专题04有理数的加减运算知题通关(核心重点+高频易错+题型精讲+拔高练习)2026-2027学年北师大版七年级数学上册

专题04有理数的加减运算知题通关讲义 知识点01:有理数加法法则（四大分类，必考背诵） 设两数a、b，分四类情况： 1.同号两数相加 法则：取相同的符号，并把绝对值相加。 例 1：(+3)+(+5)=+(3+5)=8 例 2：(-3)+(-5)=-(3+5)=-8 2.异号两数相加（绝对值不相等） 法则：取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。 例 1：(-8)+(+3)=-(8-3)=-5 例 2：(+9)+(-4)=+(9-4)=5 3.互为相反数的两数相加 法则：和为 0。 例：(-7)+7=0，3.2+(-3.2)=0 4.一个数与 0 相加 法则：仍得这个数。 例：0+(-6)=-6，12+0=12 5.加法运算步骤 (1)判断两数符号，区分同号、异号、含 0 三种情况； (2)确定和的符号； (3)计算绝对值的和或差； (4)组合符号与数值，得出结果。 6.有理数加法分类对比记忆表 知识点02:加法运算律（简化混合计算核心） 有理数范围内，加法交换律、结合律仍然成立 加法交换律：a+b=b+a，交换加数位置，和不变 加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c).，改变相加顺序，和不变 四大简便凑整分组技巧（阅卷得分方法） · 互为相反数的先结合，凑0； · 同号数字先结合； · 小数、分数能凑整数的优先结合； · 分母相同的分数合并计算。 例：(-5)+7+5=(-5+5)+7=0+7=7 知识点03:有理数的减法 （一）减法法则 减去一个数，等于加上这个数的相反数。 公式：a-b=a+(-b) 核心：减法统一转化为加法计算。 （二）减法计算两步变形 把减号变为加号；. 将减数换成它的相反数，被减数保持不变。 举例： 8-12=8+(-12)=-4 -3-(-6)=-3+6=3 -5-4=-5+(-4)=-9 知识点04:有理数加减混合运算 （一）统一成加法算式 所有减法按照法则转化为加法，式子全部变为几个有理数相加的形式。 例：(-7)-(+9)+(-3)-(-6) 转化：(-7)+(-9)+(-3)+6 （二）省略括号与加号（和式写法） 正数前的 “+”、括号可以省略，只保留数字自带符号，读作 “负 7 减 9 减 3 加 6” 或 “负 7、负 9、负 3、正 6 的和”。 上式简写：-7-9-3+6 （三）加减混合运算顺序与简便方法 1.无括号：从左往右依次计算； 2.有括号：先算括号内部； 3.简便运算思路：运用加法交换律、结合律归类计算 ① 所有正数结合在一起相加； ② 所有负数结合在一起相加； ③ 最后将两部分结果做异号相加。 知识点05:数轴辅助理解加减运算（数形结合考点） 加法：向右加正数，向左加负数 例：-2+3，数轴上-2点向右移动 3 个单位，结果为1； 减法：a-b等价于a+(-b)，向左移动b个单位 例：1-4，数轴上1点向左移动 4 个单位，结果为(-3)。 知识点06:有理数加减实际应用题型 1.通用解题步骤 (1)设定正负标准：规定上升、收入、零上、向东为正，相反量为负； (2)根据题意列出有理数加减混合算式； (3)计算代数和； (4)根据结果正负、数值回答实际意义。 2.常见应用场景 温度变化：初始温度 ± 升降温度； 海拔高度：基准高度 ± 上下浮动； 收支盈亏：原有金额 ± 收入 / 支出； 行程移动：初始位置 ± 前进 / 后退距离。 知识点07:数轴上两点间的距离 定义：数轴上两点之间线段的长度，距离一定是非负数。 计算方法：两点所表示数字大数 − 小数 例：表示-2和3两点距离：3-(-2)=5。 特殊：一个数到原点的距离，就是这个数去掉正负号后的数值，为后续绝对值铺垫。 1. 做加法时，不管加数符号，全都把绝对值相加 提醒：同号两数相加，取相同符号，绝对值相加；异号两数相加，取绝对值较大数的符号，用大绝对值减小绝对值，不能全部直接相加。 2. 异号两数相加，误把绝对值较小数的符号当作结果符号 提醒：异号相加，和的符号由绝对值更大的那个加数决定。 3. 误以为两个有理数相加，和一定大于每一个加数 提醒：如果加数里有负数，和有可能比其中一个甚至两个加数都小，例如：2+(-3)=-1。 4. 加减混合式交换位置时，只移动数字，不带它前面的符号 提醒：在省略括号的和式里，数字和它前面的符号是一个整体，移动时必须一起移动。 5. 做减法时，仍然沿用小学习惯，只能用大数减小数 提醒：有理数减法不受数字大小限制；法则：a-b=a+(-b)，减去一个数，等于加上这个数的相反数。 6. 减法转化成加法时，只把减号改成加号，没有改变减数的符号 提醒：必须同时完成两处变换：减号变加号、减数变为它的相反数，两步缺一不可。 7. 化简多重符号时，只看最外面的符号，不去数负号的个数 提醒：负号总个数为偶数，结果为正；负号总个数为奇数，结果为负。 8. 使用加法交换律时，只挪动数字，漏掉数字前面的性质符号 提醒：交换的是带符号的数，不能把数字和它的符号拆开。 9. 括号前面是负号，去括号时只改变括号内第一项的符号 提醒：括号前为负号，去掉括号后，括号里每一项都要变号；括号前为正号，各项符号不变。 10. 误认为减法也满足交换律，可以随意交换被减数与减数 提醒：减法没有交换律，一般情况下 a-b≠b-a，二者互为相反数。 11. 在连加减算式里，自行删掉或者改动数字前面的符号 提醒：原式中的性质符号是固定的，不能凭自己的感觉随意修改、省略。 12. 误以为两个有理数相减，差一定小于被减数 提醒：减去一个负数，相当于加上一个正数，差可以比被减数大，例如：5-(-2)=7。 题型 考察方向 难度 题型一 有理数加法运算 ★ 题型二 有理数加法中的符号问题 ★★ 题型三 有理数加法在生活中的应用 ★★ 题型四 有理数加法运算律 ★★ 题型五 有理数的减法运算 ★ 题型六 有理数减法的实际应用 ★★ 题型七 有理数的加减混合运算 ★★ 题型八 有理数加减中的简便运算 ★★★ 题型九 有理数加减混合运算的应用 ★★★ 题型十 省略加法和括号的形式 ★ 题型十一 根据点在数轴的位置判断式子的正负 ★★★ 题型十二 数轴上两点之间的距离 ★★★ 拔高题 4题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★压轴 题型一 有理数加法运算 1．计算：_________． 【答案】 【详解】解：． 2．我们知道十进制加法运算要注意满十进一，而二进制加法运算要注意满二进一，则二进制下的（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二进制的加法运算，解题的关键是遵循“满二进一”的运算规则，从低位到高位逐位相加并处理进位． 【详解】解：∵ ∴． 故选：C． 3．在如图的的方格表中选4个方格，要求每行和每列均恰有一个方格被选中，选中方格中的4个数之和的最大值是___________． 【答案】112 【分析】本题主要考查了选数求和．熟练掌握选数规则，分类讨论求和，是解题的关键． 根据选4个方格，要求每行和每列均恰有一个方格被选中，选中方格中的4个数求和有8种情况，分别计算比较即得． 【详解】选中4个数分以下8种情况： 图1：， 图2：， 图3：， 图4：， 图5：， 图6：， 图7：， 图8：， ∴4个数和的最大值为112． 故答案为：112． 4．定义运算：，， ，， ，， （1）请你认真思考上述运算，归纳“”运算的法则：两数进行“”运算时，______；特别的，0与任何数进行“”运算或任何数与0进行“”运算，都得这个数的绝对值． （2）计算：______． 【答案】 同号结果为正，异号结果为负，并把绝对值相加 【分析】本题考查定义新运算，有理数的混合运算，掌握新运算的法则，是解题的关键： （1）根据给出的算式，进行归纳即可； （2）根据新运算的法则，列出算式进行计算即可． 【详解】解：（1）由题意，两数进行“”运算时，同号结果为正，异号结果为负，并把绝对值相加； 故答案为：同号结果为正，异号结果为负，并把绝对值相加； （2）原式； 故答案为：． 题型二 有理数加法中的符号问题 5．下列式子不可读作“负1，负3，正6，负8”的和的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】几个数相加即为几个数的和，根据有理数和的定义解答． 【详解】解：A、-1-3+6-8可读作“负1，负3，正6，负8”的和，故不符合题意； B、=-1+（-3）+（-6）+（+8），不可读作“负1，负3，正6，负8”的和，故符合题意； C、=-1+（-3）+（-6）+（-8），可读作“负1，负3，正6，负8”的和，故不符合题意； D、=-1+（-3）+（-6）+（-8），可读作“负1，负3，正6，负8”的和，故不符合题意； 故选：B． 【点睛】此题考查了多个有理数加法运算的读法，正确掌握读法是解题的关键． 6．如果a、b异号，且a+b<0，则下列结论正确的是（    ） A．a>0，b>0 B．a<0，b<0 C．a，b异号，且正数的绝对值较大 D．a，b异号，且负数的绝对值较大 【答案】D 【分析】两数异号，两数之和小于0，说明两数一正一负，且负数的绝对值大． 【详解】解：∵a+b＜0， ∴a，b同为负数，或一正一负，且负数的绝对值大， ∵a，b异号， ∴a、b异号，且负数的绝对值较大． 故选：D． 【点睛】本题考查了有理数的加法，熟知有理数加法运算法则是解本题的关键． 7．若，，，则下列关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了有理数大小比较的方法，由于，，，则，，进而可得答案． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴， ∴， 故选：D． 题型三 有理数加法在生活中的应用 8．下列问题情境，不能用加法算式表示的是（   ） A．数轴上表示与10的两个点之间的距离 B．某日最低气温为，温差为，求该日的最高气温 C．用10元纸币购买2元文具后找回的零钱 D．水位先下降，再上升后的水位变化情况 【答案】A 【分析】根据问题情境依次列出每个问题的算式即可得出正确答案． 本题考查正负数的意义，以及有理数加法的实际应用．根据问题情境，正确的列出算式，是解题的关键． 【详解】A.数轴上表示 与 的两个点之间的距离为，不能用加法算式表示，符合题意； B. 某日最低气温为，温差为，该日最高气温可以表示为，不符合题意； C. 用10元纸币购买2元文具后找回的零钱可以表示为，不符合题意； D. 水位先下降，再上升后的水位变化情况可以表示为，不符合题意； 故选：A． 9．标有1－25号的25个座位如图摆放．甲、乙、丙、丁四人玩选座位游戏，甲选2个座位，乙选3个座位，丙选4个座位，丁选5个座位，游戏规则如下：①每人只能选择同一横行或同一竖列的座位；②每人使自己所选的座位号数字之和最小；③座位不能重复选择．如果按“甲、乙、丙、丁”的先后顺序选座位，那么甲选1，2号座位，乙选3，4，5号座位，丙选7，8，9，10号座位，丁选13，14，15，16，17号座位，此时四人所选的座位号数字之和为124，如果按“丁、丙、乙、甲”的先后顺序选座位，那么四人所选的座位号数字之和为________． 【答案】 【分析】根据游戏规则，按“同一横行”，分别得出丁、丙、乙、甲所选的数，再把它们相加即可. 【详解】解：由每人只能选择同一横行或同一竖列的座位的原则， 可得丁选择了： 和为 丙选择了：和为 乙选择了： 和为 甲选择了：，和为 故四人所选的座位号数字之和为： ， 答案为： 【点睛】本题考查了有理数的加法，理解题意，弄清游戏规则是解题的关键． 10．甲城市与乙城市的时差为两城市同一时刻的时数之差，如同一时刻北京为时，东京时间为，巴黎时间为，那么东京与北京的时差为，巴黎与北京的时差为．已知卡塔尔与北京的时差为，2022世界杯开幕式于北京时间2022年11月21日0时在卡塔尔卢塞尔体育场举行，此时卡塔尔卢塞尔的时间为（　　） A．11月20日05时 B．11月20日19时 C．11月21日05时 D．11月21日19时 【答案】B 【分析】卡塔尔与北京的时差为，根据有理数的加法运算法则进行计算即可． 【详解】解：卡塔尔与北京的时差为，2022世界杯开幕式于北京时间2022年11月21日0时在卡塔尔卢塞尔体育场举行， ， 卡塔尔卢塞尔的时间为11月20日19时． 故选B 【点睛】本题考查了有理数的加法，熟练掌握运算法则并理解时差的概念是解题的关键． 题型四 有理数加法运算律 11．如图是小明有理数计算的一部分，在计算过程中使用的运算律表述正确的是（    ） A．①加法交换律②加法结合律 B．①②都是加法交换律 C．①加法结合律②加法交换律 D．①②都是加法结合律 【答案】A 【分析】本题考查加法运算律，根据加法交换律和结合律判断即可求解． 【详解】解：根据计算过程，第①步使用了加法交换律，第②步使用了加法结合律， 故选：A． 12．7+（–3）+（–4）+18+（–11）=（7+18）+[（–3）+（–4）+（–11）]是应用了 A．加法交换律 B．加法结合律 C．分配律 D．加法交换律与结合律 【答案】D 【分析】式子由7+（–3）+（–4）+18+（–11）变为（7+18）+[（–3）+（–4）+（–11）]在这个过程中运用了加法的运算定律加法交换律和加法结合律． 【详解】7+（–3）+（–4）+18+（–11）=（7+18）+[（–3）+（–4）+（–11）]是应用了加法交换律与结合律． 故选D． 【点睛】本题考查了有理数的加减混合运算，在解答中运用了加法交换律和加法结合律． 13．（1）计算：________． （2）计算：________． 【答案】 1012 1013 【分析】本题考查有理数的加法，掌握加法结合律是解题的关键． （1）利用加法结合律计算即可； （2）利用加法结合律计算即可． 【详解】解：（1） ， 故答案为：1012； （2） ， 故答案为：1013． 题型五 有理数的减法运算 14．计算：______． 【答案】 【详解】解：． 15．某同学在计算时，误将“+”看成“”，结果是，则的正确结果是（   ） A． B． C．12 D．20 【答案】B 【分析】本题考查有理数的加减，掌握知识点是解题的关键． 先按错误的运算符号来列式，可得，求得a，再按正确的运算符号来重新计算，即可解答． 【详解】解：由题意，得， ∴， 则． 故选B． 16．已知有理数和，若添一个有理数，使得这三个数中最大的数与最小的数的差为，则的值为________． 【答案】7或 【分析】本题考查了有理数的减法，分为两种情况：①为最大数，②为最小数，再求出即可，能正确运用分类讨论思想进行计算是解此题的关键． 【详解】解：有两种情况：①为最大数，此时， 解得：； ②为最小数，此时， 解得， 综合上述：的值是7或， 故答案为：7或． 17．设表示大于的最小整数，如，，则（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了有理数的减法，根据题意表示大于的最小整数，即可得出答案． 【详解】解：∵表示大于的最小整数， ． 故选：B． 题型六 有理数减法的实际应用 18．大连某景区当日最高气温，最低气温，这天最高气温比最低气温高（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：， 即这天最高气温比最低气温高． 19．如图，某工程队测得点P的海拔为，点Q的海拔为，则点P与点Q之间的高度差为______ 【答案】 【分析】求点P与点Q之间的高度差，即用点P的海拔减去点Q的海拔，列式为，计算即可． 【详解】解：由题意得，点P的海拔为，点Q的海拔为， ∴点P与点Q之间的高度差为：． 20．某垃圾值守点有甲、乙、丙、丁四名志愿者，某一天每人可参与值守时间段如下表所示： 志愿者 可参与值守时间段1 可参与值守时间段2 甲 乙 丙 丁 已知每名志愿者一天至少要参加一个时间段的值守，任意时刻垃圾值守点同时最多需要2名志愿者值守，则该值守点这一天所有参与值守的志愿者的累计值守时间最最长为（    ）小时．（假设志愿者只要参与值守，就一定把相应时间段全部值完） A．12 B．14 C．16 D．18 【答案】B 【分析】本题主要考查简单的极端原理，关键是理解清楚每个人至少参加一个时间段的值守，同一时间值守的人不能超过两个的含义． 【详解】要使时间最长，即每人尽量都参加两次值守，且同一时间值守的人不能超过两个， 时间段，同时有三个人值守，不符合题意，去掉时间段最短的丁， 最长时间． 故选B． 题型七 有理数的加减混合运算 21．对于算式“”，嘉嘉和琪琪有不同的读法： 嘉嘉：负10、正2、负5、正6的和； 琪琪：负10加2减5加6． 则对两人的读法，判断正确的是（    ） A．嘉嘉和琪琪都对 B．嘉嘉和琪琪都错 C．嘉嘉对，琪琪错 D．嘉嘉错，琪琪对 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，加法是减法的逆运算． 根据有理数的加法运算，可得出此式子表示负10、正2、负5、正6的和，或者是负10加2减5加6． 【详解】解：此式子表示负10、正2、负5、正6的和，或者是负10加2减5加6． 故选：A． 22．按如图所示的程序运算（完成一个方框内的运算后 把结果输入下一个方框继续进行运算），若输入的值为，则输出的结果是（    ） A．4 B．9 C．15 D．18 【答案】A 【分析】本题考查了程序图运算． 将代入程序图进行运算，当结果时输出即可． 【详解】解：把代入程序中得：， 把代入程序中得：， 把代入程序中得：， 则输出结果为． 故选：A． 23．如图是一个二阶幻圆模型，现将，2，，4，，6，，8分别填入圆圈内，使得横、纵向以及内外圆圈上的4个数字之和都相等． （1）b的值为_______； （2）的值是_______． 【答案】 5或 【分析】本题考查了有理数的加法，解决本题的关键是依据八个数的和与横、纵向以及内外圆圈上的4个数字之和都相等得到：两个圈的和为2；横、竖的和也为2． 由八个数的和为4及横、纵向以及内外圆圈上的4个数字之和都相等可得，两个圈的和为2，横、竖的和也是2，从而可设出两空白圈的数，列等式求解即可． 【详解】解：， ∵横、纵向以及内外圆圈上的4个数字之和都相等，且， ∴， 即， ∴，解得， 将代入，得 解得， ∵， ∴， ①当时，，符合题意； 则， 当时，，符合题意； 则， 综上所述，，或． 故答案为：（1），（2）5或． 24．计算的结果为（   ） A．1013 B． C．2025 D． 【答案】A 【分析】此题考查了有理数的加减混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 原式两个一组结合后，相加即可得到结果． 【详解】解：原式=， , , . 故选：A. 题型八 有理数加减中的简便运算 25．计算，最适当的方法是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了有理数加法的交换律和结合律，解题的关键是熟练掌握有理数的加法运算律． 【详解】解：． 故选：D． 26．小磊解题时，将式子先变成再计算结果，则小磊运用了（    ） A．加法交换律 B．加法结合律 C．加法交换律和加法结合律 D．以上均不正确 【答案】C 【分析】根据加法交换律和加法结合律进行计算即可求解． 【详解】解：将式子先变成再计算结果，则小磊运用了加法交换律和加法结合律 故选：C． 【点睛】本题考查了有理数的加法运算律，熟练掌握加法交换律和加法结合律是解题的关键． 27．计算：________． 【答案】 【分析】本题考查有理数的加减运算，两两一组分别计算即可． 【详解】解：原式 ， 故答案为：． 题型九 有理数加减混合运算的应用 28．一天早晨的气温是，中午上升了，晚上又下降了，晚上的气温是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，根据气温上升为正、下降为负列出算式，再依据有理数加减法法则计算即可，理解题意是解题的关键． 【详解】解：， 故选：． 29．甲、乙两人参与两个科技项目：（人工智能算法开发）和（物联网设备开发）．在项目中，甲第一天能开发个模块，之后每多连续工作一天，开发数量（最少个）比前一天减少个；乙第一天能开发个模块，之后每多连续工作一天，开发数量（最少个）比前一天减少个；在项目中，甲每天固定开发个模块，乙每天固定开发个模块．两人每日需选择不同项目工作，且在某一项目连续工作少于天时不可切换项目． ①甲在项目连续工作天能开发模块______个； ②一个科技系统需个模块和个模块，则天最多能组装______套系统． 【答案】 196 【分析】①由题意列出算式即可； ②由题意得甲在项目连续工作天最多能开发模块个，甲在项目连续工作天最多能开发模块个，乙在项目连续工作天最多能开发模块个，乙在项目连续工作天最多能开发模块个，每6天为一个循环，每6天组装套系统，最后两天分别计算开发两种不同系统，再列式计算即可． 【详解】解：①由题意可得：甲在项目连续工作天能开发模块个； ②一个科技系统需个模块和个模块， 天两模块同时开发出数量最多， 甲在项目连续工作天最多能开发模块个，乙在项目连续工作天最多能开发模块个， 甲在项目连续工作天最多能开发模块个，乙在项目连续工作天最多能开发模块个， ∴每6天为一个循环，每6天组装套系统， ∵， ①每一组先安排21套系统，再安排24套系统，最后两天甲开发模块个，乙开发模块个， ∴天最多能组装模块套系统． ②每一组先安排21套系统，再安排24套系统，最后两天甲开发模块个，乙开发模块个， 天最多能组装模块套系统． ∵ ∴一个科技系统需个模块和个模块，则天最多能组装196套系统． 故答案为：①；②． 【点睛】本题考查的知识点是有理数混合运算，解题关键是根据题意列出算式解答． 30．为表示河流水位的变化情况，记水位上升为正，下降为负（水位升降是与前一天相比）．已知甲地和乙地的七日水位变化情况如下表所示（单位：m），则下列说法中正确的是（    ） 类别 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 甲地 乙地 A．甲地第七天后的最终水位比初始水位高 B．乙地第七天后的最终水位比初始水位高 C．这七天内，甲地的水位变化比乙地小 D．在第六天时，乙地的水位达到七天中的最高峰 【答案】D 【分析】本题考查有理数运算的实际应用．熟练掌握正负数的意义是解题的关键． 正确的列出算式，依次进行计算判断即可得到答案． 【详解】解：A、， 可知甲地第七天后的最终水位比初始水位低，故该选项错误； B、； 可知乙地第七天后的最终水位比初始水位低，故该选项错误； C、这七天内，乙地的水位变化比甲地的水位变化小，故该选项错误； D、在第六天时，乙地的水位达到七天中的最高峰，正确，该项符合题意； 故选：D 题型十 省略加法和括号的形式 31．把写成省略加号和括号的形式______． 【答案】 【分析】先将减法转化为加法，再省略加号和括号即可得到省略形式． 【详解】解：原式． 32．把写成省略括号的形式为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：． 33．将写成省略加号的和的形式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查化简多重符号，根据相反数的意义即可得出答案，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：， 故选：B． 题型十一 根据点在数轴的位置判断式子的正负 34．如图，数轴上，两点分别对应实数，，点为原点，且，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查由数轴上点的位置关系判断代数式符号，数形结合是解决问题的关键． 由题意，结合图形可知，，且，逐项验证各个选项中结论的正误即可得到答案． 【详解】解：由题意，结合图形可知，，且， A、由，且，知，选项中的结论错误，不符合题意； B、由，知，选项中的结论错误，不符合题意； C、由，知，，即，选项中的结论错误，不符合题意； D、由，且，知，选项中的结论正确，符合题意； 故选：D． 35．如下图所示，在数轴上的位置，用“”“”“”填空：    （）______； （）______． 【答案】 【分析】本题考查了数轴，有理数的运算，由数轴判断出符号和大小，根据有理数的运算法则即可求解，通过数轴判断出符号和大小是解题的关键． 【详解】解：由数轴可得，， ∴，， 故答案为：，． 36．有理数、在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查根据数轴上点的位置判断数或式的大小关系，能根据数轴上点的位置得到数的符号和绝对值的大小是解题的关键． 根据数轴上的数右侧的数总比左侧的大，得到相应的大小关系，再逐项判断即可． 【详解】解：A．由数轴观察得，故该选项错误，不合题意； B．观察数轴可得，则，故该选项正确，符合题意； C．观察数轴得，则，故该选项错误，不合题意； D． 观察数轴可得，故该选项错误，不合题意． 故选：B． 题型十二 数轴上两点之间的距离 37．下列各数在数轴上对应的点到原点的距离最大的是（   ） A．2 B．0 C． D． 【答案】D 【分析】数轴上点到原点的距离等于该数的绝对值，只需计算各选项数的绝对值，比较大小即可得到结果． 【详解】解：∵数轴上一个数对应的点到原点的距离等于这个数的绝对值， ∴分别计算各数的绝对值： ，，，， 又∵， ∴对应的点到原点的距离最大． 38．如图，在水平放置的数轴上从左到右依次有A、B两点，若点A表示的数为，，则点B表示的数为______． 【答案】3 【分析】结合B点在A点的右侧，且点A表示的数为，，进行列式计算，即可作答． 【详解】解：依题意，点B表示的数为． 39．如图，在一条不完整的数轴上，从左到右的点A，B，C把数轴分成①②③④四部分，点A，B，C对应的数分别是a，b，c，已知，设原点为O，若点C表示数3，数轴上一点D表示的数为d，在O、C、D这三点中，当相邻两点的距离相等时，则d的值为________． 【答案】6或或 【分析】本题主要考查了数轴的应用、数轴上两点之间的距离、有理数的加减法等知识点，熟练掌握分类讨论是解题的关键． 分点C是的中点、点D是的中点、点O是的中点三种情况求解即可． 【详解】解：∵原点为O，若点C表示数3，数轴上一点D表示的数为d， ∴①当点C是的中点，， ，即； ②当点D是的中点时，，即； ③当点O是的中点时，，即． 综上所述，d的值为6或或． 40．若数轴上点表示的数是，则与点相距个单位长度的点表示的数是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查了数轴的知识，根据数轴上两点间的距离求解即可，熟练掌握数轴上两点间的距离计算公式是解题的关键． 【详解】解：∵数轴上若点表示的数是， ∴与点相距个单位长度的点表示是或， 故选：． 解答题 1．计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)3 (2) (3)18 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ． 2．计算（能简便的就简便计算）： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)； (8)． 【答案】(1)7 (2) (3)0 (4) (5) (6) (7)0 (8) 【分析】（1）去绝对值，计算即可； （2）化简符号即可； （3）同号的先结合再计算即可； （4）先化简符号，再计算即可； （5）同号的先结合，按顺序计算即可； （6）容易凑整的先结合，再计算即可； （7）分数化为小数，凑整计算即可； （8）按照去绝对值法则，去绝对值，巧算即可解答． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ； （5）解：原式 ； （6）解：原式 ； （7）解：原式 ； （8）解：原式 ． 【点睛】本题考查了有理数的加减运算．熟练掌握绝对值化简，化简符号，加减计算法则，运用运算律简便计算，是解决本题的关键． 3．a，b分别是数轴上两个不同点A，B所表示的有理数，且，，A，B两点在数轴上的位置如图所示： (1)试确定数a，b； (2)若C点在数轴上，C点到B点的距离是C点到A点距离的，求C点表示的数； (3)点P从A点出发，先向左移动一个单位长度，再向右移动2个单位长度，再向左移动3个单位长度，再向右移动4个单位长度，依次操作2025次后，求P点表示的数． 【答案】(1)，； (2)点表示的数为或； (3) 【分析】（1）根据绝对值的定义结合由数轴得出a，b的符号即可得； （2）先求出，分以下三种情况：点C在A，B之间、点C在点B右侧、若点在左侧时，画出图形即可作答； （3）根据平移的性质可知，点表示的数为，计算即可求解． 【详解】（1）解：，， ，， ∵由数轴可知，， ，； （2）解：∵，， ∴， ①若点在点的右侧，如图， 则， ∴点表示的数为：， ②若点在，点之间， 则， ， ∴点表示的数为：； ③若点在左侧时，如图， 显然，即不存在C点到B点的距离是C点到A点距离的，此种情况舍去； 综上，点表示的数为或； （3）解： ， 表示的数为． 4．2020年，由于疫情原因，山东省青岛市某地计划每天卖斤冬枣，但由于种种原因，实际每天的销售量有出入，下表是某周的销售情况（超额记为正，不足记为负，单位：斤） 星期 一 二 三 四 五 六 日 计划量的差额 (1)根据记录的数据可知销售量最多的一天比销售量最少的一天多销售　　斤； (2)此前的上个周日小明卖了斤冬枣，现在用正数表示比前一天多的销售量，负数表示比前一天少的销售量．完成下面的销量变化表： 星期 一 二 三 四 五 六 日 实际销售量比前一天的变化量 (3)求本周实际销售总量与计划总量相比，具体增加或减少了多少斤？ 【答案】(1) (2)见解析 (3)增加了斤 【分析】（1）先确定销售量最多、最少的一天对应的差额，用最大差额减去最小差额即可求解； （2）先计算出本周每天的实际销售量，再用当日实际销售量减去前一天的实际销售量，即可得到对应日期的销量变化量； （3）将本周每天与计划量的差额求和，根据结果的正负判断是增加还是减少，结果的绝对值即为变化的总量． 【详解】（1）解：（1）（斤）； （2）解：星期一实际销售（斤），相对前一天的变化量为：； 星期二实际销售（斤），相对前一天的变化量为：； 星期三实际销售（斤），相对前一天的变化量为：； 星期四实际销售（斤），相对前一天的变化量为：； 星期五实际销售（斤），相对前一天的变化量为：； 星期六实际销售（斤），相对前一天的变化量为：； 星期日实际销售（斤），相对前一天的变化量为：； 故列表如下： 星期 一 二 三 四 五 六 日 实际销售量比前一天的变化量 （3）解：（斤）， 答：本周实际销售总量与计划总量相比，具体增加了斤． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04有理数的加减运算知题通关讲义 知识点01:有理数加法法则（四大分类，必考背诵） 设两数a、b，分四类情况： 1.同号两数相加 法则：取相同的符号，并把绝对值相加。 例 1：(+3)+(+5)=+(3+5)=8 例 2：(-3)+(-5)=-(3+5)=-8 2.异号两数相加（绝对值不相等） 法则：取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。 例 1：(-8)+(+3)=-(8-3)=-5 例 2：(+9)+(-4)=+(9-4)=5 3.互为相反数的两数相加 法则：和为 0。 例：(-7)+7=0，3.2+(-3.2)=0 4.一个数与 0 相加 法则：仍得这个数。 例：0+(-6)=-6，12+0=12 5.加法运算步骤 (1)判断两数符号，区分同号、异号、含 0 三种情况； (2)确定和的符号； (3)计算绝对值的和或差； (4)组合符号与数值，得出结果。 6.有理数加法分类对比记忆表 知识点02:加法运算律（简化混合计算核心） 有理数范围内，加法交换律、结合律仍然成立 加法交换律：a+b=b+a，交换加数位置，和不变 加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c).，改变相加顺序，和不变 四大简便凑整分组技巧（阅卷得分方法） · 互为相反数的先结合，凑0； · 同号数字先结合； · 小数、分数能凑整数的优先结合； · 分母相同的分数合并计算。 例：(-5)+7+5=(-5+5)+7=0+7=7 知识点03:有理数的减法 （一）减法法则 减去一个数，等于加上这个数的相反数。 公式：a-b=a+(-b) 核心：减法统一转化为加法计算。 （二）减法计算两步变形 把减号变为加号；. 将减数换成它的相反数，被减数保持不变。 举例： 8-12=8+(-12)=-4 -3-(-6)=-3+6=3 -5-4=-5+(-4)=-9 知识点04:有理数加减混合运算 （一）统一成加法算式 所有减法按照法则转化为加法，式子全部变为几个有理数相加的形式。 例：(-7)-(+9)+(-3)-(-6) 转化：(-7)+(-9)+(-3)+6 （二）省略括号与加号（和式写法） 正数前的 “+”、括号可以省略，只保留数字自带符号，读作 “负 7 减 9 减 3 加 6” 或 “负 7、负 9、负 3、正 6 的和”。 上式简写：-7-9-3+6 （三）加减混合运算顺序与简便方法 1.无括号：从左往右依次计算； 2.有括号：先算括号内部； 3.简便运算思路：运用加法交换律、结合律归类计算 ① 所有正数结合在一起相加； ② 所有负数结合在一起相加； ③ 最后将两部分结果做异号相加。 知识点05:数轴辅助理解加减运算（数形结合考点） 加法：向右加正数，向左加负数 例：-2+3，数轴上-2点向右移动 3 个单位，结果为1； 减法：a-b等价于a+(-b)，向左移动b个单位 例：1-4，数轴上1点向左移动 4 个单位，结果为(-3)。 知识点06:有理数加减实际应用题型 1.通用解题步骤 (1)设定正负标准：规定上升、收入、零上、向东为正，相反量为负； (2)根据题意列出有理数加减混合算式； (3)计算代数和； (4)根据结果正负、数值回答实际意义。 2.常见应用场景 温度变化：初始温度 ± 升降温度； 海拔高度：基准高度 ± 上下浮动； 收支盈亏：原有金额 ± 收入 / 支出； 行程移动：初始位置 ± 前进 / 后退距离。 知识点07:数轴上两点间的距离 定义：数轴上两点之间线段的长度，距离一定是非负数。 计算方法：两点所表示数字大数 − 小数 例：表示-2和3两点距离：3-(-2)=5。 特殊：一个数到原点的距离，就是这个数去掉正负号后的数值，为后续绝对值铺垫。 1. 做加法时，不管加数符号，全都把绝对值相加 提醒：同号两数相加，取相同符号，绝对值相加；异号两数相加，取绝对值较大数的符号，用大绝对值减小绝对值，不能全部直接相加。 2. 异号两数相加，误把绝对值较小数的符号当作结果符号 提醒：异号相加，和的符号由绝对值更大的那个加数决定。 3. 误以为两个有理数相加，和一定大于每一个加数 提醒：如果加数里有负数，和有可能比其中一个甚至两个加数都小，例如：2+(-3)=-1。 4. 加减混合式交换位置时，只移动数字，不带它前面的符号 提醒：在省略括号的和式里，数字和它前面的符号是一个整体，移动时必须一起移动。 5. 做减法时，仍然沿用小学习惯，只能用大数减小数 提醒：有理数减法不受数字大小限制；法则：a-b=a+(-b)，减去一个数，等于加上这个数的相反数。 6. 减法转化成加法时，只把减号改成加号，没有改变减数的符号 提醒：必须同时完成两处变换：减号变加号、减数变为它的相反数，两步缺一不可。 7. 化简多重符号时，只看最外面的符号，不去数负号的个数 提醒：负号总个数为偶数，结果为正；负号总个数为奇数，结果为负。 8. 使用加法交换律时，只挪动数字，漏掉数字前面的性质符号 提醒：交换的是带符号的数，不能把数字和它的符号拆开。 9. 括号前面是负号，去括号时只改变括号内第一项的符号 提醒：括号前为负号，去掉括号后，括号里每一项都要变号；括号前为正号，各项符号不变。 10. 误认为减法也满足交换律，可以随意交换被减数与减数 提醒：减法没有交换律，一般情况下 a-b≠b-a，二者互为相反数。 11. 在连加减算式里，自行删掉或者改动数字前面的符号 提醒：原式中的性质符号是固定的，不能凭自己的感觉随意修改、省略。 12. 误以为两个有理数相减，差一定小于被减数 提醒：减去一个负数，相当于加上一个正数，差可以比被减数大，例如：5-(-2)=7。 题型 考察方向 难度 题型一 有理数加法运算 ★ 题型二 有理数加法中的符号问题 ★★ 题型三 有理数加法在生活中的应用 ★★ 题型四 有理数加法运算律 ★★ 题型五 有理数的减法运算 ★ 题型六 有理数减法的实际应用 ★★ 题型七 有理数的加减混合运算 ★★ 题型八 有理数加减中的简便运算 ★★★ 题型九 有理数加减混合运算的应用 ★★★ 题型十 省略加法和括号的形式 ★ 题型十一 根据点在数轴的位置判断式子的正负 ★★★ 题型十二 数轴上两点之间的距离 ★★★ 拔高题 4题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★压轴 题型一 有理数加法运算 1．计算：_________． 2．我们知道十进制加法运算要注意满十进一，而二进制加法运算要注意满二进一，则二进制下的（   ） A． B． C． D． 3．在如图的的方格表中选4个方格，要求每行和每列均恰有一个方格被选中，选中方格中的4个数之和的最大值是___________． 4．定义运算：，， ，， ，， （1）请你认真思考上述运算，归纳“”运算的法则：两数进行“”运算时，______；特别的，0与任何数进行“”运算或任何数与0进行“”运算，都得这个数的绝对值． （2）计算：______． 题型二 有理数加法中的符号问题 5．下列式子不可读作“负1，负3，正6，负8”的和的是（    ） A． B． C． D． 6．如果a、b异号，且a+b<0，则下列结论正确的是（    ） A．a>0，b>0 B．a<0，b<0 C．a，b异号，且正数的绝对值较大 D．a，b异号，且负数的绝对值较大 7．若，，，则下列关系正确的是（   ） A． B． C． D． 题型三 有理数加法在生活中的应用 8．下列问题情境，不能用加法算式表示的是（   ） A．数轴上表示与10的两个点之间的距离 B．某日最低气温为，温差为，求该日的最高气温 C．用10元纸币购买2元文具后找回的零钱 D．水位先下降，再上升后的水位变化情况 9．标有1－25号的25个座位如图摆放．甲、乙、丙、丁四人玩选座位游戏，甲选2个座位，乙选3个座位，丙选4个座位，丁选5个座位，游戏规则如下：①每人只能选择同一横行或同一竖列的座位；②每人使自己所选的座位号数字之和最小；③座位不能重复选择．如果按“甲、乙、丙、丁”的先后顺序选座位，那么甲选1，2号座位，乙选3，4，5号座位，丙选7，8，9，10号座位，丁选13，14，15，16，17号座位，此时四人所选的座位号数字之和为124，如果按“丁、丙、乙、甲”的先后顺序选座位，那么四人所选的座位号数字之和为________． 10．甲城市与乙城市的时差为两城市同一时刻的时数之差，如同一时刻北京为时，东京时间为，巴黎时间为，那么东京与北京的时差为，巴黎与北京的时差为．已知卡塔尔与北京的时差为，2022世界杯开幕式于北京时间2022年11月21日0时在卡塔尔卢塞尔体育场举行，此时卡塔尔卢塞尔的时间为（　　） A．11月20日05时 B．11月20日19时 C．11月21日05时 D．11月21日19时 题型四 有理数加法运算律 11．如图是小明有理数计算的一部分，在计算过程中使用的运算律表述正确的是（    ） A．①加法交换律②加法结合律 B．①②都是加法交换律 C．①加法结合律②加法交换律 D．①②都是加法结合律 12．7+（–3）+（–4）+18+（–11）=（7+18）+[（–3）+（–4）+（–11）]是应用了 A．加法交换律 B．加法结合律 C．分配律 D．加法交换律与结合律 13．（1）计算：________． （2）计算：________． 题型五 有理数的减法运算 14．计算：______． 15．某同学在计算时，误将“+”看成“”，结果是，则的正确结果是（   ） A． B． C．12 D．20 16．已知有理数和，若添一个有理数，使得这三个数中最大的数与最小的数的差为，则的值为________． 17．设表示大于的最小整数，如，，则（   ）． A． B． C． D． 题型六 有理数减法的实际应用 18．大连某景区当日最高气温，最低气温，这天最高气温比最低气温高（     ） A． B． C． D． 19．如图，某工程队测得点P的海拔为，点Q的海拔为，则点P与点Q之间的高度差为______ 20．某垃圾值守点有甲、乙、丙、丁四名志愿者，某一天每人可参与值守时间段如下表所示： 志愿者 可参与值守时间段1 可参与值守时间段2 甲 乙 丙 丁 已知每名志愿者一天至少要参加一个时间段的值守，任意时刻垃圾值守点同时最多需要2名志愿者值守，则该值守点这一天所有参与值守的志愿者的累计值守时间最最长为（    ）小时．（假设志愿者只要参与值守，就一定把相应时间段全部值完） A．12 B．14 C．16 D．18 题型七 有理数的加减混合运算 21．对于算式“”，嘉嘉和琪琪有不同的读法： 嘉嘉：负10、正2、负5、正6的和； 琪琪：负10加2减5加6． 则对两人的读法，判断正确的是（    ） A．嘉嘉和琪琪都对 B．嘉嘉和琪琪都错 C．嘉嘉对，琪琪错 D．嘉嘉错，琪琪对 22．按如图所示的程序运算（完成一个方框内的运算后 把结果输入下一个方框继续进行运算），若输入的值为，则输出的结果是（    ） A．4 B．9 C．15 D．18 23．如图是一个二阶幻圆模型，现将，2，，4，，6，，8分别填入圆圈内，使得横、纵向以及内外圆圈上的4个数字之和都相等． （1）b的值为_______； （2）的值是_______． 24．计算的结果为（   ） A．1013 B． C．2025 D． 题型八 有理数加减中的简便运算 25．计算，最适当的方法是（    ） A． B． C． D． 26．小磊解题时，将式子先变成再计算结果，则小磊运用了（    ） A．加法交换律 B．加法结合律 C．加法交换律和加法结合律 D．以上均不正确 27．计算：________． 题型九 有理数加减混合运算的应用 28．一天早晨的气温是，中午上升了，晚上又下降了，晚上的气温是（    ） A． B． C． D． 29．甲、乙两人参与两个科技项目：（人工智能算法开发）和（物联网设备开发）．在项目中，甲第一天能开发个模块，之后每多连续工作一天，开发数量（最少个）比前一天减少个；乙第一天能开发个模块，之后每多连续工作一天，开发数量（最少个）比前一天减少个；在项目中，甲每天固定开发个模块，乙每天固定开发个模块．两人每日需选择不同项目工作，且在某一项目连续工作少于天时不可切换项目． ①甲在项目连续工作天能开发模块______个； ②一个科技系统需个模块和个模块，则天最多能组装______套系统． 30．为表示河流水位的变化情况，记水位上升为正，下降为负（水位升降是与前一天相比）．已知甲地和乙地的七日水位变化情况如下表所示（单位：m），则下列说法中正确的是（    ） 类别 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 甲地 乙地 A．甲地第七天后的最终水位比初始水位高 B．乙地第七天后的最终水位比初始水位高 C．这七天内，甲地的水位变化比乙地小 D．在第六天时，乙地的水位达到七天中的最高峰 题型十 省略加法和括号的形式 31．把写成省略加号和括号的形式______． 32．把写成省略括号的形式为（     ） A． B． C． D． 33．将写成省略加号的和的形式为（   ） A． B． C． D． 题型十一 根据点在数轴的位置判断式子的正负 34．如图，数轴上，两点分别对应实数，，点为原点，且，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 35．如下图所示，在数轴上的位置，用“”“”“”填空：    （）______； （）______． 36．有理数、在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 题型十二 数轴上两点之间的距离 37．下列各数在数轴上对应的点到原点的距离最大的是（   ） A．2 B．0 C． D． 38．如图，在水平放置的数轴上从左到右依次有A、B两点，若点A表示的数为，，则点B表示的数为______． 39．如图，在一条不完整的数轴上，从左到右的点A，B，C把数轴分成①②③④四部分，点A，B，C对应的数分别是a，b，c，已知，设原点为O，若点C表示数3，数轴上一点D表示的数为d，在O、C、D这三点中，当相邻两点的距离相等时，则d的值为________． 40．若数轴上点表示的数是，则与点相距个单位长度的点表示的数是（    ） A． B． C．或 D．或 解答题 1．计算： (1)； (2)； (3)． 2．计算（能简便的就简便计算）： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)； (8)． 3．a，b分别是数轴上两个不同点A，B所表示的有理数，且，，A，B两点在数轴上的位置如图所示： (1)试确定数a，b； (2)若C点在数轴上，C点到B点的距离是C点到A点距离的，求C点表示的数； (3)点P从A点出发，先向左移动一个单位长度，再向右移动2个单位长度，再向左移动3个单位长度，再向右移动4个单位长度，依次操作2025次后，求P点表示的数． 4．2020年，由于疫情原因，山东省青岛市某地计划每天卖斤冬枣，但由于种种原因，实际每天的销售量有出入，下表是某周的销售情况（超额记为正，不足记为负，单位：斤） 星期 一 二 三 四 五 六 日 计划量的差额 (1)根据记录的数据可知销售量最多的一天比销售量最少的一天多销售　　斤； (2)此前的上个周日小明卖了斤冬枣，现在用正数表示比前一天多的销售量，负数表示比前一天少的销售量．完成下面的销量变化表： 星期 一 二 三 四 五 六 日 实际销售量比前一天的变化量 (3)求本周实际销售总量与计划总量相比，具体增加或减少了多少斤？ 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $