基本不等式在经济、几何问题上的应用专项训练-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

基本不等式在经济问题上的应用、基本不等式在几何问题上的应用专项训练 基本不等式在经济问题上的应用、基本不等式在几何问题上的应用专项训练 考点目录 基本不等式在经济问题上的应用 基本不等式在几何问题上的应用 考点一 基本不等式在经济问题上的应用 例1．（25-26高一上·广东茂名·期中）长江存储是我国唯一一家能够独立生产3DNAND闪存的公司，其先进的晶栈Xtacking®技术使得3DNAND闪存具有极佳的性能和极长的寿命．为了应对第四季度3DNAND闪存颗粒库存积压的情况，某下游闪存封装公司拟对产能进行调整，已知封装闪存的固定成本为300万元，每封装x万片，还需要万元的变动成本，通过调研得知，当x不超过120万片时，；当x超过120万片时，，封装好后的闪存颗粒售价为150元/片，且能全部售完． (1)求公司获得的利润的函数解析式； (2)封装多少万片时，公司可获得最大利润？ 例2．（25-26高一上·北京昌平·期中）某公司计划投资A，B两种金融产品，根据市场调查与预测，A产品的利润与投资金额x的函数关系为，B产品的利润与投资金额x的函数关系为（注：利润与投资金额单位：万元）．现在该公司有100万元资金，并全部投入A，B两种产品中且均有投，其中x万元资金投入A产品． (1)请把A，B两种产品利润总和y表示为x的函数，并直接写出定义域； (2)在（1）的条件下，当x取何值时才能使公司获得最大利润？ 例3．（25-26高一上·山东青岛·阶段检测）某厂家拟定在2025年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销量（即该厂的年产量）x万件与年促销费用万元满足（k为常数）．如果不举行促销活动，该产品的年销量只能是1万件．已知2025年生产该产品的固定投入将为10万元，每生产1万件，该产品需要再投入16万元（再投入费用不包含促销费用），厂家将每件产品的销售价格定为“平均每件产品的固定投入与再投入”的倍． (1)求k的值； (2)将2025年该产品的利润y（万元）表示为年促销费用m（万元）的函数； (3)该厂家2025年约投入多少万元促销费用时，获得的利润最大，最大利润是多少？（，结果保留1位小数）． 变式1．（25-26高一上·河南周口·阶段检测）为响应国家扩大内需的政策，某厂家拟在2022年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销量（即该厂的年产量）万件与年促销费用（）万元满足（为常数）．如果不搞促销活动，则该产品的年销量只能是1万件．已知2022年生产该产品的固定投入为6万元，每生产1万件该产品需要再投入12万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分）． (1)求常数的值； (2)将该厂家2022年该产品的利润万元表示为年促销费用万元的函数（利润总销售额产品成本年促销费用）； (3)该厂家2022年的年促销费用投入多少万元时厂家利润最大？ 变式2．（25-26高一上·浙江杭州·期中）改革开放40多年来，我们始终坚持保护环境和节约资源坚持推进生态文明建设某市政府也越来越重视生态系统的重建和维护.若已知该市财政下拨了100（百万元）专款，分别用于植绿护绿和处理污染两个生态维护项目，植绿护绿项目五年内带来的生态受益可表示为投放资金x（单位：百万元）的函数（单位：百万元）：.处理污染项目五年内带来的生态受益可表示为投放资金x（单位：百万元）的函数（单位：百万元）：. （1）设分配给植绿护绿项目的资金为x（单位：百万元），则两个生态维护项目五年内带来的收益总和为y（单位：百万元），写出y关于x的关系式； （2）生态项目的投资开始利润薄弱，只有持之以恒，才能功在当代、利在千秋，试求出y的最大值，并求出此时对两个生态维护项目的投资分别为多少百万元. 变式3．（25-26高一上·吉林长春·期中）珍珠棉是聚乙烯塑料颗粒经过加热、发泡等工艺制成的一种新型的包装材料，疫情期间珍珠棉的需求量大幅增加，某加工珍珠棉的公司经市场调研发现，若本季度在原材料上多投入万元，珍珠棉的销售量可增加吨，其中，每吨的销售价格为万元，另外每生产1吨珍珠棉还需要投入其他成本0.5万元. (1)写出该公司本季度增加的利润与（单位：万元）之间的函数关系； (2)当为多少万元时，该公司在本季度增加的利润最大?最大为多少万元? 考点二 基本不等式在几何问题上的应用 例1．（25-26高一上·山东青岛·阶段检测）青岛二中为了更好地美化校园，计划修建一个如图所示的总面积为的花园.图中阴影部分是宽度为1m的小路，中间A，B，C三个矩形区域将种植牡丹、郁金香、月季.图中B，C区域的形状、大小完全相同）.设矩形花园的一条边长为x m，鲜花种植的总面积S.    (1)用含有的代数式表示； (2)当的值为多少时，才能使鲜花种植的总面积最大？ 例2．（25-26高一上·河南平顶山·阶段检测）如图，在周长为8的矩形中（其中），现将沿折叠到，设与交于点，设，. (1)求的周长； (2)当为何值时，的面积取得最大值，并求出该最大值. 例3．（25-26高一上·河南鹤壁·阶段检测）如图，矩形的对角线经过矩形的顶点，且．    (1)设，矩形的面积为，请写出关于的关系式，并说明理由； (2)求矩形面积的最小值． 变式1．（24-25高一上·浙江丽水·期末）如图，设矩形的周长为，把沿向折叠，折过去后交于点，设，. (1)当时，求的值； (2)设的面积为，求的最大值. 变式2．（25-26高一上·浙江温州·期中）某村计划建造一个室内面积为的矩形蔬菜温室，在室内，沿左、右两侧与后侧内墙各保留2m宽的通道，沿前侧内墙保留4m宽的空地，    (1)写出蔬菜的种植面积关于矩形温室的长之间的关系式． (2)当矩形温室的边长各为多少时，蔬菜的种植面积最大？最大种植面积是多少？ 变式3．（25-26高一上·四川眉山·期中）如图，高新区某居民小区要建一座八边形的休闲场所，它的主体造型平面图是由两个相同的矩形和构成的面积为400m2的十字形地域.计划在正方形上建一座花坛，造价为8400元/m2；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，造价为420元/m2；再在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为160元/m2.设总造价为y（单位：元），AD长为x（单位：m）. (1)用x表示AM的长度，并求x的取值范围； (2)当x为何值时，y最小？并求出这个最小值. 2 学科网（北京）股份有限公司 $基本不等式在经济问题上的应用、基本不等式在几何问题上的应用专项训练 基本不等式在经济问题上的应用、基本不等式在几何问题上的应用专项训练 考点目录 基本不等式在经济问题上的应用 基本不等式在几何问题上的应用 考点一 基本不等式在经济问题上的应用 例1．（25-26高一上·广东茂名·期中）长江存储是我国唯一一家能够独立生产3DNAND闪存的公司，其先进的晶栈Xtacking®技术使得3DNAND闪存具有极佳的性能和极长的寿命．为了应对第四季度3DNAND闪存颗粒库存积压的情况，某下游闪存封装公司拟对产能进行调整，已知封装闪存的固定成本为300万元，每封装x万片，还需要万元的变动成本，通过调研得知，当x不超过120万片时，；当x超过120万片时，，封装好后的闪存颗粒售价为150元/片，且能全部售完． (1)求公司获得的利润的函数解析式； (2)封装多少万片时，公司可获得最大利润？ 【答案】(1) (2)160 【分析】（1）根据已知条件，结合利润公式，分类讨论即可求解； （2）结合（1）的结论，利用二次函数的性质及基本不等式求出最大值即可求解. 【详解】（1）当时， ， 当时， ， 故. （2）当时， 开口向下，对称轴为， 故的最大值为（万元）； 当时， ， 当且仅当，即时等号成立， 故的最大值为（万元）， 因为， 所以封装160万片时，公司可获得最大利润. 例2．（25-26高一上·北京昌平·期中）某公司计划投资A，B两种金融产品，根据市场调查与预测，A产品的利润与投资金额x的函数关系为，B产品的利润与投资金额x的函数关系为（注：利润与投资金额单位：万元）．现在该公司有100万元资金，并全部投入A，B两种产品中且均有投，其中x万元资金投入A产品． (1)请把A，B两种产品利润总和y表示为x的函数，并直接写出定义域； (2)在（1）的条件下，当x取何值时才能使公司获得最大利润？ 【答案】(1) (2)时，利润最大. 【分析】（1）A，B对于投资金额下的利润求和得到总利润的函数关系式即可； （2）结合函数式特点利用均值不等式求函数最值. 【详解】（1）由题意，万元投入A产品，则万元投入B产品，则 ，. （2）由（1）得， ， 当且仅当，即时等号成立， 所以当时，公司利润最大. 例3．（25-26高一上·山东青岛·阶段检测）某厂家拟定在2025年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销量（即该厂的年产量）x万件与年促销费用万元满足（k为常数）．如果不举行促销活动，该产品的年销量只能是1万件．已知2025年生产该产品的固定投入将为10万元，每生产1万件，该产品需要再投入16万元（再投入费用不包含促销费用），厂家将每件产品的销售价格定为“平均每件产品的固定投入与再投入”的倍． (1)求k的值； (2)将2025年该产品的利润y（万元）表示为年促销费用m（万元）的函数； (3)该厂家2025年约投入多少万元促销费用时，获得的利润最大，最大利润是多少？（，结果保留1位小数）． 【答案】(1) (2) (3)当促销费用为3.7万元时，利润最大为19.7万元． 【分析】（1）根据时，，即可求得k的值； （2）确定销售量的表达式，根据利润等于销售额减去投入，即可得答案； （3）将变形为，利用基本不等式即可求得答案. 【详解】（1）由已知，当时，， ∴，解得：， （2）由（1）知， 故 ， 化简得：． （3）， ∵，∴，即，则， 当且仅当即时等号成立， 此时，， 答：当促销费用约为3.7万元时，利润最大为19.7万元． 变式1．（25-26高一上·河南周口·阶段检测）为响应国家扩大内需的政策，某厂家拟在2022年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销量（即该厂的年产量）万件与年促销费用（）万元满足（为常数）．如果不搞促销活动，则该产品的年销量只能是1万件．已知2022年生产该产品的固定投入为6万元，每生产1万件该产品需要再投入12万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分）． (1)求常数的值； (2)将该厂家2022年该产品的利润万元表示为年促销费用万元的函数（利润总销售额产品成本年促销费用）； (3)该厂家2022年的年促销费用投入多少万元时厂家利润最大？ 【答案】(1) (2) (3)2022年的年促销费用投入2.5万元时，该厂家利润最大 【分析】（1）依题意当时代入计算可得； （2）依题意得到，再将代入计算可得； （3）由（2）可得，利用基本不等式计算可得. 【详解】（1）解：由题意可知，当时，所以，解得； （2）解：由于，故， ∴ ； （3）解：由（2）知：    当且仅当，即时取等号.    所以当2022年的年促销费用投入万元时，该厂家利润最大. 变式2．（25-26高一上·浙江杭州·期中）改革开放40多年来，我们始终坚持保护环境和节约资源坚持推进生态文明建设某市政府也越来越重视生态系统的重建和维护.若已知该市财政下拨了100（百万元）专款，分别用于植绿护绿和处理污染两个生态维护项目，植绿护绿项目五年内带来的生态受益可表示为投放资金x（单位：百万元）的函数（单位：百万元）：.处理污染项目五年内带来的生态受益可表示为投放资金x（单位：百万元）的函数（单位：百万元）：. （1）设分配给植绿护绿项目的资金为x（单位：百万元），则两个生态维护项目五年内带来的收益总和为y（单位：百万元），写出y关于x的关系式； （2）生态项目的投资开始利润薄弱，只有持之以恒，才能功在当代、利在千秋，试求出y的最大值，并求出此时对两个生态维护项目的投资分别为多少百万元. 【答案】（1），；（2）的最大值为52（百万元） ，对植绿护绿和处理污染两个生态维护项目的投资分别为40（百万元）和60（百万元）. 【解析】（1）收益总和应为的总和，表示出关系式即可； （2）对（1）中关系式进行化简，利用基本不等式可求解. 【详解】（1），. （2）由（1）可得 ， 当且仅当，即时取等号. 所以的最大值为52（百万元） ，此时对植绿护绿和处理污染两个生态维护项目的投资分别为40（百万元）和60（百万元）. 【点睛】本题考查基本不等式对应函数模型的实际应用，利用分离常数法拼凑出基本不等式是求解函数最值的关键，属于中档题 变式3．（25-26高一上·吉林长春·期中）珍珠棉是聚乙烯塑料颗粒经过加热、发泡等工艺制成的一种新型的包装材料，疫情期间珍珠棉的需求量大幅增加，某加工珍珠棉的公司经市场调研发现，若本季度在原材料上多投入万元，珍珠棉的销售量可增加吨，其中，每吨的销售价格为万元，另外每生产1吨珍珠棉还需要投入其他成本0.5万元. (1)写出该公司本季度增加的利润与（单位：万元）之间的函数关系； (2)当为多少万元时，该公司在本季度增加的利润最大?最大为多少万元? 【答案】(1) (2)万元时，公司在本季度增加的利润最大，最大为万元. 【分析】（1）根据题目中的等量关系列出函数关系式； （2）分段函数最值分段求解，分别利用基本不等式求解最值和一次函数的单调性求解最值. 【详解】（1）由题意，列出函数关系式可得， 又因为，所以， 所以该公司本季度增加的利润y与x（单位：万元）之间的函数关系为 ； （2）当时，化简， 因为，所以， 由基本不等式可得，， 当且仅当，即时等号成立，所以， 此时当万元时，公司本季度增加的利润最大，最大为万元； 当时，为减函数，所以当时，有最大值为； 因为，所以当万元时，公司本季度增加的利润最大，最大为万元. 考点二 基本不等式在几何问题上的应用 例1．（25-26高一上·山东青岛·阶段检测）青岛二中为了更好地美化校园，计划修建一个如图所示的总面积为的花园.图中阴影部分是宽度为1m的小路，中间A，B，C三个矩形区域将种植牡丹、郁金香、月季.图中B，C区域的形状、大小完全相同）.设矩形花园的一条边长为x m，鲜花种植的总面积S.    (1)用含有的代数式表示； (2)当的值为多少时，才能使鲜花种植的总面积最大？ 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）设矩形花园的长为，结合，进而求得关于的关系式； （2）由（1）知，得到，结合基本不等式，即可求解. 【详解】（1）设矩形花园的长为，因为矩形花园的总面积为， 所以，可得，又，则， 又因为阴影部分是宽度为1m的小路，可得， 可得，即关于的关系式为. （2）由（1）知，，， 则 ， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以当时，才能使鲜花种植的总面积最大，最大面积为. 例2．（25-26高一上·河南平顶山·阶段检测）如图，在周长为8的矩形中（其中），现将沿折叠到，设与交于点，设，. (1)求的周长； (2)当为何值时，的面积取得最大值，并求出该最大值. 【答案】(1)4； (2)，面积最大值为. 【分析】（1）根据已知，证得，进而有，即可得； （2）由已知及（1）有、，在应用勾股定理得，结合已知得，再由并应用基本不等式求其最大值，并确定取值条件，即可得. 【详解】（1）依题意，， 则，于是， 因此， 所以的周长为定值4； （2）由折叠知，则，即， 由（1）知，即，则， 在中，即，化简得， 而，，则且，即，所以，（）. 在中，，且， 则，当且仅当，即时等号成立， 所以当时，的面积取得最大值为. 例3．（25-26高一上·河南鹤壁·阶段检测）如图，矩形的对角线经过矩形的顶点，且．    (1)设，矩形的面积为，请写出关于的关系式，并说明理由； (2)求矩形面积的最小值． 【答案】(1)，理由如下： 方法一：根据相似的性质可得， 所以，解得， 所以. 方法二：根据相似的性质可得，则，得， 所以. (2)240 【分析】（1）方法一：根据相似的性质可得，由此可求，结合矩形面积公式求， 方法二：根据相似的性质可得，由此可求，结合矩形面积公式求， （2）由（1）可得，利用基本不等式求其最小值即可. 【详解】（1）略 （2）由（1）得，当且仅当，即时，等号成立， 故矩形面积的最小值为240. 变式1．（24-25高一上·浙江丽水·期末）如图，设矩形的周长为，把沿向折叠，折过去后交于点，设，. (1)当时，求的值； (2)设的面积为，求的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）依题意可证，即可得到，再由勾股定理计算可得； （2）首先证明，得到，在利用勾股定理得到，从而得到，再由面积公式及基本不等式计算可得. 【详解】（1）如图，由矩形的周长为，，可知，. ，，， ， . 在中，由勾股定理得，即，解得. （2）如图，由矩形的周长为，可知，， ，，， ， . 在中，由勾股定理得，即， 解得， 所以. 所以的面积为 . 由基本不等式与不等式的性质，得， 当且仅当时，即当时，的面积最大， 面积的最大值为. 变式2．（25-26高一上·浙江温州·期中）某村计划建造一个室内面积为的矩形蔬菜温室，在室内，沿左、右两侧与后侧内墙各保留2m宽的通道，沿前侧内墙保留4m宽的空地，    (1)写出蔬菜的种植面积关于矩形温室的长之间的关系式． (2)当矩形温室的边长各为多少时，蔬菜的种植面积最大？最大种植面积是多少？ 【答案】(1)； (2)矩形温室的一边长为，另一边长为时，蔬菜的种植面积最大，最大为. 【分析】（1）设蔬菜的种植面积为，矩形温室的长为，可得种植蔬菜矩形的宽为，再根据矩形的面积公式即可得答案； （2）利用基本不等式求解即可. 【详解】（1）解：设蔬菜的种植面积为，矩形温室的长为， 则矩形温室的宽为,种植蔬菜矩形的长为，宽为， 所以； （2）解：因为， 因为， 当且仅当，即时，等号成立， 所以. 即当矩形温室的一边长为，另一边长为时，蔬菜的种植面积最大，最大为 变式3．（25-26高一上·四川眉山·期中）如图，高新区某居民小区要建一座八边形的休闲场所，它的主体造型平面图是由两个相同的矩形和构成的面积为400m2的十字形地域.计划在正方形上建一座花坛，造价为8400元/m2；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，造价为420元/m2；再在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为160元/m2.设总造价为y（单位：元），AD长为x（单位：m）. (1)用x表示AM的长度，并求x的取值范围； (2)当x为何值时，y最小？并求出这个最小值. 【答案】(1)， (2)，最小值为472000元 【分析】（1）由题意可得矩形的面积，即可得出； （2）先表示出总造价y，再由基本不等式求解即可. 【详解】（1）由题意可得，矩形的面积为, 因此， ∵，∴. （2） ，， 由基本不等式y472000， 当且仅当，即x时，等号成立， 故当x时，总造价y最小，最小值为472000元. 2 学科网（北京）股份有限公司 $