作米， 计算两人相距的距离： （米）． 6．《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是：今有两数，若其意义相反，则分别叫作正数与负数，如果向东走5米记为米，那么向西走3米记为________米； 【答案】 【分析】根据向东走记为“+”，得到向西走则记为“－”． 【详解】∵向东走5米记为米， ∴向西走3米可记为米， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了正数和负数，解答本题的关键是熟练掌握用正数和负数表示相反意义的量． 7．向东走，记为，那么走，表示（    ） A．向南走 B．向东走 C．向西走 D．向北走 【答案】C 【分析】首先审清题意，明确“正”和“负”所表示的意义，再根据题意作答即可． 【详解】解：由题意知：向东走为“+”，则向西走为“”，所以表示向西走， 故选：C． 【点睛】本题考查了具有相反意义的量，解题的关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量，在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示． 题型三 正负数的实际应用 8．下表记录了桐乡、浦江、富阳、长兴四地的平均海拔（以海拔米为基准，超过记为正，不足记为负）． 桐乡 浦江 富阳 长兴 米 米 米 米 以上四地中平均海拔最低的是（     ） A．桐乡 B．浦江 C．富阳 D．长兴 【答案】A 【分析】根据基准计算出四地实际平均海拔，再比较大小即可解答． 【详解】解：∵ 以米为基准， ∴四地实际平均海拔分别为：桐乡： 米，浦江： 米，富阳： 米，长兴： 米． ∴ 比较大小可得 ． ∴ 四地中平均海拔最低的是桐乡． 9．某次数学检测，以分为基准，老师公布的成绩如下：周扬分，王宇分，张江分，则他们三人的实际平均得分为______分． 【答案】 【分析】本题考查了正负数的意义，根据正数和负数的意义列式计算即可得解，正确理解在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示． 【详解】解：由题意得， 故答案为：． 10．一批食品，标准质量为每袋．现随机抽取个样品进行检测，把超过标准质量的克数用正数表示，不足的克数用负数表示，具体如下表（单位：）． 样品编号 质量 那么，最接近标准质量的样品编号为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了绝对值的意义，正负数的意义，直接利用正负数的意义以及绝对值的意义可得最接近标准是哪一袋，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵超过标准质量的克数用正数表示，不足的克数用负数表示， ∴， ∴最接近标准质量的样品编号是， 故选：B． 题型四 有理数的定义 11．在中，有理数的个数有（   ） A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 【答案】C 【分析】本题主要考查了有理数的识别，有理数是分数和整数的统称，据此可得答案． 【详解】解：在中，有理数有，共4个， 故选：C． 12．在下列各数中选出符合条件的数填入相应的集合内： ，0，，，，． 【答案】正数集：，；负整数集：；整数集：，， 【分析】利用正数，负整数以及整数的定义填数即可． 【详解】解：正数是大于0的数，有，； 负整数是小于0的整数，有； 整数是指不含小数部分的数，有，，． 13．有下列说法：①一个有理数不是正数就是负数；②整数和分数统称为有理数；③零是最小的有理数；④绝对值等于它本身的有理数是正数；⑤一定是负数．其中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题考查有理数的概念，有理数的分类，绝对值，负数，掌握相关知识是解决问题的关键．根据相关知识逐一判断每个说法的正误． 【详解】解：∵ 有理数包括正数、负数和零，零既不是正数也不是负数， ∴ 说法①错误； ∵ 有理数是整数和分数的统称， ∴ 说法②正确； ∵ 有理数中包含负数，负数小于零， ∴ 说法③错误； ∵ 绝对值等于它本身的数是非负数， ∴ 说法④错误； ∵可能是负数、正数或零，取决于a的取值， ∴ 说法⑤错误． 综上，只有说法②正确，故正确的个数是1． 故选：A． 题型五 有理数的分类 14．下列关于有理数的分类，正确的是（     ）． A．有理数分为正数和负数 B．有理数分为整数和分数 C．有理数分为正整数、负整数和零 D．有理数分为正有理数和负有理数 【答案】B 【分析】依据有理数分类不重不漏、标准统一的原则逐项判断即可． 【详解】解：A．有理数分为正数、负数和零，故选项A不符合题意； B．有理数分为整数和分数，故选项B符合题意； C．有理数分为正整数、负整数和零，遗漏了分数，故选项C不符合题意； D．有理数分为正有理数、负有理数和零，故选项D不符合题意． 15．给出下列各数：，，，，，，，．其中负分数有_______个． 【答案】2 【分析】根据小于0的分数是负分数的定义，逐个判断给出的数即可得到结果． 【详解】解：逐个判断各数：是负整数，不属于负分数；是整数，不属于负分数；是正整数，不属于负分数；是小于0的有限小数，属于分数，因此是负分数；是小于0的分数，因此是负分数；是正整数，不属于负分数；是正分数，不属于负分数；是负整数，不属于负分数；综上，负分数共有2个． 16．下列各数：，，，0，，，11，，其中负分数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】有限小数、无限循环小数都可以化为分数，从中找出负分数即可． 【详解】解：，是负分数，有2个． 故选：B． 【点睛】本题考查有理数的意义，掌握有理数的分类、理解有理数的意义和形式是解题的关键． 题型六 带 “非” 字的有理数 17．在，0，，6这四个有理数中，非负数有___________个． 【答案】 【分析】根据非负数的定义，逐一判断给定的四个有理数，统计符合条件的个数即可． 【详解】解：非负数指大于或等于的数，在，，，， 这四个数中，，是负数， ，是非负数， ，是负数， ，是非负数， 因此非负数共有个． 18．在，，0，，，，中，非负整数有（    ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【答案】A 【分析】本题先明确非负整数的定义为0和正整数，再对题干中带符号、绝对值的数进行化简，最后逐一判断找出符合要求的数，统计个数即可． 【详解】解：∵ 非负整数是指0和正整数， ，， ∴非负整数是，，，共个． 19．下列说法：是非负整数；非正数包括和负数；非负数就是正整数和；正整数、正分数和都属于非负有理数．其中正确的个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了非负整数、非正数、非负数以及非负有理数的概念，掌握以上知识点是解答本题的关键． 根据非负整数、非正数、非负数以及非负有理数的概念逐个判断即可解答． 【详解】解：是负整数，错误； 非正数包括和负数，正确； 非负数就是正数和，错误； 正整数、正分数和都属于非负有理数，正确； 其中正确的个数是个， 故选：C． 题型七 数轴的三要素及其画法 20．下列关于数轴的说法正确的是（     ） A．数轴有原点、正方向，但单位长度不统一 B．数轴有原点、正方向、单位长度，三要素齐全 C．数轴有原点、单位长度，但没有标明正方向 D．数轴有正方向、单位长度，但没有原点 【答案】B 【分析】考查数轴的三要素及其画法，掌握数轴的三要素是解题的关键． 【详解】解：选项中，单位长度不统一，画法错误； 选项中，数轴三要素齐全，画法正确； 选项中，未标明正方向，画法错误； 选项中，没有原点，画法错误． 21．如图，下列是四位同学所画的数轴，其中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了数轴的定义，熟练掌握规定了原点、正方向和单位长度的直线叫数轴，且数轴的单位长度相同是解题的关键，根据数轴的定义作出判断即可． 【详解】解：A、没有正方向，故本选项错误，不符合题意； B、单位长度不一致，故本选项错误，不符合题意； C、所画数轴正确，故本选项正确，符合题意； D、单位长度不一致，故本选项错误，不符合题意； 故选：C． 22．关于数轴下列作法最准确的是（    ） A．   B．     C．   D．   【答案】C 【分析】根据数轴必须具备的三个要素：正方向、原点和单位长度逐项进行判断即可． 【详解】解：、数轴应该是一条直线，本选项的数轴左侧应该出头，故错误，不符合题意； 、本选项的数轴没有正方向，故错误，不符合题意； 、本选项的数轴具备数轴的三要素，正确，符合题意； 、本选项的数轴没有原点，故错误，不符合题意． 故选：． 【点睛】本题考查了数轴的定义，熟练掌握数轴的三要素：正方向、原点和单位长度，是解答本题的关键． 题型八 用数轴上的点表示有理数 23．如图，数轴上的某数，被墨水遮盖，则该数可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据被墨水遮盖住的数字在和之间，且接近中间的位置，可知被墨水遮盖住的数字可能是． 【详解】解：由图可知，被墨水遮盖住的数字在和之间，且接近中间的位置， 被墨水遮盖住的数字可能是． 24．在数轴上表示数a、b、c的结果如图所示，把、、按照由小到大的顺序排列，并用“<”连接_____． 【答案】 【分析】本题考查绝对值，根据数轴上点的位置，绝对值的意义解题即可． 【详解】解：∵，且靠近，且远离， ∴， 故答案为：． 25．如图，将一把损坏的刻度尺贴放在数轴上，刻度尺上的“0”和“2”分别对应数轴上的和0，则数轴上x的值最有可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了用数轴上的点表示有理数，掌握数形结合思想成为解题的关键． 根据数轴上x的值在刻度尺的和之间，得出数轴上x的值的取值范围即可求解． 【详解】解∶由图可知：刻度尺上在数轴上表示一个单位长度， ∵数轴上x的值在刻度尺的和之间， ∴数轴上x的值的取值范围是，即， ∴仅有D选项符合题意． 故选：D． 题型九 利用数轴比较有理数的大小 26．在数轴上的位置如图所示，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了根据数轴比较大小． 根据数轴可知，进而判断即可． 【详解】解：由数轴可知， ∴，，， 只有C正确． 故选：C． 27．有理数在数轴上表示的点如图所示，则的大小关系是(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查利用数轴比较有理数的大小，考查相反数的概念，以及有理数的大小比较规则(数轴上左边的数小于右边的数)，在数轴上表示出，即可得出答案． 【详解】解：由题意可知，在数轴上的位置如图所示， ∴． 故选：D． 28．已知有理数，，的位置如图，则下列选项中大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查数轴上的点表示的数以及大小关系、绝对值，熟练掌握数轴上的点表示的数以及大小关系、绝对值是解决本题的关键． 根据数轴上的点表示的数以及大小关系、绝对值解决此题． 【详解】解：根据数轴可得，， ， A、，错误，故不符合题意； B、，错误，故不符合题意； C、，错误，故不符合题意； D、正确，故符合题意， 故选：D． 题型十 数轴上点的平移 29．如图，点A表示的数是1．若将点A向左移动2个单位长度得到点，则点表示的数为（   ） A． B． C．2 D．4 【答案】B 【详解】解：由数轴可知，点A表示的数是1，向左移动2个单位对应的数是，只有B正确． 30．在数轴上，一点从点A出发，先向正方向移动3个单位长度，再向负方向移动5个单位长度到达点B．若点B表示的数为，则点A表示的数为（   ） A． B． C．5 D． 【答案】D 【分析】本题考查了数轴上点的移动规律，解决本题的关键是掌握点的移动规律．通过点B的位置通过两次反方向移动得到点A的位置. 【详解】解：点B是点A两次移动后的位置， 故点B向正方向移动5个单位长度，再向负方向移动3个单位长度得到点A. 点B表示的数为，向正方向移动5个单位得; 再向负方向移动3个单位得： 故答案为：D． 31．数轴上的点A 、B 、C 、D所表示的数如图所示，点M 为线段的中点，线段沿数轴以每秒2个单位长度向右平移，同时，点D沿数轴以每秒m 个单位长度向左平移．当点M 和点C 重合时同时停止运动．若在运动过程中始终满足，则m 的值为（   ） A．2 B． C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题考查了数轴上点的平移（动点问题），由题意得：开始运动前，点M 表示的数为：，，推出开始运动后，，即可求解． 【详解】解：由题意得：开始运动前，点M 表示的数为：，， 开始运动后，， ∵， ∴，整理得：； ∵在运动过程中始终满足， ∴，解得：， 故选：C． 题型十一 数轴上找原点 32．如图，在一条不完整的数轴上，标出A、B、C、D四点，若B点表示的数为正数，则可以是原点的为（     ） A．点A B．点C C．点D D．点A或点C 【答案】A 【详解】解：∵B点表示的数为正数， ∴原点在B点的左边， ∴可以是原点的为点A． 33．如图，数轴上有三个点，其中是线段的中点，则原点的位置（ ） A．位于线段上，且靠近点 B．位于线段上，且靠近点 C．位于线段上，且靠近点 D．位于线段上，且靠近点 【答案】D 【分析】本题考查了数轴上找原点，据中点求出点表示的数，进而即可求解，理解中点和数轴的定义是解题的关键． 【详解】解：是线段的中点， 点表示的数是， ∴原点位于线段上，且靠近点， 故选：． 34．有理数，在一条隐藏原点的数轴上，对应点，的位置如图所示，且，下列推断正确的是（     ）． A．原点一定在点左侧 B．不能确定原点的位置 C．原点一定在中点左侧 D．原点一定在中点右侧 【答案】D 【分析】根据越在数轴的右边数越大，运用，得，则原点一定在中点右侧，即可作答． 【详解】解：∵有理数，在数轴上的对应点，的位置，且， ∴， ∴， ∴的中点位置是小于的， ∴原点一定在中点右侧． 题型十二 数轴上整点覆盖问题 35．数轴上表示整数的点称为整点，某数轴的单位长度为，若在数轴上画出一条长的线段，则盖住的整点个数是（　　） A．2023或2024 B．2022或2023 C．2024 D．2023 【答案】A 【分析】本题考查了数轴上线段与整点的数量关系，解题的关键是分线段端点是否落在整点上两种情况讨论，避免遗漏其中一种可能性． 当线段的两个端点均在整点上时，盖住的整点个数等于线段长度加1；当线段的两个端点均不在整点上时，盖住的整点个数等于线段长度；结合线段长为，可得出盖住的整点个数为2023或2024． 【详解】解：分两种情况讨论线段与整点的位置关系： 情况一：若线段的两个端点均落在整点上． ∵数轴单位长度为，线段长， ∴盖住的整点个数为线段长度加，即； 情况二：若线段的两个端点均不落在整点上． ∵端点在两个整点之间，线段长度为， ∴盖住的整点个数等于线段长度，即2023． 综上，线段盖住的整点个数是2023或2024， 故选：A． 36．如图所示，小明在写作业时不慎将墨水滴在数轴上，根据图中的数值，墨迹盖住的整数共有（   ）个． A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】本题主要考查了数轴与有理数，根据数轴和有理数的分类可知被墨迹盖住的整数有：，，，，0，1，2，进而可得出答案． 【详解】解：根据数轴可知，被墨迹盖住的整数有：，，，，0，1，2， 一共有7个， 故选C 37．数轴上表示整数的点为整点，某数轴的单位长度是1厘米，若在这个数轴上随意放上一根长为整数厘米的火柴棒，该火柴棒能盖住3个整点，则这根火柴棒的长度为_____厘米． 【答案】3或2 【分析】本题考查了数轴，解题的关键是找出长度为n（n为正整数）的线段盖住n或个整点，本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，分端点是否与整点重合两种情况来考虑是关键． 由于若火柴棒的端点恰好与整点重合，则1厘米长的线段盖住2个整点，若火柴棒的端点不与整点重合，则1厘米长的线段盖住1个整点，据此分析即可求解． 【详解】解：长度为n（n为正整数）的线段盖住n或个整点，． ∴长度为m的火柴棒能盖住的3个整点时，火柴棒的长度厘米或，即厘米， 故答案为：3或2． 题型十三 数轴上的规律探究 38．三边相等的三角形在数轴上的位置如图所示，点对应的数分别是0，．若三角形绕右下角的顶点沿顺时针方向连续翻转，翻转1次后点对应的数是1，则翻转2025次后，点对应的数是（   ） A．不对应任何数 B．2023 C．2024 D．2025 【答案】A 【分析】本题考查了数轴以及数字变化规律，根据点的变化，找出变化规律是解题的关键． 根据每次翻转后点的变化规律进行计算即可得出答案． 【详解】解：由题意可得，在翻转的过程中，点对应的数依次为空、空、 故每次翻转为一个循环组 ， 翻转次后，点不在数轴上． 故选：A． 39．如图，圆的周长为个单位长度，在该圆的四等分点处分别标上数字，，，，先让圆周上表示数字的点与数轴上表示的点重合，再将圆沿着数轴向右滚动，则数轴上表示的点与圆周上表示________的点重合． 【答案】 【分析】本题考查了数轴，解决本题的关键是找出圆滚动的规律与数轴上的数字的对应关系，表示圆从数轴上表示的位置开始滚动了周，又滚动了个单位长度，所以数轴上表示的数与圆上表示的点重合． 【详解】解：由图可知，数轴上表示的数字与圆上表示的点重合， 数轴上表示的点与圆上表示的点重合， 数轴上表示的点与圆上表示的点重合， 数轴上表示的点与圆上表示的点重合， 数轴上表示的点与圆上表示的点重合， 数轴上的数从开始每个一循环，分别与圆上的、、、重合， ， 表示圆在数轴上滚动了个循环，第个循环滚动了个数， 数轴上表示的数与圆上表示的点重合． 故答案为：． 40．正六边形（六条边相等）在数轴上的位置如图所示，点A，F对应的数分别为1和0，若正六边形绕顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点B所对应的数为2……按此规律继续翻转下去，数轴上数2026所对应的顶点是（     ） A．点A B．点B C．点C D．点D 【答案】D 【分析】根据正六边形翻转规律，确定数轴上整数点对应的顶点呈周期性变化，周期为6，据此解答即可． 【详解】解：由题意得，点，，，，，对应的数分别为0，1，2，3，4，5， 点再次对应的数为6，点再次对应的数为7， 顶点对应的数以6为周期循环， ， 数2026对应的顶点与数4对应的顶点相同，即为点． 题型十四 相反数的定义 41．的相反数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：的相反数为． 42．下列各对数中，互为相反数的有（     ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【详解】解：A、，，两数相等，不符合； B、，，两数相等，不符合； C、，，两数相等，不符合； D、，与互为相反数，符合． 43．如图是一个正方体的展开图，若相对面上的两个数互为相反数，则等于（    ）    A． B．1 C．7 D． 【答案】D 【分析】本题考查了正方体相对两个面上的文字，注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题． 利用正方体及其表面展开图的特点即相反数的定义求出，，，进而代入计算即可． 【详解】解：这是一个正方体的平面展开图，共有六个面，其中面a的相对面是，b的相对面是0，c的相对面是4， ∵相对面的两个数都互为相反数， ∴，，， ∴． 故选：D． 题型十五 化简多重符号 44．（1）化简_______； （2）化简_______； （3）化简_______． 【答案】 【详解】解：（1）； （2）； （3）． 45．下列化简错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查有理数的多重符号的化简和绝对值的概念．根据绝对值及化简多重符号进行判断即可． 【详解】解：A．，化简正确，故该选项不符合题意； B．，化简正确，故该选项不符合题意； C．，故原选项化简错误，符合题意； D．，化简正确，故该选项不符合题意． 故选：C． 46．下列各式中化简错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了化简绝对值和化简多重符号，若，则；若，则，再结合化简多重符号的方法对各选项的条件进行化简判断即可得到答案． 【详解】解：A、，原式化简错误，符合题意； B、，原式化简正确，不符合题意； C、，原式化简正确，不符合题意； D、，原式化简正确，不符合题意； 故选：A 题型十六 相反数的应用 47．如果两个有理数的和为0，则这两个有理数的关系是（    ） A．互为倒数 B．互为相反数 C．相等 D．都为0 【答案】B 【分析】根据互为相反数的两个数的和为0，解答即可． 本题考查了相反数的性质，熟练掌握相反数的性质是解题的关键． 【详解】解：互为相反数的两个数的和为0， 故两个有理数的和为0，这两个数一定是互为相反数． 故选：B． 48．用“”，“”定义新运算：对于任意有理数，都有和．例如，，，则______． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的新定义运算，相反数的定义，根据新定义可得，，进而即可求解，理解新定义是解题的关键． 【详解】解：由题意得，，， ∴， 故答案为：． 49．桌子上有6只杯口朝上的茶杯，每次翻转其中的4只，经过次翻转可使这6只杯子的杯口全部朝下，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】用“+”表示杯口朝上，用“-”表示杯口朝下，找出最少翻转次数能使杯口全部朝下的情况即可得答案． 【详解】用“+”表示杯口朝上，用“-”表示杯口朝下， 开始时+ + + + + + 第一次- - - - + + 第二次- + + + - + 第三次- - - - - - ∴n的最小值为3． 故选：B． 【点睛】本题考查正负数的应用，解题的思路是用正负号来表示杯口的朝向，尝试用最少的次数使杯口全部朝下． 题型十七 绝对值的几何意义 50．式子取最小值时，等于______． 【答案】 【分析】本题考查绝对值的非负性．解题的关键在于理解绝对值的性质，即绝对值一定是非负的，当绝对值内的值为0时，绝对值取得最小值0，进而求出x的值． 【详解】， 当时，取最小值， 即时，解得． 故答案为：． 51．如图，如果有理数a的绝对值是b的绝对值的3倍，那么数轴的原点是A，B，C，D中的哪个点?（ ） A．A点 B．B点 C．C点或D点 D．C点或A点 【答案】C 【分析】本题考查了绝对值的定义：数轴上表示一个数的点到原点的距离是这个数的绝对值．根据定义分析原定的位置． 【详解】解：如果A是原点，，不合题意． 如果B是原点，，不合题意． 如果C是原点，，正确． 如果D是原点，，正确． ∴数轴的原点是C或D点． 故选：C． 52．当取得最小值时，x的值为_______． 【答案】1 【详解】解：根据题意可得，表示数x的点与表示数的点，与表示数的点，与表示数的点的距离之和，且表示数的点在表示数的点和表示数的点之间， 根据两点之间线段最短可知， 当x的值为1时，取得最小值为． 53．已知，，则的值为（    ） A．2 B．3 C．1或3 D．2或3 【答案】C 【分析】本题主要考查了绝对值的意义，解题的关键是熟练掌握绝对值的性质．根据，，得出，，然后分情况进行讨论即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴，， 当，时，； 当，时，； 当，时，； 当，时，； 综上分析可知，的值为1或3． 故选：C． 题型十八 求一个数的绝对值 54．下列各式中，正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据绝对值的定义，即可判断． 【详解】解：A、∵，∴选项结论错误，故选项不符合题意； B、∵，∴选项结论错误，故选项不符合题意； C、∵，∴选项结论正确，故选项符合题意； D、∵，∴选项结论错误，故选项不符合题意． 55．比较大小：___________（填“”或“”）． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的大小比较，先化简两个表达式，再根据负数比较大小的法则：绝对值越大，负数越小，由此求解即可． 【详解】解：，， ，， ， ． 故答案为：． 56．如果一个量的实际值为a，测量值为b，我们把称为绝对误差，称为相对误差．若有一种零件实际长度为5.0cm，测量得4.8cm，则测量所产生的绝对误差是_____cm，相对误差是_____cm． 【答案】 0.2 0.04 【分析】按照给出的定义计算即可. 【详解】解：∵a=5，b=4.8， ∴绝对误差是 =|5-4.8| =0.2（cm）， ∴相对误差是 = =0.04（cm）. 故答案为0.2cm，0.04cm . 【点睛】本题考查了新定义问题,绝对值的计算，理解新定义，并按照要求准确计算是解题的关键. 57．若a≠0，则的值为（　　） A．2 B．0 C．±1 D．0或2 【答案】D 【分析】对的大小进行分类讨论去绝对值即可． 【详解】解：当时，； 当时，； 故选：D． 【点睛】本题考查求一个数的绝对值，①当a是正数时，；②当a是负数时，． 题型十九 绝对值非负性 58．若，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据绝对值的意义解题即可. 【详解】解：由题可知：， 解得：， 故选A. 【点睛】本题考查绝对值的意义，熟练掌握绝对值的性质是解题的关键. 59．如果是有理数，则的最小值为（　　） A． B． C． D．不存在 【答案】C 【分析】要使的值最小，即的值最小，根据绝对值的非负性可得的最小值为0，代入进行计算即可得到答案． 【详解】解：要使的值最小，即的值最小， ， 的最小值为0， 的最小值为， 故选：C． 【点睛】本题考查了绝对值非负性的应用，熟练掌握此知识点，准确进行计算是解此题的关键． 60．已知x，y为有理数，且，则的值为__________． 【答案】0 【分析】本题主要考查了绝对值的性质．根据绝对值的非负性可得，从而得到，进而得到，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴． 故答案为：0． 61．若，则的值一定是（    ） A．0 B．负数 C．非负数 D．非正数 【答案】D 【分析】根据绝对值的非负性即可得到答案． 【详解】解：， 的值一定是非正数， 故选：D． 【点睛】本题考查了绝对值的性质，熟练掌握绝对值的性质是解题的关键． 题型二十 绝对值的其他应用 62．检测某种零件的质量，将超过标准长度的毫米数记为正数．抽查4个零件的长度记录如下表所示，其中长度最接近标准长度的零件的编号是（） 零件编号 1号 2号 3号 4号 长度/mm A．1号 B．2号 C．3号 D．4号 【答案】C 【分析】本题考查绝对值的意义，通过比较各数与0的绝对距离来确定最接近标准长度的零件． 【详解】∵最接近标准长度的零件是其长度偏差的绝对值最小， ∴计算各偏差的绝对值： ， ， ， ， ∵， ∴3号零件的绝对值最小，故最接近标准长度． 故选：C． 63．已知：，且abc＞0，a+b+c＝0，m的最大值是x，最小值为y，则x+y＝___． 【答案】-4 【分析】利用有理数的性质，由abc＞0，a+b+c=0可判断a、b、c中有两个负数，一个正数，由于，则当a＜0，c＜0，b＞0，m有最大值，当a＞0，c＜0，b＜0，m有最小值，然后利用绝对值的意义计算出x、y即可． 【详解】解：∵abc＞0，a+b+c=0， ∴a、b、c中有两个负数，一个正数， ∵， ∴当a＜0，c＜0，b＞0，m有最大值，即m=-1-2+3=0； 当a＞0，c＜0，b＜0，m有最小值，即m=1-2-3=-4， ∴x+y=0+（-4）=-4． 故答案为：-4． 【点睛】本题考查了绝对值：若a＞0，则|a|=a；若a=0，则|a|=0；若a＜0，则|a|=-a． 64．若、为有理数，，，且，那么，，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据，，且，可得，，，据此判断出，，的大小关系即可． 【详解】解：∵，，且， ∴，，， ∴， ∴． 故选：C． 【考点】本题主要考查了有理数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小． 题型二十一 有理数大小比较 65．比较的大小，下列判断正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵是正数，，是负数， ∴，． ∵，，， ∴， ∴． 66．a代表有理数，那么，a和的大小关系是（     ） A．a大于 B．a小于 C．a大于或a小于 D．a不一定大于 【答案】D 【分析】的取值不确定，需分正、负、0三类讨论与的大小关系． 【详解】解：当时，； 当时，； 当时，， 故不一定大于． 67．用表示有理数中较大的数，用表示有理数中较小的数，则__________ 【答案】 【分析】本题考查了新定义，有理数的大小比较，由题意可知，，再比较即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：由题意可知， ，， ∵， ∴， 故答案为：． 68．下列有理数的大小比较，错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了有理数的大小比较，根据有理数大小比较的法则：正数都大于；负数都小于；正数大于一切负数；两个负数，绝对值大的其值反而小，据此判断即可，熟练掌握相关方法是解题关键． 【详解】、∵， ∴，此选项正确，不符合题意； 、∵，， ∴， ∴，此选项错误，符合题意； 、∵，， ∴， ∴，此选项正确，不符合题意； 、∵， ∴，此选项正确，不符合题意； 故选：． 题型二十二 有理数大小比较的实际应用 69．下列数据是临沧市某天四个时刻的气温记录．将这四个气温从低到高排列，正确的是（     ） 凌晨6时：  上午10时：  下午2时：   晚上8时： A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【答案】A 【分析】有理数的大小比较法则：正数大于0，负数小于0，正数大于负数，两个负数，绝对值大的反而小． 【详解】解：四个气温数值为，，，. ， ∴从低到高排列为，，，． 70．如图，记录了三个城市某年一月份的平均气温，其中平均气温最低的城市是 ______． 城市 北京 上海 天津 平均气温 【答案】天津 【分析】本题考查了正数和负数，有理数的比较大小，先比较三个城市的平均气温，即可解答，准确熟练地进行计算是解题的关键． 【详解】解：由题意得：， ∴平均气温最低的是天津， 故答案为：天津． 71．下表记录了四个地区的最低海拔，其中海拔最低的地区是（   ） 死海 吐鲁番 乌鲁木齐 青岛 A．死海 B．吐鲁番 C．乌鲁木齐 D．青岛 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的大小比较，通过比较四个地区海拔数值的大小，找出最小值，即可确定海拔最低的地区，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵ ， ∴ 海拔最低的地区是死海， 故选：A． 解答题 1．把下列各数填在相应的集合里： ，，，，，，，，，． 正有理数集合：{______________________…} 负有理数集合：{______________________…}． 整数集合：{______________________…}． 非负整数集合：{______________________…}． 【答案】正有理数集合：{，，，…} 负有理数集合：{，，，，…} 整数集合：{，，，…} 非负整数集合：{，，…} 【详解】解：，，； 正有理数集合：{，，，…} 负有理数集合：{，，，，…} 整数集合：{，，，…} 非负整数集合：{，，…} 2．如图所示为一个不完整的数轴． (1)请将该数轴补充完整，并将数表示在数轴上； (2)将（1）中的各数按从小到大的顺序用“”连接起来． 【答案】(1) 数轴补充如下： ；， 表示如下： ； (2) 【分析】本题考查了数轴三要素，求相反数，求绝对值，在数轴上表示有理数并比较大小． （1）根据数轴三要素将数轴补充完整，化简多重符号，绝对值，最后将各数表示在数轴上即可； （2）根据数轴作答即可． 【详解】（1）略 （2）解：用“”连接如下： ． 3．阅读与思考：认识绝对值 【阅读理解】如下图：两辆巡护车从长治市太行街中点同时出发，一辆向东行驶千米，另一辆向西行驶千米．规定向东为正方向，向西为负方向，则向东记作千米，向西记作千米．我们发现：它们的行驶方向不同，行驶的路程不同，离出发点的距离也不同，分别是千米和千米． 数轴上表示一个数的点到原点的距离，叫做这个数的绝对值，记作“”． 例如：，， 【思考提升】 (1)填空： ①________②________③________④________ 我们发现：正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是去掉负号后的数；的绝对值是． 绝对值永远不会是_____________．（填“正数”“”“负数”） (2)长治市太行街道路巡护车从市政府（原点）出发巡查，向东为正方向，向西为负方向，当天行驶记录如下：，，，（单位：千米） ①请你先填写每次行驶路程的绝对值，再求出巡护车当天总共行驶了多少千米？ 次序 第一次 第二次 第三次 第四次 路程（千米） 绝对值 ②如果巡护车每行驶千米耗油升，当天巡护车耗油多少升？ ③道路巡护车巡查结束后，会停在什么位置？ 【答案】(1)①；②；③；④；负数 (2)①8，5，3，6；22千米；②2.2升；③市政府（原点） 【分析】（1）根据绝对值的定义和规律，即可求解； （2）①根据绝对值的定义求出每次行驶的路程的绝对值，再把这些绝对值相加，即可求解； ②根据每行驶千米耗油升，乘以总路程即可求出总耗油量； ③根据向东为正，向西为负，把每次行驶的路程相加，再判断巡查结束后，会停在什么位置即可． 【详解】（1）解：由绝对值的定义可得，，，，， 由绝对值计算结果规律可得，绝对值永远不会是负数． （2）解：① 次序 第一次 第二次 第三次 第四次 绝对值 总路程（千米）． ②总耗油量（升）． ③∵， ∴道路巡护车巡查结束后，会停在市政府（原点）． 4．【信息提取】学习了绝对值的概念后，我们知道：一个非负数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，即当时，；当时，，对于含绝对值的算式，在有些情况下，可以不需要计算出结果就能将绝对值符号去掉，例如：；；，． (1)根据上面的规律，把下列各式写成去掉绝对值符号的形式（不用写出计算结果）： ①_________；②_________． 【拓广应用】 (2)用合适的方法计算：_________________． (3)请利用你探究的结论计算： 【答案】(1)①；②； (2) (3) 【分析】本题考查了绝对值的化简，熟悉掌握运算法则是解题的关键． （1）根据绝对值的化简方法解答即可； （2）根据绝对值的化简方法运算即可； （3）根据绝对值的化简方法运算即可． 【详解】（1）解：，， 故答案为：①；②； （2）解：， 故答案为：； （3）解： 原式 ． 5．先阅读下面的材料，然后解答问题： 在一条直线上有依次排列的n（）台机床工作，我们要设置一个零件供应站P，使这n台机床到供应站P的距离总和最小，要解决这个问题先“退”到比较简单的情形． 如图（1），如果直线上有2台机床时，很明显设在和之间的任何地方都行，因为甲和乙所走的距离之和等于和的距离． 如图（2），如果直线上有3台机床时，不难判断，供应站设在中间一台机床，处最合适，因为如果P不放在处，甲和丙所走的距离之和恰好是到的距离，可是乙还得走从到P的这一段，这是多出来的，因此P放在处最佳选择． 不难知道，如果直线上有4台机床，P应设在第二台与第3台之间的任何地方，有5台机床，P应设在第3台位置．问题： (1)有n台机床时，P应设在何处？ (2)根据（1）的结论，求的最小值． 【答案】(1)当为奇数时，P应设在台机床处；当为偶数时，P应设在和台机床之间处 (2)95172 【分析】本题主要考查了分类讨论的思想，观察、实验和猜想、归纳能力，掌握从特殊到一般猜想的方法，解题的关键就是要能够从材料中得到有用的信息． （1）根据给出的规律进行求解即可，分为奇数和偶数两种情况进行解答； （2）根据给出的规律找到的最小值，然后进行求解即可． 【详解】（1）解：当为奇数时，P应设在台机床处； 当为偶数时，P应设在和台机床之间的任何地方． （2）解：本题可以看作在数轴上找一点，使该点到1，2，3，…，617的距离和最小， 根据题目给出的规律，该点位于处， 即， ∴ ∴原式的最小值为95172． 6．如图，在数轴上点表示的数是8，若动点从原点出发，以2个单位/秒的速度向左运动，同时另一动点从点出发，以4个单位/秒的速度也向左运动，到达原点后立即以原来的速度返回，向右运动，设运动的时间为t秒． (1)当时，求点到原点的距离； (2)当时，求点到原点的距离； 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了数轴上的动点问题，两点间的距离，在数轴上表示有理数，熟练掌握数轴上两点之间距离的表示方法是解题的关键． （1）计算出点Q运动的路程，即可解答； （2）计算出点Q的运动路程，即可解答； 【详解】（1）解：∵动点从原点出发，以2个单位/秒的速度向左运动，同时另一动点从点出发，以4个单位/秒的速度也向左运动， ∴当时，， ∵在数轴上点A表示的数是8， ∴， ∴， ∴当时，点到原点的距离为6； （2）解：∵动点从原点出发，以2个单位/秒的速度向左运动，同时另一动点从点出发，以4个单位/秒的速度也向左运动 ∴当时，点运动的距离为， ∵在数轴上点A表示的数是8， ∴， ∴， ∴当时，点到原点的距离为2； 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $