重难点培优05 向量中的不等式体系及最值问题（复习讲义）（全国通用）2027年高考数学一轮复习讲练测

该高中数学讲义聚焦向量中的不等式体系及最值问题高考核心考点，涵盖三角不等式、数量积、模长、夹角、系数等重难点，按知识重构-题型精研-实战检测逻辑架构，通过考点梳理、技巧通法指导、真题模拟训练，帮助学生系统构建解题框架，突破向量最值难点。 资料以分层突破为特色，题型精研中总结三角不等式结构特征分析、数量积极化恒等式等通法，如题型03用坐标法转化函数求最值，培养学生数学思维与模型构建能力。实战检测分重难巩固与创新提升，助力教师精准把控复习节奏，高效提升学生应考能力。

重难点培优05 向量中的不等式体系及最值问题 目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01 知识重构·重难梳理固根基 1 02 题型精研·技巧通法提能力 3 题型01 向量中的函数、基本不等式（★★★★） 3 题型02 向量中的三角不等式（★★★★） 4 题型03 与数量积有关的最值问题（★★★★★） 4 题型04 与模长有关的最值问题（★★★★） 6 题型05 与夹角有关的最值问题（★★★★） 6 题型06 与系数有关的最值问题（★★★★★） 7 03 实战检测·分层突破验成效 9 重难知识巩固 9 创新能力提升 13 知识重构·重难梳理固根基 知识点01 向量的三角不等式 我们知道，首尾相连的向量的和满足三角形法则，如图，，记，，则，在中，显然有，因此有． 当与同向时，，即； 当与反向时，，即． 综上得，当且仅当与同向时，，当且仅当与反向时，． 同理可得，，当且仅当与反向时，，当且仅当与同向时，． 综合起来，我们还可以简单表示为，这就是首尾相连的向量的“和（差）不等式”，又称向量三角形不等式． 知识点02 平面向量中的最值（范围）问题 以下是几种解决平面向量最值问题的方法： 1、函数，当时，在单调递增；当时，在单调递减. 2、二次函数，当时，在上单调递减，在上单调递增；当在上单调递增，在上单调递减. 3、反比例函数，在，上单调递减；反比例函数，在，上单调递增. 4、对勾函数的单调递增区间为，单调递减区间为，. 5、判别式法：对于任意实数，不等式恒成立，即对于任意实数，不等式恒成立，将二次不等式恒成立问题转化为△. 6、基本不等式 （1）基本不等式：≤，基本不等式成立的条件：a>0，b>0.当且仅当a＝b时取等号. 利用基本不等式求最值 ①已知x，y都是正数，如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2. ②已知x，y都是正数，如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值S2. （2）基本不等式链：若a＞0，b＞0，则≤≤≤. 其中和分别叫做a，b的调和平均数和平方平均数.要根据题目需要选择合适的形式. 7、三角函数的性质 （1）正弦函数的值域为. （2）余弦函数的值域为. 8、利用平面几何知识 （1）如图：，当且仅当三点共线时等号成立. （2）平面几何图形中的特殊点，动点与定点重合，动点是某线段的中点或与线段端点重合.对三角形而言，特殊点还可以是重心、内心或垂心. 题型精研·技巧通法提能力 题型01 向量中的函数、基本不等式 1．（2026·山东聊城·一模）在中，，，若动点满足，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D．2 2．在菱形中，，点是的中点，点在线段上（包含端点），则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高三上·北京顺义·期中）已知平面直角坐标系中，，，设，则的最大值是（    ） A． B． C．8 D．12 4．（2026·河北·模拟预测）已知中，，，若G为的重心，则的最大值为（    ） A．4 B．3 C． D． 5．（25-26高三上·河南新乡·期中）在中，为线段的中点，点在线段上端点不重合，若，则的最大值为__________. 6．（25-26高三上·上海徐汇·阶段检测）已知，，若，则实数x的取值范围为__________. 7．已知非零向量，满足，且，则的取值范围为______. 8．已知点是的重心，若，，则的最小值是________． 9．（2026·山东淄博·三模）已知在中，，，则向量在上的投影向量的模的最小值为________. 题型02 向量中的三角不等式 【技巧通法·提分快招】 ，应用向量的三角形不等式时，要把问题的结构特征与向量三角形不等式的结构特征联系起来，抓住两者的相似性，构造出合适的结构，同时应特别关注等号成立的条件． 1．已知，，则的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 2．（2026·吉林·二模）已知向量，满足，，则的最小值为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 3．已知是单位向量，向量满足，则的最大值为（     ） A．2 B．4 C．3 D．1 4．已知平面向量，，，且已知向量与所成的角为，且对任意实数恒成立，则的最小值为（   ） A． B． C． D．4 5．（2026·河北保定·二模）已知向量满足，，则的取值范围是________. 6．若向量满足，，则的最小值为________ 题型03 与数量积有关的最值问题 【技巧通法·提分快招】 数量积的最值范围处理方法： （1）运用平面向量基本定理，将数量积的两个向量用基底表示后，再运算． （2）建立坐标系，利用向量的坐标运算转化为函数来处理． （3）利用极化恒等式来处理． 1．（2026·四川·模拟预测）已知正方形ABCD的边长为2，点E在线段AC上，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 2．已知向量，，满足，，，若，则的最小值为（   ） A．8 B．7 C．6 D．5 3．（2026·山东聊城·二模）已知，且满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 4．是边长为2的正三角形，为所在平面内任意一点，则的最小值为（   ） A． B． C． D．-2 5．（25-26高三上·北京朝阳·期末）在边长为1的正三角形中，分别在边上，且，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．（25-26高三下·河南濮阳·阶段检测）青花瓷又称白地青花瓷，常简称青花，是中国瓷器的主流品种之一，属釉下彩瓷．原始青花瓷于唐宋已见端倪，成熟的青花瓷则出现在元代景德镇的湖田窑．图一是一个由波涛纹和葡萄纹构成的正六边形青花瓷盘，已知图二中正六边形的边长为2，圆O的圆心为正六边形的中心，半径为1，若点M在正六边形的边上运动，动点A，B在圆O上运动且关于圆心O对称，则的取值范围是 __________ ．    7．（2026·上海静安·模拟预测）在梯形中，，，，，，点在线段上，且；设是线段上的动点，且，则的最小值为________. 8．已知正八边形的边长为2，点为正八边形的中心，点是正八边形内一动点（含边界），则的最大值是______. 题型04 与模长有关的最值问题 【技巧通法·提分快招】 处理平面向量的模长范围问题，常用的方法有： （1）坐标法：即通过建立直角坐标系，通过向量坐标运算求得． （2）基向量表示法：即通过选设平面的基底，用基底表示相关向量，运算求得． （3）构造几何图形法：即根据模长定值构造圆形，由向量点乘等于零得到两向量垂直． 1．（25-26高三上·山西大同·期中）已知向量，且，若向量满足，则的最大值为（    ） A．3 B． C．1 D． 2．若，且，，则的取值范围是（    ）. A． B． C． D． 3．已知平面向量满足，，若，则的最小值为（   ） A．1 B． C． D．2 4．（2025·浙江丽水·一模）已知平面向量满足，则的最大值是___________． 5．（2026·江西赣州·二模）为平面内一点，，则的取值范围是______． 6．（25-26高三下·天津·阶段检测）已知，，是非零向量，，与的夹角为，的最小值为________.若，设为任意实数，的最小值为________． 题型05 与夹角有关的最值问题 【技巧通法·提分快招】 求两个非零向量夹角的步骤 第一步：由坐标运算或定义计算出这两个向量的数量积； 第二步：分别求出这两个向量的模； 第三步：根据公式求解出这两个向量夹角的余弦值； 第四步：根据两个向量夹角的范围是及其夹角的余弦值，求出这两个向量的夹角． 1．（25-26高三上·河北衡水·阶段检测）记向量，设甲：向量与向量的夹角为锐角，乙：，则甲是乙的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．设向量，，当时，的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．已知向量，满足，若对任意模为的向量，均有，则向量的夹角的取值范围为______. 4．已知非零向量与的夹角为锐角，为在方向上的投影向量，且，则与的夹角的最大值是______． 5．（2026·上海·三模）已知平面向量，，满足，且对任意实数，有，则与夹角为，则的最小值为__________． 题型06 与系数有关的最值问题 【技巧通法·提分快招】 此类问题一般要利用共线向量定理或平面向量基本定理寻找系数之间的关系，然后利用函数的性质或基本不等式求解． （1）平面向量共线定理：已知，若三点共线，反之亦然； （2）等和线：平面内一组基底，及任一向量，，若点在直线上或者在平行于的直线上，则（定值），反之也成立。我们把直线以及与直线平行的直线称为等和线。 ①当等和线恰为直线时，； ②当等和线在点和直线直线时，； ③当直线在点和等和线之间时，； ④当等和线过点时，； ⑤若两等和线关于点对称，则定值互为相反数． 1．如图，在中，点，是线段上两个动点，且，则的最小值为（    ） A． B．2 C． D．9 2．如图，在中，，过点的直线与射线，分别交于点，，且，其中，，则的最小值为（    ） A． B．2 C． D．3 3．如图，与的面积之比为2，点是内任意一点(含边界)，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．（2024·河北沧州·三模）对称美是数学美的重要组成部分，他普遍存在于初等数学和高等数学的各个分支中，在数学史上，数学美是数学发展的动力.如图，在等边中，，以三条边为直径向外作三个半圆，是三个半圆弧上的一动点，若，则的最大值为（    ） A． B． C．1 D． 5．如图，四边形是边长为1的正方形，点D在的延长线上，且，点P是(含边界)的动点，设，则的最大值为________． 6．（25-26高三下·上海·阶段检测）如图，，点在由射线、线段及的延长线围成的阴影区域内（不含边界）运动，且，则的取值范围是________. 实战检测·分层突破验成效 重难知识巩固 1．若非零向量满足，则的最大值为（    ） A．3 B．2 C．1 D．4 2．已知平面向量，满足，则的最小值为（   ） A． B． C．12 D．18 3．（2026·辽宁抚顺·一模）已知菱形的边长为2，，点在线段上，点在线段上，，则的最大值为（   ） A． B．2 C． D．－2 4．（25-26高三上·湖南长沙·阶段检测）在平行四边形中，，分别是，的中点，点在线段上.若，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 5．已知是两个非零向量，且，则的最大值为（    ） A． B． C． D．2 6．在中，内角A，B，C的对边分别是，，，，，是外接圆圆外一点，，则的最大值是（    ） A．5 B．8 C．10 D．12 7．（2026·山西忻州·模拟预测）已知，是两个单位向量，，的最小值为，则等于（    ） A． B．1 C．1或 D． 8．（2026·北京·三模）如图所示，半圆的直径，为圆心，为半圆上不同于的任意一点，若为半径上的动点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 9．已知平面向量满足，则的最小值为（　　） A．1 B． C．2 D．3 10．已知梯形中，，，点为边上的动点，若，则的范围是（    ） A． B． C． D． 11．（2026·重庆·三模）在平面中，，且，若，则的最小值为（   ） A． B．2 C． D．3 12．（2025·江西·模拟预测）若平面向量、、满足，则有（   ） A．最大值 B．最小值 C．最大值 D．最小值 13．（2026·河北秦皇岛·模拟预测）直角中，斜边，，动点满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 14．对称性是数学美的一个重要特征，几何中的轴对称，中心对称都能给人以美感，在菱形中，，以菱形的四条边为直径向外作四个半圆，P是这四个半圆弧上的一动点，若，则的最大值为（　　） A．5 B．3 C． D． 15．（25-26高三下·湖南长沙·阶段检测）已知为单位向量，且，则的最小值为（　　） A．2 B． C．4 D．6 16．（2026·北京房山·一模）已知平面直角坐标系中，，，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 17．（25-26高三上·广东·阶段检测）已知平面直角坐标系中，为原点，向量，点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 18．（2025·江苏苏州·模拟预测）已知平面向量，（），记与的夹角是，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 19．（2025·吉林长春·模拟预测）已知平面内两个非零向量满足，且与的夹角为，则的最大值为（　　） A． B． C． D． 20．（2026·河南·三模）已知向量，，，若与的夹角为钝角，且与的夹角也为钝角，则的取值范围为_____. 21．（2025·上海金山·一模）已知非零向量的夹角为，若，则的最小值为___________． 22．（2026·山东枣庄·一模）在中，，在上，，，与的夹角为，则的最大值为______． 23．如图，中，，，，点是线段一动点，若以为圆心半径为1的圆与线段交于，两点，则的最小值为__________.    24．已知在中，，若的最小值是2，则对于内一点的最小值是______． 25．（25-26高三上·北京海淀·阶段检测）如图，四边形是正方形，延长至E，使，若点P是以点A为圆心，为半径的圆弧（不超出正方形）上的任一点，设向量，则的最小值为________最大值为________．    26．（25-26高三上·上海嘉定·期中）已知，均为单位向量，与，共面的向量满足，则的最大值为______. 27．（25-26高三上·天津和平·阶段检测）如图所示，在边长为3的等边三角形中，，且点在以的中点为圆心，为半径的半圆上，则_____；若，则的最大值为_____. 28．已知，，则的取值范围是_________． 29．在中，，，若为钝角或直角，点满足且，则的最小值为__________ 创新能力提升 1．（25-26高三下·北京·开学考试）若，且，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．中，，，是外接圆圆心，则的最大值为（   ） A．3 B． C．4 D． 3．如图，边长为2的等边的外接圆为圆，点为圆上任意一点，若，则的最大值为（    ）    A． B．2 C． D．1 4．设的夹角为，，，，，在时取得最小值，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高三上·河南新乡·期末）已知O为坐标原点，与均为单位向量，，点C在定直线上，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 6．若平面向量，，满足，，，，则，夹角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高三上·上海嘉定·期中）如图，已知矩形的边，点分别在边上，且，则的最小值为________．    8．已知A，B，C为单位圆上任意不同的三点，则的取值范围为________． 9．平面中的3个单位向量满足，则的最大值与最小值之和为_____． 10．（25-26高三下·江西·阶段检测）如图，在矩形ABCD，中，E，F分别是BC和CD的中点，若P是矩形ABCD内一点（含边界），满足且，则的最小值为_________． 11．（25-26高三上·山东泰安·期中）已知在平面直角坐标系中，，，，设，则的取值范围是___________． 12．已知向量与满足，且对，满足，则的最大值为________. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点培优05 向量中的不等式体系及最值问题 目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01 知识重构·重难梳理固根基 1 02 题型精研·技巧通法提能力 3 题型01 向量中的函数、基本不等式（★★★★） 3 题型02 向量中的三角不等式（★★★★） 8 题型03 与数量积有关的最值问题（★★★★★） 10 题型04 与模长有关的最值问题（★★★★） 16 题型05 与夹角有关的最值问题（★★★★） 20 题型06 与系数有关的最值问题（★★★★★） 24 03 实战检测·分层突破验成效 29 重难知识巩固 29 创新能力提升 49 知识重构·重难梳理固根基 知识点01 向量的三角不等式 我们知道，首尾相连的向量的和满足三角形法则，如图，，记，，则，在中，显然有，因此有． 当与同向时，，即； 当与反向时，，即． 综上得，当且仅当与同向时，，当且仅当与反向时，． 同理可得，，当且仅当与反向时，，当且仅当与同向时，． 综合起来，我们还可以简单表示为，这就是首尾相连的向量的“和（差）不等式”，又称向量三角形不等式． 知识点02 平面向量中的最值（范围）问题 以下是几种解决平面向量最值问题的方法： 1、函数，当时，在单调递增；当时，在单调递减. 2、二次函数，当时，在上单调递减，在上单调递增；当在上单调递增，在上单调递减. 3、反比例函数，在，上单调递减；反比例函数，在，上单调递增. 4、对勾函数的单调递增区间为，单调递减区间为，. 5、判别式法：对于任意实数，不等式恒成立，即对于任意实数，不等式恒成立，将二次不等式恒成立问题转化为△. 6、基本不等式 （1）基本不等式：≤，基本不等式成立的条件：a>0，b>0.当且仅当a＝b时取等号. 利用基本不等式求最值 ①已知x，y都是正数，如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2. ②已知x，y都是正数，如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值S2. （2）基本不等式链：若a＞0，b＞0，则≤≤≤. 其中和分别叫做a，b的调和平均数和平方平均数.要根据题目需要选择合适的形式. 7、三角函数的性质 （1）正弦函数的值域为. （2）余弦函数的值域为. 8、利用平面几何知识 （1）如图：，当且仅当三点共线时等号成立. （2）平面几何图形中的特殊点，动点与定点重合，动点是某线段的中点或与线段端点重合.对三角形而言，特殊点还可以是重心、内心或垂心. 题型精研·技巧通法提能力 题型01 向量中的函数、基本不等式 1．（2026·山东聊城·一模）在中，，，若动点满足，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【分析】利用数量积运算性质化简，借助二次函数性质求得最值. 【详解】由， 可得 ， 于是，当且仅当时等号成立， 所以的最小值为 2．在菱形中，，点是的中点，点在线段上（包含端点），则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，以为基底，根据向量的线性运算及数量积可得，结合得到范围即可． 【详解】设，因为四边形是菱形， 所以， 由点是的中点，得， 由题意得，， 所以 ， 因为，所以的取值范围是． 3．（25-26高三上·北京顺义·期中）已知平面直角坐标系中，，，设，则的最大值是（    ） A． B． C．8 D．12 【答案】A 【分析】由向量模的坐标表示计算模后，结合三角函数的辅助角公式求得最大值. 【详解】由已知，， ， 所以， ，其中，为锐角， 所以的最大值为， 所以的最大值为， 故选：A. 4．（2026·河北·模拟预测）已知中，，，若G为的重心，则的最大值为（    ） A．4 B．3 C． D． 【答案】D 【分析】建立直角坐标系，设点根据数量积得出，再根据重心得出，再应用两点间距离公式得出，最后平方化简得出的最大值即可求解. 【详解】以中点为坐标原点，以为轴，以过中点垂直为轴，建立直角坐标系， 所以，设，因为， 又因为， 所以，所以， G为的重心，， 所以， 令，则， 当且仅当时，取得的最大值，即得的最大值. 故选：D. 5．（25-26高三上·河南新乡·期中）在中，为线段的中点，点在线段上端点不重合，若，则的最大值为__________. 【答案】 【分析】先根据中点的性质将转化为与有关的向量，再利用三点共线得到与的关系，最后根据均值不等式求出的最大值. 【详解】因为，所以. 因为点在线段上（端点不重合），所以三点共线， 所以，且，​. 由均值不等式，可得， 化简得，即. 当且仅当时等号成立，结合，可得，时等号成立. 故答案为：. 6．（25-26高三上·上海徐汇·阶段检测）已知，，若，则实数x的取值范围为__________. 【答案】 【分析】利用向量的夹角公式可得答案. 【详解】因为，，所以， 因为，所以，即， 解得，所以实数x的取值范围为. 故答案为： 7．已知非零向量，满足，且，则的取值范围为______. 【答案】 【分析】先通过向量线性变换将，用、表示，再结合数量积运算和夹角公式得到关于的不等式，最后求解不等式得出的取值范围. 【详解】记，， 则，， 因为， 所以， 所以， 设向量，的夹角为， 因为， 所以， 所以，解得， 即的取值范围是. 8．已知点是的重心，若，，则的最小值是________． 【答案】 【分析】根据向量的线性表示和向量的数量积运算求解. 【详解】 如图所示，已知，，则，化简得， 由，所以，当且仅当时等号成立， 由于点是的重心，所以，所以， 因为，即， 因此，所以的最小值是. 9．（2026·山东淄博·三模）已知在中，，，则向量在上的投影向量的模的最小值为________. 【答案】/ 【分析】根据题意结合投影向量可得投影向量的模为，再利用基本不等式运算求解. 【详解】因为，， 则， 可得向量在上的投影向量的模为， 当且仅当，即时，等号成立， 所以向量在上的投影向量的模的最小值为. 题型02 向量中的三角不等式 【技巧通法·提分快招】 ，应用向量的三角形不等式时，要把问题的结构特征与向量三角形不等式的结构特征联系起来，抓住两者的相似性，构造出合适的结构，同时应特别关注等号成立的条件． 1．已知，，则的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由向量的三角不等式即可求解. 【详解】让点运动起来，作图如下，即得， 故选：C．    2．（2026·吉林·二模）已知向量，满足，，则的最小值为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【详解】对任意向量，满足三角不等式： ， 当且仅当与共线反向时，左侧等号成立， 将，代入可得 ， 即 的最小值为. 3．已知是单位向量，向量满足，则的最大值为（     ） A．2 B．4 C．3 D．1 【答案】B 【分析】方法一：把向量的起点看成坐标原点，说明点在以为圆心，3为半径的圆上，原点到圆上点的最远距离即为圆心距加上半径，从而得的最大值；方法二：变形，由向量模长三角不等式代入即可求解. 【详解】方法一：设，，因为，即， 即，所以点在以为圆心，3为半径的圆上，    又是单位向量，则，故的最大值为， 即的最大值为4. 方法二：因为，所以， 所以的最大值为4. 4．已知平面向量，，，且已知向量与所成的角为，且对任意实数恒成立，则的最小值为（   ） A． B． C． D．4 【答案】B 【分析】先用平方去掉条件中的绝对值号，通过解不等式求出，再用向量的三角不等式求最小值. 【详解】平方去绝对值号，由，则， 根据向量与的条件可得， 化简可得， 令，由于函数开口向上，所以需要满足，所以. 观察所求式子内部，两者相减可将约掉，所以可用向量的三角不等式求解， 即， 又， 则的最小值为 5．（2026·河北保定·二模）已知向量满足，，则的取值范围是________. 【答案】 【分析】通过已知条件得到的表达式，利用向量三角不等式确定的范围进行求解. 【详解】因为，两边平方得到， 整理得， 又根据向量三角不等式， 代入，，解得， 所以 6．若向量满足，，则的最小值为________ 【答案】2 【分析】根据题意，利用向量的运算法则，求得，得到，化简得到，结合向量不等式，即可求解. 【详解】由，所以，所以， 又由， ， 所以， 所以， 当且仅当与同向时，等号成立. 所以的最小值为. 题型03 与数量积有关的最值问题 【技巧通法·提分快招】 数量积的最值范围处理方法： （1）运用平面向量基本定理，将数量积的两个向量用基底表示后，再运算． （2）建立坐标系，利用向量的坐标运算转化为函数来处理． （3）利用极化恒等式来处理． 1．（2026·四川·模拟预测）已知正方形ABCD的边长为2，点E在线段AC上，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】在边长为2的正方形中，， 设，， 而，因此 ，当且仅当时取等号， 所以的最小值为. 2．已知向量，，满足，，，若，则的最小值为（   ） A．8 B．7 C．6 D．5 【答案】B 【分析】将向量问题坐标化，把放在轴上简化已知条件，结合二次不等式求出点积的最小值. 【详解】已知，设，，， 则由得；由得， 由，平方得代入，得， 化简得： ，即， 则，因此只需要求的最小值， 由，不妨设，代入得： 即的最小值为， 因此的最小值为. 3．（2026·山东聊城·二模）已知，且满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用向量的线性运算及向量数量积的运算律求解即可. 【详解】设的中点为，如图 则，且 因为, 所以 ， 当同向共线时，等号成立. 4．是边长为2的正三角形，为所在平面内任意一点，则的最小值为（   ） A． B． C． D．-2 【答案】B 【分析】设的中点为的中点为E，则可表示为，进而可得答案. 【详解】设的中点为的中点为E， 则有 ， 则 ， 而 而 ，， 故当P与E重合时， 有最小值 ， 所以的最小值为， 故选：B. 5．（25-26高三上·北京朝阳·期末）在边长为1的正三角形中，分别在边上，且，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】如图建系，依题意设，，求出点的坐标，由，推得，利用基本不等式求出，利用向量数量积的坐标公式求解，利用二次函数的性质即可求得其取值范围. 【详解】如图，以的中点为坐标原点，所在直线为轴，的中垂线为轴，建立平面直角坐标系. 因正三角形的边长为1，则， 因分别在边上，不妨设，可得； 设，可得.则， 又，则，则（*） 因， 则， 将（*）代入上式，可得， 由（*）可得，当且仅当时取等， 由可得， 依题意，，设，则， 在上单调递减，故. 故选：A.    6．（25-26高三下·河南濮阳·阶段检测）青花瓷又称白地青花瓷，常简称青花，是中国瓷器的主流品种之一，属釉下彩瓷．原始青花瓷于唐宋已见端倪，成熟的青花瓷则出现在元代景德镇的湖田窑．图一是一个由波涛纹和葡萄纹构成的正六边形青花瓷盘，已知图二中正六边形的边长为2，圆O的圆心为正六边形的中心，半径为1，若点M在正六边形的边上运动，动点A，B在圆O上运动且关于圆心O对称，则的取值范围是 __________ ．    【答案】 【分析】利用极化恒等式得出数量积的表达式，再由的取值范围计算可得结果. 【详解】由动点关于圆心对称可得，且， 易知, 所以， 因此. 7．（2026·上海静安·模拟预测）在梯形中，，，，，，点在线段上，且；设是线段上的动点，且，则的最小值为________. 【答案】 【分析】建立平面直角坐标系，利用平面向量数量积的坐标运算结合二次函数的基本性质可求出的最小值. 【详解】根据题意，以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立如图所示的平面直角坐标系， 则、、，由题意得，所以， 则，故， 所以， 故， 所以点，所以，， 所以， 当且仅当时，等号成立，故的最小值为. 8．已知正八边形的边长为2，点为正八边形的中心，点是正八边形内一动点（含边界），则的最大值是______. 【答案】/ 【分析】先通过向量的分配律将表达式合并为，再结合正八边形的性质与向量数量积的几何意义，将最大值问题转化为求投影长度的最大值即可. 【详解】如图，取边的中点，连接和，设与交于点， 则由正八边形的性质易得为的中点， 则， 当点在边上时，在上的投影向量为，此时取得最大值， 因为正八边形的边长为2，，所以， 又因为，所以， 又因为，所以， 又， 所以， 所以的最大值为. 【点睛】利用正八边形的对称性，将转化为共线的，把数量积的最大值问题转化为在上的投影最大值，是解决本题的关键. 题型04 与模长有关的最值问题 【技巧通法·提分快招】 处理平面向量的模长范围问题，常用的方法有： （1）坐标法：即通过建立直角坐标系，通过向量坐标运算求得． （2）基向量表示法：即通过选设平面的基底，用基底表示相关向量，运算求得． （3）构造几何图形法：即根据模长定值构造圆形，由向量点乘等于零得到两向量垂直． 1．（25-26高三上·山西大同·期中）已知向量，且，若向量满足，则的最大值为（    ） A．3 B． C．1 D． 【答案】A 【分析】由，平方得到，再结合数量积的定义得到求解即可. 【详解】因为，所以，又，所以 所以， 所以，所以， 所以（是向量与的夹角）. 所以， 所以， 所以， 所以的最大值为3. 故选：A. 2．若，且，，则的取值范围是（    ）. A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由知3个向量终点都在半径为2的圆上运动，由结合极化恒等式知点在以为直径的圆上和内部，即点只能在劣弧上运动，而表示，求的取值范围即可. 【详解】如图，由知3个向量终点都在半径为2的圆上运动， 设，，，由得， 由即结合极化恒等式知点在以为直径的圆上和内部， 即点只能在劣弧上运动， 而表示，所以， 故选：D 3．已知平面向量满足，，若，则的最小值为（   ） A．1 B． C． D．2 【答案】D 【分析】将的起点固定为同一点，根据投影向量的定义可知向量与的终点与向量所在直线的关系，从而表示出，再结合图形关系分析判断即得. 【详解】不妨固定的起点为同一点， 因为，所以在方向上的投影向量恰为，即投影向量的模为， 所以向量的终点在过的终点且垂直于的直线上（如图）， 因为，则，即， 同理可得向量的终点在过的终点且垂直于的直线上（如图） 又，所以，所以，，可以围成如图所示直角三角形， 故当且仅当平行于时，即两直线之间的距离，此时取得最小值. 故选：D 4．（2025·浙江丽水·一模）已知平面向量满足，则的最大值是___________． 【答案】 【分析】要解决这个问题，我们可以利用向量模的三角不等式来分析. 【详解】根据向量模长的三角不等式，有 ， 又因为，由三角不等式： ， 则，得： 故答案为： 5．（2026·江西赣州·二模）为平面内一点，，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】由向量的关系得，进而得为直角三角形，再根据点在以为圆心，为半径的圆上，即可求得答案. 【详解】因为， 所以，， 所以，，， 所以，在中，，，， 由余弦定理得，即， 所以为直角三角形， 因为，所以点在以为圆心，为半径的圆上，如图所示， 所以，即， 所以的取值范围是 6．（25-26高三下·天津·阶段检测）已知，，是非零向量，，与的夹角为，的最小值为________.若，设为任意实数，的最小值为________． 【答案】 2； ./0.5 【分析】利用数量积公式以及，可得到的表达式，结合二次函数性质可得最小值；利用整理化简可得，由此得到向量终点的轨迹，从而可求的最小值. 【详解】由已知 ，且与的夹角为，得，又，故， 代入 ，得 ，所以 ，最小值为； 设，则，取中点，记，所以，， ，， 所以 ，所以， 即. 则点在以点为圆心，半径的圆上，的终点在与成的直线上，记， 因此的最小值为的最小值，过点作，与圆交于点,如图所示，此时最小， 最小值为． 题型05 与夹角有关的最值问题 【技巧通法·提分快招】 求两个非零向量夹角的步骤 第一步：由坐标运算或定义计算出这两个向量的数量积； 第二步：分别求出这两个向量的模； 第三步：根据公式求解出这两个向量夹角的余弦值； 第四步：根据两个向量夹角的范围是及其夹角的余弦值，求出这两个向量的夹角． 1．（25-26高三上·河北衡水·阶段检测）记向量，设甲：向量与向量的夹角为锐角，乙：，则甲是乙的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】利用向量夹角为锐角等价于数量积大于0且两向量不共线，然后再判断充要关系即可. 【详解】由题意得， 充分性：若与的夹角为锐角，则，且， 即且，解得，且，故充分性成立． 必要性：当时，与共线，故必要性不成立，故甲是乙的充分不必要条件． 故选：A． 2．设向量，，当时，的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用向量数量积的定义结合函数单调性求解向量夹角余弦值的范围. 【详解】，令，则， 所以， 当时，， 则， 所以的取值范围是. 故选：A. 3．已知向量，满足，若对任意模为的向量，均有，则向量的夹角的取值范围为______. 【答案】 【分析】首先要根据绝对值不等式的性质以及向量三角不等式的关系放缩，再通过向量平方去掉模，最后解三角不等式. 【详解】由，若对任意模为的向量，均有， 由三角不等式得，，因为向量为任意模为的向量， 所以当向量与向量夹角为时，上式也成立，设向量的夹角为. ，， 平方得到，即， 则，即，即， 同时，所以， 平方得到，即， 解得，即，， 综上，又因为，即， 向量的夹角的取值范围. 故答案为：. 4．已知非零向量与的夹角为锐角，为在方向上的投影向量，且，则与的夹角的最大值是______． 【答案】 【详解】先通过向量的定义得到，从而，通过求出，再求出，利用表示夹角，进而利用基本不等式求最值. 【分析】因为为在方向上的投影向量，且与的夹角为锐角， 所以，故． 因为，且， 所以．设， 则， 故．又． 设与的夹角为，所以． 因为（当且仅当，即时取等号）， 所以，即， 故．又，所以． 故与的夹角的最大值是． 故答案为：. 5．（2026·上海·三模）已知平面向量，，满足，且对任意实数，有，则与夹角为，则的最小值为__________． 【答案】 【分析】设，，将向量问题转化为坐标与二次函数恒成立问题，得到的约束条件，利用外角、内角的关系结合两角差的正切可求的最小值. 【详解】由题可设，，则， 对任意实数，有，故恒成立， 即对任意实数恒成立， 故，即，即或. 故在直线的上方（含边界）或在直线的下方， 由对称性不妨设在直线的上方（含边界），如图， 设与直线的交点为，因， 故与夹角即为的夹角，即， 而，当且仅当重合时等号成立，故， 设，当且，则， 当或时，，也符号上式， 故且， 故，所以，当且仅当时取最小值. 所以的最小值为. 题型06 与系数有关的最值问题 【技巧通法·提分快招】 此类问题一般要利用共线向量定理或平面向量基本定理寻找系数之间的关系，然后利用函数的性质或基本不等式求解． （1）平面向量共线定理：已知，若三点共线，反之亦然； （2）等和线：平面内一组基底，及任一向量，，若点在直线上或者在平行于的直线上，则（定值），反之也成立。我们把直线以及与直线平行的直线称为等和线。 ①当等和线恰为直线时，； ②当等和线在点和直线直线时，； ③当直线在点和等和线之间时，； ④当等和线过点时，； ⑤若两等和线关于点对称，则定值互为相反数． 1．如图，在中，点，是线段上两个动点，且，则的最小值为（    ） A． B．2 C． D．9 【答案】C 【分析】设， 在上的系数分别为 和，由 共线得每组系数和为1，故合并后，再利用基本不等式求 的最小值． 【详解】解：设，， ，，，共线，，． ，则， 点，是线段上两个动点，，． 则的最小值为． 2．如图，在中，，过点的直线与射线，分别交于点，，且，其中，，则的最小值为（    ） A． B．2 C． D．3 【答案】A 【分析】先利用三点共线的向量性质，将用与线性表示，再结合已知的的分解式，通过平面向量基本定理得到与的关系式，最后将目标式与该关系式结合，用基本不等式求最小值. 【详解】因为，，三点共线，所以存在实数使得. 又，，所以. 已知， 由平面向量基本定理，得，. 消去，得，因为，. 所以 . 当且仅当且，即时取等号. 所以的最小值为. 3．如图，与的面积之比为2，点是内任意一点(含边界)，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分析可得当P在线段BC上运动时，B、P、C三点共线，此时有最小值，分别延迟AB、AC至，使，连接，根据三角形相似，分析可得当P位于D点时，有最大值，即可得答案. 【详解】当点P在线段BC上运动时，此时B、P、C三点共线， 因为，所以，此时为的最小值； 分别延迟AB、AC至，使，连接，如图所示， 因为， 所以与相似，且相比为， 因为与的面积之比为2，且， 所以与的高之比为， 即与高之比为， 所以三点共线， 当P位于D点时，， 此时，即，此时为的最大值， 所以当点在内（含边界）运动时，的取值范围为 故选：A 4．（2024·河北沧州·三模）对称美是数学美的重要组成部分，他普遍存在于初等数学和高等数学的各个分支中，在数学史上，数学美是数学发展的动力.如图，在等边中，，以三条边为直径向外作三个半圆，是三个半圆弧上的一动点，若，则的最大值为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【分析】过点作，设，，得到，再由，求得，结合圆的性质，当与半圆相切时，最大，分别求得的长，即可求解. 【详解】如图所示，过点作，交直线于点， 设，可得. 设，，则， 因为，所以， 由图可知，当与半圆相切时，最大， 又由，，可得， 所以，即最大为，所以的最大值为. 故选：B. 5．如图，四边形是边长为1的正方形，点D在的延长线上，且，点P是(含边界)的动点，设，则的最大值为________． 【答案】 【分析】根据平面向量基本定理及向量共线定理即可求解. 【详解】当点P位于B点时，过点B作，交的延长线于G，H， 则，且， ，， 所以. 故答案为：. 6．（25-26高三下·上海·阶段检测）如图，，点在由射线、线段及的延长线围成的阴影区域内（不含边界）运动，且，则的取值范围是________. 【答案】 【分析】在的反向延长线上取点，使得，过作，分别交和的延长线于点、，根据平面向量基本定理，讨论点在点处与处时的值，从而得到的取值范围. 【详解】如图，在的反向延长线上取点，使得， 过作，分别交和的延长线于点、， 则，， 由于， 要使得点落在指定区域内，则点应落在上（不含端点处）， 当点在点处时，， 当点在点处时，， 所以的取值范围是. 实战检测·分层突破验成效 重难知识巩固 1．若非零向量满足，则的最大值为（    ） A．3 B．2 C．1 D．4 【答案】D 【分析】根据绝对值三角不等式求得正确答案. 【详解】根据绝对值三角不等式有， 当且仅当同向时等号成立. 故选：D 2．已知平面向量，满足，则的最小值为（   ） A． B． C．12 D．18 【答案】C 【分析】根据模长公式，结合基本不等式求最值即可. 【详解】， 当且仅当与反向，且，即，时取等号， 故的最小值为12． 故选：C. 3．（2026·辽宁抚顺·一模）已知菱形的边长为2，，点在线段上，点在线段上，，则的最大值为（   ） A． B．2 C． D．－2 【答案】A 【分析】根据给定条件，用基底向量分别表示，再利用数量积的运算律列式求出最大值. 【详解】在边长为2的菱形中，由，得，由点在线段上， 令，由点在线段上， ，得， 则， 而，因此 ，当且仅当时取等号， 所以的最大值为. 4．（25-26高三上·湖南长沙·阶段检测）在平行四边形中，，分别是，的中点，点在线段上.若，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，根据向量线性运算可得，由题意可得，，计算可解. 【详解】如图，作出符合题意的图形， 因为，分别是，的中点， 所以，， 则， 因为点在线段上，设， 则， 若，则，， 所以，当时，有最大值为. 故选：C 5．已知是两个非零向量，且，则的最大值为（    ） A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】令，，则由题意可得，即，由向量加法、减法的几何意义可得，结合不等式即可求解. 【详解】由题意，令，，所以，， 所以，由向量加法、减法的几何意义可得， 所以， 所以，当且仅当，且时取等号， 所以的最大值为. 故选：B. 6．在中，内角A，B，C的对边分别是，，，，，是外接圆圆外一点，，则的最大值是（    ） A．5 B．8 C．10 D．12 【答案】C 【分析】首先由条件构造几何关系图形，再转化向量，利用向量模的不等式，即可求解. 【详解】连接AB，如下图所示： 由题意可知，，所以， 则为圆的一条直径，故为的中点， 所以， 所以 ． 当且仅当、、共线且、同向时，等号成立， 因此，的最大值为10． 故选：C． 7．（2026·山西忻州·模拟预测）已知，是两个单位向量，，的最小值为，则等于（    ） A． B．1 C．1或 D． 【答案】C 【详解】设，的夹角为，因，则， 由， 函数开口向上，对称轴为， 因，则当时，， 因的最小值为，即，故，解得， 若，； 若，． 8．（2026·北京·三模）如图所示，半圆的直径，为圆心，为半圆上不同于的任意一点，若为半径上的动点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由向量加法的几何意义得，从而化为求的范围，根据已知及向量数量积的运算律、二次函数的性质求范围. 【详解】因为点是线段的中点，所以向量， 所以，又向量方向相反，且， 所以． 9．已知平面向量满足，则的最小值为（　　） A．1 B． C．2 D．3 【答案】D 【分析】在平面直角坐标系中设出，再根据所给条件列出方程，再运用重要不等式，即可得解. 【详解】在平面直角坐标系中，设， ， ，得. 由， 得， 当且仅当时，等号成立. 因此，的最小值为. 故选：D. 10．已知梯形中，，，点为边上的动点，若，则的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】建立平面直角坐标系，应用向量的夹角公式计算最后结合值域求解． 【详解】以的中点为原点，如图所示建立平面直角坐标系，则 ，， 设，则，， ， 令，则， ，可得. 故选：D． 11．（2026·重庆·三模）在平面中，，且，若，则的最小值为（   ） A． B．2 C． D．3 【答案】A 【分析】建系，确定轨迹，进而可求解. 【详解】因为 ，即， 以为原点，为轴，为轴建立平面直角坐标系： ，，C(0,4)， 由得：点轨迹为以为圆心，半径的圆：， 设，由得： 消去参数， 整理得点轨迹为直线：， 是直线上动点到圆上动点的距离， 其最小值为圆心到直线的距离减去圆半径， 由点到直线距离公式： ， 所以. 12．（2025·江西·模拟预测）若平面向量、、满足，则有（   ） A．最大值 B．最小值 C．最大值 D．最小值 【答案】C 【分析】设，，求出的坐标，利用平面向量数量积的坐标运算以及基本不等式可求得的最值，即可得出合适的选项. 【详解】因为，不妨设，， 则， 所以 ， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故有最大值. 故选：C. 13．（2026·河北秦皇岛·模拟预测）直角中，斜边，，动点满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】以C为坐标中心建立平面直角坐标系，设P坐标为，根据条件建立的关系式求解 【详解】 以C为坐标中心建立平面直角坐标系，设P坐标为， ，，， ， ， ， ， ， 即， 配方得：， 所以在以为圆心以2为半径的圆上， ，， ,其关于x单调递增， 所以取P为圆的最右边的点可取得最大， 此时，代入得. 14．对称性是数学美的一个重要特征，几何中的轴对称，中心对称都能给人以美感，在菱形中，，以菱形的四条边为直径向外作四个半圆，P是这四个半圆弧上的一动点，若，则的最大值为（　　） A．5 B．3 C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，由条件可得当EF与图形下面半圆相切时，取得最大值，再结合图形，代入计算，即可得到结果． 【详解】 如图，设，，设P是直线EF上一点， 令，则， ，又，所以 因为P是四个半圆弧上的一动点，所以当EF与图形下面半圆相切时，取得最大值， 设线段AB的中点为M，线段AC的中点为O1， 连接MP，连接并延长使之与EF交于点， 过M作，垂足为N， 因为，设，则， ， 则，由，得， 故的最大值为． 故选：D． 15．（25-26高三下·湖南长沙·阶段检测）已知为单位向量，且，则的最小值为（　　） A．2 B． C．4 D．6 【答案】B 【分析】由，得，可得，由，当等号成立时可得最小值. 【详解】由题意知， 则， 得，则， 故， 因为， 所以， 则， 当且仅当与方向相反时“”成立， 所以的最小值为. 16．（2026·北京房山·一模）已知平面直角坐标系中，，，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】取中点，由可得点轨迹为圆，结合极化恒等式可得，再结合点和圆的位置关系求解范围即可. 【详解】如图所示， 由得，是直角三角形，斜边，取中点， 根据直角三角形斜边中线性质，可得， 即在以原点为圆心、半径的圆上. 根据向量极化恒等式，对任意，为中点， 有 ，代入，得： 因为，在为圆心、半径1的圆上， 所以的范围是：， 即， 故. 17．（25-26高三上·广东·阶段检测）已知平面直角坐标系中，为原点，向量，点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据已知条件得出，，，再化简得到，结合平面向量数量积的性质求出其取值范围即可. 【详解】由，则， 则，即， 则， 而，， 所以 ， 由于， 则， 所以. 故选:C. 18．（2025·江苏苏州·模拟预测）已知平面向量，（），记与的夹角是，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量夹角公式表示出，再根据同角三角函数关系表示出，利用换元法和基本不等式即可求解． 【详解】∵， ， ∴， ∵，， ∴， ∴， 令， 则， ∴， 当且仅当，即2（此时）时等号成立． 即的最大值为． 故选：C． 19．（2025·吉林长春·模拟预测）已知平面内两个非零向量满足，且与的夹角为，则的最大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，则，则中，，外接圆的半径为1，设，由正弦定理可得，则，利用三角恒等变换可求最大值. 【详解】设，则， 因为，与的夹角为， 所以在中，，，如图所示， 由正弦定理得外接圆的半径为， 则为圆上与不重合的动点， 设， 由正弦定理可得， 则 ， 当，即时，取得最大值. 故选：B. 20．（2026·河南·三模）已知向量，，，若与的夹角为钝角，且与的夹角也为钝角，则的取值范围为_____. 【答案】 【分析】分别根据两组向量夹角为钝角的要求，列数量积小于0且排除共线反向的不等式，取交集得到t的取值范围. 【详解】由可得， 由得：，此时与的夹角为. 所以若与的夹角为钝角，则. 因为， 由，得， 由，得，此时与方向相同， 所以若与的夹角为钝角，则. 所以与的夹角为钝角，且与的夹角也为钝角，则. 21．（2025·上海金山·一模）已知非零向量的夹角为，若，则的最小值为___________． 【答案】 【分析】将平方后利用二次函数的性质可求其最小值. 【详解】因为， 故 ， ， 故当时，的最小值为， 故最小值为. 故答案为：. 22．（2026·山东枣庄·一模）在中，，在上，，，与的夹角为，则的最大值为______． 【答案】 【分析】先利用与表示、 ，再将转化为与的计算，进而求解. 【详解】因为， 且， 则， 又因为，且与所成的夹角为， 则， 可得， 当且仅当时，的最大值为. 故答案为：. 23．如图，中，，，，点是线段一动点，若以为圆心半径为1的圆与线段交于，两点，则的最小值为__________.    【答案】 【分析】借助向量线性运算及数量积公式可得，再求出最小值即可得. 【详解】连接，则 ， 由最小值为中以为底的高， 则， 经检验等号成立时满足题意.    故答案为：. 24．已知在中，，若的最小值是2，则对于内一点的最小值是______． 【答案】 【分析】根据题意和已知条件列出等式并化简，作出相应的图形，然后结合图形将表示出来，进而求得最小值. 【详解】，其中，由条件知该式的最小值是2． 设，则点在直线上， 又，故当长度最小时，为的中点，，如图，得． 取的中点，连结，取的中点，连结， 则， 当点与点重合时，上式有最小值，此时．    故答案为：. 25．（25-26高三上·北京海淀·阶段检测）如图，四边形是正方形，延长至E，使，若点P是以点A为圆心，为半径的圆弧（不超出正方形）上的任一点，设向量，则的最小值为________最大值为________．    【答案】 1 【分析】设，由得到，再令，代入上式，结合判别式即可求解. 【详解】解：假设， 由已知可得， ， ，即， 令， 则，代入可得， 有，解得， ， 的最小值为1，最大值为， 故答案为：1； 26．（25-26高三上·上海嘉定·期中）已知，均为单位向量，与，共面的向量满足，则的最大值为______. 【答案】 【分析】由题可得，根据垂直关系及向量运算画出图形，数形结合求解即可. 【详解】由题可得， 所以， 如图，设， 则，可得， 则点在以为直径的圆上运动， 由图可得，当时，， 设，则， 所以当时，取得最大值为. 故答案为：. 27．（25-26高三上·天津和平·阶段检测）如图所示，在边长为3的等边三角形中，，且点在以的中点为圆心，为半径的半圆上，则_____；若，则的最大值为_____. 【答案】 【分析】根据平面向量的线性运算可得，，进而结合平面向量的数量积的定义及运算律求解即可；以为原点，为轴正方向建立平面直角坐标系，表示出，进而结合正弦函数的性质求解即可. 【详解】由题意，， ， ； 以为原点，为轴正方向建立平面直角坐标系，如图所示， 则，，， 由题意得的轨迹为以为圆心，1为半径的半圆，其轨迹方程为， 设，， 则，，， 因为， 所以， 所以， 所以当时，，此时的最大值为. 故答案为：；. 28．已知，，则的取值范围是_________． 【答案】 【分析】解法1：根据题意，得到，结合向量的数量积和余弦函数的值域，得到不等式，结合一元二次不等式的解法，即可求解； 解法2：设，得到，求得，令，且，目标式为，结合向量不等式，即可求解. 【详解】解法1：将，平方得，即， 因为，且，可得， 即，即，解得，所以， 所以的取值范围是. 解法2：设，因为，可得， 因为，所以，即， 可得，即， 令，且，目标式为， 因为，可得． 所以的取值范围是. 29．在中，，，若为钝角或直角，点满足且，则的最小值为__________ 【答案】/ 【分析】利用向量的坐标运算，来计算数量积，向量的加法与数乘，通过计算得到的等式转化为关于的函数，再利用对勾函数来求值域即可. 【详解】当为钝角或直角时，，且与不共线， ，由，可得， 解得， 若与共线，则，即， 所以的取值范围是2， 由题意可得，，， ， 由，可得， 展开式子:， 整理得， 进一步得到， 所以， 设，对其求导， 因为，所以，所以在上单调递增， 所以， 此时，则 所以， 综上，的最小值为. 故答案为： 创新能力提升 1．（25-26高三下·北京·开学考试）若，且，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】由得，，取中点，进而，再结合即可转化为求解. 【详解】因为， 所以，，即， 所以，. 如图，取中点， 所以，， 因为，所以点在以为圆心，为半径的圆上， 所以，当且仅当点与点重合时等号成立， 所以的最小值为. 2．中，，，是外接圆圆心，则的最大值为（   ） A．3 B． C．4 D． 【答案】B 【分析】根据正弦定理求得，将化为，即，即可求出答案. 【详解】设外接圆半径为， 由正弦定理得，所以， 由圆的性质得， ， 所以当，即，即时， 取得最大值，最大值为. 3．如图，边长为2的等边的外接圆为圆，点为圆上任意一点，若，则的最大值为（    ）    A． B．2 C． D．1 【答案】A 【分析】作的平行线与圆相交于点，与直线相交于点，与直线相交于点．设，所以，设，结合图形得出，由条件结合平面向量基本定理可得出与的关系，进而可得结果． 【详解】作的平行线与圆相交于点，与直线相交于点，与直线相交于点，    设，因为三点共线，所以， 等边三角形边长为2，则外接圆半径为， 由，可设， 当过点且与圆相切时，取最小值0， 当与在点的同侧，且与圆相切于点时，取最大值， 此时，，则取最大值， 所以， ， 又，则，得， 所以，则的最大值为． 故选：A． 4．设的夹角为，，，，，在时取得最小值，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】通过建立直角坐标系，用坐标法来找到取得最小值的点值，再求的范围. 【详解】因为的夹角为，，，如图建立直角坐标系. 不妨设，则，， ． 依题意在时取得最小值，且， 得，， ， 所以，即， 由，得．所以的取值范围是． 故选：B． 5．（25-26高三上·河南新乡·期末）已知O为坐标原点，与均为单位向量，，点C在定直线上，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】构造，将所求向量转化为，根据向量模不等式确定最小值的位置，最后用点到直线距离公式求最小值. 【详解】令，则， 所以点G是以原点O为圆心，为半径的圆上的动点， 所以，如图1， 设直线，过点O作直线l于点H，作直线于点， 则， 又因为， 可知如图2，当点C在点H处，点G在线段上时， 取得最小值， 此时， 最小值为． 故选：A． 6．若平面向量，，满足，，，，则，夹角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用，与即可确定在上的投影与在上的投影，方向为x轴正方向建立平面直角坐标系，即可确定，的横坐标，设出坐标由得到两向量纵坐标的关系后，列出，夹角的余弦值的式子，利用基本不等式确定余弦值的范围，即可确定，夹角的范围，注意即，的夹角为锐角. 【详解】设，，，以O为原点，方向为x轴正方向建立平面直角坐标系， ，，， ，，三者直接各自的夹角都为锐角， ，，， ，，即在上的投影为1，在上的投影为3， ，，如图 ， 即，且 则， 由基本不等式得， ， 与的夹角为锐角， ， 由余弦函数可得：与夹角的取值范围是， 故选：C. 7．（25-26高三上·上海嘉定·期中）如图，已知矩形的边，点分别在边上，且，则的最小值为________．    【答案】 【分析】建立平面直角坐标系，设，表示向量的坐标，进而得出，最后利用基本不等式求解最小值． 【详解】以点为坐标原点，建立如下图所示直角坐标系，     ，四边形是矩形， ， 设，，则，则，， ， 当且仅当时取等号， 的最小值为． 故答案为：． 8．已知A，B，C为单位圆上任意不同的三点，则的取值范围为________． 【答案】 【分析】设，，，结合数量积公式与三角恒等变换公式计算可得的最小值，再利用数形结合可得其范围. 【详解】不妨设，，， 则 ， 令，则， 则， 取，时，等号成立， 当为直径时，点趋向于时，，故的取值范围为. 故答案为：. 9．平面中的3个单位向量满足，则的最大值与最小值之和为_____． 【答案】/ 【分析】先应用平面向量的数量积运算律化简，再应用三角不等式得出的最值计算求解. 【详解】由条件，且， 知， 结合三角不等式知． 当时，即，取到最大值2． 结合三角不等式知， 当时，即，取到最小值． 因此的最大值与最小值之和为． 故答案为：. 10．（25-26高三下·江西·阶段检测）如图，在矩形ABCD，中，E，F分别是BC和CD的中点，若P是矩形ABCD内一点（含边界），满足且，则的最小值为_________． 【答案】 【分析】取，利用平面向量三点共线的性质得到三点共线，从而得到点在直线上，且，且位于矩形内部（含端点），则利用向量的基本定理和数量积得到，又长是定值，求的最小值就是求的最小值，而的最小值为当时最小且最小值为，从而得到的最小值. 【详解】，，， 取,则, 则三点共线，即点在直线上且位于矩形内部（含端点）， 取的中点，连接，则， 因为， ,所以， 因为，所以，所以， 因为，所以， 设的中点为, 则 ， 因为，分别为的中点， 所以，， 求的最小值转化为求的最小值，又为的中点，则为定点， 因为点在直线上且位于矩形内部（含端点）， 所以当时，最小，且最小值为, 所以的最小值为. 11．（25-26高三上·山东泰安·期中）已知在平面直角坐标系中，，，，设，则的取值范围是___________． 【答案】 【分析】先根据，求出，再根据数量积的运算律得到，求出的范围，即可得解． 【详解】因为，，， 又，所以， 则，所以，则， 所以， 又，所以，则， 所以 ， 又， 所以，所以. 故答案为： 12．已知向量与满足，且对，满足，则的最大值为________. 【答案】 【分析】可先对两边平方，根据二次函数性质得到与的关系，再利用向量模长公式和基本不等式求解的最大值. 【详解】已知，两边平方可得. 展开得. 移项整理得. 因为对于，上式恒成立，所以二次函数的判别式. 即，进一步化简得，即. 因为一个数的平方是非负的，所以，即. 可得. 将代入上式得. 令，设（），，令. 将变形为. 由基本不等式（当且仅当时等号成立），这里，，则. 所以，即，当且仅当，时取等号. 故最大值是. 故答案为：. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $