专题03认识有理数精讲学案(核心重点+高频易错+题型精讲+拔高练习)2026-2027学年北师大版七年级数学上册

本讲义聚焦有理数核心知识，系统梳理正负数的实际意义，有理数的整数与分数分类，数轴三要素及数形对应关系，相反数的定义与几何意义，绝对值的几何代数意义及非负性等性质，以及有理数大小比较的数轴法、符号法等，构建从实际意义到概念应用的循序渐进学习支架。 资料特色在于通过“重点辨析”“常见误区”突破认知难点，22类分层题型覆盖基础到拔高，结合解题思路培养学生抽象能力（如“非”字集合辨析）、推理意识（如数轴规律探究）。课中助力教师系统授课，课后通过典型例题与练习帮助学生查漏补缺，提升应用意识。

专题03认识有理数精讲学案 核心立意： 理解正负数的实际意义，掌握有理数的概念与分类；借助数轴理解相反数、绝对值的含义；熟练运用数轴与绝对值法则比较有理数的大小，建立数形结合的数学思想。 正数与负数 ❶正数：大于0的数，正数前正号可省略； ❷负数：在正数前加负号得到的数，负号不可省略； ❸0既不是正数、也不是负数，是正负分界数；0不仅表示没有，可表示基准量（0℃、海平面0米）。 相反意义的量 ❶必须同时满足三个条件：意义相反、属于同类量、单位统一； ❷人为规定正向，反向自动记为负向； ❸仅成对出现，单独一个量不能称为相反意义的量。 有理数的定义与范围 ❶整数包含：正整数、0、负整数； ❷分数包含：正分数、负分数； ❸有理数定义：整数和分数统称有理数； ❹有限小数、无限循环小数（属于有理数）； ❺无限不循环小数（不属于有理数）。 有理数两套标准分类 分类时两套标准不可混用，做到不重复、不遗漏。 四类“非”字集合 ❶非负数：正数+0；❷非正数：负数+0； ❸非负整数：正整数+0（自然数）；❹非正整数：负整数+0。 数轴 ❶数轴定义：规定了原点、正方向、单位长度的直线，三要素缺一不可； ❷数形对应：所有有理数都能在数轴上表示，但数轴上的点不一定是有理数； ❸大小规律：数轴上右侧的数大于左侧的数。 相反数 ❶定义：只有符号不同、数值完全相同的两个数互为相反数； ❷通用公式：数a的相反数是-a，0的相反数是0； ❸几何意义：互为相反数的两点，在原点两侧、到原点距离相等； ❹等价结论：若a、b互为相反数，则a+b=0。 绝对值几何意义： 数轴上表示一个数的点到原点的距离，叫做这个数的绝对值；距离具有非负性。 绝对值代数定义： 正数的绝对值是它本身； 负数的绝对值是它的相反数； 0的绝对值是0。 绝对值符号表示：数a的绝对值记作|a|。 绝对值的核心必考性质 1. 非负性：|a|0，任何有理数的绝对值都是非负数；绝对值最小的数是0 2. 对称性：|-a|=|a|，互为相反数的两个数，绝对值相等 3. 若|a|=aa0（绝对值等于自身的数是非负数） 4. 若|a|=-a a0（绝对值等于自身相反数的数是非正数） 5. 若|a|=|b|a=b 或 a=-b 6. 非负和模型：若|a|+|b|=0，则a=0,b=0【必考0+0型】 有理数大小比较 ❶数轴法：右大左小； ❷符号法：正数＞0，负数＜0，正数＞所有负数； ❸负数比较：两个负数比较大小，绝对值越大，数值反而越小。 重点辨析 ❶带负号的数不一定是负数，如-(-5)为正数； ❷0是整数、自然数、有理数，不属于正、负数； ❸小数不全是有理数，无限不循环小数为无理数； ❹相反数是成对概念，不能单独称一个数是相反数； ❺负数化简绝对值必须变号，不能直接照搬原数； ❻有理数分类严禁同时使用两套分类标准。 1. 混淆0的属性，误判0为正数或负数。 2. 找相反意义的量时，忽略同类量、单位统一的前提。 3. 漏认有限小数、无限循环小数属于分数、属于有理数。 4. 分类遗漏0、混用两套分类标准，出现重数、漏数。 5. 概念混淆：把“非负数”和“非负整数”混为一谈。 6. 画数轴缺少原点、正方向、单位长度任一要素。 7. 单独描述“某数是相反数”，违背成对定义。 8. 负数绝对值化简错误，不会变号。 9. 两个负数比大小，错判绝对值大数更大。 10. 误以为数轴上所有点都表示有理数。 题型 考察方向 难度 题型一 正负数的定义 ★ 题型二 相反意义的量 ★ 题型三 正负数的实际应用 ★★ 题型四 有理数的定义 ★ 题型五 有理数的分类 ★★ 题型六 带 “非” 字的有理数 ★★ 题型七 数轴的三要素及其画法 ★ 题型八 用数轴上的点表示有理数 ★★ 题型九 利用数轴比较有理数的大小 ★★ 题型十 数轴上点的平移 ★★★ 题型十一 数轴上找原点 ★★★ 题型十二 数轴上整点覆盖问题 ★★★ 题型十三 数轴上的规律探究 ★★★★ 题型十四 相反数的定义 ★ 题型十五 化简多重符号 ★★ 题型十六 相反数的应用 ★★★ 题型十七 绝对值的几何意义 ★★★ 题型十八 求一个数的绝对值 ★ 题型十九 绝对值非负性 ★★★ 题型二十 绝对值的其他应用 ★★★ 题型二十一 有理数大小比较 ★★ 题型二十二 有理数大小比较的实际应用 ★★ 拔高题 7题 星级说明：★基础；★★巩固；★★★提升；★★★★拔高★★★★★难题 题型一：正负数的定义 解题思路：①将题目给出的各数与0进行大小比对；②大于0的数归为正数集合，小于0的数归为负数集合；③0单独判定，既不属于正数，也不属于负数。 1．《九章算术》最早提出正负数的概念，下列各数是负数的为（     ） A． B．0 C． D．2 【答案】A 【详解】解：∵小于0的数是负数，且， ∴是负数． 2．在有理数中，负数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据小于零的数是负数，可得答案． 【详解】解：在有理数中，是负数的是-2，，-0.7， 故选：C． 【点睛】本题考查了正数和负数，解题的关键是掌握小于零的数是负数． 3．如图所示的是图纸上一个零件的标注，现有下列直径尺寸的产品（单位：mm），其中不合格的是（　　） A．29.8mm B．30.03mm C．30.02mm D．29.98mm 【答案】A 【分析】依据正负数的意义求得零件直径的合格范围，然后找出不符要求的选项即可． 【详解】解：∵30+0.03=30.03，30-0.02=29.98， ∴零件的直径的合格范围是：29.98mm≤零件的直径≤30.03mm． ∵29.8mm不在该范围之内， ∴不合格的是A． 故选：A． 【点睛】本题主要考查的是正数和负数的意义，根据正负数的意义求得零件直径的合格范围是解题的关键． 题型二：相反意义的量 解题思路：①核查两个量的意义是否相互对立；②核查两个量是否属于同一类量；③核查两个量的计量单位是否统一；④三项条件全部满足，才构成相反意义的量，该概念成对出现。 4．中国是最早使用正负数表示具有相反意义的量的国家．若收入元记作元，则支出元可记作（     ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】C 【详解】解：∵收入元记作元，支出与收入是具有相反意义的量， ∴支出元记作元. 5．如果某商家某天的收入3万元记作万元，那么万元表示（     ） A．收入5万元 B．支出5万元 C．盈利5万元 D．亏损万元 【答案】B 【详解】解：∵收入万元记作万元，即收入记为正， ∴支出记为负， ∴万元表示支出万元. 6．中国是最早采用正负数表示相反意义的量，并进行负数运算的国家．若零上记作，则零下可记作(   ) A． B．14 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查正数和负数，正数和负数是一组具有相反意义的量，据此即可求得答案． 【详解】解：零上记作，则零下可记作， 故选：C． 题型三：正负数的实际应用 解题思路：①选定题目指定的方向或状态作为正方向；②把与正方向对立的方向或状态记为负；③结合给定基准，将实际数量转化为对应的正负数。 7．如果温度上升记作，那么温度下降记作（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查正负数的意义，对于具有相反意义的量，若规定其中一个为正，另一个就用负表示，据此可直接求解． 【详解】解：∵温度上升记作， ∴温度下降记作． 8．一电脑公司5月6日到9日仓库的电脑进出记录如下（记运进为正，单位：台）： 日期 5月6日 5月7日 5月8日 5月9日 进出数量 0 则仓库里电脑数量变化最大的一天是（     ） A．6日 B．7日 C．8日 D．9日 【答案】A 【分析】电脑数量变化的大小与变化量的绝对值有关，正负仅表示进出方向，只需比较每日进出数量的绝对值大小即可得到答案． 【详解】解： ，，，． ∵ ∴5月6日仓库电脑数量变化最大． 9．一个水库某天8：00的水位为（以警戒线为基准，记高于警戒线的水位为正）．在以后的6个时刻测得的水位升降情况如下（记上升为正，单位：m）：0.5，，0，；，●（最后一个时刻的水位升降情况被墨水污染），经过6次水位升降后，水库的水位恰好位于警戒线，则被墨水污染的数值是（    ） A．0.7 B．0.8 C．0.9 D．1.0 【答案】C 【分析】用减去前5次各数与8：00的水位和，然后即可做出判断． 【详解】解：0-（0.5-0.8+0-0.2-0.3-0.1）=0.9． 故选：C． 【点睛】此题主要考查正负数在实际生活中的应用，根据题意列出算式是解题的关键． 题型四：有理数的定义 解题思路：①区分数的类型，整数、分数属于有理数；②有限小数、无限循环小数可化为分数，归为有理数；③无限不循环小数无法化为分数，不属于有理数。 10．在π，，，，这几个数中，有理数的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【详解】解：在π，，，，这几个数中， 有理数为：，，，共有3个． 11．在数，，，，，中，属于整数的个数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：在，，，，，中：是整数，是无理数，是分数，是整数，是整数，是分数，所以整数有，，共3个． 12．在数，，，，中，有理数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题主要考查了有理数的定义，掌握整数和分数统称有理数是解题的关键． 根据有理数的定义进行判断即可． 【详解】解：在数，，，，中，有理数有、、、，共4个． 故选：D． 题型五：有理数的分类 解题思路：①确定本次分类使用的单一标准，不可混用按定义、按正负两套体系；②依次对每个数字完成归类；③做到分类不重复、不遗漏，注意0属于整数，既非正数也非负数。 13．下列各数中，最大的负整数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据负整数的定义排除不符合的选项，再根据两个负数比较大小的规则：绝对值越大的负数越小，比较剩余负整数的大小，即可得到结果． 【详解】解：是负分数，不是负整数， ，，，且， ， 最大的负整数是． 14．有下列各数：0.01，10，，，0，，，，，其中属于非负整数的共有______个． 【答案】4 【分析】先根据有理数运算法则化简每个数，再根据非负整数的定义，即和正整数，找出符合条件的数，统计个数即可． 【详解】解：，，， 因此符合条件的数有：，，，，共个． 15．下列叙述正确的是（    ） A．不是正数的数一定是负数 B．正有理数包括整数和分数 C．整数不是正整数就是负整数 D．有理数不是整数就是分数． 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的分类、整数．根据有理数的分类和整数逐项判断即可得． 【详解】解：A、不是正数的数可能是负数，也可能是0，则此项错误，不符合题意； B、正有理数包括正整数和正分数，则此项错误，不符合题意； C、整数包含正整数、0和负整数，则此项错误，不符合题意； D、有理数不是整数就是分数，则此项正确，符合题意； 故选：D． 题型六：带 “非” 字的有理数 解题思路：①提取题干关键词，识别“非负数、非正数、非负整数、非正整数”限定；②根据定义拆分集合：非负数=正数+0，非正数=负数+0，非负整数=正整数+0，非正整数=负整数+0；③筛选符合条件的数字，规避“整数”条件遗漏造成的错误。 16．在中，非负整数的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】此题考查了非负整数的概念，解题的关键是掌握非负整数的概念．非负整数包括正整数和零． 根据非负整数的概念求解即可． 【详解】解：， ∴在中， 非负整数有：0，1，，共3个， 故选：C． 17．在，0，，，5，，非负数的个数有（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题考查了非负数的定义（包括0和正数），解题的关键是先化简各数，再判断是否为非负数． 先化简，再逐一判断：、、、是非负数，统计其个数即可． 【详解】解： 非负数包括正数和0， ，不是非负数； ，是非负数； ，不是非负数； ，是非负数； ，是非负数； ，是非负数； ，不是非负数． 非负数有、、、，共4个． 故选C． 18．在，，0，，25，中，非负整数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了化简多重符号、化简绝对值、非负整数，熟练掌握化简多重符号和化简绝对值是解题关键．先化简多重符号、化简绝对值，再根据非负整数的定义即可得． 【详解】解：，， 则在这些数中，非负整数有0，，25，共3个， 故选：C． 题型七：数轴的三要素及其画法 解题思路：①核对数轴是否具备原点；②核对数轴是否标注正方向（箭头）；③核对数轴单位长度是否统一；④三项要素缺一不可，缺少任意一项则不是标准数轴。 19．数轴是一条规定了______、______和单位长度的______． 【答案】 原点 正方向 直线 【分析】根据数轴定义回答即可． 本题考查数轴，解题关键是熟知数轴的定义． 【详解】解：数轴是一条规定了原点、正方向和单位长度的直线． 故答案为：原点、正方向、直线． 20．下列各图中，表示数轴正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了数轴，根据数轴的定义“通常用一条直线上的点表示数，这条直线叫做数轴”和数轴三要素——原点，正方向和单位长度，进行判断即可得． 【详解】解：．符合数轴的定义和三要素，故该选项符合题意； ．单位长度不相同，不能表示数轴，故该选项不符合题意； ．原点左侧的数从左到右应依次为，，，不能表示数轴，故该选项不符合题意； ．缺少正方向，不能表示数轴，故该选项不符合题意； 故选：A． 21．关于数轴下列作法最准确的是（    ） A．   B．     C．   D．   【答案】C 【分析】根据数轴必须具备的三个要素：正方向、原点和单位长度逐项进行判断即可． 【详解】解：、数轴应该是一条直线，本选项的数轴左侧应该出头，故错误，不符合题意； 、本选项的数轴没有正方向，故错误，不符合题意； 、本选项的数轴具备数轴的三要素，正确，符合题意； 、本选项的数轴没有原点，故错误，不符合题意． 故选：． 【点睛】本题考查了数轴的定义，熟练掌握数轴的三要素：正方向、原点和单位长度，是解答本题的关键． 题型八：用数轴上的点表示有理数 解题思路：①原点对应数字0；②正数在原点右侧，负数在原点左侧；③分数、小数按照单位长度等分比例确定对应点的位置。 22．如图，“”所指的位置表示的数可能是（     ） A．12 B．14 C．16 D．18 【答案】C 【分析】根据图示，数轴上的一个小格表示2，箭头所指的位置，在10到20之间，第3个格，可知箭头表示的数是16． 【详解】解：根据图示，数轴上的一个小格表示2，则箭头表示的数是16． 23．如图， （1）如果“C”表示的数是5，那么“A”表示的数是______________； （2）如果“B”表示的数是，那么“C”表示的数是______________． 【答案】 【分析】（1）先确定“C”表示的数，以及原点0和“C”间隔格数，可以求出每格代表几，再利用“A”在原点左侧，且和0间隔1格求出“A”表示的数； （2）先确定“B”表示的数，以及原点0和“B”间隔格数，可以求出每格代表几，再利用“C”在原点右侧，且和0间隔5格求出“C”表示的数． 【详解】解：（1）因为“C”表示的数是5，“C”在原点右侧，原点0和“C”间隔5格， 所以每格代表， 因为“A”在原点左侧，和0间隔1格，原点左侧为负数， 所以“A”表示的数是； （2）因为“B”表示的数是，“B”在原点右侧，原点0和“B”间隔2格， 所以每格代表， 因为“C”在原点右侧，和0间隔5格，原点右侧为正数， 所以“C”表示的数是． 24．公元十七世纪，法国数学家笛卡尔从蜘蛛网获得了启示，提出了“数轴”的概念．如图，数轴上点所表示的数可能是（　　） A． B． C． D．5 【答案】B 【分析】本题主要考查了数轴和数学常识，熟练掌握数轴上点表示的数的方法进行求解是解题的关键． 根据题意可得M所表示的数在与之间，然后再进行判定即可解答． 【详解】解：设M表示的数为x， 由数轴可知：， 所以点M所表示的数可能是． 故选：B． 题型九：利用数轴比较有理数的大小 解题思路：①把待比较的各个数对应标记在数轴上；②依据数轴规则，观察各点的左右位置；③数轴上右侧点表示的数大于左侧点表示的数。 25．如图，下列数轴上的点表示的数最小的是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】A 【详解】解：由数轴可知，数轴上的点表示的数最小的是点． 26．有理数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，那么这三个数中绝对值最大的数是_____ ． 【答案】b 【分析】观察数轴上a、b、c三点到原点的距离，距离原点最远的数即为绝对值最大的数． 【详解】解：观察数轴上a、b、c三点到原点的距离，点b到原点O的距离最长，点a次之，点c最短． ∴绝对值最大的是b． 27．是有理数，它们在数轴上的对应点的位置如图所示，把按照从小到大的顺序排列，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了数轴，求一个数的绝对值，求一个数的相反数，解题的关键是掌握数形结合的思想． 利用绝对值和相反数求出各值，然后在数轴上表示出各点，利用数轴比较大小即可． 【详解】解：由数轴可得， 在数轴上表示出如下： ∴， 故选：B． 题型十：数轴上点的平移 解题思路：①确定点的起始位置对应的数值；②向右平移执行加法，向左平移执行减法；③终点数值=起始数值±平移距离，平移距离取正值，方向决定运算符号。 28．如图，在数轴上将点向右移动4个单位长度得到点，则点表示的数是（    ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据数轴上点A对应的数为，结合平移性质可得答案． 【详解】解：由数轴知，点A对应的数为， 由平移性质，点向右移动4个单位长度得到点B，则点表示的数是2． 29．如图，点在数轴上，点在数轴上点右侧个单位长度的位置，点在数轴上与点距离个单位长度，则点表示的数是________． 【答案】或 【分析】本题考查数轴上的动点问题．根据数轴上的点的移动规则，左移减，右移加，分在点的左侧和右侧两种情况进行求解即可． 【详解】解：∵点在数轴上，点在数轴上点右侧个单位长度的位置， ∴点表示的数为 ∵点在数轴上与点距离个单位长度， ∴点表示的数为或． 30．数轴上的点A 、B 、C 、D所表示的数如图所示，点M 为线段的中点，线段沿数轴以每秒2个单位长度向右平移，同时，点D沿数轴以每秒m 个单位长度向左平移．当点M 和点C 重合时同时停止运动．若在运动过程中始终满足，则m 的值为（   ） A．2 B． C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题考查了数轴上点的平移（动点问题），由题意得：开始运动前，点M 表示的数为：，，推出开始运动后，，即可求解． 【详解】解：由题意得：开始运动前，点M 表示的数为：，， 开始运动后，， ∵， ∴，整理得：； ∵在运动过程中始终满足， ∴，解得：， 故选：C． 题型十一：数轴上找原点 解题思路：①计算数轴上已知两点之间的距离；②结合两点的正负特征；③参照原点的几何属性反向推导原点所在位置。 31．如图，数轴上有三个点，其中是线段的中点，则原点的位置（ ） A．位于线段上，且靠近点 B．位于线段上，且靠近点 C．位于线段上，且靠近点 D．位于线段上，且靠近点 【答案】D 【分析】本题考查了数轴上找原点，据中点求出点表示的数，进而即可求解，理解中点和数轴的定义是解题的关键． 【详解】解：是线段的中点， 点表示的数是， ∴原点位于线段上，且靠近点， 故选：． 32．如图，若，则该数轴的原点可能为（　　） A．A点 B．B点 C．C点 D．D点 【答案】A 【分析】本题考查数轴上的点的特征，熟悉相关性质是解题的关键．根据数轴上点的位置和有理数加法的性质，即可判断原点可能的位置． 【详解】解：若A点为原点，则，，，故符合题意； 若B点为原点，则，，无法判断，故不符合题意； 若C点为原点，则，，，故不符合题意； 若D点为原点，则，，，故不符合题意； 故选：A． 33．有理数，在一条隐藏原点的数轴上，对应点，的位置如图所示，且，下列推断正确的是（     ）． A．原点一定在点左侧 B．不能确定原点的位置 C．原点一定在中点左侧 D．原点一定在中点右侧 【答案】D 【分析】根据越在数轴的右边数越大，运用，得，则原点一定在中点右侧，即可作答． 【详解】解：∵有理数，在数轴上的对应点，的位置，且， ∴， ∴， ∴的中点位置是小于的， ∴原点一定在中点右侧． 题型十二：数轴上整点覆盖问题 解题思路：①判断线段两个端点是否为整数；②若两个端点均为整数，则线段覆盖整点数量=线段长度+1；若端点不全为整数，则覆盖整点数量为线段长度的整数部分或整数部分加1；③区分闭区间包含端点、开区间不包含端点的规则。 34．如图，小芳在写作业时，不慎将墨水滴在数轴上，根据图中的数值，判断墨水盖住部分的整数个数有（ ）个． A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】D 【分析】本题主要考查数轴上有理数的表示，熟练掌握数轴上有理数的表示是解题的关键；根据数轴可进行求解． 【详解】解：由数轴可知：被墨水盖住的部分整数有，共7个； 故选D． 35．在数轴上有一段线段，长度为，，该线段在数轴上运动，除原点外，这条线段覆盖的整数点最少为____． 【答案】 【分析】根据可得当，且这条线段的起点不在整数点时，这条线段覆盖的整数点最少，即可求解． 【详解】解：∵， ∴当，且这条线段的起点不在整数点时，这条线段覆盖的整数点最少，最少整数点为个， ∵若覆盖过程中包含原点，据题意整数点除原点外， ∴最少整数点为（个）． 36．在数轴上任取一条长度为的线段，则这条线段最多能覆盖的整数点有（     ）个 A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：求一条长度为的线段最多能覆盖的整数点个数，分两种情况： 情况一：当线段的两个端点与数轴上的整数点重合时，设线段左端点对应整数为，则右端点对应整数为，此时覆盖的整数点为，，，，，总个数为 ； 情况二：当线段的两个端点不与数轴上的整数点重合时，设线段左端点位于整数为和之间，则右端点位于整数为和之间，此时覆盖的整数点为，，，，总个数为； 所以，对比两种情况的覆盖个数，，因此最多能覆盖个整数点． 题型十三：数轴上的规律探究 解题思路：①依次写出前若干次运动后点对应的数值；②归纳点位变化的周期循环规律；③用总运动次数除以周期，根据余数判定最终点位。 37．在数轴上，点所表示的数为，现将点沿数轴做如下移动，第一次将点向左移动个单位长度到达点，第二次将点向右移动个单位长度到达点，第三次将点向左移动个单位长度到达点，按照这种移动规律进行下去，第次移动到点，那么点所表示的数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了数轴上的动点问题．序号为奇数的点在点的左边，各点所表示的数依次减少1，序号为偶数的点在点的右侧，各点所表示的数依次增加1，即可解答． 【详解】解：第一次点向左移动1个单位长度至点，则表示的数，； 第 2 次从点向右移动2个单位长度至点，则表示的数为； 第 3 次从点向左移动3个单位长度至点，则表示的数为； 第4次从点向右移动4个单位长度至点，则表示的数为； 第 5 次从点向左移动5个单位长度至点，则表示的数为； ．．．； 故每移动两次向右移动1个单位长度，序号为奇数的点在点的左边，各点所表示的数依次减少1，序号为偶数的点在点的右侧，各点所表示的数依次增加1， ， 则点所表示的数为：， 故选：D． 38．如图，圆的周长为个单位长度，在该圆的四等分点处分别标上数字，，，，先让圆周上表示数字的点与数轴上表示的点重合，再将圆沿着数轴向右滚动，则数轴上表示的点与圆周上表示________的点重合． 【答案】 【分析】本题考查了数轴，解决本题的关键是找出圆滚动的规律与数轴上的数字的对应关系，表示圆从数轴上表示的位置开始滚动了周，又滚动了个单位长度，所以数轴上表示的数与圆上表示的点重合． 【详解】解：由图可知，数轴上表示的数字与圆上表示的点重合， 数轴上表示的点与圆上表示的点重合， 数轴上表示的点与圆上表示的点重合， 数轴上表示的点与圆上表示的点重合， 数轴上表示的点与圆上表示的点重合， 数轴上的数从开始每个一循环，分别与圆上的、、、重合， ， 表示圆在数轴上滚动了个循环，第个循环滚动了个数， 数轴上表示的数与圆上表示的点重合． 故答案为：． 39．正六边形在数轴上的位置如图所示，点和对应的数分别为1和0，若正六边形绕顶点逆时针方向在数轴上向左连续翻转，翻转1次后，点所对应的数为．按此规律继续翻转下去，数轴上所对应的顶点是（    ）    A．A B．B C．C D．D 【答案】C 【分析】本题考查数轴，掌握数轴表示数的方法以及正六边形翻滚时所对应数的变化规律是正确解答的关键． 根据翻滚规律以及各个顶点所对应的数即可得出答案． 【详解】解：根据题意得： 点所对应的数为， 点所对应的数为， 点所对应的数为， 点所对应的数为， 点所对应的数为， 点所对应的数为， ， 数轴上所对应的顶点是． 故选：C． 题型十四：相反数的定义 解题思路：①观察两个数，仅符号不同，数值完全相等则互为相反数；②数a的相反数为-a；③0的相反数是0，相反数为成对概念，不能单独称某一个数是相反数。 40．2035的相反数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：2035的相反数是． 41．有理数a，b，c，d在数轴上的位置如图所示，与互为相反数的可能是（     ） A．a B．b C．c D．d 【答案】C 【分析】根据数轴上的点所表示数的特征进行计算即可． 【详解】解：∵的相反数是， ∴数轴上表示的数可能是. 42．如图是一个正方体的展开图，若相对面上的两个数互为相反数，则等于（    ）    A． B．1 C．7 D． 【答案】D 【分析】本题考查了正方体相对两个面上的文字，注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题． 利用正方体及其表面展开图的特点即相反数的定义求出，，，进而代入计算即可． 【详解】解：这是一个正方体的平面展开图，共有六个面，其中面a的相对面是，b的相对面是0，c的相对面是4， ∵相对面的两个数都互为相反数， ∴，，， ∴． 故选：D． 题型十五：化简多重符号 解题思路：①统计表达式中负号的总个数；②负号个数为偶数，化简结果符号为正；负号个数为奇数，化简结果符号为负；③也可逐层去掉括号完成符号化简。 43．计算：（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：． 44．下列各式比较大小正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先化简各选项中的绝对值、多重符号式子，再逐项比较大小即可． 【详解】解：A、，，， ，故A错误； B、，故B错误； C、，， ，故C正确； D、，，， ，故D错误． 45．下列各对数中，相等的一对是（　　） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【分析】本题主要考查有理数的化简，熟练掌握相反数和绝对值是解题的关键．根据相反数和绝对值的定义进行计算即可． 【详解】解：，故选项A不符合题意； ，故选项B不符合题意； ，故选项C不符合题意； ，故选项D符合题意； 故选D． 题型十六：相反数的应用 解题思路：①识别条件：两数互为相反数；②利用等价关系：互为相反数的两数之和等于0；③据此建立等式，求解未知参数。 46．下列说法：①若互为相反数，则，②若，则互为相反数；③若互为相反数，则；④若，则互为相反数．其中正确的结论是（    ） A．①② B．①④ C．①②③ D．①②④ 【答案】D 【分析】根据相反数的两个数和为0的性质分别判断． 【详解】解：①若互为相反数，则，正确； ②若，则互为相反数，正确； ③若互为相反数，则，错误； ④若，则互为相反数，正确； 故选：D． 【点睛】此题考查了相反数的性质，熟记性质是解题的关键． 47．若与互为相反数，则=_______ 【答案】5 【分析】根据非负数的性质“两个非负数相加，和为0，这两个非负数的值都为0”解出a、b的值，再代入所求代数式计算即可． 【详解】解：∵ 与互为相反数， ∴， ∴且， 解得且， ∴． 故答案为：5． 【点睛】本题考查了非负数的性质，初中阶段有三种类型的非负数： （1）绝对值； （2）偶次方； （3）二次根式（算术平方根）． 当它们相加和为0时，必须满足其中的每一项都等于0．根据这个结论可以求解这类题目． 48．若．则的相反数是（    ） A．1 B．3 C． D． 【答案】C 【分析】根据绝对值的性质求出a、b的值，计算出，再根据相反数的定义解答． 【详解】解：∵， ∴a-1=0，b-2=0， ∴a=1，b=2， ∴=1+2=3， ∴的相反数是-3， 故选：C． 【点睛】此题考查绝对值的性质，相反数的定义，熟记绝对值的性质是解题的关键． 题型十七：绝对值的几何意义 解题思路：①理解|a-b|的几何含义，代表数轴上数a与数b对应两点间距离；②距离数值恒大于等于0；③求两点距离，对两数作差后求取绝对值。 49．如图，数轴上的点表示的数中，绝对值最小的是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】C 【详解】解：由数轴可知：，所以绝对值最小的是点． 50．当取得最小值时，x满足_____ 【答案】 【分析】本题主要考查了绝对值的意义．通过求每个绝对值表达式的零点，再由根据绝对值的意义可得表示数x的点到表示数的六个点距离之和，从而得到当x取这些点中间的值时，距离之和最小，即可求解． 【详解】解：令得：， 令得：， 令得：， 令得：， 令得：， 令得：， 根据绝对值的意义得：表示数x的点到表示数的六个点距离之和， ∴当x取这些点中间的值时，距离之和最小， 把这六个数按从小到大排序为：，位于中间的两个数为， ∴当 时，原式取得最小值． 故答案为 ． 51．直线上有，，，四个点，其中（   ）最接近0． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了绝对值的应用，掌握绝对值越小的数越接近0成为解题的关键． 先求出各数的绝对值，然后确定绝对值最小的数即可解答． 【详解】解：， ∵， ∴最接近0． 故选D． 题型十八：求一个数的绝对值 解题思路：①判断待求数的正负属性；②正数绝对值等于本身，0的绝对值等于0，负数绝对值等于它的相反数；③代入对应规则得到结果。 52．下列计算正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用，进行解答，即可． 【详解】解：， ∴ ． 53．下面各数中，最接近的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】要判断哪个数最接近0，需比较每个数与0的距离，也就是要计算每个数的绝对值． 【详解】解：，，，， ， 最接近0的数是． 54．如果，，那么的结果是(        ) A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】此题主要考查与绝对值有关的计算，根据绝对值的定义，可能为或，可能为或，分别计算的绝对值即可． 【详解】解：， 或； ， 或． 当，时，，； 当，时，，； 当，时，，； 当，时，，． 的值为或． 故选：C． 题型十九：绝对值非负性 解题思路：①明确性质：任意有理数的绝对值大于或等于0；②观察题干：若干个非负数相加等于0；③得到结论：每一个非负数项均等于0，据此列等式求解。 55．若a为有理数，则下列说法正确的是（   ） A．的值是正数 B．的值是负数 C．的值是正数 D．的值小于1 【答案】C 【分析】本题考查绝对值，根据绝对值的非负性逐项判断即可． 【详解】解：A．，因此的值是正数或0，该选项说法错误； B．，因此的值是负数或0，该选项说法错误； C．，因此的值是正数，该选项说法正确； D．，因此的值小于或等于1，该选项说法错误； 故选C． 56．如果为有理数，式子存在最大值，这个最大值是（   ） A．2025 B．4050 C．20 D．0 【答案】A 【分析】本题考查了绝对值的非负性，掌握绝对值的非负性是解题的关键．本题考查绝对值的非负性，可知，得出式子存在最大值，即可选出正确答案． 【详解】解：因为绝对值具有非负性， 所以， 有最大值， 所以当时，式子有最大值，最大值为2025． 故选A． 57．已知，，均为整数，且满足，则的值为______． 【答案】 【分析】由绝对值的性质及整数条件，可知和中一个为，另一个为，从而得出的值． 【详解】解：∵，且，，均为整数， ∴和均为非负整数，且和为， ∴可能情况为：且，则， ∴； 且， 则， ∴， 综上，． 题型二十：绝对值的其他应用 解题思路：①判断绝对值符号内的数或代数式的正负；②若内部为正，直接去掉绝对值符号；③若内部为负，去掉绝对值符号后，整体取该数或代数式的相反数。 58．大模型的引入，显著提升了工业产品的精密度．下面是某厂四台接入大模型的机床生产的轴承的误差数据，其中精确程度最高的是（     ） A． B． C．D． 【答案】D 【分析】分别求出各项的绝对值，再比较大小，根据绝对值的意义可得绝对值越小的，精确度越高得出答案即可． 【详解】解：∵，，，， 又∵， ∴， ∴精确度最高的是． 59．某校将举办中学生天文知识竞赛，由学生会承办此次活动．该校教学楼共5层，若从1层到5层每层学生志愿者人数分别是10，9，7，5，6．要使所有学生志愿者到会议地点爬楼的距离之和最短，会议地点应设在第____层． 【答案】2 【分析】本题考查了绝对值的应用和求最小值问题． 会议地点应设在使所有志愿者爬楼距离之和最小的楼层，通过计算每层作为会议地点时的总距离，比较即可． 【详解】解：设会议地点在第层， 则总距离， 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 可知当时，总距离最短， 故会议地点应设在第2层． 故答案为：2． 60．若有理数、满足，，则的值等于（    ） A． B． C． D．以上都不对 【答案】B 【分析】根据，，得出，再根据绝对值的性质进行解答即可得出答案． 【详解】解：，， ， ． 故选：． 【点睛】本题考查了绝对值的性质，熟悉相关性质是解题的关键． 题型二十一：有理数大小比较 解题思路：①先区分数的正负，正数大于0，0大于负数，正数大于一切负数；②两个负数比较大小，对比二者绝对值；③绝对值越大，该负数本身数值越小。 61．下面四个数中，最大的数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正数大于0，0大于负数，即可先排除负数选项，再统一剩余正数为小数形式比较大小，即可得最大的数为. 【详解】解：∵正数大于0，0大于负数， ∴最大的数在正数里面，排除负数， ∵，， ∴ 最大的数是. 62．比较大小：_____． 【答案】 【分析】本题考查绝对值，相反数，分别化简后，再根据有理数大小的比较方法进行解答即可． 【详解】解：，， 由于， 所以． 故答案为：． 63．下列各组数中，比较大小正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的大小比较，利用有理数大小的比较方法：1、在数轴上表示的两个数，右边的总比左边的数大．2、正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数．3、两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小．找出结论即可． 【详解】解：A、 ∵, ∴，故选项A错误，不符合题意； B、，，故选项B错误，不符合题意； C、，故选项C错误，不符合题意； D、 ∵, ∴，故选项D正确，符合题意； 故选：D． 64．已知，，且，则，，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了有理数比较大小、绝对值，根据已知条件可得，即可得出答案． 【详解】解：∵，，且， 画数轴如下： ∴， 故选：D． 题型二十二：有理数大小比较的实际应用 解题思路：①把实际情境中的各类数据转化为有理数；②调用有理数大小比较法则；③完成数据之间的大小判定。 65．小明买了袋标准质量为克的食品，他对这袋食品的实际质量进行了检测，检测结果如下（用正数记超过标准质量的克数，用负数记不足标准质量的克数）： 第一袋 第二袋 第三袋 第四袋 其中最重的是（     ） A．第一袋 B．第二袋 C．第三袋 D．第四袋 【答案】A 【分析】四袋食品标准质量相同，实际质量等于标准质量加上检测结果，因此只需比较检测结果的大小，检测结果越大则实际质量越重． 【详解】解：四袋食品标准质量均为克，实际质量 检测结果， 检测结果越大，实际质量越重。 比较各袋检测结果可得 ， 第一袋检测结果最大，实际质量最重． 66．小丽在4张同样的卡片上各写了一个正整数，从中随机抽取2张，并将它们上面的数相加．重复这样做，每次所得的和都是6，8，10，12中的一个数，并且这四个数都能取到．在下列四个结论中： ①卡片上的数最小可以是1； ②卡片上的数最大可以是10； ③卡片上的数可以是4个连续的整数； ④卡片上的数有且仅有2个数相等． 其中所有正确结论的序号是______． 【答案】①④/④① 【分析】本题考查有理数的应用，解题关键是利用分类讨论求解． 分别列出两数相加为6，8，10，12的所有可能性，设这四个数分别为，其中，分析得出较小的两数之和为6，较大的两数之和为12，可得，分类讨论即可． 【详解】解：相加得6的两个整数可能为：1，5或2，4或3，3． 相加得8的两个整数可能为：1，7或2，6或3，5或4，4． 相加得10的两个整数可能为：1，9或2，8或3，7或4，6或5，5． 相加得12的两个整数可能为：1，11或2，10或3，9或4，8或5，7或6，6． 设这四个数分别为，其中，每次所得的和都是6，8，10，12中的一个数，并且这4个数都能取到， ，， （1）当时，， 此时，符合每次所得的和都是6，8，10，12中的一个数，并且这4个数都能取到； 或，不符合每次所得的和都是6，8，10，12中的一个数，并且这4个数都能取到； （2）当时，， 此时，符合每次所得的和都是6，8，10，12中的一个数，并且这4个数都能取到； 或，不符合每次所得的和都是6，8，10，12中的一个数，并且这4个数都能取到； 或，符合每次所得的和都是6，8，10，12中的一个数，并且这4个数都能取到； （3）当时，， 此时，符合每次所得的和都是6，8，10，12中的一个数，不符合这4个数都能取到； 或，不符合每次所得的和都是6，8，10，12中的一个数，并且这4个数都能取到； 或，符合每次所得的和都是6，8，10，12中的一个数，不符合这4个数都能取到； 或，不符合每次所得的和都是6，8，10，12中的一个数，并且这4个数都能取到； 故这四个数为：或或， ∴卡片上的数最小可以是1，①正确； 卡片上的数最大是可以是8，②错误； 卡片上的数不可以是4个连续的整数，③错误； 卡片上的数有且仅有2个数相等，④正确； 故答案为：①④． 67．年月日～日嘉嘉与淇淇相约去跑步，两人手机“微信运动”的步数统计如下表（步数单位：千步），下列结论正确的是（     ） 日期 嘉嘉 淇淇 A．淇淇单日的步数最多是步 B．淇淇单日的步数高于嘉嘉的有天 C．月日，嘉嘉的步数一定比淇淇的多 D．月日，淇淇的步数低于嘉嘉的 【答案】D 【分析】根据表格数据逐一判断各选项正误即可． 【详解】解：表格中步数单位为千步，淇淇单日最多步数是千步，不是步， 故A错误； 逐天对比两人步数：：，：，：，：，：，：，：，：，：，：，可得淇淇步数高于嘉嘉共天，不是天， 故B错误； 前10天的统计结果无法确定6月11日两人的步数， 故C错误； 由于6月5日嘉嘉步数为千步，淇淇步数为千步，， 则淇淇的步数低于嘉嘉， 故D正确． 解答题 1．化简： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 2．把下列各数填入相应的大括号里：，，，，，，，，． 正有理数集合： 非正整数集合： 正分数集合： 负分数集合： 【答案】；；； 【分析】根据正有理数（正整数和正分数）、非正整数（零和负整数）、正分数（正的有限小数和正的无限循环小数）、负分数（负的有限小数和负的无限循环小数）的定义，对每个数逐一判断，分别填入对应的集合． 【详解】解：正有理数集合：； 非正整数集合：； 正分数集合：； 负分数集合：． 3．解答下列问题： (1)某人转动转盘，如果用圈表示沿逆时针方向转了5圈，那么沿顺时针方向转了12圈怎样表示? (2)在某次乒乓球质量检测中，如果一个乒乓球的质量高于标准质量记作，那么表示什么? (3)某大米包装袋上标注着“净含量：”，这里的“”表示什么? 【答案】(1) 解：沿顺时针方向转了12圈表示为圈； (2) 解：表示乒乓球的质量低于标准质量； (3) 解：“”表示大米的标准净含量为，实际每袋大米的净含量允许的误差范围为上下，即合格净含量范围是到． 【分析】首先审清题意，明确“正”和“负”所表示的意义；再根据题意作答． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 4．解答下列各题 (1)如图，数轴上点A，B，C，D分别表示什么数？ (2)画出数轴，并用数轴上的点表示下列各数： ，，0，5，，，3，． 【答案】(1)数轴上点A，B，C，D分别表示； (2)数轴上的点表示各数，如图： 【详解】（1）略 （2）略 5．已知，且，你会借助数轴，将a、b、、、0按从小到大的顺序排列吗？ 分析、解题步骤如下： (1)【理解概念】 数轴上表示一个数的点与 的距离叫做这个数的绝对值． (2)【由数到形】 在数轴上先描出表示a、b的点A、B，再描出表示、的点C、D． (3)【由形到数】 借助数轴，可将a、b、、、0按从小到大的顺序排列为 ． 【答案】(1)原点 (2)图见解析 (3) 【分析】（1）根据绝对值的定义可以解答本题； （2）根据题意可以画出相应的数轴； （3）根据（2）中的数轴可以解答本题． 【详解】（1）解：数轴上表示一个数的点与原点的距离叫做这个数的绝对值； （2）解：如图，点A、B、C、D即为所求； （3）解：由数轴可得，． 6．先阅读下面的材料，然后解答问题： 在一条直线上有依次排列的n（）台机床工作，我们要设置一个零件供应站P，使这n台机床到供应站P的距离总和最小，要解决这个问题先“退”到比较简单的情形． 如图（1），如果直线上有2台机床时，很明显设在和之间的任何地方都行，因为甲和乙所走的距离之和等于和的距离． 如图（2），如果直线上有3台机床时，不难判断，供应站设在中间一台机床，处最合适，因为如果P不放在处，甲和丙所走的距离之和恰好是到的距离，可是乙还得走从到P的这一段，这是多出来的，因此P放在处最佳选择． 不难知道，如果直线上有4台机床，P应设在第二台与第3台之间的任何地方，有5台机床，P应设在第3台位置．问题： (1)有n台机床时，P应设在何处？ (2)根据（1）的结论，求的最小值． 【答案】(1)当为奇数时，P应设在台机床处；当为偶数时，P应设在和台机床之间处 (2)95172 【分析】本题主要考查了分类讨论的思想，观察、实验和猜想、归纳能力，掌握从特殊到一般猜想的方法，解题的关键就是要能够从材料中得到有用的信息． （1）根据给出的规律进行求解即可，分为奇数和偶数两种情况进行解答； （2）根据给出的规律找到的最小值，然后进行求解即可． 【详解】（1）解：当为奇数时，P应设在台机床处； 当为偶数时，P应设在和台机床之间的任何地方． （2）解：本题可以看作在数轴上找一点，使该点到1，2，3，…，617的距离和最小， 根据题目给出的规律，该点位于处， 即， ∴ ∴原式的最小值为95172． 7．如图，数轴上每个刻度为1个单位长度，点A表示的数是． (1)在数轴上标出原点； (2)点B表示的数是 ； (3)若点A，B同时以相同速度沿数轴正方向运动，当点A运动到原点时，求此时点B在数轴上对应的数． 【答案】(1) 如图，点O为原点； (2)4 (3)点B在数轴上对应的数为7 【分析】本题考查数轴，数轴上两点间距离，掌握数轴相关知识是解题的关键． （1）根据点A表示的数及每个刻度的单位长度，可找出原点； （2）根据点B所在数轴位置即可求解； （3）先求出点A运动路程，根据两点运动路程相等即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：点B表示的数是4， 故答案为：4； （3）解：由题意知，点A运动路程为：， 又A，B同时以相同速度沿数轴正方向运动， 所以此时点B表示的数为：． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03认识有理数精讲学案 核心立意： 理解正负数的实际意义，掌握有理数的概念与分类；借助数轴理解相反数、绝对值的含义；熟练运用数轴与绝对值法则比较有理数的大小，建立数形结合的数学思想。 正数与负数 ❶正数：大于0的数，正数前正号可省略； ❷负数：在正数前加负号得到的数，负号不可省略； ❸0既不是正数、也不是负数，是正负分界数；0不仅表示没有，可表示基准量（0℃、海平面0米）。 相反意义的量 ❶必须同时满足三个条件：意义相反、属于同类量、单位统一； ❷人为规定正向，反向自动记为负向； ❸仅成对出现，单独一个量不能称为相反意义的量。 有理数的定义与范围 ❶整数包含：正整数、0、负整数； ❷分数包含：正分数、负分数； ❸有理数定义：整数和分数统称有理数； ❹有限小数、无限循环小数（属于有理数）； ❺无限不循环小数（不属于有理数）。 有理数两套标准分类 分类时两套标准不可混用，做到不重复、不遗漏。 四类“非”字集合 ❶非负数：正数+0；❷非正数：负数+0； ❸非负整数：正整数+0（自然数）；❹非正整数：负整数+0。 数轴 ❶数轴定义：规定了原点、正方向、单位长度的直线，三要素缺一不可； ❷数形对应：所有有理数都能在数轴上表示，但数轴上的点不一定是有理数； ❸大小规律：数轴上右侧的数大于左侧的数。 相反数 ❶定义：只有符号不同、数值完全相同的两个数互为相反数； ❷通用公式：数a的相反数是-a，0的相反数是0； ❸几何意义：互为相反数的两点，在原点两侧、到原点距离相等； ❹等价结论：若a、b互为相反数，则a+b=0。 绝对值几何意义： 数轴上表示一个数的点到原点的距离，叫做这个数的绝对值；距离具有非负性。 绝对值代数定义： 正数的绝对值是它本身； 负数的绝对值是它的相反数； 0的绝对值是0。 绝对值符号表示：数a的绝对值记作|a|。 绝对值的核心必考性质 1. 非负性：|a|0，任何有理数的绝对值都是非负数；绝对值最小的数是0 2. 对称性：|-a|=|a|，互为相反数的两个数，绝对值相等 3. 若|a|=aa0（绝对值等于自身的数是非负数） 4. 若|a|=-a a0（绝对值等于自身相反数的数是非正数） 5. 若|a|=|b|a=b 或 a=-b 6. 非负和模型：若|a|+|b|=0，则a=0,b=0【必考0+0型】 有理数大小比较 ❶数轴法：右大左小； ❷符号法：正数＞0，负数＜0，正数＞所有负数； ❸负数比较：两个负数比较大小，绝对值越大，数值反而越小。 重点辨析 ❶带负号的数不一定是负数，如-(-5)为正数； ❷0是整数、自然数、有理数，不属于正、负数； ❸小数不全是有理数，无限不循环小数为无理数； ❹相反数是成对概念，不能单独称一个数是相反数； ❺负数化简绝对值必须变号，不能直接照搬原数； ❻有理数分类严禁同时使用两套分类标准。 1. 混淆0的属性，误判0为正数或负数。 2. 找相反意义的量时，忽略同类量、单位统一的前提。 3. 漏认有限小数、无限循环小数属于分数、属于有理数。 4. 分类遗漏0、混用两套分类标准，出现重数、漏数。 5. 概念混淆：把“非负数”和“非负整数”混为一谈。 6. 画数轴缺少原点、正方向、单位长度任一要素。 7. 单独描述“某数是相反数”，违背成对定义。 8. 负数绝对值化简错误，不会变号。 9. 两个负数比大小，错判绝对值大数更大。 10. 误以为数轴上所有点都表示有理数。 题型 考察方向 难度 题型一 正负数的定义 ★ 题型二 相反意义的量 ★ 题型三 正负数的实际应用 ★★ 题型四 有理数的定义 ★ 题型五 有理数的分类 ★★ 题型六 带 “非” 字的有理数 ★★ 题型七 数轴的三要素及其画法 ★ 题型八 用数轴上的点表示有理数 ★★ 题型九 利用数轴比较有理数的大小 ★★ 题型十 数轴上点的平移 ★★★ 题型十一 数轴上找原点 ★★★ 题型十二 数轴上整点覆盖问题 ★★★ 题型十三 数轴上的规律探究 ★★★★ 题型十四 相反数的定义 ★ 题型十五 化简多重符号 ★★ 题型十六 相反数的应用 ★★★ 题型十七 绝对值的几何意义 ★★★ 题型十八 求一个数的绝对值 ★ 题型十九 绝对值非负性 ★★★ 题型二十 绝对值的其他应用 ★★★ 题型二十一 有理数大小比较 ★★ 题型二十二 有理数大小比较的实际应用 ★★ 拔高题 7题 星级说明：★基础；★★巩固；★★★提升；★★★★拔高★★★★★难题 题型一：正负数的定义 解题思路：①将题目给出的各数与0进行大小比对；②大于0的数归为正数集合，小于0的数归为负数集合；③0单独判定，既不属于正数，也不属于负数。 1．《九章算术》最早提出正负数的概念，下列各数是负数的为（     ） A． B．0 C． D．2 2．在有理数中，负数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．如图所示的是图纸上一个零件的标注，现有下列直径尺寸的产品（单位：mm），其中不合格的是（　　） A．29.8mm B．30.03mm C．30.02mm D．29.98mm 题型二：相反意义的量 解题思路：①核查两个量的意义是否相互对立；②核查两个量是否属于同一类量；③核查两个量的计量单位是否统一；④三项条件全部满足，才构成相反意义的量，该概念成对出现。 4．中国是最早使用正负数表示具有相反意义的量的国家．若收入元记作元，则支出元可记作（     ） A．元 B．元 C．元 D．元 5．如果某商家某天的收入3万元记作万元，那么万元表示（     ） A．收入5万元 B．支出5万元 C．盈利5万元 D．亏损万元 6．中国是最早采用正负数表示相反意义的量，并进行负数运算的国家．若零上记作，则零下可记作(   ) A． B．14 C． D． 题型三：正负数的实际应用 解题思路：①选定题目指定的方向或状态作为正方向；②把与正方向对立的方向或状态记为负；③结合给定基准，将实际数量转化为对应的正负数。 7．如果温度上升记作，那么温度下降记作（     ） A． B． C． D． 8．一电脑公司5月6日到9日仓库的电脑进出记录如下（记运进为正，单位：台）： 日期 5月6日 5月7日 5月8日 5月9日 进出数量 0 则仓库里电脑数量变化最大的一天是（     ） A．6日 B．7日 C．8日 D．9日 9．一个水库某天8：00的水位为（以警戒线为基准，记高于警戒线的水位为正）．在以后的6个时刻测得的水位升降情况如下（记上升为正，单位：m）：0.5，，0，；，●（最后一个时刻的水位升降情况被墨水污染），经过6次水位升降后，水库的水位恰好位于警戒线，则被墨水污染的数值是（    ） A．0.7 B．0.8 C．0.9 D．1.0 题型四：有理数的定义 解题思路：①区分数的类型，整数、分数属于有理数；②有限小数、无限循环小数可化为分数，归为有理数；③无限不循环小数无法化为分数，不属于有理数。 10．在π，，，，这几个数中，有理数的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 11．在数，，，，，中，属于整数的个数是（     ） A． B． C． D． 12．在数，，，，中，有理数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型五：有理数的分类 解题思路：①确定本次分类使用的单一标准，不可混用按定义、按正负两套体系；②依次对每个数字完成归类；③做到分类不重复、不遗漏，注意0属于整数，既非正数也非负数。 13．下列各数中，最大的负整数是（    ） A． B． C． D． 14．有下列各数：0.01，10，，，0，，，，，其中属于非负整数的共有______个． 15．下列叙述正确的是（    ） A．不是正数的数一定是负数 B．正有理数包括整数和分数 C．整数不是正整数就是负整数 D．有理数不是整数就是分数． 题型六：带 “非” 字的有理数 解题思路：①提取题干关键词，识别“非负数、非正数、非负整数、非正整数”限定；②根据定义拆分集合：非负数=正数+0，非正数=负数+0，非负整数=正整数+0，非正整数=负整数+0；③筛选符合条件的数字，规避“整数”条件遗漏造成的错误。 16．在中，非负整数的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 17．在，0，，，5，，非负数的个数有（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 18．在，，0，，25，中，非负整数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型七：数轴的三要素及其画法 解题思路：①核对数轴是否具备原点；②核对数轴是否标注正方向（箭头）；③核对数轴单位长度是否统一；④三项要素缺一不可，缺少任意一项则不是标准数轴。 19．数轴是一条规定了______、______和单位长度的______． 20．下列各图中，表示数轴正确的是（    ） A． B． C． D． 21．关于数轴下列作法最准确的是（    ） A．   B．     C．   D．   题型八：用数轴上的点表示有理数 解题思路：①原点对应数字0；②正数在原点右侧，负数在原点左侧；③分数、小数按照单位长度等分比例确定对应点的位置。 22．如图，“”所指的位置表示的数可能是（     ） A．12 B．14 C．16 D．18 23．如图， （1）如果“C”表示的数是5，那么“A”表示的数是______________； （2）如果“B”表示的数是，那么“C”表示的数是______________． 24．公元十七世纪，法国数学家笛卡尔从蜘蛛网获得了启示，提出了“数轴”的概念．如图，数轴上点所表示的数可能是（　　） A． B． C． D．5 题型九：利用数轴比较有理数的大小 解题思路：①把待比较的各个数对应标记在数轴上；②依据数轴规则，观察各点的左右位置；③数轴上右侧点表示的数大于左侧点表示的数。 25．如图，下列数轴上的点表示的数最小的是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 26．有理数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，那么这三个数中绝对值最大的数是_____ ． 27．是有理数，它们在数轴上的对应点的位置如图所示，把按照从小到大的顺序排列，正确的是（    ） A． B． C． D． 题型十：数轴上点的平移 解题思路：①确定点的起始位置对应的数值；②向右平移执行加法，向左平移执行减法；③终点数值=起始数值±平移距离，平移距离取正值，方向决定运算符号。 28．如图，在数轴上将点向右移动4个单位长度得到点，则点表示的数是（    ） A． B．1 C．2 D．3 29．如图，点在数轴上，点在数轴上点右侧个单位长度的位置，点在数轴上与点距离个单位长度，则点表示的数是________． 30．数轴上的点A 、B 、C 、D所表示的数如图所示，点M 为线段的中点，线段沿数轴以每秒2个单位长度向右平移，同时，点D沿数轴以每秒m 个单位长度向左平移．当点M 和点C 重合时同时停止运动．若在运动过程中始终满足，则m 的值为（   ） A．2 B． C．4 D．5 题型十一：数轴上找原点 解题思路：①计算数轴上已知两点之间的距离；②结合两点的正负特征；③参照原点的几何属性反向推导原点所在位置。 31．如图，数轴上有三个点，其中是线段的中点，则原点的位置（ ） A．位于线段上，且靠近点 B．位于线段上，且靠近点 C．位于线段上，且靠近点 D．位于线段上，且靠近点 32．如图，若，则该数轴的原点可能为（　　） A．A点 B．B点 C．C点 D．D点 33．有理数，在一条隐藏原点的数轴上，对应点，的位置如图所示，且，下列推断正确的是（     ）． A．原点一定在点左侧 B．不能确定原点的位置 C．原点一定在中点左侧 D．原点一定在中点右侧 题型十二：数轴上整点覆盖问题 解题思路：①判断线段两个端点是否为整数；②若两个端点均为整数，则线段覆盖整点数量=线段长度+1；若端点不全为整数，则覆盖整点数量为线段长度的整数部分或整数部分加1；③区分闭区间包含端点、开区间不包含端点的规则。 34．如图，小芳在写作业时，不慎将墨水滴在数轴上，根据图中的数值，判断墨水盖住部分的整数个数有（ ）个． A．4 B．5 C．6 D．7 35．在数轴上有一段线段，长度为，，该线段在数轴上运动，除原点外，这条线段覆盖的整数点最少为____． 36．在数轴上任取一条长度为的线段，则这条线段最多能覆盖的整数点有（     ）个 A． B． C． D． 题型十三：数轴上的规律探究 解题思路：①依次写出前若干次运动后点对应的数值；②归纳点位变化的周期循环规律；③用总运动次数除以周期，根据余数判定最终点位。 37．在数轴上，点所表示的数为，现将点沿数轴做如下移动，第一次将点向左移动个单位长度到达点，第二次将点向右移动个单位长度到达点，第三次将点向左移动个单位长度到达点，按照这种移动规律进行下去，第次移动到点，那么点所表示的数为（    ） A． B． C． D． 38．如图，圆的周长为个单位长度，在该圆的四等分点处分别标上数字，，，，先让圆周上表示数字的点与数轴上表示的点重合，再将圆沿着数轴向右滚动，则数轴上表示的点与圆周上表示________的点重合． 39．正六边形在数轴上的位置如图所示，点和对应的数分别为1和0，若正六边形绕顶点逆时针方向在数轴上向左连续翻转，翻转1次后，点所对应的数为．按此规律继续翻转下去，数轴上所对应的顶点是（    ）    A．A B．B C．C D．D 题型十四：相反数的定义 解题思路：①观察两个数，仅符号不同，数值完全相等则互为相反数；②数a的相反数为-a；③0的相反数是0，相反数为成对概念，不能单独称某一个数是相反数。 40．2035的相反数是（     ） A． B． C． D． 41．有理数a，b，c，d在数轴上的位置如图所示，与互为相反数的可能是（     ） A．a B．b C．c D．d 42．如图是一个正方体的展开图，若相对面上的两个数互为相反数，则等于（    ）    A． B．1 C．7 D． 题型十五：化简多重符号 解题思路：①统计表达式中负号的总个数；②负号个数为偶数，化简结果符号为正；负号个数为奇数，化简结果符号为负；③也可逐层去掉括号完成符号化简。 43．计算：（ ） A． B． C． D． 44．下列各式比较大小正确的是（     ） A． B． C． D． 45．下列各对数中，相等的一对是（　　） A．与 B．与 C．与 D．与 题型十六：相反数的应用 解题思路：①识别条件：两数互为相反数；②利用等价关系：互为相反数的两数之和等于0；③据此建立等式，求解未知参数。 46．下列说法：①若互为相反数，则，②若，则互为相反数；③若互为相反数，则；④若，则互为相反数．其中正确的结论是（    ） A．①② B．①④ C．①②③ D．①②④ 47．若与互为相反数，则=_______ 48．若．则的相反数是（    ） A．1 B．3 C． D． 题型十七：绝对值的几何意义 解题思路：①理解|a-b|的几何含义，代表数轴上数a与数b对应两点间距离；②距离数值恒大于等于0；③求两点距离，对两数作差后求取绝对值。 49．如图，数轴上的点表示的数中，绝对值最小的是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 50．当取得最小值时，x满足_____ 51．直线上有，，，四个点，其中（   ）最接近0． A． B． C． D． 题型十八：求一个数的绝对值 解题思路：①判断待求数的正负属性；②正数绝对值等于本身，0的绝对值等于0，负数绝对值等于它的相反数；③代入对应规则得到结果。 52．下列计算正确的是（ ） A． B． C． D． 53．下面各数中，最接近的是（     ） A． B． C． D． 54．如果，，那么的结果是(        ) A． B． C．或 D．或 题型十九：绝对值非负性 解题思路：①明确性质：任意有理数的绝对值大于或等于0；②观察题干：若干个非负数相加等于0；③得到结论：每一个非负数项均等于0，据此列等式求解。 55．若a为有理数，则下列说法正确的是（   ） A．的值是正数 B．的值是负数 C．的值是正数 D．的值小于1 56．如果为有理数，式子存在最大值，这个最大值是（   ） A．2025 B．4050 C．20 D．0 57．已知，，均为整数，且满足，则的值为______． 题型二十：绝对值的其他应用 解题思路：①判断绝对值符号内的数或代数式的正负；②若内部为正，直接去掉绝对值符号；③若内部为负，去掉绝对值符号后，整体取该数或代数式的相反数。 58．大模型的引入，显著提升了工业产品的精密度．下面是某厂四台接入大模型的机床生产的轴承的误差数据，其中精确程度最高的是（     ） A． B． C．D． 59．某校将举办中学生天文知识竞赛，由学生会承办此次活动．该校教学楼共5层，若从1层到5层每层学生志愿者人数分别是10，9，7，5，6．要使所有学生志愿者到会议地点爬楼的距离之和最短，会议地点应设在第____层． 60．若有理数、满足，，则的值等于（    ） A． B． C． D．以上都不对 题型二十一：有理数大小比较 解题思路：①先区分数的正负，正数大于0，0大于负数，正数大于一切负数；②两个负数比较大小，对比二者绝对值；③绝对值越大，该负数本身数值越小。 61．下面四个数中，最大的数是（     ） A． B． C． D． 62．比较大小：_____． 63．下列各组数中，比较大小正确的是（    ） A． B． C． D． 64．已知，，且，则，，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 题型二十二：有理数大小比较的实际应用 解题思路：①把实际情境中的各类数据转化为有理数；②调用有理数大小比较法则；③完成数据之间的大小判定。 65．小明买了袋标准质量为克的食品，他对这袋食品的实际质量进行了检测，检测结果如下（用正数记超过标准质量的克数，用负数记不足标准质量的克数）： 第一袋 第二袋 第三袋 第四袋 其中最重的是（     ） A．第一袋 B．第二袋 C．第三袋 D．第四袋 66．小丽在4张同样的卡片上各写了一个正整数，从中随机抽取2张，并将它们上面的数相加．重复这样做，每次所得的和都是6，8，10，12中的一个数，并且这四个数都能取到．在下列四个结论中： ①卡片上的数最小可以是1； ②卡片上的数最大可以是10； ③卡片上的数可以是4个连续的整数； ④卡片上的数有且仅有2个数相等． 其中所有正确结论的序号是______． 67．年月日～日嘉嘉与淇淇相约去跑步，两人手机“微信运动”的步数统计如下表（步数单位：千步），下列结论正确的是（     ） 日期 嘉嘉 淇淇 A．淇淇单日的步数最多是步 B．淇淇单日的步数高于嘉嘉的有天 C．月日，嘉嘉的步数一定比淇淇的多 D．月日，淇淇的步数低于嘉嘉的 解答题 1．化简： (1)； (2)； (3)； (4)． 2．把下列各数填入相应的大括号里：，，，，，，，，． 正有理数集合： 非正整数集合： 正分数集合： 负分数集合： 3．解答下列问题： (1)某人转动转盘，如果用圈表示沿逆时针方向转了5圈，那么沿顺时针方向转了12圈怎样表示? (2)在某次乒乓球质量检测中，如果一个乒乓球的质量高于标准质量记作，那么表示什么? (3)某大米包装袋上标注着“净含量：”，这里的“”表示什么? 4．解答下列各题 (1)如图，数轴上点A，B，C，D分别表示什么数？ (2)画出数轴，并用数轴上的点表示下列各数： ，，0，5，，，3，． 5．已知，且，你会借助数轴，将a、b、、、0按从小到大的顺序排列吗？ 分析、解题步骤如下： (1)【理解概念】 数轴上表示一个数的点与 的距离叫做这个数的绝对值． (2)【由数到形】 在数轴上先描出表示a、b的点A、B，再描出表示、的点C、D． (3)【由形到数】 借助数轴，可将a、b、、、0按从小到大的顺序排列为 ． 6．先阅读下面的材料，然后解答问题： 在一条直线上有依次排列的n（）台机床工作，我们要设置一个零件供应站P，使这n台机床到供应站P的距离总和最小，要解决这个问题先“退”到比较简单的情形． 如图（1），如果直线上有2台机床时，很明显设在和之间的任何地方都行，因为甲和乙所走的距离之和等于和的距离． 如图（2），如果直线上有3台机床时，不难判断，供应站设在中间一台机床，处最合适，因为如果P不放在处，甲和丙所走的距离之和恰好是到的距离，可是乙还得走从到P的这一段，这是多出来的，因此P放在处最佳选择． 不难知道，如果直线上有4台机床，P应设在第二台与第3台之间的任何地方，有5台机床，P应设在第3台位置．问题： (1)有n台机床时，P应设在何处？ (2)根据（1）的结论，求的最小值． 7．如图，数轴上每个刻度为1个单位长度，点A表示的数是． (1)在数轴上标出原点； (2)点B表示的数是 ； (3)若点A，B同时以相同速度沿数轴正方向运动，当点A运动到原点时，求此时点B在数轴上对应的数． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $